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Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 1
Formelsammlung Technische Mechanik Ausgabe 2012
Lehrstuhl für Festigkeitslehre, Prof. Dr.-Ing. A. Bertram
Bemerkung. Alle Materialkonstanten in diesem Text sind lediglich als typische Werte aufzufassen. Sie können im speziellen Fall abweichen.
Vektorrechnung Definition: Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge, zwischen deren Elementen folgende Verknüpfungen definiert sind für alle Vektoren a , b , c und alle reellen Zahlen α , β : 1.) eine Addition (oder Summe) mit folgenden Regeln: a + b = b + a (kommutativ) (a + b) + c = a + (b + c) (assoziativ) a + o = a (Nullvektor) a + (–a) = o (Negativelement) 2.) eine Multiplikation mit einem Skalar (reelle Zahl) mit folgenden Regeln:
(α β) a = α (β a) (assoziativ) 1 a = a (Einselement)
α (a + b) = α a + α b (distributiv)
(α + β) a = α a + β a (distributiv) 3.) ein Skalarprodukt mit folgenden Regeln:
a ⋅ b = b ⋅ a (kommutativ)
(α a) ⋅ b = α (a ⋅ b) (assoziativ)
(a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c) (distributiv)
a ⋅ a > 0 für a ≠ o (positiv–definit)
Betrag oder die Länge eines Vektors v ⏐v⏐ = √ (v ⋅ v)
Winkel ϕ zwischen zwei von Null verschiedenen Vektoren v und w
(v ⋅ w) = ⏐v⏐⏐w⏐ cos ϕ .
Definition: Sind x1 , x2 , ... , xn , n > 0 , Vektoren und α1 , α2 , ... , αn reelle Zahlen, so heißt der Vektor α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn Linearkombination von x1 , x2 , ... , xn . Definition: Vektoren x1 , x2 , ... , xn heißen linear unabhängig, wenn der Nullvektor nur als die triviale Linearkombination dargestellt werden kann o = 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn . Andernfalls heißen die Vektoren x1 , x2 , ... , xn linear abhängig. Dimension eines Vektorraums: maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 2
Vektorbasis eines Vektorraums: {x1 , x2 , ... , xn} linear unabhängige Vektoren von der Anzahl der Dimension. Satz: Ist {x1 , x2 , ... , xn} eine Vektorbasis, so lässt sich jeder Vektor v eindeutig darstellen als Linearkombination der Basisvektoren v = v1 x1 + v2 x2 + ... + vn xn . Die Skalare v i heißen Komponenten des Vektors v bezüglich der Basis {x1 , x2 , ... , xn}. Orthonormalbasis (ONB): alle Basisvektoren sind
wechselseitig orthogonal ei ⋅ ej = 0 für i ≠ j
und normiert ei ⋅ ej = 1 für i = j Vektor- oder Kreuzprodukt im Dreidimensionalen zwischen zwei Vektoren v und w
v × w = – w × v (alternierend, antikommutativ)
(u + v) × w = u × w + v × w (distributiv)
α (v × w) = (α v) × w (assoziativ).
Winkel ϕ zwischen zwei von Null verschiedenen Vektoren v und w
⏐v × w⏐ = ⏐v⏐⏐w⏐ sin ϕ Die Länge des Ergebnisvektors entspricht dem Flächeninhalt des von v und w aufgespannten Parallelogramms. Für doppelte Kreuzprodukte gilt folgende Regel
a × (b × c) = b (a ⋅ c) – c (a ⋅ b) . Bezüglich einer rechtsorientierten ONB {e1 , e2 , e3} gelten
e1 × e1 = o e1 × e2 = e3 e1 × e3 = – e2
e2 × e1 = – e3 e2 × e2 = o e2 × e3 = e1
e3 × e1 = e2 e3 × e2 = – e1 e3 × e3 = o Spatprodukt im Dreidimensionalen zwischen drei Vektoren u , v und w
[u , v , w] : = u ⋅ (v × w) ist linear in allen drei Argumenten mit den Regeln [u , v , w] = [v , w , u] = [w , u , v] = – [v , u , w] = – [w , v , u] = – [u , w , v] . Darstellung bezüglich einer rechtsorientierten Orthonormalbasis: Addition v + w = (v1 + w1, v2 + w2, ... , vn + wn)
Multiplikation mit Skalar α v = (α v1 , α v2 , ... , α vn )
Skalarprodukt v ⋅ w = v1 w1 + v2 w2 + ... + vn wn
Kreuzprodukt v × w = (v2 w3 – v3 w2) e1 – (v1 w3 – v3 w1) e2 + (v1 w2 – v2 w1) e3 Spatprodukt [u , v , w] = (v2 w3 – v3 w2) u1 – (v1 w3 – v3 w1) u2 + (v1 w2 – v2 w1) u3
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 3
Kraftsysteme
Kraft: (F, r) F Kraftvektor in Richtung der Kraft und von der Länge proportional zur Kraft-Größe r(X) Ortsvektor des Angriffspunktes im Körperpunkt X Definition: Moment der Kraft (F, r) bezüglich des Drehpunkts X mit Ortsvektor rX
MX : = (r – rX) × F . VARIGNONs Momentenprinzip: Ist MX das Moment einer Kraft (F, r) bezüglich X und MY dasjenige derselben Kraft bezüglich Y , so gilt MY = MX + (rX – rY) × F.
(rX – rY) × F heißt Versetzungsmoment. Definition: Zwei Kraftsysteme {(F1 , r1) , (F2 , r2) , ... , (FK , rK)} und {(F1 , r1) , (F2 , r2) , ... , (FL , rL)} heißen (statisch) äquivalent, falls die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: KÄ) die Summen der Kraftvektoren sind gleich F1 + F2 + ... + FK = F1 + F2 + ... FL MÄ) die Summen der Momente der Kräfte bezüglich eines Punktes X sind gleich
MRX : = K
i 1∑=
[(ri – rX) × Fi] = L
i 1∑=
[(ri – rX) × Fi] = : MRX .
Definition: Die resultierende Kraft eines Kraftsystems ist diejenige Kraft (FR , rR) , die zu dem Kraftsystem äquivalent ist, d. h.
FR = K
i 1∑=
Fi
und MRX : = (rR – rX) × FR = K
i 1∑=
[(ri – rX) × Fi] .
Definition: Das Paar aus einer Kraft und einem freien Moment {(FR , rR) , M} heißt äquivalentes Lastsystem zu einem Kraftsystem, falls gelten
FR = K
i 1∑=
Fi resultierender Kraftvektor
M + rR × FR = K
i 1∑=
ri × Fi M : freies Moment.
Definition: Ein Kraftsystem heißt Gleichgewichtssystem, falls gelten
FR = K
i 1∑=
Fi = o Kräftegleichgewicht
MRO = K
i 1∑=
(ri – rO) × Fi = o Momentengleichgewicht bez. O (beliebig)
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 4
Gleichgewichtsbedingungen komponentenweise räumlich FRx = F1x + F2x + ... + FKx = 0 (1) FRy = F1y + F2y + ... + FKy = 0 (2) FRz = F1z + F2z + ... + FKz = 0 (3)
MROx = 0 MROy = 0 MROz = 0 (4÷6) oder eben FRx = F1x + F2x + ... + FKx = 0 (1) FRy = F1y + F2y + ... + FKy = 0 (2) MROz = 0 (3) Axiom: Bei einem Körper, der sich in Ruhe befindet, ist das Lastsystem ein Gleichgewichts-system.
Gebietsintegrale Bestimmtes Integral nach RIEMANN
F ab : =
nx 0
lim
Δ→ ∞→
i
n
=∑
1f (ξi) Δxi =
a
b
∫ f (x) dx = F(b) – F(a) .
