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IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática( Universidade Estadual de Maringá – PR )
Cleber Haubrichs dos Santos( CEFET Química de Nilópolis – RJ )
apresentam
&
Uma IntroduUma IntroduUma IntroduUma Introduçççção Ilustrada ão Ilustrada ão Ilustrada ão Ilustrada
àààà Geometria AlgGeometria AlgGeometria AlgGeometria Algéééébrica Clbrica Clbrica Clbrica Cláááássicassicassicassica
# 29 de Setembro a 03 de Outubro de 2008 #
O belo do infinito é que não existe um adjetivo sequer que
se possa usar para defini-lo. Ele é, apenas isso: é.
(...)
Que pena eu não entender de física e matemática para
poder, nessa minha divagação gratuita, pensar melhor e
ter vocabulário adequado para transmissão do que sinto.
(...)
Qual a forma mais adequada para que
o consciente açambarque o infinito?
Clarice Lispector – “Divagando Sobre Tolices”Publicado no Jornal do Brasil, 13 de Junho de 1970
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Parte IV: A Geometria Projetiva mostra os pontos que estavam faltando
Parte III: A Geometria Complexa ainda não resolve tudo
Parte II: A Geometria Analítica Real é boa mas tem seus defeitos
Parte I: Uma Introdução Histórica
Neste mini curso estudaremos alguns conceitos básicos da Geometria Algébrica Clássica, tendo como motivação o TEOREMA DE BEZOUT
IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica
RESUMO do CURSO
Para entender o Teorema de Bezout em sua versão
projetiva, vamos introduzir e trabalhar os seguintes
conceitos: curvas algébricas, interseção de curvas,
multiplicidade de interseção, plano projetivo,
coordenadas homogêneas, entre outros.
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica
CARACTERÍSTICAS
Deseja-se que esta apresentação alcance e
seduza o maior número possível de alunos. Para
tanto, as características pretendidas para este curso são:
•Poucos pré-requisitos
•Conexões com a História da Geometria
•Resolução detalhada de exemplos
•Ênfase em gráficos e figuras significativas
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica
PRÉ-REQUISITOS
Noções de Geometria Analítica no R2,
vetores no R3 e um pouco de
habilidade com equações polinomiais.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Parte I: Uma Introdução Histórica
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
+Geometria
Projetiva
Geometria
Analítica
GEOMETRIA ALGÉBRICA
Para começar: o que é Geometria Algébrica?
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Um pouco de Geometria Projetiva ...
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
A novidade da Geometria Projetiva em relação àGeometria Euclidiana é o acréscimo de pontos no
infinito.
Retas concorrentes
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Posições relativas entre duas retas distintas no plano euclidiano.
Retas paralelas
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O encontro de retas paralelas no infinito.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Linha do Tempo
RevoluçãoFrancesa(1789)
Monge(1746-1818)
Poncelet(1788-1867)
Plücker(1801-1868)
Raffaello(séc XVI)
Masaccio(séc XV)
Descartes(1596-1650)
Bezout(1730-1783)
Renascimento(séc XV e XVI)
Discurso do Método(1637)
Desargues(1591-1661)
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Santíssim
a Trindade
por Masaccio
(1401-1427)
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Escola de Atenas por Raffaello Santi (1483-1520)
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Mulher Ensinando Geometria – Uma figura tipicamente medieval
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Linha do Tempo
RevoluçãoFrancesa(1789)
Monge(1746-1818)
Poncelet(1788-1867)
Plücker(1801-1868)
Raffaello(séc XVI)
Masaccio(séc XV)
Descartes(1596-1650)
Bezout(1730-1783)
Renascimento(séc XV e XVI)
Discurso do Método(1637)
Desargues(1591-1661)
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Girard Desargues (1591-1661)
� Arquiteto e Engenheiro.
� 100 anos depois dos pintores renascentistas, descobre a perspectiva na Matemática.
�Não foi entendido pelos seus contemporâneos matemáticos.
� Suas obras ficaram perdidas por cerca de 200 anos.
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Teorema de Desargues: Considere dois triângulos...
A B
C
A'
B'
C'
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Teorema de Desargues: ... tais que vale a configuração abaixo.
A B
C
A'
B'
C'
O
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Teorema de Desargues: Construa os pontos P, Q e R.
