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2 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Inhalt
Planimetrie .............................................................................................................. 3
Punkt, Gerade, etc. ............................................................................................ 3
Kongruenz ........................................................................................................ 5
Dreieck ............................................................................................................. 6
Satzgruppe des Pythagoras ............................................................................... 9
Kreis ............................................................................................................... 11
Raute, parallelogramm, Trapez ....................................................................... 14
Generelles Vieleck (Polygone) .......................................................................... 15
Kegelschnitte .................................................................................................. 16
Euklidische Bewegung ..................................................................................... 18
Stereometrie .......................................................................................................... 18
Das Prinzip von Cavalieri ................................................................................. 18
Quader, Würfel ................................................................................................ 19
Zylinder .......................................................................................................... 21
Prisma ............................................................................................................. 21
Kegel .............................................................................................................. 22
Pyramide ......................................................................................................... 23
Kugel .............................................................................................................. 24
Platonische Körper .......................................................................................... 25
Aufgaben ........................................................................................................ 26
Datenanalyse ...................................................................................................... 31
Grundlagen ..................................................................................................... 31
Masszahlen ..................................................................................................... 31
Weitere Diagrammtypen .................................................................................. 35
Bivariate Verteilungen ........................................................................................ 37
Stetige Verteilungen ........................................................................................... 38
3 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Teil 2
Planimetrie
Schon die ersten Zivilisationen beschäftigten sich mit Mathematik im Allgemeinen
und der Geometrie im Speziellen. Die Bruderschaft des Pythagoras vermischte dabei
die Exaktheit der Mathematik mit der Mystik. Der mathematische Teil hat sich
bewährt und die Zeit überdauert.
Punkt, Gerade, etc.
Die einfachsten geometrischen Objekte sind Punkte. Viele weitere Objekte sind aus
Punkten aufgebaut. Ein geometrisches Objekt kann z.B. definiert sein als Menge
aller Punkte welche diese und jene Eigenschaft haben. Ein Kreis ist z.B. die Menge
aller Punkte in der Ebene, welche vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Ein
Punkt wird in einem Koordinatensystem durch seine Koordinaten eindeutig
bestimmt.
Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten wird Strecke genannt. Eine Strecke
ist gerade. Verlängert man eine Strecke einseitig ins Unendliche, z.B. durch
hinzufügen von Kopien der Strecke, dann erhält man einen Strahl. Ein Strahl hat
einen Anfang aber kein Ende. Verlängert man eine Strecke auf beiden Seiten ins
Unendliche, so erhält man eine Gerade. Genauso wie die Strecke und der Strahl, ist
auch die Gerade durch die Angabe von zwei Punkten eindeutig bestimmt. Alternativ
kann man die Gerade auch durch einen Punkt und eine Richtung definieren. Zwei
Geraden welche dieselbe Richtung haben, sind parallel. Für zwei Geraden In der
Ebene gibt es zwei Fälle. Die Geraden schneiden sich oder nicht. Wenn sie Parallel
4 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
sind, schneiden sie sich nicht. Wenn sie sich schneiden haben sie einen Punkt
gemeinsam. Im dreidimensionalen Raum müssen sich zwei Geraden nicht
schneiden, auch wenn sie nicht parallel sind. Kannst du dir das Vorstellen? Es gibt
verschiedene Möglichkeiten eine Gerade mathematisch zu notieren.
Zwei-Punkte-Form: Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt
1
12
121
12
12
1
1 xxxx
yyyy
xx
yy
xx
yy
Fasst man konstante und abhängige Glieder zusammen, so erhält man die
Normalform:
mxay
xxx
yyx
xx
yyyxx
xx
yyyy
ma
12
121
12
1211
12
121
Man nennt m die Steigung der Geraden. Später wird uns noch die Vektorform der
Geradengleichung begegnen.
Als Achsenabschnitte werden diejenigen x und y Werte bezeichnet, wo die Gerade
die Koordinatenachsen schneidet. Die Gerade y=2+3x hat den x-Achsenabschnitt -
2/3 und den y-Achsenabschnitt 2. Diese Werte erhält man indem man y rsp. x
gleich null setzt. Eine horizontale Gerade hat demnach nur einen y-Achsenabschnitt.
Sind a und b die x rsp. y-Achsenabschnitte, so lässt sich eine Gerade auch in der
Abschnittsform schreiben:
5 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
1b
y
a
x
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander wenn 121 mm gilt.
Aufgaben:
1) Bestimme die Gleichung einer Geraden die durch die beiden Punkte
(x,y)=(2,0) rsp. (0,3) verläuft.
