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apuntes de calculo en varias variable
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1
EJERCICIOS RESUELTOS
En la vida real existen muchas más problemas que dependen de su solución de dos o más variables. por ejemplo,
la presión que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene depende de la cantidad y
temperatura del fluido y del volumen del recipiente. la fuerza de atracción dedos cuerpos en el espacio depende
de la masa de cada uno de ellos y de la distancia entre ambos. el rendimiento real de una inversión depende del
tipo y la tasa de interés, del capital inicial, del plazo, incluso del porcentaje de inflación y de la fluctuación de la
moneda en la que esté hecha la inversión.
El volumen de una caja, v, depende del largo, x , del ancho, y , y de z la altura de la caja. los costos de una
empresa que fabrica dos tipos de artículos dependen de la cantidad de artículos de tipo I y la cantidad de
artículos de tipo II que produce. la temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y de su
presión.
1.-22),( xy
x
yyxFSea ¿A dónde manda F los puntos de la recta xy y xy ?
SOLUCIÓN: Haciendo un cambio de variable:
2 2( , )
yF x y y x
x …………………….……..…………………………………………….(1)
1Sea 1
y 21 1
u y x x u yy
u y y uy yv vv x
x v
uv uy x
v v
Reemplazando 2 en 1:
2 1Si ( , )
1
x xy x F x x
x
2 21 1Si ( , )
1 1
x x x xy x F x x
x x
2.-Describe el dominio de la función dada y haga un esquema que represente a este dominio.
.i ( , )y
f x y arcsenx
iii ( , ) (1 )f x y Ln y Ln x y
ii 16),( 2222 yxyxyxf iv 2( , ) ( )f x y arcsen x y
Solución
i)Sabemos que dominio del arcsen x es igual al ii) Para que exista f debe suceder que:
rango del sen x, que es [-1,1]. Luego,
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
0 16 0
16 0
16
16
( , ) : 16 .
x y x y
x y x y
x y x y
x y y x
Df x y x y y x
2
2 2
1 1
( , ) :
yy x y x
x
x y x
y x
y x
Df x y y x
iii) Para que exista f, debe suceder que:
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1
y x y y x y
y y x y y x y x
(1 ) 0 0 (1 ) 0 (1 ) 0y Ln x y y Ln x y y Ln x y
( , ):( 0 ) ( 0 1Df x y y y x y x y x
iv) sabemos que el dominio del Arcsen x es igual al rango del sen x , que es el intervalo [-1, 1]. Luego,
2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1– 1 –
{ , : 1– 1 – }f
x y x y x y
y x y x
D x y y x y x
2
2
1– ¿ 1 1? ¡falso!
1 –
y x
y x
No hay intersección
3.-Hallar el dominio de la función f (x, y) = Arc Sen
yx
x
Solución:
Sabemos que el dominio del Arc sen x es igual al rango del sen x. Luego,
3
1 1 1 1
21 0 1 0 0 0
20 0
x x x
x y x y x y
x x x y y
x y x y x y x y
x y x
x y x y
]0[]0[
]2[]2[
]00[]00[
]002[[]002[
xyyxyy
xyxyyxxy
yxyyxy
yxyxyxyx
Df = {(x,y): (y 0 y -2) ( y 0 y -2x)}
4.-Hallar el dominio de la función ( , ) ln(4 )f x y x y
Solución:
Para que exista f, debe suceder que:
4 0 4
{ , : 4}f
x y xy
D x y xy
5.-Sea f: R2 R / f(x ,y) = Ln [Sig (1 + x
2 + y
2)]. Hallar el Dom (f) y Rang (f).
Solución:
Recordemos que:
Para que exista la función Ln x.
x debe ser mayor que 0, es decir
x > 0. Además,
0
y
1x
y ln x 0 1
0 1
0 0 1
ln x cuando x
ln x cuando x
ln x cuando x
x
y
1, 0
( ) ( ) 0, 0
1, 0
si x
f x sig x si x
si x
a) Dom (f)
Para que exista la función Ln [sig(1 + x2 + y
2)] , debe cumplirse que la función signo:
Sig(1 + x2 + y
2) > 0. Pero por definición, sabemos que Sig (1 + x
2 + y
2) = 1 > 0, cuando 1 + x
2 + y
2 > 0
Dom (f) = R2
b) Rang (f)
No puede suceder que 0< sig (1 + x2 + y
2) < 1
No puede suceder que sig (1 + x2 + y
2) > 1.
