Formulario Pre Universitario

POP

EFsquema

ormulario

POPPOP

4 ESQUEMA – FORMULARIO

NÚ

ME

RO

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

4

ÍND

ICE

�� Números y Operaciones ................. 3�- Sistema decimal�- Razones�- Magnitudes proporcionales�- Reparto proporcional�- Regla de tres�- Divisibilidad�- Criterios de divisibilidad�- Números primos�- MCD y MCM I�- MCD y MCM II�- Fracciones I�- Fracciones II�- Porcentajes I�- Porcentajes II

�� Álgebra ........................................ 8�- Exponentes�- Polinomios�- Productos notables�- División algebraica�- Factorización�- Ecuaciones de primer grado�- Planteamientos I�- Ecuaciones cuadráticas�- Planteamientos II�- Función lineal, cuadrática y aplicaciones

�� Geometría y Medidas .................... 19�- Triángulos – Líneas notables�- Triángulos notables�- Razones trigonométricas de ángulos agudos�- Cuadriláteros I�- Cuadriláteros II�- Circunferencia I�- Circunferencia II�- Polígonos�- Relaciones métricas�- Áreas triangulares�- Áreas cuadrangulares�- Áreas circulares�- Relación de áreas

x

5ESQUEMA – FORMULARIO

NÚ

ME

RO

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

Sistema decimal

�� Descomposición polinómica abcd = a×103 + b×102 + c×10 + d�� Conteo de cifras

Sea 1, 2, 3, ...

ncifras

abcd...xyz

La cantidad de cifras utilizadas = ncifras

(abc...xyz 1)n 111...111= –

�� Progresión aritmética

Suma de términos =

+último primero2

.#términos; #términos = –último primerorazón

+ 1

Razones

�� Razón aritmética: a – b

a : antecedenteb : consecuente

�� Razón geométrica: ab

�� Razones equivalentes: 31 2 n

1 2 3 n

aa a a.... k

b b b b= = = = =

• 1 2 3 n

1 2 3 n

a a a ... ak

b b b ... b+ + + +

=+ + + +

• n1 2 3 n

1 2 3 n

a a a ... ak

b b b ... b=

× × × × × × × ×

Magnitudes proporcionales

�� Si: A DPB A ConstanteB

=⇒ �� Si: A IPB A B Constante=⇒ ×

�� Si: A DPB A C ConstanteBA IPC

= ×

Reparto proporcional

�� Si N se reparte en forma DP a los números a, b y c

1 2 3P P P N+ + =∴ y 31 2 PP PConstante

a b c= = = .

�� Si N se reparte en forma IP a los números a; b y c.

1 2 3P P P N+ + =∴ y P1.a = P2.b = P3.c = Constante.

6 ESQUEMA – FORMULARIO

NÚ

ME

RO

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

Regla de tres�� DP

=

�

obreros tiempo Constanteobra

=×

Divisibilidad

��o o on n n+ = ��

o o on n n– =

��o on.k n(k )= ∈ ��

o ok(n) n (k )∈ +=

�� ( )

o

oo

o

N A r

N B r N MCM A,B,C r

N C r

= +

= + = +

= +

⇒

�� o o o o o

1 2 3 x 1 2 3 x(n r ) (n r ) (n r )...(n r ) n r r r ... r+ + + + = +

Criterios de divisibilidad

�� Si: o o

abcd 2 d 2= =→

�� Si: o o8 4b 2c d 8= + + =→

�� Si: o o

abcd 9 a b c d 9= + + + =→

�� Si: o o

abcd 25 cd 25= =→

�� Si: o o4 2c d 4= + =→

�� Si: o o

abcd 3 a b c d 3= + + + =→

�� Si: o o

abcd 5 d 5= =→

�� Si: o o

a b c d e 11 a b c d e 11= – + – + =+– – –+

→

�� Si: o o7 f 3e 2d c 3b 2a 7= + + – – – =→

7ESQUEMA – FORMULARIO

NÚ

ME

RO

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

Números Primos

Sea "N" descompuesto canónicamenteN = Aa × Bb × Cc

�� #div. N = (a + 1)(b + 1)(c + 1)

