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1
FUNZIONI A PIU’ VARIABILI Curve di livello: ( ) ( ) ky,xf:Iy,xL fk =∈=
Norma di P: ( ) =
==n
1i
2in1 xPx,...,xP
Limiti: ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
<−⇔<−+−
−∈∀>∃>∀⇔=
ℜ→ℜ⊂
→ εδ
δε
ly,xfyyxx
y,xDy,x:0,0ly,xflim
D:f
20
20
00
y,x)y,x(
2
00
Limiti iterati:
( )
( )( )
( )( )
21
2xxyy
1yyxx
y,x)y,x(
yyxx
lll Allora
ly,xflimlim
ly,xflimlim se e ly,xflim
y,xflimlim
00
00
00
00
==
=
=∃=
→→
→→
→
→→
Coord. Polari: ( )( )
+=+=
ϑρϑρ
senyy
cosxx
0
0
Limiti ( )ϑρ , : ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
=−++
=++⇔=
→
→
→ 0lseny,cosxfsup lim
lseny,cosxf lim ly,xflim
000
000
0,0)y,x( ϑρϑρ
ϑρϑρ
ϑρ
ρ
( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )( )
+∞=++
+∞=++⇔+∞=
→
→
→ ϑρϑρ
ϑρϑρ
ϑρ
ρ
seny,cosxfinf lim
seny,cosxf lim y,xflim
000
000
0,0)y,x(
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
=−
=⇔=
+∞→
+∞→
∞→ 0lsen,cosfsup lim
lsen,cosf lim ly,xflim
)y,x( ϑρϑρ
ϑρϑρ
ϑρ
ρ
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
+∞=++
+∞=++⇔+∞=
→
→
∞→ ϑρϑρ
ϑρϑρ
ϑρ
ρ
seny,cosxf inf lim
seny,cosxf lim y,xflim
000
000
)y,x(
Condizione necessaria affinché una funzione ( )y,xf abbia limite l per ( ) ( )00 y,xy,x → è che per ogni curva regolare di equazioni parametriche ( ) ( )tyy,txx == passanti per ( )00 y,x tali che ( ) ( )0000 tyy,txx == , risulti: ( ) ( )( ) lty,txflim
0tt=
→
2
La convergenza al limite l deve essere indipendente dalla curva scelta. Spesso si usa il fascio di rette passanti per ( )00 y,x di equazioni parametriche: ( ) ltxtx 0 += ( ) ltxtx 0 += Continuità: ( ) ( )0PP0 PfPflim se Pin continua f
0
=→
Derivate parziali:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00
0000
0h
000000
0h
00
y,xyf
hy,xfhy,xf
lim
y,xxf
hy,xfy,hxf
lim
:limiti i finiti esistono se punto tale
in parziali drivate ammette y,x di intornoun in definita f funzione Una
∂∂=
−+∂∂=
−+
→
→
yxxyyxxy f f continue sono f f Se
:Schwarz di Teorema=
Differenziabilità:
.Pin continua è f allora Pin abiledifferenzi è f Se .
.Pin abiledifferenzi è f
allora P intornoun in continue parziali derivate ammette f Se .
.Pin continua sia che detto ènon Pin derivabile è f Se .
00
0
0
00
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0yyxx
yykxxhy,xfy,xflim
0PP
PPHPfPflim
:kh,H un vettore se Pin abiledifferenzi è f ,I a interno punto P
20
20
0000
y,xy,x
0
00
PP
0f0
00
0
=−+−
−−−−−
=−
−−−=∃
→
→
( ) ( ) ( )
( ) ( )
h vettoredel componenti le sono h dove
hPfhL :Pin f di aledifferenzi detta è L
0h
hLPfhPflim :che tale :L
lineare funzione aun se Pin abiledifferenzi è f ,I a interno punto P
i
n
1ii0x0
00
0h
n
0f0
i=
→
=
=−−+
ℜ→ℜ
∃
Gradiente: ( ) ( ) ( ) ( )( )
pendenza. massima di direzione la indica allora 0f vettoreil Se
Pf,PfPfP puntoun in derivabile yx,f Sia 0y0x00
≠∇
=∇
3
Derivate direzionali:
( )( ) ( )
( ) ( )
finito. esiste set
y,xfty,txflim
:è di direzione nella y,x puntoun in yx,f di ledireziona derivata La
1 :unitario modulo di vettoreun , Sia
002010
0t
00
22
2121
−++
=+=
→
λλλ
λλλλλ
Equazione del piano tangente al grafico della funzione in ( )( )00 Pf,P : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )000y000x00000 yyy,xfxxy,xfy,xfPPPfPfz −+−+=−∇+= Equazione della retta tangente alla curva di livello passante per 0P :
( )( )( )
( )( ) ( )( )
−∇+==
=′
=′
=−∇
000
0
00
PPPfPfz
Pfzr
0.z piano sul fnz. la e piano il traneintersezio r retta della proiezione la èr retta La
0PPPf
Studio dei massimi e minimi:
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
I.su f di erestrizion della relativo minimo e massimo punti i cercando I, zaparametriz si I, frontiera Sulla 3)
1. punto nel come procede si chiuso,:I Se 2)
fper sella di punto P0PH
fper relativo massimo di punto P0Pf0PH
fper relativo minimo di punto P0Pf0PH
PfPfPfPf
PH
0Pf aperto:I
:modo seguente nel procedere deve si critici punti i edeterminarPer )1ICf I:f :Sia
00
00xx0
00xx0
0yy0yx
0xy0xx0
0
22
∂∂∂
<<∪>>∪>
=
=∇
∈ℜ→ℜ⊂
Parametrizzazione della frontiera:
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) Iin trovatiquellicon confronto li e minimi i e massimi i cerco , Calcolo
critici. punti ottengo0rsen,rcosfy,xf
rsen yrcosx
:pone si nzacirconfere una è I Se
k
k
ϑϕϑϑϕ
ϑϕϑϑϑϑ
′′→=′
=→
==
∂
4
Studio dei massimi e minimi in caso di ( ) 0PH 0 =
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
relativi massimi dei ho 0yx,f : punti solo intorno questoin serelativi minimi dei ho 0yx,f : punti solo intorno questoin se
relativi estremi honon 0yx,f : punti e 0yx,f : punti intorno questoin se
:critici punti dei intornol' Guardo 3) xy.piano nel grafico il Disegno 2)
0yx,f dove e 0yx,f dove0yx,f dove Guardo 1)
:locale studio unocon procedere deve si 0PH Hessiano tedeterminan il Se 0
<∃>∃
<>∃
<>==
Applicazione del teorema di Dini:
( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) rel. max. di punto P0Pf ,0
PfPfPfPf
,0PH Se 2)
rel. min. di punto P0Pf ,0PfPfPfPf
,0PH Se 1)
:Allora
PfPfPfPfPfPfPfPfPf
PH
0Pf che taleeA ad ernointpuntoP ACf
A:f
zy,x,ff :Sia
00xx0yy0yx
0xy0xx03
00xx0yy0yx
0xy0xx03
0zz0zy0zx
0yz0yy0yx
0xz0xy0xx
03
0 0
2
3
<><
>>>
=
=∇∈
ℜ→ℜ⊂=
5
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni differenziali lineari del primo ordine:
( ) ( )xfyxay =+′
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]Cdxxfeexy :risulta generale egraleint'l Allora
,xa di primitiva una xA SiaI, intervallonell' contnue funzioni fa, Siano
xAxA += −
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
+
=
==+′
ℜ∈∀∈
−
dttfeyexyyxy
xfyxay
:del soluzione I in derivabile,xy soluzione sola una ed una esiste y Allora
I xSiaI, limitato e chiuso intervallonell' continue funzioni xf ,xa Siano
:
x
x
dssa
0
dtta
00
0
0
0
t
0x
x
0x
Cauchy di Teorema
Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine:
0byyay =+′+′′
( ) ( ) ( )xycxycxy :risulta generale egraletin'l allora
c , c siano
ti,indipenden elinearment equazionedell' iparticolar soluzioni due y e y Siano :
2211
21
21
+=ℜ∈
Teorema
( )( )( ) ( ) ( )xsenecxcosecxy 0 )3
xececxy 0)2
ececxy 0 )1
0ba :ticacaratteris Equazione
x2
x1
x2
x1
x2
x1
2
21
ββ
λλ
αα
λλ
λλ
+=→<∆
+=→=∆
+=→>∆
=++
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n: ( ) ( ) ( )xfyaya...yay n1n
1n1
n =+′+++ −−
( ) [ ] ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )xy~xyc...xycxy :risulta generale egraletin'l alloracompleta, della eparticolar soluzione xy~ e
,xf e a di edefinizion di intervallo ba,x 0x Wche talicioè
ti,indipenden elinearment omogenea eq.dell' iparticolar soluzioni y ,...,y Siano :
nn11
i
n1
+++=
∈∀≠
Teorema
6
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) x 0xW0x WSe
0xW:Ix0xW
xy...xyxy............
