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Sección 2.5
Gráficas de Funciones –
Transformaciones en el plano
Funciones Pares e Impares
Las funciones se clasifican como pares o
impares dependiendo del tipo de simetría
que reflejan sus gráficas.
Terminología Definición Ejemplo Tipo de simetría
f es una función par f(-x) = f(x) para todo x
en el dominio de la
función
f(x) = x2
con respecto al eje de
y
f es una función impar f(-x) = - f(x) para todo
x en el dominio de la
función
f(x) = x3
con respecto al origen
Ejemplos Determinar si cada función es par, impar o ninguno.
a) Si f(x) = 3x4 – 2x2 + 5 ,
f(–x) = 3(–x)4 – 2(–x)2 + 5
f(-x) = 3x4 – 2x2 + 5 = f(x)
por lo tanto, f, es una función par.
b) Si f(x) = 2x5 – 7x3 + 4x
f(–x) = 2(–x)5 – 7(–x)3 + 4(–x)
f(–x) = –2x5 + 7x3 – 4x = –f(x) ,
por lo tanto, f es una función impar.
Ejemplo (cont.)
c) Si f(x) = x3 + x2 , entonces
d) Si f(x) = |x| entonces
Desplazamiento Vertical
Funciones que se forman sumando o
restando un valor real positivo c a otra
función pertenecen a una misma
“familia”
h(x)= f(x) + c
h(x)= f(x) – c
Cada h(x) es un desplazamiento vertical
de c unidades de la gráfica de y = f(x) .
Desplazamiento Vertical (cont)
Ejemplo He aquí la gráfica de
f(x) = x2 ,
junto a la gráfica de…
g(x) = x2 + 4 and
h(x) = x2 – 4 .
En notación de funciones,
los desplazamientos
verticales de f(x):
g(x) = f(x) + 4
h(x) = f(x) – 4
Ejemplo (cont)
Si f(x) tiene las
siguientes
transformaciones
g(x) = f(x) + 4
h(x) = f(x) – 4
La notación nos indica
que si:
(2,4) pertenece a f(x)
(2,8) pertenece a g(x)
(2,0) pertenece a h(x)
Ejemplo
Sea g(x) = f(x) - 7 , si (4, -5) y (-2, 10) pertenecen a la gráfica de f, ¿cuál es la transformación de estos puntos para g? Solución:
Desplazamiento Horizontal Funciones que se forman de la siguiente
forma
g(x) = f(x – c)
h(x) = f(x + c)
se llaman desplazamientos horizontales
de la gráfica de y = f(x) .
Tomen nota de la dirección del
desplazamiento según se observa en la
siguiente ilustración:
Ejemplo He aquí la gráfica de
f(x) = x2 ,
junto a las de …
g(x) =f(x – 4)=(x – 4)2 ;
h(x) =f(x+2)=(x + 2)2 .
Si (𝟑, 𝟗) ∈ 𝒇(𝒙)
(𝟕, 𝟗) ∈ 𝒈(𝒙)=(x – 4)2
(𝟏, 𝟗) ∈ 𝒉(𝒙) =(x + 2)2 Los desplazamientos verticales y
horizontales se conocen como traslaciones.
Desplazamiento horizontal(cont)
Práctica Trace la gráfica de
g(x) = (𝒙 − 𝟐)𝟐+𝟏
De la ecuación observamos
que la gráfica de f(x) = x2 se
ha trasladado 2 unidades
hacia la derecha y 1 unidad
hacia arriba.
Cada punto de la gráfica
sufre la siguiente
transformación:
(x,y) (x +2, y+1)
Reflexión Dada la gráfica de
y = f(x) , la gráfica de
y = – f(x)
se construye reflejando la gráfica
de f(x) sobre el eje-de-x.
Dado f(x) = x2 construimos
g(x)=-f(x) tomando cada punto,
dejando la abscisa igual y
cambiando el signo de la
ordenada
Si 𝟐, 𝟒 ∈ 𝒇 𝒙 ,
𝟐,−𝟒 ∈ −𝒇(𝒙)
Práctica Sea f el segmento de
recta que pasa por los
puntos (-3, 1) y (2, 4).
Esboce la gráfica de:
-f(x)
f(x + 1)
-f(x + 1)
Estiramiento y compresión vertical
Dado y = f(x) , si se construye una nueva
función
g(x) = cf(x) cuando c > 1 ; ó
g(x) = cf(x) cuando 0 < c < 1 .
entonces, la función nueva será un
estiramiento vertical o una compresión
vertical de la gráfica de y = f(x) .