�� #div. comp. (N) = #div. (N) – #div. primos(N) – 1

MCD y MCM I

Si: A = 23 . 54. 32 . 11

MCD(A;B) = 23 . 53 . 32

B = 25. 53. 36. 7 MCM(A;B) = 25 . 54. 36. 7 . 11

Para el MCD

�� Si o

A B Bk; k y A BMCD(A;B) B= =

=∈ >

∴

�� Si A yB son PESIMCD(A;B) 1=∴

�� Si MCD(A; B; C) = d

; Cn) dn ;

;

MCD(An; Bn

A B C dMCD ; ;n n n

n 0

0n

n

=

=

∴

≠

≠

�� Si M = MCD(A; B) y N = MCD(C; D)

MCD(A; B; C; D) = MCD(M; N)

Para el MCM

�� Si o

A B Bk; k y A BMCM(A;B) A= =

=∈ >

∴

�� Si A yB son PESIMCM(A;B) A x B=∴

�� Si MCM(A; B; C) = P

; Cn) Pn ;

MCM ;

MCM(An; Bn

A B C P; ;n n n

n 0n

n 0=

=

∴

≠

≠

�� Si R = MCM(A; B) y T = MCM(C; D)

MCM(A; B; C; D) = MCM(R; T)

Relaciones entre el MCD y MCM para dos números

8 ESQUEMA – FORMULARIO

NÚ

ME

RO

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

MCD y MCM II

Fracciones I

Fracciones II

��

�� abc0,abc1000

=

�� abcd aba,bcd

990–=

�� Relación parte-todo

�� Reducción a la unidad Si un caño llena un tanque en 4

horas, en una hora llena la cuarta parte del tanque.

��

��

abcd aa,bcd999

–=

�� Fracción propia: Si aF a bb⇒ <=

�� Fracción impropia: Si aF a bb

= ⇒ >

�� Fracción común u ordinaria: Si naF b 10 ;n Zb

+= ⇒ ≠ ∈

�� Fracción decimal: Si naF b 10 ;n Zb

+= =⇒ ∈

9ESQUEMA – FORMULARIO

NÚ

ME

RO

S Y

OP

ER

AC

ION

ES

Porcentaje I

�� N=100% N

�� a%N ± b%N = (a ± b)%N

�� 2 descuentos sucesivos del a% y b% equivalen a un descuento único de:

a.ba b %100

+ –

�� 2 aumentos sucesivos del a% y b% equivalen a un aumento único de:

a.ba b %100

+ +

Porcentaje II

�� Pv = Pc + G �� Pv = Pc – P �� Pv = Pf – D �� Las ganancias o las pérdidas generalmente son porcentajes del precio de costo.�� Los descuentos o las rebajas siempre son porcentajes del precio fijado o de lista.

Interés simple

�� I = C × r × T�� M = C + I (r y T deben tener las mismas unidades)

10 ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Exponentes

Definiciones

�� n

n veces

x x .x .x ... x=

�� x0 = 1, x ≠ 0

Teoremas�� xn.xm = xn+m

��n

n mm

x x , x 0x

–= ≠

��n n

nn

y1 xx ;y xx

–– = =

�� (xm)n = xm.n

��pn

mx

�� (x.y)n = xn.yn; (xa.yb)n = xan.ybn

��n n

nx xy y

=

na a.n

b b.nx xy y

=

; ≠y 0

�� nm/n ma a=

��mn nmx x=

�� n m mna a=

�� n n na. b a.b=

��n

nn

a abb

=

�� ( )a ac.ec e bc d e fb d fx x x x + +=

�� a bx x a b; x 0,1= =⇒ ∀ ≠

�� a ax y x y; x 0= =⇒ ∀ ≠

�� x yx y x y; x 0;1= =⇒ ∀ ≠

11ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Polinomios

�� ∑coef= P(1)

�� #términos = GA + 1; para todo polinomio completo

�� T.I. = P(o)

�� GA = GR(x) + GR(y); para todo monomio de 2 variables�� P(x;y) = 6x 8 y5 + 3x4y6 – 8x 5 y 8 + 10xy 9