Sucede que cuando sig (1 + x2 + y
2) = 1, entonces
4
Ln [Sig(1 + x2 + y
2)] = 0 f(x,y) = 0 Z = 0
Rang (f) = {0}
6.-Si f : R2 R / f (x,y) = Sig [Ln (1 + x
2 + y
2)]. Hallar el Dom (f) y Ran (f).
Solución:
Por definición,
f (x,y) = Sig [Ln(1 + x + y)] =
0)1(ln,1
0)1(ln,0
0)1(ln,1
yxsi
yxsi
yxsi
luego,
(1 ) 0 1 1 .......................................................... 1
(1 ) 0 1 1 .......................................................... 2
(1 ) 0 0 1
Ln x y cuando x y y x
Ln x y cuando x y y x
Ln x y cuando x y
1 0 1 1 1
1 ............................ 3
x y x y
y x y x
Uniendo las gráficas de las desigualdades (1), (2), (3) se obtiene:
( ) {( , ) / - 1- }
( ) {-1,0,1}
Dom f x y y x
Rang f
7.-Hallar el dominio, rango y gráfica de f(x,y) = 221 yx
Solución:
Dom(f)
Para que exista 221 yx , 1 – x
2 – y
2 0 x
2 + y
2 1
Dom (f) = {(x,y) : x2 + y
2 1} que es una circunsferencia y su interior.
Rang(f)
Como Z = 221 yx Z 0 Z
2 = 1 – x
2 – y
2
Z 0 x2 + y
2 = 1 – Z
2 0 ya que x
2 + y
2 0
Z 0 1 – Z2 0 z 0 Z
2 1
Z 0 -1 Z 1
Z [0,1] R
Curvas de nivel: 2 2 2 2 2 2c 1 x y 1– c 1 x y c : circunsferencias
110
5
2 2
22
2 2
22
2 2
2 2
0 1 - 0 1
1 1 15 1 -
4 4 16
1 1 3 1 -
2 2 4
1 1 - 12 0
Si c x y
c x y
c x y
c x y
Trazas
Si x = 0 Z2 = 1 –y
2 :parábola en el plano yz
Si y = 0 Z2 = 1 –y
2 :parábola en el plano xz
8.-Bosquejar el gráfico de la función f(x , y) = |x| + |y|
Solución: |x| + |y| = c
Si c = 0 |x| + |y| = 0 x = y = 0
Si c = 1 |x| + |y| = 1
01||
01||
ysiyx
xsiyx
i) Si |x| + y = 1 1 0..............................................................(1)
1 0..............................................................(2)
x y si x
x y si y
ii) Si |x| - y = 1 1 0..............................................................(3)
1 0...............................................................(4)
x y si x
x y si y
Graficando las rectas (1), (2), (3), (4):
xy 1 xy 1
1 xy1 xy
zc
1c
z
0c y
x
y
0c 1c
Bosquejar el gráfico de la función 2 2 , f x y x y
6
9.-Calcular 22
22
)0,0(),( 22
7lim yx
yx
yx
a) Condición necesaria pero no suficiente:
Solución: Reemplazar y por curvas que pasan por (0, 0):
Si 022
7
22
72
22
)0,0(),(222
222
)0,0(),(limlim
k
xk
xkx
xkxkxy
yxyx
Si 022
7
22
722
42
)0,0(),(422
422
)0,0(),(
2
limlim
xk
xk
xkx
xkxkxy
yxyx
Si 0
22
7
1)22(
1)7(
2
2
2
)0,0(),(2
22
2
22
)0,0(),(limlim
x
xsen
x
xsenx
xxsenx
xxsenx
xsenyyxyx
En coordenadas polares: Decir que (x,y) (0,0) equivale a decir que r 0 (independientemente el valor
de ).