2) Welche Steigung muss eine Gerade durch (2,2) haben damit sie durch den
Punkt (5,3) verläuft?
3) Sind die beiden folgenden Geraden Parallel? y=2x+4 rsp. y=2x+6
4) Welche x- rsp. y-Achsenabschnitte hat die gerade y=4x-2 ?
Lösungen:
1) Bsp: y=3-1.5x
2) m=1/3
3) Ja, weil die Steigungen gleich sind (m=2).
4) x0=0.5, y0=-2
Kongruenz
Zwei ebene geometrische Objekte heissen kongruent, wenn sich die eine Figur
durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung in die andere Figur transformieren
lässt. Kongruent heisst auch deckungsgleich. Wichtig: Dehnung und Streckung sind
als Transformation nicht erlaubt. Sind diese Operationen nötig, so spricht man von
ähnlichen Figuren.
Bei Dreiecken lässt sich leicht prüfen ob sie kongruent sind. Es muss jeweils die
folgenden Anzahl Seiten (S) und Winkel (W) gleich sein:
SSS, SWS, WSW, SSW, WWS
SSS ist nicht ausreichend. Die drei Winkel legen zwar die Form des Dreiecks, nicht
aber dessen Grösse fest.
Wenn die Form gleich bleibt, aber sich die Grösse ändert, so gilt generell: Wird bei
einer Stauchung oder Dehnung eines geometrischen Körpers eine Länge um den
Faktor L skaliert, so wird die Fläche (2D) um den Faktor L2 oder das Volumen (3D)
um den Faktor L3 skaliert. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für ein
6 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
rechtwinkliges Dreieck. Die Fläche der beiden grösseren Dreiecke beträgt jeweils das
4 rsp. das 9 fache der Fläche des kleinen Dreiecks. Die Hypotenuse wurde um den
Faktor 2 rsp. 3 gestreckt.
Dreieck
Ein Dreieck ist durch Angabe dreier Punkte eindeutig bestimmt. Man unterscheidet
zwischen allgemeinen Dreiecken und solchen mit speziellen Eigenschaften wie:
rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Die rechtwinkligen
Dreiecke führten zur Definition der Trigonometrischen Funktionen wie Sinus oder
Kosinus. Allgemeine Dreiecke liessen sich dann mit dem Sinus oder Kosinussatz
berechnen. Wir haben das im Band 1 gesehen. Nachfolgend eine Zusammenfassung.
Ein Beispiel eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) sind dann
7 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Ankathete
teGegenkathe
Hypotenuse
Ankathete
Hypotenuse
teGegenkathe
)tan(
)cos(
)sin(
Für das allgemeine Dreieck gilt der Sinus- rsp. der Kosinus-Satz.
cba
)sin()sin()sin(
)cos(2222 bccba
Beim Kosinussatz merke man sich, dass die Seiten b und c den jeweiligen Winkel
einschliessen. Der Satz gilt natürlich für jeden Winkel.
Wie merken uns nochmals die beiden wichtigen Additionstheoreme:
)2sin()cos()sin(2
1)(cos)(sin 22
xxx
xx
Ausserdem die Symmetrieeigenschaften:
)sin()90cos(
)cos()90sin(
xx
xx
Man muss nichts auswendig lernen wenn man sich die Graphen der beiden
Funktionen vor Augen hält.
8 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Die folgende Graphik zeigt das Vorgehen, rsp. den Einsatz des geeigneten
Werkzeugs. Beachte die Zweideutigkeit bei der Verwendung des Sinussatzes.
Der Umkreis eines Dreiecks lässt sich mit den Mittelsenkrechten auf die Seiten
konstruieren. Diese schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises.
Der Inkreis eines Dreiecks lässt sich mit den Winkelhalbierenden berechnen. Diese
schneiden sich im Mittelpunkt des Inkreises.
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist gerade gleich dem Schnittpunkt der
Seitenhalbierenden.
9 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Satzgruppe des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras ist einer von drei Sätzen aus einer Satzgruppe über
rechtwinklige Dreiecke. Das folgende Bild zeigt eine Herleitung, die sich die
Skalierungseigenschaft von oben zunutze macht. Man errichte das Lot von B auf die
Seite b. Das Lot teilt das ursprüngliche Dreieck in zwei neue Dreiecke die zu sich
selbst und zum ursprünglichen Dreieck ähnlich sind. Die Hypotenusen der Dreiecke
sind gerade gleich den Seiten des ursprünglichen Dreiecks. Ausgehend von einem
ähnlichen Dreieck mit der Hypotenusenlänge eins und der Fläche A0 folgt
2
0
2
0
2
0 bAaAcA
222 bca
10 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Der Kathetensatz des Euklid setzt die Hypotenusenabschnitte mit den Quadraten der
Katheten in Beziehung.
pca
qcb
2
2
Der Höhensatz des Euklid setzt die Hypotenusenabschnitte zum Quadrat der Höhe
in Beziehung.
