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Grundwissen und Grundkoumlnnen ndash
Basiskompetenzen
Prof Dr Regina Bruder
Technische Universitaumlt Darmstadt
wwwmath-learningcom
2692013 Fuldatal Fachleitertagung
bdquoDu fragst mich welches das Maszlig
des Reichtums sei
Fuumlrs erste zu haben was noumltig ist
naumlchst dem was genug istldquo
(Seneca in seinen Briefen an Lucilius)
bdquoVorwissen ndash nicht etwa Motivation Intelligenz oder Lernstrategien ndash ist nach den Befunden psychologischer Forschung zweifelsfrei der bedeutsamste Einzelfaktor fuumlr das Zustandekommen von Problemloumlse- und Lernleistungenldquo (Renkl 2008)
Problemsicht
extrem hohe Zahl von
Studienabbrecherinnen und -abbrechern in den MINT-Studienfaumlchern
raquoBewerber scheitern vielfach an der Aufgabe die Flaumlche eines Rechtecks mit den Kantenlaumlngen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnenlaquo
Die Taschenrechner sind schuld
Klagen uumlber fehlendes
mathematisches Grundkoumlnnen
(IHK Hochschulen)
Projekt bdquoNotstand in Mathematikldquo
der IHK Braunschweig
( April 2010)
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63
Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU
Einstiege Voraussetzungen
Algebraische
Aspekte
Anwendungen
Geometrische
Aspekte
Anwendungen
Was kommt dann Weiterungen
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
bdquoVorwissen ndash nicht etwa Motivation Intelligenz oder Lernstrategien ndash ist nach den Befunden psychologischer Forschung zweifelsfrei der bedeutsamste Einzelfaktor fuumlr das Zustandekommen von Problemloumlse- und Lernleistungenldquo (Renkl 2008)
Problemsicht
extrem hohe Zahl von
Studienabbrecherinnen und -abbrechern in den MINT-Studienfaumlchern
raquoBewerber scheitern vielfach an der Aufgabe die Flaumlche eines Rechtecks mit den Kantenlaumlngen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnenlaquo
Die Taschenrechner sind schuld
Klagen uumlber fehlendes
mathematisches Grundkoumlnnen
(IHK Hochschulen)
Projekt bdquoNotstand in Mathematikldquo
der IHK Braunschweig
( April 2010)
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63
Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU
Einstiege Voraussetzungen
Algebraische
Aspekte
Anwendungen
Geometrische
Aspekte
Anwendungen
Was kommt dann Weiterungen
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Problemsicht
extrem hohe Zahl von
Studienabbrecherinnen und -abbrechern in den MINT-Studienfaumlchern
raquoBewerber scheitern vielfach an der Aufgabe die Flaumlche eines Rechtecks mit den Kantenlaumlngen 50 mal 70 Zentimetern zu berechnenlaquo
Die Taschenrechner sind schuld
Klagen uumlber fehlendes
mathematisches Grundkoumlnnen
(IHK Hochschulen)
Projekt bdquoNotstand in Mathematikldquo
der IHK Braunschweig
( April 2010)
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63
Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU
Einstiege Voraussetzungen
Algebraische
Aspekte
Anwendungen
Geometrische
Aspekte
Anwendungen
Was kommt dann Weiterungen
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63
Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU
Einstiege Voraussetzungen
Algebraische
Aspekte
Anwendungen
Geometrische
Aspekte
Anwendungen
Was kommt dann Weiterungen
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Quelle Lehrerhandreichung CAliMERO Bd2 Tsup32008S63
Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU
Einstiege Voraussetzungen
Algebraische
Aspekte
Anwendungen
Geometrische
Aspekte
Anwendungen
Was kommt dann Weiterungen
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Was ist wesentlich Horizontale Vernetzung mit semantischen Netzen im MU
Einstiege Voraussetzungen
Algebraische
Aspekte
Anwendungen
Geometrische
Aspekte
Anwendungen
Was kommt dann Weiterungen
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Was ist wesentlich
Orientierung an der Curriculumspirale
Figuren
erkennen untersuchen
erzeugen
variieren
Abstaumlnde
berechnen
Datensaumltze
beschreiben
darstellen
strukturieren
Objekte (und Prozesse)
optimieren
Algebraische
Aspekte Zahl
Geometrische Aspekte
Raum
- zB bei Verpackungen
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Bildungsanliegen ndash normativ Schuumllersicht