xy...xyxyxy...xyxy
x WSia
:
0
00
1nn
1n2
1n1
n21
n21
∀≠≠=∈∃⇔=
′′′=
−−−
Louville diTeorema
( ) ( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
( )
−=
+=
−=
+=−=
+=
≠≠≠
=++++=
−
−−
2ee
xsene
2ee
xcose
xsenixcosee
xsenixcosee:ottengono si cui da i coniugata
radice la ancha avrà essa ,i complessa radice una ha ticacaratteris eq.l' Se ex,...,xe,e r ordine di multipla è complesse) o (reale radice una se 2)
e,...,e... risultano complesse) o (reali radicin le se 1)
0aa...a P:ticacaratteris eq. dell' ioneDeterminaz -
:
xxx
xxx
xx
xx
x1rxx
xxn21
n1n1n
1n
n1
λλα
λλα
αλ
αλ
λλλ
λλ
β
β
ββββ
βαλ
βαλ
λλλλλλλ
omogenea equazionedell' Soluzione
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
=+
±=±+=
=+
≠±+=
==
≠=
km,maxm
xsenxsxcosxqex :
h tàmolteplicicon i 0iP
xsenxrxcosxpexf 4)
km,maxm
xsenxsxcosxqe :
0iP
xsenxrxcosxpexf 3)
xqe x:
h tàmolteplicicon 0P
xpexf 2)
xqe :
0P
xpexf 1)
:k grado di polinomioun r e m, grado di polinomio unp Siaxy~
mmxh
kmx
mmx
kmx
mxh
mx
mx
mx
km
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
µλµλµµ
µλµµ
λλ
λ
soluzione
soluzione
soluzione
soluzione
eparticolar soluzione della ioneDeterminaz
7
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) [ ]( ) [ ]
( )( )( )( )
( )( )( )( )
eq.nell' osostituisc p2xy~
qpx2xy~rqxpxxy~
CBxAxxf
eq.nell' osostituisc
Aeaxy~aAexy~Aexy~
exf
eq.nell' osostituisc
xee2Axy~xeeAxy~
Axexy~
exf
eq.nell' osostituisc xcosBxsenAxy~
xsenBxcosAxy~xcosBxsenAxy~
xsenxf
:
2
2
ax2
ax
ax
ax
xx
xx
x
x
=′′+=′
++=→++=
=′′=′
=
→=
+=′′+=′
=→=
−−=′′−=′+=
→=
Esempi
Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di ordine n in forma normale: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxayxa...yxay 01
1n1n
n =+′+++ −−
( )
( ) ( ) ( ) ( )xy~xyc...xycxy :è aledifferenzi equazione dell' generale integralel' Allora
:omogeneadell' tiindipenden elinearment iparticolar integralin y,...,y Sianocompleta, eq.dell' eparticolar soluzione la xy~ Sia
nn11
n1
+++=
:Teorema
Equazioni differenziali lineari a coefficienti continui di secondo ordine in forma normale: ( ) ( ) ( )xfyxbyxay =+′+′′
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )xy~xycxycxy :è aledifferenzi equazione dell' generale integralel' Allora
:omogeneadell' tiindipenden elinearment iparticolar integrali xy, xy Sianocompleta, eq.dell' eparticolar soluzione la xy~ Sia
2211
21
++=
:Teorema
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eq.dell' eparticolar integraleun è xyxxyxxy~ :funzione la Allora
xfxyxxyx
0xyxxyx
:sistema il soddisfino prime derivate loro le che talifunzioni x , x Siano
omogenea,dell' tiindipenden elinearment iparticolar integrali xy, xy Sianoxy~ edeterminar a serve
2211
2211
2211
21
21
γγγγγγ
γγ
+=
=′′+′′=′+′
:Lagrange di costanti delle variazione di Metodo
8
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) eq.dell' eparticolar integraleun è xyxxyxxy~ :funzione la Allora
dttW
tftyx
xW
xfxy0xy
x
dttW
tftyx
xW
xyxfxy0
x
0yyyy
xW , incognite nelle sistemaun Ho
xfxyxxyx
0xyxxyx
:sistema il soddisfino prime derivate loro le che talifunzioni x , x Siano
xycxycxy :è omogeneadell' generale integralel' Allora
omogenea,dell' tiindipenden elinearment iparticolar integrali xy, xy Siano
2211
12
1
1
2
21
2
2
1
21
2121
2211
2211
21
2211
21
γγ
γγ
γγ
γγ
γγγγ
γγ
+=
=′
=′
−=′
=′
≠′′
=′′
=′′+′′=′+′
+=
:Lagrange di metodo il con oSvolgiment
Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti continui di secondo ordine in forma normale: ( ) ( ) 0yxbyxay =+′+′′
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )xucxucxy :risulta generale integralel' Allora
equazione.dell' tiindipenden elinearment soluzioni siano xu , xu che modo in
xuxzxu: soluzione altraun' cerca si allora
I,x 0xu :soluzione una conosce si Se:intervallo I
IC xb , xa Siano
2211
21
12
1
0
+=
=∈∀≠
∈
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )xucxucxy :risulta generale integralel' Allora
,xu Determino
0xuxbxuxaxu:equazionel' ottenendo data equazionenell' risultati i onosostituisc Si
xuxzxuxzxuxzxuxzxu
xuxzxuxzxu
: voltedue deriviamo la e xuxzxu tipodel soluzione altraun' Cerchiamo
data, omogenea equazionedell' soluzione una xu Sia
2211
2
222
11112
112
12
1
+=
=+′+′′
′′+′′+′′+′′=′′′+′=′
=
:oSvolgiment
9
Equazioni differenziali lineari di Eulero:
( ) ( ) ( ) ( )
reali costanti a,...,a
xfyayxa...yxayxa
n0
n1n1n1n
1nn
0 =+′+++ −−−
( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )( ) t
0
t0
00
t
2ttt2t
tt
t
t
t
2ttt2t
tt
t
t
2
ex 0, xse
ex 0, xse
:yxy iniziale condizione eventualedall' dipende intervallodell' scelta La____________________________________________________________________
efczzbz-za : tipodel
cost. ticoefficien a lineare equazioneun' ottiene si data equazionenell' oSostituend
xyxyeyeeeytz
xyeeytz
yeytz
xytz , e xpongo
0,In -_____________________________________________________________________
efczzbz-za : tipodel
cost. ticoefficien a lineare equazioneun' ottiene si data equazionenell' oSostituend
xyxyeeyeeytz
xyeeytz
yeytz
xytz , e xpongo
0,In -xfcyybxyax
−=∞−∈
=+∞∈
=
−=+′+′′′
′+′′=−′−−′′=′′′=−−′=′
=−==−=
∞−
=+′+′′′
′+′′=′+′′=′′
′=′=′==
==
+∞=+′+′′:equazionedell' Soluzione
Sistemi differenziali lineari:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]ba,Iin continui xB , xA di elementi gli Conxxxx
=+=′ BYAY
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) Ix 0xWIin dipendenti elinearment sono soluzioni le Se
Ix 0xWIin tiindipenden elinearment sono soluzioni le Se
xy...xyxy............
xy...xyxyxy...xyxy
xW
:stesso dello soluzionin xY,...,xY e associato, omogeneo sistema il xYxAxY Sia
nnn21n
n22221
n11211
n1
∈∀=−∈∀≠−
=
=′:o Wronskiandel Teorema
10
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( )[ ] ( )xWxdet
xy...xy.........
xy...xyx , costanti c,...,c
c...c
C
CxxY :è omogeneo sistema del generale integralel' Allora0I-Adet :da date sono soluzioni le costanti, ticoefficien a èA Se
ti.indipenden elinearment soluzionin xY,...,xY e associato, omogeneo sistema il xYxAxY Sia
nn1n
n111
n1
n
1
n1
=
=ℜ∈
=
==
=′
φ
φ
φλ
:associato omogeneosistema del Soluzione
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )xY~
CxxY :è sistema del generale integralel' Allora
arbitrario Icon x iparticolar soluzioni di sistemaun
dttBtxxY~
Sia
omogeneo, sistema del tiindipenden elinearment soluzionin xY,...,xY e assegnato, sistema il xBxYxAxY Sia
0
x
x
1
n1
0
+=
∈
=
+=′
−
φ
φφ
:completo sistema del generale Integrale
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )Adet
AA
aaaa
1A
..........................................
