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Funciones reales de variable Funciones reales de variable realreal
José Manuel Reyes José Manuel Reyes BritoBrito
I.E.S. ‘Albert Einstein’I.E.S. ‘Albert Einstein’
SevillaSevilla
y = f(x)
x f(x)
x
Elementos básicos en el estudio de una función.
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
RECORRIDO o IMAGEN
GRÁFICA o GRAFO
DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA
Df = {x / f(x) }
Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)
RECORRIDO o IMAGEN
Rf = {y / y = f(x), x Df}
Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.
GRÁFICA o GRAFO
{(x, y) 2/ x Df, y Rf}
Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.
Clasificación de las funciones de variable real
F. Lineal: y = mx + nF. Cuadrática: y = ax2+bx+cOtras funciones polinómicas
Enteras o Polinómicas
Pn(x)Qm(x)
Racionales fraccionarias
Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz
ALGEBRAICAS
TRASCENDENTES
ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···
Funciones Lineales: y = mx Funciones Lineales: y = mx + n+ n
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Todas las funciones polinómicas tienen dominio
3ª) y = x - 21ª) y = x2ª) y = x + 3
3ª) y = (1/3)x +1
1ª) y = 2x +1
2ª) y = 5x +1D f =
A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal
Ordenada en el origen no cambia
D f = 1ª) y = -3x + 1
2ª) y = -3x + 5
3ª) y = -3x + 2
Igual pendiente: paralelas
Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen
RESUMEN:
Funciones lineales: y = mx + n
D f =
Gráfica: RECTA
R f =
D f =
R f =
¡Ojo! Si m=0, R f = {n}
R f = {-2}
Ejemplos de aplicaciones de la función lineal:
A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt
B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante)
C) Dilatación: L = L0(1 + kt)
D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura
E) Ley de Ohm: V = IR
F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)
Funciones cuadráticasFunciones cuadráticas
y = axy = ax22 + bx + c + bx + c
Funciones algebraicas enteras o polinómicas
Como todas las funciones polinómicas
D f =
5
36x
5
32x
5
4y 2
Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es
significativo y que puede llamar a
confusiones
Cambiamos el rango de representación y observamos las
variaciones que se producen
Ahora observamos la gráfica con toda su
significación
Las claves están en los siguientes
elementos:
Cortes con el eje OX
Vértice
Funciones cuadráticas D f =
y = ax2 + bx + c
Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática:
1. Hallar los puntos de corte con el eje OX
ax2 + bx + c = 0 x1 y x2 (x1, 0) y (x2, 0)
2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv)
3. Completar, si es necesario, con una tabla
Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
1) y = x2 -8x - 9
Vértice (4, -25)
R f = [-25, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX
Obsérvense los coeficientes de x2
9
100x
9
80x
9
20y
9
25x
9
20x
9
5y
5x4xy
2
2
2
V(2, -9) R f = [-9, +)
V(2, -5) R f = [-5, +)
V(2, -20) R f = [-20, +)
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
y = x2 - 3x + 2
y = 3x2 + 2x +1
y = 20x2 - 20x + 5
Ejemplos de funciones cuadráticas D f =
Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo:
y = - 3x2 + x - 2
y = - 3x2 – x + 2
y = - x2 + 7x - 10
¡Ojo! En este caso:
Rf = (-∞, yv]
Ejemplos de aplicaciones de la
función cuadrática:
A) Movimiento uniformemente acelerado
s = s0 + v0t + ½·at2
B) Teorema de Torricelli
v2 = 2gh
Funciones polinómicas Funciones polinómicas Grado >2 Grado >2
D f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = x3y = 2x3
y = 5x3
Obsérvese el efecto y = c·f(x)
D f =
R f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = x3 + 1 y = x3