A B
C
A'
B'
C'
O
P
Q
R
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Teorema de Desargues: Estes pontos estão alinhados.
A B
C
A'
B'
C'
O
P
Q
R
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Linha do Tempo
RevoluçãoFrancesa(1789)
Monge(1746-1818)
Poncelet(1788-1867)
Plücker(1801-1868)
Raffaello(séc XVI)
Masaccio(séc XV)
Descartes(1596-1650)
Bezout(1730-1783)
Renascimento(séc XV e XVI)
Discurso do Método(1637)
Desargues(1591-1661)
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Jean Victor Poncelet (1788-1867)
�Tenente do exército na mal sucedida campanha de Napoleão contra a Rússia.
�Na gelada prisão russa, escreveu, 100 anos depois de Desargues, e sem conhecer a obra dele, o livro que inaugurou a Geometria Projetiva: Traité des
Proprietés Projetives des
Figures.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Pontos “impróprios” em retas
P
P
P
P
P
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Plano Projetivo
O plano projetivo é o plano que contém os pontos finitos e os pontos “impróprios” (isto é, os pontos no infinitos).
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Plano Projetivo
O plano projetivo é o plano que contém os pontos finitos e os pontos “impróprios” (isto é, os pontos no infinitos).
O plano projetivo foi definido com toda clareza por Poncelet em 1822.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Plano Projetivo
O plano projetivo é o plano que contém os pontos finitos e os pontos “impróprios” (isto é, os pontos no infinitos).
O plano projetivo foi definido com toda clareza por Poncelet em 1822.
Desargues (1639) chegou perto de uma definição correta.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Plano Projetivo
O plano projetivo é o plano que contém os pontos finitos e os pontos “impróprios” (isto é, os pontos no infinitos).
O plano projetivo foi definido com toda clareza por Poncelet em 1822.
Desargues (1639) chegou perto de uma definição correta.
Suspeita-se de que num dos três livros perdidos de Euclides há alguma tentativa de estudo da Geometria Projetiva.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Parábola euclidiana e parábola projetiva
P
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
E agora, um pouco de Geometria Analítica ...
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
A novidade da Geometria Analítica em relação àGeometria Euclidiana é a introdução de um sistema de
coordenadas.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Linha do Tempo
RevoluçãoFrancesa(1789)
Monge(1746-1818)
Poncelet(1788-1867)
Plücker(1801-1868)
Raffaello(séc XVI)
Masaccio(séc XV)
Descartes(1596-1650)
Bezout(1730-1783)
Renascimento(séc XV e XVI)
Discurso do Método(1637)
Desargues(1591-1661)
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René Descartes (1596-1650)
�Considerado o filósofo pai do racionalismo moderno.
�Publicou vários livros em francês, sua língua natal, uma novidade na época.
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Discurso do Método (1637)
� Foi num apêndice de uma publicação posterior do Discurso do Métodoque Descartes introduziu as idéias básicas da Geometria Analítica.
� No entanto não desenvolveu a Geometria Analítica tal como a conhecemos hoje.
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Linha do Tempo
RevoluçãoFrancesa(1789)
Monge(1746-1818)
Poncelet(1788-1867)
Plücker(1801-1868)
Raffaello(séc XVI)
Masaccio(séc XV)
Descartes(1596-1650)
Bezout(1730-1783)
Renascimento(séc XV e XVI)
Discurso do Método(1637)
Desargues(1591-1661)
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Gaspar Monge (1746-1818)
� Trabalhou no Departamento de Pesos e Medidas da Assembléia Constituinte da Revolução Francesa.
� Fundador, administrador e professor da ÉcolePolytechnique.
� Sistematizou e escreveu os primeiros livros didáticos sobre a Geometria Analítica.
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Plano Cartesiano
eixo x
eixo y
P=(a,b)
{ }RR ∈= baba ,|),(2
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Espaço Cartesiano
eixo x eixo y
eixo z
P = (a,b,c)
{ }RR ∈= cbacba ,,|),,(3
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Chegamos então àGeometria Algébrica ...
