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funciones
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Autoras: Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Peñaloza
Universidad Nacional de ColombiaSede Bogotá
Departamento de Matemáticas
29 de agosto de 2012
Funciones
Una función es una especie de máquina que toma elementosde un conjunto y después de un proceso obtiene elementos deotroPor ejemplo:
1 La función del conjunto de las palabras en el conjunto delas letras que a cada palabra le asigna su letra inicial.
2 La función del conjunto de ciudadanos de un país en el delas huellas digitales que a cada ciudadano le asigna lahuella digital de su índice derecho.
3 La función del conjunto de los reales en sí mismo que acada real le asigna su cuadrado.
Funciones
De una manera más formal tenemos:Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f de A en B,
notada:f : A → B
es un subconjunto de A × B (una relación de A en B) quecumple:Para todo elemento a ∈ A existe un único b ∈ B tal que lapareja (a, b) ∈ f .Como es único el elemento b relacionado con a, escribimosf (a) = b.
Funciones
Si f : A → B es una función,A se llama el Dominio de f .B se llama el Codominio de f .{b ∈ B | existe a ∈ A tal que f (a) = b} se llama el Rango de fo el Recorrido de f o la Imagen de f .
Ejemplos
1 f : R → R definida por f (x) = 2x − 1.
Dom f = R, Imagen de f = R.
2 g : R → R definida por g(x) = x2.
Dom g = R, Imagen de g = [0,∞) .
Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tenen el mismo dominio ypara todo elemento x del dominio f (x) = g(x).En este curso trabajaremos únicamente funciones reales, esdecir, funciones de dominio y codominio R o subconjuntos deR.
En este caso se acostumbra simplemente a identificar lafunción con la expresión que define su efecto sobre la variable,suponiendo que el dominio el es subconjunto más grande de R
en el que se puede definir la función y el codominio es R.
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 4
x2−8x+7 .
x2 − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 4
x2−8x+7 .
x2 − 8x + 7 = 0
(x − 1)(x − 7) = 0
Dominio de f : R − {1, 7}.
Dominio
EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =
√2x + 6,
resolvemos la desigualdad
2x + 6 ≥ 0
Dominio
EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =
√2x + 6,
resolvemos la desigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
Dominio
EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =
√2x + 6,
resolvemos la desigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio
EjemploPara hallar el dominio de la función f (x) =
√2x + 6,
resolvemos la desigualdad
2x + 6 ≥ 0
2x ≥ −6
x ≥ −3
Dominio de f : [−3,∞).
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x
(x+5)√
3−2x.
Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x
(x+5)√
3−2x.
Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.
3 − 2x > 0
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x
(x+5)√
3−2x.
Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x
(x+5)√
3−2x.
Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
x <32
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x
(x+5)√
3−2x.
Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
x <32
S=(
−∞,32
)
∗
Dominio
EjemploHallar el dominio de la función f (x) = 1−7x
(x+5)√
3−2x.
Aquí hay una combinación de los dos casos, así queempezamos por la expresión dentro del radical.
3 − 2x > 0
− 2x > −3
x <32
S=(
−∞,32
)
∗
*¿Por qué el intervalo es abierto en 32?
Dominio
EjemploEl denominador se hace cero cuando x = −5, así que eldominio de f es
(
−∞,32
)
− {−5} = (−∞,−5) ∪(
−5,−32
)
.
Funciones
La gráfica de una función real es la representación en el planocartesiano de {(x , f (x)) | x ∈ dom(f )}
Si f (x) = 2x − 1 su gráfica es la recta y = 2x − 1.
Si g(x) = x2 − 2x + 1 su gráfica es la parábolay = x2 − 2x + 1.
Nótese que una gráfica en el plano cartesiano representa unafunción real si toda recta vertical corta la gráfica en a lo sumoun punto.
Función idéntica o función identidad
Dado cualquier conjunto no vacío A definimos
IA : A −→ A
a 7−→ a
En particular para la función idéntica de R
IR : R −→ R
x 7−→ x
Dom IR = R Im IR = R
Función lineal
f : R −→ R
x 7−→ mx + b
donde m y b son constantes.Dom f = R Im f = R si m 6= 0.
¿Qué pasa si m = 0?¿Cómo es la gráfica de f ?
Función cuadrática
f : R −→ R
x 7−→ ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantes y a 6= 0.Dom f = R Im f = ?¿Cómo es la gráfica de f ?
Función parte entera
f : R −→ R
x 7−→ [x ]
Donde [x ] es el mayor entero menor o igual a x .
Por ejemplo [π] = 3[
8, 27]
= 8 [12] = 12[−2] = −2 [−1, 5] = −2 [−π] = −4
Funciones definidas a trozos
Consideremos la función definida como sigue
f (x) =
3 si x < −4
x + 1 si − 4 ≤ x ≤ −2
x2 si x > −2,
veamos su gráfica.
