View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Função Quadrática ou Função do 2º grau
Bhaskara
Babilônia (1.800 a.C) algunsmétodos de resolução deequações de 2º grau já eramconhecidos.
Egípcios: já trabalhavam comequações lineares e usavamincógnitas em seus problemas(Papiro de Rhind)*
* Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes -1.650 a.C - cópia de um trabalho aindamais antigo. Detalha a solução de 85problemas (aritmética, frações, cálculode áreas, volumes, equações lineares,geometria; dentre outros.
Um pouco de História...
Fonte:http://www.navegandodelpasadoalfuturo.net/babilonia
Fonte: http://www.matematica.br/historia/prhind.html2
Um pouco de História...
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tartaglia
Fonte: http://www.mathworks.com/matlabcentral
Europa
Século XVI: Del Ferro, Tartaglia, Cardano,Ferrari dentre outros, iniciaram estudossobre equações de terceiro e quartograus.
Século XIX: Galois resolveu um antigoproblema em aberto envolvendo as raízesde um polinômio e cria um novo campoda álgebra abstrata: a teoria dos grupos.
3
4
Definição
Denomina-se função quadrática na variável x toda função na forma: f(x) = ax2 + bx + c = 0 com x R, a 0
Gráfico da Função Quadrática: sempre é uma parábola.
a: é sempre o coeficiente de x2
b: é sempre o coeficiente de xc: é o coeficiente ou termo independente
Exercitando....
Dadas as funções quadráticas determine os coeficientes a, b e c de cada função.
a) f(x) = x2 - 6x +8 a = ____; b = ____; c = ____
b) y = -3x2 + 4x – 4 a = ____; b = ____; c = ____
c) f(x) = x2 – 6 a = ____; b = ____; c = ____
d) y = -2x2 + 8x a = ____; b = ____; c = ____
e) f(x) = x2 – 1 a = ____; b = ____; c = ____
ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU
São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
1º caso: b = 0• Igualar a função a zero• Isolar a variável x e o termo independente
x2 – 1= 0
x2 = 1
x = +/-√1
x = +/- 1
x2 – 9 = 0
x2 = 9
x = +/-√9
x = +/- 3
2x2 – 14 = 0
2x2 = 14
x2 = 14/2
x =+/- √7
x2 + 9 = 0
x2 = - 9
x =+/- √-9
Não existe solução
a) f(x) = x2 – 1 b) f(x) = x2 – 9 c) f(x) = 2x2 – 14 d) f(x) = x2 + 9
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x2 – 16 b) y = -x2 + 36
c) f(x) = 2x2 – 8 d) y = -2x2 + 10
e) f(x) = 2x2 – 6 f) y = x2 + 10
a) 4;b) 6; c) 2; d) 5; e)R 3; f): 10
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
2º caso: c = 0• Igualar a função a zero
• Colocar a variável x em evidência.
x2 – 5x = 0
x(x – 5) = 0
Raízes:
x = 0x = 5
x2 + 2x = 0
x(x + 2) = 0
Raízes:
x = 0x = -2
2x2 + 6x = 0
2x(x + 3) = 0
Raízes:
x = 0x = -3
a) f(x) = x2 – 5x b) f(x) = x2 + 2x c) f(x) = 2x2 + 6x
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x2 + 3x b) y = x2 + 4x
c) f(x) = x2 – 4x d) y = x2 - 5x
e) f(x) = 2x2 – 12x f) y = 2x2 – 2x
R: a) x’= 0 e x’’ = -3; b) x’= 0 e x’’ = -4; c) x’= 0 e x’’ = 4; d) x’= 0 e x’’ = 5; e) x’= 0 e x’’ = 6; f) x’= 0 e x’’ = 1;
Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara
3º caso: cálculo das raízes da função completa
x =−b ± ∆
2ax =
−b ± b2 − 4ac
2a
∆ = b2 − 4ac
Fórmula de Bháskara
Gráficos da função quadrática
Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau
x2 – 7x + 6 = 0 9x2 + 6x + 1 = 0 -2x2 + 3x – 5 = 0
Não existe solução que satisfaça f(x) = 0
a) f(x) = x2 – 7x + 6 b) f(x) = 9x2 + 6x + 1 c) f(x) = -2x2 + 3x - 5
2
2( 7
b
)
4
4.1.6
49 24
25
.a.c
( 7) 25x
2.1
7 5x ' 6
2
7 5x '' 1
2
2
2
(6) 4.9.1
36 3
b 4.