2hpq
Die Fläche eines Dreiecks kann auf verschiedene Arten berechnet werden.
bcA
cbascsbsassA
HöheGrundlinieA
)sin(2
1
2 wobei))()((
2
1
Die zweite Formel heisst Heronsche Flächenformel. Bei der dritten Gleichung ist
gleich dem Winkel zwischen den Seiten b und c.
11 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Übrigens: Dreiecke auf Kugeloberflächen, sogenannte sphärische Dreiecke, haben
Winkelsummen die grösser als 180 Grad sind. Vermesser und Geographen benützen
deshalb die Kenntnisse der Sphärischen Trigonometrie.
Aufgaben:
1) Zeige, dass die erste und die dritte Flächenformel identisch sind.
2) Berechne den Winkel des Dreiecks mit a=2, b=4, =20°.
Lösung:
Zu 2) =43.2° rsp. 136.9°
Kreis
Der Kreis ist die Menge aller Punkte die von einem Punkt, dem Mittelpunkt, den
gleichen Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius genannt. Die Kreissehne mit
der grössten Länge ist der Durchmesser. Er ist gleich dem doppelten Radius.
Zwei Punkte auf dem Kreis zerlegen diesen in zwei Kreisbögen. Die Länge der
Kreisbögen ist proportional zum entsprechenden Zentriwinkel. Der gesamte
Kreisbogen hat die Länge 2r
12 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Die implizite Gleichung (Mittelpunktsgleichung) des Kreises lautet:
222 ryx
Umgeformt nach y ergibt sich
22222 xryryx
Die Kreisfläche lässt sich durch einen Näherungsprozess herleiten. Zerlegt man die
Kreisfläche in lauter gleiche Sektoren und fügt diese wie in der Abbildung unten
gezeigt zusammen, so folgt die Fläche zu A=r2.
Eine Gerade welche den Kreis nicht berührt wird Passante genannt. Die Passante hat
einen gewissen Abstand vom Kreis. Berührt eine Gerade den Kreis nur in einem
Punkt, so wird sie Tangente genannt. Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei
Punkten und definiert ein Kreissegment.
13 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
In der folgenden Abbildung heisst der Winkel der Peripheriewinkel. Er ist gerade
halb so gross wie der Zentriwinkel . Der Sehnentangentenwinkel ist gleich gross
wie der Peripheriewinkel.
Der Sehnensatz besagt: Zieht man durch einen Punkt innerhalb eines Kreises
Sehnen, so ist das Produkt ihrer Abschnitte konstant.
2121 bbaa
Aufgaben:
1) Leite eine Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors in Abhängigkeit
seines Winkels her (Winkel im Bogenmass).
2) Leite eine Formel für die Bogenlänge eines Kreissektors in Abhängigkeit
seines Winkels her (Winkel im Bogenmass).
3) Welchen Satz erhält man, wenn der Zentriwinkel gerade 180° beträgt?
14 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Lösungen:
1) 2
2rA
2) rb
3) Satz von Thales.
Raute, parallelogramm, Trapez
Quadrate und Rechtecke sind Vierecke mit rechten Winkeln. Eine Raute ist ein
Spezialfall eines Parallelogramms. Beim Parallelogramm sind je zwei
gegenüberliegende Seiten Parallel. Bei der Raute sind ausserdem alle Seiten gleich
lang. Sind nur zwei Seiten parallel, so spricht man von einem Trapez.
Ein Viereck dessen Ecken auf einem Kreis liegen nennt man Sehnenviereck. Ein
Sehnenviereck hat also einen Umkreis. Bestehen die vier Seiten eines Vierecks aus
Tangenten zu einem Kreis, so spricht man von einem Tangentenviereck. Ein
Tangentenviereck hat also einen Inkreis.
Für das Sehnenviereck und das Tangentenviereck gelten spezielle Beziehungen.
Sehnenviereck: 180 ,180
Tangentenviereck: dbca
15 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Generelles Vieleck (Polygone)
Ein Polygon ist die Fläche die man erhält, wenn man mindestens drei Punkte in der
Ebene mit Strecken verbindet, so dass sich ein geschlossener Linienzug ergibt.