Funciones definidas a trozos
Consideremos la función definida como sigue
f (x) =
2 si x < −2
−x2 + 1 si − 2 ≤ x < 2
2x − 6 si x ≥ 2,
veamos su gráfica.
Gráficas
EjercicioBosqueje la gráfica de las siguientes funciones
1 f (x) =
x2 si x < 0
2 si 0 ≤ x < 1
1 − x si x > 1
2 f (x) =
−4 si x < −1
|x | + 1 si − 1 ≤ x ≤ 1
2x si x > 1
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .
Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituyex por −x .
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .
Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituyex por −x .
f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es par si f (−x) = f (x) para toda x en el dominiode f .
Si f es par, la expresión y = f (x) no cambia si se sustituyex por −x .
f (x) = |x | y f (x) = x2 son ejemplos de funciones pares.
La gráfica de una función par es simétrica con respecto aleje y .
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en eldominio de f .
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en eldominio de f .
f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.
Funciones pares e impares
DefiniciónUna función f es impar si f (−x) = −f (x) para toda x en eldominio de f .
f (x) = x y f (x) = x3 son ejemplos de funciones impares.
La gráfica de una función impar es simétrica con respectoal origen.
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x)
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x)
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 4x2 + 5x6 − 3x8 es par, pues
f (−x) = 4(−x)2 + 5(−x)6 − 3(−x)8
= 4x2 + 5x6 − 3x8
= f (x)
f (x) = 12x5 − 6x3 − 3x es impar, pues
f (−x) = 12(−x)5 − 6(−x)3 − 3(−x)
= −12x5 + 6x3 + 3x
= −f (x)
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,
f (−x)
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
Funciones pares e impares
Determinar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 3x7 + 9x5 − 3x8 no es par ni impar,
f (−x) = 3(−x)7 + 9(−x)5 − 3(−x)8
= −3x7 − 9x5 − 3x8
Funciones pares e impares
EjercicioDeterminar si f es par, impar o ninguna de las dos.
f (x) = 2x7 + 3x5 − 6x6 + 1
f (x) = 8x6 + 3x4 − x + 4
f (x) = 2√
x + 4
f (x) = (x − 1)2 + x4
f (x) = 3 − (x + 2)3
Funciones inyectivas y sobreyectivas
DefiniciónSea f : A −→ B una función,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
Funciones inyectivas y sobreyectivas
DefiniciónSea f : A −→ B una función,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo elconjunto B.
Funciones inyectivas y sobreyectivas
DefiniciónSea f : A −→ B una función,
f se dice inyectiva o uno a uno si se cumple que
f (a) = f (b) implica que a = b.
f se dice sobreyectiva o sobre si su rango es todo elconjunto B.
f se dice biyectiva si es uno a uno y sobre.
Funciones inyectivas y sobreyectivas
EjemploConsidere las siguientes funciones
f1(x) = 4 no es uno a uno ni sobre.
f2(x) = 2x + 3 es uno a uno y es sobre.
f3(x) = x2 no es uno a uno y no es sobre.
f4(x) = x3 es uno a uno y sobre.
f5(x) = |x | no es uno a uno ni sobre.
¿Cómo determinar por medio de la gráfica si una función esuno a uno?
Funciones inyectivas y sobreyectivas
Prueba de la recta horizontalUna función f es uno a uno si y sólo si toda recta horizontalcorta la gráfica de f máximo en un punto.Una función de codominio R es sobreyectiva si toda rectahorizontal corta su gráfica.
Operaciones entre funciones
DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos
suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Operaciones entre funciones
DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos
suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)
Operaciones entre funciones
DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos
suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)
producto (fg)(x) = f (x)g(x)
Operaciones entre funciones
DefiniciónSean f y g dos funciones, definimos
suma (f + g)(x) = f (x) + g(x)
diferencia (f − g)(x) = f (x) − g(x)
producto (fg)(x) = f (x)g(x)
cociente(
fg
)
(x) = f (x)g(x) , siempre que g(x) 6= 0.
Operaciones entre funciones
EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,
Operaciones entre funciones
EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,
Operaciones entre funciones
EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4,
Operaciones entre funciones
EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4,(
fg
)
(x) = 2x+13x2−4 ,
Operaciones entre funciones
EjemploSean f (x) = 2x + 1 y g(x) = 3x2 − 4,
(f + g)(x) = 2x + 1 + 3x2 − 4 = 3x2 + 2x − 3,
(f − g)(x) = 2x + 1 − (3x2 − 4) = −3x2 + 2x + 5,
(fg)(x) = (2x + 1)(3x2 − 4) = 6x3 + 3x2 − 8x − 4,(
fg
)
(x) = 2x+13x2−4 ,
¿Cuál es el dominio de estas funciones?
Operaciones entre funciones
El dominio de f + g, f − g, fg es la intersección I de losdominios de f y de g, mientras que el dominio de f
g estáformado por los puntos x de I tales que g(x) 6= 0.