Wissen Kenntnisse
Koumlnnen Faumlhigkeiten
Fertigkeiten
Volitionenhellip Lernmotivation
Selbstregulationhellip
-------------------------------------------------------
Kompetenz individuelle Kompetenz
(iSv Weinert) zum aktuellen Zeitpunkt
Grundwissen
helliphellip
Grundkoumlnnen
helliphellip
Basiskompetenzen
helliphellip
Begriffe
Zusammenhaumlnge
Verfahren gt
gt
gt
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
bdquoAls Mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen bezeichnen wir jene mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen
in Form von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und situationsunabhaumlngig
das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von Hilfsmitteln
verfuumlgbar sein sollenldquo
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Entstehung von Elementarbausteinen - Automatisierung
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Wir unterscheiden Grundwissen und Grundkoumlnnen als zentrale Facetten von Kompetenzen im Sinne von
bullautomatisiertem Kopfrechnen und Kopfgeometrie einschlieszliglich Groumlszligenvorstellungen und Techniken des Schaumltzens sowie grundlegendem begrifflichen Wissen
bullstrukturellen und bildlichen (Grund-)Vorstellungen (Logarithmus als
bdquoheruntergekommenerldquo Exponent Erwartungswert als Gleichgewichtspunkt Division als bdquoAufteilen und Verteilenldquo Stetigkeit als Durchzeichnen ohne abzusetzenhellip)
sowie Darstellungen (Funktionsklassen) und bull Mathematisierungsmustern[
[Ein Wissenselement wie ein mathematischer Begriff Satz oder ein Verfahren wird zu einem Mathematisierungsmuster
fuumlr die Lernenden wenn sie dieses Wissenselement in einem Anwendungszusammenhang auf deren erfolgreiche
Verwendbarkeit gepruumlft die konkrete Anwendung reflektiert und bezuumlglich der Mathematisierungsanforderungen
verallgemeinert haben
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Unzugaumlngliche Entfernungen bestimmen
6112008 R Bruder TUD 15
Wie kann man die Breite eines Flusses (Houmlhe eines Baumes oder aumlhnliche
nicht zugaumlngliche Entfernungen) bestimmen
Maszligband und Winkelmessgeraumlt stehen zur Verfuumlgung
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
6112008 R Bruder TUD 16
Rechtwinkliges Dreieck (mit verschiedenen Eigenschaften und
Berechnungsmoumlglichkeiten) und Strahlensaumltze als
Mathematisierungsmuster fuumlr unzugaumlngliche Strecken
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
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Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Verfuumlgbarkeit ndash Beschreibung ndash
bull Zeitunabhaumlngigkeit und Situationsunabhaumlngigkeit
bull Einordnung bei Pippig (1985)
bull Dauerhaftigkeit bdquoZeitspanne in der Kenntnisse nach dem
Einpraumlgen noch reproduzierbar sindldquo
bull Disponibilitaumlt bdquoAnwendbarkeit unter unterschiedlichen aumluszligeren
Bedingungenldquo
bull Widerstandsfaumlhigkeit bdquoResistenz gegen aumluszligere Einfluumlsseldquo
Unterscheidung von Qualitaumltsmerkmalen fuumlr Kenntnisse
Faumlhigkeiten und Fertigkeiten Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Verfuumlgbarkeit ndash Skala ndash
Kenntnisse sind dauerhaft ohne aumluszligere Hilfen unter vielfaumlltigen Bedingungen verfuumlgbar
(Sicheres Wissen und Koumlnnen)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme koumlnnen gegebenenfalls selbstaumlndig genutzt werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind sporadisch verfuumlgbar Hilfesysteme muumlssen von auszligen aktiviert werden
(reaktivierbares Wissen ndash Stufe I)
Kenntnisse sind nicht verfuumlgbar und nicht reaktivierbar (im engeren Sinne keine Kenntnisse)
vgl auch Sill (2004)
Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
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Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
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Uumlbertragbarkeit (lateraler Transfer) ndash Skala ndash
Ein flexibler Wechsel zwischen vielen Gegenstandsbereichen (inner- und auszligermathematisch) mit groszliger Spannweite ist moumlglich
Wenige Gegenstandsbereiche mit geringer Spannweite koumlnnen in Zusammenhang gebracht werden