Sind die Funktion und die Grenzen von einer zweiten Variablen y abhängig
F ( )( )ybya =
( )
( )∫yb
yaf (x , y) dx ,
so lautet die Ableitung des Integrals nach dieser zweiten Variablen
dyd
( )
( )∫yb
yaf (x , y) dx =
( )
( )∫yb
ya
( )y
y,xf∂
∂ dx + ( )dy
ydb f (b(y) , y) – ( )dy
yda f (a(y) , y)
• Linienintegral
F(L ) = ∫L
f (s) ds = n
lim→∞→ΔLi 0
i
n
=∑
1f (ξi) ΔLi =
x
x
u
o
∫ f (x) l (x) dx
f (x) = Δ
Δ ΔΔL
F LL→0
lim( )
• Flächenintegral
F(A ) = ∫A
f (x , y) dA =
in
A 0
lim
Δ→∞→
i
n
=∑
1f (ξi , ηi) ΔAi =
( )
( )
oo
u u
x yy
y x y∫ ∫ f (x , y) a (x , y) dx
dy
f (x , y) = Δ
Δ ΔΔA
i
ii
F AA→0
lim( )
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 5
f y xu(y) xo(y) yo xu(y) y xo(y) yo A yu A yu x x
• Volumenintegral
F(V ) = ∫V
f (x , y , z) dV =
inV 0
lim
Δ→ ∞→
i
n
=∑
1f (ξi , ηi , ζi) ΔVi
= ∫ ∫ ∫o
u
o
u
o
u
z
z
)z(y
)z(y
)z,y(x
)z,y(x f (x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz
f (x , y , z) = Δ
Δ ΔΔV
F VV→0
lim( )
Integration über Vektorfelder Komponentendarstellung des Vektorfeldes f = f 1 e1 + f 2 e2 + f 3 e3 f i Skalarfelder, die von 1, 2 oder 3 KOO abhängen
• Linienintegral
F(L ) = ∫L
f ds = [x
x
u
o
∫ f 1(x) l(x) dx] e1
+ [x
x
u
o
∫ f 2(x) l(x) dx] e2
+ [x
x
u
o
∫ f 3(x) l(x) dx] e3
• Oberflächenintegral
F(A ) = ∫A
f dA = [ ∫∫)y(x
)y(x
y
y
o
u
o
u
f 1(x , y) a(x , y) dx dy] e1
+ [y
y
x y
x y
u
o
u
o
∫ ∫( )
( )f 2(x , y) a(x , y) dx dy] e2
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 6
+ [y
y
x y
x y
u
o
u
o
∫ ∫( )
( )f 3(x , y) a(x , y) dx dy] e3
• Volumenintegral
F(V ) = ∫V
f dV = [z
z
y z
y z
x y z
x y z
u
o
u
o
u
o
∫ ∫ ∫( )
( )
( , )
( , ) f 1(x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz] e1
+ [z
z
y z
y z
x y z
x y z
u
o
u
o
u
o
∫ ∫ ∫( )
( )
( , )
( , ) f 2(x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz] e2
+ [z
z
y z
y z
x y z
x y z
u
o
u
o
u
o
∫ ∫ ∫( )
( )
( , )
( , ) f 3(x , y , z) v(x , y , z) dx dy dz] e3
Masse eines Körper m(V ) = ∫V
ρ dV
(Massen-)Dichte ρ (X) = dmdV
: = ΔV → 0
lim ΔΔ
mV
für einige ausgewählte Materialien bei Raumtemperatur in g/cm3 = 1000 kg/m3
Aluminium 2,7 Eisen 7,9 Kupfer 8,9 Glass 2,6 Eichenholz 0,9 Buchenholz 0,7 Tannenholz 0,5
Marmor 2,7
Wassereis bei 0°C 0,917 NEWTONsches Gravitationsgesetz: Zwei Massen m1 und m2 im Abstand r ihrer Mittel-punkte ziehen sich an mit einer Kraft der Größe
FG = Γ m mr1 2
2
mit der universellen Gravitationskonstante Γ = 6,67 10–11 N m2 kg–2. Gewichtskraft im Gravitationsfeld der Erde
FG = Γ 2)( hRmM
E
E
+ e↓ ≈ 2
E
E
RMΓ m e↓ = g m e↓
mit m Masse des Körpers ME Erdmasse RE mittlerer Erdradius h Höhe des Körpers über Erdnullniveau (für h << RE )
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 7
g : = 2E
E
RMΓ irdische Gravitationskonstante (meistens als 9,81 m/s2 angenommen)
e↓ lotrechter Einheitsvektor.
Volumenmittelpunkt des Körpers rV : = 1V ∫
Vr dV
Massenmittelpunkt des Körpers rM : = 1m ∫
Vr dm
Schwerpunkt des Körpers rS : = G
1F ∫
Vr g dm
komponentenweise rVi : = 1
V ∫V
xi dx1 dx2 dx3 , i = 1, 2, 3
rMi : =
m1
∫V
xi ρ dx1 dx2 dx3 , i = 1, 2, 3
rSi : =
G
1F ∫
Vxi g ρ dx1 dx2 dx3 , i = 1, 2, 3
Satz: Besitzt ein Körper eine Symmetrie-Achse oder -Ebene bezüglich seiner Form und seiner Massenverteilung, so liegt der Massenmittelpunkt auf dieser. Satz: Ist ein Körper aus n Teilkörpern mit den Massen mi und den Massenmittelpunkten rMi zusammengesetzt, so gilt für dessen Massenmittelpunkt
rM = 1
1mmi
i
nMi
=∑ r mit m = mi
i
n
=∑
1.
Reibung
Haftreibungsgesetz: Zwei Körper in Kontakt haften aneinander, solange für die tangentiale (Haft-) Reibungskraft R gilt |R| < μ0 N mit der Haftreibungszahl μ0 > 0 und der Normalkraft N .
Stahl auf Stahl μ0 = 0,15
Holz auf Holz μ0 = 0,4 ÷ 0,6
Holz auf Metall μ0 = 0,6 ÷ 0,7
Gummi auf Asphalt μ0 = 0,7 ÷ 0,8 COULOMBsches Gleitreibungsgesetz: Die Größe der (Gleit-) Reibungskraft R ist proportional zur Andrückkraft N
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 8
|R| = μ N mit der (Gleit-) Reibungszahl μ > 0 .
Stahl auf Stahl μ = 0,09
Holz auf Holz μ = 0,2 ÷ 0,4
Holz auf Metall μ = 0,4 ÷ 0,5
Gummi auf Asphalt μ = 0,5 ÷ 0,6
Auflager Lagerungen für ebene Tragwerke (Auswahl)
Gleitlager(einwertig)
gelenkiges Lager(zweiwertig)
Pendelstütze(einwertig)
Einspannung(dreiwertig)
Symbol Reaktionskräfte
Schiebehülse(zweiwertig)
Parallelführung(zweiwertig)
Lagerungen für räumliche Tragwerke (Auswahl)
Gleitlager(einwertig)
gelenkiges Lager(dreiwertig)
Loslager(vierwertig)
Einspannung(sechswertig)
Symbol Reaktionskräfte
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 9
Randbedingungen (ebener Fall)
N
freies Ende
gelenkiges Lager
ParallelführungSchiebehüls
Einspannung
Q M0 0 0
≠0
≠0
≠00
≠0
≠0
≠0 ≠0
≠0≠0
0
00
Schnittlasten an Stäben
F(x) – M(x) x M(x) – F(x) positives Schnittufer negatives Schnittufer Schnittkraft F(x) = Fx(x) ex + Fy(x) ey + Fz(x) ez = N(x) ex + Qy(x) ey + Qz(x) ez Schnittmoment M(x) = Mx(x) ex + My(x) ey + Mz(x) ez mit N = Fx Normalkraft (-Komponente) Qy = Fy Querkraft (-Komponente) in y-Richtung Qz = Fz Querkraft (-Komponente) in z-Richtung Mx axiales oder Torsionsmoment My Biegemoment (-Komponente) in y-Richtung Mz Biegemoment (-Komponente) in z-Richtung. ebenes Problem ( x und z in die Zeichenebene) N = Fx Normalkraft (-Komponente) Q = Fz Querkraft (-Komponente) in z-Richtung M = My Biegemoment (-Komponente) in y-Richtung. Gestrichelte-Faser-Konvention dient zur Festlegung des Koordinatensystems Qz Qz My My y x N N z
negatives Schnittufer positives Schnittufer
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 10
Merkregel: ein positives Biegemoment führt zu einer Stabkrümmung, die die gestrichelte Faser streckt. Schnittlasten-Differentialgleichungen N(x) ′ = – n(x)
My(x) ′′ = Qz(x) ′ = – qz(x)
Mz(x) ′′ = – Qy(x) ′ = qy(x)
Seile und Bögen
q(x) l x w(x) h z
Bogenlänge des Seils L = ∫L
ds = 0
l