Estiramiento y compresión vertical
Un estiramiento vertical es un
estiramiento de la gráfica alejándose del
eje de x.
g(x) = cf(x) when c > 1
Una compresión vertical es un
encogimiento de la gráfica hacia del eje de
x.
g(x) = cf(x) when 0 < c < 1 .
Estiramiento y compresión vertical
Ejemplo
Aquí se muestra
f(x) = x2 ,
junto a las gráficas de
f(x) = 4x2
𝒇 𝒙 = 𝟏
𝟒𝒙𝟐
Ejemplo Aquí se muestran las
tablas de valores de las
3 funciones
Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,4y)
Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,𝒚
𝟒)
Ejemplo
Aquí se muestra
f(x) = x3 ,
junto a las gráficas
de
f(x) = 5x3
𝒇 𝒙 = 𝟎. 𝟏 𝒙𝟑
Ejemplo Aquí se muestran las
tablas de valores de las
3 funciones
Cada punto de g(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,5y)
Cada punto de h(x) sufre la siguiente transformación: (x,y)(x,𝒚
𝟏𝟎)
Estiramiento y compresión horizontal
Dado y = f(x) , si se construye una nueva
función
g(x) = f(cx) cuando c > 1 ; ó
g(x) = f(cx) cuando 0 < c < 1 .
Entonces, la función nueva será un
estiramiento o una compresión
horizontal de la gráfica de y = f(x) .
Compresión horizontal
Estiramiento horizontal
Ejemplo
v(x) = x3 - 4x La ecuación cuya gráfica es
una traslación 2 unidades
hacia arriba de v(x):
w(x) = x3 - 4x + 2
…una traslación 3 unidades
hacia abajo de v(x)
w(x) = x3 - 4x - 3
…una traslación 4 unidades
hacia la derecha de v(x)
w(x) = (x-4)3 - 4(x-4)
Ejemplo
v(x) = x3 - 4x Estirar verticalmente por un
factor de
w(x) = 2(x3 - 4x) = 2x3 - 8x
Comprimir v(x) horizontalmente
por un factor de 3
w(x) = (3x)3 - 4(3x) = 27x3 - 12x
Reflejar sobre el eje de x:
w(x) = -(x3 – 4x)
Funciones definidas por partes
A veces más de una expresión se necesita
para definir una función.
Tales funciones se conocen como funciones
definidas por partes.
Por ejemplo, la siguiente función, f, se
define usando tres expresiones diferentes:
Funciones definidas por partes (cont.)
Notar que la gráfica pasa la prueba de
la línea vertical.
Para 𝒙 ≤ −𝟏, la gráfica de f coincide
con la gráfica de y = 2x + 5. Evaluamos
esta ecuación para dos puntos en los
cuales la x es menor que 1.
Para −𝟏 < 𝒙 < 𝟏, , la gráfica de f
coincide con la gráfica de 𝒚 = 𝒙𝟐.
Evaluamos esta ecuación para algunos
puntos en los cuales la x está entre -1 y
1.
Para 𝒙 ≥ 𝟏, la gráfica de f coincide con
la gráfica de y = 2. Para cualquier x
mayor que uno el valor de la y es 2.
Funciones definidas por partes (cont.)
Para f(x) definida como
se muestra a la derecha,
hallar f(-5), f(2) y f(4).
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒊 𝒙 ≤ −𝟏𝟒, 𝒔𝒊 − 𝟏 < 𝒙 < 𝟑−𝒙 + 𝟒, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟑
Ejemplo
Para f(x) definida como
se muestra a la derecha,
hallar f(-5), f(2) y f(4).
Grafique la función.
Ejemplo (cont.)
Para la gráfica
necesitamos dos
puntos de referencia en
cada recta
x f(x)
-5
-3
-2
2
3
4
3
3
3
-1
-4
-4
Ejemplo (cont.)
Hallar el dominio y el
alcance de f(x)
Ejemplo de Valor Absoluto Trazar la gráfica de f(x) = |2x – 3|
Note que 𝟐𝐱 − 𝟑 es
no-negativo para 𝐱 ≥𝟑
𝟐 ,
por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = 𝟐𝐱 − 𝟑. Evaluemos y = 𝟐𝐱 − 𝟑, para algunos valores:
0
1
2
3
4
5
6
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y 0 1 2 3 4 5
Ejemplo (cont.) Debemos determinar para cuales valores y = 𝟐𝐱 − 𝟑, es
negativo: 𝟐𝐱 − 𝟑 es negativo
para 𝐱 <𝟑
𝟐, por
lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = − 𝟐𝐱 − 𝟑 . Evaluemos y = −(𝟐𝐱 − 𝟑), para algunos valores:
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x 1.4 1.25 1 0.75 0.5
y 0.2 0.5 1 1.5 2
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