Operaciones entre funciones
El dominio de f + g, f − g, fg es la intersección I de losdominios de f y de g, mientras que el dominio de f
g estáformado por los puntos x de I tales que g(x) 6= 0.
EjercicioSean f (x) = 5x + 3 y g(x) = x
4−x , hallar una expresión para lassiguientes funciones y sus dominios,f + g, f − g, fg,
fg ,
gf ,
gf+g .
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x
(f − g)(x) = 5x + 3 − x4−x
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x
(f − g)(x) = 5x + 3 − x4−x
(fg)(x) = (5x + 3)
(
x4 − x
)
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(f + g)(x) = 5x + 3 + x4−x
(f − g)(x) = 5x + 3 − x4−x
(fg)(x) = (5x + 3)
(
x4 − x
)
=5x2 + 3x
4 − x
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
Dom(f ) = R
Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
Dom(f ) = R
Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
Dom(f ) = R
Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
Dom(f ) = R
Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
Dom(f ) = R
Dom(g) = R − {4}Dom(f + g) = R − {4}Dom(f − g) = R − {4}Dom(fg) = R − {4}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
fg
)
(x) =5x + 3
x4−x
=(5x + 3)(4 − x)
x
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
fg
)
(x) =5x + 3
x4−x
=(5x + 3)(4 − x)
x
=20x − 5x2 + 12 − 3x
x
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
fg
)
(x) =5x + 3
x4−x
=(5x + 3)(4 − x)
x
=20x − 5x2 + 12 − 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
fg
)
(x) =5x + 3
x4−x
=(5x + 3)(4 − x)
x
=20x − 5x2 + 12 − 3x
x
=−5x2 + 17x + 12
x
Dom(
fg
)
= R − {0, 4}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(gf
)
(x) =x
4−x
5x + 3
=x
(4 − x)(5x + 3)
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(gf
)
(x) =x
4−x
5x + 3
=x
(4 − x)(5x + 3)
=x
−5x2 + 17x + 12
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(gf
)
(x) =x
4−x
5x + 3
=x
(4 − x)(5x + 3)
=x
−5x2 + 17x + 12
Dom(g
f
)
= R − {4, −35}
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
gf + g
)
(x) =x
4−xx
4−x + 5x + 3
=x
4−xx+(4−x)(5x+3)
4−x
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
gf + g
)
(x) =x
4−xx
4−x + 5x + 3
=x
4−xx+(4−x)(5x+3)
4−x
=x
x − 5x2 + 17x + 12
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
gf + g
)
(x) =x
4−xx
4−x + 5x + 3
=x
4−xx+(4−x)(5x+3)
4−x
=x
x − 5x2 + 17x + 12
=x
−5x2 + 18x + 12
Operaciones entre funciones
f (x) = 5x + 3 y g(x) = x4−x .
(
gf + g
)
(x) =x
4−xx
4−x + 5x + 3
=x
4−xx+(4−x)(5x+3)
4−x
=x
x − 5x2 + 17x + 12
=x
−5x2 + 18x + 12
Dom(
gf+g
)
= R − {4,9±
√141
5 }
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f ) (x)
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3)
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
Composición de funciones
Si f y g son funciones se define (g ◦ f )(x) = g(f (x)).De esta manera g ◦ f es una función cuyo dominio es{x ∈ Dom f | f (x) ∈ Dom g}Ejemplo
Si f (x) = 2x + 3 y g(x) = x2 − 2x + 1 tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) = (2x + 3)2 − 2(2x + 3) + 1
= 4x2 + 12x + 9 − 4x − 6 + 1
= 4x2 + 8x + 4
Claramente Dom(g ◦ f ) = R
Funciones
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R
Funciones
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (x2 − 2x + 1)
= 2(x2 − 2x + 1) + 3
= 2x2 − 4x + 5
De nuevo Dom(f ◦ g) = R
Nótese que en general (f ◦ g) 6= (g ◦ f )
Funciones
Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√x tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√
(2x + 3)Dom(g ◦ f )
Funciones
Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√x tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√
(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0}
Funciones
Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√x tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√
(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =
[
−32 ,∞
)
Funciones
Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√x tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√
(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =
[
−32 ,∞
)
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (√
x)
Funciones
Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√x tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√
(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =
[
−32 ,∞
)
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (√
x) = 2√
x + 3
Funciones
Ejemplo 2:Si f (x) = 2x + 3 y g(x) =
√x tenemos:
(g ◦ f ) (x) = g(2x + 3) =√
(2x + 3)Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R | 2x + 3 ≥ 0} =
[
−32 ,∞
)
(f ◦ g) (x) = f (g(x)) = f (√
x) = 2√
x + 3Dom(f ◦ g) =
{
x ∈ [0,∞) |√
x ∈ R}
= [0,∞)
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