2
7
22
7),(
2222
2222
2222
SenrCosr
SenrCosr
SenrCosrrg
Senry
CosrxSi
022
70),(
22
22
)0,0(),(0limlim
yx
yxrg
yxr
b) Condición suficiente:
||0||0/0,0022
722
22
)0,0(),(lim yx
yx
yx
yx
2 2
2 2
70
2 2
x y
x y
2 22 2 2 2 2 2 42
2 2 2 2 2 2 2 2
7 7 7 7
2 2 2 2 2
x yx y x y x y yy
x y x y x y x y
7
2|| y
10.-Verificar que 3
89
23
)0,0(),(lim yx
yx
yx
no existe
Solución: Reemplazando y por curvas que pasen por (0,0):
Si 0)0(
)0(80
29
23
)0,0(),(lim
x
xy
yx
;
7
Si 01
8
3
80
6
2
)0,0(),(9
23
)0,0(),(limlim
x
x
xx
xxx
yxyx
;
Si 08
69
43
)0,0(),(
2
lim
xx
xxxy
yx
;
Si 42
889
9
)0,0(),(99
33
)0,0(),(
3
limlim
x
x
xx
xxxy
yxyx
39
23
)0,0(),(
8lim yx
yx
yx
11.-Calcular )1)(1(
)1)(1(2
43
)1,1(),(lim
yx
yx
yx
Solución:
6)1)(1(
)1)(1)(1)(1(
)1)(1(
)1)(1(2
2223
)1,1(),(2
43
)1,1(),(limlim
yx
yyxxx
yx
yx
yxyx
12.-Calcular
2
2( , ) (0,1)
( 2 3)(1 )
( 1)limx y
y y Cos x
x y
Solución:
)1(
)1)(1)(3(
)1(
)1)(32(2
)1,0(),(2
2
)1,0(),(limlim xCosx
xCosxCosy
yx
xCosyy
yxyx
2
)1,0(),( )1(
)3(lim
x
xSen
Cosx
y
yx
22
4)1(
)1(
)3( 2
Cosx
y
13.-Calcular: 24
22
)1,3(),( )1()3(
9966lim
yx
yxxxyyx
yx
24
2
)1()3(
)1(9)1(6)1(
yx
yyxyx
Solución:
24
2
)1,3(),( )1()3(
)3)(1(lim
yx
xy
yx
Reemplazando y por curvas que pasen por (3,1)
y
x
2)3(1 xy
)1,3(
3
xy
8
Si
2
4
2
)1,3(),(2
4
2
)1,3(),(
3
3)3(
33
3
13
)3(
313
3 limlimx
x
xx
xx
xx
xy
yxyx
2
( , ) (3,1)
3( 3) 00
9( 3) 1 1limx y
x
x
2 2
4 2( , ) (3,1)
6 6 9 9
( 3) ( 1)limx y
x y xy x x y
x y
14.-Calcular:
0
1lim
2
21
5
)13)(21(
0
2)0,0(),(
lim
x
xCos
xCosxSen
yx
yCosxCos
x
yx
Solución:
y
yCos
x
xSen
yx
yCosxCos
yxyx 3
)13(32
5
)13)(21(limlimlim
02
2
02
)0,0(),(
03
31*6 limlim
03
2
0
y
yCos
x
xSen
yx
15.-Calcular: yx
ee yx
yx
)1)(1( 2
)0,0(),(lim
Solución:
)1)(1(1;1
*1)1)(1( 2
2
00
2
)0,0(),(limlimlim
yyyy
y
x
x
yx
yx
eeey
e
x
e
yx
ee
)1(*1
*1
limlimlim000
y
y
y
y
x
x
ey
e
x
e
Por otro lado,
)1ln(ln11.?1
lim0
uexueueSeax
e xxx
y
)1(ln ux
9
xy
xy
xy
2
2
)1(1
)1(1
Así,
uyyy
x
yuu
u
u
u
x
e1
0000)1ln(
1
)1ln(1
1
)1ln(
)1(1limlimlimlim
1
0
1 11
lnlim(1 )u
x
eLn u
Por tanto:
2)2(1)11)(1(1)1()1(1)1)(1( 0
2
)0,0(),(lim
eyx
ee yx
yx
16.-Analizar la continuidad de la función:
)1,1(),(,0
)1,1()1,1(),(,)1()1(
)1)(1(
),( 24
2
yx
puntoelenyxyx
xy
yxf
Solución:
