View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
2009
Forelesning nr.8 INF 1410
RC og RL kretser
02.03.2009 INF 1410 1
2009
Oversikt dagens temaer
Linearitet i RC- og RL-kretser
Opampkretser med kondensatorer
Naturlig respons for RL- og RC-kretser
Eksponensiell respons
02.03.2009 INF 1410 2
2009
Node og meshanalyse med RL og RC
Har vist at KVL og KCL også gjelder for kretser med
spoler og kondensatorer
Spoler i serie og parallell oppfører seg som ohmske motstander
i serie og parallell
Kondensatorer i serie oppfører seg som ohmske motstander i
parallell, og kondensatorer i parallell oppfører seg som
resistanser i serie
KVL og KCL i kretser med kun ohmske motstander kan
løses enkelt (n lineære tidsuavhengige ligninger med n
ukjente)
02.03.2009 INF 1410 3
2009
Node og meshanalyse med RL og RC
KVL og KVL i kretser med spoler og/eller kondensatorer
krever løsning av integrodifferensial-ligninger
Integrodifferensial: Inneholder både den integrerte og
deriverte av variabelen som inngår
Skal først studere eksempler med nodeligninger uten å
eksplisitt løse dem
Senere i kurset innføres en metode for å løse slike
ligninger på en enkel måte vha S-transformasjon
02.03.2009 INF 1410 4
2009
Eksempel
Ønsker å finne nodeligningene
for kretsen til høyre
Summen av alle strømmene som
går ut av node 1 er lik 0
Har også en initialstrøm gjennom
spolen
For node 1 blir ligningen
02.03.2009 INF 1410 5
0)t(iR
)vv(
dt
dvC'dt)vv(
L
10L
2112s
t
t
1
0
2009
Eksempel (forts)
Ligningen for node 2 blir
Skriver om KCL-ligningen slik at spenninger og strømmer fra
kilder og initialverdier står på høyre side, og resten på venstre:
02.03.2009 INF 1410 6
dt
)vv(dC
R
)vv(i ss
21
12
)t(i'dtvLR
v
R
v
dt
dvC'dtv
LL
t
t
s
t
t
0211
21
00
11
ss i
dt
dvC
dt
dvC
R
v
R
v 1
21
21
2009
Eksempel (forts)
Generelt er ligningene som er
utledet kompliserte å løse analytisk
Spenningskilden vs opptrer den
både som derivert og integrert,
men ikke direkte
Initialstrømmen gjennom spolen
opptrer som en konstant
Ligningssystemene kan også løses
numerisk, noe som ofte gir god nok
presisjon
02.03.2009 INF 1410 7
2009
Impedans og admittans
Forholdet mellom spenning og strøm kalles for impedans
Impedans kan tenkes som sammensatt av en tidsuavhengig
og en tidsavhengig del
Resistivitet: tidsuavhengig
Reaktans: tidsavhengig
Reaktans kan deles inn i to typer
Induktiv
Kapasitiv
Avhengig av hvilket element man refererer til, brukes ofte
Resistiv impedans
Induktiv impedans
Kapasitiv impedans
02.03.2009 INF 1410 8
2009
Impedans og admittans (forts)
Forholdet mellom strøm og spenning kalles for admittans
Admittans kan tenkes på som den inverse til impedans
Admittans kan tenkes som sammensatt av en tidsuavhengig
og en tidsavhengig del
Konduktans: tidsuavhengig
Suseptans: tidsavhengig
Disse begrepene vil bli nærmere definert når komplekse
frekvenser inntroduseres (imaginære + relle deler)
For ohmske motstander som bare er resistive kalles
admittansen for konduktans
02.03.2009 INF 1410 9
2009
Integrator med kondensator
Man kan designe relativt avanserte kretser med basert på
opamp’er og motstander, spoler og kondensatorer