∫ √[1 + w(x)′2] dx
N(0)
q(x) x w(x) H(x) N(x) z V(x) Seil-Differentialgleichungen H(x) = H(0) also konstant
V(x)′ = – q(x)
w(x)″ = – ( )q xH
Seilreibung S(α)′ = μ0 S(α) Seil-Reibungs-Differentialgleichung
S(α) = So e μ0 α allgemeine Lösung
α : Umschlingungswinkel in Bogenmaß
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 11
Zug- und Druckstäbe
Normalspannung σ (x) : = ( )( )xAxN
limA Δ
ΔΔ 0→
Bemessung nach zulässiger Normalspannung
Stahl St37 σzul+ = 140 ÷ 180 MPa
Stahl St52 σzul+ = 210 ÷ 270 MPa
Spannstähle σzul+ = ÷ 900 MPa
Aluminium σzul+ = 100 MPa
Kupfer σzul+ = 40 MPa
Beton σzul– = 8 ÷ 15 MPa
Holz in Faserrichtg. σzul = 6 ÷ 14 MPa
Längsdehnung ε (x) : = u(x)′ = ( )du x
dx
HOOKEsches Gesetz σ = E ε mit dem Elastizitätsmodul E von der Dimension [Spannung] Eisen und Stahl E = 210 GPa Aluminium E = 70 GPa Kupfer E = 120 GPa Messing E = 100 GPa Nickel E = 200 GPa Zinn E = 50 GPa Glas E = 70 GPa Beton E = 30 GPa
Holz E = 8 ÷ 16 GPa (Durchschnittswerte bei Raumtemperatur) GPa = 109 Pa = 109 N/m2
Wärmedehnung εT = α Δθ mit
εT Wärmedehnung [dimensionslos]
Δθ Temperaturdifferenz [Grad Kelvin K]
α thermischer Ausdehnungskoeffizient [K –1]
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 12
Aluminium α = 23 ⋅ 10–6 K–1
Blei α = 29,4 ⋅ 10–6 K–1
Eisen, Stahl α = 12 ⋅ 10–6 K–1
Kupfer α = 16,8 ⋅ 10–6 K–1
Nickel α = 12,8 ⋅ 10–6 K–1
Stahl α = 11,7 ⋅ 10–6 K–1
Zinn α = 27 ⋅ 10–6 K–1
Messing α = 18 ⋅ 10–6 K–1
Beton α = 10 ⋅ 10–6 K–1
Glas α = 0,5 ⋅ 10–6 K–1
Keramik α = 4 ⋅ 10–6 K–1
Holz α = 3 ÷ 9 ⋅ 10–6 K–1
thermoelastisches Gesetz ε = σE
+ α Δθ für Stäbe u′ = NEA
+ α Δθ
Balkenbiegung BERNOULLISCHE Hypothese Die Balkenquerschnitte bleiben eben und senkrecht zur Balkenachse. Δx0 z Δx Δx0 R<0 z R>0 Δx0 z positiv gekrümmt ungekrümmt negativ gekrümmt Beziehung zwischen Spannung und Biegemoment
σ (x , z) = M xI x
y
y
( )( )
z
Biegelinien-Differentialgleichung My(x) = – E(x) Iy(x) w(x)′′ Flächenträgheitsmomente
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 13
• axiale Trägheitsmomente Iy : = ∫A
z2 dA Iz : = ∫A
y2 dA
• Deviationsmomente Iyz : = Izy : = – ∫A
y z dA
Beispiele (bezogen auf Flächenmittelpunkte): b 2r y h y h y h y z b b z z z z Rechteckquerschnitt
Iy = b h3
12 Iz =
h b3
12 Iyz = 0
rechtwinkliger Dreiecksquerschnitt
Iy = 3b h
36 Iz =
3h b36
Iyz = 2 2h b72
gleichschenkliger Dreiecksquerschnitt
Iy = b h3
36 Iz =
48hb3
Iyz = 0
Kreisquerschnitt
Iy = Iz = π r4
4 Iyz = 0
Superpositionsprinzip der Verschiebungen für linear-elastische Systeme Die Verschiebungen u(x) und w(x) in jedem Punkt infolge einer Kombination von Lasten sind gleich der Summe der Verschiebungen infolge jeder einzelnen Last. Proportionalität für linear-elastische Systeme Die α-fache Last bewirkt die α-fachen Verschiebungen α u(x) und α w(x) . Prinzip von de SAINT-VENANT In hinreichender Entfernung vom Angriffsbereich eines Lastsystems hängt dessen Wirkung auf die mechanischen Größen nur noch von dessen statisch Resultierenden ab. Satz von STEINER Die Trägheitsmomente des Gesamtquerschnitts ergeben sich aus denjenigen der Teilquerschnitte gemäß
Iy = i
n
=∑
1(Iyi + z0i
2 Ai)
Iz = i
n
=∑
1(Izi + y0i
2 Ai)
Iyz = i
n
=∑
1(Iyzi – y0i
z0i Ai)
mit
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 14
{y0i , z0i} Koordinaten des Teilschwerpunktes Si von Ai bez. S
Ai Flächeninhalt des Teilquerschnitts Ai
Iyi = i
∫A
zi2 dA Trägheitsmomente der Teilquerschnitte Ai
Izi = i
∫A
yi2 dA bezogen auf deren
Iyzi = –i
∫A
yi zi dA Flächenschwerpunkte
Transformationsformeln bei Koordinatendrehung
y = r cosϕ + s sinϕ
z = – r sinϕ + s cosϕ
Iy = ½ (Ir + Is) + ½ (Ir – Is) cos 2ϕ + Irs sin 2ϕ
Iz = ½ (Ir + Is) – ½ (Ir – Is) cos 2ϕ – Irs sin 2ϕ
Iyz = – ½ (Ir – Is) sin 2ϕ + Irs cos 2ϕ Definition: KOO-Achsen, bezüglich derer Iyz = 0 ist, heißen Hauptträgheitsachsen (HTA) des Querschnitts. Hauptträgheitsachsen lassen sich für jeden Querschnitt finden. Achsen, die senkrecht auf Hauptträgheitsachsen stehen, sind ebenfalls Hauptträgheitsachsen. Der Winkel zwischen einem beliebigen KOOS {x, r, s} und Hauptträgheitsachsen ist
ϕ0 = ½ arctan2I
I Irs
r s−
Hauptträgheitsmomente I H1,2 = ½ (Ir + Is) ± {¼ (Ir – Is)2 + Irs2}½
Schiefe Biegung Biegelinien-Differentialgleichungen
My = E Iyz v ′′ – E Iy w ′′
Mz = E Iz v ′′ – E Iyz w ′′
oder äquivalent E v ′′ = zyyz
yzyyz
III
IMIM
−
+−2 E w ′′ =
zyyz
yzzzy
III
IMIM
−
−2
Normalspannungen im Querschnitt σ (x, y, z) = zyyz
yzzzyyzyyz
III
z)IMIM(y)IMIM(
−
−−−2
Bezüglich Hauptträgheitsachsen (Iyz ≡ 0) gelten
My = – E IyH
w ′′ Mz = E IzH
v ′′ und
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 15
σ (x , y , z) = ( ) ( ) y z
H Hy z
M x M xz yI I
−
Knickstäbe
1. Ordnung 3. Ordnung o. E
Fk
2. Ordnung mit Exzentrizität
und ohne w(l)
kleinste kritische Last Fk = 2
2 2red
EI π EI l l
α⋅ =
mit der reduzierten Knicklänge lred = α
π l
x x
F FF Fw(l) w(l)
w(x) w(x)
Q QM M
N N
aa
Fall Iohne Exzentrizitätmit Exzentrizität
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 16
EULER-Fall
Fk = 2
2
4lEIπ 2
2
lEIπ
20 192
, EIl
2
24 EI
lπ
α = π 2
4 π 2 transz. 4π 2
α ≈ 2,46 9,87 20,19 39,48 l
lred = 2 1 ≈ 0,7 1/2
Spannungs-Analyse
Spannungsmatrix S : =
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
Spur der Spannungsmatrix s : = σxx + σyy +σzz BOLTZMANNsches Axiom: Die Schubspannungen in einer j-Fläche in i-Richtung sind gleich den Schubspannungen in einer i-Fläche in j-Richtung. σxy = σyx
σxz = σzx σyz = σzy
F
x
Fall IV
x
F
x
Fall II
F
x
Fall III
F
l
Fall I
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 17
y
σyy + yyy
∂
∂σ(½ dy) + ...
σxy + yxy
∂
∂σ(½ dy) + ...
dz
σyx + xyx
∂
∂σ(–½ dx) + ... σyz +
zyz
∂
∂σ(½ dz) + ... σyx +
xyx
∂
∂σ(½ dx) + ...
x
σxx + ∂σ∂
xx
x(–½ dx) + ... σxz +
zxz
∂∂σ (½ dz) + ... dy σxx + ∂σ
∂xx
x(½ dx) + ...
z
dx
σxy + yxy
∂
∂σ(–½ dy) + ...
σyy + yyy
∂
∂σ(–½ dy) + ...