i) 0)1,1( f
1
1
Si ]1)1[()1(
)1(
)1()1(
)1)(1(22
3
)1,1(),(24
2
)1,1(),(limlim
xx
x
xx
xxxy
yxyx
2
( , ) (1,1)
1 00
( 1) 1 1limx y
x
x
Si 4
4
)1,1(),(224
2
)1,1(),(
2
)1(2
)1(
]1)1(1[)1(
)1](1)1(1[)1(1 limlim
x
x
xx
xxxy
yxyx
= 2
1
2
1lim
)1,1(),(
yx
y
x
10
),(lim)1,1(),(
yxfyx
f no es continua en (1,1)
DERIVADAS PARCIALES
Definición: Sea f: U R2 R una función definida en un conjunto abierto U de R
2 y sea p = (X0, Y0)
U. Definimos la Derivada Parcial de f con respecto a x en el punto p como:
h
yxfyhxfp
x
f
h
)(),()(0000
0lim
, cuando este límite existe.
También, definimos la Derivada Parcial de f con respecto a y en el punto p como:
h
yxfhyxfp
x
f
h
)(),()(0000
0lim
, cuando este límite existe.
En general, la Derivada Parcial de f con respecto a xi en el punto p se define como:
h
xxxfxxxxfxxxx
x
f nni
h
ni ),...,,(),...,,...,,(),...,,...,,(2121
0
21
lim
Si es que
este límite existe.
Nota: Geométricamente, las derivadas parciales nos mide la pendiente de la recta tangente de la curva
generada por la intersección de la superficie Z = f (x,y) con un plano en el punto p = (x0,y0)
1.-: Sea f :U R2 R |2| que f (x,y) = x
2 + y
2. Calcular las derivadas parciales de f en el punto (1,0).
0yy
)](,[ pfp
0y
)](,[ pfp
0xx
0x
11
Solución:
222)()(),(),(
)0,1(0
2222
00limlimlim
xh
hx
h
yxyhx
h
yxfyhxf
x
f
hhh
222)()(),(),(
)0,1(
2
0
2222
00limlimlim
yh
hhy
h
yxhyx
h
yxfyhxf
y
f
hhh
Si y = 0 z = x2
x =1 z = 1 + y2
Esto significa que la curva f (x,0) = x2 esta en el
plano y = 0(x z) y tiene pendiente 2 en x = 1.
f (1, y) = 1 + y2 está en el plano x = 1(yz) y
tiene pendiente 0 en y = 0
2. Sea; f (x1,x2,…, xn) = Ln (x1,x2,…, xn) calcular
n
i ix
f
1
)1,...,1,1(
Solución:
f (x1,x2,…, xn) = Ln (x1,…xi-1, xi xi+1,…, xn)
Luego,
1 1
1 1
( , , , , , , )
, , , , , ,
i i i i n
i
i i i i i n
x x x x xxf
x x x x x x
1 1
1 1
, , , , , 1
, , , , , ,
i i i n
i i i i n i
x x x x
x x x x x x
11
1)1,...,1,1(
ix
f
n
i
n
ii
nx
f
1 1
1)1,...,1,1(
3.- a. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie
Z = x3y + 5 y
2 con el plano x = 2, en el punto en el que y = 1.
b. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie
Z = x2 + y
3 x con el plano y = 2, en el punto en el que x = 2.
