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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL
Curso de pós-graduação
Gestão de Recursos Hídricos e de Infra-estrutura
Módulo 7
ÁGUAS SUBTERRÂNEAS NO MEIO
CRISTALINO
Docente: João Manoel Filho
Fortaleza, maio 2006
ii
SUMÁRIO
1. POSSIBILIDADES DE ÁGUA SUBTERRÂNEA NO CRISTALINO 1
1.1 – OCORRÊNCIA E IMPORTÂNCIA 11.1.1 – Região de Clima Semi-Árido 2
1.1.1.1. – Produtividade de aqüífero 41.1.1.2 – Resíduo seco das águas subterrâneas 41.1.1.3 – Vazão bombeada 51.1.1.4 – Espessura do manto indiferenciado e profundidade do nível estático 51.1.1.5 – Nível dinâmico e entrada de água mais profunda 61.1.1.6 – Produtividade de aqüífero 6
1.1.2 – Região de Clima Úmido 71.1.2.1 – Estatísticas da Subprovíncia Escudo Oriental Sudeste 71.1.2.2 – Produtividade de aquifero 81.1.2.3 – Estatísticas da Subprovíncia Serra Geral 9
2. PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E HIDRÁULICOS DOS MEIOS FRATURADOS 10
2.1 - INTRODUÇÃO 102.2 – CLASSIFICAÇÃO DOS MEIOS FRATURADOS 102.3 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FRATURAS 122.4 – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS 17
2.4.1 – Condutividade hidráulica 172.4.1.1 – Condutividade hidráulica e Permeabilidade em Meios Isotrópicos 172.4.1.2 – Condutividade hidráulica e Permeabilidade em Meios Anisotrópicos 19
2.4.2 – Porosidade 202.4.3 – Classificação da porosidade 21
2.5 – PROPRIEDADES HIDROMECÂNICAS 222.6 – GEOMETRIA FRACTAL APLICADA 23
2.6.1 – Condutor hidráulico aleatório 242.6.2 – Dimensão fractal 242.6.3 – Limite de corte fractal 252.6.4 – Conceito de capacidade específica fractal 25
3. MODELOS DE ESCOAMENTO EM FRATURAS 27
3.1 – TIPOS GERAIS DE MODELOS 273.1.1 – Modelos de meio poroso equivalente 273.1.2 – Modelos de fraturas discretas 273.1.3 – Modelos baseados em geometria fractal 27
iii
3.1.4 – Modelos teóricos 273.1.5 – Modelos de dupla porosidade 293.1.6 – Modelo regional de placa paralela equivalente 29
3.2 – MODELOS DE FRATURAS DISCRETAS QUE COMPROVAM A LEI DE DARCY
30
3.2.1 – Placas paralelas 303.2.2 – Modelo de Tubo Capilar 313.2.3 – Modelo de Fissura Capilar 323.2.4 – Modelo de Raio Hidráulico 333.2.5 – Equação de |Kozeny 343.2.6 – Modelo de Resistência ao Fluo 34
3.3 – MODELOS ESTATÍSTICOS 353.4 – MODELOS DE FLUXO PARA POÇOS 35
3.4.1 – Meio Contínuo de Dupla Porosidade 353.4.1.1 – Duplo domínio e drenagem retardada (Barenblat et al. 1960) 363.4.1.2 – Duplo domínio com drenagem instantânea 373.4.1.3 – Sistema de blocos e fraturas horizontais (Boulton &Streltsova 1977) 38
4. EQUIVALÊNCIA ENTRE MEIO POROSO E MEIO FRATURADO 43
4.1 – CONCEITO DE ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO (EVR) 434.2 – RELAÇÃO ENTRE CONECTIVIDADE E A HIPÓTESE DE MEIO CONTÍNUO 45
4.2.1 – Índice de Conectividade 454.2.2 – Índice de Variabilidade da Permeabilidade 454.2.3 – Índice de Variabilidade da Porosidade Efetiva
5. IDENTIFICAÇÃO DE ZONAS DE FRATURAS 48
5.1 - INTRODUÇÃO 485.2 – IDENTIFICAÇÃO DE FRATURAS EM DOMÍNIOS 2D 49
5.2.1 – Mapeamento de fraturas em campo 525.2.2 – Mapeamento de fraturas por sensoriamento remoto 525.2.3 – Mapeamento de fraturas em poços 52
6. ANÁLISE DE TESTES DE BOMBEAMENTO EM MEIO HETEROGÊNEO 54
6.1 – DIFICULDADES E DIVERGÊNCIAS DE INTERPRETAÇÃO 546.2 – ANÁLISE DE TESTES PELO MÉTODO DA CAPACIDADE ESPECÍFICA
FRACTAL (MANOEL FILHO 1996) COM O MODELO DE BOULTON & STRELTOVA (1977) 57
6.2.1 – Cálculo dos Parâmetros Hidráulicos 57
iv
6.2.1.1 – Curvas de Rebaixamento 576.2.1.2 – Curvas de Recuperação 58
6.2.2 – Gráficos Ilustrativos de Resultados 606.3 – PROPRIEDADES FRACTAIS DE DADOS DE POÇOS 62
6.3.1 – Auto-Afinidade dos Testes de Produção 626.3.1.1 – Cálculo da dimensão espectral e da medida de Hausdorff 67
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69
Capítulo 1 - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
1
1. POSSIBILIDADES DE ÁGUA SUBTERRÂNEA
NO CRISTALINO
1.1 - OCORRÊNCIA E IMPORTÂNCIA
Nas rochas cristalinas as fraturas e/ou fissuras são os condutos através
dos quais a água subterrânea se movimenta, uma vez que o esqueleto
sólido ou matriz da rocha é considerado praticamente impermeável. De um
modo geral os aqüíferos das rochas cristalinas são importantes pelas
grandes extensões territoriais que ocupam na superfície terrestre e pela
pouca profundidade (inferior a 10 m ) em que a água quase sempre se
encontra. As rochas ígneas e metamórficas Pré-Cambrianas dominam
amplamente nas grandes plataformas continentais (Atlântica, Canadense,
da Africana, Siberiana, etc) que cobrem 30 milhões de km² (quase 20%)
da superfície da Terra.
A importância da água subterrânea das rochas cristalinas pode variar
muito de um lugar para outro. Ela depende da existência ou não de outras
fontes alternativas de suprimento hídrico e do seu confronto com a
demanda. No Brasil, as águas subterrâneas das regiões de rochas
cristalinas ocorrem nas províncias hidrogeológicas, correspondentes aos
grandes escudos (figura 1.1), formados pelos complexos de rochas ígneas e
metamórficas de todos os graus, e ainda pelas coberturas e embasamento
do craton do São Francisco (figura 1.2)
1.1.1 - Região de clima semi-árido
Em regiões semi-áridas, como o Nordeste do Brasil, com cerca de
500.000 km² ocupados por rochas cristalinas, o aproveitamento de água
subterrânea dessas rochas sempre foi uma alternativa considerada, em
virtude da carência de outros recursos hídricos. Nas estiagens prolongadas,
essa é, muitas vezes, a única alternativa para a sobrevivência dos
rebanhos. O mesmo acontece em grandes regiões da África, India, Austrália
e Sibéria, como indicam alguns estudos hidrogeológicos regionais que tem
contribuído para um melhor entendimento das propriedades hidrogeológicas
do cristalino (Biscaldi 1968, IAH 1975, Wright e Burges 1992).
Capítulo 1 - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino 2
Figura 1.1 – Províncias hidrogeológicas do Brasil – modificado de Pessoa et al. 1980.
Capítulo 1 - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino 3
Figura 1.2 – Esboço geotectônico do Pré-Cambriano do Nordeste do Brasil (Brito Neves & Manoel Filho, 1972; Brito Neves 1978).
Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
4
A qualidade das águas subterrâneas, está subordinada ao clima,
distribuindo-se em 3 (três) faixas: de resíduos secos inferiores a 500 mg/L,
nas zonas mais úmidas; de valores compreendidos entre 500 e 1000 mg/L,
nas zonas de chuvas mais próximas da média regional, e finalmente,
valores acima de 1000 mm, nas zonas mais áridas. Os resíduos secos
abaixo de 1000 mg/L são indicadores de águas subterrâneas de uso
irrestrito (Cruz & Melo, 1968).
1.1.1.1 -Produtividade de aquífero
A denominação produtividade de aquífero foi introduzida por Mente &
Mont'Alverne (1982), no mapa hidrogeológico do Brasil, na escala de
1:5.000.000, como um indicador da "importância hidrogeológica relativa"
dos diferentes aquíferos do país. Corresponde à capacidade específica
(m3/h.m) de poços, para rebaixamento de cerca de 25 m (tabela 1.1).
É um indicador interessante, mas somente significativo se referido ao
tempo, pois a capacidade específica de poços é um parâmetro temporal.
Tabela1.1 -Classificação de produtividade de aquífero no Brasil (Mente & Mont’Alverne, 1982)
Produtividade de aquífero
Faixa de capacidade específica para rebaixamento de 25 m
[m3/h.m]
Faixa de vazão [m3/h]
Muito elevada Média a elevada Fraca a média Muito fraca
y > 4 1 4< ≤y 01 1. < ≤y
y < 01.
Q > 100 25 100< ≤Q 2 5 25. < ≤Q
Q < 2 5.
Estatísticas, baseadas em dados de 814 poços cadastrados por Costa
(1986), nos Estados da Paraiba e Rio Grande do Norte, estão sumarizadas
na 1.2 para 6 (seis) parâmetros hidrogeológicos: 1- resíduo seco (RS); 2 -
manto de cobertura indiferenciada (MCI); 3 - nível estático (NE); 4 – nível
dinâmico (ND); 5 – Vazão (Q); 6 – fenda mais profunda (FMP).
1.1.1.2 - Resíduo seco das águas subterrâneas
O valor médio do resíduo seco é de 3161 mg/L, porém a mediana é
de apenas 1500 mg/L. O coeficiente de variação é da ordem de 124%. O
máximo resíduo seco encontrado foi de 31125 mg/L, mas 75% dos valores
são menores ou iguais a 3960 mg/L.
Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
5
1.1.1.3 - Vazão bombeada
A vazão média bombeada é igual a 3,13 m3/h e mediana de 2 m3/h.
A máxima registrada foi de 36 m3/h, porém 75% das vazões são inferiores
ou iguais a 3,78 m3/h. O coeficiente de variação é de 116%.
Tabela 1.2 - Parâmetros estatísticos de algumas características de 814 poços perfurados na subprovíncia Escudo Oriental Nordeste, nos Estados do Rio Grande do Norte e Paraiba ( Fonte dos dados: Costa, 1986)
Parâmetro RS
mg/L
MCI
m
NE
m
ND
m
Q
m3/h
FMP
m
N. Total de poços
Poços usados
814
760
814
799
814
814
814
814
814
814
814
814
Média
Variância
Desvio Padrão.
CV ( % )
Assimetria
Curtose
3161
15351
3918
123950
2548
11169
3,18
7,24
2,69
84,46
2,24
11,91
4,94
16,43
4,05
82,00
1,95
8,25
19,73
95,27
9,76
49,47
0,73
3,26
3,13
13,19
3,63
115,94
3,48
22,31
26,49
180,71
13,44
50,73
0,76
3,52
Mínimo
25% ≤Mediana
75% ≤Máximo
125
690
1500
3960
31125
0
1,27
3,00
4,00
23,70
0
2,27
3,72
6,33
31,00
1,80
11,88
18,08
25,97
64,00
0,05
0,90
2,00
3,78
36,00
0
15,20
24,45
35,00
98,00
RS = resíduo seco; MCI = manto de cobertura indiferenciado; NE = nível estático; ND = nível dinâmico;
Q = vazão; FMP = fenda mais profunda. 1.1.1.4 - Espessura do manto indiferenciado e profundidade do nível estático
A espessura do manto de cobertura indiferenciado, não passa de 5 m,
em 81,6% dos poços, enquanto que a profundidade das águas subterrâneas
é menor ou igual a 5 m em 65,1% dos casos. A análise comparativa dos
valores medianos da espessura do manto de cobertura indiferenciada
(mediana de 3,00m) contra os valores da profundidade do nível estático
(mediana de 3,72 m) revela que o nível de água dos poços, com pelo
menos 50% de probabilidade, se posiciona dentro das fendas do substrato
cristalino.
Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
6
As distribuições de frequência de NE e MCI são muito semelhantes,
com coeficientes de variação da ordem de 80% e assimetrias próximas de 2
(tabela 1.3).
1.1.1.5 - Nível dinâmico e entrada de água mais profunda
O nível dinâmico (ND) é da ordem de 20 m com mediana de 12 m,
enquanto que a profundidade da entrada de água mais profunda (FMP) tem
média aproximada de 26 m e mediana de 24 m. O coeficiente de variação é
da ordem de 50% )tabela 1.3).
1.1.1.6 - Produtividade de aquífero
Na subprovíncia Escudo Oriental Nordeste a produtividade de
aquífero, ilustrada na figura 2.10, varia em duas faixas: muito fraca
(inferior a 2,5 m3/h), em 57% dos poços, e fraca a média (entre 2,5 e 25
m3/h) em 43% dos poços.
2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 80.01 0.1 1 10 100 1000
Rebaixamento [ m ]
2
4
68
2
4
68
2
4
68
2
4
68
2
4
68
0.001
0.01
0.1
1
10
100
Cap
acid
ade
espe
cífic
a [ m
3/h.
m ]
Linhas de vazão constanteLinha de rebaixamento 25 m
25 m3/h
2.5 m3/h
Muitofraca
Fraca amédia
Figura 1.3 - Produtividade de aquífero, baseada em amostra de 814 poços, na
subprovíncia Escudo Oriental Nordeste, nos Estados da Paraiba e Rio Grande do
Norte.
1.1.2 - Região de clima úmido
Em regiões desse tipo, que se caracterizam por uma relativa
abundância de água, quase sempre se dispensou o uso da água subterrânea
Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
7
das rochas cristalinas. Nas três últimas décadas ocorreram progressos na
captação de água do cristalino de regiões temperadas, principalmente para
pequenos abastecimentos, por conta do crescimento da demanda de água
em muitas áreas. Isso graças ao aprimoramento da tecnologia de
perfuração, que facilitou e reduziu os custos de construção de poços de
pequeno diâmetro para captação de água em rochas cristalinas (Karrenberg
1981, Krásný 1990, in Gustafson e Krásný 1994).
Nas zonas úmidas, uma das características mais importantes da água
subterrânea como fonte de abastecimento é a qualidade físico-química, que
possibilita o uso para os mais diversos fins. De fato, a qualidade físico-
química costuma ser excelente e a produtividade dos poços frequentemente
maior do que nas zonas semi-áridas.
