GEOMETRİ

GEOMETRİ GEOMETRİ

KONU: AÇIORTAY TEOREMLERİ VE ÖRNEK SORU ÇÖZÜMLERİ

ADEM ALTUĞADEM ALTUĞ100403008100403008

1) İÇ AÇIORTAY 1) İÇ AÇIORTAY TEOREMİTEOREMİ

Bir üçgende, herhangi bir açıortayın karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik kenarların uzunlukları oranına eşittir.

A

N CB

AB AC

BN NC

A

N CB

T H

1)

A(ABN)

A(ANC)

BN

NC

[AN] açıortayının ayırdığı ABN ve ANC üçgenlerinin, [NB] ve [NC] kenarlarına ait yükseklikleri ortak olduğundan

yazabiliriz. Şekilde görüldüğü gibi, [AN] açıor-tayının N noktasından [AB] ve [AC] kenarları-na çizilen dikmeler eşittir.

NH=NT olur.

BN

NC

2)A(ABN)

A(ANC)

½×AB×NT

½×AC×NH

AB

AC

(1) VE (2) EŞİTLİKLERİNDEN, AB

AC

BN

NCOLUR.

N

KM

T14 cm12 cm

9 cm

[KT], K açısının açı ortayıdır.NK=12 cm KM=9 cm MN=14 cmise TM doğru parçasının uzunluğunu bulunuz.

ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

N

KM

T14 cm12 cm

9 cm

TM=x dersek, TN=14-x olur. Açıortay teore-mine göre, KM KN

TM TN

bulunur. Verilenler yerineyazılırsa;

9 12

x

14-x12x = 9 (14-x)21x=126x=6 cm çıkar

Yani |TM|=6 cm bulunur.

A

N CB

6 5

[AN] A açısının açıortayıdır. |BN|=6 cm |NC|= 5 cmve ABC üçgeninin çevresi 33 cm ise |AC|=?

ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

A

N CB

Üçgenin çevresi 33 cm verildiğine göre |AB|+|AC|+|BC|=33 cm’dir.

|BC|=11 cm olduğundan |AB|+|AC|=22 cm olur.

|AC|=x dersek |AB|=22-x olur.

Açıortay teoremine göre,

AB AC

BN NC

yazabiliriz.

22-x x

6 5

6x=5 (22-x) 6x=110-5x 11x=110 X=10 cm

DOLAYISIYLA |AC|=10 CM ÇIKAR.

Şekildeki ABC üçgeninde, a,b,c kenar uzunlukları [AN],[BD],[CE] sırasıyla A,B,C açılarına ait açıortaylardır. Açıortayların kesim noktası O olmak üzere ;

A

N CB

b

b c

c

aa

a

c bE D

O

OA ON

b+c a

OB OD

a+c

b

OC OE

a+b

c

A

N CB

bb c

c

aa

a

c bE D

O

OA ON

AB BN

(Açıortay teoremi)

AB BN

(Açıortay teoremi)

BİRLEŞTİRİRSEK; OA ON

AC NC

OA ON

AC NC

BURADAN;

OA ON

AC+AB

NC+BN

b+c

aBULUNMUŞ OLUR.

N

A

CB

b

b c

c

aa

E D

O

Şekilde [AN] , [BD ] , [CE] sırasıyla

A, B,C açılarının açıortaylarıdır.

|AB|=8 cm |AC|=10 cm |BC|=12 cm

olduğuna göre;

|ON|

|OA|=?

ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

A

N CB

b

b c

c

aa

E D

O

OA ON

AB+AC

BC

8+10

12

5

3BULUNMUŞ OLUR.

1) DIŞ AÇIORTAY 1) DIŞ AÇIORTAY TEOREMİTEOREMİ

A

NCB

Bir ABC üçgeninde A açısının dış açıortayı [BC] kenarının uzantısını N noktasında kesiyorsa;

AB AC

BN NC

olur.

A

NCB

108

5 x

Şekilde [AN] A açısının açıortayıdır. |AB|=10 cm |AC|=8 cm |BC|=5 cm ise, |CN|=x kaç cm dir?

ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

A

NCB

108

5 x

Dış açıortay teoremine göre ;

AB AC

BN NC

yazabiliriz. Verilenleri yerinekoyarsak;

10

8

5+x

x10x = 8 (5+x)10x = 40+8x2x = 40x = 20 cm çıkar.

A

NCB DŞekildeki ABC üçgeninde [AD], A açısının iç açıortayı, [AN], A açısının dış açıortayı olmak üzere

1- [AD] diktir [AN]

2-

BD DC

BN NC

olur.

Şekildeki ABC üçgeninde [AD] ve [AN] sırasıyla A açısının iç ve dış açı ortaylarıdır.|BD|=6 cm |DC|=4 cm olarak veriliyor. |CN|=?

ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.ÇÖZÜM İÇİN TIKLAYINIZ.

A

NCB D6 x4

A

NCB D

|CN|=x olsun

BD DC

BN NC

olduğundan

6

4

10+x

x

6x=4 (10+x)

6x=40+4x

2x=40

X=20 cm çıkar.

KAYNAKÇA:KAYNAKÇA:SINAV DERGİSİ KONU SINAV DERGİSİ KONU

ANLATIMLIANLATIMLIGOOGLEGOOGLE