aaaa
1A
aaaa
1 A
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AdetA
:algebrici icomplement dei matrice la Considero
0Adet :A di tedeterminan il Calcolo
:A trovare vogliamoaaaaaaaaa
A Sia
T1
2221
12113333
3331
23212112
3332
23221111
332313
322212
312111
T
1-
333231
232221
131211
′=
−=
−=
−=
=′
≠
=
−
+
+
+
:matrice una di itàinvertibil di Criterio
11
Equazioni differenziali a variabili separabili:
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
=⋅=′
∃
≠ℜ→ℜ→
⋅=′
00
0yx
yxyybxay
:Cauchy di problema del soluzione la ! Allora
0yb continua, I:b continua, I:a__________________________________________________
ybxay
00
( )( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )dttaub
dudttadt
tybty
0ybxaxybxy
x
x
xy
ydttydutyu
x
x
x
x 000 0
= →=′
≠⇔=′
′==
:Soluzione
Equazione differenziale di Bernoulli:
( ) ( )( )
continui coeff. a lineare eq.1 ,0 ,ICb,a
yxbyxay0
→==ℜ∈∈
+=′
ααα
α
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )xb1zxa1z: ordine primo del lineare aledifferenzi equazioneun' ottiene si *in oSostituend
y-1z
y :Ottengo
xyxy1xz
xyxz :Pongo
* xbyxayy
0yper equazionel' divide Si
0xy soluzione una cerca Si
1
1
αα
α
α
α
α
α
αα
α
−+−=′
′=′
′⋅⋅−=′=
+=′
→≠
≠
−
−
−
−
:Soluzione
Equazioni differenziali della forma:
Iin continua f xy
fy
=′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) x
1xtxtf
xt :separabili variabilia equazionel' ottiene si cui Da
xtfxtxxt :ottengo equazionenell' oSostituend
xtxxtxyxtxxyxxy
x t:Pongo
=−
′=′⋅+
′⋅+=′⋅==
:Soluzione
12
Equazione differenziale di Riccardi:
( ) ( ) ( )
( ) intervallo:I ,ICc,b,a
xcyxbyxay0
2
∈
++=′
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( ) Bernoulli di eq.un cioè xzxbxuxa2xzxaxz :Ottenendo
xcxuxbxuxaxu
: terminii resemplifica possono si ipotesiper soluzione è xu Poichèxcxuxzxbxuxzxaxuxz
:ottiene si data equazionenell' tituendoSos
xuxzxyxuxzxy
xuxyxz :Pongo
costanti. le determinopolinomi dei identità di principio ilcon e data, equazionenell' u,u oSostituisc
:prima derivata sua la xu e data, equazionedell' soluzione una xu SiaBernoulli di eq.0xc Se
xa~
2
xb~
2
2
++=′
++=′
++++=′+′
′+′=′+=
−=
′′
=:Soluzione
Equazione differenziale del tipo:
( )y,yfy ′=′′
( ) ( )( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )
==′
=∃
=
=′
=′′=⋅′
′′′=′⋅′′=′
′=′==∃=
<′>′≠′≠
=∃
=′=
′=′′∈∀ℜ∈∀ℜ⊂∈
′=′
0010
yy1
y
1
0
10
00
10021
yxyxypxy
ypp soluzione la ! yyp
ypyp,yf
yp
yp,yfxyypyp :ottiene Si
yy1
yyyyyyp
yyxyyp :Pongo.derivabile y xinversa funzione la localmente einvertibil è xyy allora
,localmente 0xy oppure 0xy localmente 0xy0y se
xdi intornoun in xyy soluzione la !
yxy
yxyy,yfy
:Cauchy di problema il
Dy,y , x , aperto D , DCf
:Sia
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
:Soluzione
13
Equazione differenziale non normali del tipo: ( )( )xygx ′=
( ) ( )( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ℜ∈
+−⋅=−⋅=′⋅=
′=′⋅′=⋅=
=′=
==
=′ℜ→
c e tg di primitiva una è tG se
ctGttgdttgttgdttgtty
:partiper Integrando
tgttgxydtdx
dxdy
dtdy
:risulta Inoltre
tg xcui da y tparametro come sceglie Si
tyytxx
:aparametric formain soluzione la cerca si generaleIn
xgxy :ha si einvertibil è g Se
:continua drivatacon derivabile g aperto, intervallo I ,I:g Sia1-
:Soluzione
Equazione differenziale non normale del tipo: ( ) ( )( )xygxy ′=
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )0gxy aggiunta vasoluzioni precedenti alle allora 0,per t definita è tg se Quindi
.0gcygy equazionedell' soluzione è cxy caso In tal.intervalloun in 0yper
soluzioni le persoaver potremmo 0xy posto vendoA
tgty e ctGtxttg
di primitiva una è tG Se
ttg
xytg
dtdx
dxdy
dtdy
:risulta Inoltre
tgty cui da y tparametro come sceglie Si
tyytxx
:aparametric formain soluzione la cerca si generaleIn
yx xinversa funzione la intervallo J J,x 0xy Se:It 0tg continua, drivatacon derivabile g
,intervallo I ,I:g Sia
==
=⇔′===′
≠′
=+=′
′=
′′
=⋅=
=′=
===∃∈∀≠′
∈∀≠′ℜ→:Soluzione
Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )( )xy,xfxy ′=′′
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )xy ottengo e integro , xz Ricavo
xz,xfxzxzxy
xzxy :Pongo =′
′=′′=′
:Soluzione
14
Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )xfxy =′′
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
soluzioni. infinite avuto avremmo inziali condizioni le senza
dsdttfyyxy
dsdttfyyxy
dttfyxy
:soluzione la
unica ammetteCauchy di problema il y ,Ixintervallo Iin continua f
yxy
yxyxfy
x
x
s
x10
x
x
s
x10
x
x1
00
10
00
0 0
0 0
0
++=
+=−
=−′
ℜ∈∀∈∀
=′=
=′′:Cauchy di problema del Soluzione
Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )( )xyfxy =′′
( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
→=
⋅′+−=′→<
⋅′+=′→>
⋅′=−′
⋅′=′′⋅′=′
⋅′=′′⋅′′∀≠
∃
ℜ∈∀∈∀ℜ∈∀
=
=′=
==′′
e.accettabil è costante soluzione la se e verificarbisogna 0y
xy ottengo integrando dttyfty2yxy0y
xy ottengo integrando dttyfty2yxy0y
dttyfty2yxy :Integriamo
xyfxy2xyxy2xydxd
:derivata la cioè
yfy2yy2 :Otteniamo
xy2per equazionel' iamomoltiplich e ,xper 0xy supponendo RisolviamoCauchy di problema del soluzione la !
