Grupo CDPYE-UGR Esperanza condicionada de una funci´on...

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BY: Grupo CDPYE-UGR

Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria

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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria

Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R,B) → (R,B) unafuncion medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoriaque toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo

E [h(X)/Y = y] =

∑x∈EX

h(x)P(X = x/Y = y) si (X,Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0

∫Rh(x)f(x/y)dx si (X,Y) es de tipo continuo y fY(y) 6= 0,

y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.

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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria

Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R,B) → (R,B) unafuncion medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoriaque toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo

E [h(X)/Y = y] =

∑x∈EX

h(x)P(X = x/Y = y) si (X,Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0

∫Rh(x)f(x/y)dx si (X,Y) es de tipo continuo y fY(y) 6= 0,

y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.

Nota: La existencia de E [h(X)] garantiza la existencia E [h(X)/Y = y] , ∀y ∈ EY , lo que se prueba de forma totalmenteanaloga a como se ha probado la existencia de E [X/Y = y]. Ademas, ya que E [h(X)/Y = y] es la esperanza de h(X)considerando la distribucion condicionada de X a Y = y, las expresiones se siguen de las correspondientes a la esperanza deuna funcion de una variable aleatoria.

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Esperanza condicionada de una funcion de una variable aleatoria

Sean X e Y variables aleatorias sobre el mismo espacio de probabilidad y h : (R,B) → (R,B) unafuncion medible. La esperanza condicionada de h(X) a Y, E [h(X)/Y] , es la variable aleatoriaque toma el valor E [h(X)/Y = y] cuando Y = y, siendo

E [h(X)/Y = y] =

∑x∈EX

h(x)P(X = x/Y = y) si (X,Y) es de tipo discreto y P(Y = y) 6= 0

∫Rh(x)f(x/y)dx si (X,Y) es de tipo continuo y fY(y) 6= 0,

y suponiendo que tales sumas o integrales son absolutamente convergentes.

Nota: La existencia de E [h(X)] garantiza la existencia E [h(X)/Y = y] , ∀y ∈ EY , lo que se prueba de forma totalmenteanaloga a como se ha probado la existencia de E [X/Y = y]. Ademas, ya que E [h(X)/Y = y] es la esperanza de h(X)considerando la distribucion condicionada de X a Y = y, las expresiones se siguen de las correspondientes a la esperanza deuna funcion de una variable aleatoria.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio del lanzamiento de tres monedas se consideran las variables

X: Numero de caras.

Y : Diferencia, en valor absoluto, entre el numero de caras y el numero de cruces.

Calcular E [X2/Y ].

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1]

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1))

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)=

5

2·

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)=

5

2·

� E [X2/Y = 3]

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)=

5

2·

� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3))

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)=

5

2·

� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3)) = 9× 1

2

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)=

5

2·

� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3)) = 9× 1

2=

9

2·

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Las funciones masa de probabilidad conjunta y marginales de X e Y se presentan en la siguiente tabla (ver ejemplode funciones masa de probabilidad marginales):

YX 1 3 P (X = xi)0 0 1/8 1/81 3/8 0 3/82 3/8 0 3/83 0 1/8 1/8

P (Y = yj) 6/8 2/8

Ya que la variable Y toma los valores 1 y 3, la variable aleatoria E [X2/Y ] tomara, en principio, dos valores,E [X2/Y = 1] y E [X2/Y = 3], que calculamos a continuacion, teniendo en cuenta que si Y = 1, X solo toma losvalores 1 y 2, mientras que si Y = 3, X solo toma los valores 0 y 3:

� E [X2/Y = 1] = (12 × P (X = 1/Y = 1)) + (22 × P (X = 2/Y = 1)) =

(1× 1

2

)+

(4× 1

2

)=

5

2·

� E [X2/Y = 3] = (02 × P (X = 0/Y = 3)) + (32 × P (X = 3/Y = 3)) = 9× 1

2=

9

2·

Por tanto, se deduce que

E [X2/Y ] =

5

2Y = 1

9

2Y = 3,

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :

fY (y) =

∫ y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1)

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :

fY (y) =

∫ y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)

fY (y)=

1

y, x ∈ (0, y).

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :

fY (y) =

∫ y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)

fY (y)=

1

y, x ∈ (0, y).

A partir de estas densidades se deduce que

E [X3/Y = y] =

∫ y

0

x3

ydx y ∈ (0, 1)

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :

fY (y) =

∫ y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)

fY (y)=

1

y, x ∈ (0, y).

A partir de estas densidades se deduce que

E [X3/Y = y] =

∫ y

0

x3

ydx =

y3

4, y ∈ (0, 1)

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lo que significa que E [X2/Y ] es una variable aleatoria que toma el valor 5/2 con probabilidad 6/8 (P (Y = 1)) y elvalor 9/2 con probabilidad 2/8 (P (Y = 3)). �

Ejemplo 2: Sea (X, Y ) un vector aleatorio con funcion de densidad f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1. Calcular E [X3/Y ].

Calculamos en primer lugar la funcion de densidad de X condicionada a un valor arbitrario de Y y, para ello, lamarginal de Y :

fY (y) =

∫ y

0

2dx = 2y, y ∈ (0, 1) → ∀y ∈ (0, 1), f(x/y) =f(x, y)

fY (y)=

1

y, x ∈ (0, y).

A partir de estas densidades se deduce que

E [X3/Y = y] =

∫ y

0

x3

ydx =

y3

4, y ∈ (0, 1) ⇒ E

[X3/Y

]=

Y 3

4· �