Ved å erstatte motstanden i tilbakekoblingen i en inverterende
forsterker med en kondensator får man en integrator:
Siden va=vb=0, har reduseres dette til
02.03.2009 INF 1410 10
dt
dvC
R
vvi
R
vv fCf
sasa
11
0
dt
)v(dC
R
v
dt
dvC
R
v outf
sC
fs f
00
11
2009
Integrator med kondensator
For å finne vout som funksjon av vs må man
integrere på begge sider
Verdien R1C1 er en integrasjonskonstant
og kalles også for tidskonstant τ
O man ikke ønsker en skalert utverdi må
R1 og Cf velges slik at R1Cf =1
02.03.2009 INF 1410 11
)0(v'dt)'t(vCR
1v
v0vvv
f
f
C
t
0
s
f1
out
outoutaC
2009
Derivator med kondensator
02.03.2009 INF 1410 12
Ved å la motstand og kondensator bytte plass
får man en derivator istedenfor integrator:
Siden va=vb=0, har reduseres dette til
dt
dvC
R
vvi
R
vv0 1
C
1
f
outa
f
outa
dt
dvCRv
dt
dvC
dt
)v0(dC
dt
dvC
R
v
s1fout
s1
s1
C
1
f
out 1
2009
Integrator og derivator med spole
Man kan også lage integratorer/derivatorer med spoler
istedenfor kondensatorer
Teoretisk gjøres dette ved å bytte ut kondensatoren i
integratoren med en spole, og dette gir en derivator
Ved å bytte ut kondensatoren med en spole i derivatoren får
man en integrator
I praksis vil man ikke bruke spoler fordi de er vanskeligere å
lage enn kondensatorer på integrerte kretser (tar mer plass)
Spoler vil kunne fungere som antenner på integrerte kretser
og fange opp uønsket elektromagnetisk støy fra omgivelsene
02.03.2009 INF 1410 13
2009
Kretser med ulik type startbetingelser
For kretser med spoler og kondensatorer vil utsignalet være
bestemt av to forhold:
Hvilke strømmer/energi som er finnes i kretsen ved tidspunkt t0
Hva slags type signal som påtrykkes kretsen ved tidspunkt t
Kretsens oppførsel som følge av det ”historiske” innsignalet
gir et bestemt utsignal ved t0 og kalles naturlig respons
Naturlig respons kalles også source-free eller transient
respons, fordi det ikke avhenger av hvordan innsignalet så
ut, men de ”naturlige” egenskapene til kretsen
Den andre typen respons kalles for påtrykket eller tvungen,
og utsignalet vil ha en komponent som er et resultat av dette
02.03.2009 INF 1410 14
2009
Transientrespons i RL-kretser Generelt sett er det vanskelig å løse integral/differensial-
ligninger
For kretsanalyse vil løsningene være på et bestemt format, og
man kan derfor gjenbruke uten å løse på nytt hver gang
Begynner med formen til løsningen for den naturlige
(transient)responsen for en krets med en motstand og en spole
02.03.2009 INF 1410 15
Antar at strømmen gjennom
kretsen ved t0=0 er I0, dvs i(0)=I0
I0 vil med tiden vil dø ut
Vet ikke hvordan I0 har oppstått i
fortiden
2009
Transientrespons i RL-kretser (forts)
KVL for strømmen i kretsen gir at
Ønsker å finne et uttrykk for i(t) som
både tilfredsstiller det generelle tilfellet
og initialbetingenlsen i(t0)=I0
02.03.2009 INF 1410 16
00 iL
R
dt
di
dt
diLRivRi L
)0t(L
R)0ln()iln('t
L
R)iln('dt)
L
R('di
'i
1
0dtL
R
i
di0i
L
R
dt
di
t
0
i
I
t
0
)t(i
I0
0
2009
Transientrespons i RL-kretser (forts)
Ved å opphøye i e på begge sider får man
Måtte mao. sjekke at både det generelle tilfellet og
initialbetingelsen er oppfylt av løsningen
Ved tidspunkt t=0 er i(0)=I0, dvs ok.