Sind die Strecken alle gleich lang und der Winkel zwischen zwei aufeinander
folgenden Strecken konstant, so spricht man von einem regelmässigen N-Eck. Das
gleichseitige Dreieck und das Quadrat sind Beispiele dafür. Die Innen-Winkelsumme
eines regelmässigen N-Ecks ist
180)2( NW
Für den Fall des Dreiecks und des Vierecks liefert uns die Formel wie erwartet 180°
rsp. 360°. Man kann diese Aussage noch erweitern. Ein Polygon dessen Kanten sich
nicht nur in den Eckpunkten schneiden heisst überschlagend. Die Obige Formel gilt
auch für generelle, nicht überschlagende, N-Ecke. Somit ist die Winkelsumme für
Parallelogramme und Trapeze ebenfalls 360°.
Aufgaben:
1) Wie gross ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Seiten eines
regelmässigen 10-Ecks, 100-Ecks und 1000-Ecks? Wie gross ist wohl dieser
Winkel für sehr grosse N?
2) Zeichne ein frei erfundenes, nicht überschlagenes, 8-Eck und überprüfe die
Formel für die Innenwinkel-Summe durch Messen.
16 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Kegelschnitte
Was haben Geraden, Kreise und Ellipsen gemeinsam? Es sind Kegelschnitte. Man
erhält sie als Schnittmenge einer Ebene und eines Kegels. Die folgende Abbildung
zeigt die Idee.
Offensichtlich entstehen auf diese Art und Weise noch andere geometrische Formen.
Wir werden die Parabeln und Hyperbeln im dritten Teil, bei den Funktionen,
wiedersehen. Ellipsen und Kreise sind geschlossene Kurven. Parabeln und Hyperbeln
sind nicht geschlossen. Interessant ist, dass die Kegelschnitte allesamt mögliche
Bahnkurven für Himmelskörper sind. Planeten bewegen sich auf Kreisen oder
Ellipsen um die Sonne. Kometen hingegen können sich auch auf Parabeln und
Hyperbeln bewegen. Die Definition einer Ellipse lautet:
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, für die die Abstände zu zwei fixen Punkten,
den Brennpunkten, eine konstante Summe haben.
Man kann eine Ellipse nicht mehr so einfach mit einem Zirkel zeichnen. Es gibt
spezielle Apparaturen um Ellipsen zu erstellen.
17 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Einfacher lässt sich eine Ellipse mit einem Stück Faden und zwei Nadeln
konstruieren. Man steckt die Nadeln an die Orte der Brennpunkte. Dann befestigt
man die zwei Enden des Fadens an den Nadeln. Jetzt führt man den Bleistift so
entlang des Fadens, dass dieser immer gespannt ist. Weil die Länge des Fadens
konstant ist, entsteht so eine Ellipse.
Die Definition einer Parabel lautet
Die Parabel ist die Menge aller Punkte welche von einem Punkt, dem Brennpunkt,
und einer Geraden, der Leitlinie, denselben Abstand haben.
18 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Die Definition der Hyperbel lautet
Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte deren Absolute Differenz zu zwei Punkten,
den Brennpunkten, gleich ist.
Euklidische Bewegung
Eine Euklidische Bewegung ist eine Kombination aus einer Drehung und einer
Parallelverschiebung. Die Form eines Objektes ändert sich dabei nicht. Kongruente
Objekte können durch eine euklidische Bewegung ineinander überführt werden.
Stereometrie
Die Stereometrie befasst sich mit dreidimensionalen Objekten. Im Vordergrund
stehen die Oberflächen und Volumina von Körpern. Die Hauptstrategie ist dabei auf
bereits Vorhandenes zurückzugreifen. So wird die zweidimensionale Geometrie eine
grosse Rolle spielen.
Das Prinzip von Cavalieri
Der Satz von Cavalieri besagt, dass ein Objekt mit ebener Grundfläche das Volumen
„Grundfläche mal Höhe“ hat, wenn alle Schnittflächen parallel zur Grundfläche gleich
sind.
19 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Allgemeiner haben zwei Körper dasselbe Volumen, wenn Schnitte auf derselben
Höhe die gleichen Schnittflächen ergeben. Man kann dann das Volumen von
schiefen Körpern aus den geraden Körpern berechnen.
