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Funções Rosen 5 th ed., §1.8. Estruturas Discretas e Lógica Matemática Dep. de Informática – UFMA Prof. Anselmo Paiva. Funções. Conceito familiar no cálculo Função real f, que associa a cada número x R um valor particular y=f(x), onde y R. Noção generalizada - PowerPoint PPT Presentation
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Funções Rosen 5th ed., §1.8
Estruturas Discretas e Lógica Matemática
Dep. de Informática – UFMA
Prof. Anselmo Paiva
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Funções
• Conceito familiar no cálculo
• Função real f, que associa a cada número xR um valor particular y=f(x), onde yR.
• Noção generalizada– Conceito de associar elementos de um
conjunto qualquer a elementos de um outro conjunto qualquer
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Definição Formal
• Sejam A e B dois conjuntos, então dizemos que um função f de A em B (f:AB) é uma associação de um único elemento f(x)B a cada elemento xA.
• Generalizações desta Idéia:– Função f associa zero ou elemento de B
a cada elemento xA.– Funções de n argumentos; relations.
• Mais na frente veremos
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Gráficos de Funções
• Podemos representar uma função f:AB como o conjunto de pares ordenados {(a,f(a)) | aA}.– Isto torna f uma relação entre A e B:– Para cada aA, existe somente um par
(a,b).
• Podemos representar os pares ordenados como pontos em um plano. – Assim desenhamos uma curva com um
único y para cada x.
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• Funções pode ser representadas graficamente:
• •
AB
a b
f
f
••••
•
•
••
• x
y
GráficoGrafo BipartidoDiagrama de Venn
A B
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Funções que já vimos
• Uma proposição pode ser vista como uma funçãoque leva de “situações”em valores veradade {T,F}– p=“Está chovendo.”– s=nossa situação aqui hoje– p(s){T,F}.
• Um operador proposicional pode ser visto como uma função de pares ordenados em valores verdade: e.g., ((F,T)) = T.
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Mais funções
• Um predicado pode ser visto como uma função de objetos em proposições: P :≡ “tem 2 metros de altura”; P(Zé) = “Zé tem 2 metros de altura.”
• Uma bit string B de comprimento n pode ser vista como uma função de números {1,…,n}(posições dos bits) em bits {0,1}.E.g., B=101 B(3)=1.
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Continuando
• Um conjunto S sobre um universo U pode ser visto como uma função dos elementos de U em {T, F}, definindo se cada elemento de U está no conjunto S
• Suponha U={0,1,2,3}. Então
S={3} S(0)=S(1)=S(2)=F, S(3)=T
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Continuando
• Um conjunto de operadores tal como ,, pode ser visto como uam função de pares de conjuntos em conjuntos. – Exemplo: (({1,3},{3,4})) = {3}
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Notação
• Podemos escrever YX para denotar o conjunto F de todas as possíveis funções f: XY.
• Assim, f YX é outra maneira de dizer que f: XY.
• Notação apropriada – Para X e Y finitos
|F| = |Y||X|.
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Detalhe
• Se usarmos F0, T1, então um subconjunto TS é uma função de S em {0,1}
• P(S) pode ser representado como {0,1}S (o cojunto de todas as funções de S em {0,1} )
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Terminologia
• Se escrevemos f:AB, e f(a)=b (onde aA & bB), podemos dizer:– A é o domínio de f. – B b é o contra-domínio de f.– b é a imagem de a em f.– O conjunto imagem de f:AB é o
conjunto de todas as imagens de elementos de A.
– Dizemos que f:AB mapeia A em B.
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Funções
• Considere a função f:PC com P = {Linda, Max, Kathy, Peter}C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow}
• f(Linda) = Moscow• f(Max) = Boston• f(Kathy) = Hong Kong• f(Peter) = New York
• O conjunto imagem de f é C.
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Funções
• Let us re-specify f as follows:
• f(Linda) = Moscow
• f(Max) = Boston
• f(Kathy) = Hong Kong
• f(Peter) = Boston
• Is f still a function?
yesyes
{Moscow, Boston, Hong {Moscow, Boston, Hong Kong}Kong}
What is its range?What is its range?
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Funções
• Other ways to represent f:
•Boston•Peter
•Hong Kong
•Kathy
•Boston•Max
•Moscow•Linda
•f(x)•x LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
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Funções
• Se o domínio de f for grande, é conveniente especificar f com uma fórmula, e.g.:
• f:RR • f(x) = 2x
• Isto leva a:• f(1) = 2• f(3) = 6• f(-3) = -6• …
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Funções
• Sejam f1 e f2 funções de A em R.• Então a soma e o produto de f1 e f2 são
também funções de A em R definidas por:• (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)• (f1f2)(x) = f1(x) f2(x)• Exemplo:• f1(x) = 3x, f2(x) = x + 5• (f1 + f2)(x)= f1(x)+f2(x)=3x + x + 5 = 4x + 5• (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) =3x(x + 5) = 3x2 + 15x
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Funções
• Seja f:AB.• Se tomarmos um subcon• If we only rejunto SA, o conjunto
de todas as imagens de elementos sS é denominado imagem de S.