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+Geometria
Projetiva:
Pontos no Infinito
Geometria
Analítica:
Sistema de Coordenadas
GEOMETRIA ALGÉBRICA
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
Linha do Tempo
RevoluçãoFrancesa(1789)
Monge(1746-1818)
Poncelet(1788-1867)
Plücker(1801-1868)
Raffaello(séc XVI)
Masaccio(séc XV)
Descartes(1596-1650)
Bezout(1730-1783)
Renascimento(séc XV e XVI)
Discurso do Método(1637)
Desargues(1591-1661)
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Etienne Bezout (1730-1783)
�Escreveu uma obra monumental em 6 volumes que cobria toda a Matemática superior conhecida na época (que era basicamente Cálculo, Equações Diferenciais e Geometrias).
�Trabalhava nas escolas da marinha francesa como professor de Matemática.
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O Teorema de Bezout
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Teorema de Bezout
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.
Historicamente pode ser considerado o primeiro teorema da Geometria Algébrica.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Teorema de Bezout
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.
Historicamente pode ser considerado o primeiro teorema da Geometria Algébrica.
Maclaurin (1720), a partir de generalizações de trabalhos de Newton, enunciou o teorema sem, no entanto, prová-lo.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Teorema de Bezout
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.
Historicamente pode ser considerado o primeiro teorema da Geometria Algébrica.
Maclaurin (1720), a partir de generalizações de trabalhos de Newton, enunciou o teorema sem, no entanto, prová-lo.
Bezout (1770) desenvolveu muita teoria da eliminação e provou o teorema que leva seu nome.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Teorema de Bezout
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.
Historicamente pode ser considerado o primeiro teorema da Geometria Algébrica.
Maclaurin (1720), a partir de generalizações de trabalhos de Newton, enunciou o teorema sem, no entanto, prová-lo.
Bezout (1770) desenvolveu muita teoria da eliminação e provou o teorema que leva seu nome.
Liouville (1841) descobriu falhas na prova de Bezout, mas não conseguiu consertá-la.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Introdução Histórica
O Teorema de Bezout
Maclaurin (1720), a partir de generalizações de trabalhos de Newton, enunciou o teorema sem, no entanto, prová-lo.
Bezout (1770) desenvolveu muita teoria da eliminação e provou o teorema que leva seu nome.
Liouville (1841) descobriu falhas na prova de Bezout, mas não conseguiu consertá-la.
A primeira prova correta é atribuída a Mertens (1899).
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos de interseção entre duas curvas no plano.
Historicamente pode ser considerado o primeiro teorema da Geometria Algébrica.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Parte II: A Geometria Analítica Realé boa mas tem seu defeitos
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Equações de 1º grau representam retas
0=++ cbyax
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Equações de 2º grau representam cônicas
022 =+++++ feydxcxybyax
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(Só para lembrar de onde vêm as cônicas...)
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Curvas algébricas em R2
Dado um polinômio de duas variáveis f(x,y) com coeficientes reais chamamos de curva algébricaao conjunto de todos os pontos
(a,b) de R2 que satisfazem a equação f(x,y)=0.
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Interseções entre duas retas no plano
Sistema Linear 2x2:
=+
=+
rqypx
cbyax
Retas concorrentes: Sistema possível e determinado
Retas paralelas: Sistema impossível
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Uma pergunta...
O que podemos dizer sobre um sistema de equações não lineares?
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Uma pergunta...
O que podemos dizer sobre um sistema de equações não lineares?
ou seja
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Uma pergunta...
O que podemos dizer sobre um sistema de equações não lineares?
ou seja
E quando as equações de um sistema não representarem duas retas?
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Algumas interseções entre uma reta e uma cônica no plano
=++
=+++++
0
022
rqypx
feydxcxybyax
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Algumas interseções entre duas cônicas no plano
=+++++
=+++++
0
022
22
sryqxpxynymx
feydxcxybyax
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
O Teorema de Bezout
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos em comum entre duas curvas algébricas no plano, desde que essa quantidade de pontos de interseção seja um número finito.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos em comum entre duas curvas algébricas no plano, desde que essa quantidade de pontos de interseção seja um número finito.
O Teorema de Bezout
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos em comum entre duas curvas algébricas no plano, desde que essa quantidade de pontos de interseção seja um número finito.
O Teorema de Bezout
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
O Teorema de Bezout versa sobre a contagem de pontos em comum entre duas curvas algébricas no plano, desde que essa quantidade de pontos de interseção seja um número finito.