Quader, Würfel
Ein Quader besteht aus sechs ebenen Seiten die senkrecht aufeinander stehen. Zwei
gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich. Stellt man ein Quader in die x-y-
Ebene und schneidet dann horizontal in verschiedenen Höhen, so entsteht immer
derselbe Querschnitt, nämlich die Grundfläche. Das Volumen des Quaders ist also
gerade gleich der Grundfläche mal der Höhe. Die Oberfläche setzt sich einfach aus
den Flächen der einzelnen Rechtecke zusammen. Die Diagonale lässt sich
schrittweise mithilfe des Satzes von Pythagoras konstruieren.
222
222
cbad
acbcabA
cbaV
Am Beispiel des Quaders illustrieren wir noch die Idee der Abwicklung. Man klappt
dabei die Seiten entlang der Kanten so auf, dass die resultierende Fläche ohne
Unebenheiten da liegt. Nicht jeder Körper lässt sich abwickeln. Die Kugel ist ein
Gegenbeispiel. Das ist auch der Grund weshalb es keine Karten gibt, die weder die
Abstände noch die Winkel verzerren.
20 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Ein Würfel ist ein Quader mit lauter gleichen Seiten. Entsprechend gilt für das
Volumen und die Oberfläche
33
6
2
2
3
aad
aA
aV
Aufgaben:
1) Bei einem Quader ist die kürzeste Kante um 2 cm, die mittlere Kante um 1 cm
kürzer als die längste. Wie lange ist die längste Seite, wenn der Quader eine
Oberfläche von 20 cm2 hat?
Lösung: 2.915 cm
Übrigens: Quader und Würfel sind Beispiele sogenannter Polyeder. Die Oberfläche
von Polyedern besteht ausschließlich aus ebenen Flächenstücken. Polyeder sind eine
Erweiterung der Polygone ins Dreidimensionale.
21 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Zylinder
Der allgemeine Zylinder entsteht aus einer Fläche die entlang einer Strecke
verschoben wird. Steht die Strecke senkrecht auf der Fläche, so spricht man von
einem geraden Zylinder, sonst von einem schiefen Zylinder.
Die obigen Abbildungen zeigen einen geraden und einen schiefen Zylinder mit der
Grundfläche eines Polygons, und einen Zylinder mit einer etwas unkonventionelleren
Grundfläche. Die Abbildung unten zeigt die vertrauteren Kreiszylinder.
Schneidet man einen Zylinder mit einer Ebene die parallel zur Grundfläche liegt, so
resultiert ein Schnitt der gleich der Grundfläche ist. Das Volumen eines Zylinders ist
deshalb Grundfläche mal Höhe.
GhUA
hGV
2
Wobei U der Umfang der Grundfläche ist. Im Spezialfall des Kreiszylinders erhalten
wir folgende Formeln.
2
2
2 rhrA
hrV
Prisma
Ein Prisma ist ein weiterer Spezialfall eines Zylinders der als Grundfläche ein Polygon
hat. Das Prisma wird dann von ebenen Oberflächensegmenten begrenzt.
22 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Kegel
Ein allgemeiner Kegel entsteht aus einer Grundfläche und einem Punkt ausserhalb
der Ebene welche die Grundfläche enthält. Die Mantelfläche entsteht als Spur der
Verbindungsstrecken vom Punkt auf alle Punkte der Umrandungslinie der
Grundfläche. Ist die Grundfläche ein Kreis und liegt der Punkt oberhalb des
Mittelpunkts, so erhalten wir einen Konus.
Schneidet man den Kegel mit Ebenen parallel zur Grundfläche, so erhält man
Flächen die zur Grundfläche ähnlich sind. D.h. sie haben dieselbe Form aber nicht
dieselbe Grösse. Für den Konus gilt.
2222
2
3
1
3
1
rrhrrrsA
hrGhV
23 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Ein Kegel der parallel zur Grundfläche abgeschnitten (geköpft) wurde nennt man
einen stumpfen Kegel. Das Volumen lässt sich aus der Differenz des ungeköpften
Kegels und der Spitze berechnen. (Die Spitze ist wiederum ein Kegel).
Pyramide
Die Pyramide ist ein Spezialfall eines Kegels dessen Grundfläche ein Polygon ist. Die
Flächenstücke des Mantels sind dann alle Dreiecke. Auch Pyramiden können parallel
zur Grundfläche geschnitten werden wodurch sie stumpf werden.
24 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Kugel
Die Kugeloberfläche ist die Menge aller Punkte die vom Mittelpunkt denselben
Abstand, den Radius, haben. Dies ist dieselbe Definition wie beim Kreis, nur diesmal
im Raum und nicht in der Ebene.
