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El uso de los fractales
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
Las matemáticas de los fractales
Ricardo A. Sáenz
Universidad de Colima
Taller Internacional de Ciencia para JóvenesCIMAT
16 - 21 de mayo de 2012
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
FamososArtísticosNaturales
Fractales: objetos famosos
Conjunto de MandelbrotBenoît Mandelbrot, 1924 - 2010
Triángulo de SierpinskiWacław Sierpiński, 1882 - 1969
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
FamososArtísticosNaturales
Fractales: objetos famosos
Conjunto de MandelbrotBenoît Mandelbrot, 1924 - 2010 Triángulo de Sierpinski
Wacław Sierpiński, 1882 - 1969
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
FamososArtísticosNaturales
Fractales: objetos artísticos
Generado con Sterling.
Generado con Vision of Chaos.
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FamososArtísticosNaturales
Fractales: objetos artísticos
Generado con Sterling.
Generado con Vision of Chaos.
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FamososArtísticosNaturales
Fractales: objetos de la naturaleza
Patrones formados en cristalescongelados.
Romanescu, una variedad debrócoli.
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Fractales no linealesEste curso
FamososArtísticosNaturales
Fractales: objetos de la naturaleza
Patrones formados en cristalescongelados. Romanescu, una variedad de
brócoli.
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Fractales autosimilares
Triángulo de Sierpinski.
Formado por la unión detres imágenes de sí mismo.S = S1 ∪ S2 ∪ S3
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Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Fractales autosimilares
Triángulo de Sierpinski.
Formado por la unión detres imágenes de sí mismo.S = S1 ∪ S2 ∪ S3
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
El plano cartesiano
El plano cartesiano
Cada punto se denota porun par de coordenadas(a, b)
Los puntos se pueden vercomo vectores.Suma:Si x = (a, b) y y = (c, d),
x + y = (a + c, b + d)
Multiplicación escalar:
λx = (λa, λb)
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
El plano cartesiano
El plano cartesiano
Cada punto se denota porun par de coordenadas(a, b)
Los puntos se pueden vercomo vectores.
Suma:Si x = (a, b) y y = (c, d),
x + y = (a + c, b + d)
Multiplicación escalar:
λx = (λa, λb)
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
El plano cartesiano
El plano cartesiano
Cada punto se denota porun par de coordenadas(a, b)
Los puntos se pueden vercomo vectores.Suma:Si x = (a, b) y y = (c, d),
x + y = (a + c, b + d)
Multiplicación escalar:
λx = (λa, λb)
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Suma vectorial
Suma vectorial
Multiplicación escalar(si λ < 0, cambia sentido)
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Suma vectorial
Suma vectorialMultiplicación escalar
(si λ < 0, cambia sentido)
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Triángulo de Sierpinski
Definimos las siguientes contracciones:
F1(x) =12(x− p1) + p1
F2(x) =12(x− p2) + p2
F3(x) =12(x− p3) + p3
donde p1,p2,p3 son los vértices de un triángulo equilátero.
Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi .Entonces, si Si = Fi(S), donde S es el triángulo de Sierpinski,
S = S1 ∪ S2 ∪ S3.
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Triángulo de Sierpinski
Definimos las siguientes contracciones:
F1(x) =12(x− p1) + p1
F2(x) =12(x− p2) + p2
F3(x) =12(x− p3) + p3
donde p1,p2,p3 son los vértices de un triángulo equilátero.Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi .
Entonces, si Si = Fi(S), donde S es el triángulo de Sierpinski,
S = S1 ∪ S2 ∪ S3.
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Triángulo de Sierpinski
Definimos las siguientes contracciones:
F1(x) =12(x− p1) + p1
F2(x) =12(x− p2) + p2
F3(x) =12(x− p3) + p3
donde p1,p2,p3 son los vértices de un triángulo equilátero.Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi .Entonces, si Si = Fi(S), donde S es el triángulo de Sierpinski,
S = S1 ∪ S2 ∪ S3.