A ocorrência da água subterrânea nos climas úmidos é beneficiada
por uma pluviosidade mais abundante e por uma melhor distribuição no
tempo. Daí porque o domínio das rochas cristalinas é, geralmente,
recoberto por um manto de intemperismo ou cobertura eluvial (MCE). Esse
manto e a zona fissurada subjacente formam um sistema livre cujo nível de
saturação, geralmente pouco profundo, ora se encontra no elúvio, ora no
meio fissurado subjacente. A recarga é assegurada pelos excessos de água
de chuva.
Inúmeros são os fatores que podem influir na magnitude dessa
recarga: natureza do solo (permeabilidade), declividade, cobertura vegetal,
duração do período de excessos de água no balanço hídrico, etc.
No Brasil as rochas cristalinas Pré-Cambrianas associadas ao clima
úmido pertencem à Subprovíncia Escudo Oriental Sudeste (62), na qual o
manto de cobertura eluvial pode atingir dezenas de metros de espessura.
Um outro meio fraturado importante nesse clima é representado pelos
derrames basálticos da bacia do Paraná, incluídos na Subprovíncia Serra
Geral (72).
1.1.2.1 - Estatísticas da Subprovíncia Escudo Oriental Sudeste
Estatísticas de profundidade dos poços (PROF); espessura do manto
eluvial (MCE); profundidade do nível estático (NE); profundidade do nível
Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
8
dinâmico (ND); vazão (Q); profundidade da fenda mais profunda (FMP) são
indicadas na tabela 1.3.
Tabela 1.3 - Parâmetros estatísticos de algumas características de 85 poços perfurados na subprovíncia Escudo Oriental Sudeste, no Estado São Paulo (Fontes dos dados: Cavalcante, 1990; Menegasse, 1991)
Parâmetro PROF
m
MCE
m
NE
m
ND
m
Q
m3/h
FMP
m N. Total de poços
Poços usados 85 84
85 75
85 85
85 85
85 85
85 35
Média
Variância
Desvio Padrão.
CV ( % )
Assimetria
Curtose
133,88
2753,52
52,47
39,19
-0,36
2,79
37,38
347,56
18,64
49,86
1,61
7,00
12,23
161,96
12,72
104,05
1,42
4,45
72,95
1665,06
40,80
55,93
0,32
2,63
19,47
1006,71
31,72
162,96
2,48
8,41
106,51
2679,90
51,76
48,60
0,40
2,51
Mínimo
25% ≤
Mediana
75% ≤
Máximo
10,00
100,00
150,00
160,00
240,00
8,00
22,00
33,00
45,00
120,00
0
2,65
6,50
17,37
55,00
5,30
35,25
74,00
10,.6
200,00
0,10
3,22
6,70
16,00
150,00
16,00
70,00
96,00
144,25
220,00 PROF = profundidade; MCE = manto de cobertura eluvial; NE = nível estático; ND = nível dinâmico; Q = vazão; FMP = fenda mais profunda.
1.1.2.2 - Produtividade de aquífero
A produtividade de aquífero na subprovíncia Escudo Oriental Sudeste
(62), com base em amostra de 85 poços, é muito variável. As vazões mais
frequentes (65,1% dos poços), ocorrem na faixa de 2,5 a 25 m3/h, ou seja,
de produtividade fraca a média. Em ordem decrescente de frequência,
aparecem valores nas faixas de produtividade muito fraca (18,6%), média a
elevada (12,8%) e muito elevada (3,5%).
Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino
9
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Rebaixamento [ m ]
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
Cap
acid
ade
espe
cífic
a [ m
3/h.
m ]
100 m3/h5025
2.5 m3/h
Fraca aMédia
Fig. 1.4 - - Produtividade de aquífero, baseada em amostra de 85 poços,
na subprovíncia Escudo Oriental Sudeste, no Estado de São Paulo
1.1.2.3 - Estatísticas da Subprovíncia Serra Geral
A estatística descritiva dos parâmetros de poços: profundidade,
diâmetro, vazão, rebaixamento, vazão específica e profundidade da fenda
mais profunda, na subprovíncia Serra Geral (71) é mostrada na 1.4.
Tabela 1.4 - Parâmetros estatísticos das características de poços perfurados na subprovíncia Serra Geral, no Estado do Paraná ( dados de Fraga, 1986)
Parâmetro PROF m
DIAM mm
Q m3/h
REB m
y m3/h.m
FMP m
N. Total de poços Poços usados
198 197
198 198
198 198
198 198
198 198
198 187
Média Variância
Desvio Padrão. CV ( % )
Assimetria Curtose
123,23 935,84 30,54 24,78
0,17 2,89
191,91 391,22 19,77 10,30 -1,33 4,28
26,61 978,87 31,28
105,63 2,66
13,68
36,69 589,73 24,28 66,18
0,99 3,65
1,55 4,10 2,02
130,24 2,09 7,95
71,40 1125,33
33,54 46,98
0,52 2,59
Mínimo
25% ≤ Mediana
75% ≤ Máximo
47,00 100,00 121,00 150,00 234,00
150,00 200,00 200,00 200,00 250,00
0,20 8,75
20,00 40,00
221,00
2,00 17,84 33,11 52,55
120,00
0 0,22 0,65 1,99
11,47
10,00 43,00 67,00 90,00
165,00
PROF = profundidade; DIAM = diâmetro; Q = vazão; REB= rebaixamento; y= capacidade específica; FMP = fenda mais profunda.
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
10
2. PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E
HIDRÁULICOS DOS MEIOS FRATURADOS
2.1 – INTRODUÇÃO
A explotação de água subterrânea, petróleo e gás e a injeção de
resíduos de materiais tóxicos em redes de fraturas de rochas cristalinas,
requerem modelos quantitativos para descrever e prever o movimento dos
fluidos na rocha. Na tentativa de entender o fluxo nesses sistemas, os
pesquisadores geralmente procuram descrever a geometria das fraturas,
identificando: orientações, conectividade, aberturas, asperezas
(rugosidades), espaçamentos e efeitos “pele”, quando presentes.
Há uma forte influência da escala nas características das fraturas. A
extensão, por exemplo, pode variar de poucos metros a dezenas de
quilômetros. Snow (1972) depois de fazer uma ampla revisão bibliográfica
sobre os meios fraturados, chegou à conclusão de que a descrição de um
sistema de fraturas jamais pode ser completa. Nenhuma característica
geométrica pode ser atribuída de forma completa a um sistema de fraturas,
havendo sempre diferentes conjuntos de características dentre as quais
uma é dominante.
Em anos mais recentes há um reconhecimento de que as redes de
fraturas de rochas cristalinas são fractais, o que possibilita o uso de dados
de um furo pontual (poço numa fratura aleatória unidimensional) para
prever as escalas bidimensional e tridimensional do sistema de fraturas.
Segundo Barton (2001), op.cit, a reconstrução da história de uma fratura
em um ponto de conectividade inicial (poço) mediante percolação através
da rede de fraturas tem uma dimensão fractal de 1,35.
2.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS MEIOS FRATURADOS
Os aqüíferos fraturados ou fissurados incluem muitos tipos de
formações geológicas. Nas rochas plutônicas, vulcânicas, carbonáticas e em
muitos folhelhos, as fraturas são, tipicamente, as únicas responsáveis pela
permeabilidade. As fraturas também podem constituir os caminhos
hidráulicos dominantes em rochas normalmente consideradas de meio
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
11
poroso intergranular, como por exemplo, arenitos e solos. Portanto, os
meios porosos dominados por fraturas podem ocorrer nos mais diversos
materiais. Podem ser classificados em 4 (quatro) categorias:
Figura 2.1 – Classificação dos meios fraturados (Streltsova, 1976)
a) Formação
fraturada
f m
f m
K KS S
>>
<
b) Meio
simplesmente
fraturado
0 e 00 e 0
f m
f m
K KS S
> =
> =
c)Meio de dupla
porosidade
f m
f m
K KS S
>
<<
d)Meio
heterogêneo
<
<f m
f m
K K
S S
Formação fraturada: (Boulton & Streltsova, 1978) é aquela cujas
propriedades de condução de um fluido estão associadas com um
coeficiente de condutividade (hidráulica no caso da água) de fratura fK , e
cujas propriedades de armazenamento estão ligadas à porosidade primária
ou da matriz , da massa rochosa (figura 2.1a). Ou seja, o fluxo é
controlado pelas fraturas, mas o fluido é armazenado principalmente na
matriz. Nesse contexto o termo formação não implica em formação
geológica, e sim em unidade aqüífera ou unidade de armazenamento de
fluido (petróleo, gás, etc). Aliás, a designação (formação fraturada) é usada
na geologia do petróleo para camadas de areia com gás, de folhelhos
porosos, rochas vulcânicas extrusivas e turfa. Em hidrogeologia,
dependendo da relação entre as características dos blocos porosos e das
fissuras, a formação fraturada pode constituir:
mS
Meio simplesmente fraturado: é um meio no qual a
condutividade hidráulica e o armazenamento do fluido estão
inteiramente nas fraturas. As propriedades, de condução e
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
12
armazenamento na matriz, são desprezíveis (figura 2.1b).
Exemplos incluem rochas ígneas e metamórficas de alto grau,
como granitos, gnaisses, migmatitos, e algumas rochas
vulcânicas.
Meio de dupla-porosidade: nesse meio, tanto as
propriedades das fraturas quanto as propriedades dos blocos
são levadas em conta, mas a condutividade hidráulica total é
devida principalmente às fraturas. A maior parte do fluido,
todavia, é armazenada na matriz (figura 2.1c). São
considerados aqüíferos de dupla-porosidade, arenitos
fraturados, alguns basaltos e carbonatos. A modelagem é mais
difícil porque os fluxos precisam ser quantificados tanto nas
fraturas quanto na matriz.
Meio heterogêneo: o meio fraturado é dito heterogêneo
quando as fraturas estão preenchidas com material pouco
permeável (figura 2.1d), ou menos permeável do que a matriz.
Nesse caso pode ser modelado como um meio poroso
equivalente, no qual o fluxo nas fraturas não precisa ser
especificamente modelado.
Pele de fratura – é um conceito utilizado para simular o
movimento de fluxo na interface entre os blocos da matriz
rochosa e as fraturas que os delimitam. Pode ser aplicado à
superfície de uma fratura ou a uma zona muito delgada,
imediatamente abaixo de uma superfície fraturada, que é
alterada por deposição mineral de argilas detríticas ou
infiltradas. A “pele” tem propriedades hidráulicas muito
diferentes das propriedades da matriz da rocha inalterada e
seu efeito traduz a dificuldade de intercâmbio de fluido e de
movimento de solutos entre as fraturas e os blocos porosos,
particularmente na zona saturada.
2.3 - PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FRATURAS
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
13
As formações fraturadas ocorrem mundialmente como hospedeiras e
condutoras de fluidos, principalmente água e petróleo. Em geral, na parte
mais superior da superfície da terra, ocorre uma grande variedade de
fissuras naturais, formando sistemas de orientação bem definida, ao longo
de grandes distâncias e volumes de rochas. Tais sistemas podem ser
classificados em três grandes classes:
• Fraturas regionais ortogonais, associadas ao desenvolvimento
estrutural de toda uma região;
• Fraturas associadas com falhas e dobras;.
• Fraturas associadas com fenômenos de dissecação, variação de
temperatura e perda de massa (erosão).
As fraturas regionais apresentam-se geralmente contínuas, como
uma simples ruptura ou como uma zona de quebramento de grande
extensão, podendo atravessar verticalmente várias camadas. A orientação
dos sistemas de fraturas regionais ortogonais é quase sempre controlada
pela sedimentação primária das formações.
As fraturas associadas com falhas e dobras exibem muitos
padrões, variando desde grandes fraturas individuais, com orientação única,
até fraturas distribuídas em conjuntos com espaçamentos e orientações
diversas, podendo armazenar e conduzir fluidos por grandes distâncias.
Os reservatórios subterrâneos nos quais a produção de fluido é
devida à presença de fraturas são chamados reservatórios fraturados ou
aqüíferos fraturados. Adotam-se ainda, as denominações de aqüífero
fissural, em escala regional ou megascópica, e de condutor hidráulico
fraturado, em escala de afloramento ou mesoscópica.
A caracterização de sistemas de fraturas geralmente consiste na
avaliação de parâmetros geométricos, numa tentativa de identificar um
padrão estrutural para o domínio de fluxo. Os resultados práticos têm
demonstrado que, objetivamente, pouco se pode garantir quanto à eficácia
dessa metodologia puramente descritiva da geométrica do domínio, na
compreensão da distribuição das cargas hidráulicas no espaço e no tempo.
Muitos autores parecem concordar que uma caracterização adequada do
meio fraturado exige o conhecimento da orientação, da freqüência (ou
densidade), do tamanho e do grau de interconectividade das fraturas.
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
14
Segundo Sharp Jr. (1993) o uso de fotografias aéreas para locar poços, que
é uma das ferramentas mais empregadas, é apenas qualitativo, sugerindo
como métodos quantitativos, avaliações dos seguintes parâmetros:
• Orientação: pode ser definida através de diagramas de roseta ou
diretamente sobre os mapas geológicos, usando termos como direção
e mergulho.
• Densidade: a densidade de fraturas é um parâmetro que
supostamente quantifica o número de fraturas presentes em um
certo volume de rocha. A sua estimativa não é fácil, já que os traços
das fraturas nem sempre podem ser contados numa superfície
ortogonal aos mesmos. O número de fraturas que atravessa uma
certa distância, define o seu espaçamento. Supondo que todas as
fraturas estejam abertas (isto é, sem qualquer preenchimento por
materiais de baixa permeabilidade), a condutividade hidráulica deve
ser proporcional à sua densidade.
• Abertura: é a distância ortogonal entre as paredes da fratura.
• Rugosidade: é produzida pelas irregularidades existentes na
superfície da fratura. Tende a reduzir a velocidade do fluido e a criar
canais de fluxo preferencial.
• Canalização: é o processo pelo qual o fluxo de fluido em um meio
fraturado assume um caminho preferencial ou canal. Portanto, as
velocidades de fluxo podem ser altamente irregulares e os caminhos
do fluxo, simplesmente imprevisíveis. Na verdade essa canalização é
controlada pela geometria individual das fraturas, pela fonte de
recarga das mesmas e pelo gradiente hidráulico.
Canalização dofluxo ao longo de uma fratura
abertura
Paredes lisas
Paredes rugosas
Figura 2.2 - Ilustração da abertura, rugosidade e canalização do fluxo em uma
fratura.