Kenntnis bezieht sich nur auf einen Gegenstandsbereich
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
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Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Zusammenfassung
Qualitaumltsparameter von Kenntnissystemen
bdquoAls Mathematisches Grundwissen bezeichnen wir jene
mathematischen Kenntnisse Faumlhigkeiten und Fertigkeiten die bei allen
Schuumllerinnen und Schuumllern am Ende der beiden Sekundarstufen in Form
von Begriffen Zusammenhaumlngen und Verfahren dauerhaft und
situationsunabhaumlngig das heiszligt insbesondere ohne den Einsatz von
Hilfsmitteln verfuumlgbar sein sollen
Ein solchermaszligen verstandenes Grundwissen umschlieszligt sowohl
konzeptionelles als auch operatives Wissenldquo
Verfuumlgbarkeit
Exaktheit
Allgemeinheit
Uumlbertragbarkeit
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
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Projekt TELPS (Isabell Bausch)
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Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Wann hat man Mathematik verstanden
Ein elementares Verstaumlndnis ist
erreicht wenn Identifizierungs-
und Realisierungshandlungen
zum jeweiligen Begriff
Zusammenhang oder Verfahren
ausgefuumlhrt werden koumlnnen
Identifizieren Ist eine Konfektschachtel ein Modell fuumlr ein
Prisma
Kann der Satz des Pythagoras in der
Situation hellip angewendet werden
Ist die Gleichungdas GS mit hellip loumlsbar
Oder Ist die Formel hellipanwendbar
Realisieren Ein Prisma skizzieren
Einen Satz auf eine Situation anwenden
Ein Verfahren ausfuumlhren
Ein lokaler Verstaumlndnisfortschritt
wird erreicht wenn ein Beispiel
bdquodafuumlrldquo und eins bdquodagegenldquo
angegeben werden kann
Ein globaler Verstaumlndnisfortschritt wird erreicht
wenn der mathematische Gegenstand zum
Mathematisierungsmuster wird
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Hierarchisches Handlungsmodell
- Geistige Operationen (black box)
- Elementarhandlungen Identifizieren (I) und Realisieren (R)
- Grundhandlungen
Erkennen (E) Beschreiben Anwenden (A) Verknuumlpfen Begruumlnden (B)
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Ausfuumlhren
Abarbeiten
Beschreibung von
Minimalstandards
Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
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zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
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Grundaufgabenkatalog Lineare Funktionen
Grund- geg ges
aufgabe Gleichung einer Graph
linearen Funktion (Intervall evtl vorgeg)
Loumlsung 2 Mglk
Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
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Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
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Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
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Lernziel gestellt ndash Lernziel angekommen
Grundlagensicherung mit einem Lernprotokoll
Aufgabenformate fuumlr Lernprotokolle
Worum ging es im Einfuumlhrungsbeispiel (Zielklarheit)
Grundaufgabe und ihre Umkehrung (elementares Verstaumlndnis)
Wir haben ein neues Verfahren (Begriff Satz) kennen gelernt Gib ein
Beispiel an wo man dieses Verfahren anwenden kann und eins wo
das nicht moumlglich ist
(Sinn- und Sachbezug herstellen lokales Verstaumlndnis)
Welche Fehler koumlnnen passieren wenn man das Verfahren ( )
anwendet
LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
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Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
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Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
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Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
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LERNPROTOKOLL (LINEARE FUNKTIONEN)
Aufgabe 1
Woran ist in einer graphischen Darstellung zu erkennen ob eine lineare Funktion vorliegt
Nenne zwei Beispiele die keine linearen Funktionen beschreiben
Aufgabe 2
Gib zwei verschiedene Moumlglichkeiten an um zum Bild der Funktion f(x) = 2x ndash 1 zu