13 10 13 10

⇒ GR(x) = 8

⇒ GR(y) = 9

⇒ GA = 13

�� [F(x) ± G(x)]° se toma el grado mayor entre GA(F) y GA(G)

�� F(x)G(x)

o

se restan los GA(F) – GA(G)

�� [F(x).G(x)]° se suman los GA(F) + GA(G)

�� F(x)n

o

se multiplica el valor de n × GA[F(x)]

OPERACIONESCON GRADOS

POLINOMIOS

�� Polinomio ordenado: P(x) = axm + bxn + cxp + d; m > n > p > 0 decreciente

�� Polinomio completo: P(x) = a0xn + a1x

n–1 + a2xn–2 + .... + an

�� Polinomio homogéneo: P(x; y) = 3x3 + 5x2y – 8xy2 + y3

GA = 3 = 3 = 3 = 3

�� Polinomios idénticos: P(x) = ax2 + bx + c

P(x) ≡ Q(x) Q(x) = 2x2 + 3x + 4

�� Polinomio nulo: P(x) = ax2 + bx + c ⇒ a = 0; b = 0 c = 0

(P(x) ≡ 0)

⇒ a = 2; b = 3; c = 4

12 ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Productos notables

Binomio al cuadrado

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Identidad Legendre

2. (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)

Binomio cubo

3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Diferencia de cuadrados

4. (a + b)(a – b) = a2 – b2

(am + bn)(am – bn) = a2m – b2n

Suma y diferencia de cubos

5. (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

Multiplicación de 2 binomios con 1 término en común

6. (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + a.b

Multiplicación de 3 binomios con 1 término en común

7. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + a.b.c.

Trinomio al cuadrado

8. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

13ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Trinomio al cubo

9. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + ac + bc) – 3abc

Igualdades condicionales

Si: a + b + c = 0

Se verifican:

• a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)

• a3 + b3 + c3 = 3abc → importante

• (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)

División algebraica

Identidad fundamental

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)

Grados

Grados[Q(x)] = Grado[D(x)] – Grado[d(x)]

Máx Grado[R(x)] = Grado[d(x)] – 1.

Clasificación�� División Exacta: R(x) = 0

�� DivisiónInexacta:R(x)≠0

Teoma del resto

Si P(x) es dividido por x – b, entonces el resto de la división es P(b).

Es decir R(x) = P(b)

14 ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Factorización

I. Factor común

P(a; b) = ab + ac

P(a; b) = a(b + c) 2 factores primos

II. Por agrupación

P(x; y; z) = x2 + xy + xz + yz + x + y

= x(x + y) + z(x + y) + (x + y)

= (x + y) (x + z + 1)

III. Identidades�� a2 – b2 = (a + b) (a – b)

�� a2m – b2n = (am + bn) (am – bn)

�� a3 ± b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

�� a3m ± b3n = (am ± bn)(a2m – ambn + b2n)

�� a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2

IV. Criterio de las aspas

P(x) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

a1xn c1y

m

a2xn c2y

m

Luego:

P(x) = (a1xn + c1y

m)(a2xn + c2y

m)

Ejemplo:

Factoriza

P(x): x2 – 2x – 35 = 0

x –7

x +5

P(x) = (x – 7)(x + 5) 2 factores primos

15ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado:ax + b = 0; a ≠ 0

Es una igualdad condicional que se verifica para valores particulares asignados a sus incógnitas, llamadas soluciones o raíces.

Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones

I. Ecuación compatible Es aquella que tiene al menos un elemento en su conjunto solución, es decir admite

solución; esta a su vez podrá ser:

1. Ecuación compatible determinada Es aquella que tiene un número limitado de soluciones. (a ≠ 0)

2. Ecuación compatible indeterminada Es aquella que tiene un número ilimitado de soluciones; también se dice que la

solución x ∈ . a = 0 ∧ b = 0

II. Ecuación incompatible Es aquella que no admite solución; también se dice que la solución x ∈ ∅;

frecuentemente se le da el nombre de ecuación absurda o ecuación inconsistente. a = 0 ∧ b ≠ 0

Ecuación compatible determinada: {r} Ecuación compatible indeterminada: C.S. = Ecuación incompatible: C.S. = { } [C.S = ∅]

En general:

Si: P(x) = axa(x – a)b(x – b)g

→ # factores primos = 3 = x; (x – a); (x – b)

→ # factores totales = (a + 1)(b + 1)(g + 1)

→ # factores algebraicos = (a + 1) (b + 1) (g + 1) – 1

16 ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Planteamientos I

DefiniciónEl planteamiento de una ecuación consiste en traducir un problema dado en forma de enunciado, a un lenguaje simbólico; es decir, al interpretar correctamente el enunciado dado se podrá transformar este en una ecuación de una o más incógnitas.

lenguaje escrito lenguaje matemático

�� "x" excede a "y" en 10 x – y = 10

�� El exceso de "p" sobre "q" es 20 p – q = 20

�� "x" es a "y" como 5 es a 8 xy

58=

�� "x" es dos veces "y" x = 2y

�� "x" es dos veces más que "y" x = y + 2y ⇒ x = 3y

�� El cubo de un número aumentado en 17 . x3 + 17

�� La suma al cubo de un número aumentado en 6. (x + 6)3

�� Un número disminuido en sus tres octavos. x – 38

x

�� El triple de un número aumentado en 42. 3x + 45

Problemas sobre ecuacionesSi bien no existe una regla general para resolver este tipo de problemas, te vamos a proporcionar algunos pasos que te van a ayudar a su solución:�� Lee detenidamente el problema, hasta familiarizarte con él.�� Haz un esquema, si es necesario, para aclarar la situación.�� Haz una lista de datos conocidos y otra de los que se quiere hallar.�� Representa el término desconocido por medio de una variable, generalmente "x".�� Expresa la situación descrita en el problema en lenguaje matemático.�� Resuelve la ecuación.

17ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Ecuaciones cuadráticas

1. Sea la forma general:

ax2 + bx + c = 0 ∧ a ≠ 0.

�� Suma de raíces: –ba

�� Producto de raíces: ca

�� Suma de las inversas: –bc

�� Raíces simétricas: b = 0

�� Raíces recíprocas: a = c

�� Raíz nula: c = 0

Reconstrucción de ecuación de 2do. grado donde x1 ∧ x2 son raíces.

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0.

También:x2 – Sx + P = 0

Donde:�� S = suma de raíces

�� P = producto de raíces

2. Naturaleza de las raíces:

La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática depende del valor de su

discriminante, así:

�� Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.

�� Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales. (Solución única)

�� Sí ∆ < 0: Las raíces son complejas y conjugadas.

Donde ∆ = b2 – 4ac es el discriminante.

18 ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Planteamientos II

ProblemaYo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años. Calcula la suma de las edades actuales.

Solución:�� "Yo tengo el doble de la edad que tú tenías"

�� "Cuando yo tenía la edad que tú tienes

Aplicando el criterio de las sumas en aspa:

2y = 3x ⇒ xy = 2

3 ⇒ x = 2k

y = 3k

Reemplazamos en el cuadro:

�� "Cuando tengas la edad que tengo la suma de nuestras edades será 63 años"

suma = 63 Del cuadro: 5k + 4k = 63 ⇒ k = 7 Luego las edades actuales son: Yo: 4(7) = 28 años Tú: 3(7) = 21 años Rpta: la suma de las edades actuales es: 28 + 21 = 49 años

19ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Función lineal, cuadrática y aplicaciones

Función linealEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una línea recta.

y = f(x) = mx + b

Dominio: Rango: m: pendiente de la recta (tangente del ángulo de inclinación)b: intercepto con el eje Y (ordenada en el origen)

�� Si m > 0, la recta sube hacia la derecha (creciente)

�� Si m < 0, la recta baja hacia la derecha (decreciente)

Para hallar el intercepto con el eje X debemos hacer: f(x) = 0

Función constante �� Si: m = 0 → f(x) = b

Su gráfica es una recta paralela al eje X que pasa por el punto (0; b)

20 ESQUEMA – FORMULARIO

ÁLG

EB

RA

Función de identidad�� Si: m = 1, b = 0 → f(x) = x. Su gráfica es una recta que biseca, al I y III cuadrante

Función cuadráticaEs la función determinada por la siguiente regla de correspondencia y cuya gráfica es una parábola.

f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0

Dominio: El vértice de la parábola es el punto: V = (h, k). Donde:

h = – b2a

k = 4ac – b2

4a k = f(h)

�� Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.