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
15
• Conectividade: a eficiência hidráulica de um sistema de fraturas
está diretamente ligada ao seu grau de interconectividade. Quanto
maior o tamanho de uma fratura maior a sua chance de interconectar
uma outra. Assim, o índice de conectividade de uma rede de fraturas
pode ser definido como o número médio de interseções por fratura,
ponderado pelo tamanho (diâmetro) da fratura. Esse índice pode ser
facilmente calculado considerando-se as propriedades estatísticas de
um disco de Poisson, da rede de fraturas. (Guerin & Billaux, 1993).
Uma outra maneira de estimar a conectividade é avaliando as
características terminais e de ligação entre cada par de fraturas
(figura 2.3a ) e representando essas características em um diagrama
triangular. Barton et al. (1987), classificam as terminações das
fraturas em: cegas (A), convergentes (C) e cruzadas (I) (figura
2.3b). Laubach (1992) reúne as convergentes e cruzadas com o
nome de conectadas, e considerando que as terminações muitas
vezes são interdigitadas, sugere a classificação ternária de cega (A),
difusa (D) e conectada (I+C) (figura 2.3c).
a
A
A
AA
A
A
D
D
D D
A
A
C
I I
I
IC
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
16
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1% CEGAS
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
% CO
NVERGEN
TES
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
% C
RUZ
ADAS
CEGAS
CONVERGENTES
CRUZADAS
SEM TIPODOMINANTE
BARTON & HSIEH (1989)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1% CEGAS
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
% DIFUSAS
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
% C
ONEC
TADA
S
CEGAS
CONECTADAS
SEM TIPODOMINANTE
LAUBACH (1992)
DIFUSAS
Figura 2.3 – Avaliação da conectividade de fraturas usando os diagramas
triangulares de Barton & Hsieh (1989) e de Laubach (1992), apud Sharp Jr. (1993).
• Índice de conectividade:Guerin & Billaux 1993, definem o índice de
conectividade , de uma rede de fraturas como o número médio de
intersecções por fratura, ponderado pelo tamanho (diâmetro) da
fratura. É computado usando a estatística descritiva de uma rede de
fraturas simulada como um processo de Poisson (disco de Poisson). A
ponderação pelo diâmetro leva em conta o fato de que uma
interseção numa grande fratura contribui mais para a conectividade
da rede do que uma interseção numa fratura menor. O índice é
baseado em levantamentos de fraturas em campo e não varia com a
escala, mas pode exibir tendência se computado numa região muito
pequena, que exclua a representação de fraturas maiores. Foram
estudados conjuntos de fraturas em minas da Suécia e da França,
incluindo de 3 a 7 direções e diâmetros de disco de 0,5 m a 92 m. A
densidade de fraturas variou de muito dispersa (
cI
cI
66 10−× fraturas/m3) a
densa (16 fraturas/m3).
• Os valores do índice de conectividade correspondem à média de
10 realizações (simulações) de redes de fratura por local pesquisado.
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
17
2.4 - PROPRIEDADES HIDRÁULICAS
Os parâmetros hidráulicos fundamentais são: a condutividade hidráulica e a
porosidade, ambos das fraturas e das “peles” das fraturas.
2.4.1 - Condutividade hidráulica
A estimativa desse parâmetro é feita a partir de modelos conceituais.
A respeito desse parâmetro existem alguns conceitos aparentemente
aceitos por muitos autores, mas que nem sempre se verificam na prática. Ë
o caso, por exemplo, da redução da permeabilidade das fraturas com a
profundidade (Davis & Turc 1964), sob o argumento de que a tensão efetiva
local (em profundidade) comprime as fraturas, enquanto que o
intemperismo das fraturas próximo à superfície, cria aberturas mais largas.
E se as fraturas estiverem preenchidas por fluido em profundidade? Em
muitas situações encontram-se, em profundidade, zonas fraturadas de alta
permeabilidade (maior do que se observa na superfície do terreno)
contendo água sob pressão (Ex. aqüífero termal de Caldas Novas – GO).
Outros autores destacam as influências do relevo ao afirmar (Yin & Brook
1992, apud Sharp Jr. 1993) que em áreas de rochas cristalinas de alto grau,
os vales ocorrem tipicamente em áreas de fraturamento mais intenso e,
portanto, de maior permeabilidade. Admite-se que a condutividade
hidráulica é um tensor de segunda ordem. Nas zonas mais intensamente
fraturadas a anisotropia tende a ser menor. Teoricamente fraturas mais
longas, maiores densidades de fraturas e aberturas mais largas, aumentam
a condutividade hidráulica. Mas, é preciso lembrar que essas características
variam no espaço e no tempo e que muitas restrições geológicas passíveis
de interferir, quase nunca são consideradas na análise de sistemas de
fraturas.
2.4.1.1 – Condutividade Hidráulica e Permeabilidade em Meios Isotrópicos
O coeficiente de proporcionalidade que aparece em várias formas da lei
de Darcy é chamado condutividade hidráulica e pode ser definido como a
descarga específica que ocorre sob um gradiente hidráulico unitário
3
2.L
L T⎡⎢⎣ ⎦
⎤⎥ .Como esse coeficiente expressa a facilidade com que um fluido é
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
18
transportado através da matriz porosa ele depende das propriedades do
fluido e da matriz porosa.
As propriedades relevantes do fluido são: a densidade 3kg mρ ⎡⎣ ⎤⎦ e a
viscosidade dinâmica [ ].kg m sµ ou, em forma combinada, a viscosidade
cinemática ,ν µ ρ= 2 /m s⎡⎣ ⎤⎦ . A condutividade hidráulica é expressa por:
k g kgK
ρµ ν
= = (2.1)
Na equação (2.1) é a permeabilidade intrínseca ou simplesmente
permeabilidade da matriz porosa, cujas propriedades relevantes são
principalmente a distribuição do tamanho dos grãos (ou dos poros), a forma
dos grãos (ou dos poros), a tortuosidade, superfície específica e porosidade.
2k L⎡ ⎤⎣ ⎦
Quando k varia com a posição, isto é, ( , , )k k x y z= diz-se que o meio
poroso é heterogêneo e quando, em algum ponto, k varia com a direção,
diz-se que o meio é anisotrópico.
Tabela 1 - Propriedades físicas da água à pressão atmosférica
Temperat
ura
ºC
Densidade
Kg/m3
Peso
específico
N/m3
Viscosidade
dinâmica
N ×s/m²
Viscosidade
cinemática
m²/s
0 1000 9810 1,79E-03 1,79E-06
5 1000 9810 1,51E-03 1,51E-06
10 1000 9810 1,31E-03 1,31E-06
15 999 9800 1,14E-03 1,14E-06
20 998 9790 1,00E-03 1,00E-06
25 997 9781 8,91E-04 8,94E-07
30 996 9771 7,97E-04 8,00E-07
35 994 9751 7,20E-04 7,24E-07
40 992 9732 6,53E-04 6,58E-07
50 988 9693 5,05E-01 5,53E-07
60 983 9643 4,66E-04 4,74E-07
70 978 9594 4,04E-04 4,13E-07
80 972 9535 3,54E-04 3,64E-07
90 965 9467 3,15E-04 3,26E-07
100 958 9398 2,82E-04 2,94E-07
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
19
Na engenharia do petróleo, a unidade de k é o Darcy, definido da
expressão:
( )3
2
/1 1
11
cm scentipoise
cmdarcy
atmosferacm
⎛ ⎞×⎜ ⎟
⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.2)
52
.1 1,0132 10
N satmosfera
m= × ; 3
2
.1 10
N scentipoise
m−=
3
2 22
2
.
/
m s N sQm mAk
p N mx m
µ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ m⎡ ⎤= = = ⎣ ⎦∆ ⎛ ⎞⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠
(2.3)
2.4.1.2 – Condutividade Hidráulica e Permeabilidade em Meios Anisotrópicos
A permeabilidade k [L²] e a condutividade hidráulica K [L/T] são
tensores simétricos de segunda ordem. Se o meio é homogêneo, a lei de
Darcy generalizada é expressa por:
( )ij i ou =-K 1, 2, 3 x,y,ziq iφ φ= − ∇ ∇ = ≡q K (2.4)
Em três dimensões: x xx xy xz
y yx yy yz
z zx zz
q K K K
q K K K
q K Kzy K
φφφ
x
y
z
∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.5)
Em duas dimensões: x xx xy
y yx yy
q K K xq K K y
φφ
∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.6)
Direção principal: diz-se que uma direção no espaço, especificada por
um vetor unitário 1u (de componentes (cos ,cos ,cos )iu α β γ= ) é uma direção
principal se o vetor associado é paralelo a 1u ou se esse vetor pode ser ij iK u
escrito na forma sendo K um escalar. iKu
Quando as direções principais de anisotropia de um meio poroso
(expressas pela condutividade hidráulica ou pela permeabilidade ) são
usadas como sistema de coordenadas, o tensos simétrico K se escreve:
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
20
0 0
0
0 0
x
y 0
z
K
K
K
⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦
K ⎥⎥ (2.7)
As componentes do vetor descarga específica q, são:
x x y y z zq K q K q Kx y zφ φ∂ ∂
= = =∂ ∂
φ∂∂
(2.8)
Assim, em meio anisotrópico os vetores descarga específica q e o vetor
gradiente hidráulico φ∇ não são colineares. O ângulo entre eles é dado por:
cosφθφ
∇=
(2.9)
Quando , ,x y z são direções principais de condutividade hidráulica a
equação (2.4) φ= − ∇q K se escreve:
0 0
0 0
0 0
x x
y y
z z
q K x
q K
q K
φφφ
∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
q y
z (2.10)
2.4.2 - Porosidade
A determinação de porosidade também se faz usando modelos
conceituais. A exemplo da condutividade hidráulica, a caracterização da
porosidade de um sistema fraturado, não é tão simples como se possa
pensar. Em primeiro lugar é preciso distinguir: porosidade matricial (ou dos
blocos porosos) e porosidade das fraturas. Norton & Knapp (1977)
distinguem ainda: i) a porosidade efetiva das fraturas ou porosidade
que controla o fluxo de fluido nas fraturas; ii) porosidade de difusão, ou
porosidade que contribui para o fluxo de fluido e de soluto sem obedecer à
lei de Darcy; iii) porosidade residual, ou dos poros isolados. Estimativas
de porosidade efetiva de fraturas são necessárias para fazer estimativas
consistentes dos tempos de trânsito de solutos. Sharp Jr. 1993 considera
que os métodos atualmente disponíveis para estimar a porosidade de
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
21
fraturas em campo (restritos a testes de bombeamento e testes com
traçadores) ainda deixam a desejar.
A capacidade dos reservatórios de armazenar líquido depende das
propriedades elásticas da formação e do estado de tensão da rocha sob
uma dada pressão efetiva. Uma redução na pressão do reservatório produz
uma compressão da formação e uma expansão do fluido, enquanto que um
aumento da pressão aumenta a concentração de tensão no contato dos
grãos, expandindo a rede de poros e comprimindo os líquidos de saturação
da rocha. Por conseguinte, a porosidade é afetada por qualquer
variação de pressão no reservatório.
2.4.3 – Classificação da porosidade
A porosidade dos reservatórios pode ser classificada em três tipos:
Pirson (1953)
• Intergranular, consistindo dos espaços vazios entre os grãos
minerais da rocha.
• Vesicular, formada por vazios produzidos por intemperismo.
• De fraturas ou fissuras, representada por vazios
macroscópicos, produzidos por fissuras e ou juntas, não
havendo distinção entre os tipos genéricos de porosidade.
Alguns autores consideram uma porosidade planar, definida
como uma porosidade entre superfícies regulares ou
irregulares, tais como juntas, clivagens, falhas, diáclases. Essa
porosidade planar ainda foi dividida em dois grupos: i) planar
de fissura, devida a dissolução ao longo da superfície
considerada; ii) planar de fratura, devida a forças de tensão de
falhas e juntas.
A porosidade intergranular é também conhecida como primária, ou
original, porque representa uma característica intrínseca da rocha. Os
outros tipos de porosidade (vesicular, de fraturas ou fissuras), são
geralmente conhecidos como secundários.
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
22
A porosidade de fraturas se desenvolve sob diferentes condições
geológicas. As rochas hospedeiras, além de apresentarem um sistema de
fraturas contemporâneo com a sua origem, são geralmente quebradas por
juntas que dividem a massa rochosa em lâminas paralelas à superfície do
terreno, e com espessura crescente com a profundidade. Durante os
movimentos tectônicos, a deformação da rocha pode originar fraturas
individualizadas ou sistemas locais de fraturas. Aberturas esferoidais
irregulares ou tubos curvilíneos alongados, como canais de dissolução são
comumente encontrados em lavas e em rochas carbonáticas. Segundo
Streltsova-Adams (1978) existe ampla literatura sobre classificação e
origem dos espaços porosos em geral e sobre os espaços fraturados em
particular. No que se refere às fraturas, as principais características são:
• A extensão das fraturas pode cobrir distâncias de menos de 1
km até dezenas de quilômetros.
• Os padrões de fraturas podem ser similares aos sistemas de
juntas, mas um conjunto de fraturas em geral tende a ser
dominante.
• Os tipos de rochas fraturadas variam desde folhelhos, arenitos
e calcários, até rochas metamórficas e ígneas.
• A profundidade dos reservatórios fraturados pode variar de
menos de 300 m a mais de 6000 m.
• Segundo Snow (1962), a descrição de uma fratura jamais pode
ser completa. Ou seja, não se pode dizer que são paralelas,
planas, uniformes, suaves, regularmente espaçadas ou
descontínuas.
2.5 – PROPRIEDADES HIDROMECÂNICAS
As fraturas quebram a massa rochosa em blocos de tamanhos
diversos e alteram profundamente o mecanismo de fluxo de fluido dentro da
formação. Supondo a geometria do espaço poroso como um meio
estatisticamente homogêneo, é possível considerar como uniformes, as
características do fluxo em qualquer seção do meio poroso.
Os blocos porosos e as fissuras possuem propriedades
hidromecânicas diferentes e por isso, em conjunto, respondem às
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
23
influências externas (por exemplo, bombeamento), de uma maneira
diferente daquela que responde um meio homogêneo. O fluxo de fluido na
fissura e no bloco poroso, possui características distintas.
Na análise de um aqüífero fraturado é fundamental saber em que
lugar se faz a medida de pressão. Ou seja, se é em uma fratura ou em uma
seção de porosidade meramente intergranular.