O Teorema de Bezout
Neste curso vamos aprender onde e comocontar esses pontos de interseção entre duas curvas
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Sistema de Equações e Eliminação de Variáveis
Para calcular os pontos que estejam na interseção de uma curva f(x,y)=0 com uma curva g(x,y)=0, basta resolver o sistema de equações simultâneas.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Sistema de Equações e Eliminação de Variáveis
Uma estratégia possível é a seguinte: numa das equações, isolamos uma das variáveis e a seguir substituímos na outra equação.
Para calcular os pontos que estejam na interseção de uma curva f(x,y)=0 com uma curva g(x,y)=0, basta resolver o sistema de equações simultâneas.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Sistema de Equações e Eliminação de Variáveis
Uma estratégia possível é a seguinte: numa das equações, isolamos uma das variáveis e a seguir substituímos na outra equação.
Outra estratégia: Multiplicamos as equações por constantes não nulas adequadas para, após somá-las, eliminar uma das variáveis.
Para calcular os pontos que estejam na interseção de uma curva f(x,y)=0 com uma curva g(x,y)=0, basta resolver o sistema de equações simultâneas.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Sistema de Equações e Eliminação de Variáveis
Uma estratégia possível é a seguinte: numa das equações, isolamos uma das variáveis e a seguir substituímos na outra equação.
Outra estratégia: Multiplicamos as equações por constantes não nulas adequadas para, após somá-las, eliminar uma das variáveis.
Estratégias semelhantes a essas são a origem do que mais tarde veio a se chamar de Teoria das Eliminações.
Para calcular os pontos que estejam na interseção de uma curva f(x,y)=0 com uma curva g(x,y)=0, basta resolver o sistema de equações simultâneas.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Duas curvas podem ter uma quantidade infinita de pontos em comum?
Mais uma pergunta...
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
A resposta é SIM quando uma das curvas for componente da outra.
Duas curvas podem ter uma quantidade infinita de pontos em comum?
Mais uma pergunta...
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
A resposta é SIM quando uma das curvas for componente da outra.
Dito mais claramente: A curva algébrica g(x,y) = 0 é componente da curva f(x,y) = 0
quando o polinômio g(x,y) faz parte da fatoração do polinômio f(x,y).
Duas curvas podem ter uma quantidade infinita de pontos em comum?
Mais uma pergunta...
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Por exemplo...
04 42 =− xy
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Por exemplo...
04 42 =− xy 02 2 =+ xy
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
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1
2
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x
y
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
3
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x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Por exemplo...
04 42 =− xy 02 2 =+ xy
)2()2()4(queNote 2242 xyxyxy +⋅−=−
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
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−1
1
2
3
4
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Então vamos combinar o seguinte...
Neste curso, em cada exemplo e a cada vez que uma versão do Teorema de Bezout for enunciado, estaremos desconsiderando a hipótese de que as curvas algébricas mencionadas sejam componentes uma da outra.
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Exemplos e Exercícios
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
1
2
3
4
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
04844 22 =+−−+ yxyx 022 =+− yx
Interseções reais simples em (0, 1) e (2, 2)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
3659 22 =− xy 635 =− yx
Interseções reais simples em (0, -2) e (3, 3)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1
2
3
4
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
0171664 22 =+−−+ yxyx
32 =+ yx
Uma interseção real dupla em (1, 1)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
06515018259 22 =+−++ yxyx011396216 22 =+−++ yxyx
Interseções reais simples em (-5, 2), (-5, 4), (3, 2) e (3, 4)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
yyx 122 22 =+
yyx 1022 =+
Interseções reais simples em (-4, 8) e (4, 8)
e uma interseção real dupla em (0, 0)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
84 2 += yx
422 =− yx
Uma interseção real quádrupla em (2,0)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
7538 23 −−+= xxxy
052 =+− yx
Uma interseção real simples em (3, 4) e uma interseção real dupla em (-3, 1)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
51239 23 +−−= xxxy
235 =+ yx
Interseção real tripla em (1, -1)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
xxy 1551184 3 −=
5573 22 =+ yx
Interseções reais simples em (-4, -1), (-3, 2), (3, -2), (4, 1) e outros dois pontos.
