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Funciones de Varias Variables

Juan Manuel Rodríguez Prieto

Funciones de varias variables

Consideremos el volumen de un cilindro circular recto

El volumen del cilindro depende de:

• radio

• Altura

• Matemáticamente, se puede escribir como sigue:

Decimos entonces que el volumen, es un función que depende de el radio y la altura

2( , )V r h r h

Funciones de varias variables

2( , )V r h r h

02

46

810

0

5

100

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

x2 y

y

Funciones de varias variables

2( , )V r h r h

• A los valores que pueden tomar r y h, lo llamaremos dominio de la función.

• Qué valores pueden tomar r y h en la función de volumen del cilindro?• A los valores que puede tomar V(r,h) los llamaremos rango de la función.

• Qué valores pueden tomar V?

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

• Qué valores pueden tomar x y y? Cual es el dominio de w?

• Debido a que la raíz cuadrada, puede tener como dominio solo valores positivos, se tiene que

• O que

Considere la siguiente función:

2 0y x

2y x

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

Recordemos la gráfica de

Considere la siguiente función:

2y x

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

Qué valores de la grafica satisfacen la desigualdad?

Considere la siguiente función:

2y x

el dominio es cualquier pareja de puntos que se encuentran sobre la parábola.

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

Considere la siguiente función:

El rango de la función w va a estar dado por: 0, )

Funciones de varias variables

1( , )w x y

xy

Considere la siguiente función:

El dominio de la función w va a estar dado por: 0xy

El rango de la función w va a estar dado por: ,0) (0, )

Funciones de varias variables

( , ) sin( )w x y xy

Considere la siguiente función:

El dominio de la función w va a estar dado por: todo el plano x y y

El rango de la función w va a estar dado por: 1,1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x y)

y

Funciones de varias variables

2 2( , )

1

yw x y

x y

Considere la siguiente función:

-5

0

5

-5

0

5

-0.5

0

0.5

x

y/(x2 + y2 + 1)

y

Funciones de varias variables

2 2( , )w x y x y

Considere la siguiente función:

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2

x

x2 + y2

y

Funciones de varias variables

2 2( , ) sin( )w x y x y

Considere la siguiente función:

-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x2 + y2)

y

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x2 + y2)

y

z

Funciones de varias variables

2 2( , ) cos( )w x y x y

Considere la siguiente función:

-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x2 + y2)

y

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x2 + y2)

y

z

Funciones de varias variables

( , ) sin( )cos( )w x y x y

Considere la siguiente función:

-2

0

2

-2

0

2

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(y) sin(x)

y

Funciones de varias variables

2 2 2( , , )w x y z x y z

Considere la siguiente función:

El dominio de la función w va a estar dado por: todo el espacio (cualquier valor de x y y z)

El rango de la función w va a estar dado por: 0, )

Funciones de varias variables

Ecuación de un plano

Funciones de varias variables

Ecuación de un paraboloide

Funciones de varias variables

Paraboloide hiperbólico o silla de montar

Curvas de nivel

Funciones de varias variablesCurvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de fDada la función

Trace las curvas de nivel

2 2( , ) 100f x y x y

( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y

2 2 100x y 2 2 49x y

2 2 25x y

Circulo de radio 10 y centro en el origen

Circulo de radio 7 y centro en el origen

Circulo de radio 5 y centro en el origen

Las tres ecuaciones se reconocen como la ecuación de un circulo

Funciones de varias variablesCurvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de fDada la función

Trace las curvas de nivel

SI f representa la temperatura y x y y dos puntos en el espacio, f(x,y)=0 representa todo el conjunto de puntos donde la temperatura es 0.De la misma manera f(x,y)=51, representa todos los puntos donde la temperatura es 51, sobre el circulo de radio 7 y centro en el origen la temperatura es 51.

2 2( , ) 100f x y x y

( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y

Funciones de varias variablesCurvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de fDada la función

2 2( , ) 100f x y x y

-74.7

-49.7

-24.8

0.2

25.1

50.1

75

radio

altura

Curvas de nivel

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Funciones de varias variablesCurvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de fDada la función 2( , )f r h r h

392

783

1.17e+03

1.57e+03

1.96e+03

2.35e+03

2.74e+03

radio

altura

Curvas de nivel

2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Funciones de varias variablesEjercicios

567

567

567

567

572

572

572

572

577

577

577

577

581

581

581

581

586

591

595

eje x

eje

y

Curvas de nivel

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Funciones de varias variablesEjercicios

Funciones de varias variablesEjercicios

0.588

1.18

1.76

2.35

2.94

3.53

4.11

4.7

5.29

5.88

peso

esta

tura

Curvas de nivel

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Funciones de varias variablesEjercicios

Funciones de varias variablesEjercicios

-5

0

5

-5

0

5-10

-5

0

5

10

x

(2 x + 3 y)/(5 x - 2 y)

y

Funciones de varias variablesEjercicios

-20

-10

0

10

20

-20

-10

0

10

200

2

4

6

8

10

x

(x2 + y2 - 64)1/2

y

z

Funciones de varias variablesEjercicios

-5

0

5

-5

0

5

-40

-20

0

20

40

x

x y

y

Funciones de varias variablesEjercicios

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10-1

-0.5

0

0.5

1

x

(2 x)/(x2 + y2 + 3)

y

Funciones de varias variablesEjercicios

0

5

10

-10

-5

0

5

10-2

-1

0

1

2

3

4

x

log(2 x + y - 1)

y

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Paraboloide elíptico

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Superficies de nivel

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Sección z=0

Funciones de varias variablesEjercicios

Funciones de varias variablesEjercicios

Sección x=0

Plano zy

Funciones de varias variablesEjercicios

Paraboloide

Plano xy, z=0 Plano xz, y=0

Secciones

Funciones de varias variablesEjercicios

Paraboloide

Funciones de varias variablesEjercicios

Cilindro parabólico Sección: plano xz, y=0

Funciones de varias variablesEjercicios

https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/multivariable-functions?ref=calculus_home_staff_picks

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