A diferença entre a rápida (quase instantânea) resposta das fraturas
às mudanças de pressão e a lenta resposta (retardada) dos blocos porosos,
resulta em um diferencial de pressão que induz um fluxo dos blocos porosos
para as fissuras. Esse fluxo é um processo transiente, produzido pelo ajuste
das pressões nos blocos e nas fissuras, cuja duração depende das
propriedades elásticas bem como das condutividades hidráulicas e
dimensões, dos blocos e das fissuras.
2.6 - GEOMETRIA FRACTAL APLICADA
Atualmente, o emprego da geometria fractal nas pesquisas para
avaliação de propriedades hidráulicas em formações geológicas
heterogêneas, é considerado como um campo promissor. Muitos autores
estão desenvolvendo trabalhos nesse campo, visando solucionar problemas
de fluxo e transporte de contaminantes em zonas fraturadas. Alguns dos
modelos propostos para análise da distribuição transiente de pressões em
testes de bombeamento de poços em meio fraturado (Doughty, 1994;
Acuna & Yortsos, 1995), se baseiam na geração de fractais sintéticos
usando sistemas de funções iteradas ou SFI (Barnsley, 1988).Todavia, a
geração de redes fractais sintéticas, nos dois modelos citados, admite o
conceito de auto-similaridade, que implica em um meio isotrópico.
O meio fissural das rochas cristalinas é tipicamente anisotrópico e exibe
heterogeneidades em todas as escalas. Por isso a tendência atual parece
indicar que a solução do problema de fluxo para poços no cristalino
(reconhecida como bastante difícil por métodos determinísticos), talvez se
torne mais simples por métodos estatísticos. Estudos mais recentes
(Chemingui, 2001), de meios aleatórios caracterizados por funções de
correlação Gaussiana, exponencial e de Von Karman, continuam a indicar
como meta para o futuro a formulação do problema inverso para estimar os
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
24
parâmetros do meio anisotrópico, isto é, a razão de anisotropia e a
dimensão fractal de Hausdorff.
2.6.1 - Condutor Hidráulico Aleatório
O termo aqüífero, no sentido em que é aplicado a uma formação
geológica granular entendida como uma formação capaz de armazenar e
transmitir água, pode ser aplicado, em escala regional, a uma formação de
rochas cristalinas. Todavia, considera-se que essa denominação é
imprópria, em escala mesoscópica (escala de campo, ou de afloramento), e
portanto para um teste de bombeamento em um poço perfurado em um
domínio de rocha cristalina fraturada, ao invés do termo aqüífero convém
empregar o conceito de condutor hidráulico (Gustafson & Krásný, 1994)
para o sistema “poço-blocos-fendas associadas”.
Mais explicitamente, um poço construído em um ponto , no
espaço bidimensional (x,y), ocupado por rochas fraturadas, o conjunto
{poço + fendas interconectadas + blocos de matriz impermeável + manto
de cobertura} constitui um condutor hidráulico (CH). Admite-se que o CH,
pode conter uma ou mais fraturas interconectadas com o poço através da
superfície de controle. Assim ele é uma amostra aleatória do aqüífero
cristalino regional. O teste de bombeamento pode então ser encarado como
um experimento probabilístico, conduzido com vazões de diferentes
magnitudes.
0 0( , )x y
2.6.2 - Dimensão Fractal
O termo “dimensão fractal” é algumas vezes usado para referir-se ao
que geralmente se conhece como “dimensão de capacidade”, (que,
grosseiramente falando, é o expoente D na expressão ( ) Dn ε ε −= ). É também
chamado dimensão de Hausdorff, dimensão de Hausdorff-Besicovitch, na
qual são permitidos valores não integrais. Objetos que possuem dimensão
de capacidade diferente da dimensão topológica (Euclidiana, que é
sempre inteira) são chamados fractais.
Na geometria Euclidiana o comprimento L de um objeto retilíneo
medido com uma unidade de medida ε (por ex. m, dm, cm, mm), é dado
por L=Nε=constante (1m, 10dm, 100 cm, 1000 mm). Note que usando um
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
25
fator de redução no tamanho de ε, o valor de N aumenta de 10 vezes,
posto que o objeto retilíneo tem um comprimento constante finito. Observe
ainda que
10r =
ε está implicitamente elevado à potencia 1, correspondente à
dimensão topológica na qual são efetuadas as medidas. Se o objeto fosse
um retângulo essa dimensão seria 2.
Já o comprimento L Nε= , de um objeto irregular, como, por exemplo,
uma linha costeira, não é constante. Na verdade quando 0 limNε ε→ → ∞ . Ou
seja, o comprimento do objeto irregular depende da escala de medida.
Mandelbrot 1967, descobriu que o comprimento ,de uma linha costeira
irregular
F
constanteDF Nε= = (2.11)
independe da unidade de medida ε e é a dimensão que torna constante o
valor de . Portanto é o comprimento da linha costeira medida na
dimensão , chamada dimensão fractal.
D
F F
D
2.6.3 - Limite de corte fractal
Uma das limitações da aplicação da geometria fractal no estudo dos
problemas de fluxo e transporte de solutos em meio fraturado, se deve ao
fato de que o comprimento de uma curva fractal cresce sem limite quando a
unidade de medida tende para zero. Ou seja, para que a extensão do
caminho percorrido por uma partícula fluida de um certo ponto do domínio
fraturado até o poço de bombeamento (curva fractal) seja finita, é preciso
que a unidade de medida ε tenha um limite inferior, chamado limite de
corte fractal cε . O maior valor que cε pode assumir deve ser o tamanho do
elemento de volume representativo (EVR – Bear, 1972), que possa ser
definido no meio heterogêneo em estudo.
2.6.4 - Conceito de Capacidade Específica Fractal
Segundo Turcotte (1992), um conjunto fractal pode ser definido pela
expressão:
n Dn
CN
r= (2.12)
sendo Nn o número de unidades de medida, fragmentos ou “caixas” - para
usar a linguagem do método de contagem de caixas (Peitgen et al. 1992) -
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
26
no qual um dado objeto pode ser sucessivamente (n =1, 2, ...) dividido,
com um fator de redução de escala rn ; C é uma constante de
proporcionalidade e D é a dimensão fractal.
Seja um teste de bombeamento realizado com descarga variável em um
condutor hidráulico aleatório. Durante o experimento, de duração , um
certo número n, de medidas discretas de vazão não-uniforme e de
rebaixamento , é feito em diferentes instantes . Por definição a
capacidade específica y
bt
iQ
is it
i do condutor hidráulico [ L2/T ]
ii
i
Qy
s= (2.13)
é uma função temporal discreta de duas variáveis: vazão e rebaixamento,
na qual, no tempo . it
iy = capacidade específica para descarga variável 2 /L T⎡ ⎤⎣ ⎦
iQ =descarga variável com o tempo 3 /L T⎡ ⎤⎣ ⎦
si = rebaixamento medido no poço [L]
Suponha-se agora que é possível aproximar os valores de pela
expressão
yi
**
*i dii
Q Qy
*ss
= = (2.14)
sendo:
yi* = capacidade específica fractal [L2/T ]
Q* =descarga fractal constante equivalente [Ld+2/T]
si* =rebaixamento fractal [Ld ]
d = dimensão fractal do fluxo
Comparando as equações (2.14) e (2.12) pode-se notar que ambas
caracterizam uma mesma lei de potência, com o rebaixamento s
representando o fator de redução de dimensão linear [L] característico do
experimento. Pode-se então concluir, em virtude das definições, que é
um conjunto fractal (Manoel Filho, 1996).
*y
Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados
27
3 – MODELOS DE ESCOAMENTO EM FRATURAS
liação quantitativa do fluxo
3.1.1 -M
fraturas são mal conectadas, os
3.1.2 -
luído devido às incertezas das
3.1.3 -
Os resultados
a precisam de comprovação.
3.1.4
3.1 – Tipos Gerais de Modelos
Citam-se, entre os modelos disponíveis para ava
de fluido e transporte de solutos, os seguintes:
odelos de meio poroso equivalente
Esses modelos admitem que o meio fraturado pode ser tratado como
um meio contínuo equivalente, no qual é possível definir um elemento de
volume representativo (EVR), dentro da escala do sistema em estudo, sem
explicitar a geometria, tamanho ou orientação das fraturas. Em alguns
casos esse modelo fornece bons resultados, especialmente para estimativas
de descarga, em estudos de fluxo regional. Em problemas locais de
transporte de solutos, ou quando as
resultados podem não ser satisfatórios.
Modelos de fraturas discretas
Tentam caracterizar diretamente o sistema de fraturas com base em
dados de campo. Segundo Sharp Jr. 1993 (op.cit.), mapeamentos
sistemáticos de fraturas em diversas escalas foram feitos por alguns
autores em minas, túneis e poços. A introdução desses dados em modelos
hidrogeológicos realistas, não tem evo
extrapolações para áreas não mapeadas.
Modelos baseados em geometria fractal
Alguns autores (Barton et al. 1987, Wheatcraft et al. 1990) sugerem
métodos baseados em geometria fractal para redes de fraturas discretas.
São também sugeridos modelos fractais para análise de dados de testes de
poços. (Chang & Yortsos 1990; Acuna & Yortsos, 1995).
obtidos por esses métodos aind
. - Modelos teóricos
Em virtude das limitações e desvantagens apresentadas pelos
modelos já descritos, alguns modelos teóricos foram propostos para fluxo
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
28
em formações simplesmente fraturadas e fraturadas. Eles tentam avaliar o
fluxo em fraturas usando distribuições sintéticas de aberturas, orientações,
espaçamentos e dimensões. A sua aplicação a sistemas naturais é restrita,
já que não se dispõe de dados reais suficientes para introduzir nos modelos.
Por outro lado, a conceituação teórica de modelos de fraturas discretas e de
dupla porosidade pode ser usada, de maneira inversa, onde se tenha uma
3.1.5 - Modelos de dupla-porosidade
avaliar. Como os demais modelos
3.1.6. - Modelo Regional de
s sociada
de abertura , ou seja, Na∑∑ . Essa relação é ilustrada, em duas
resposta hidrogeológica conhecida.
Sistemas de dupla-porosidade, incluindo aqüíferos e reservatórios de
petróleo, são comuns na natureza. Neles é preciso calcular o fluxo de fluido
e o transporte de solutos nas fraturas e na matriz dos blocos rochosos, bem
como as interações entre esses dois ambientes. A verificação experimental
de como esse fluxo se realiza é difícil de
apresentam vantagens e desvantagens.
placa - paralela equivalente
Esse modelo (Sharp Jr. 1993) sugere a utilização de dados geológicos
e especialmente a análise estrutural dos sistemas de fraturas, em escala
regional. Segundo Fuller & Sharp (1992) os sistemas de fraturas podem ser
caracterizados, dentro de certos domínios, como dependentes da tectônica,
das propriedades geomecânicas e solubilidades das rochas e solos neles
presentes. Raramente se dispõe de dados quantitativos de espaçamentos e
de propriedades hidráulicas de fraturas levantadas em campo. Mesmo
assim, em muitos casos, é possível fazer boas estimativas da orientação e
das propriedades hidráulicas esperadas. A precisão dessas estimativas
depende naturalmente da quantidade de dados disponíveis, envolvendo,
fotografias aéreas, dados de sensoriamento remoto, mapas geológicos
publicados e mapeamentos de campo, estudos de fraturas em túneis e em
poços, dados de estudos geofísicos e de testes com traçadores e outros
métodos hidrogeológicos, como por exemplo, testes de bombeamento em
poços. Usando a lei cúbica (equação 3.1), a condutividade hidráulica em
duas dimensõe pode ser as à densidade integrada (N) das fraturas
ii
dimensões (figura 3.1), pela direção das linhas com setas duplas, cujo
a 2i
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
29
comprimento representa a densidade integrada e a distribuição das
aberturas das fraturas em cada subdomínio. Pode-se pensar até em
introduzir dados de rugosidade e de canalização, se existirem dados a esse
respeito.
apa e o seu comprimento às densidades integradas
das fraturas (Sharp Jr. 1993).
ionais,
que calculam o tensor de condutividade em cada domínio.
odelos de Fraturas Discretas que Comprovam a Lei de
Darcy
Figura. 3.1 – Caracterização de sistemas de fraturas numa situação
hipotética usando ilustrações gráficas do tensor de condutividade hidráulica em
duas dimensões. As direções das linhas de setas duplas correspondem às direções
dominantes das fraturas no m
Essa forma de representação estrutural, integrando propriedades
geométricas e hidráulicas, é, sem dúvida, uma alternativa interessante de
modelagem de sistemas de fraturas principalmente em escala regional. Os
domínios de fraturas identificados e suas respectivas permeabilidades
podem ser introduzidos em modelos de elementos finitos bidimens
hidráulica
3.2 –M
Alguns modelos de fluxo em fraturas discretas, concebidos por diversos
autores em um passado relativamente distante, com base em estudos de
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
30
laboratório, e que podem ser vistos com mais detalhe em Bear (1972), são
descritos a
(paredes lisas) , na direção z, de comprimento
seguir.
3.2.1 - Placas paralelas:
A descarga q , através de uma única fratura, de abertura uniforme
a L , n
infinita , na direção y, é dada pela lei cúbica (Lamb, 1932), expressa por:
a direção x e largura
b
µ∆
=∆
3
12a p
q bL
(3.1)
2 2gradiente de pressao p ML L
∆ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦%
T
2 2 3
1 . 1N kg mm 2 2
Mm s m T L
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤bx
y
zL
a
× = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆviscosidade dinamica
MLT
µ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
Figu – Ilustração da lei cúbica
ded
para
ra 3.2
uzida a partir de um modelo de placas
lelas
as d uma
de massa sa fraturada, a porosidade
Se existem N fratur e largura b e abertura a sobre altura h
rocho fNba Na
nbh h
= = . Assim = fh
N na
e a descarga total Q Nq= através da área A bh= , será:
µ µ∆ ∆
= ⇒3 3ba p h ba p
=∆ ∆
12 12fQ N Q n
L a L
µ∆
=∆
2
12f
a pQ n A
L (3.2)
A variação da carga de pressão ia de pressão ou energ p hγ∆ = ∆ sendo γ
o peso específico idodo flu e h∆ a variação da carga hidráulica.