Das Volumen und die Oberfläche der Kugel sind
2
3
4
3
4
rA
rV
Übrigens: Die Definition eines Kreises rsp. einer Kugel als Punkte mit gleichem
Abstand zum Mittelpunkt lässt sich auch auf mehr Dimensionen erweitern. Die
folgende Grafik zeigt das Volumen und die Oberfläche der „Kugeln“ mit Radius eins
im n-Dimensionalen Raum. Interessanterweise gibt es ein Maximum.
25 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Platonische Körper
Die platonischen Körper sind je aus einer einzigen Sorte gleichseitiger Vielecke
aufgebaut. Es gibt nur fünf dieser Körper. Die alten Griechen ordneten jedem dieser
Körper ein Element zu: Feuer, Wasser, Erde, Luft und Quintessenz, der Stoff aus dem
das Firmament besteht.
26 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Aufgaben
1) Bestimme die fehlenden Winkel.
2) Adorf liegt 15 km von Bedorf entfernt, Bedorf wiederum 9 km von Cedorf und
von Cedorf nach Adorf sind es 8 km (immer von der Dorfmitte aus
gemessen). Ein Supermarkt hat einen Standort gefunden, so dass es von der
Dorfmitte eines jeden der drei Orte gleich weit zum Supermarkt ist. Wie weit
ist der Supermarkt von den Dörfern entfernt?
3) Wie hoch darf der Schrank höchstens sein damit er noch aufgestellt werden
kann?
27 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
4) Berechnen Sie die Breite x der Terrasse des Hauses, wenn das Volumen des
Dachgeschosses ein Viertel so gross ist wie das Volumen des übrigen Hauses.
5) Der Boden des skizzierten Brunnens aus Beton ist 10 cm dick.
a) Wie viele Liter fasst der Brunnen maximal?
b) Wie viele m3 Beton werden zum Bau des Brunnens benötigt?
6) Das grosse Rechteck mit der Länge 12 cm ist in drei Dreiecke und einen
rechteckigen Streifen unterteilt worden. Das Dreieck A hat den Flächeninhalt
45 cm2. Der Flächeninhalt des Dreiecks B ist doppelt so gross wie derjenige
des Dreiecks C und gleich gross wie der Flächeninhalt des Streifens D.
Berechne die Höhe des Streifens D.
28 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
7) Das Parallelogramm ABCD hat den Flächeninhalt 15 cm2 und die Höhe h=2.4
cm. Es ist in einen Rhombus AECF und die beiden flächengleichen Dreiecke
EBC und AFD zerlegt worden. Die Fläche des Rhombus ist sechsmal so gross
wie der Flächeninhalt des Dreiecks.
a) Berechne den Flächeninhalt des Rhombus.
b) Berechne die Länge der Strecke EB.
8) In der folgenden Figur hat es keine rechten Winkel.
a) Gegeben ist der Winkel =26°. Berechne den Winkel f.
b) Gib zwei verschiedene Werte für den Winkel so an, dass der Winkel ein
Vielfaches von 10° beträgt.
29 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
9) Im gezeichneten Quadrat schneiden sich die Parallelpaare rechtwinklig. Es
gelten die angeschriebenen Streckenlängen in cm. Berechne die Inhalte der
Flächenstücke A,B,C.
10) Berechne x und y ohne Trigonometrie. (CB ist parallel zu ED)
11) Berechne den Inhalt der schraffierten Fläche. A1=17.5 cm2
30 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
12) Die Fläche des Parallelogramms ABCD ist 24 cm2. Berechne die Fläche des
Trapezes ABED und die Länge von x.
13) Berechne Inhalt und Umfang der schraffierten Fläche.
14)
15)
31 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Datenanalyse
Grundlagen
Wie der Name schon sagt werden in der Datenanalyse Daten analysiert, also
untersucht. Dabei versucht man den Zahlen möglichst viel Informationen zu
entlocken. Man macht dies mit verschiedenen mathematischen Werkzeugen.
Beispiel von Daten: Antworten die man bei einer großangelegten Umfrage über das
Konsumverhalten von Kunden gesammelt hat.
Das Ziel einer Datenanalyse könnte es sein, herauszufinden wie das optimale
Angebot an Produkten aussehen muss, damit der Absatz maximiert werden kann.
Beispiel von Daten: Eine Stichprobe von Glühbirnen aus einer Glühbirnenfabrik. Das
Ziel einer Datenanalyse könnte es sein, herauszufinden wie viele Glühbirnen
insgesamt, also auch ausserhalb der Stichprobe, fehlerhaft sind.