• Denotada por f(S):• f(S) = {f(s) | sS}
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Funções
• Considere a seguinte função:• f(Linda) = Moscow• f(Max) = Boston• f(Kathy) = Hong Kong• f(Peter) = Boston• Qual a imagem de S = {Linda, Max} ?• f(S) = {Moscow, Boston}• Qual a imagem de S = {Max, Peter} ?• f(S) = {Boston}
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Composição
• A composição de duas funções g:AB e f:BC, denotada por fg, é definida como
• (fg)(a) = f(g(a))• Isto significa que:
– a primeira função é aplicada ao elemento aA, – mapeando ele em um elemento de B,– Então f é aplicada a este elemento de B– Mapeando eme em um elemento de C.
• Assim: – função composta mapeia elementos de A em C.
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Composição
• Exemplo:
• f(x) = 7x – 4, g(x) = 3x,
• f:RR, g:RR
• (fg)(5) = f(g(5)) = f(15) = 105 – 4 = 101
• (fg)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4
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Composição
• Composição de função e sua inversa:
• (f-1f)(x) = f-1(f(x)) = x
• É a função identidade I(x) = x.
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Propriedades das Funções
• Uma função f:AB é dita injetora sss x, yA (f(x) = f(y) x = y) x, yA(x,y: xy f(x)f(y)).
• F é injetora sss não mapeia dois elementos distintos de A no mesmo elemento de B.
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Propriedades das Funções
• De novo• f(Linda) = Moscow• f(Max) = Boston• f(Kathy) = Hong
Kong• f(Peter) = Boston• F é injetora?
– Não, – Max e Peter são
mapeados na mesma imagem.
g(Linda) = Moscowg(Linda) = Moscow
g(Max) = Bostong(Max) = Boston
g(Kathy) = Hong g(Kathy) = Hong KongKong
g(Peter) = New Yorkg(Peter) = New York
G é G é é injetora??
SimSim
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Propriedades das Funções
• Como provar que um função é injetora?• Olhe a definição primeiro: x, yA (f(x) = f(y) x = y)
• Exemplo:• f:RR• f(x) = x2
• Use contra exemplo pra provar que não é:• f(3) = f(-3), but 3 -3, so f is not one-to-one.
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Propriedades das Funções
• … outro exemplo:• f:RR• f(x) = 3x• Injetora: x, yA (f(x) = f(y) x = y)• Mostrar que : f(x) f(y) quando x y• x y• 3x 3y• f(x) f(y), • assim se x y, então f(x) f(y), logo, f é
injetora.
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Propriedades das Funções
• A função f:AB com A,B R é denominada estritamente crescente, se
x,yA (x < y f(x) < f(y)),
• E estritamente descrescente se x,yA (x < y f(x) > f(y)).
• Um função que é estritamente crescente ou estritamente descrescente é injetora.
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Propriedades das Funções
• Uma função f:AB é denominada sobrejetora, sss para cada elemento bB existe um elemento aA com f(a) = b.
• Se o cojunto imagem for igual ao contra-domínio
• Uma função f: AB é bijetora sss é injetora e sobrejetora.
• Logo: se f é bijetora e A e B são conjuntos finitos, então |A| = |B|.
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Propriedades das Funções
• F é injetora?
• Não.
• F é sobrejetora?
• Não.
• F é bijetora?
• Não.
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
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Propriedades das Funções
• F é injetora?
• Não.
• F é sobrejetora?
• Sim.
• F é bijetora?
• Não.
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
PaulPaul
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Propriedades das Funções
• F é injetora?
• Sim.
• F é sobrejetora?
• Não.
• F é bijetora?
• Não.
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
LLüübeckbeck
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Propriedades das Funções
• F é injetora?
• Não.
• F não é função
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
LLüübeckbeck
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Propriedades das Funções
• F é injetora?
• Sim
• F é sobrejetora?
• Sim
• F é bijetora?
• Sim
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
LLüübeckbeckHelenaHelena
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Inversa
• As funções bijetora possuem uma função inversa.
• f:AB tem como função inversa
• f-1:BA com f-1(b) = a tal que f(a) = b.
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Inversa
Exemplo:Exemplo:
f(Linda) = Moscowf(Linda) = Moscow
f(Max) = Bostonf(Max) = Boston
f(Kathy) = Hong f(Kathy) = Hong KongKong
f(Peter) = Lf(Peter) = Lüübeckbeck
f(Helena) = New f(Helena) = New YorkYork
É um função É um função bijetorabijetora
A inversa é dada A inversa é dada por:por:
ff-1-1(Moscow) = Linda(Moscow) = Linda
ff-1-1(Boston) = Max(Boston) = Max
ff-1-1(Hong Kong) = (Hong Kong) = KathyKathy
ff-1-1(L(Lüübeck) = Peterbeck) = Peter
ff-1-1(New York) = (New York) = HelenaHelena
Inversão so é Inversão so é possível para possível para bijetorasbijetoras
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Inversa
• f-1:CP não é função
• Não está definida para todos os elementos de C
• Associa duas imagens a New York.