Portanto, substituindo p∆ na equação (3.2) resulta:
2
12fa h
LQ n A
γµ
⎛ ⎞ ∆= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠
(3.3)
A equação (3.3) é análoga à lei de Darcy na qual
γ2
µ= ⎡ ⎤⎣ ⎦/
12f fK n L T (3.4)
é a condutividade hidráulica da fratura, que depende das propriedades
bilidade
a
do meio, representadas pelo coeficiente de permea
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
31
⎡ ⎤= ⎣ ⎦2L (3.5)
2
12f fa
k n
e das prese dpropriedades do fluido, re nta as por:
γ ρµ µ ν
= =g g (3.6)
ρ é a densidade do fluido ⎡ ⎤⎣ ⎦ é a celeração da gravidade
⎣ ⎦ imensional].
3M L , g a
⎡ ⎤2/L T , /h L∆ ∆ é o gradiente hidráulico [ad
[ ]/M LT µ é a viscosidade dinâmica do fluido
ν é a viscosidade cinemática do fluido −⎡ ⎤ = ×⎣ ⎦2 7 2/ ( 9 10 / a 25 )oL T m s C (
Capilares
a) Um tubo capilar retilíne de
3.2.2 – Modelos de Tubos
o diâmetro δ : esse modelo é clássico
e usa a lei de Hagen-Poiseuille, segundo a qual o fluxo estacionário
através de um único tubo capilar retilíneo de diâmetro δ , orientado na
direção de um vetor unitário 1x é 4
4 32 dxg dπδ ρ φ
= −Q (3.7)
locidade média no tubo:
µx
A ve 2
2 / 4 32g d
dxδ ρ φ
πδ µ= = −x
x
Qv (3.8)
Na equação 3.8 o fator 2 / 32δ é análogo à permeabilidade k do meio
poroso.
b) Vários tubos capilares retilíneos de diâmetro δ : (figura 3.3). Se
existirem N tubos na área ab de seção transversal ao flu
descarga específica através do bloco po
xo, então a
roso é dada por:
xb
a
Figura 3.3 Modelo de tubos capilares de
2 2
4 32N g d
Nab ab dx
πδ δ ρ φµ
=q = −xx
Q (3.9)
A porosidade n desse modelo é dada
por:
2
4n N
abπδ
=
ão (3.9)
(3.10)
Na equaç 4 2
128 4 32N N
2πδ πδ= δ
Então a equação (3.9) pode ser
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
32
mesmo diâmetro . escrita:
2
32g d
ndx
δ ρ φµ
= −xq (3.11)
Nesse caso, se a permeabilidade 2
32k n
δ= (3.12)
Então obtém-se a lei de Darcy: g dk
dxρ φµ
= −xq (3.13)
c) Vários tubos capilares de diâmetro variável : (figura 3.4) iδ
xb
a
Figura 3.4 Modelo de vários tubos
capilares de diâmetros variáveis.
4
1 128
mi
ii
g dN
dxπδ ρ φ
µ=
= −∑xq (3.14)
4
1 128i
mi
ik Nπδ
= ∑ (3.15)
rmeabilidade
definida pela equação (3.12).
=
Uma limitação dos modelos descritos nos
itens a, b, c é que eles só fornecem a
permeabilidade em uma direção. Para
superar essa limitação, 1/3 dos tubos é
colocado em cada uma das três direções do
espaço. Isso leva a uma permeabilidade
1/3 menor do que a pe
2
96k n
δ= (3.16)
3.2
ar, 1972 usa fissuras capilares para representar um
meio poroso fraturado.
.3– Modelos de Fissuras Capilares
Irmay 1955 apud Be
a
Fissura Bloco
( A )
Bloco
Bloco
a
a
b
b
( B )
a v
( C )
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
33
Figura 3.5 – Modelo de fissuras capilares: A) vista plana dos blocos de espessura b
e fissuras de abertura a; B) vista em perfil dos blocos de espessura b e fissuras de
abertura a; C) parábola de velocidade do fluxo nas fissuras.
O ponto de partida para esse modelo é a solução das equações de
Navier-Stokes, para a velocidade média em uma fratura individual de
abertura a, constante, limitada por dois planos impermeáveis, que é a
seguinte:
2
12a g
vρ φµ
= ∇ (3.17)
Como a porosidade an
a b=
+, a descarga específica a
q v nva b
= =+
(3.18)
Da equação (3.4) conclui-se que 2
12a
k n= (3.19)
3.2.4 – Modelos de Raio Hidráulico
O raio hidráulico R é definido como a razão entre a área da seção
transversal ao fluxo e o perímetro molhado. Por exemplo, em um tubo
circular de raio r o raio hidráulico é dado pela expressão:
P= 2 rπ
A= r²π
v
Figura 3.6 Modelo de raio hidráulico.
2ÁreaPerímetro 2 2
rR
rππ
r= = = (3.20)
Uma outra definição de R é a razão
entre um tubo cheio de líquido e a sua
superfície molhada.
2Volume do cilindro2 2Área lateral do cilindro
r x rR
r xππ
∆= = =
∆(3.21)
Visualizando o meio fraturado como uma rede de canais interconectados
ou passagens, o conceito de raio hidráulico leva à seguinte relação:
[ ]1 sendo a dimensão
Mn
RM
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦L= . Nesta relação R representa um raio
hidráulico equivalente para o fluxo através dos inúmeros canais
interconectados. Esse raio seria dado pela razão entre a porosidade e um
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
34
número M (que ao invés da constante 2, corresponderia a um valor
equivalente ao perímetro dos canais).
Usando a equação de Poiseuille (3.7) para o fluxo em tubulações e
substituindo 2 por 4r Rδ =
2
2R g d
dxρ φµ
= −xv (3.22)
Da equação (3.12) resulta 2
2R
k n= (3.23)
E da equação (3.16) 2
6R
k n= (3.24)
3.2.5 - Equação de Kozeny (1927)
Usando o conceito de raio hidráulico Kozeny (1927) concebeu o meio
poroso como um conjunto de tubos capilares e apresentou uma das
deduções até hoje mais aceitas de permeabilidade. A velocidade do fluxo
através de uma seção transversal ao movimento é obtida solucionando as
equações de Navier-Stokes:
30
2
C np
Mµ= − ∇q (3.25)
A permeabilidade 3
02
C nk
M= (3.26)
0C é a constante de Kozeny (varia de 0,5 a 0,667).
3.2.6 - Modelos de Resistência ao Fluxo
Um fluido em movimento em relação a um sólido exerce uma força no
contato, que possui duas componentes: uma tangencial produzida por
gradientes de viscosidade e velocidade e uma normal, produzida por
gradientes de pressão ao longo da parede de contato (figura 3.5 C). O vetor
soma dessas componentes é a força resultante. A compone te n xF dessa
força na direção da velocidade relativa v é chamada força de resistência ao
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
35
fluxo. A componente normal à velocidade é chamada força l teral a yF .Daí se
obtém a conhecida fórmula:
( ou g p k
k z pg
ρ ρµ ρ µ
⎛ ⎞= − ∇ + = − ∇ +⎜ ⎟
⎝ ⎠q q )gz (3.27)
3.3 – MODELOS ESTATÍSTICOS
Até certo ponto os modelos que se acaba de descrever são aceitos como
satisfatórios porque levam à lei de Darcy. Todavia, neles a descrição do
meio poroso real é muito simplificada para permitir o tratamento
matemático teórico na forma de uma solução das equações de Navier-
Stokes. Os sistemas porosos naturais (especialmente fraturados) são
desordenados. O deslocamento de uma partícula pode ser considerado
como a soma de um grande número de deslocamentos elementares,
aleatórios, estatisticamente independentes uns dos outros. Então, de acordo
com o teorema central limite, se o número desses deslocamentos tende
para infinito, a distribuição de probabilidade do deslocamento total da
partícula tende para uma distribuição normal (Gaussiana).
3.4 - MODELOS DE FLUXO PARA POÇOS
3.4.1 - Meio Contínuo de Dupla Porosidade
Alguns autores rejeitam a hipótese de velocidade única de fluxo
uniforme, em meio estatisticamente homogêneo, e consideram que os
modelos uni-porosos não se aplicam aos meios fraturados, devido à forte
descontinuidade mecânica representada pelas fraturas. Para ambientes
desse tipo, propõem modelos alternativos de fluxo para poços, formulando
o problema com as mesmas idéias básicas e os mesmos métodos de
solução, através de famílias de curvas-padrão, empregados para os meios
porosos granulares. Recorrem, porém, ao conceito de dupla-porosidade
para contornar o problema da descontinuidade, admitindo a superposição
de dois meios contínuos, cada um dos quais possuindo condutividades e
armazenamentos hidráulicos primários (nos blocos da matriz rochosa) e
secundários (nas fraturas).
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
36
Exemplos de modelos de dupla porosidade talvez os mais conhecidos,
aplicáveis a uma formação fraturada, segundo Streltsova (1978) e
Sauveplane (1984), são descritos a seguir, com os índices: f, indicando
fratura; m, matriz; A, adimensional; w, poço.
3.4.1.1 - Duplo domínio e drenagem retardada (Barenblatt et al 1960)
São definidos dois domínios de fluxo: o primeiro, é formado pela
matriz de uma rede de blocos isotrópicos, irregulares e o segundo, por um
grande número de fraturas com tamanhos e direções aleatórias (Barenblatt
et al. 1960). O elemento de volume representativo (EVR) do modelo deve
ser muito grande, em relação ao tamanho dos blocos, mas precisa
permanecer pequeno em relação ao volume total do aquífero. As hipóteses
básicas, são:
• A taxa de drenagem retardada dos blocos para as fraturas, por
unidade de volume de rocha, é proporcional ao diferencial de
pressão entre os dois domínios componentes do modelo.
• O fluxo dos blocos para as fraturas é estacionário, enquanto que o
fluxo das fraturas para o poço é transiente.
• O fluido é incompressível e a vazão bombeada é constante.
• Não existe fluxo das fraturas para os blocos.
• A variação de volume dos blocos, devido à perda de líquido para as
fraturas, é desprezível em relação à variação de volume produzida
pela expansão do líquido.
• Os blocos são isotrópicos e o aquífero é confinado, com extensão
lateral infinita, como em Theis (1935).
Equação do rebaixamento
2
0 2 20
( ) 1 exp4 1f
f f
t xQ ds J xr
T xB x
βπ
∞ ⎡ ⎛ ⎞−= −⎢ ⎜ ⎟
+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫
x⎤⎥ (3.28)
Curvas -padrão:
mono ou dilog: ( ),fW α β
4 f
f
T sW
Qπ
= (3.29)
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
37
2
4= ; =f
sm f
K tS Br
α rβ (3.30)
Curvas experimentais mono ou dilog: versus fs t
Parâmetros:
4f
ff
Q sT
sπ= (3.31)
ff
TK
b= (3.32)
f
rB
β= (3.33)
2f
f
KgB
µλ
ρ= (3.34)
2
4 fsm
K tS
rα= (3.35)
3.4.1.2 - Duplo domínio com drenagem instantânea
Boulton (1963) admite, como Barenblatt et al. (1960), que o fluxo, dos
blocos porosos para as fissuras, acontece por conta da resposta elástica às
diferenças de pressão entre pontos situados dentro e fora dos blocos. No
modelo de Barenblatt et al. (op. cit.), esse fluxo acontece após um certo
tempo de bombeamento, ou seja, equivale a uma drenagem retardada
oriunda dos blocos porosos. Mas, Boulton (op.cit.), considera essa
"drenagem retardada" (fluxo vertical ilustrado na figura 3.9), em todos os
instantes t, a partir do início do bombeamento.
a
a
bloco
bloco
fissura
fissura
H
H
Figura .3.7 - Unidade bloco-fissura e a solução de Boulton (1963)
Equação do rebaixamento na fissura:
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
38
00
24f
f f
Q r xs J
T Bπ ν
∞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
( ) ( )2
21
1 exp 0.5 1 cosh(0.5 ) senh(0.5 )f f
x dxt x t q t q
q x
ηα η α α
⎧ ⎫⎡ ⎤+⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − + × +⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭f (3.36)
Curvas-padrão: ( , , )f fW r Bθ η monolog ou dilog
Parâmetros:
A integral infinita da equação (3.36) é simbolicamente representada pela
função ( , , / )W r Bθ η , de modo que o rebaixamento na fissura pode ser
expresso por:
** ( , ,
4ff
Q/ )s W r
Tθ η
π= B (3.37)
2 //
f f f ff f
f m m m m
T K K a TB aH T K a T
S K K H Tα′= = = = = =
′ f m mK H (3.38)
( )22 21 4q xη= + − 2xη (3.39)
1ην
η−
= (3.40)
1 m
f
SS
η = + (3.41)
2
4 f
f
T t
r Sθ = (3.42)
14 1f
f
rt
Bθα
η⎛⎛ ⎞
= ⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎞⎟ (3.43)
3.4.1.3 - Sistema de blocos e fraturas horizontais (Boulton & Streltsova, 1977)
Neste caso, admite-se que a formação rochosa real, constituída de
blocos irregulares, de tamanho e forma diferentes, separados por fissuras, é
substituída por uma formação ideal, constituída de blocos horizontais,
separados por fissuras horizontais (figura 3.8) e com extensão lateral
infinita (Boulton-& Streltsova 1977). Os blocos rochosos idealizados com
espessura constante 2H, representam a espessura média dos blocos
verdadeiros, enquanto que as fissuras horizontais idealizadas, com
espessura 2a, representam a espessura média das fissuras reais.
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
39
Devido à simetria vertical deste sistema (figura 3.9), conclui-se que
não existe componente de fluxo vertical através da linha central de um
bloco ou de uma fissura, já que uma dessas linhas centrais representa o
topo, e a outra, a base do aquífero. Assim sendo, para fins de análise,
Boulton & Streltsova, (op.cit.) consideram o fluxo apenas em uma unidade,
bloco-fissura, compreendida entre as linhas centrais de um bloco e da
fissura adjacente.
2a
2a
2a
2H
2H
Figura 3.8 - Idealização de uma formação rochosa fissurada segundo Boulton &
Streltsova, 1977
O módulo bloco-fissura, figura 3.8, ampliado e associado a um poço de
bombeamento, é ilustrado na figura 3.9 como um elemento representativo
de dimensões H e a, no plano vertical de coordenadas (z, r). Streltsova-
Adams, (1978) estuda dois casos: um, mais simples, em que o fluxo no
bloco poroso é suposto vertical e outro, incluindo componentes de fluxo
horizontal e vertical no bloco poroso. Ambos são apresentados a seguir.
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
40
Figura 3.9 - Elemento bloco-fissura, de um meio fissurado com fluxo vertical no
bloco (Boulton & Streltsova , 1977).
Caso 1: Fluxo vertical no bloco
Para esse caso mais simples (fig. 3.9), restrito a fluxo vertical no bloco
poroso, a dedução das equações do rebaixamento se faz com base nas
seguintes hipóteses:
• O fluxo na fratura é confinado e obedece à lei de Darcy.