Setter inn det gitte uttrykket for i(t) utledet over i den
opprinnelige diffligningen:
02.03.2009 INF 1410 17
tL
R
0
tL
R
0
tL
R)Iln())t(iln(
eI)t(i
eI
)t(iee 0
000iL
R
dt
di
2009
Generell form transientresponsen
Løsningen for i(t) for RL-kretsen kan generealiseres til en
mer generell form som også gjelder for RC-kretser
Antar en generell form på løsningen
Ved å sette denne inn i den opprinnelige ligningen får man
Både A=0 og s1=∞ vil være teoretisk løsninger på
ligningen,men ikke i kretsen siden det tilsvarer at responsen
er 0 til alle tider
02.03.2009 INF 1410 18
tsAe)t(i 1
00 111 11 tststs Ae)
L
Rs(e
L
RAeAs
2009
Generell form transientresponsen (forts)
For at løsningen skal være oppfylt må
Dessuten må
Ligningen kalles også for den karakteristiske
ligningen til differensialligningen
02.03.2009 INF 1410 19
L
Rs 1
tL
R
eI)t(i
0
0IA
01 L
Rs
Kretsens naturlige respons er derfor bestemt av den
(konstante) strømmen ved t=0, og forholdet mellom R og L
2009
Eksponensiell respons
Den naturlige responsen til en RL (og RC) krets er
eksponensiell på formen gitt i figuren under
To parametre bestemmer generelt kurven: I0 og R/L
R/L bestemmer hvor fort strømmen I0 faller mot 0
02.03.2009 INF 1410 20
tL
R
eI)t(i
0
2009
Eksponensiell respons (forts)
Jo større L/R (dvs jo mindre R/L), desto
lenger tid tar det for strømmen å falle
mot null
Et viktig mål på hvor fort strømmen
faller er å beregne hvor fort strømmen
vil bli null hvis den faller med samme
rate som ved t=0
Dette er det samme som den deriverte i
t=0
02.03.2009 INF 1410 21
L
Re
L
R
I
i
dt
d
0t
tL
R
0t0
2009
Eksponensiell respons (forts)
En kurve med stigningstall –R/L vil
krysse t-aksen i punktet τ=L/R
t kalles også for tidskonstanten til
kretsen
τ kan også tolkes som forholdet
mellom den initielle strømmen I0 og
den aktuelle strømmen I(t) når t= τ :
02.03.2009 INF 1410 22
367901
0
0
0
.eI
eI
I
)(i LR
2009
Eksponensiell respons (forts)
Etter t=2τ har den normaliserte
strømmen falt til 13,53% av
utgangspunktet, og etter t=3τ til
4,97 %
Etter t=10τ har den falt til ca
0,0045 %
Man regner at når strømmen er ca
1% av utgangsverdien er den
tilnærmet null, dvs etter t=5τ
02.03.2009 INF 1410 23
2009
Transientrespons i RC-kretser
Samme utfordring her som for RL-kretser
Vil se at formen på løsningen for RC-kretser blir lik den for RL-
kretser
02.03.2009 INF 1410 24
Antar at spenning lagret på kondensatoren
ved t0=0 er V0, dvs v(0)=V0
Vet ikke hvordan V0 har oppstått i fortiden, er
heller ikke relevant for hvordan responsen
blir (så lenge kilden er frakoblet)
2009
Transientrespons i RC-kretser (forts)
KCL for strømmen i kretsen gir at
Det tilsvarende uttrykket for RL-kretsen:
Kan derfor sette opp uttrykket for v(0) direkte:
02.03.2009 INF 1410 25
0RC
v
dt
dv0
R
v
dt
dvC
0iL
R
dt
di
RC
t
0
tRC
1
eVe)0(v)t(v
2009
Transientrespons i RC-kretser (forts)
Kan gjøre samme betraktninger om responsen til en RC krets
som en RL krets
02.03.2009 INF 1410 26
Ønsker også her å finne ut hvor
fort spenningen over
kondensatoren lades ut
Tidskonstanten for RC-kretsen er
gitt av τ=RC
2009
Eksempel
Skal finne spenningen over kondensatoren ved tiden
t=200µ etter at batteriet er koblet ut
02.03.2009 INF 1410 27
Må derfor først finne spenningen v for kretsen i b)
Siden det ikke går noe strøm gjennom kondensatoren vil
spenningen v være like batterispenningen, dvs v(0)=9 V
2009
Eksempel (forts)
Etter at batteriet er koblet fra reduseres kretsen i b) til
kretsen under
02.03.2009 INF 1410 28
For kretsen i c) er spenningen v(t) gitt av
Ved å sette inn kompnentverdiene får man at
RC
t
0
tRC
1
eVe)0(v)t(v
mV1.321Ve9)t(vs10*200
)F10*10)(42(
1 66
Recommended