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
xxxy 1893 23 ++=
0530124 22 =−++ yxyx
Interseção real dupla em (0, 0)
e interseções reais simples em outros quatro pontos.
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Uma interseção real simples em (1, 1)
01266222 =+−−−+ yxxyyx
0=− yx
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
0225409049 22 =+−−+ yxyxyyx 1022 =+
Interseções reais simples em (3, 1) e (3, 9)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
05442 =+−+ yxy
5=+ yx
Não há interseções reais
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
093095 2 =−−− yxy03632 =+−+ yxy
Interseções reais simples em (-1, 0) e (-1, 6)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
122 =− xyx
02 =− yx
Não há interseções reais
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
03612822 =+−++ yxyx
Uma interseção real dupla em (0, 6)
036121022 =+−++ yxyx
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
232 3xxy +=3=+ yx
Interseção real simples em (1, 2)
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
443 2 +−= xxy
Cada par de curvas tem interseção real dupla em (2, 0)
442 +−= xxy
442 2 +−=− xxy
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
xyyx 333 =+01=++ yx
Não há interseção real
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
0962 =+−+ xxy
24 xy =
Não há interseções reais
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
223 2 −+= xxy
Uma interseção real simples em (-4, 2) e uma interseção real dupla em (-1, -1)
21173 23 +++= xxxy
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Podemos enunciar uma versão parcial do Teorema de Bezout
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Teorema de Bezout(Versão para Geometria Analítica Real)
Suponha que:
Duas curvas no plano cartesiano são
representadas uma por um polinômio de grau m
e outra por um polinômio de grau n.
Então:
O número de pontos de interseção das duas
curvas, contados com suas multiplicidades,
será no máximo m.n.
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Teorema de Bezout(Como gostaríamos que fosse...)
Suponha que:
Duas curvas no plano cartesiano são
representadas uma por um polinômio de grau m
e outra por um polinômio de grau n.
Então:
O número de pontos de interseção das duas
curvas, contados com suas multiplicidades,
será exatamente m.n.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Real
Possíveis “correções” ao Teorema de Bezout
Trabalhar num “plano cartesiano” formado
de pares de números complexos
ao invés de pares de números reais.
Trabalhar num “plano cartesiano”
onde seja possível descrever
algebricamente os pontos no infinito.
e / ou
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Parte III: A Geometria Complexa ainda não resolve tudo
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Números Complexos
Unidade Imaginária
Número complexo:
Adição: Multiplicação:
R∈+ baiba ,com,
CR ⊂{ }RC ∈+= baiba ,com,
ibpaqbqapqipbia )()()()( ++−=+⋅+iqbpaqipbia )()()()( +++=+++
1−=i
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
O plano afim: uma versão complexa do plano cartesiano
{ }),(2 qipbia ++=×= CCC
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Curvas algébricas afins
Dado um polinômio de duas variáveis f(x,y)
(com coeficientes reais ou complexos) chamamos de curva algébrica afim ao
conjunto de todos os pontos do plano afim C2 que satisfazem a equação f(x,y)=0.
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Equações polinomiais à uma variável
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Equações polinomiais à uma variável
Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de grau n admite pelo menos uma raiz complexa.
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Equações polinomiais à uma variável
Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de grau n admite pelo menos uma raiz complexa.
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
Corolário: Toda equação polinomial de grau n admite n raízes complexas.
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Equações polinomiais à uma variável
Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de grau n admite pelo menos uma raiz complexa.
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
Corolário: Toda equação polinomial de grau n admite n raízes complexas.
(as raízes podem ser reais puras ou não e devem ser contadas com suas multiplicidades)
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Equações polinomiais à uma variável
Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de grau n admite pelo menos uma raiz complexa.
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
Corolário: Toda equação polinomial de grau n admite n raízes complexas.
(as raízes podem ser reais puras ou não e devem ser contadas com suas multiplicidades)
Teorema: Quando o número complexo a+bi é raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais então o número complexo conjugado a-bi também o é.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Uma esperança...
=
=
0),(
0),(
yxg
yxfFazendo a eliminação de variáveis, podemos tentar transformar um sistema de equações simultâneas numa equação polinomial à uma variável
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Uma esperança...