Beispiel von Daten: Messwerte der Temperatur über einen langen Zeitraum von
einem bestimmten Standort.
Das Ziel einer Datenanalyse könnte es sein, herauszufinden ob die Temperatur
tendenziell ansteigt oder eher abfällt.
Als Werkzeuge kommen bestimmte Kennwerte oder spezielle Arten der Darstellung
in Frage. Im Folgenden seinen einige Fachwörter erklärt die im Weiteren benötigt
werden.
In einer Urne habe es 1000 blaue und rote Kugeln, die Grundgesamtheit. Es soll
herausgefunden werden wie viele rote Kugeln in der Urne sind. Statt alle Kugeln zu
zählen, ziehen wir zufällig (nach ausreichendem Mischen) eine Stichprobe von 100
Kugeln. Der Stichprobenumfang ist in diesem Fall also 100. Von den 100 Kugeln
sind 33 Stück rot. Wir schliessen also, dass 30% der 1000 Kugeln, also 333 Stück,
rot sind. Je grösser der Stichprobenumfang umso genauer das Resultat aber desto
grösser der Zählaufwand. Manchmal will man gar nicht jedes Detail einer
Datenmenge wissen, sondern ist nur an ganz speziellen Eigenschaften interessiert
wie z.B. gewissen Masszahlen.
Masszahlen
Im Folgenden werden wir die wichtigsten Begriffe anhand eines Beispiels erläutern.
Um sich ein Bild vom Stand der Bildung in der Schweiz zu machen treten 1000
zufällig ausgewählte Schüler zu einem Test an. Der Test wird bewertet und mit einer
Note von 1 bis 6 versehen.
32 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Die Urliste ergab sich dabei zu
Note 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
Anzahl 8 7 22 78 190 450 155 70 20
Dieses Resultat lässt sich nun ideal mit einem Balkendiagramm visualisieren.
Offensichtlich ist ein Grossteil der Schüler genügend. Sie kennen natürlich das
Konzept des Durchschnitts. Man zählt alle Noten zusammen und dividiert durch die
Anzahl der Noten.
N
k
kk znN
m1
1
Dabei sind nk die Noten und zk die entsprechende Anzahl Schüler. N ist die
Gesamtzahl der Schüler, also 1000. Es ergibt sich ein Mittelwert von m=4.44.
In der Tat ist ein Durchschnitt von 4.44 eine gute Zusammenfassung der mittleren
Leistungen für die vorliegenden Daten. Diese Zahl alleine reicht jedoch nicht aus um
sich ein Bild der Lage zu machen. Die folgende Verteilung hat denselben
Durchschnitt. Offensichtlich könnten die beiden Fälle nicht unterschiedlicher sein.
0
100
200
300
400
500
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
33 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Während die Noten sich im ersten Fall bei etwa 4.5 häufen, ist die Streuung im
zweiten Fall viel grösser. Um ein Mass für die Streuung zu erhalten berechnet man
die sogenannte Varianz. Es handelt sich dabei um den Mittelwert der quadrierten
Abweichungen vom Mittelwert.
N
k
kk zmnN
v1
21
Dabei sind wieder nk die Noten und zk die entsprechende Anzahl Schüler.
Anschaulicher ist die Standardabweichung welche gerade die Wurzel aus der Varianz
ist. Sie hat dieselben Einheiten wie die interessierende Grösse.
Die Standardabweichung im ersten Fall beträgt 0.63 während die starke Streuung im
zweiten Fall zu einer Standardabweichung von 1.83 führt. Man kann sich die
Standardabweichung als eine Art Breite der Verteilung vorstellen.
In der Statistik wird nun postuliert, dass die Verteilung der Noten gleich aussehen
würde, wenn die ganze Schweiz am Test teilgenommen hätte. Man hat also mit
relativ geringem Aufwand eine Eigenschaft der ganzen Bevölkerung bestimmen
können. Diese „Verallgemeinerung“ ist natürlich nur zulässig, wenn die Stichprobe
genügend gross ist und die Teilnehmer repräsentativ für die ganze Bevölkerung
sind. So wäre es nicht zulässig in die Stichprobe lediglich BMS-Schüler zu
rekrutieren. Der Ausgang der Erhebung wäre viel zu gut .
0
100
200
300
400
500
600
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
34 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Ausreisser
Schauen sie sich die folgende Verteilung der Noten einer Mathematikprüfung an.