LindaLinda
MaxMax
KathyKathy
PeterPeter
BostonBoston
New New YorkYorkHong Hong KongKong
MoscowMoscow
LLüübeckbeckHelenaHelena
ff
ff-1-1
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Função teto e piso
• Mapeiam números reais em inteiros (RZ).
• Piso(floor) associa rR ao maior zZ com z r, denotado por r. 2.3 = 2, 2 = 2, 0.5 = 0, -3.5 = -4
• Teto (ceiling) associa rR ao menor zZ com z r, denotado por r.– 2.3 = 3, 2 = 2, 0.5 = 1, -3.5 = -3
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SequênciasRosen 5th ed., §1.8
Estruturas Discretas e Lógica Matemática
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Sequências
• Representam listas ordenadas de elementos.
• É definida como uma função de um subconjunto de N em um conjunto S.
• Usamos a notação an para denotar a imagem do inteiro n
• Chamamos an de um termo da sequência.
• Subconjunto de N: 1 2 3 4 5 …
S: 2 4 6 8 10 …S: 2 4 6 8 10 …
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Sequências
• Usamos a Notação {an} para descrever uma sequência.
• É conveniente descrever uma sequência com uma fórmula.
• Por exemplo: a sequência do slide anterior
{an}, where an = 2n.
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As Fórmulas de Sequências
1, 3, 5, 7, 9, … aann = 2n - 1 = 2n - 1
-1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, ……
aann = (-1) = (-1)nn
2, 5, 10, 17, 26, 2, 5, 10, 17, 26, ……
aann = n = n22 + 1 + 1
0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1.25 ……
aann = 0.25n = 0.25n
3, 9, 27, 81, 243, …3, 9, 27, 81, 243, … aann = 3 = 3nn
Quais as fórmulas pras seguintes Quais as fórmulas pras seguintes sequências asequências a11, a, a22, a, a33, … ?, … ?
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Strings
• Sequências finitas são denominadas de strings, denotadas por a1a2a3…an.
• O comprimento de uma string S é o número de termos que S possui.
• A string vazia não contém termos. Possui comprimento zero
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Somatórios
•A variável j é denominada índice do somatório, indo do seu limite inferior m ao limite superior n.
n
mjja
O que isto significa?O que isto significa?
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Somatórios
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Escrevemos como Escrevemos como
1000
1
2
j
j
Qual o valor de ?Qual o valor de ?
6
1j
j
Muito trabalho pra calcular istoMuito trabalho pra calcular isto
Qual o valor de ?Qual o valor de ?
100
1j
j
Como expressar a soma dos primeiros mil Como expressar a soma dos primeiros mil termos de uma sequência {atermos de uma sequência {ann} com a} com ann=n=n22 para para n = 1, 2, 3, … ?n = 1, 2, 3, … ?
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Somatórios
•Gauss apresentou a seguinte fórmula:
n
j
nnj
1 2
)1(
Quando temos esta fórmula, podemos Quando temos esta fórmula, podemos calcular o valor de qualquer somatório:calcular o valor de qualquer somatório:
50502
10100
2
)1100(100100
1
j
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Séries Aritméticas
•Como:
n
j
nnj
1 2
)1(
Observe que:Observe que:
1 + 2 + 3 +…+ n/2 + (n/2 + 1) +…+ (n - 2) + (n - 1) + 1 + 2 + 3 +…+ n/2 + (n/2 + 1) +…+ (n - 2) + (n - 1) + nn
??????
= [1 + n] + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] +…+ [n/2 + (n/2 + 1)]= [1 + n] + [2 + (n - 1)] + [3 + (n - 2)] +…+ [n/2 + (n/2 + 1)]
= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) (com n/2 termos)(com n/2 termos)
= n(n + 1)/2.= n(n + 1)/2.
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Séries Geométricas
•Como :
n
j
nj
a
aa
0
)1(
)1(
1
Observe que:Observe que:
S = 1 + a + aS = 1 + a + a22 + a + a33 + … + a + … + ann
??????
aS = a + aaS = a + a22 + a + a33 + … + a + … + ann + a + a(n+1)(n+1)
assim, (aS - S) = (a - 1)S = aassim, (aS - S) = (a - 1)S = a(n+1)(n+1) - 1 - 1
Entao, 1 + a + aEntao, 1 + a + a22 + … + a + … + ann = (a = (a(n+1)(n+1) - 1) / (a - - 1) / (a - 1).1).E.G.: 1 + 2 + 4 + 8 +… + 1024 = 2047.E.G.: 1 + 2 + 4 + 8 +… + 1024 = 2047.
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Séries Úteis
1.
2.
3.
4.
n
j
nj
a
aa
0
)1(
)1(
1
n
j
nnj
1 2
)1(
n
j
nnnj
1
2
6
)12)(1(
n
j
nnj
1
223
4
)1(
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Somatórios Duplos
• Correspondendo a loops aninhados em linguagens de programação:
• Exemplo:
5
1
2
1i j
ij
5
1
)2(i
ii
5
1
3i
i
451512963
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