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Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
La curva de Koch (Niels F. Helge von Koch, 1870 - 1924)
F1(x) =12(x1,−x2) +
12√3(x2, x1),
F2(x) =12(x1,−x2)−
12√3(x2, x1) +
(12 ,
12√3
)donde x = (x1, x2)
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
La curva de Koch (Niels F. Helge von Koch, 1870 - 1924)
F1(x) =12(x1,−x2) +
12√3(x2, x1),
F2(x) =12(x1,−x2)−
12√3(x2, x1) +
(12 ,
12√3
)donde x = (x1, x2)
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Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Existencia y unicidad
Teorema (Felix Hausdorff, 1868 - 1942)Dada una familia de contracciones F1,F2, . . . ,FN , existe un únicoconjunto no vacío y compacto K tal que
K = F1(K ) ∪ F2(K ) ∪ . . .FN(K ).
Demostración.Idea: Mostrar que la iteraciones⋃
i1,i2,...Fi1(Fi2(· · · (A) · · · )),
para cualquier conjunto no vacío A, tienen un límite.
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Existencia y unicidad
Teorema (Felix Hausdorff, 1868 - 1942)Dada una familia de contracciones F1,F2, . . . ,FN , existe un únicoconjunto no vacío y compacto K tal que
K = F1(K ) ∪ F2(K ) ∪ . . .FN(K ).
Demostración.Idea: Mostrar que la iteraciones⋃
i1,i2,...Fi1(Fi2(· · · (A) · · · )),
para cualquier conjunto no vacío A, tienen un límite.
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0):
Aplicamos las funciones F1 y F2:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0):
Aplicamos las funciones F1 y F2:
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Ejemplo: curva de Koch
Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0):
Aplicamos las funciones F1 y F2:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Una nueva iteracón de F1 y F2:
Después de tres iteraciones:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Una nueva iteracón de F1 y F2:
Después de tres iteraciones:
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Ejemplo: curva de Koch
Una nueva iteracón de F1 y F2:
Después de tres iteraciones:
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Ejemplo: curva de Koch
Una nueva iteracón de F1 y F2:
Después de tres iteraciones:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Cuatro:
Cinco:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Cuatro:
Cinco:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Seis:
Ocho:
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Ejemplo: curva de Koch
Seis:
Ocho:
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Ejemplo: curva de Koch
Después de 16 iteraciones, tenemos una muy buena aproximaciónde nuestro fractal verdadero:
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Otros fractales autosimilares
El pentakun
Copo de nieve
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Otros fractales autosimilares
El pentakunCopo de nieve
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Fractales no linealesEste curso
Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Otros fractales autosimilares
Árbol de HataMasayoshi Hata, Univ. Kyoto
Tetrahedro de Sierpinski(en el espacio tridimensional)
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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos
Otros fractales autosimilares
Árbol de HataMasayoshi Hata, Univ. Kyoto
Tetrahedro de Sierpinski(en el espacio tridimensional)
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Benoît Mandelbrot(1924 - 2010)
Hasta los 60’s, losfractales solo eranconjuntos “patológicos”abstractos
Servían comocontraejemplos en cálculoMandelbrot: ¿cuál es lalongitud de la costabritánica?, Science, 1967
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Benoît Mandelbrot(1924 - 2010)
Hasta los 60’s, losfractales solo eranconjuntos “patológicos”abstractosServían comocontraejemplos en cálculo
Mandelbrot: ¿cuál es lalongitud de la costabritánica?, Science, 1967
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Benoît Mandelbrot(1924 - 2010)
Hasta los 60’s, losfractales solo eranconjuntos “patológicos”abstractosServían comocontraejemplos en cálculoMandelbrot: ¿cuál es lalongitud de la costabritánica?, Science, 1967
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de MandelbrotMandelbrot observó que la longitud de la costa británica dependede la unidad con la que se mide.
Figura: Tomando unidades de 200km, 100km, 50km, obtenemos 2400km,2800km y 3450km, respectivamente.
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Fractales no linealesEste curso
Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Conclusiones de Mandelbrot:
La mejor aproximación a una costa no es una curva suave
La curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Conclusiones de Mandelbrot:
La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”
Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Conclusiones de Mandelbrot:
La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas
(autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Conclusiones de Mandelbrot:
La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)
Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
La observación de Mandelbrot
Conclusiones de Mandelbrot:
La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento
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Fractales no linealesEste curso
Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Los números complejosMandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo.