y ,Dy ,x
Din continua f derivatacon ,intervallo Din continua sff
yxy
yxysfxyfy
1
x
x
211
x
x
211
x
x
21
2
2
1
100
s
10
00
0
0
0
:Cauchy di problema del Soluzione
15
Equazione differenziale del tipo: ( ) ( )byaxgxy +=′
( ) ( )( ) ( )( )zgbaz
ybazxybaxxz
:nesostituzio la operando
separabili variabilia una ad ricondotta essere può equazioneL'ba, 0,ba, continua, g Sia
+=′
′+=′+=
ℜ∈≠:Soluzione
Equazioni differenziali riconducibili ad omogenee:
++++=′
=′111 cybxa
cbyaxfy ,
xy
fy
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
sep. var.a 1
czcz
ba
zczcz
baz :Ottengo
cxzcxz
xyxybaxzxbyaxxz
:Pongo
cbyaxcbyax
fy la scrivere posso Quindi
bb
aa:dipendenti elinearment Sono 0
baba
3
1 caso
uv
ba
uv
ba f
vbuabvau
fv :ottengo e oSostituisc
u...xv...y
0cybxa0cbyax
di soluzioni le sono v,u dove
vyvvyuux
Pongo 0baba
2
separabili variabilia x
xtxtfxt :data eq.nell' oSostituend
xtxxtxyxxtxy
xxy
x tPongo
omogenea eq,
xy
ba
xy
baf
ybxabyax
fy 0cc 1
:in assegnate costanti c,b,ac,b,a, continua, f:Siano
1
1
1
1
1
1
11
1111
111
11
1111
1
111
=
+++
′
+++=′
++=′
′+=′+=
++++=′
==
∃=→
+
+=
++=′
====
=++=++
′=′
+=+=
≠→
−=′
+⋅′=′⋅=
=
+
+=
++=′==→
ℜ
µµ
µ
µµ
µµ
µ
:Soluzione
16
Equazione differenziale non normale di Clairaut: ( )ygyxy ′+′=
( )( )
( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
rette. le tuttedi inviluppo o singolare egraleint
tgtxtgtgtty
y tPosto
0ygx2C di variareal rette di famiglia :mentegeometrica c cgxcxy
:ottengono si data eq.nell' osostituend cost.yintervalloun in 0y1
0ygxy xygxyxdxd
xydxd
:data eq.l' Deriviamo
t,sola della funzionein y la definiscenon tuttaviaquesta tgxtyy tPongo
tyytxx
:aparametric soluzione una Cerco
:derivabile ivi e eintervabilun in continua g Sia
′−=+′−=
′=
=′′+→ℜ∈+=
=′=′′→
=′′+′′′+′=
+=′=
==
:Soluzione
Integrazione grafica per equazioni del tipo: ( )y,xfy =′
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
<+ℜ∈<′′
>+ℜ∈>′′
⋅+=′+=′′
<ℜ∈<′>ℜ∈>′
0fff:yx, punti nei0xy
0fff:yx, punti nei0xy
y,xfy,xfy,xfyy,xfy,xfy :convessità di Intervalli )2
0y,xf:yx, punti nei0xy
0y,xf:yx, punti nei0xy :monotonia di Intervalli )1
yx2
yx2
yxyx
2
2
:Soluzione
Equazioni del tipo: ( ) 0y,y,xg =′′′
( ) ( )( ) ( ) ( ) ordine 1 del aledifferenzi eq. 0z,z,xg
xyxzxyxz
:Pongo
:ordinel' abbassare può siy da enteesplicitam dipendenon g Poichè
°=′
′′=′′=
:Soluzione
Equazioni del tipo: ( ) 0y,y,yg =′′′
( )
( ) ordine 1 del aledifferenzi eq. 0zz,z,ygzzyz
dxdy
dydz
y
yyz :Pongo
: xda enteesplicitam dipendenon g Poichè
°=′
′=′′==′′
′=
:Soluzione
17
17
FUNZIONI IMPLICITE: La funzione implicita è del tipo: ( )( ) ( )( ) 0yx,gy,x,F oppure 0xy,xf ==
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )( )( )( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )( )( )xy,xf
fyffffyfxy
F
F
yg
; FF
xg
yx,gy,x,F :in xy,xfxy,xf
xy
yxf : xdi funzionein espressa essere puòy cui in
y di V intornoun e
x Udiintornoun
0y,xyf
0y,xf Se
Iy,xICf
aperto :II:y,xf
implicita funzione la xyy Detta
2y
yyyxxyxyxx
z
y
z
x3
y
x
00
0
0
o0
o0
o0
1
2
′++′+−=′′
−=∂∂−=
∂∂
=ℜ−=′
=
∃
≠
∂∂
=
∈∈
ℜ→ℜ⊂
=
:seconda Derivata
:prima Derivata
:implicite funzioni leper Dini di Teorema
( ) ( )( )( ) ( )( )
>′′==′
<′′==′
0xy
0y,xf0xy : sey per relativo minimo di puntoun è x
0xy
0y,xf0xy : sey per relativo massimo di puntoun è x
0
00x00
0
00x00
:relativi minimi e massimi dei Studio
FUNZIONI VETTORIALI. Matrice Jacobiana, e determinante Jacobiano:
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )00F
n
0m
2
0m
1
0m
n
02
2
02
1
02
n
01
2
01
1
01
n1
m10F
0i
mm1
n
xFxJ0m Se
xxf
...x
xfxxf
............xxf
...xxf
xxf
xxf
...xxf
xxf
x,...,xf,...,f
xJ
: variabilile tuttea rispetto Ain x teparzialmen derivabili sono A:f funzioni le Se
A:f,...,fF
aperto A
∇==
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
=
∈ℜ→
ℜ→=ℜ⊂
:Jacobiana Matrice
18
( )
( )[ ] ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )n
0n
2
0n
1
0n
n
02
2
02
1
02
n
01
2
01
1
01
n1
n10F
0i
nn1
n
xxf
...xxf
xxf
............xxf
...xxf
xxf
xxf
...xxf
xxf
x,...,xf,...,f
xJdet
: variabilile tuttea rispetto Ain x teparzialmen derivabili sono A:f funzioni le Se
A:f,...,fF
aperto A
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
=
∈ℜ→
ℜ→=
ℜ⊂:Jacobiano teDeterminan
Campi conservativi:
( )
( ) ( ) fg ; fg cioè yx,Fyx,g:che taleF di potenziale detta A:g scalare funzione una se
:se dice si
A:F , f,fF
2y1x
2221
===∇ℜ→∃
ℜ→ℜ⊂=voconservatiF
( )
( ) ( ) [ ]
( )( ) ( ) 0dtttfF :se voconservati è F che ha si
connesso, ntesempliceme ènon
chiusa,b.a:y,x:yx,I ma chiuso, è F Se
chiusa I 0F :allora voconservati è F Se
voconservati è F
xf
yf
:chiuso F
connesso ntesempliceme I
ICF
b
a
n
1i11i
1n
12
21
2
1
1
=′=
=ℜ→∉ℜ∈=
∈∀=
∂∂
=∂∂
ℜ⊂
∈
ℜ
=
γγ
γγ
γ
γ
γ
: in viconservati Campi 2
( )
( )
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
=
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂=
yf
xf
; xf
zf
; zf
yf
se 0Frot
kyf
xf
jxf
zf
izf
yf
fffzyx
kji
Frot
123123
123123
321
:F di Rotore
19
( )
( )voconservati è F
0Frot :aleirrotazion Fconnesso ntesempliceme I
ICF3
1
3
=ℜ⊂
∈
ℜ : in viconservati Campi
−ℜ
−ℜ−ℜ
−ℜ−ℜ
→ℜ
−ℜ
−ℜ−ℜ
−ℜ
→ℜ
connesso ntesempliceme è toro
connesso ntesempliceme ènon retta
connesso ntesempliceme è semispazio
connesso ntesempliceme è sfera
connesso ntesempliceme è 0,0,0
connesso ntesempliceme è semiretta
connesso ntesempliceme è retta
connesso ntesempliceme ènon crf.
connesso ntesempliceme ènon P
2
2
2
3
3
3
2
2
2
02
2
:connessi tesemlicemen Insiemi
Forma differenziale di un campo vettoriale:
( )
2y1x
21
21
fg , fg :g se esatta è w
dyfdxfw
:lediffernzia eq.un' associare può si esso ad e, vettorialcampoun f,fF Sia
==∃+=
=
Potenziale di un campo conservativo in 2ℜ :
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
0
02
0
01
x
x1
y
y022121
2
1
PgPgFdxvoconservati è F Se
.potenzialeun esprimere deve si insieme ogniper che visto