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
=
=
0),(
0),(
yxg
yxfFazendo a eliminação de variáveis, podemos tentar transformar um sistema de equações simultâneas numa equação polinomial à uma variável
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Uma esperança...
0... 012
21
1 =+++++ −− axaxaxaxa n
n
n
n
=
=
0),(
0),(
yxg
yxfFazendo a eliminação de variáveis, podemos tentar transformar um sistema de equações simultâneas numa equação polinomial à uma variável
O Teorema Fundamental da Álgebra garante a existência de todas as raízes!
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Exemplos e Exercícios
Observação: Nos exemplos a seguir, embora se pretenda “fazer as contas” com as curvas algébricas na versão afim (isto é, complexa),
suas imagens aparecerão na versão cartesiana (isto é, real)
−13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Não há interseções reais, mas há interseções complexas simples em (1+3i, 4-3i) e (1-3i, 4+3i)
05442 =+−+ yxy
5=+ yx
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−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Interseções reais simples em (3, 1) e (3, 9) e interseções complexas simples em (15, 5+..... ) e (15, 5- .....) )2105,15(e)2105,15( ii −+
0225409049 22 =+−−+ yxyxyyx 1022 =+
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−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Uma interseção real simples em (1, 2) e interseções complexas simples em ..........( ) ( )2
3392
3332339
2333 ,e, iiii +−−−+−
232 3xxy +=
3=+ yx
IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Não há interseções reais. Temos interseções complexas simples em ....................( ) ( )25
362756i12
253627
56i12 ,e, ii −−++
0962 =+−+ xxy
24 xy =
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Novamente vamos ler o enunciado do Teorema de Bezout
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Complexa
Teorema de Bezout(Versão para Geometria Afim)
Suponha que:
Duas curvas algébricas afins são dadas uma por um
polinômio de grau m e outra por um polinômio de grau n.
Então:
O número de pontos de interseção das duas curvas,
sejam reais ou complexos, contados com
suas multiplicidades, será no máximo m.n.
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Parte IV: A Geometria Projetiva mostra os pontos que estavam faltando
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Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema.
O plano projetivo P2: Sua construção a partir do espaço cartesiano
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Projetiva
Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema.
O plano projetivo P2: Sua construção a partir do espaço cartesiano
Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) intersecta o plano z = 1 em um único ponto. Esses pontos (que, na verdade, são todos os pontos do plano z = 1) serão chamados de pontos finitos do plano projetivo.
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Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema.
O plano projetivo P2: Sua construção a partir do espaço cartesiano
Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) intersecta o plano z = 1 em um único ponto. Esses pontos (que, na verdade, são todos os pontos do plano z = 1) serão chamados de pontos finitos do plano projetivo.
Cada reta “horizontal” (isto é, contida no plano xy) determina uma única direção no plano z = 1 (tanto quanto em qualquer outro plano paralelo ao “chão”). Essas direções serão chamadas de pontos infinitos do plano projetivo.
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O plano projetivo com alguns dos seus pontos finitos
x
z
yv=(a,b,c)
P= (a:b:c)
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x
z
y
v=(a,b,c)
P
O plano projetivo com um dos seus pontos no infinito
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Retas paralelas no plano euclidiano...
P
Exemplo importante: Duas retas paralelas distintas
... tem um ponto de interseçãono plano projetivo
x
z
y
P
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Coordenadas homogêneas no plano projetivo
Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema. Cada reta determina unicamente uma direção.
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Coordenadas homogêneas no plano projetivo
Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema. Cada reta determina unicamente uma direção.
Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c ≠ 0. Cada reta “horizontal” (isto é, contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c = 0.
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IV Bienal da SBM Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica / Geometria Projetiva
Coordenadas homogêneas no plano projetivo
Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema. Cada reta determina unicamente uma direção.
Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c ≠ 0. Cada reta “horizontal” (isto é, contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c = 0.
Em qualquer caso, o ponto do plano projetivo que corresponde à reta cartesiana com vetor diretor (a,b,c) terácoordenadas descritas por (a:b:c). Essas coordenadas são chamadas de coordenadas homogêneas.
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Coordenadas homogêneas no plano projetivo
Considere no espaço cartesiano as retas passando pela origem do sistema. Cada reta determina unicamente uma direção.