O bloco rochoso e a fratura são compressíveis.
O fluxo é vertical no bloco poroso e horizontal na fisssura, ou seja,
a entrada de água para o poço se faz apenas pela fratura.
Não existe resistência ao fluxo ao longo do contato bloco-fissura.
A espessura da fissura (ao longo da qual se considera o
rebaixamento), é pequena, em relação à espessura do bloco.
O raio do poço é desprezível e a descarga bombeada é constante, a
partir do instante t = 0.
Equações do rebaixamento, na fissura e na matriz dos
blocos:
0102f
jf f
Q rjs x J x dx
T Bψ
π
∞ ∞
=
⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ ′ (3.44)
0102m
jf f
Q rj js x J x dx
T Bψ ϕ
π
∞ ∞
=
⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= ⎜ ⎟ ′⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ (3.45)
onde 2 2
2 2
1 exp 0.25 ( )( )
( ) 0.5 (tan secj f m f
jf m j j j j j
S S r B
S S
β θψ
)β β β β β
⎡ ⎤− −⎣ ⎦=+ +
(3.46)
m
f
Tc
T= (3.47)
jβ é uma raiz positiva da equação
( ) 2 tanf m j j jS S xβ β β 2′+ = (3.48)
Curvas-padrão: ( , , ) e ( , , )f f m m fW S S W S Smα β α β
4 f
f
T sW
Qπ
= e 4 m
m
T sW
Qπ
= (3.49)
2
4 e =f
ff
T t rBr S
α = β (3.50)
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
41
2
m
f f
T Hc
T B⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.51)
Parâmetros:
4 4f ff m
Q QT W
s sπ π= = mW (3.52)
2
4 ff
t TS
rα= (3.53)
mT cT= f (3.54)
f
HB
c= (3.55)
Caso 2: Fluxo vertical e horizontal no bloco
Este caso é ilustrado na figura 3.10 e as hipóteses consideradas, são:
O fluxo na fratura é confinado e obedece à lei de Darcy.
O bloco rochoso e a fratura são compressíveis.
A entrada de água para o poço se faz pela fratura e pelo bloco,
já que existe componente horizontal de fluxo no bloco.
Não existe resistência ao fluxo no contato bloco-fissura.
A espessura da fissura (ao longo da qual se considera o
rebaixamento) é pequena, em relação à espessura do bloco.
O raio do poço é desprezível e a descarga bombeada é
constante, a partir do instante t = 0.
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
42
Figura 3.10 - Elemento bloco-fissura de uma formação fraturada, com fluxo
horizontal e vertical no bloco (Boulton & Streltsova, 1977).
Equações do rebaixamento na fissura e na matriz dos blocos:
0102 ( )f
jf m
Q rjs xJ x dx
T T Hπ
∞ ∞
=
⎡ ⎤− ⎛ ⎞= Ψ⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ (3.56)
0102 ( )m
jf m
Q rj js x J x dx
T T Hπ
∞ ∞
=
⎡ ⎤− ⎛ ⎞= Ψ Φ⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ (3.57)
1
2
tan( )1 21
( )( )
tm j
jm jm j j
ce jH
λ
λ χ
⎡ ⎤ℜ−Ψ = +⎢ ⎥
ℜ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.58)
cos ( ) (1 )
cos( )
m j
jm j
zH
⎧ ⎫⎡ ⎤ℜ −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣⎩Φ =ℜ
⎦⎭ (3.59)
2( ) [ ( )mm j m j
m m
Tx
H Sλ = − + ℜ 2 ] (3.60
22tan( )
sec ( )2 ( )
m jf mj
f m m j
S c ST T
χ m j
⎡ ⎤ℜ= + + ℜ⎢ ⎥
ℜ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.61)
1 2 m f mm
f m f
T S Tc c T
T S T= = = fT T+
1 x
(3.62)
( )m jℜ é uma raiz positiva da equação
21 2( ) ( ) tan( ) (1 )m j m j m jc c c⎡ ⎤ℜ ℜ + ℜ = −⎣ ⎦ (3.63)
Curvas-padrão: ( , , ) e ( , , )f mW c W cα β α β
4 f
f
T sW
Qπ
=4 m
m
T sW
Qπ
= (3.64)
2
4 f
ff
T t Trc
H Tr Sα β= = m= (3.65)
Parâmetros
4
4
ff
mm
QT W
s
QT W
s
π
π
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
(3.66)
21f
TT
c=
+ (3.67)
2m fT c T= (3.68)
Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas
43
2
4 ff
t TS
rα= (3.69)
2
1m f
cS S
c= (3
4 – EQUIVALÊNCIA
.70)
ENTRE MEIO POROSO E
4.1 CONCEITO DE ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO
(EVR)
o poroso. No caso do fluxo
de fluid
meio contínuo no
qual se
ín o
centrado em deve
ter um ta conter
isto é, da matriz sólida e do espaço vazio.
Partindo de um volume em escala microscópica e aumentando
ssivamente o
MEIO FRATURADO
Por definição um meio poroso é uma porção do espaço ocupada por
material heterogêneo ou material multifásico, no qual uma das fases é
representada por um esqueleto sólido ou matriz sólida e a outra (não
ocupada pelo sólido) é um espaço vazio ou espaç
os em meio poroso somente interessa o espaço poroso
interconectado, chamado espaço poroso efetivo.
Para um dado meio poroso é preciso definir um elemento de volume
representativo para que se possa passar da escala microscópica (na qual se
considera o que acontece em cada ponto de uma fase dentro de cada poro
do meio poroso), para uma escala macroscópica, de um
considera o que acontece em termos médios dentro de certo volume
representativo das duas fases: a matriz sólida e o fluido.
Se P é um ponto matemático dentro do dom io do meio por so ele
pode estar dentro da fase sólida ou dentro do espaço vazio. Para ser
representativo do meio, qualquer volume esférico 0V P
manho suficiente para matéria ou massa das duas fases,
progre mesmo para
1V
1 2 ... iV V V< < < , verifica-se que os valores d
razão
a
( ) viVn P = entre a fração de vazio viV contida em iV e o próprio iV
iV
oscilam quenos va 4.1). bastante entre zero e um, para pe lores de (figura iV
Capítulo 4 - Equivalência entre meio poroso e meio fraturado
44
A partir de certo volume mínimo minV as oscilações no valor ( )n P que
ocorrem em escala microscópica alcançam um valor ente
constante que caracteriza
aproximad
a passagem domínio dos efeitos microscópicos
para o
resenta a porosidade (volumétrica)
no ponto . Segue-se dessa de o que o tamanho do EVR é tal que a
soma ou subtração de alg ros do mesmo, não tem influência
significativa no valor da porosida .
am
do
domínio (macroscópico) do meio poroso. A escolha do EVR deve ser
feita de modo que o seu valor fique numa faixa min maxV EVR V< < como
mostrado na figura 4.1.
Diz-se então que a razão ( )n P rep
P finiçã
uns po
de n
Figura 4.1 – Definição de porosidade e elemento de volume representativo (Bear,
1972)
Em meios heterogêneos, quando se usa a homogeneização
estocástica, isto é, quando a porosidade de fraturas é considerada
estatisticamente distribuída no espaço, ela passa a constituir um meio
poroso fictício equivalente. Esse meio, tanto pode ser considerado
isoladamente, isto é, como um meio de porosidade única, quanto pode ser
io superposto ao meio poroso da matriz, dando lugar, neste caso, a um me
de dupla porosidade.
4.2 - RELAÇÃO ENTRE A CONECTIVIDADE E A HIPÓTESE DE
CONTÍNUO MEIO
Capítulo 4 - Equivalência entre meio poroso e meio fraturado
45
Na hidráulica dos meios fraturados a hipótese de meio contínuo
equiv nte la do EVR, ou seja, ela só é válida para
. Em escala de campo é difícil avaliar o EVR.
VALIDADE DA HIPÓTESE DE MEIO POROSO EQUIVALENTE:
i) Como determinar?
ii) Usando índices associados ao sistema fraturado
= índice de conectividade do sistema fraturado
= índice de variabilidade do sistema fraturado (
ale depende da esca
V EVR≥
cI
vI ≡ diferença entre a
rede de fratura e o EVR)
ram estudadas por Guérin &Billaux
1993, através de modelagem numérica estocástica 3D de fraturas discretas.
Os resultados mostram que existe uma relação única entre e
traços de fraturas e dados de
perfi ,
s propriedades
estatística
vkI = índice de variabilidade da permeabilidade
vSyI = índice de variabilidade da porosidade efetiva
As relações entre esses índices fo
c vk
4.2.1 - Índice de conectividade
É o número médio de interseções por fratura, ponderado pelo tamanho
(diâmetro) da fratura. O peso do diâmetro leva em conta o fato de que uma
interseção numa fratura maior contribui mais para a conectividade da rede
do que uma interseção numa fratura menor. Esse índice não varia com a
escala considerada, mas precisa ser computado numa região que
represente adequadamente os tamanhos das fraturas medidas. Se a área
for muito pequena as fraturas maiores podem não ser bem representadas.
Podem ser usados dados de mapas de
I I
lagem de poços bem como dados levantados diretamente em campo,
em afloramentos e em galerias de minas. O índice de conectividade
computado é específico do local levantado.
O cálculo do cI é feito a partir do conhecimento da
s de uma rede de fraturas de disco de Poisson. Ou seja, gerando
um desvio Poisson e efetuando simulação numérica.
Capítulo 4 - Equivalência entre meio poroso e meio fraturado
46
4.2.2 - Índice de variabilidade da permeabilidade
Dadas as propriedades estatísticas de um campo de fraturas, pode-se
computar a permeabilidade desse campo numa dada direção impondo um
gradiente uniforme nessa direção numa rede simulada numericamente e
avaliar a velocidade média induzida. Repetindo esse processo em diferentes
direções pode-se produzir um conjunto de permeabilidades direcionais e
definir o tensor de permeabilidade equivalente como sendo aquele que se
obtém
ço 3D são simuladas regiões esféricas em cujo contorno são
impo s
uniformes de fluxo. O fluxo induzido é registrado em um disco ortogonal ao
gradiente.
O índice de variabilidade da permeabilidade é expresso pela equação
através de um ajuste de mínimos quadrados às permeabilidades
direcionais. Para redes de traços de fraturas no plano o método usa regiões
de fluxo quadradas.
No espa
stas cargas hidráulicas com variação linear para produzir gradiente
( )
( )
2
1
1 2 3 / 3
N
k
N k k k
−
+ +
∑ ku (4.1)
Sendo:
é o número de direções de gradiente consideradas ( )
é o vetor unitário que define a direção i
ii
vkI ==i
N 50≥
iu
é a permeabilidade direcional computada na direção i
é tensor de permeabilidade ajustado pelos mínimos quadrados
ik
k
1 2 3, ,k k k são as principais direções de permeabilidade do tensor
é um erro médio quadrático normalizado [0,1] que decresce quando
to de um
meio poroso.
k
vkI
o comportamento do meio fraturado se aproxima do comportamen
4.2.3 – Índice de Variabilidade da Porosidade Efetiva:
Capítulo 4 - Equivalência entre meio poroso e meio fraturado
47
Para estimar esse índice, adiciona-se à simulação usada para o
cálculo de vkI , uma simulação de transporte de massa. Essa última
simulação usa um algoritmo de acompanhamento de partículas sem
incorporar, todavia, o efeito de dispersividade dentro dos canais. Ou seja:
considera-se apenas o transporte mecânico (advectivo), uma vez que se
deseja conhecer apenas a distribuição espacial da porosidade efetiva ao
fluxo r. Para cada orientação de gradiente essa po osidade é dada pela
expressão:
e
tn q
L∆
=∆
(4.2)
Na
equação (4.2) é a velocidade de Darcy, q t∆ é o tempo médio de
trânsito da s e
pelas partículas, com velocidade média
s partícula L é o comprimento médio do caminho percorrido ∆
/ ev q n= . Para simplificar a notação,
a porosidade efetiva en é substituída pelo símbolo ω nas equações (4.3) e
(4.4).
Admite-se que en ω= é constante e independe da direção do fluxo, de
modo que a supe correspondente às “porosidades direcionais” é
uma esfera. Para ve se o conjunto das p
por uma esfera, define-se um Índice de Variabilidade da Porosidade Efetiva,
rfície 3D
rificar orosidades pode ser ajustado
vI ω da seguinte maneira:
[ ]2N
ω ω−∑ 0 i
(4.3)
Na
é o número de orientações de gradiente consideradas
120/
ivI Nω ω
==
equação (4.3):
N
iω é a porosidade efetiva computada para a direção i
0ω é um alor de referência da porosidad dado por: v e
10
ic
Vω == (4.4)
1( )
N
vol iN ∑
c
Capítulo 4 - Equivalência entre meio poroso e meio fraturado
48
Sendo: o volume da região de fluxo, o número de canais dentro
Da mesma forma que no caso da permeabilidade o índice de
variabilidade da porosidade decresce quando o comportamento da rede de
comportamento de um meio poroso.
5.1 - IN
Do ponto
resposta
geralmente de soluções para problemas
práticos.
água subterrânea, recarga artificial) etc.
as
fraturas ou fissuras (incluindo juntas e falhas), nas rochas ígneas e
metamórficas e até mesmo zonas de dissolução, nas rochas carbonáticas,
V cN
da região de fluxo e ( )vol i o volume do canal i.
fraturas se aproxima do
5 - IDENTIFICAÇÃO DE ZONAS DE FRATURAS
TRODUÇÃO
de vista hidrogeológico é preciso avançar na compreensão da
dos meios fraturados aos diversos tipos de intervenções que
se fazem sobre eles na busca
São, por exemplo, questões ligadas à:
geotécnica (barragens, túneis, minas)
produção de energia (engenharia de petróleo, geotermia)
seguranca ambiental (disposição de resíduos nucleares, injeção
de resíduos perigosos em geral)
produção e conservação de recursos hídricos (explotação de
Na solução desses tipos de problemas a caracterização do domínio 3D
do meio aqüífero fissural, ainda continua desafiando os pesquisadores. Isto
porque a variedade de padrões de fraturamento em um maciço rochoso
pode tornar o domínio hidrogeológico tridimensional tão complexo que
qualquer tentativa de descrevê-lo em detalhe pode ser uma tarefa muito
difícil.