lokale Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte
xxx
σ∂∂
+ xy
yσ∂
∂ + xz
zσ∂∂
+ f Mx ρ = 0
xyx
∂
∂σ +
yyy
∂
∂σ +
zyz
∂
∂σ + f My ρ = 0
xzx
∂∂σ +
yzy
∂
∂σ +
zzz
∂∂σ + f Mz ρ = 0
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 18
ebene Koordinaten-Transformation η y
dx = dη sin ϕ
dy = dη cos ϕ ϕ
dz = dζ σyx σηξ σξξ
σxx dy ex = cos ϕ eξ – sin ϕ eη dη ξ
dx ϕ x ey = sin ϕ eξ + cos ϕ eη σxy σyy ez = eζ Transformations-Formeln des ebenen Spannungszustandes bei KOO-Drehung
σξξ = ½ (σxx + σyy) + ½ (σxx – σyy) cos(2ϕ) + σxy sin(2ϕ)
σηη = ½ (σxx + σyy) – ½ (σxx – σyy) cos(2ϕ) – σxy sin(2ϕ)
σηξ = ½ (σyy – σxx) sin(2ϕ) + σxy cos(2ϕ) MOHRscher Kreis τ
V F σξξ 2ϕ 2ϕ0 σξη σxy σH
ξξ M O V´ F´ σH
ηη σ
σ σxx yy+
2
σ σxx yy−
2
Kreismittelpunkts-KOO τM = 0 ; σM = σ σxx yy+
2
Radius r = σ σ
σxx yyxy
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
2
22
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 19
Hauptspannungen σHξξ , σH
ηη = ½(σxx + σyy) ±σ σ
σxx yyxy
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
2
22
Winkel mit HSA ϕ0 = ½ arctan 2σ
σ σxy
xx yy−
extremale Schubspannungen τextr. = ± r
Deformationsgeometrie Deformationen
εxx : = xu
∂∂ εyy : = v
y∂∂
εzz : = zw
∂∂
εxy = εyx : = ½ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
xv
yu
εyz = εzy : = ½ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
yw
zv
εxz = εzx : = ½ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
xw
zu
Dehnungsmatrix
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
Spur der Dehnungsmatrix e : = εxx + εyy + εzz
ebener Verzerrungszustand in x-y-Ebene εxz = εyz = εzx = εzy = εzz = 0 Transformations-Formeln des ebenen Deformationszustandes bei KOO-Drehung
εξξ = ½ (εxx + εyy) + ½ (εxx – εyy) cos(2ϕ) + εxy sin(2ϕ)
εηη = ½ (εxx + εyy) – ½ (εxx – εyy) cos(2ϕ) – εxy sin(2ϕ)
εηξ = ½ (εyy – εxx) sin(2ϕ) + εxy cos(2ϕ)
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 20
Elastizitätstheorie thermoelastisches HOOKEsches Gesetz
εxx = 1 + ν
E[σxx –
νν1 +
s ] + α Δθ
εyy = 1 + ν
E [σyy –
νν1 +
s ] + α Δθ
εzz = 1 + ν
E[σzz –
νν1 +
s ] + α Δθ
εxy = 1 + ν
E σxy εyz =
1 + νE
σyz εzx = 1 + ν
Eσzx
inverses HOOKEsches Gesetz
σxx = 2G [εxx + ν
ν1 2−e –
11 2
+−
νν
α Δθ]
σyy = 2G [εyy + ν
ν1 2−e –
11 2
+−
νν
α Δθ]
σzz = 2G [εzz + ν
ν1 2−e – 1
1 2+
−vv
α Δθ]
σxy = 2G εxy σxz = 2G εxz σyz = 2G εyz
Querkontraktionszahl (dimensionslos) ν : = längs
quer
εε
−
Stahl ν = 0,34
Aluminium ν = 0,32 ÷ 0,35
Kupfer ν = 0,33 ÷ 0,36
Glas ν = 0,21 ÷ 0,27
Gummi ν = 0,49 ÷ 0,5
Schubmodul G : = E
2 1( )+ν Kompressionsmodul K : =
E3 1 2( )− ν
spezifische elastische Energie für HOOKEsches Material
w(εij) = 1/2{2G [ε11 + νν1 2−
(ε11 + ε22 + ε33)] ε11
+ 2G [ε22 + νν1 2−
(ε11 + ε22 + ε33)] ε22
+ 2G [ε33 + νν1 2−
(ε11 + ε22 + ε33)] ε33
+ 2G [ε122 + ε23
2 + ε312 + ε21
2 + ε322 + ε13
2]}
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 21
Zerlegung der Energie w = wK + wG
• in Kompressions- oder Dilatationsenergie
wK = – 1/2 p e = 1/6 (σxx + σyy + σzz) (εxx + εyy + εzz)
• und Gestaltänderungsenergie
wG = 1/2i j, =∑
1
3σ 'ij εij = 1
4G i j, =∑
1
3σ 'ij2 (Deviatorspannungen)
= 1
12G[(σxx – σyy)2 + (σyy – σzz)2 + (σzz – σxx)2 + 6(τxy
2 + τxz2 + τyz
2)]
Federenergie W = ½ c x2 ⇒ F = c x = dWdx
⇒ Li = W • = dWdx
x• = F x•
Formänderungsenergie des Biegebalkens ohne Schub
W = ∫L
0
1/2 E (A u' 2 + Iy w'' 2 + Iz v'' 2) dx = 1
2
2 2 2
0 ENA
MI
MI
dxy
y
z
z
L+ +
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∫
mit der
• Dehnungsenergie 12 0
L∫
NEA
2 dx =
12 0
L∫ N u′ dx =
12 0
L∫ E A u′2 dx
• Biegeenergie 12 0
L∫
MEI
y
y
2
dx = – 12 0
L∫ My w ′′ dx =
12 0
L∫ E Iy w ′′2 dx
• Biegeenergie 12 0
L∫
MEI
z
z
2 dx =
12 0
L∫ Mz ν ′′ dx =
12 0
L∫ E Iz ν ′′2 dx
Schubspannungen am Balken bei ebener Biegung
τzx(x, z) =
z y
y
Q ( x ) S ( z )I b( z )
mit dem statischem Moment
Sy(z) : = –3
∫A
z dA = –z
z
0
∫y z
y z
1
2
( )
( )∫ z dy dz =
z
z0
∫y z
y z
1
2
( )
( )∫ z dy dz
Schubspannungsverteilung am Rechteckvollquerschnitt mit Höhe h
τzx(x , z) = z3 Q (x)2A
2z1
h / 2
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
und am Vollkreisquerschnitt mit Radius R
τzx(x , z) = z4 Q (x)3A
2z1
R
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 22
spez. Scherenergie w = ½ (τxz εxz + τzx εzx) = ½ τ γ = ½ G γ 2 = ½ τ 2 / G
Scherenergie des Stabes W = ∫V
w dV = β
2G A
x
L
=∫0
Qz2 dx
mit der dimensionslosen Formzahl β : = AI y
2 ∫A
2y
2S ( z )
b( z ) dA
β = 6/5 für Rechteckquerschnitte
β = 10/9 für Kreisquerschnitte
Schubmittelpunkt ys = 2Iy
0
1s∫ AF (s) b(s) z(s) ds zs = – 2
Iz
0
1s∫ AF (s) b(s) y(s) ds
mit AF (s) : = 0
s∫ 1/2 ex ⋅ r(s) × et(s) ds
Satz: Greift die Resultierende der äußeren Kräfte an einer Stelle x des Stabes im Schubmittelpunkt an, so erzeugt sie keine Torsion.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 23
DE SAINT-VENANTschen Torsionstheorie ϑ : Torsions- oder Drillwinkel
planare Verschiebungen v = – z ϑ (x) w = y ϑ(x)
Drillung D : = ϑ ′ = ddxϑ
BREDTsche Torsionstheorie für einzellige Hohlstäbe mit dünnen Wänden
et en
rp r⊥
Am
Schubfluss t : = τsx(s) b(s)
1. BREDTsche Formel τsx(s) = τxs(s) = M
A b st
m2 ( ) mit Am : = 1/2 ∫ r⊥ ds
2. BREDTsche Formel ϑ ′ = M
G It
t mit dem Torsionsflächenmoment It : =
4 2Ads
b s
m
( )∫
dickwandige und Vollprofile
dMt = G D dIt mit dIt : = 4 2Adsdb
m
∫ τxs =
dMA db
t
m2
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 24
Mt = ∫A
dMt = G D ∫A
dIt = G D It mit It = ∫A
dIt
Kreisquerschnitte It = ∫A
d It = r
r
i
a
∫ 2 π r3 dr = π2
(ra4 – ri
4)
Drillung für Kreisquerschnitte D = ( )2
4 4Mt
r Ga iπ r−
Schubspannungen für Kreisquerschnitte τxs = MI
rt
t
dünnwandige Vollquerschnitte mit parallelen Rändern
Am ≈ 2 q h It = b h3
3 D =
33
MGb h
t
τxs = 2 G D q = 6 Mb h
t3 q =
2 MI
qt
t
zusammengesetzte dünnwandige Vollquerschnitte Mt = G D It mit It = It1 + It2 + ... + Itn
spez. Torsionsenergie für dünnwandige Hohlquerschnitte w = MG A b
t
m
2
2 28
globale Torsionsenergie des Torsionsstabes zwischen x1 und x2 für dünnwandige Hohlquerschnitte und für dünnwandige Vollquerschnitte mit parallelen Rändern W = ∫
Vw dV = 1/2 Mt D (x2 – x1)
Festigkeits-Hypothesen • Normalspannungs-Hypothese
σzul – ≤ σmax ≤ σzul
+
• Schubspannungs-Hypothese
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 25
τmax ≤ τzul
• Formänderungsenergie-Hypothese
wmax ≤ wzul
• Gestaltänderungsenergie-Hypothese
wG max ≤ wG zul ⇒ ⏐σ⏐ ≤ G zul6 G w bei einachsigem Zug
Kinematik der Punktbewegungen
Bahn eines (bewegten) Punktes P r(t) : = OP→
= x1(t) e1 + x2(t) e2 + x3(t) e3
Geschwindigkeit v(t) : = r(t)• = ( )d tdtr = x1(t)• e1 + x2(t)• e2 + x3(t)• e3
Beschleunigung a(t) : = v(t)• = r(t)•• = x1(t)•• e1 + x2(t)•• e2 + x3(t)•• e3
Bogenlänge s tt
0 : =
t
t
0
∫ v(τ) dτ
Zerlegung der Beschleunigung a(t) = at(t) + an(t)
in Tangentialbeschleunigung at(t) : = (a ⋅ et) et = s•• et = v• et
und Normal- oder Zentripetalbeschleunigung an(t) : = a(t) – at(t) = s•2
ρ en =
v2
ρ en
Normalen(einheits)vektor en(t) : = aa
n
n
Binormalen(einheits)vektor eb(t) : = et (t) × en (t)
Krümmung der Bahnkurve κ (s) : = ( )
ee
ttd sds
′ =
Krümmungsradius ρ (s) : = 1( )κ s
t
=′
1e
Zylinderkoordinaten {r , ϕ , z}
r = x2 2 y+ x = r cos ϕ
ϕ = arc tan y/x y = r sin ϕ
Ortsvektor r(t) = r(t) er(ϕ (t)) + z(t) ez
Geschwindigkeit v(t) = r• er + r ϕ• eϕ + z• ez
Beschleunigung a(t) = (r•• – r ϕ•2) er + (2r• ϕ• + r ϕ•• ) eϕ + z•• ez
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 26
Relativbewegung
P e*
3 e3 r(t) r*(t) e*
2 O r0(t) O* e1 e2 e*
1 (Absolut-) Geschwindigkeit v = vr + vf
mit Relativgeschwindigkeit vr : = i=∑
1
3x*
i• e*
i
und Führungsgeschwindigkeit des bewegten BZS
vf : = r0• + ω × r*
(Absolut-) Beschleunigung a(t) = af + ac + ar mit
• Führungsbeschleunigung af : = r0•• + ω• × r* + ω × (ω × r*)
(Translations- + Quer- + Zentripetalbeschleunigung)
• CORIOLIS-Beschleunigung ac : = 2 ω × vr
• Relativbeschleunigung ar : = i=∑
1
3x*
i•• e*
i
Kinetik des starren Körpers Seien O raumfester und P, Q körperfeste Punkte
Ortsvektor rP = OP OQ QP→ → →
= + = rQ + x
EULERsche Geschwindigkeitsformel
vP = vQ + ω × QP→
ω Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung aP = aQ + ω• × x + ω × (ω × x) mit aQ Bezugsbeschleunigung
ω• × x Winkelbeschleunigung
ω × (ω × x) Zentripetalschleunigung
Definition: Ein Punkt Mp mit vMp ≡ o heißt Momentanpol (Momentanzentrum). Satz vom Momentanpol: Das Geschwindigkeitsfeld eines starren Körpers bei einer ebenen Bewegung läßt sich zu jedem Zeitpunkt als Rotation um einen Punkt Mp, den Momentanpol, auffassen, falls ω ≠ 0 , gemäß vP = ω e3 × x .