Cada reta “fora do chão” (isto é, não contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c ≠ 0. Cada reta “horizontal” (isto é, contida no plano xy) tem a direção de um vetor (a,b,c) com c = 0.
Em qualquer caso, o ponto do plano projetivo que corresponde à reta cartesiana com vetor diretor (a,b,c) terácoordenadas descritas por (a:b:c). Essas coordenadas são chamadas de coordenadas homogêneas.
Observe que em coordenadas homogêneas vale (a:b:c) = (ta:tb:tc) para qualquer t ≠ 0.
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Um polinômio é chamado de homogêneo quando todos os seus monômios tem o mesmo grau.
Curvas algébricas projetivas
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Um polinômio é chamado de homogêneo quando todos os seus monômios tem o mesmo grau.
Dado um polinômio homogêneo de três variáveis F(x,y,z)
(com coeficientes reais ou complexos) chamamos de curva algébrica projetiva ao conjunto de todos os pontos do plano projetivo P2 que satisfazem a equação F(x,y,z)=0.
Curvas algébricas projetivas
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Um polinômio é chamado de homogêneo quando todos os seus monômios tem o mesmo grau.
Dado um polinômio homogêneo de três variáveis F(x,y,z)
(com coeficientes reais ou complexos) chamamos de curva algébrica projetiva ao conjunto de todos os pontos do plano projetivo P2 que satisfazem a equação F(x,y,z)=0.
Observe que vale F(x,y,z) = 0 se e somente se F(tx,ty,tz) = 0 para qualquer t ≠ 0.
Curvas algébricas projetivas
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Correspondência entre curvas algébricas afins e curvas algébricas projetivas
Cada curva algébrica afim f(x,y) = 0 em C2 corresponde a uma curva algébrica projetiva F(x,y,z) = 0 em P2.
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Correspondência entre curvas algébricas afins e curvas algébricas projetivas
Cada curva algébrica afim f(x,y) = 0 em C2 corresponde a uma curva algébrica projetiva F(x,y,z) = 0 em P2.
Para passar do polinômio f(x,y) para um polinômio
homogêneo de três variáveis, faça .........................................( )z
y
zxf fzzyxF ,),,( )de(grau ⋅=
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Correspondência entre curvas algébricas afins e curvas algébricas projetivas
Cada curva algébrica afim f(x,y) = 0 em C2 corresponde a uma curva algébrica projetiva F(x,y,z) = 0 em P2.
Para passar do polinômio f(x,y) para um polinômio
homogêneo de três variáveis, faça .........................................
Para passar do polinômio homogêneo F(x,y,z) para um polinômio de duas variáveis, faça ..........................
( )z
y
zxf fzzyxF ,),,( )de(grau ⋅=
)1,,(),( yxFyxf =
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Exemplos e Exercícios
Observação: Nos exemplos a seguir, embora se pretenda “fazer as contas” com as curvas algébricas na versão projetiva,
suas imagens aparecerão na versão cartesiana (isto é, real e finita)
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Interseções entre duas retas no plano projetivo
=+
=+
2
1
cbyax
cbyaxRetas paralelas
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Uma interseção real infinita simples em (b: -a: 0)
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
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Uma interseção real finita simples em (1:1:1) e uma interseção real infinita simples em (1:1:0)
012662 222 =+−−−+ zyzxzxyyx0=− yx
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−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
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Não há interseções reais finitas, mas há uma interseção real infinita dupla em (2:1:0)
22 2 zxyx =−
02 =− yx
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−14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
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Interseções reais finitas simples em (-1:0:1) e (-1:6:1)
e uma interseção real infinita dupla em (1:0:0)
093095 22 =−−− zyzxzy
0363 22 =+−+ zyzxzy
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−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
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Cada par de curvas tem uma interseção real finita dupla em (2:0:1) e uma interseção real infinita dupla em (0:1:0)
22 443 zxzxyz +−=22 44 zxzxyz +−=
22 442 zxzxyz +−=−
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−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Não há interseções reais. Temos interseções complexas finitas simples em .................... e uma interseção real infinita dupla em (0:1:0)
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( ) ( )253627
56i12
253627
56i12 ,e, ii −−++
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096 22 =+−+ zxzxyz
24 xyz =
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
x
y
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Não há interseção real finita. Temos uma interseção real infinita tripla em (1:-1:0)
xyzyx 333 =+0=++ zyx
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−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
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Uma interseção real finita simples em (-4:2:1),
uma interseção real finita dupla em (-1:-1:1) e uma interseção real infinita tripla em (0:1:0)
22 223 zxzxyz −+= 32232 21173 zxzzxxyz +++=
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Uma interseção real finita dupla em (0:6:1) e interseções complexas infinitas simples em (i:1:0) e (-i:1:0)
036128 222 =+−++ zyzxzyx0361210 222 =+−++ zyzxzyx
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−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
y
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Mais uma vez vamos ver o enunciado do Teorema de Bezout
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Teorema de Bezout(Versão para Geometria Projetiva)
Suponha que:
Duas curvas algébricas projetivas são dadas uma por um
polinômio de grau m e outra por um polinômio de grau n.