As rochas cristalinas apresentam-se como um meio ou sistema
descontínuo, heterogêneo, formado por blocos rochosos de tamanhos
irregulares, separados por fraturas cuja magnitude pode variar, em escala
macroscópica, de poucos centímetros até quilometros de extensão. Ess
Capítulo 5- Identificação em superfície das zonas de fraturas
49
corta
as de uma
fenda
m os maciços rochosos segundo as mais diversas orientações
espaciais, formando blocos tridimensionais de dimensões e formas
simplesmente imprevisíveis. Elas constituem os espaços vazios onde a água
subterrânea fica armazenada e através dos quais eventualmente circula.
As aberturas desses espaços vazios variam muito, não apen
para outra mas também dentro de uma mesma fratura, a qual pode
exibir pontos de contato entre blocos adjacentes. A presença desses pontos
aumenta a tortuosidade dos espaços vazios e cria perdas de carga
localizadas durante o escoamento da água através das fraturas.
Em escalas mesoscópica e macroscópica, a análise geométrica ou
estrutural, é representada por um conjunto de métodos, usados em estudos
de campo, para estabelecer, além da forma, extensão e arranjo ou estilo de
estruturas em uma área mapeada, a seqüência temporal em que tais
estruturas se desenvolveram. A interpretação é feita com base na hipótese
de que todas as estruturas, de um dado estilo tectônico, pertencem à
mesma seqüência de eventos de deformação (geração). Mas, em áreas
mpre é
possível relacionar, univocamente, estilo e geração. Não obstante, na falta
de m
struturas (Hobbs, et al. 1979).
5.2 - IDEN
De um
escalas de
desarmado,
muito complexas, como acontece no domínio cristalino, nem se
elhores critérios, o estilo tectônico ainda continua sendo a melhor base
para o agrupamento de e
TIFICAÇÃO DE FRATURAS EM DOMÍNIOS 2D
modo geral, segundo Hobbs et al. (op.cit.), distinguem-se três
investigação:
macroscópica, envolvendo corpos rochosos que não podem ser
observados em toda a sua extensão e cuja estrutura somente
pode ser reconstituida a partir de dados levantados em
diferentes pontos;
mesoscópica, aplicável a massas rochosas que podem ser
observadas, em toda a sua extensão a olho
incluindo, portanto, corpos cujo tamanho pode variar desde uma
amostra de rocha até um afloramento;
Capítulo 5- Identificação em superfície das zonas de fraturas
50
microscópica, que analisa estruturas ao microscópio,
examinando, por exemplo, deformações de grãos.
Em uma das mais completas revisões dos conhecimentos sobre as
rochas fraturadas, Jouanna (1993) apresenta um sumário dos métodos e
técnicas de investigação de fraturas, envolvendo domínios bidimensionais
(2D) e tridimensionais (3D). Aqui, são descritos apenas métodos 2D, que
analisam informações obtidas numa superfície de controle do maciço
rochoso (figura 5.1).
Figura 5.1 - Possíveis domínios de investigação 2D de rochas
fratura fissural é
sup
São
Σ1);
postos em taludes naturais
ostas em túneis ou minas (Σ4).
das. A geometria do domínio Γ (3D), do aquífero
osta desconhecida. Modificado de Jouanna (1993)
exemplos de domínios 2D:
Superfícies naturais de afloramentos de rochas (
Superfícies de maciços rochosos ex
ou em cortes de estradas (Σ2);
Superfícies de maciços expostos em trincheiras (Σ3),
Superfícies exp
Capítulo 5- Identificação em superfície das zonas de fraturas
51
Superfícies expostas em poços (Σ5)
Todos esses tipos de superfícies podem ser observados diretamente
em campo emoto, utilizando reflexão e
refra d
métodos de
No ti re em poços (Σ5), a
observ
mente através de imagens de TV.
Os mapeamentos de superfícies fraturadas, dos tipos, (Σ3)e (Σ4)
geralmente são usados para outras finalidades, principalmente em estudos
porte de solutos, para
diverso
de fraturas em campo
campo, no mapeamento geológico, ainda é a mais
fácil e menos onerosa forma de obter informações importantes sobre os
maciços fraturados em afloramentos desprovidos de manto de
ou através de sensoriamento r
ção e ondas eletromagnéticas, ou seja, através dos chamados
teledetecção.
po de superfície fraturada que ocor
ação pode ser feita de duas maneiras:
i) exame de testemunhos da rocha;
ii) através de perfilagens usando sensores sísmicos, ultrassônicos,
ou elétricos, com interpretação de registros gráficos ou
direta
O mapeamento de superfícies (Σ1) e (Σ2) costuma ser utilizado em
praticamente todos os tipos de pesquisa de meios fraturados, devido à
facilidade de acesso às mesmas. Na locação de poços, por exemplo, é
prática usual investigar-se, tão somente, esses dois tipos de superfícies
fraturadas.
de detalhe associados com problemas de trans
s fins (por exemplo, identificação e controle de plumas de poluição;
identificação de locais apropriados para armazenamento de resíduos
perigosos, etc).
5.2.1 -Mapeamento
As exposições naturais de rochas (Σ1) são superfícies nas quais a
visibilidade das fraturas pode, muitas vezes, ser afetada pela cobertura
vegetal ou pelo manto de intemperismo. Por isso, as melhores observações
são sempre feitas em taludes (Σ2), trincheiras (Σ3), túneis, galerias ou
shafts de minas (Σ4).
A observação de
Capítulo 5- Identificação em superfície das zonas de fraturas
52
intem
ergulhos.
om o desenvolvimento tecnológico, estão surgindo métodos
constituem em meios cada vez mais rápidos para caracterização de redes
de fr
e
flexão eletromagnética, cuja capacidade de resolução tem produzido
es fraturadas (Jouanna,
1993). Os procedimentos mais usuais nesse tipo de mapeamento, todavia,
utiliz
5.2.3 - Mapeamento de fraturas em poços
as procuram evidenciar, sobretudo, as
descontinuidades (juntas, falhas, etc), muito mais do que a própria rocha
ou das suas fraturas. Essas técnicas, usadas
principalmente na pesquisa de petróleo, além das clássicas perfilagens
geofís
agens:
perismo ou em superfícies criadas artificialmente. Em tais sítios o
geólogo pode observar, tanto a olho desarmado quanto com o auxílio de
lupa, as aberturas e os comprimentos das fraturas bem como as suas
direções e m
C
topográficos que, com a ajuda de taqueômetros computadorizados, se
aturas.
5.2.2 - Mapeamento de fraturas por sensoriamento remoto
Nos últimos anos grandes progressos foram alcançados nas técnicas
2D de observação da superfície da terra, através de métodos de emissão
re
resultados surpreendentes no mapeamento de regiõ
am imagens de satélite, imagens de radar e aerofotos convencionais.
A perfuração de um poço permite acessar facilmente o ambiente
fraturado, na medida em que dá origem, em profundidade, a uma superfície
de controle (Σ5) do maciço rochoso.
Nas observações de interesse para o estudo do fluxo de água
subterrânea, as técnicas usad
os preenchimentos
icas, costumam envolver:
Testemunh
Capítulo 5- Identificação em superfície das zonas de fraturas
53
A testemunhagem litológica permite detectar, visualizar e medir as
descontinuidades que interceptam a parede do poço. Em alguns
estudos especiais chega a ser feita de forma contínua.
Imagens:
Representam hoje outra alternativa de visualização das paredes do
ura das fendas. São
utiliz
exemplo
dos mes
Entre os
a geometria 3D
ii)
ância da formação
(Lloyd et al., 1986; Cull, 1988; Burke, 1989;
iii) MFP, máquinas fotográficas de poço, cujas imagens de alta
resolução, permitem até mesmo observar a dilatação de uma
fratura durante e após um teste hidráulico.
poço, permitindo medir a orientação e abert
adas, sobretudo, em estudos específicos, para detectar, por
, problemas construtivos de poços e auxiliar na recuperação
mos.
tipos usados de imagens, incluem-se:
i) BHTV "borehole televiewer" (Zemanek et al., 1970; Rambow,
1984; Dreesen, 1986). A análise das imagens é feita através
de programas de computador que reproduzem
do poço e medem a orientação e abertura das fraturas.
FMS, "formation microscanner" ou microvarredura da
formação, baseada em medidas de condut
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 54 6 - ANÁLISE DE TESTES DE BOMBEAMENTO EM
MEIO HETEROGÊNEO
6.1 - Dificuldades e divergências de interpretação
Os reservatórios das rochas fraturadas, em virtude das diferenças de
comportamento que apresentam em relação aos aqüíferos sedimentares,
podem ser tratados como condutores hidráulicos. O fraturamento das
rochas cria blocos de dimensões muito diversas. A diferença entre as
propriedades hidromecânicas das fraturas e dos blocos cria um meio
heterogêneo fraturado que responde às influências externas
(bombeamento, por exemplo), de uma maneira muito diferente dos meios
homogêneos.
A permeabilidade e a difusividade hidráulica fk fδ das fraturas
possuem magnitudes muito maiores do que a permeabilidade e a
difusividade
bk
bδ dos blocos porosos.
As respostas a bombeamentos, observadas em campo em condutores
hidráulicos mostram que os meios fraturados podem exibir comportamentos
muito distintos. Ora semelhantes aos dos meios porosos granulares, ora
completamente diferentes. Alguns comportamentos observados são os
seguintes:
Evidência de comunicação hidráulica revelada por uma resposta
quase instantânea ao bombeamento, entre poços relativamente
distantes uns dos outros, indicando que os poços estão no
mesmo condutor hidráulico e que o meio se comporta como
contínuo.
Observação de rebaixamento maior em poços de observação
mais distantes do que em poços de observação mais próximos do
poço bombeado, caracterizando uma descontinuidade do meio
fraturado.
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 55
No cristalino do Nordeste do Brasil a tendência de queda da
vazão bombeada com o tempo, observada na maioria dos poços,
sugere que o condutor hidráulico associado com o poço
bombeado tem extensão limitada, o que leva o nível dinâmico a
atingir o crivo da bomba.
As curvas ilustradas nas figuras 1a - 1j, de variação da
capacidade especifica fractal1 com o tempo, sugerem que a
resposta do condutor hidráulico ao bombeamento não se ajustam
a nenhuma tendência previsível de produção sustentável.
1 10 100 1000
Tempo (minutos)
0.01
0.1
1
10
Vazã
o es
pecí
fica
(m3 /h
.m)
1 10 100 1000
Tempo (minutos)
0.1
1
10
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
(m
3 / h.
m)
a b
1 10 100 1000Tempo ( minutos )
0.01
0.1
1
10
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
1 10 100 1000Tempo ( minutos )
0.1
1
10
100
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
0.1 1 10Horas
c d
1 Capacidade específica para vazão constante de dimensão [LD+2/T]
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 56
1 10 100 1000Tempo ( minutos )
0.1
1
10
100C
apac
idad
e es
pecí
fica
fract
al (
m3 /
h.m
)0.1 1 10Horas
1 10 100 1000 10000
Tempo ( minutos )
0.01
0.1
1
10
100
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
0.1 1 10 100 Horas
e f
1 10 100 1000Tempo ( minutos )
0.01
0.1
1
10
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
0.1 1 10Horas
1 10 100 1000
Tempo ( minutos )
0.1
1
10
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
1 1Horas 0
g h
1 10 100 1000 10000Tempo ( minutos )
0.1
1
10
100
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
0.1 1 10 100 Horas
1 10 100 1000 10000
Tempo ( minutos )
0.1
1
10
100
Cap
acid
ade
espe
cífic
a fra
ctal
( m
3 / h.
m )
0.1 1 10 100 Horas
i j
Figura 6.1 – Curvas de variação da capacidade específica fractal com o
tempo em testes de produção de poços no cristalino do Ceará (granito da
Serra da Mecuoca).
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 57 6.2 – Análise de testes pelo método da capacidade específica
fractal (Manoel Filho 1996) com o Modelo de Boulton &
Streltsova (1977)
Se a vazão de teste em meio fraturado não é constante, os passos para
o cálculo dos parâmetros hidráulicos são os seguintes:
i. Construir a curva de capacidade específica y, versus
rebaixamento s, em coordenadas bilogarítmicas e ajustar à
mesma uma lei de potência do tipo * * dy Q s−= , para obter a
capacidade específica fractal, função temporal dos parâmetros d
(dimensão fractal do fluxo) e Q* (descarga fractal constante).
ii. Construir a curva de variação da capacidade específica fractal
com o tempo (ou do rebaixamento fractal com o tempo), em
gráfico bilogarítmico , fazendo a superposição da mesma com
uma das curvas da família de curvas-padrão de Boulton (figuras
6.2a -6.2c).
iii. A integral infinita da equação (3.36) é simbolicamente
representada pela função ( , , / )W r Bθ η , e o rebaixamento na
fissura é expresso por:
** ( , ,
4ff
Q/ )s W r
Tθ η
π= B (6.1)
6.2.1 - Cálculo dos parâmetros hidráulicos
6.2.1.1 - Curvas de rebaixamento
Substituindo a capacidade específica fractal em (6.1), obtém-se *y
Transmissividade *
( , , )4f
yT W rθ η
π= B (6.2)
Difusividade2 δθ
= =TS
rt
f
f
2
4 (6.3)
Armazenamento nas fraturas S Trf f= ×1
2δ (6.4)
2 O modelo admite que o raio do poço é desprezível. Para fins de cálculo, considera-se uma distância r = 1 m como representativa das proximidades imediatas do poço.
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 58
Armazenamento na matriz S Sm f= −( )η 1 (6.5)
Abertura média das fraturas ( a )
A abertura média das fraturas é dada pela expressão:
a Tgf=
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
12 1 3ν
/
(6.6)
Condutividade hidráulica ( )Kf
A condutividade hidráulica das fraturas é obtida dividindo-se a
transmissividade pela abertura média das fraturas, ou seja, através da
relação:
KTaf
f= (6.7)
Permeabilidade
A permeabilidade das fraturas é obtida da relação:
k Kgf f=ν
(6.8)
Porosidade do condutor hidráulico ( n )
A porosidade do condutor hidráulico, é obtida de uma relação entre
superfícies, a saber: área de vazios e área total da superfície de controle.
nr ar h
ah
w
w i i=
22
=ππ
(6.9)
6.2.1.2 - Curvas de recuperação
A descarga fractal Q* reflete um regime de fluxo de dimensão D
rigorosamente constante. Isto permite definir uma capacidade específica
fractal de recuperação , de modo que a transmissividade do condutor
hidráulico na recuperação é dada pela equação:
*y ′
[1 14y T
W t W tf
b′= − ′
*( ) ( )
π θ θ ] (6.10)
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 59
0.10 1.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00θ
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
W
η = 10
= 4Tt / r²S
W = 4 Ts / Q
θ
π 0.05
r/B
W( )θ
0.2
0.5
1.0
2.03.0
W( )θ′
Figura 6.2a - Curvas padrão de Boulton (1963) em coordenadas mono-log para a
função do rebaixamento em um poço em meio fraturado [Equação (3.36)]. para η
=10.