gelangen
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Entscheide welche der Zuordnungen mit linearen Funktionen beschrieben werden koumlnnen
Begruumlnde kurz (a) Person__Koumlrpergroumlszlige (b) Koumlrpergroumlszlige __Gewicht (c) Buch __ Regal
Aufgabe 5
Welche Fehler koumlnnen bei der Bestimmung einer Funktionsgleichung auftreten
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
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IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
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Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
10Berechne 20 von 45 euro
Kopfuumlbungen Klasse 7 als Diagnoseinstrument und zum Wachhalten von GrundwissenGrundkoumlnnen
1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3 Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
viele sind das
9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
1 59 times 9
2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
3 Gib als dm an 182 m
4 - 54 + 10 6
5 Aus welchen Flaumlchen setzt sich eine vierseitige Pyramide zusammen
6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
Vielen Dank fuumlr Ihr Interesse
Kontakt
brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
Didaktische
Analyse
Beruumlcksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der
Aufgabenwahl (vor allem fuumlr Einstiege Uumlbungen und Anwendungen)
1 Welche Faumlhigkeiten Verfahren und Schluumlsselbegriffe muumlssen die Lernenden beherrschen
2 Welche Kernbegriffe Muster oder Prinzipien muumlssen die Lernenden
vertieft verstehen
3 Wie werden die Lernenden persoumlnlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken
4 Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden visualisieren anwenden oder mit ihnen experimentieren
Schlussfolgerungen
Checkliste mind-map
IdentifizierenRealisieren Lernprotokoll
Lerntagebuch eigene Beispiele finden
Mathegeschichten erfinden
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Als einst der Herr Pfarrer an einem Schulexamen uns eine
Addition aufgeben wollte sagte der Schulmeister
lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
lange nicht mehr gerechnet sie koumlnnen es kaum mehr
wir sind jetzt beim Dividierenlsquo
Bericht von BITZIUS aus Jeremias GOTTHELFs Leiden und Freuden eines
Schulmeisters Bern 1838
Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
Alte noch immer ungeloumlste Probleme
Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
5Wie viele Flaumlchen sind bei einem Quader mindestens jeweils gleich groszlig
6Berechne - 3 (- 11) 3
7Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8In der Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumllerinnen 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie viele Schuumllerinnen sind das
9Herr Meyer trinkt jeden Morgen 150 ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1-Liter-Flasche
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7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
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7 Richtig oder falsch In jedem Dreieck sind alle drei Winkel verschieden groszlig
8 Gib 25 als Dezimalzahl an
9 Gib die Koordinaten von zwei Punkten im Koordinatensystem an die auf der y-Achse
liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
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-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
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6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
7 Es ist genau 800 Uhr Welchen Winkel schlieszligen Minuten- und Stundenzeiger ein
8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
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9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
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6 Schreibe drei Multiplikationen auf deren Ergebnis ndash6 ist
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8 Gib 25 als Dezimalzahl an
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liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
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lsquoVerzeiht wohlehrwuumlrdiger Pfarrer solches haben wir