insieme, ogniper uno sceglierne dobbiamo e arbitrario è xpunto Il
xt x,yy
tx
yty ,ty
xx
dty,tfdtt,xfdyfdxfdyfdxfy,xg
fyg
:imponendo detrmina si y
ydxfy,xg
0021
−=
≤≤==
=
≤≤==
=
+=+++=
°
=∂∂
+=
°
γ
αα
αα
ϕ
ϕ
:Modo 2
:Modo 1
20
Potenziale di un campo conservativo in 3ℜ :
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) dtz,y,tfdtz,t,xfdtt,y,xfz,y,xg
z,y,xPz,y,xPz,y,xPz,y,xP
z,ydxfzy,x,g se fzg
e fyg
:imponendo detrmina si y
y,xˆdzfz,xdyfz,ydxfz,y,xg
x
x1
y
y02
z
z003
x02y001z0000
132
321
000
++=
=→=→=→=°
+==∂∂=
∂∂
+=+=+=
°
:Modo 2
:Modo 1
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
( )
IC regolare tegeneralmen chiusa curva ,0F che ha si
0F t.c.regolare tegeneralmen curva una Se
chiuso FICF
C
1
∈∀=
=∃
∈
γ
γ
:Teorema
CURVE
( )( )
( )( )
( )( )( )
=Ψ=
=→ℜ
Ψ==
→ℜ
==
tztytx
tytx
:aparametric formaIn )3
0yx,f :implicita formaIn )2xfy :cartesana formaIn 1)
3
2
χ
ϕ
ϕ
21
1
INTEGRALI: Metodo di integrazione per parti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′⋅−⋅=⋅′ dx xgxfxgxf dx xgxf
Metodo della sostituzione: ( )( )
( )( )( )
( )[ ] ( )dt tgtgf dx xfb
a
bgag
dttgdxtgx
′⋅=
==′=
=
β
α
βα
Integrali impropri:
)( ] ( ]
( ) ( )
)[ ) [ )
( ) ( )
→ℜ∈→∞±
==
ℜ→→
→ℜ∈→∞±
==
ℜ→→
−
+
→
→
b
a
x
abx
b
a
b
xax
CONVERGElDIVERGE
dt tflimdx xf
ba,in continua b,a:f
2
CONVERGElDIVERGE
dt tflimdx xf
ba,in continua b,a:f
1
( ]
( )
[ )
( )
→≤∃→>
=
ℜ→+∞
→≥∃→<
+∞=
ℜ→
+∞→
→ +
diverge intgralel'1 improprio sensoin integralel' 1
ordinecon 0xflim
continua ,a:f
diverge integralel' 1improprio sensoin integralel' 1
ordinecon xflim
continua b,a:f
x
ax
αα
α
αα
α
:Teorema
:Teorema
Integrali con parametro: ( ) ( )( )
( )
=xq
xp
dy y,xfxg
( )
( )[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( )
( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )xxuxkdttuxkxxuxhdttuxhb
xa
ββααβ
α
′−=′=′=′=
′⋅−′⋅+=′∃′′∃∈
ℜ⊂×=
∈
∈
, :NB
ba,in xq , xp , ACf Se
ba,in continua è g
Ib,aA
ACq , p
ACf
x
0x
2
0
0
xpxpx,f xqxqx,f dy yx,fxgxq
xpx
2
Integrali impropri con parametro: ( ) ( ) ( ) ( ) +∞
∞− ∞−
+∞
= dy y,xf ;dy y,xf ;dy y,xfxgc
c
( ) [ ] [ )
( ) ( ) [ ] [ ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∞+ ∞+
∞+
=′∃≤∃∈
+∞∈∀∈∀≤
+∞×=ℜ⊂∈
c cxx
0x
c
20
dy y,xfxg CONVERGE dy y eA in yyx,f che tale , ACf :Se
ba,in continua è g CONVERGE dy y :,cy , ba,x , yyx,f :Se
,cba,A ; A ; ACf
φφφ
ϕϕ
:integrale di segno il sotto ederivazion di Teorema
:continuità della Teorema
Trasformata di Laplace: ( )( )( ) +∞
−=0
sx dx esxf
( )( ) Laplace. secondo bile trasformaè f Mexf
che K tali, M costanti due esistono cioè leesponenzia ordine d e 0,in trattia continua è f Se:
kx ≤+∞
Teorema
INTEGRALI DOPPI:
Dominio normale: ( ) ( )( )
( )
=D
b
a
xq
xp
dy y,xfdxdy dx y,xf
( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ykxyh , dyc:y,xD
ykyh , d,cCyk,yh d,c , dc, Siano
xqyxp , bxa:y,xD
xqxp , b,aCxq,xp b,a , ba, Siano
2
0
2
0
≤≤≤≤ℜ∈≡
≤∈<ℜ∈
≤≤≤≤ℜ∈≡≤∈<ℜ∈
:y a rispetto normale Dominio
:x a rispetto normale Dominio
Formule di riduzione:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
=
=
D
d
c
yk
yh
D
b
a
xq
xp
dx y,xfdydy dx y,xf
:y a rispetto riduzione di Formula
dy y,xfdxdy dx y,xf
: xa rispetto riduzione di Formula
3
Proprietà uno:
( ) ( ) ( ) +=
∩=
21 DD D
21
dydx y,xfdydx y,xfdydx y,xf
DDD Se
Cambiamento di variabili in generale:
( )( )
( ) ( ) ( )[ ] dvdu
vu
vuvu, , v,u fdydx y,xf
y,u yv,u x
D D
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
⋅=
==
ψψ
φφ
ψφ
ψφ
Cambiamento di variabili in coordinate polari:
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ρϑρρϑϑρρϑρϑρ
ϑρϑρ
ϑ
ϑ
ρ
ρ
d , fdd d sen , cos fdydx y,xf
sen ycos x
2
1
2
1D D ⋅=⋅=
==
Area di un dominio normale piano:
( ) =D
dy dxD Area
:normale dominioun D Sia
Coordinate del baricentro di un dominio normale piano:
( )
( )D Area
dydx y
dydx
dydx yy
D Area
dydx x
dydx
dydx xx
D
D
DG
D
D
DG
==
==
Momenti di inerzia rispetto agli assi x, y e alla generica retta r:
( )( )[ ] dydx r , y,xdistI
dydx xI dydx yI
2
Dr
D
2y
D
2x
=
==
4
INTEGRALI CURVILINEI Forma parametrica di una curva:
[ ]
( )
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )
[ ] [ ]i1-ik10
2n
22
21
nn
22
11
n
a , a intervallo ogniin regolare è che taleba...aaa : ba, di nesuddivisio una :se I è t
ba,t 0t...ttt
: se è t
tx
tx
tx
t
b,a:
Γ=<<<=∃Γ
∈∀>′++′+′=Γ′
Γ
=
==
=Γ
ℜ→Γ
TRATT AREGOLARE
REGOLARE
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕ
Lunghezza di una curva:
( ) ( ) ( ) ( ) dt t...ttdsb
a
2n
22
21 ′++′+′==Γ
Γ
ϕϕϕL
Integrale curvilineo:
( ) [ ]
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) f. di graficoin e t tracompresa cilindrica superficie della Area ds f
dt t...ttt,...,tfds fIin continua acon tracci t
I:f
b,a:tb
a
2n
22
21n1
2
n
Γ=
′++′+′⋅=
Γℜ→ℜ⊂ℜ→Γ
Γ
Γ
ϕϕϕϕϕ
Coordinate del baricentro di una curva:
( )
( )
Γ
Γ
Γ=
Γ=
ds y1
y
ds x1
x
G
G
L
L
Momento di inerzia di una curva rispetto a una retta o ad un punto o a un piano:
calcolarlo cui da piano dal o retta dalla o punto dal p punto del distanza d
ds dI 2
Γ∈=
= Γ
FORMULE DI GAUSS-GREEN
T. di esternol' versoorientata e Con . normale un versore e tangenteun versore ammette T:regolare tegeneralmen curva una da costituita T frontieracon di regoare dominioun T Sia 2
ντνντ ⊥∂∂ℜ
5
Vettori ντ , :
( )( ) [ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
yx
x ,
yx
y
ba,t yx
y ,
yx
x
ba, ttyytxx
T
2222
2222
′+′
′−′+′
′=
∈∀
′+′
′
′+′
′=
∈
==
=∂
ν
τ
Formule di Gauss-Green:
)
)( )
+−=+
−=
=
∂+
∂+
∂+
T Tyx
T Ty
T Tx
dy gdx fdydx fgdx fdydx f 2
dy gdydx g 1
Area di T:
) ( )
) ( )( ) dy xdx y
21
TAreadx ydydx TArea 2
dy xdydx TArea 1
T
T T
T T +−=
−==
==
∂+
∂+
∂+
FORMULE DI INTEGRAZIONE PER PARTI PER GLI INTEGRALI DOPPI
⋅∂∂−⋅−=
∂∂
⋅∂∂−⋅=
∂∂
∂+
∂+
TT T
TT T
dydx gyf
dx gfdydx yg
f
dydx gxf
dy gfdydx xg
f
INTEGRALI DI SUPERFICIE: Area di una superficie:
( )( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
=
∂∂=
∂∂=
∂∂=
++=
∈
===
=Γ
Γℜ→ℜ⊂ΓΓ
vvv
uuuS
D
222
32
zyxzyx
Jcon v,uy,x
C , v,ux,z
B , v,uz,y
A
dydx CBASArea
xy.piano sul S di proiezione la è D Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx
di codominio il è S , D:
:S superficie una di aparametric azionerappresent la Sia
6
Integrali di superficie:
( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )( ) dvdu CBA v, uz , v, uy , v, uxfd f
xy.piano sul S di proiezione la è D Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx
di codominio il è S , D:
:S superficie una di aparametric azionerappresent la Sia
S D
222
32
++⋅=
∈
===
=Γ
Γℜ→ℜ⊂ΓΓ
σ
COORDINATE CILINDRICHE E SFERICHE:
( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
R. raggio e O centro di sfera R
sen,,z,y,x
cosz
sensenycossenx
z. asseall' intorno rotazione di circolare cilindro R
z,,z,y,x
zz
senycosx
2
=
=∂∂
===
=
=∂∂
===
ρ
φρϑφρ
φρϑφρϑφρ
ρ
ρϑρ
ϑρϑρ
:Sferiche
:eCilindrich
FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE:
( )
( )
( )( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
[ ]
++=•=Φ
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∈
===
=
++==
•=Φ
Φ
ℜ⊂=
D321
SS
222
SS
3221
dvdu CfBfAfd
v,uy,x
C , v,ux,z
B , v,uz,y
A
Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx
S
CBA
C,B,ANN
d
:è S ad normale della versonel e direzione nella S attraverso di flusso il AlloraA.in contenuta superficie una S Sia
.A aperto insiemeun in definito e vettorialcampoun f,f,f Sia
σ
σ
nF
n
nF
F
F
7
TEOREMA DI STOKES (circuitazione di F lungo una curva chiusa S∂ ):
( )( )
( )
( )( )( )( )
( )
( )( ) [ ]
( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
[ ]
( )( ) ( )
dtttf
ba, ttv, tuzztv, tuyyt v, tuxx
S
ba, t tvvtuu
D
Dvu, v,u zzv,u yy v, uxx
S
di codominio il è S , D:
fffzyx
kji
d :è S attraverso di rotore del flusso Il
e. vettorialcampoun f,f,f Sia
b
a
n
1ii
S
32
321
SS
221
Ω− Ω+
=Ω=∂+
∂+
−=
Ω′Ω=
∈
===
=∂+
∈
==
=∂+
∈
===
=Γ
Γℜ→ℜ⊂Γ
∂∂
∂∂
∂∂=
•=
=
FF
F
:vettoriale campo un di curvilineo Integrale
Frot
nFrotFF
F
σ
INTEGRALI TRIPLI:
Formula di riduzione: ( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
==y,x
yx,
xq
xp
b
aD A
y,x
yx,
dz z,y,xfdydxdz z,y,xfdy dx dzdy dx z,y,xfβ
α
β
α
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
==
≤≤≤≤≡≤≤∈≡
y,x
yx,
xq
xp
b
aD A
y,x
yx,
dz z,y,xfdydxdz z,y,xfdy dx dzdy dx z,y,xf
:allora Din continua è zy,x,f seba,in continue xq , xp xqyxp , bxa :yx,A
Ain continue yx, , yx, y,xzyx, , Ay,x:zy,x,D
β
α
β
α
βαβα
Formula generale di cambiamento di variabili:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ∂
∂⋅=
===
D D
dw dvdu w,v,uz,y,x
wv,u,z , wv,u,y , w,v,uxfdzdy dx z,y,xf
wv,u,zz wv,u,yy w,v,uxx
8
Formula di cambiamento di variabili in coordinate sferiche:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⋅=
===
D
2
D
d d d sen, ,fdzdy dx z,y,xf
cosz cos seny cos senx
ϕρϑφρφρϑ
φρϑφρϑφρ
Integrali tripli per sezioni:
( )
( )
( )
( )
==D
b
a D
b
a
z,y
z,y
zq
zp
z
z
dx fdy dzdydx fdz dzdy dx f
:D di sezione opportunaun' D e oconsiderat volumeil D Siaβ
α
Volume: ( ) ==V V
dz d d dzdy dxDVol ϑρρ
Coordinate del baricentro di un solido:
( ) ( ) ( )VVolume
dzdy dx zz ,
VVolume
dzdy dx yy ,
VVolume
dzdy dx xx V
GV
GV
G
===
DIVERGENZA:
( )
( )zf
yf
xf
div
e. vettorialcampoun f,f,f Sia
321
221
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
=
F
F
Teorema della divergenza o di Gauss:
( )( ) σddzdy dx div
:chiusa superficieV , f,f,f :e vettorialcampoun Sia
Vesterna
V
321
∂
•=
=∂=
nFF
FF
Teoremi di Guldino:
)( ) ( ) ( )
)( ) ( ) ( )Γ⋅Γ=Γ
Γ
⋅=
G
SG
y2lSArearotazione di superficie una di area2
y2SAreaVVolumerotazione di solido un di volume1
π
π
: di baricentro dal descritta nzacirconfere laper meridiana curva della lunghezza della prodotto al uguale è S L'
:S di baricentro dal descritta nzacirconfere della lunghezza laper S meridiana sezione una di areadell' prodotto al uguale è V Il
Relazioni importanti:
( ) ( ) ( )( ) 0Frotdiv , fffffdiv , 0frot:e vettorialfunzione una F scalare, funzione una f Sia
zzyyxx =++=∆=∇=∇
9
LIMITI NOTEVOLI
1.
<<→>→∞+
=+∞→ 10 0
1
a
aalim x
x
2.
<<→∞+>→
=−∞→ 10
1 0
a
aalim x
x
3.
<→>→∞+
=+∞→ 0 0
0
b
bxlim b
x
4. ( ) +∞=
+∞→xloglim
x
5. ( ) −∞=
+→xloglim
x
0
6. ( ) ( )0 0 >=
+∞→b
xxlog
lim bx
7. ( ) ( )0 0
0>=
+→bxlogxlim b
x
8. ( )
=
>>=
−∞→
+∞→
0
0 , 1 0
b
x
x
x
b
x
xa
lim
baax
lim
9. 0 =⋅
−∞→
x
xexlim
10. ex
limx
x=
+±∞→
11
11. ( )
1 0
=→ x
xsenlimx
12. ( )0 0
0
>=→
aaalim xx
xx
13. ( )0 0
b0
0
>=→
xxxlim b
xx
14. ( ) ( ) ( )0 00
0
>=→
xxlogxloglimxx
15. ( ) ( ) 0
0
xsenxsenlimxx
=→
16. ( ) ( ) 0
0
xcosxcoslimxx
=→
17. ( ) ( )1 0 >=
+∞→a
axlog
lim xx
18. bx
xe
xb
lim =
+±∞→
1
19. ( ) ( )0 0
0>=
→b
xxlog
lim bx
20. ( ) 1
0alog
xa
limx
x=−
→
21. ( )
2
−∞=+
−→
xtglimx
π
22. ( )
2
+∞=−
→
xtglimx
π
23. ( )2
π−=
−∞→xarctglim
x
24. ( )2
π=
+∞→xarctglim
x
25. ( ) +∞=
+→xctglim
x
0
26. ( ) −∞=
−→xctglim
x
π
27. ( ) π=
−∞→xarcctglim
x
28. ( ) 0 =
+∞→xarcctglim
x
29. 1 =
+∞→
n
nnlim
30. e!n
nlim
nn=
+∞→
31. ( ) 0
0=−
→ +
xlog
xxlim
32. ( )
( ) 01
0
=++→ xlog
xloglimx
33. 0
0=
+→xlogxlim
x
34. ( ) 01
0=+−
→tlogxlim
x
35.
( ) ( )( ) non
00∃=
→ylogxlim
,y,x
36.
( ) ( ) non
00∃=
→
x
,y,xylim
37. ( )( )
0
0
ord.
ord.
0
>→∞>→=→
= → →
→βαβαβα
β
α o
l
xg
xflim
xx
LIMITI NOTEVOLI
1.
<<→>→∞+
=+∞→ 10 0
1
a
aalim x
x
2.
<<→∞+>→
=−∞→ 10
1 0
a
aalim x
x
3.
<→>→∞+
=+∞→ 0 0
0
b
bxlim b
x
4. ( ) +∞=
+∞→xloglim
x
5. ( ) −∞=
−∞→xloglim
x
6. ( ) ( )0 0 >=
+∞→b
xxlog
lim bx
7. ( ) ( )0 0
0>=
+→bxlogxlim b
x
8. ( )
=
>>=
−∞→
+∞→
0
0 , 1 0
b
x
x
x
b
x
xa
lim
baax
lim
9. 0 =⋅
−∞→
x
xexlim
10. ex
limx
x=
+±∞→
11
11. ( )
1 0
=→ x
xsenlimx
12. ( )0 0
0
>=→
aaalim xx
xx
13. ( )0 0
b0
0
>=→
xxxlim b
xx
14. ( ) ( ) ( )0 00
0
>=→
xxlogxloglimxx
15. ( ) ( ) 0
0
xsenxsenlimxx
=→
16. ( ) ( ) 0
0
xcosxcoslimxx
=→
17. ( ) ( )1 0 >=
+∞→a
axlog
lim xx
18.