Offensichtlich haben alle fleissig gelernt, ausser Heini und Gudrun. Der
Klassenschnitt wird durch Heini und Gudrun von einer 5 auf eine 4.5
heruntergezogen. Ist dieser Schnitt repräsentativ für die Leistung der Mehrheit der
Schüler? Eher nicht. Eine Masszahl die für solche Fälle besser geeignet ist heisst
Median. Er gibt die Note an bei der gerade die Hälfte der Klasse besser und die
andere Hälfte der Klasse schlechter ist. In unserem Fall ergibt sich ein Median von 5.
Man hätte auch gleich die beiden „Ausreisser“ weglassen können. Dies kann jedoch
zu Diskussionen führen, weil es immer subjektiv ist wann das zulässig ist. Bei einem
physikalischen Experiment kann sich herausstellen, dass gewisse Messwerte auf
keinen Fall möglich sind. Es handelt sich ev. um einen Defekt der Messgeräte oder
einen Softwarefehler. In diesem Fall können Ausreisser weggelassen werden. Aber
Achtung! Auf diese Weise wurde das Ozonloch erst später als möglich entdeckt.
Hat die Verteilung ein ausgeprägtes Maximum, so wird der entsprechende x-Wert
Modus genannt.
Der Median Teilt die Datenmenge in zwei Teile. Dieses Teilen kann erweitert werden.
Die sogenannten Quartile geben an, welche x-Werte die Daten gerade vierteln.
Unterhalb des ersten (unteren) Quartils liegen 25% der Daten, oberhalb des dritten
(oberen) Quartils liegen ebenfalls 25% der Daten. Das zweite Quartil ist gerade der
Median.
0
1
2
3
4
5
6
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
35 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Die Quartile können nun auch als Mass für die Streuung verwendet werden. Man gibt
dazu einfach die Differenz des oberen und des unteren Quartils an. Diese
Quartilsdifferenz enthält also gerade 50% der Daten.
Die obere Graphik ist ein Beispiel für eine bimodale Verteilung. Bimodal bedeutet
dass es zwei lokale Maxima gibt. Im Gegensatz dazu wird eine Verteilung mit nur
einem einzigen Maximum unimodal genannt.
Weitere Diagrammtypen
Wenn betont werden soll dass die Summe der Eigenschaften einer Grundmenge
gerade gleich 100% ist, so kann das Kuchendiagramm verwendet werden. Die
folgende Graphik zeigt den Anteil verschiedener Energieformen am Energiehaushalt
in Deutschland.
36 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Die Balkendiagramme von oben sind Beispiele für Histogramme. Bei den
Histogrammen wird die x-Achse in gleiche oder verschieden lange Intervalle
unterteilt und alle Daten welche in das entsprechende Intervall fallen
zusammengefasst. Bei den Noten geschieht das durch das Runden.
Der Boxplot eignet sich gut zum Vergleich verschiedener Gruppen von Daten. Zu
diesem Zweck werden der Median sowie das untere und obere Quartil eingezeichnet.
Die beiden Extremwerte werden ebenfalls aufgeführt. Man erkennt also zusätzlich
zum Median noch die Streuung der Daten.
Der folgende Boxplot zeigt verschiedene Messungen der Änderung der
Windgeschwindigkeit von Böen über einen Zeitraum von 10 Jahren.
37 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Bivariate Verteilungen
Die obigen Beispiele enthielten alle nur eine Unabhängige (univariate). Klassifiziert
man die Daten nach zwei Kriterien, so spricht man von bivariaten Daten. Die
Bevölkerungsdichte in Abhängigkeit der Länge und Breite wäre ein Beispiel dafür.
Die Darstellung dieser Daten erfordert dann eine Dimension mehr. Im folgenden
Beispiel wird die dritte Dimension von der Farbe übernommen.
38 Geometrie, Stereometrie Skript
2012
Stetige Verteilungen
Werden bei einem Histogramm die Intervalle immer kürzer gewählt und steigt
gleichzeitig die Datenmenge, so ergibt sich eine stetige Verteilung. Als x-Werte
kommen dann alle Zahlen im interessierenden Bereich vor nicht nur diskrete Werte.
Ein Beispiel für eine stetige Verteilung ist die Normalverteilung. Die
Normalverteilung sieht aus wie eine Glocke weshalb sie manchmal auch
Glockenkurve genannt wird. Das folgende Bild zeigt drei verschiedene
Normalverteilungen. Zwei davon mit Mittelwert (Schwerpunkt) null.
Die Normalverteilung kommt in der Natur und Technik sehr oft vor. Sie beschreibt
z.B. wie die Messfehler einer Grösse sich um den Mittelwert streuen.
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