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Daruumlber wunderte sich kein Vorgesetzter man fand es ganz
natuumlrlich denn der Statthalter sagte
lsquoGerade so ging es auch mir und wenn es mir lange
nicht zuhanden kommt vergesse ich es noch jetztlsquoldquo
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Vermischte Kopfuumlbung mit Diagnoseanteil (7)
1Berechne 29 7
2Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
3Notiere 43 cm in der naumlchst groumlszligeren und der naumlchst kleineren Einheit
4Berechne 54 ndash 106
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6Berechne - 3 (- 11) 3
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9 Herr Meyer trinkt jeden Morgen 15o ml O-Saft Fuumlr wie viele Tage reicht eine 1- Liter-Flasche
10 Berechne 20 von 45 euro
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2 Ordne der Groumlszlige nach 37 34 310
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liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
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8 Gib 25 als Dezimalzahl an
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10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
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1 Berechne 29 times 7
2 Ordne der Groumlszlige nach 17 13 12
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4 54 ndash 106
5 Wie viele Flaumlchen sind mindestens bei einem Quader jeweils gleich groszlig
6 Berechne - 3 times (- 11) times 3
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8 In Jahrgangstufe 7 sind 180 Schuumller 23 kommen mit dem Bus zur Schule Wie
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liegen
10 Von 32 Schuumllern kommen 24 mit dem Bus Wie viel Prozent sind das
1 Woche spaumlter
Kopfuumlbung als Diagnoseinstrument
Typischer Aufbau einer Kopfuumlbung
Vermischte Kopfuumlbungen ndash nicht uumlberfordern
Probleme Lernschwache profitieren nur begrenzt
Reichen KUuml aus oder sind noch andere Formate noumltig
Effektive Strategien zur Kompensation von Defiziten
ldquoNachlernmaterialienldquo ndash mathe-flyer oauml
Gegenseitige Schuumllerhilfe
Selbstlernangebote online (wwwbettermarksde online-trainer der
Schulbuchverlagehellip)
Inhalte von Kopfuumlbungen ndash systematisches
Wachhalten von Elementarbausteinen im MU
-Rechenfertigkeiten in den Grundoperationen
-Termwerte berechnen Lineare Gleichungen inhaltlich loumlsen
-Umrechnen von Einheiten Groumlszligenvorstellungen
Mit Identifizierungs- und Realisierungshandlungen
-Dreisatz (zB Maszligstab)
-ZahlenAnteileVerhaumlltnisse in verschiedenen Darstellungsformen
-Punkte im Koordinatensystem
-Uumlbersetzungsbausteine (Termstrukturen)
-Funktionsbilder
-Basiswissen Geometrie (Winkel Koumlrper Flaumlchenberechnung)
-Ebenes und Raumvorstellungsvermoumlgen (Skizzieren Identifizieren)
-Logisch-kombinatorisches und funktionales Denken
Gliederung
Worum geht es ndash was ist wichtig Zielklarheit
Was gehoumlrt zum mathematischen Grundwissen und Grundkoumlnnen (Was sind Basiskompetenzen )
Wie kann mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen nachhaltig erlernt werden
Problemsichten und Loumlsungen Wie kann man mathematisches Grundwissen und Grundkoumlnnen wachhalten
Grundwissen und Grundkoumlnnen zu funktionalen Zusammenhaumlngen ndash Ergebnisse empirischer Studien
Mind Map fuumlr den Uumlberblick
Identifizieren und Realisieren
Lernprotokoll zur Diagnose u Selbsteinschaumltzung
Wissensspeicher fuumlr den Durchblick
Regelmaumlszligige Kopfuumlbungen integrierte Wdhlg
Koumlnnensdimensionen- Beispiel
Funktionale Zusammenhaumlnge
und ihre Darstellungsformen im MU bis Kl9
Empirisch gesichertes
Kompetenzstrukturmodell
zu Darstellungswechseln
mit 5 Dimensionen
DFG-SPP 1293
Kompetenzmodelle
G A S N
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brudermathematiktu-darmstadtde
wwwmadabade Aufgabendatenbank ua
mit Lernprotokollen und Kopfuumlbungen
wwwmath-learningcom Vortraumlge zum download
wwwproLehrede Fortbildungsangebote online
Online-Befragung zur Qualiaumlt von Unterrichtsentwuumlrfen ndash
Projekt TELPS (Isabell Bausch)
httpswwwdidmathematiktu-darmstadtdefeedme
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