1
SERIE NUMERICHE: Definizione di serie:
∞+
=
=∈
∈
=+++=
=
0nn
n
0kkn10Nnn
n10Nnn
n n
a :risulta data serie la Allora
aa...aas
a,...,a,aa
:che taliisuccession dues a Siano
Definizione di successione delle ridotte o somma parziale:
( )
±∞=+∞=
=ℜ∈=
=
=
∞+
=
∞+
=
=
+∞
=
0kknn
0kknn
nn
n
0kkn
0nnnn
a : data serie la slim
Sa:serie della somma la S sia è data serie la lslim
è data serie la esistenon slim
:as con slim moconsideria a serie la Data
ntenegativame o ntepositivame o diverge
econvergent
ataindetermin
Definizione di resto della serie:
+∞
+=
=1nk
kn data serie della ntocomportame stesso lo ha ar
Teorema del CONFRONTO:
ntocomportame stesso lo hanno serie due le allora nn , ba :Nn che Supponiamo
b , a :serie le date Siano
nn
0n 0nnn
≥∀=∈∃
+∞
=
+∞
=
Teorema di CAUCHY:
( )esufficientnon ma necessaria condizione 0alim allora converge serie la Se.Oss
a a-assn m Se
.Oss
s-s risulta nnm, se t.c.Nn 0 :cioè
s ridotte delle esuccession laper Cauchy di condizione la vale convergeCauchy di serie La
nn
m
1nkk
m
0k
n
0knknm
mn
Nnn
=
<==−>
<>∈∃>∀
⇔
+∞→
+== =
∈
ε
εε
2
Serie GEOMETRICA: ragione x, x, x0n
n =ℜ∈+∞
=
( )( ) 1n
n
1n2nn
1n2n
n
0k
nkn
x1sx-1 :Ottengo
x...xxx...x1sx-1 :ottengo eq.2 la meno eq.1 la membro a membro Sottraendo
x...xx xs: x""per membri i ambo Moltiplicoeq.2
x...x1xs :ridotte delle esuccession la Consideroeq.1
+
+
+
=
−=
−−−−+++=°°
+++=→°
+++==→°
( ) ( )
( )
∞+
=
+
−=
≤∃>∞+
<−
=
<<−
−=→≠
+∞=+=+=++++=→=
pn
pn
nn
1n
n
nnnn
x1x
x
.Oss
ATAINDETERMIN Serie -1 xse nonNTEPOSITIVAME DIVERGE 1 xse
CONVERGE1x se x1
1
s lim
frazione. una è 1x1-
limite il studio e x1
x1s ottengo e x-1per divido
1n lims limn11...111s
1x
1x
Serie TELESCOPICA: ( )+∞
= +1n 1nn1
( )
CONVERGE 11n
11
1n1
n1
...31
21
21
11k
1k1
s
1n1
n1
1nn1
a
n
n
1kn
n
→+
−=+
−++−+−=
+−=
+−=
+=
+∞→=
Serie ARMONICA: +∞
=1n n1
NTEPOSITIVAME DIVERGE data serie la quindi2n
1lim poichè limitata ntesuperiorme ènon ridotte delle esuccession La
2n
1s
n
2n
+∞=
+
+>
+∞→
Serie ARMONICA GENERALIZZATA: +∞
=
>⇔1n
1 CONVERGE n1 αα
3
Osservazione:
( )onemaggiorazi s-Sr Se rs-S :Quindi
Nn ,rsS :ha si n, fermo lasciando e mper Allora
aram Se
asaaas :ha si esima-m ridotta lan m Preso
somma. la S sia , a ECONVERGENT serie una Data
nnnn
nn
0kkn
m
1nkk
m
0k
n
0k
m
1nk
m
1nkknkkkm
0nn
αα <<=∈∀+=+∞→
==+∞=
+=+==>
∞+
=+=
= = += +=
+∞
=
serie della Somma
CRITERI DI CONVERGENZA: ( )" nn :Nn" di ipotesil'con sostituita essere può N"ndi" ipotesiL' >∀∈∃∈∀ Criterio del CONFRONTO: (per serie non negative)
∈∀≤
∈∀≥≥
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+∞
=
+∞
=
0n 0nnn
0n 0nnn
nn
0n 0nnnnn
NTEPOSITIVAME DIVERGE b NTEPOSITIVAME DIVERGE a serie la :se
CONVERGE a CONVERGE b serie la :se :Allora
N.n ba Supponiamo
Nn 0b , 0a che talib , a :serie le date Siano
Criterio del RAPPORTO:
=><
∈∀>
+
+∞
=
niente. conclude sinon 1lNTE.POSITIVAME DIVERGE serie la1l
CONVERGE. serie la1l:ha si l valee esiste Se
aa
lim :limite il consideri Si
Nn ,0a che talea :serie la data Sia
n
1n
n
0nnn
Criterio della RADICE:
( )
><
∞+≥
∈∀≥+∞
=
NTEPOSITIVAME DIVERGE serie la1lCONVERVE serie la 1l
:ha si oppure 0l l valee esiste Se
a lim :limite il consideri Si
Nn ,0a che talea :serie la data Sia
nnn
0nnn
4
Criterio INTEGRALE:
( ) [ )
( ) ( )
[ ) ( ) ( )
−→
∞+
=
∞+
=ℜ→
⇔
+∞
b
a
x
abx
0n 0
dttflimdxxgcontinua g
ba,:g
.Oss
CONVERGE dxxf CONVERGE essa nf :serie la consideri Si
.1, intervallonell' edecrescent e positiva continua, funzione una xf Sia
Corollario del criterio del CONFRONTO:
+∞=
=>ℜ∈
+∞
=
+∞
=
DIVERGE a DIVERGE b e l
CONVERGE a CONVERGE b e 0l
ntocomportame stesso lo hanno serie due le 0l , l
:l valee esiste limite il Se
ba
lim :limite il Considero
positivi. terminia b e a :serie le date Siano
nn
nn
n
n
n
0n 0nnn
Criterio DELL’ORDINE DEGLI INFINITESIMI:
( )
≤⇔+∞=>⇔=
≤>
+∞∈
∈∀≥
+∞→
+∞
=
1DIVERGE data serie la l1CONVERGE data serie la 0l
DIVERGE data serie la 1CONVERGE data serie la1
0,l
:l valee esiste limite il Se
:allora
n1
alim : limite il Considero
Nn ,0a che talea :serie la data Sia
n
n
0nnn
αα
αα
α
Teorema dell’ASSOLUTA CONVERGENZA: (per serie di segno qualunque)
. viceversail non vale ,NTEASSOLUTAME CONVERGE a CONVERGE a Se0n 0n
nn +∞
=
+∞
=
radice. della e rapporto del criterio ilper anche valeaconvergenz assolutadell' teoremail Allora
:qualunque segno di a a :serie la data Sia0n
nn+∞
=
5
Serie di segno alterno: ( ) ( ) +∞
=
+∞
=
+ ∈∀≥−0n 0n
nn1n
nn Nn ,0a , a1- oppure a1
Criterio di LEIBNITZ:
( )
( )
=+
+
∞+
=
−=≤
ℜ∈∀≤
=
∈∀≥
n
0kk
kn1nn
n1n
nn
0nnn
n
a1s dove as-S
CONVERGE serie la Allora
n aa
0a lim
Nn 0a a1-
:che Supponiamo
SERIE DI FUNZIONI:
( )
( ) ( )
=
+∞
=
=
ℜ∈∀ℜ⊂ℜ→∈
n
0kkn
n0n
n
xfxs :Somma
.n I , I:f dove I x, xf è funzione di serie Una
Definizione: Insieme di convergenza: converge serie la cuiper x delle insiemel' E'
Serie GEOMETRICA: ℜ∈+∞
=
I , x0n
n
( ) ( ) 1 , 1-xin converge serie la 1 , 1- è aconvergenz di insiemeL'
1x TEPUNTUALMEN CONVERGE x serie La0n
n
∈∀
<⇔+∞
=
Serie TELESCOPICA: ( )+∞
=
+ +−1n
n1n 1xx
( ) ( )
( )
( ) continua. ènon n , xs somma la tuttaviacontinue, funzioni sono serie della terminii TuttiN.B.
-1 xse non 1 xse
1 xse 1
1x se 0
xlimxs lim
xxx...xx1x1xxxs
n
1n
nnn
n
0k
1nn1n2k1kn
+∞→
≤→∃>→∞+
=→<→
==
=−++−+−+=−=
+
=
+++
6
Definizione di CONVERGENZA UNIFORME:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=∈−
<∈−≥∈∃>∀•
<−≥∈∈∃>∀•
ℜ→
∈
0Ix:xfxfsup lim
:cioè Ix:xfxfsup :risulta nn se che tale, Nn 0
xfxf :risulta nn e I xse che tale x,da teindipenden n , Nn 0
:seconda la o prima la o verificasi se f a Iin ENTE UNIFORMEMCONVERGE f che dice si
x.da teindipenden I ,I:f
nn
n
n
Nnn
n
εεεε
Teorema sulla CONTINUITA’ di f in I:
[ ]
( )( )
( ) ( ) 0nn
000
nn
n
n
in x continua è f Allora Iin nteuniformeme Ix , xfxf lim
I x, xCf ,I:f
locale studio Oss.