y = x3 - 2
y = x3 + 3
D f =
R f =
Obsérvese el efecto y = f(x) + c
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 4x2 + x +6
D f =
R f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x + 1)2(x - 2) = x3 - 3x - 2
D f =
R f =
Solución doble
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x2 + 1)(x - 2) = x3 - 2x2 + x - 2
Raíces complejas
D f =
R f =
Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d
y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x3 + 6x2 -11x + 6
D f =
R f =
Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo
Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x4 - 2x3 - x2 + 2x
D f =
Funciones fraccionarias Funciones fraccionarias
y = Pn(x)
Qm(x)
D f = - {x/ Qm(x) = 0}
Funciones fraccionarias
Asíntotas verticales
Asíntota horizontal y = 0
x = 3x = 0
x = -3/4R f = - {0}
Gráfica: HIPÉRBOLA
Funciones fraccionarias
Gráfica: HIPÉRBOLA
5x + 10 = 0 x = -2
Asíntota vertical
Asíntota horizontal
D f = - {-2}
R f = - {3/5}
Funciones fraccionarias
Asíntota horizontal y = 1
Asíntotas verticales
x = -1 x = 4
D f = - {-1, 4}
Ejemplos de aplicaciones de
funciones fraccionarias:
A. Principio de continuidad hidrodinámica
S1V1 = S2V2 = G (Gasto) S = G/V
B. Ley de Boyle: PV = k V = k/P
C. Ley de Gravitación Universal:
D. Ley de Coulomb:
Funciones trascendentes Funciones trascendentes
ExponencialLogarítmicaTrigonométricas··· ··· ···
Función exponencialFunción exponencial
y = ax a>0
Función exponencial
y = 2xy = exy = 10x
D f =
R f = (0, +)
Asíntota horizontal y = 0
e 2’718281828459045235360... Función monótona creciente
Función exponencial
y = 0’5x y = 0’1xy = (1/e)x
D f =
R f = (0, +)
Asíntota horizontal y = 0
Función monótona decreciente
D f =
R f = (0, +)
f(0) = 1
Monótona creciente si a> 1
Monótona decreciente si 0 < a < 1
Función exponencialFunción exponencialy = ax a>0
RESUMEN
Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial
A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P0·akt
B. Crecimiento logístico:
C. Presión atmosférica:
a = 8 Km; p(0) = presión a nivel del mar; h en Km
Función logarítmicaFunción logarítmica
y = loga(x) a > 0
Función logarítmica
como función inversa de la función exponencial
Función exponencial y = ax
Bisectriz y = x
Función logarítmica y = loga(x)
D f = R f = (0, +)
R f =
D f = (0, +)
a0 = 1Loga(1) = 0
Función logarítmica
y = log2(x)y = ln(x)
y = log(x)
Función logarítmica
y = log0’1(x)
y = log1/e(x)
y = log0’5(x)
Ejemplos de aplicación de la función logarítmica
A. Ley de Fechner: logI2 - logI1 = 2(logP2 - logP1)
Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL)Pi = Potencia sonora; Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON)
B. Escala de Richter: M = LogA + CA = Amplitud de las ondas superficialesC = 3’3 + 1’66·LogD - LogTT = Período de las ondas registradas en el sismógrafoD = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro
Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas
D f = R f = [-1, 1]D f = R f = [-1, 1]
y = sen(x)
y = cos(x)
La función y = sen(x) es periódica:
Período = 2 sen(x + 2) = sen(x)
La función y = cos(x) es periódica:
Período = 2 cos(x + 2) = cos(x)
y = tg(x) : función periódica
Período = tg(x + ) = tg(x)
D f = - {(2k+1)/2; kZ}Asíntotas verticales
R f =
Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas
RAMAPRINCIPAL
y = arc sen(x)
RAMAPRINCIPAL
y = arc cos(x)
RAM
APR
INCI
PAL
y = arc tg (x)
Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas
A. Intensidad de corriente alterna:
i = im·sen(ωt + φ)
B. Movimiento vibratorio armónico simple:
x = a·sen(ωt + φ)
C. Desarrollos de Fourier
FIN DEL
ESTUDIO GENERAL
SOBRE
FUNCIONES REALES
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