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 27
allgemeiner Fall reines Gleiten reines Rollen ϕ
Mp y e2
e1 vQ Q Mp Massenträgheitsmomente
axiale Θ11 : = ∫V
(x22 + x3
2) dm = ∫V
r⊥12 dm mit r⊥1
: = √ (x2
2 + x32)
Θ22 : = ∫V
(x12 + x3
2) dm = ∫V
r⊥22 dm mit r⊥2
: = √ (x3
2 + x12)
Θ33 : = ∫V
(x12 + x2
2) dm = ∫V
r⊥32 dm mit r⊥3
: = √ (x1
2 + x22)
deviatorische Θ12 : = – ∫V
x1 x2 dm = : Θ21
Θ23 : = – ∫V
x2 x3 dm = : Θ32
Θ13 : = – ∫V
x1 x3 dm = : Θ31
Beispiele
• Quader mit konstanter Massendichte ρ und Seitenlängen a , b , c in den Richtungen 1, 2, 3
Θ11 = m12
(b2 + c2) Θ12 = Θ23 = Θ13 = 0
• Kreisringzylinder mit Länge l , Außenradius ra , Innenradius ri
Θaxial = 2m (ra
2 + ri2)
Θquer = 4m (ra
2 + ri2 + 1/3 l 2)
• schlanker Stab der Länge l mit Achsenrichtung in x
Θyy = Θzz = m12
l 2 Θxy = Θyz = Θxz = 0
• dünne Kreisscheibe mit Radius r und x senkrecht zur Scheibe
Θxx = 2m r 2 Θyy = Θzz =
4m r 2 Θxy = Θyz = Θxz = 0
• Hohlkugel mit Außenradius ra , Innenradius ri
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 28
Θxx = Θyy = Θzz = ( )( )3
i3
a
ia
rr5rrm2
−− 55
Θxy = Θyz = Θxz = 0
STEINERsche Gleichungen Θ0ii = r⊥i
2 m + ΘMii
Θ0ij = – rMi rMj m + ΘMij für i ≠ j
EULERsche Kreiselgleichungen bezogen auf Massenmittelpunkt und körperfestes System
M1 = Θ11 ω 1• + Θ12 ω 2
• + Θ13 ω 3•
– (Θ12 ω 1 + Θ22 ω 2 + Θ23 ω 3) ω 3 + (Θ13 ω 1 + Θ23 ω 2 + Θ33 ω 3) ω 2
M2 = Θ12 ω 1• + Θ22 ω 2
• + Θ23 ω 3•
+ (Θ11 ω 1 + Θ12 ω 2 + Θ13 ω 3) ω 3 – (Θ13 ω 1 + Θ23 ω 2 + Θ33 ω 3) ω 1
M3 = Θ13 ω 1• + Θ23 ω 2
• + Θ33 ω 3•
– (Θ11 ω 1 + Θ12 ω 2 + Θ13 ω 3) ω 2 + (Θ12 ω 1 + Θ22 ω 2 + Θ23 ω 3) ω 1
EULERsche Kreiselgleichungen bezogen auf Massenmittelpunkt und HTA
MR1 = Θ H1 ω1• + (Θ H3 – Θ H2) ω 2 ω 3
MR2 = Θ H2 ω 2• + (Θ H1 – Θ H3) ω 3 ω 1
MR3 = Θ H3 ω 3• + (Θ H2 – Θ H1) ω 1 ω 2
kinetische Energie des starren Körpers K = Ktrans + Krot (translatorisch + rotatorisch) mit Ktrans : = ½ vM
2 m
Krot : = – ½ ω ⋅ ∫V
[(x ⋅ ω) x – ω x2] dm = ½ i j, =∑
1
3ω i ΘMij ω j
Definition: Als Anzahl der Freiheitsgrade eines kinematischen Systems bezeichnet man die Mindestanzahl von skalaren Größen, die die Lage des Systems determinieren. Ein Punkt besitzt
• im Raum 3 Freiheitsgrade
• auf einer Fläche 2 Freiheitsgrade
• auf einer Bahnkurve 1 Freiheitsgrad Der starre Körper besitzt
• im Raum 6 Freiheitsgrade
• in der Ebene 3 Freiheitsgrade
• bei der Drehung um einen festen Punkt 3 Freiheitsgrade
• bei der Drehung um eine feste Achse 1 Freiheitsgrad Ein deformierbarer Körper hat unendlich viele Freiheitsgrade.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 29
Kinetik deformierbarer Körper Definition: Der Impuls des Körpers zur Zeit t ist
p(t) : = ∫V
v(P, t) dm .
Definition: Der Drall (Drehimpuls) des Körpers zur Zeit t bez. eines Bezugspunktes O ist
d0(t) : = ∫V
r0(P, t) × r0(P, t)• dm .
Definition: Die kinetische Energie des deformierbaren Körpers ist
K = ½ ∫V
v•2 dm = ½ vM2 m + ½ ∫
Vx•2 dm .
Impuls-Bilanz: Die zeitliche Änderung des Impulses p eines Körpers bezüglich eines raum-festen Bezugssystems ist gleich der resultierend auf ihn wirkenden Kraft F
p• = F . Drall-Bilanz: Die zeitliche Änderung des Dralls d0 eines Körpers bezüglich eines raumfesten Bezugssystems mit Bezugspunkt O ist gleich dem resultierend auf ihn wirkenden Moment M0 bezüglich O d0
• = M0 . lokale Form der Impuls-Bilanz
xxx
σ∂∂
+ xy
yσ∂
∂ + xz
zσ∂∂
+ ρ f Mx = ρ ax
xyx
∂
∂σ +
yyy
∂
∂σ +
zyz
∂
∂σ + ρ f My = ρ ay
xzx
∂∂σ +
yzy
∂
∂σ +
zzz
∂∂σ + ρ f Mz = ρ az
lokale Form der Drall-Bilanz (BOLTZMANNsches Axiom)
σxy = σyx σxz = σzx σyz = σzy Leistung Leistung der äußeren Kräfte
La : = ∫A
f A ⋅ v dA + ∫V
f M ⋅ v dm + K
i 1=∑ Fi ⋅ vi +
L
i 1=∑ Mi ⋅ ω
mit f A oberflächenverteilte Kraft f M massenverteilte Kraft Fi Einzelkräfte (am starren Körper) Mi Einzelmomente (am starren Körper)
Leistung der (inneren) Spannungen Li : = i k, =∑
1
3∫
Vσik εik
• dV
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 30
Leistungs-Bilanz: Für jeden Körper gilt La = Li + K •. Arbeit
Arbeit der äußeren Kräfte Aa : = t
t
0
1
∫ La dt ⇔ La = Aa•
äußere Ergänzungsarbeit Aa* : =
F
F
0
1
∫ u ⋅ dF
Für konservative Kräfte F gibt es ein Potential U(r) mit
F = – grad U = ∂∂
Ux1
e1 + ∂∂
Ux2
e2 + ∂∂
Ux3
e3 ⇒ La = – U •
Potential der Gewichtskraft: die potentielle Energie der Gravitation U = m g h h Höhe über Nullniveau
Spannungsarbeit Ai : = t
t
0
1
∫ Li dt ⇔ Ai• = Li
Arbeits-Bilanz: Während der Bewegung eines Körpers in einen beliebigen Zeitintervall [t0 , t1] gilt die Arbeitsbilanz
Aa = Ai + ΔK
mit Aa = t
t
0
1
∫ La dt Arbeit der äußeren Kräfte
Ai = t
t
0
1
∫ Li dt Spannungsarbeit
ΔK = K(t1) – K(t0) Differenz der kinetischen Energie.
Energie-Bilanz: Bei konservativen Systemen ist die Summe der potentiellen Energie der äußeren Kräfte, der elastischen Energie und der kinetischen Energie konstant U + W + K = konstant.
