FRAKTALLAR - Matematik Hayattır · modelleri ile ina edilen örüntülere FRAKTAL denir. Her...

FRAKTALLAR

1

2

*

3

Boyut: Belirli bir doğrultuda ölçülmüş bir büyüklüğü

ifade etmek için kullanılan geometrik bir terim.

Bir nokta «sıfır boyutlu» ludur.

Doğrusal nokta toplulukları «bir boyutlu» bir doğru

oluştur.

Bir araya getirilen doğrular «iki boyutlu» bir düzlemi,

bir araya getirilen düzlemler ise «üç boyutlu» bir uzam

(bir nesnenin uzayda kapladığı yer) oluşturur.

6

*Kar tanesi eğrisinin boyutu nedir?

7

Kar tanesinin boyutunu nasıl ölçebiliriz; bir çok boyut

tanımından hangisini kullanmamız gerekir?

8

Alman matematikçi Felix Hausdorff’un fikirleri işte bu

noktada yararlı olmuştur.

«Hausdorff boyutu» normal şekillerin olağan

nomenklaturasıyla (adlar dizgesi, bir bilim dalına ait

terimler, terminoloji) örtüşür; böylece doğrunun boyutu 1,

karenin boyutu 2, küpün boyutu 3’tür. Böyledir, çünkü

Hausdorff boyutu (d) uzunluk ve alanın ölçülmesine

dayanır.

* Fraktal boyut

10

Bir karenin her kenarı 3 kat büyütülecek olursa ortaya

çıkan yeni alan önceki değerin 9 katı büyüklüğünde

olacaktır. 9=3^2 olduğundan, iki boyutlu bir karenin

Hausdorff boyutu kuvvettir, yani d=2 ‘dir. Bu tabii ki

kareden beklediğimiz değerdir.

Kuvvet, Hausdorff boyutunun anahtarıdır.

11

Kar tanesi eğrisini üreten unsur bir doğru parçasıdır; bu

doğruyu üç kat büyütüp değişiklik olarak ekleyecek

olursak baştakinden dört kat büyük bir doğrumuz olur.

4=3^d olduğunda d’nin değerinin ne olduğunu bulmamız

gerekir. d’nin değerinin 1 ile 2 arasında olması gerekir;

çünkü 4, 3^1 ile 3^2 arasında yer alır ve aslında

d=1,29224…

Bu yeni bir şeydir. Boyutu tam sayı olmayan, kesirli bir

boyutu olan bir eğrimiz var.

12

Koch Eğrisi

13

14

Fraktal,

Fraktal;

* ..."öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım

büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille

karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek

edelim aynı olay tekrarlansın. İşte fraktal , yani

kendine benzerlik kavramının tanımı "...

*

*

*

*

*

*

23

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

‘kendine benzeme’ (self similarity)

iterasyon

*

*

*

*

41

FRAKTAL = ÖRÜNTÜ ?

1) Bir şeklin belli bir oranda küçültülmüş veya belli bir oranda büyütülmüş

modelleri ile inşa edilen örüntülere FRAKTAL denir. Her örüntü bir fraktal

belirtmez. Her fraktal bir örüntüdür.

2) Bir cismin hangi noktasına bakarsak bakalım aynı şekil büyüyerek veya

küçülerek tekrarlanıyorsa bu şekillere FRAKTAL denir.

Bir örüntünün FRAKTAL belirtmesi için, örüntünün herhangi bir parçasını

küçülttüğümüzde veya büyüttüğümüzde bir önceki veya bir sonraki örüntüyü elde

etmemiz gerekir.

3) FRAKTALIN kuralı ikinci adıma bakılarak bulunur. Bir örüntünün FRAKTAL olup

olmadığını anlamak için 3.adımının da verilmesi gerekir.

42

*ÇOKGENLERDE EŞLİK: İki çokgenin karşılıklı açılarının

ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ise bu iki

çokgen eştir.