Então:
O número de pontos de interseção das duas curvas,
sejam reais ou complexos, sejam finitos ou infinitos, contados com suas multiplicidades, será exatamente m.n.
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Finalmente o Teorema de Bezoutestá bem enunciado!
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Matemática para Graduação
•GARCIA, Arnaldo e LEQUAIN, Yves. Álgebra: Um Curso de Introdução.Projeto Euclides, IMPA. Rio de Janeiro, 1988.
•HEFEZ, Abramo. Introdução à Geometria Projetiva.Monografias de Matemática, IMPA. Rio de Janeiro, 1990.
•NASCIMENTO, Joice Santos. Interseção de Curvas Projetivas. Trabalho de Conclusão de Curso (Orientado por Juscelino Bezerra dos Santos). UERJ, 2006.
•VAINSENCHER, Israel. Curvas Algébricas Planas. Coleção Matemática Universitária, IMPA. Rio de Janeiro, 2005.
Matemática de Ensino Médio
•IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 6: Complexos, Polinômios, Equações. Atual Editora. São Paulo, 2005.
•IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar Volume 7: Geometria Analítica. Atual Editora. São Paulo, 2005.
Alguns textos para ler, estudar e consultar
Cleber Haubrichs dos Santos CEFET Química de Nilópolis – RJ
Alguns textos para ler, estudar e consultar
IV Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática Introdução Ilustrada à Geometria Algébrica
•BOYER, Carl B. História da Matemática. Traduzido por Elza F. Gomide. Editora Edgard Blucher. São Paulo, 1996.
•HEFEZ, Abramo. Introdução à História da Geometria Projetiva. Revista Matemática Universitária, n. 6, SBM. Rio de Janeiro, 1986.
•HARTSHORNE, Robin. Geometry: Euclid and Beyond. Springer Verlag.
Matemática e História
Matemática Avançada
•SHAFAREVICH, I. Basic Algebraic Geometry 1. Second Edition. SpringerVerlag, 1994.
•STOHR, Karl Otto. Curvas Algébricas. Notas de aula do curso ministrado no IMPA. Rio de Janeiro, 2000.
•STOHR, Karl Otto. Geometria Algébrica 1. Notas de aula do curso ministrado no IMPA. Rio de Janeiro, 2001.
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Ao comitê científico e aos organizadores da IV Bienal da SBM por aceitarem a
minha proposta para este curso
AGRADECIMENTOS
Ao CEFET Química de Nilópolis – RJ pelo apoio na preparação e execução deste trabalho
Aos meus amigos, colegas e alunos que assistiram ou leram versões preliminares deste curso
CLEBER HAUBRICHS DOS SANTOS nasceu em São João de Meriti, no Rio de Janeiro, em dezembro de 1976.
Fez a graduação em Matemática na UERJ – Universidade do Estado do Rio de Janeiro (1998) e o Mestrado em Matemática Pura no IMPA – Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (2001), tendo sua dissertação em Geometria Algébrica orientada pelo professor Karl Otto Stohr.
É professor no CEFET Química de Nilópolis desde 2005, atuando nas disciplinas de Matemática no Curso Técnico Integrado, no Ensino Superior Tecnológico e nas Licenciaturas. Também participou da equipe que implantou o curso de Licenciatura em Matemática
em sua instituição. Atualmente é o coordenador desta licenciatura.
Sobre o professor deste mini curso
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