Dom: R Ran = [k, +∞[ Mínimo valor de la función: k

�� Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Dom: R Ran = ]–∞, k] Máximo valor de la función: k

21ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Triángulos – Líneas notables

Propiedades

Propiedades adicionales

��

��

��

��

��

�� ��

22 ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Propiedades asociadas a las líneas notables

1. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior.

x = b2

2. Ángulo formado por las bisectrices interiores.

x = 90 + b2

3. Ángulo formado por las bisectrices exteriores.

x = 90 – b2

4. Ángulo formado por una bisectriz y una altura que parten en un mismo vértice.

a – b2x =

Triángulos notables

�� Triángulos rectángulos notables

23ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

�� Triángulos rectángulos notables

�� Triángulos rectángulos aproximados

Razones trigonométricas de ángulos agudos

��

CO aSenH c

α = =

CA bCotCO a

α = =

C.A bCosH c

α = =

CO aTanCA b

α = =

H cSecCA b

α = =

H cCscCO a

α = =

De aqui se deduce: SenTanCos

ααα

= ; CosCotSen

ααα

= Propiedad

Razones trigonométricas recípocras�� Sena.Csca = 1 �� Cosa.Seca = 1�� Tana.Cota = 1

Razones trigonométricas complementarias�� Sena = Cosb → a + b = 90°�� Tana = Cotb → a + b = 90°�� Seca = Cscb → a + b = 90°

No olvides que: a < 90° y b < 90°

24 ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Cuadriláteros I

Cuadriláteros II Trapecio escaleno

Trapecio rectángulo

Trapecio isósceles

Propiedades: Trapecios

a bM2+=

180180

α β °θ γ °

+ =+ =

Trapezoide

α + β + θ + γ = °360

25ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Circunferencia I

Circunferencia II

�� Ángulos en la circunferencia

����

26 ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

�� Ángulos en la circunferencia Se cumple: L = qr q: Radianes 0 < q < 2p

Polígonos

Relaciones métricas

Convexos

Equiángulos

�� #D = n(n – 3)2

�� Se = 360°

�� #DM = n(n – 1)2

�� si = 180°(n – 2)

�� e = 360°n

�� i = 180°(n – 2)n

�� c = 360°n

Regulares

No convexos Equiláteros

a y b : Catetosc : Hipotenusah : Alturam, n : Proyecciones de los catetos

1. c2 = a2 + b2 4. a2 = mc, b2 = nc2. h2 = m.n

5. 1a2

+ 1b2

= 1h23. ch = ab

27ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Áreas triangulares

Relación de áreas triangulares

Para triángulos semejantes:

2 2

2 2A a bB x y

= =

��

��

��

��

��

28 ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Áreas cuadrangulares

Relación de áreas cuadrangulares

�� Para todo cuadrilátero:

TOTAX

2=

A C B D× ×=

�� Para trapecios:

2A BC=

TAx

2=

29ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

�� Para paralelogramos:

x y z= +

TOTAx

2=

Observación:

Áreas circulares

2A Rπ= 2

SC(PQ)RA A POQ

360π θ ∆

°= –

30 ESQUEMA – FORMULARIO

GE

OM

ET

RÍA

Y M

ED

IDA

S

Áreas circulares

2RA360π θ=

2 2 2A (R r ) ó A (PQ)4ππ= – =

Relación de áreas circulares:

Propiedades

A.

A B=

B.

C.

Impreso en los talleres gráficos de:EDICIONES E IMPRESIONES PAZ S.A.C

Av. Elemer Faucett 282, San MiguelLima – Perú