Los números complejos son los números de la formados
a + bi , a, b ∈ R
donde i2 = −1.
Se denotan por la letra C.Podemos sumarlos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
(Sí, igual que a los vectores.)También podemos multiplicarlos:
(a + bi)× (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Los números complejosMandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo.
Los números complejos son los números de la formados
a + bi , a, b ∈ R
donde i2 = −1.Se denotan por la letra C.
Podemos sumarlos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
(Sí, igual que a los vectores.)También podemos multiplicarlos:
(a + bi)× (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Los números complejosMandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo.
Los números complejos son los números de la formados
a + bi , a, b ∈ R
donde i2 = −1.Se denotan por la letra C.Podemos sumarlos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
(Sí, igual que a los vectores.)También podemos multiplicarlos:
(a + bi)× (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Los números complejosMandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo.
Los números complejos son los números de la formados
a + bi , a, b ∈ R
donde i2 = −1.Se denotan por la letra C.Podemos sumarlos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
(Sí, igual que a los vectores.)
También podemos multiplicarlos:
(a + bi)× (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Los números complejosMandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo.
Los números complejos son los números de la formados
a + bi , a, b ∈ R
donde i2 = −1.Se denotan por la letra C.Podemos sumarlos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
(Sí, igual que a los vectores.)También podemos multiplicarlos:
(a + bi)× (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Multiplicación compleja
La multiplicación compleja requiere explicación:
(a + bi)× (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + bdi2 + (ad + bc)i= (ac − bd) + (ad + bc)i ,
donde hemos usado el hecho i2 = −1.El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1!
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Multiplicación compleja
La multiplicación compleja requiere explicación:
(a + bi)× (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + bdi2 + (ad + bc)i= (ac − bd) + (ad + bc)i ,
donde hemos usado el hecho i2 = −1.
El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1!
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Multiplicación compleja
La multiplicación compleja requiere explicación:
(a + bi)× (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
= ac + bdi2 + (ad + bc)i= (ac − bd) + (ad + bc)i ,
donde hemos usado el hecho i2 = −1.El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1!
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw = 2.
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w =
3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw = 2.
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i ,
zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw = 2.
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Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw =
4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw = 2.
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Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw = 2.
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Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w =
2, zw = 2.
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Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2,
zw = 2.
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw =
2.
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Ejemplos
z = 2 + 3i , w = 1− i
z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .
z = 1− 2i , w = 2 + i
z + w = 3− i , zw = 4− 3i .
z = 1− i , w = 1 + i
z + w = 2, zw = 2.
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El plano complejoA los números complejos los acomodamos en un plano:
La distancia del origen al punto z es su valor absoluto:
|z | =√
a2 + b2
(teorema de Pitágoras).
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El plano complejoA los números complejos los acomodamos en un plano:
La distancia del origen al punto z es su valor absoluto:
|z | =√
a2 + b2
(teorema de Pitágoras).
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El plano complejoA los números complejos los acomodamos en un plano:
La distancia del origen al punto z es su valor absoluto:
|z | =√
a2 + b2
(teorema de Pitágoras).24 / 37
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Fractales no linealesEste curso
Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El proceso zn+1 = z2n + c
Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,
zn+1 = z2n + c,
con valor inicial z0 y c ∈ C.
Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?
Ejemplo: c = 0, z0 = 2:
z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .
Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El proceso zn+1 = z2n + c
Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,
zn+1 = z2n + c,
con valor inicial z0 y c ∈ C.Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?
Ejemplo: c = 0, z0 = 2:
z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .
Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El proceso zn+1 = z2n + c
Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,
zn+1 = z2n + c,
con valor inicial z0 y c ∈ C.Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?
Ejemplo: c = 0, z0 = 2:
z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .
Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El proceso zn+1 = z2n + c
Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,
zn+1 = z2n + c,
con valor inicial z0 y c ∈ C.Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?
Ejemplo: c = 0, z0 = 2:
z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .
Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).
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Fractales no linealesEste curso
Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
El proceso zn+1 = z2n + c
Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,
zn+1 = z2n + c,
con valor inicial z0 y c ∈ C.Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?
Ejemplo: c = 0, z0 = 2:
z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .
Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 0
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 0
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.
c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 0
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 0
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 0
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 0
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El proceso zn+1 = z2n + c
c = 0, z0 = 1/2:
z1 =14 , z2 =
116 , z3 =
1256 , z4 =
165536 , . . .
En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:
z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .
En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:
z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i
En este caso también zn → 026 / 37
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El proceso zn+1 = z2n + c
Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = z2n satisface:zn → 0 si |z0| < 1;|zn| = 1 si |z0| = 1; y|zn| → ∞ si |z0| > 1.
zn se mantiene acotado si |z0| ≤ 1, o sea, en el conjunto
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El proceso zn+1 = z2n + c
Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = z2n satisface:zn → 0 si |z0| < 1;|zn| = 1 si |z0| = 1; y|zn| → ∞ si |z0| > 1.
zn se mantiene acotado si |z0| ≤ 1,
o sea, en el conjunto
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El proceso zn+1 = z2n + c
Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = z2n satisface:zn → 0 si |z0| < 1;|zn| = 1 si |z0| = 1; y|zn| → ∞ si |z0| > 1.
zn se mantiene acotado si |z0| ≤ 1, o sea, en el conjunto
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978)
Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado esmucho más interesante:
c = 0.285 c = 0.45 + 0.1428i
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Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978)
Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado esmucho más interesante:
c = 0.285
c = 0.45 + 0.1428i
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Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978)
Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado esmucho más interesante:
c = 0.285 c = 0.45 + 0.1428i
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Conjuntos de Julia
La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia.
c = 0.4 + 0.6i c = −0.8 + 0.156i
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Conjuntos de Julia
La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia.
c = 0.4 + 0.6i
c = −0.8 + 0.156i
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Conjuntos de Julia
La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia.
c = 0.4 + 0.6i c = −0.8 + 0.156i
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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot
Conjuntos de Julia
Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintasescalas:
¡Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces.
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Conjuntos de Julia
Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintasescalas:
¡Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces.
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Conjuntos de Julia
Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintasescalas:
¡Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces.
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Conjuntos de Julia
Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintasescalas:
¡Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces.
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Conjunto de Mandelbrot
Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;
En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;
DefiniciónAl conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Juliaes conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremospor M.
Teorema (Julia - Fatou)M es el conjunto de c tales que, si z0 = 0, la sucesión zn esacotada.
(Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929)
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Conjunto de Mandelbrot
Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;
DefiniciónAl conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Juliaes conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremospor M.
Teorema (Julia - Fatou)M es el conjunto de c tales que, si z0 = 0, la sucesión zn esacotada.
(Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929)
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Conjunto de Mandelbrot
Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;
DefiniciónAl conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Juliaes conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremospor M.
Teorema (Julia - Fatou)M es el conjunto de c tales que, si z0 = 0, la sucesión zn esacotada.
(Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929)
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Conjunto de Mandelbrot
Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;
DefiniciónAl conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Juliaes conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremospor M.
Teorema (Julia - Fatou)M es el conjunto de c tales que, si z0 = 0, la sucesión zn esacotada.
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Conjunto de Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot también es un fractal:
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FractalesFractales autosimilares
Fractales no linealesEste curso
Contenido
Resumen
En este curso nos enfocaremos al estudio de los fractalesautosimilares. Veremos el problema de cómo medirlos (curvas delongitud infinita, figuras de área cero) y la aparición de ladimensión fraccionaria.Al final, discutiremos cómo construir fractales autosimilares con lacomputadora.
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Fractales no linealesEste curso
Contenido
Día dos
La curva de Koch: “longitud infinita”El conjunto de Cantor: “longitud cero”El triángulo de Sierpinski: “área cero”¿Por qué ocurre lo anterior?
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Contenido
Día tres
La medida de HausdorffPropiedadesLa dimensión de HausdorffAlgunos ejemplos
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Contenido
Día cuatro
Pregunta: ¿Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff?
Teorema de HutchinsonEjemplos
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Contenido
Día cuatro
Pregunta: ¿Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff?Teorema de HutchinsonEjemplos
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Contenido
Día cinco
Introducción a MathematicaImplementación de recursividadDibujaremos algunos de los fractales autosimilares vistos aquí
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