Variationsprinzipe der Mechanik Prinzip der virtuellen Leistung (PdvL) Für einen Körper sind die Bewegungsgesetze genau dann erfüllt, wenn die virtuelle Leistungsbilanz δ Lav = δ Li
für alle virtuellen Geschwindigkeitsfelder δv erfüllt ist mit • der virtuellen Leistung der äußeren verlorenen Kräfte
δ Lav : = ∫A
f A ⋅ δv dA + ∫V
(f M – a) ⋅ δv dm
• und der virtuellen Leistung der Spannung
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 31
δ Li : = ∫V i k, =
∑1
3σik
12
( ( )i
k
vxδ∂
∂ + ( )k
i
vx
δ∂∂
) dV.
Die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte von starren Körpern bei ebener Bewegung um eine HTA ist bezüglich des Massenmittelpunktes M
∫V
a ⋅ δv dm = aM ⋅ δvM m + ΘM ω• δω .
Prinzip der virtuellen Verrückungen (PdvV) Für einen Körper sind die Gleichgewichtsbedingungen genau dann erfüllt, wenn die virtuelle Arbeitsbilanz δ Aa = δ Ai
für alle Vektorfelder δu , den virtuellen Verrückungen, erfüllt ist mit
• dem virtuellen Arbeitsinkrement der äußeren Kräfte
δ Aa : = ∫A
f A ⋅ δu dA + ∫V
f M ⋅ δu dm
• und dem virtuellen Arbeitsinkrement der Spannungen
δ Ai : = ∫V
i k, =∑
1
3σik
12
( ( )i
k
uxδ∂
∂ + ( )k
i
ux
δ∂∂
) dV.
Prinzip vom stationären Wert der potentiellen Energie Ein konservatives System mit Potential U der äußeren Kräfte und Potential W der Spannungen befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn die Variation des Gesamtpotentials δ (W + U) : = δ W + δ U = 0
ist für alle virtuellen Verrückungen δu . HALMILTONsches Prinzip vom stationären Wert der LANGRANGE-Funktion Die Bewegungsgleichungen eines konservativen Systems sind für eine Bewegung im Zeit-intervall [t0, t1] genau dann erfüllt, wenn
t
t
0
1
∫ δ L dt = 0
ist für alle virtuellen Bewegungen δu, die den Anfangs-, End- und Rand-Bedingungen genügen, mit der LAGRANGE-Funktion L : = K – U – W .
LAGRANGEsche Bewegungsgleichungen 2. Art
iq
∂∂L – d
dt
iq•∂∂L = 0 für i = 1, ... , n
oder mit generalisierten Kräften
i
Kq
∂∂
– ddt i
Kq •
∂∂
+ QRi = ( )
i
U Wq
∂ +∂
für i = 1, ... , n .
Voraussetzungen für das Folgende: Statische und isotherme Probleme von linear-elastischen Körpern unter Einzellasten, die in Richtung konstant sind.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 32
Definition: Die Einflusszahl αij ist die Größe der Verschiebung des Kraftangriffspunktes ri der Kraft Fi in deren Sinne (Richtung) infolge einer Einskraft Fj ≡ 1 an der Stelle rj . Vertauschungssatz von MAXWELL und BETTI Eine Kraft (Fi , ri) von der Größe 1 bewirkt eine Verschiebung von rj im Sinne einer Kraft (Fj , rj) von derselben Größe wie umgekehrt. 1. Satz von CASTIGLIANO Die partielle Ableitung der Formänderungsenergie nach der Einzelverschiebung ui im Sinne einer Kraft Fi ergibt deren Betrag Fi
Fi = ( )1 n
i
W u ,...,uu
∂∂
für i = 1, ... , n .
2. Satz von CASTIGLIANO Drückt man die Formänderungsenergie durch die Kraftbeträge F1, ... , Fn aus, so ist deren partielle Ableitung nach einem Fi die Verschiebung von deren Angriffspunkt im Sinne von F
ui = ( )1 n
i
W F ,...,FF
∂∂
für i = 1, ... , n .
CASTIGLIANOsche Beziehungen gelten analog für Einzelmomente
ϕi = i
WM
∂∂
Mi = i
Wϕ
∂∂
Stoßvorgänge
Stoßzahl (dimensionslos) k = ( )( )v v nv v n
2 1
1 2
2 1
1 2
e e
a a
en en
an an
vv
v v
− ⋅
− ⋅=
−−
Holz auf Holz k = 0,5 Stahl auf Stahl k = 0,8 Elfenbein auf Elfenbein k = 0,89 Glas auf Glas k = 0,95 Geschwindigkeiten nach dem glatten, zentralen Stoß
v1en = ( ) ( )
21
22an211an
m mk 1mv mkmv
+
++− v2en = ( ) ( )
12
11an122anm m
k 1mv mkmv+
++−
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 33
Schwingungslehre periodischer Vorgang u(t) mit Periode T u(t) = u(t + T) mit T Periode
f = 1T
Frequenz
ω = 2 π f = 2πT
Kreisfrequenz
A = 1/2 (umax – umin) Amplitude Beispiel: harmonische Schwingung
u(t) = A cos(ω t +ϕ 0) mit ϕ 0 Nullphasenwinkel linearer ungedämpfter Einmassenschwinger
u•• + ω 2 u = 0 mit ω 2 = cm
vollständige Lösung
u(t) = C1 e+i ω t + C2 e– i ω t
= (C1 + C2) cos(ω t) + (C1 – C2) i sin(ω t)
= A1 cos(ω t) + A2 sin(ω t)
= A cos(ω t + ϕ0) = A sin(ω t + ϕ0 + π/2)
u A
ω T ϕ0 A
ω T = 2π
Gesamtenergie K + W = ½ A2 [m ω2 sin2(ω t + ϕ0) + c cos2(ω t + ϕ0)]
= ½ A2 c [sin2(ω t + ϕ0) + cos2(ω t + ϕ0) = ½ A2 c
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 34
linearer gedämpfter Einmassenschwinger Differentialgleichung m u•• + r u• + c u = 0
mit ω 0 = mc Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
D = r
m2 0ω LEHRsches Dämpfungsmaß
allgemeine Lösung
u(t) = C1 e tλ1 + C2 e tλ2 Fallunterscheidung a) starke Dämpfung: D > 1 Es handelt sich um keine Schwingung, sondern um eine Kriechbewegung, die gegen die statische Ruhelage konvergiert.
b) "aperiodischer Grenzfall": D = 1 ⇒ λ1,2 = – ω 0
allgemeine Lösung u(t) = C1 eλ t + C2 t e
λ t = e– ωo t (C1 + C2 t) u
v0 > 0 u0 v0 = 0 v0 < 0 t
W
W K K
0
u
A
ω t + ϕ0
Kmax
1/2 Kmax K
W
W
K
W A u
Kmax=Wmax W
K 2π
-A
K
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 35
c) schwache Dämpfung: D < 1 ⇒ D2 1− imaginär
Eigenfrequenz des gedämpften Systems ω : = ω 0 1 2− D < ω 0
Abklingkoeffizient δ : = ω0 D = rm2
> 0
allgemeine Lösung
u(t) = e– δ t (C1 ei ω t + C2 e– i ω t)
= e–δ t [A1 cos(ω t) + A2 sin(ω t)]
= e– δ t A cos(ω t + ϕ0)
Periode T = 2πω
Verhältnis zweier aufeinander folgender Maxima ist konstant: ( )u
ue
en
n
t
t T+
−
− +=1
δ
δ = eδ T
logarithmisches Dekrement ϑ : = ln uu
n
n+1 = δ T
Erzwungenen Schwingung mit Krafterregung Erregerkraft F(t)
Schwingungs-Differentialgleichung m u•• + r u• + c u = F(t) allgemeine Lösung u(t) = uh(t) + up(t) homogene Lösung wie bei freier Schwingung harmonischen Erregerkraft F(t) = F cos(Ω t)
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 36
mit F der Erregerkraft-Amplitude
Ω der Erregerkreisfrequenz c r
Schwingungs-Differentialgleichung
u•• + 2 D ω 0 u• + ω 02 u = ω 0
2 uF cos(Ω t) m
mit F(t)
ω 0 : = √ cm
Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
D : = r
m 2 0ω LEHRsches Dämpfungsmaß
uF : = Fc
η : = 0
Ωω
Abstimmung
Fallunterscheidung
a) ungedämpfter Fall D ≡ 0 ≡ r
partikuläre Lösung up(t) = u cos(Ω t)
ω
ω02
02 2− Ω
uF = 1
1 2− η uF
Vergrößerungsfunktion V (η) : = 1
1 2− η =
uuF
η < 1: unterkritische Erregung hochabgestimmter Schwinger schwingt gleichphasig mit der Erregung
η = 1: Resonanz ω0 = Ω ⇒ V = ± ∞ Wird diese Stelle von kleineren Abstimmungen zu höheren durchlaufen, wächst die Amplitude (theoretisch) beliebig an. Bei längerer Verweildauer im Resonanzpunkt wird der stationäre Ansatz bedeutungslos. Beim Durchlaufen des Resonanzpunktes springt die Phase von gleich auf gegenphasig.