I.in continua è f AlloraIin f a nteuniformeme converge f
continua ,b,aI:f
∈∀=
∈∈ℜ→
ℜ→=
Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli limitati per le successioni:
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ==
=ℜ→ b
a
b
annnn
ndxxfdxxflim Iin nteuniformeme , xfxf lim
Iba,in continua , b,a:f
Teorema di INTEGRAZIONE SU INTERVALLI LIMITATI per le serie:
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )
∞+
=
∞+
=
==
=ℜ→ b
a 0n
b
an
0nn
n
dxxfdxxS Iin nteuniformeme , xSxf
Iba,in continua , b,a:f
CRITERI DI CONVERGENZA: Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA UNIFORME - per succesioni di funzioni:
( ) ( ) Iin ENTE UNIFORMEMCONVERGE f Ix , xfxf :risulta
,nnm, se che, x taleda teindipenden Nn , 0 :cioè Cauchy, di condizione la a verificatE'
I , I.f
nmn
n
⇔∈∀<−≥∈∃>∀
ℜ⊂ℜ→
εε
Criterio di CAUCHY per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) εε <=−>≥∈∃>∀⇔ →
ℜ⊂ℜ→
+=
∞+
=
m
1nkknm
0nUNIFn
n
xfxSxS :ha si nm nnm, se che taleNn , 0xSxf
I , I.f
7
Criterio di WEIERSTRASS per la CONVERGENZA TOTALE - per serie di funzioni:
( )
( )
∈∀∈∀≤∃
ℜ⊂ℜ→
∈
+∞
=
Iin menteuniformenì anche converge f converge ce
Nn , Ix cxf :che talenumerica esuccession c cioè Iin e totalmentconverge f :Se
I , I:f , xf
nn
nnNnnn
n1n
n
Teorema di CONVERGENZA UNIFORME - per serie a segni alterni:
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
Iin nteuniformeme converge data serie la
Iin nteuniformeme 0xf lim
xfxf
Iin 0xfcon xf1
nn
n1n
0nnn
n
=≤
≥−
+
+∞
=
Teorema di PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE su intervalli non limitati per le successioni:
[ ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
∞+∞+
∞+
=
∈∀∈∀≤∈∃=
∈ℜ→+∞=
aann
an
0nn
0nn
dx xfdx xf lim
converge dx xg se e Nn , Ix xgxf che taleICg Iin nteuniformeme ff lim
ICf , ,aI:f
Teorema di INTEGRAZIONE su intervalli non limitati per le serie:
[ )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
∞+ ∞+
=
∞+
∞+
=∈∀
≤ℜ→∃ →
ℜ→+∞=
a 0n an
anUNIFn
n
dx xfdx xf :allora ,Ix
xgxS convegedt tg che taleI:g I,in contenuto limitato intervallo ogniin ff
continua , ,aI:f
Teorema di DERIVAZIONE per le successioni:
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )
∈∀=′
∈∀=∃∈∀
→′
ℜ∈=∃∈∃∈ℜ→
Ix xxf :risulta e Iin derivabile è f Inoltre
Ix xf limxf
Ix converge xf
Iin f
lxf lim che taleIx
ICf ,intervallo I , I:f
nn
n
UNIFn
0nn0
1nn
ϕϕ
8
Teorema di DERIVAZIONE per le serie:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
∈∀=′
→′
∃∈∃
∈ℜ→
∞+
= Ix xxS :ha si serie della somma la xS DettaI di punti i in tutti converge data serie La
Iin f
converge xf che taleIx
ICf ,intervallo I , I:f
UNIFn
1n0n0
1nn
ϕϕ
Casi particolari di SERIE DI FUNZIONI:
( )
( ) ( )( )
∞+
=
+∞
=
+
−
1nnn
0
0n
n0n
nxsenbnxcosa2
a :
xxa :
ricatrigomomet Serie
potenze di Serie
Lemma fondamentale per le serie di potenze (con punto iniziale 0x 0 = )
xx punti nei nteassolutame anche converge serie la allora 0x certoun in converge serie la Se
xa0n
nn
<≠
+∞
=
Raggio di convergenza:
))) ℜ∈∀+∞=
><>==
∞+≥∃+∞
=
x nteassolutame converge serie la r 3
rx se convergenon serie la ,rx se nteassolutame converge serie la 0r 2
0per x solo converge serie la 0r 1
:che tale nteeventualme 0,r numeroun , xa :potenze di serie la Data0n
nn
Teorema della convergenza totale:
( )
[ ] ( )[ ]ba,in e totalmentconv. serie la Allora
r,rb,a che modoin rb, a Siano
nteeventualme 0r aconvergenz di raggiocon xa0n
nn
−⊂<
∞+>+∞
=
Teoremi importanti:
[ ] ( ) [ ]
∞+
=
−
∞+
=
−
+∞
=
−⊂
′=
′
1n
1nn
1n
1nn
0n
nn
ba,in nteuniformeme converge serie la allora e, totalmentconverge xna ;r,rba, Se
rrr aconvergenz di raggio ha xna
r aconvergenz di raggio ha xa
9
SVILUPPI IN SERIE NOTEVOLI:
1. ...n!x
...2!x
x1n2
+++++=xe
2. ( ) ( ) ( ) ...!12n
x...
3!x
x12n
n3
++
−++−=+
1xsen
3. ( ) ( ) ( ) ...!2n
x...
4!x
2!x
12n
n42
+−+−+−= 1xcos
4. ( ) ( ) ( ) ( )bx...xb!n
na...aa...xabb nn-a1aa <++−−+++=+ −
11axb
5. ( ) ( )( ) ( )( )...
!nalogx
...!alogx
alogxn
+++++=2
12
xa
6. ( ) ( )( ) ( )1
12264212531
7642531
54231
321 12753
<++⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
⋅⋅+⋅⋅
⋅⋅+⋅
⋅+=+
x ...nn...xn...
...xxx
xn
xarcsen
7. ( ) ( ) ( ) ( )1 175
75
≤++
−++−+−=+
x ...12n
x...
xx3x
x12n
n3
xarctg
8. ( ) ( ) ...!12n
x...
3!x
x12n3
++
+++=+
xsenh
9. ( ) ( ) ...!2n
x...
4!x
2!x
12n42
+++++=xcosh
10. ( ) ( ) ( )( ) ( )1
12264212531
17642
531542
3132
12753
≤++⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅+⋅
−=+
x...nn...xn...
...xxx
xn
nxsenhsett
11. ( ) ( ) ( )1 75
75
<++
+++++=+
x ...12n
x...
xx3x
x12n3
xtghsett
12. ( ) ( ) ( )11 132
132
≤<+−+−+−=+ + x-...nx
...xx
xn
nx1log
13. ( )1x 1253
21253
<
+
+++++=
−+ +
...n
x...
xxx
n
x1x1log
14. ( ) ( )0 11
121
11
31
11
2123
>
+
+−
+++
+−+
+−=
+
x ...xx
n...
xx
xx
n
xlog
15. ( ) ( )
+++=+ ...
!x
!x
x95
295
xsenxsenh
16. ( ) ( )
+++=+ ...
!x
!x
8412
84
xcosxcosh
17. ( )1x1- 1 5432 <<++++++=−
...xxxxxx1
1
18. ( ) ( )11- 112
5403
61
2753 <<−−−−−=− x...xxxx
πxcos 1
19. ( )
+++−=+− ...xxxx 32
8965
1603
21
12x1cosh 1
20. ( ) ...xxxxx
−−−−−= 753
47251
9452
451
311xcot
21. ( ) ...xxxxx ++−+−= −−−−−− 97531
91
71
51
31xcot 1
22. ( ) ...xxxxx +−+−+= − 7541
47251
9452
451
31xcoth
23. ( ) ( ) ( ) ...xxxlnln +−+−=+− 2
161
41
21
221x1coth 1
24. ( ) ...xxxxx +++++=− 9753
115235
1125
403
61xsin 1
25. ( ) ...xxxxx −+−+−=− 9753
115235
1125
403
61xsinh 1
26. ( ) ...xxxxx +++++= 9753
283562
31517
152
31xtan
27. ( ) ( )11 71
51
31 753 <<−+−+−=− x...xxxxxtan 1
28. ( ) ...xxxx +++−+=+− 532
401
121
41
21
4πx1tan 1
29. ( ) ...xxxxx ++−+−= 9753
283562
31517
152
31xtanh
30. ( ) 71
51
31 753 ...xxxx ++++=− xtanh 1
SERIE
∞
=
=− 0n
nxx1
1
( ) ( )( )
∞
=
−=0
2
21
n
nn
x!n
xcos
∞
=
=0
1
n
nx!n
xe
( ) ( )
∞
=
+−=+1
11
n
nn
xn
x1ln
( ) ∞
=
−
−=
−+
1
12
122
n
nxnx1
x1ln
( ) ( )( )
∞
=
−+
−−=
1
121
121
n
nn
x!n
xsen
( ) ( )( )
∞
=
−+
−
−−=
1
121
121
n
nn
xn
xtan 1
( ) ( ) ∞
=
−−
−=
1
12
121
n
nxn
xtan 1
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