0
a c
6
.
6 0x
2.9
6 0 1x '
18 3
6 0 1x ''
18 3
2
2
(3) 4.( 2).( 5)
9 40
b 4.a.c
31
14
Exercitando....
Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² + 3x – 10
b) f(x) = 4x² – 4x + 2
c) y = 2x2 - 4x + 5
d) y = -x² - 6x + 5
e) y = -x² + 6x + 5
f) f(x) = -x2 + 12x + 20
g) f(x) = 2x2 - 3x + 5
h) f(x) = 5x2 + 10x + 5
Cálculo do Vértice de uma ParábolaValor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática
Valor Máximo
Valor Mínimo
v
v
bx
2a
y4a
Exemplos
1) Qual é o vértice da parábola y = x2 – 2x + 5?
2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função definida por y = 2x2 – 5x + 2. As coordenadas do vértice V da parábola são:
Letra A
17
3) Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x2 – 2x – 3 e diga se é um ponto de máximo ou mínimo da função.
a) V (1, -4); ponto de mínimob) V (2, 4); ponto de máximoc) V (-1,-4); ponto de máximod) V (2,-4); ponto de mínimo
18
Exercitando....
Em cada um dos itens abaixo ache o vértice e classifique como um ponto de máximo ou de mínimo da função dada.
a) f(x) = x2 + 8x + 9 b) f(x) = -x2 + 4x + 4
c) f(x) = 4x2 + 8x - 3 d) f(x) = -x2 + 2x - 1
e) f(x) = -x2 + 9 f) f(x) = -x2 - 9x
Gabarito:a) (-4, -7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximoc) (-1, -7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximoe) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, -9), ponto de máximo
19
Domínio e Imagem da função quadrática
D(f) = R
Im(f) = y ≥ 2 ou [2, [
20
Exemplo 1:
O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:
a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo?
b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos?
Aplicações
21
Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por C(x) = 3x2 – 15x + 21. Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) – C(x) seja máximo, devem ser vendidas:
a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades
Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima temposição em função do tempo dada pela função h(t) = 40 t – 5t2 onde aaltura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos.Calcule:
a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima.a) A altura máxima atingida pelo objeto.
v
b ( 0,6)x 50 km / h
2a 2.0,006
1. A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h é dado por C(x) = 0,006x2 – 0,6x + 25. Para qual velocidade este consumo é mínimo?
a) 46 km/hb) 47 km/hc) 48 km/hd) 49 km/he) 50 km/h
Exemplos: Máximo e Mínimo
a) 2 s
b) 8 m
2. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = -2t2 + 8t, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Calcule:
a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima;b) A altura máxima atingida pela bola.
3. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: T(t) = 2 + 4t – t2. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo?
a) 1,0 s d) 2,5 sb) 1,5 s e) 3,0 sc) 2,0 s
Letra C
4. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P, em recipientes, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n2 + 50n + 6.000. Calcule:a) A produção se o número de operadores for 4.b) A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores.
25
Ler a teoria na pág. 86 a 95
Fazer os exercícios das pág. 96 e 97:
1 ao 12
Ler a teoria na pág. 98 a 100
Fazer os exercícios da pág. 101:
14 ao 22
Ler a teoria na pág. 102 a 105
Fazer os exercícios das pág. 106 e 107:
25 ao 37
Recommended