η > 1: überkritische Erregung tiefabgestimmter Schwinger schwingt gegenphasig zur Erregung. b) gedämpfter Fall
partikuläre Lösung up(t) = u cos(Ω t + ϕA)
mit tan ϕA = sincos
ϕϕ
A
A = –
21 2
Dηη−
u = ( )
FF2
AA
u 1 ˆV( ) ucos1 2D tan
ηϕη η ϕ
=− −
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 37
Vergrößerungsfunktion V (η) = 1 / √ [(1 – η2)2 + (2 D η)2] Sonderfälle:
1. Fall Ω = ω0 ⇔ η = 1 ungedämpfter Resonanzfall Erregerfrequenz = Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
Vergrößerungsfunktion V = 12D
= m
rω0 =
mcr
V
1 η 1 unter- kri- überkritisch tisch Vergrößerungsfunktion
2. Fall maximale Vergrößerung
Ihr Maximum erreicht die Vergrößerungsfunktion an der Stelle ηr = 1 2 2 − D Die Vergrößerungsfunktion hat hier den maximalen Wert
V(ηr) = 1 / √ [4 D4 + 4 D2 (1 – 2 D2)] = 1 / (2 D 1 2− D )
3. Fall Ω = ω = ω0 1 2− D Erregerfrequenz gleich Eigenfrequenz des gedämpften Systems
ηd = Ωω0
= ωω0
= 1 2 − D
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 38
Liste der wichtigsten Bezeichnungen
Symbol Bezeichnung Dimension Einheit A Flächeninhalt Länge2 m2 A Flächengebiet
a Beschleunigung LängeZeit 2
ms2
Aa Arbeit der äußeren Lasten Kraft × Länge J = Nm = m kg
s
2
2 Joule
Ai Arbeit der Spannungen Kraft × Länge J = N m = m kg
s
2
2
d Drall Länge Masse
Zeit
2 ×
m kgs
2
D Drillung Länge-1 m-1
E Elastizitätsmodul Kraft
Fläche Pa =
Nm2 Pascal
e Spur der Dehnungsmatrix - - ei kartesischer Basisvektor f Frequenz Zeit-1 s-1
f A Flächenkraftdichte Kraft
Fläche Pa =
Nm2
f M Massenkraftdichte KraftMasse
Nkg
F (Einzel-) Kraftvektor Masse Länge
Zeit×
2 N = kg ms2 Newton
g Gravitationskonstante LängeZeit 2
ms2
FG = G Gewichtskraft Masse Länge
Zeit×
2 N = kg ms2
Iij Flächenträgheitsmomente Länge4 m4
K kinetische Energie Länge Masse
Zeit
2
2×
m kg
s
2
2
l Länge Länge m Meter
La Leistung der äußeren Lasten Masse Länge
Zeit× 2
3 W =kg m
s
2
3 Watt
la spez. Leistung der äußeren Lasten Masse
Zeit Länge3 ×
kgs m3
Li Spannungsleistung Masse Länge
Zeit× 2
3 W = kg m
s
2
3
li spez. Spannungsleistung Masse Länge
Zeit× 2
3 kg
s m3
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 39
L LAGRANGE-Funktion Länge Masse
Zeit
2
2×
m kg
s
2
2
M Massenmittelpunkt Mp Momentanpol M Moment Kraft × Länge N m m Masse Masse kg Kilogramm
n(x) Streckenlast in Normalrichtung KraftLänge
Nm
n Normalenvektor
N Normalkraft Masse Länge
Zeit×
2 N = kg ms2
o Nullvektor O raumfester Punkt
p Druck Kraft
Fläche Pa =
Nm2 Pascal
p Impuls Länge Masse
Zeit×
mkg
s
qy(x) , qz(x) Streckenlasten in Querrichtungen KraftLänge
Nm
Q Querkraft Masse Länge
Zeit×
2 N = kg ms2
r Ortsvektor Länge m s Bogenlänge Länge m
s Spur der Spannungsmatrix Kraft
Fläche Pa =
Nm2
S statisches Moment Länge3 m3 T Periode Zeit s t Zeit Zeit s Sekunde
t Schubfluss KraftLänge
Nm
U Potential der äußeren Kräfte Kraft × Länge N m u Verschiebungsvektor Länge m V Volumeninhalt Länge3 m3 V Volumengebiet
v Geschwindigkeitsvektor LängeZeit
ms
W elastische Formänderungsenergie Länge Masse
Zeit
2
2×
m kg
s
2
2
w spez. Formänderungsenergie Kraft
Länge2 N
m2
W* Formänderungs-Ergänzungsenergie Länge Masse
Zeit
2
2×
m kg
s
2
2
w* spez. Formänderungs-Ergänzungsenergie Kraft
Länge2 N
m2
x, y, z oder xi kartesische Koordinaten Länge m
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 40
Größen am Balken A Querschnittsflächeninhalt
x Balkenachsenkoordinate
y , z Koordinaten in Querrichtung
u , v , w Verschiebungskomponenten
{N, Qy ,Qz} = {FN , FQy , FQz} Schnittkraft
{Mx , My , Mz}= {Mt , Mby , Mbz} Schnittmoment
{n , qy , qz} Streckenlasten
griech. Alphabet (klein) griech. Alphabet (groß) Bezeichnung α Α alpha β Β beta γ Γ gamma δ Δ delta ε Ε epsilon ζ Z zeta η Η eta ϑ θ theta ι Ι jota κ Κ kappa λ Λ lambda μ Μ my ν Ν ny ξ Ξ xi ο Ο omikon π Π pi ρ Ρ rho σ Σ sigma τ Τ tau υ Υ ypsilon ϕ Φ phi χ Χ chi ψ Ψ psi ω Ω omega α therm. Ausdehnungskoeffizient Temperatur-1 K-1 γ Schub - - δ Variation ε Dehnung - - ϑ Torsionsdrehwinkel - - θ Temperatur Temperatur K Kelvin
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 41
Θij Massenträgheitsmomente Masse × Länge2 kg m2
κ Krümmung Länge-1 m-1 μ Reibungskoeffizient - - ν Querkontraktionszahl - - π 3,14... - -
ρ Dichte MasseLänge3
kgm3
σ Spannung Kraft
Fläche Pa =
Nm2
Σ Summenzeichen
τ Schubspannung Kraft
Fläche Pa =
Nm2
ϕ i Koordinate
ω Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz Zeit-1 s-1 ω Winkelgeschwindigkeitsvektor Zeit-1 s-1 Ω Erreger-Kreisfrequenz Zeit-1 s-1 Abkürzungen BZS Bezugssystem Dgl. Differenzialgleichung EV Eigenvektor EW Eigenwert HSA Hauptspannungsachsen HTA Hauptträgheitsachsen KOO(S) Koordinaten(system) ONB Orthonormalbasis = Gleichheit : = Definition ≡ Identifikation ≈ ungefähr gleich ≅ Entsprechung ÷ bis
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 42
Lehrbücher zur Technischen Mechanik Assmann, B.; Selke, P.: Technische Mechanik. 3 Bände und Aufgabensammlung. Oldenbourg Wissensch.Vlg. (verschiedene Auflagen) Balke, H.: Einführung in die Technische Mechanik. Bd. 1: Statik, Bd. 2: Kinetik. Bd.3: Festigkeitslehre. Springer-Verlag, Berlin (2005, 2006, 2008) Berger, J.: Technische Mechanik für Ingenieure. Vieweg, Braunschweig, 1991 (mehrere Bände) Böge, A.: Technische Mechanik. Vieweg, Wiesbaden, 2006. Brommundt, E.; Sachs, G.: Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin, 1991. Bruhns, O.; Lehmann, T: Elemente der Mechanik I - III und Aufgabensammlung, Band I: Einführung, Statik, Band II: Elastostatik, Band III: Kinetik. Vieweg, Braunschweig 1993, 1994, neuere Auflagen im Shaker-Verlag, Aachen. Dankert, H. und J.: Technische Mechanik. Teubner, Stuttgart, 2006. Franeck, H.: Starthilfe Technische Mechanik. Teubner, Wiesbaden 1996. Gabbert, U.; Raecke, I.: Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure. Fachbuchverlag Leipzig 2003. Göldner, H.; Holzweißig, F.: Leitfaden der Technischen Mechanik. Fachbuchverlag Leipzig, 1989. Göldner, H.; Witt, D.: Lehr- und Übungsbuch Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag. Band I: Statik und Festigkeitslehre, 1993. Band II: Kinematik / Kinetik, Systemdynamik, Mechatronik. 1997. Gross, D.; Hauger; W., Schnell, W.; Wriggers, P.; u. a.: Technische Mechanik. Band I: Statik, Band II: Elastostatik, Band III: Kinetik, Band IV: Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer-Verlag, Berlin (4 Bände und Aufgabensammlung) Gummert, P.; Reckling, K.-A.: Mechanik. Vieweg, Braunschweig, 1994 (versch. Auflagen). Hagedorn, P.: Technische Mechanik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/M., 1993 (mehrere Bände). Hahn, H. G.: Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag, München, 1992. Hibbeler, R. C.: Technische Mechanik 1, 2, 3. Pearson, München, 2004. Holzmann, G.; Meyer, H.; Schumpich, G.: Technische Mechanik (3 Bände). Teubner, Stuttgart. Kabus, K.: Mechanik und Festigkeitslehre. Carl Hanser Verlag, 1993. Knappstein, G.: Statik, insbesondere Schnittprinzip. Verlag Harri Deutsch, 4. Aufl. 2011. Knappstein, G.: Kinematik und Kinetik. Verlag Harri Deutsch, 3. Aufl. 2011. Kühorn, A.; Silber, G.: Technische Mechanik für Ingenieure. Hüthing Verlag, Heidelberg 2000. Magnus, K.; Müller-Slany, H. H.: Grundlagen der Technischen Mechanik. Teubner, Stuttgart, 7. Aufl. 2005. Mahnken, R.: Lehrbuch der Technischen Mechanik - Dynamik. Springer-Verlag, Heidelberg (2010) Mayr, M.: Technische Mechanik. Statik, Kinematik, Kinetik, Schwingungen, Festigkeitslehre. Carl Hanser Verlag, 1900. Müller, W. H.; Ferber, F.: Technische Mechanik für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig, 2003. Parkus, H.: Mechanik der festen Körper. Springer-Verlag, Wien, 1981 (versch. Auflagen). Pestel, E.; Wittenburg, J.: Technische Mechanik. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim
Band I: Statik, Reibung, Festigkeitslehre Band II: Festigkeitslehre, Kinematik, Kinetik, Hydromechanik