0.01 0.10 1.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00θ
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
W
η = 100
θ = 4Tt / r²S
W = 4 Ts / Qπ
r/B
2.03.0
1.0
0.5
0.2
0.05
W( )θ
W( )θ′
Figura 6.2b - Curvas padrão de Boulton (1963) em coordenadas mono-log para a
função do rebaixamento em um poço em meio fraturado [Equação (3.36)] para η
=100.
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 60
0.001 0.01 0.1 1 10 100 1E+3 1E+4θ
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
W
η = 1000
= 4Tt / r²S
W = 4 Ts / Qπ
θ
0.5
1.0
2.03.0
0.2
r/B
0.05
W( )θ
W( )θ′
Figura 6.2c - Curvas padrão de Boulton (1963) em coordenadas mono-log para a
função do rebaixamento em um poço em meio fraturado [Equação (3.36)] para η
=1000.
6.2.2 - Gráficos Ilustrativos de Resultados
Foram selecionados gráficos de testes realizados em meio
heterogêneo, em três diferentes litologias e três diferentes subprovíncias
hidrogeológicas, a saber:
meta-calcário do Grupo Salitre (Bambuí), na subprovíncia
Coberturas Carbonáticas São Francisco (52), conforme figura
6.3.
quartzito da Formação Morro do Chapéu, na subprovíncia
Coberturas Clásticas São Francisco (51), conforme figura 6.4.
gnaisse do maciço Rio Piranhas, na subprovíncia Escudo Oriental
Nordeste (61), conforme figura 6.5.
Convém alertar que a boa superposição observada entre os dados de
campo e as curvas teóricas nas figuras 6.3 a 6.5, possivelmente não se
manterá para tempos mais longos.
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 61
0.1 1 10 100 1000 10000 , t , tb/t'
0.001
0.01
0.1
1
10
100
W ,
s , s
'
θ
31.68 <= Q <=26.40 m3/h 22.60 <= Q <=14.40 Q = 10.50
4752000801RebaixamentoRecuperação
Figura 6.3 - Curvas de rebaixamento e recuperação de teste de produção em meta-
calcário, na subprovíncia Coberturas Carbonáticas São Francisco (52) superpostas
às curvas padrão da função W1 (Boulton 1963).
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000, t , tb/t'
0.00
0.00
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
W ,
s , s
'
θ
4751001401
Rebaixamento Recuperação
Figura 6.4 -Curvas de rebaixamento e recuperação de teste de produção em
quartzito, na subprovíncia Coberturas Clásticas São Francisco (51) superpostas às
curvas padrão da função W2 (Boulton, 1963).
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 62
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
t , tb/t'
0.01
0.10
1.00
10.00
W ,
s , s
'
0.01 0.1 1 10 100 1000 10000
Rebaixamento Recuperação
θ ,
3761002901
Figura 6.5 - Curvas de rebaixamento e recuperação de teste de produção em
gnaisse, na subprovíncia Escudo Oriental Nordeste (61) superpostas às curvas
padrão da função W3 de Boulton (1963).
6.3 - Propriedades Fractais de Dados de Poços
6.3.1 - Auto-Afinidade dos Testes de Produção
Revendo os trabalhos publicados no período de 1974-1994 sobre
testes de campo e de laboratório, conduzidos em uma única fratura aberta,
Atkinson et al. 1994 confirmaram que a evolução do rebaixamento no poço
em função da vazão pode ser bem aproximada pela equação de Rorabaugh
(1953):
ns BQ CQ= + (6.11)
que possui equação dimensional
[ ]3 3
2 3( 1)
n n
n
T L T LL
TL L −
⎡ ⎤ ⎡= × + ×⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣nT
⎤⎥⎦ (6.12)
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 63
]
e na qual, para um certo tempo , os coeficientes B e C são supostos
constantes e n varia tipicamente entre 2 e 3. Mais precisamente:
bt
Q = descarga constante bombeada [L3/T]
s = rebaixamento no poço ou perda de carga total no poço [L]
B = coeficiente de perda laminar [T/L2]
C = coeficiente de perda turbulenta 3( -1)[ /n nT L
Normalmente, no domínio das rochas cristalinas da região semi-árida
do Nordeste do Brasil, mesmo para curtos períodos de tempo, é muito difícil
realizar um teste de bombeamento com vazão constante. Por via de regra
os testes apresentam vazões com tendência de decaimento (figura 6.6), o
que invalida o uso dos métodos tradicionais de estimativa dos parâmetros
físicos do meio.
Considere-se agora um teste de produção em duas etapas de
bombeamento, realizadas com vazões fractais constantes equivalentes
1 2* , *Q Q 2 /dL T+⎡⎣ ⎤⎦ 2de dimensões respectivamente, produzindo
rebaixamentos fractais
1 ,d d
1 2* , *s s dL⎡ ⎤⎣ ⎦ .
1 10 100 1000Tempo ( minutos )
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Vazã
o bo
mbe
ada
( m
3/h
)
a) Teste 35610001 - etapa 1 GRANITO
1 10 100 1000Tempo (minutos)
6
7
8
9
10
11
Vazã
o bo
mbe
ada
m3/
h
b) Teste 99610001 - etapa 1 - BASALTO
Figura 6.6 – Exemplos de curvas de variação de descarga com o tempo durante
testes de bombeamento em poços perfurados em rochas cristalinas do Nordeste do
Brasil. a) Granito Meruoca – CE; b) Basalto de Fernando de Noronha.
O problema da variabilidade da descarga pode ser superado usando a
lei de potência (95), característica da capacidade específica fractal, através
da qual obtém-se uma descarga fractal constante Q* de dimensão [ ] 2 1dL T+ −
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 64 (Manoel Filho 1996). Neste caso, verifica-se que a expressão
correspondente da equação de Rorabaugh (6.11), para um fluxo constante
de dimensão fractal, seria:
( )* * *s BQ C Q α= + (6.13)
com equação dimensional
( )( )( 2)( 2)
2 ( 1)2 ( 2)
ddd
d
LT L TL
TL TL L
αα
α α
++
−+
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎡ ⎤ = × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎥ (6.14)
e com parâmetros:
Q* = vazão fractal constante equivalente [Ld+2/T]
s* = rebaixamento fractal equivalente [Ld]
D = dimensão fractal do fluxo d
B = coeficiente da perda fractal ( )*BQ laminar equivalente [T/L2]
C = coeficiente da perda fractal turbulenta equivalente ( 2) /dL Tα+⎡ ⎤⎣ ⎦
Explicitamente, a equação (6.14) para o rebaixamento fractal
transiente discreto pode ser escrita:
* * (t t ts B Q C Q*)α= + (6.15)
ou ainda ( 1)*( *)
*t
t t
sB C Q
Qα −= +
(6.16)
Em (6.16) os dois coeficientes t desconhecidos, podem ser
determinados solucionando o sistema (99), fazendo, em primeira
aproximação,
e tB C
1 2
2d d
α+
= :
1
2
*1 1
*2 2
*
*
dt t
dt t
1
2
s B Q C Q
s B Q C Q
α
α
= +
= + (6.17)
Dois exemplos mostrando o comportamento do sinal dos coeficientes
com o tempo são ilustrados na figura 6.7. e tB Ct
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 65
1 10 100 1000Tempo (minutos)
-40
0
40
-20
20
60
-60
[1/y* - B(t)]Q*
C(t)Q*
Etapa 1 2
Q* D α1.0199 1.2003 1.11141.5023 1.0277
a) Teste 35610001- GRANITO
α
B(t)
e C
(t)
1.00 10.00 100.00 1000.00Tempo (minutos)
-120
-80
-40
0
40
80
120C
B
b) Teste 35610003 - 2 etapas - GRANITO
Figura 6.7 – Comportamento do sinal dos coeficientes t das componentes do
rebaixamento fractal com o tempo em testes de produção realizados no granito
Meruoca, Sobral-CE.
e tB C
Da equação (6.16), usando a equação (6.11), obtém-se, em função da
capacidade específica fractal:
( 1)1*
* t tt
B C Qy
α −⎡ ⎤− =⎢ ⎥
⎣ ⎦ (6.18)
ou finalmente, usando a descarga fractal constante como fator de escala *Q
1* ( *
* t tt
B Q C Qy
)α⎡ ⎤
− =⎢ ⎥⎣ ⎦
(6.19)
A equação (6.20) é da forma: 1 2( ) * ( ) *g t Q g t Q α=
(6.20)
sendo 2 21 2( ) e ( ) ( )dg t T L g t T L L α+ −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣
2 1⎤⎦ duas séries temporais representando os
coeficientes das perdas fractais do poço, associadas respectivamente com o
fluxo “laminar” e com o fluxo turbulento.
Neste ponto vale lembrar que duas séries temporais são ditas
fractais auto-afins, e possuem as mesmas propriedades estatísticas, se
obedecerem à relação (Turcotte, 1992):
1 2( ) e ( )x t x t
1 2( ) ( ) Hx t r x t r= (6.21)
na qual r é um fator de escala e H é a medida de Hausdorff. Comparando as
equações (102) e (103) conclui-se que os testes de produção em meio
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 66
t
fraturado exibem propriedades fractais (ou seja, são fractais auto-afins,
característicos de meios anisotrópicos). Isto significa que, no espaço
bidimensional dos coeficientes , a função é
estatisticamente similar a , e
e tB C *, ( *)t tf B Q C Q α⎡ ⎤⎣ ⎦
( , )t tf B C α é a medida de Hausdorff, a ser
determinada através de análise espectral.
Ainda segundo (Turcotte, op. cit.) uma condição necessária para que
uma função seja um fractal auto-afin é que ( )x t
( ) ( )( )H
x t x tprob x F x
ττ
+ −⎡ ⎤′ ′< =⎢⎣ ⎦⎥
1
(6.22)
Em (105) é a distribuição normal e assim os valores de possuem
uma distribuição Gaussiana que independe do valor de H. Se os valores
discretos de fossem pontos aleatórios sem nenhuma correlação entre sí,
o valor esperado de H seria nulo (ruído branco). Pela equação (6.23) se
então os valores de são pontos aleatórios, mas correlatos com
os valores adjacentes (ruído Browniano). Para um ruído Browniano, .
Um ruído Browniano é análogo a um deslocamento aleatório (“random
walk”), e pode ser gerado por um processo iterativo do tipo: 1) olhe para o
leste e lance uma moeda; 2) cara, dê um passo à direita (sul); 3) coroa, dê
um passo à esquerda (norte); 4) dê um passo para oeste e repita o
processo.
( )F x ( )x t
( )x t
0 H< < ( )x t
1/ 2H =
A figura 6.8 ilustra a distribuição de freqüência das funções
1
1( ) e ( )
* tt
2 tg t B g ty
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
⎣ ⎦C , mostrando que elas apresentam as mesmas
propriedades estatísticas.
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 67
15 20 25 30 35 40g1(t)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00Fr
eqüê
ncia
acu
mul
ada
a) Teste 35610001: Etapas 1-2 GRANITO
12 16 20 24 28 32 36
g2(t)
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
Freq
üênc
ia a
cum
ulad
a
b)Teste 35610001: Etapas 1-2 GRANITO
Figura 6.8 – Distribuição Gaussiana ajustada aos valores das funções
1
1( ) e ( )
* tt
2 tg t B g ty
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
⎣ ⎦C para um teste de produção em duas etapas em poço
perfurado no granito Meruoca, Sobral-CE.
6.3.1.1 - Cálculo da dimensão espectral e da medida de Hausdorff
Os fractais auto-afins são geralmente tratados usando técnicas
espectrais (ver por exemplo Press et al,1986) aplicadas a uma série
temporal que é aleatória e possui um dado espectro. Essa função pode ser
expressa no domínio físico como ou no domínio da freqüência f, em
termos da amplitude
( )x t
( , )X f T sendo T o intervalo de tempo da série temporal.
A quantidade ( , )X f T é geralmente um número complexo que indica a fase do
sinal. A amplitude, no domínio da freqüência é obtida usando a
transformada de Fourier de no intervalo ( )x t 0 t T< < , dada por:
0
( , ) ( )exp(2 )T
X f T x t ift dtπ= ∫ (6.23)
sendo 1i = − . A densidade de potência espectral de é definida por ( )x t
21( ) ( , )S f X f T
T= (6.24)
no limite quando T . O produto é a potência na série temporal,
associada com a faixa de freqüência entre
→ ∞ ( )S f df
e f f df+ .
Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 68
Para uma série temporal que é fractal a densidade de potência
espectral, em função da freqüência f, segue uma lei de potência do tipo ( )S f
( )S f f β−∝ (6.25)
conforme se vê na figura 6.8. As relações entre β, e DH (dimensão fractal
independente de escala) são obtidas da relação:
2 1 5 2H Dβ = + = − (6.26)
0.001 0.01 0.1 1Freqüência f da função g1(t)
0.1
1
10
100
1000
10000
Den
sida
de d
e po
tênc
ia e
spec
tral S
(f) β = 2.27973
S(f) = 0.03060004 f-2.27973
a)Teste 35610004 - etapas 1-2 - GRANITO
β = 2.37676
S(f) = 0.016574 f-2.37676
0.001 0.01 0.1 1Freqüência f da função g2(t)
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
Den
sida
de d
e po
tênc
ia e
spec
tral S
(f)
b) Teste 35610004 - etapas 1-2 - GRANITO
Figura 6.9 – Densidade de potência espectral em função da freqüência para as
funções 1
1( ) e ( )
* tt
2 tg t B g ty
⎡ ⎤= − =⎢ ⎥
⎣ ⎦C correspondentes a um teste de produção em
poço perfurado no granito Meruoca, Sobral-CE.
Os gráficos da figura 6.8, avaliados com os dados da primeira e
segunda etapa do teste de produção em três etapas realizado no poço
35610004 (Poço Jordão nº 4 ) mostram que o valor esperado para o
expoente β é o seu valor médio 2,33β = . Com esse valor, a medida de
Hausdorff (equação 6.26) é 0,67H = e a dimensão fractal invariante de
escala . Este valor confirma resultados de Barton 2001, segundo os
quais a reconstrução da história de uma fratura em um ponto de
conectividade inicial (poço) através de uma rede de percolação tem
dimensão fractal de 1,35.
1,34D =
Capítulo 7 –Referências bibliográficas 69
7 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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