43

ÇOKGENLERDE BENZERLİK: İki çokgenin karşılıklı açılarının

ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise

bu iki çokgen benzerdir. Benzer iki çokgende karşılıklı

kenarların uzunlukları oranına benzerlik oranı denir. ”k”

sembolü ile gösterilir.

44

ÖRÜNTÜLER (DİZİLER): Uygun geometrik şekillerin aralarında

boşluk oluşturmadan bir araya getirilmesi işlemine örüntü, oluşan şekle

süsleme denir.

Örüntü belirli bir kurala göre diziliştir.

Bu diziliş (örüntü), sayı örüntüsü (dizisi) veya şekil örüntüsü (dizisi)

şeklinde olabilir.

Bir örüntünün oluşması için bir araya getirilecek uygun geometrik

şekillerin merkez noktası çevresindeki iç açıların toplamı 360 derece

olmalıdır.

45

ARİTMETİK DİZİLER: Bir dizideki ardışık terimler arasındaki fark sabit ise

bu diziye aritmetik dizi denir. Aritmetik diziler artarak veya azalarak devam

eder.

Bir dizideki ardışık iki terim arasındaki farka ortak fark denir. Ortak fark “r”

ile gösterilir.

1)Aritmetik dizi artarak devam ediyorsa genel terimi bulmak için aşağıdaki

formül kullanılır.

46

ÖRNEK-1: İlk terimi 18,ortak farkı 3 olan ve artarak devam eden bir aritmetik

dizinin 10.terimi kaçtır?

a)76 b)62 c)54 d)45

ÖRNEK-2: İlk terimi 5,ortak farkı 6 olan ve artarak devam eden bir aritmetik dizinin

51.terimi kaçtır?

a)305 b)405 c)205 d)505

47

ÖRNEK-3: 1,4,7,10 , ….. sayı örüntüsünün genel terimi kaçtır?

a)3.n+1 b)3.n-1 c)3.n+2 d)3.n-2

ÖRNEK-4: Yandaki örüntü karelerden oluşmuştur.Şekil örüntüsünü

sayı örüntüsü ne çevirdiğimizde aşağıdaki hangi seçenek olur?

a)1,3,7,… b)1,4,8,… c)1,2,3,… d)1,3,5,…

49

2)Aritmetik dizi azalarak devam ediyorsa genel terimi bulmak için aşağıdaki formül

kullanılır.

ÖRNEK-1: İlk terimi 48,ortak farkı 3 olan ve azalarak devam eden bir aritmetik

dizinin 11.terimi kaçtır?

a)-16 b)-12 c)-14 d)-15

AÇIKLAMA: Bir sayı örüntüsünde ardışık 2 terim arasındaki ortak fark sabit (aynı)

ise bu sayı örüntüsü aritmetik dizidir.

50

ÖRNEK-2:100 sayısından başlayarak geriye doğru 3’er 3’er saydığımızda

21.olarak hangi sayıyı söyleriz?

a)30 b)60 c)40 d)50

ÖRNEK-3:200 sayısından başlayarak geriye doğru 4’er 4’er saydığımızda

10.olarak hangi sayıyı söyleriz?

a)122 b)136 c)148 d)164

51

3) GEOMETRİK DİZİ: Belirli bir sayı seçilir. Bu sayı ile başka bir sayı

sürekli çarpılarak veya bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulursa böyle

örüntülere geometrik dizi denir.

Geometrik dizide ardışık 2 terimin oranına çarpan sayıya eşittir. Bu sayıya

ortak çarpan denir. Ortak çarpan “r” ile gösterilir.

AÇIKLAMA: Bir dizide ardışık 2 terim arasındaki ortak çarpan sabit (aynı) ise bu

örüntü geometrik dizidir.

52

ÖRNEK-1) 4,12,36,108,…sayı örüntüsü veriliyor. Bu örüntünün 7.terimi

kaçtır?

a)1256 b)4328 c)2916 d)729

ÖRNEK-2) 2,8,32,128,…sayı örüntüsü veriliyor. Bu örüntünün 6.terimi

kaçtır?

a)4096 b)2048 c)1024 d)512

53

54

*

*

*

*

*