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 43
Band III: Thermodynamik, Festigkeitslehre, Schwingungen Richard, H. A.; Sander, M.: Technische Mechanik. Statik. Vieweg, Braunschweig, 2005. Romberg, O.; Hinrichs, N.: Keine Panik vor Mechanik! Vieweg, Braunschweig, 1999. Sayir, M. B.; Dual, J.; Kaufmann, S.: Ingenieurmechanik Teubner, Stuttgart, 2004-5 Bd. 1: Grundlagen der Statik Bd. 2: Deformierbare Körper Bd. 3: Dynamik Sirrenberg, E.: Technische Mechanik: Kinematik. Ein interaktives eBook für Maple. Verlag Harri Deutsch, 2007. Steger, H. G.; Sieghart, J.; Glauninger, E.: Technische Mechanik, Teubner, Stuttgart, 1990 (mehrere Bände). Szabo, I.: Einführung in die Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin (versch. Auflagen). Szabo, I. : Höhere Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin (versch. Auflagen). Wohlhart, K.: Statik, Dynamik, Vieweg, Braunschweig, 1998. Wriggers, P.; Nackenhorst, U.; Beuermann, S.; Spiess, H.; Löhnert, S.: Technische Mechanik kompakt. Teubner, Stuttgart, 2005. Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper. Springer-Verlag, Wien, 1985. Übungsbücher zur Technischen Mechanik Assmann, B.; Selke, P.: Aufgaben zur Festigkeitslehre. Oldenbourg Wissensch.Vlg. (verschiedene Auflagen) Assmann, B.; Selke, P.: Aufgaben zur Kinematik und Kinetik. Oldenbourg Wissensch.Vlg. (verschiedene Auflagen) Böge, A.; Schlemmer, W.: Aufgabensammlung Technische Mechanik. Vieweg, Wiesbaden, 2001. sowie: Lösungen zur Aufgabensammlung. Vieweg, Wiesbaden, 2001. Bruhns, O.: Aufgabensammlung Technische Mechanik. Band 1 (Statik). Band 2 (Festigkeitslehre), Vieweg, Braunschweig, 1996. Hahn, H. G.; Barth, F. J.; Fritzen, C.-P.: Aufgaben zur Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag, München, 1995. Franeck, H.: Klausurtraining Technische Mechanik. Teubner, Wiesbaden 2000. Gross, D., W.; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin (3 Bände). Hagedorn, P.: Aufgabensammlung Technische Mechanik, Teubner, Wiesbaden 1992. Hardtke, H.-J.; Heimann, B.; Sollmann, H.: Lehr- und Übungsbuch Technische Mechanik. Hanser, Leipzig 1997. Hauger, W.; Lippmann, H.; Mannl, V.: Aufgaben zu Technische Mechanik 1-3. Springer-Verlag, Berlin, 1991 und weitere Auflagen. Kabus, K.: Mechanik und Festigkeitslehre - Aufgaben. Carl Hanser Verlag, 1993. Knappstein, G.: Aufgaben zur Festigkeitslehre - ausführlich gelöst. Verlag Harri Deutsch, 5. Aufl. 2010. Mayr, M.: Mechanik-Training. Carl Hanser Verlag, 2000. Müller, W. H.; Ferber, F.: Übungsaufgaben zur Technische Mechanik. Fachbuchverlag Leipzig, 2005. Richard, H. A.; Sander, M.: Technische Mechanik Festigkeitslehre. Vieweg, Braunschweig, 2006.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 44
Szabo, I.: Repetitorium und Übungsbuch der Technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin (versch. Auflagen). Ulbrich, H.; Weidemann, H.-J.; Pfeiffer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und Lösungen. Teubner, 2006. Weidemann, H.-J.; Pfeiffer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und Lösungen. Teubner, Wiesbaden 1995. Zimmermann, K.: Technische Mechanik - multimedial. Übungsbuch mit Multimedia-Software. Carl Hanser Verlag, 2000. Formelsammlungen zur Technischen Mechanik Birnbaum, H.; Denkmann, N.: Taschenbuch der Technischen Mechanik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/MJ. 1997. Böge, A.: Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik. Vieweg, Braunschweig, 2000. Will, P.; Lämmel, B.: Kleine Formelsammlung Technische Mechanik. Carl Hanser Verlag, 1998. Winkler, J.; Aurich, H.: Taschenbuch der Technischen Mechanik. Carl Hanser Verlag, 2006. Literatur zur Ingenieur-Mathematik Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., Stachel, H.: Mathematik. Springer 2008. Benker, H.: Ingenieurmathematik kompakt - Problemlösungen mit MATLAB : Einstieg und Nachschlagewerk für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2010. Brauch, W.; Dreyer, H.-J.; Haacke, W.: Mathematik für Ingenieure. Teubner, 2006. Burg, K.; Haf, H.; Wille, F.: Höhere Mathematik für Ingenieure. mehrere Bände. Teubner. Dürrschnabel, K.: Mathematik für Ingenieure. Teubner, 2004. Erven, J.; Erven, M.; Hörwick, J.: Vorkurs Mathematik. Oldenbourg Verlag, 2004. Hoffmann, A.; Marx, B.; Vogt, W.: Mathematik für Ingenieure 1. Pearson, 2005. Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn. Grundlagenwissen für alle technischen, mathe-matisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge. Vieweg Verlag, 2004. Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.: Mathematik-Vorkurs - Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger. Teubner Verlag, 2002. Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 3 Bände, 2001. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Klausur- und Übungsaufgaben, 2004. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Anwendungsbeispiele, 2004. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Formalsammlung, 2003. Vieweg Verlag Rapp; H.: Mathematik für die Fachschule Technik. Vieweg Verlag, versch. Auflagen. Rießinger, T.: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2011 Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.: Mathematik-Vorkurs. Teubner, 2006. Schirotzek, W.; Scholz, S.: Starthilfe Mathematik. Teubner, 2005. Smirnow, W. I.: Lehrbuch der höheren Mathematik. 7 Bände. Verlag Harri Deutsch (versch. Auflagen) Wendeler, J.: Vorkurs der Ingenieurmathematik. Verlag Harri Deutsch, 2007.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 45
Westermann, T.: Mathematik für Ingenieure. Springer, 2011 Formelsammlungen zur Mathematik
Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch (versch. Auflagen) Gnörich, B. : Formelsammlung Mathematik. 2006,gratis download von http://www.gnoerich.de/formelsammlung/formelsammlung.html Göhler, W.: Formelsammlung Höhere Mathematik. Verlag Harri Deutsch (versch. Auflagen) Grosche, G.; Ziegler, V.; Zeidler, E.; Ziegler, D.: Teubner-Taschenbuch der Mathematik. 2 Bände, 2003 Merziger, G.; Mühlbach, G.; Wille, D.; Wirth, T.: Formeln + Hilfen zur Höheren Mathematik. Binomi Verlag; Auflage: 2. Aufl. 1996 Papula, L.: Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Vieweg Fachbücher der Technik, 2006 Wolfram Mathworld, internet-Formelsammlung einsehbar unter http://mathworld.wolfram.com/ weitere Internet-Quellen unter: http://www.mathematik.net/0-formelsammlung/index.htm Literatur zur Geschichte der Mechanik Benvenuto, E.: An Introduction to the History of Structural Mechanics. Part I, II. Springer-Verlag, New York, 1991. Dugas, R.: A History of Mechanics. Dover Pub., New York, 1988. Fierz, M.: Vorlesungen zur Entwicklungsgeschichte der Mechanik. Springer-Verlag, Berlin, 1972. Hund, F.: Geschichte der physikalischen Begriffe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1968. Kurrer, K.-E.: Geschichte der Baustatik. Ernst & Sohn, Berlin, 2002. Szabo, I.: Geschichte der mechanischen Prinzipien. Birkhäuser, Basel, 1977. Timoshenko, S. P.: History of Strength of Materials. McGraw-Hill, 1953 Truesdell, C. A.: Essays on the History of Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, 1968.
Bertram:Formelsammlung Technische Mechanik I-III 2012 46
Lebensdaten einiger bedeutender Mechaniker Stevin, Simon 1548 - 1620
Galilei, Galileo 1564 - 1642
Guericke, Otto von 1602 - 1686
Hooke, Robert 1635 - 1703
Newton, Isaac 1643 - 1727
Leibniz, Gottfried W. 1646 - 1716
Bernoulli, verschiedene etwa 1650 - 1800
Euler, Leonhard 1707 - 1783
d´Alembert, Jean le Rond 1717 - 1783
Lagrange, Joseph Louis 1736 - 1813
Coulomb, Charles Augustin 1736 - 1806
Saint-Venant, Barre de 1797 - 1886
Navier, Louis Marie Henri 1785 - 1836
Cauchy, Augustin L. 1789 - 1857
Hamilton, William Rowan 1805 - 1865
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