Solución:
21 yz 21 yz
0m
2m
12
a)
3 2
2
( , ) 5
2 (2, ) 8 5
8 10
(2,1)8 10(1) 18T
z f x y x y y
Si x f y y y
fy
y
fm
y
b)
2 3
2
( , )
2 ( ,2) 8
2 8
(2,2)2(2) 8 12T
z f x y x y x
Si y f x x x
fx
x
fm
x
5.-Obtener las derivadas parciales:
a) f (x, y, z) = yxzxzy zzyyxx
b) f (x, y, z, u) = uyxuzy zx
Solución: 9 9 9 9 9 9. ; ,v v v u uSug u vu u u muv a a ma u a cte
a) 0011
mzzmyyzxyxx
f xxzy
Análogamente obtenemos y
f
y
z
f
b) ( ) 1( ) .1y z u x y u y z u x y uf
y z u x z x z Ln zx
=( ) 1( ) y z u x y u y z u x y uy z u x x z x z Ln z
=
zx
zyxzx uyxuzy ln
6.-Sea 5642 2123),( xyxyxyxf . Verifique que ),(6 yxf
y
fy
x
fx
Solución:
41012.2726 32554 xyyxy
fyxxy
x
f
Reemplazando en la igualdad:
z
T
y
z
x
2: xT
T
2: yT
13
)2123(6)1012()2726( 5642432554 xyxyxxyyxyyxxyx
56425425642 12721810122726 xyxyxxyyxxyxyx
564252642 127218127218 xyxyxyxxyx
7.-Calcular las derivadas parciales de la función dada; siendo g una función continua.
a)
y
dttgx dttgyxf
1)(
)(),( b)
y
xx
y
dttg
dttgdttgyxf
)(
)()(),(
Solución:
a)
y
a
y
a
dttg
a
a
dttgdttgdttgdttgdttgyxf
x
x )()()()(),( 1
1
)(
)(
)(0;0)()(1
ygy
fxgdttgg
x
f x
b)
y
x
xdttg
a
dttg
adttgdttgyxf
)()(
)()(),( 1
9 9
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
x y y y y y
a a x a a
x y
x
x x
y
fg g t dt g t dt g t dt g g t dt g t dt g t dt
x
g g t dt g x g g t dt g x
g g t dt g x g g t dt g x
)()()()( xgdttggxgdttggx
f x
y
x
y
De manera análoga calculamos y
f
8.-Encontramos las derivadas parciales de u = f (x,y,z) definida implícitamente por
zyxuzuyx 22
Solución:
zuy
xyz
x
uxzy
x
uzuy
zyx
uuz
x
uyx
x
u
2
22)2(
22:
14
zuy
uxz
y
uuzx
x
uzuy
zxx
uzuu
x
uy
y
u
2)2(
2:
zuy
uxy
y
uuyx
z
uzuy
yxuz
uzuu
z
uy
z
u
2)2(
2:
22
2
8.-Hallar las derivadas parciales de 2do orden de la función f(x,y) = e-x/y
+ Ln (y/x) si (x,y) (0,0)
Solución:
2
2
2 2 2 3
2 2
2
3 2 2 3
2
2 2 2
2 2
2 3 4 2
1 1 1
1 1 1
11
1 1
1 1
2 1
x x
y y
x x x
y y y
x x
y y
x x x
y y y
x
y
x x
y y
yf xe e
yx y y x
x
f x xe e e
y x y y y y y
f x xxe eyy y y y
x
f x xe e e
x y y y y y
fe
x y x
f x xe e
y y y y
10.-Calcular las derivadas parciales de f (x,y) =
22 1
x
y
t dte
Solución:
2 22 2 2
4 4
2 2
1 1 1
1 3 3 1
1 1
( , )
(4 ) 4
(2 ) 2
x c xt t t
y y c
x x
y y
f x y e dt e dt e dt
fe x x e
x
fe y y e
y
11.-Sea Z = (x,y) una función real de variable real, diferenciable en R. Demuestre que la función dada
satisface la expresión dada.
15
a) 2 2( , ) (3 ) ; 2 3 4
f ff x y x x y xy x yz
x y
b) ( , ) ( ) ; ( 1).x y y f ff x y e xe x z x
x y
Solución:
a) yyxxzy
fyxxyxx
x
f2)3(';)3(2)3)(3(' 22222
Luego:
yzyxyx
yxyxyxyxxyyx
yxyxxyxxyxxxy
4)3(4
)3('6)3(4)3('6
)]3('2[3)]3(2)3('3[2
22
232223
22222
b) )]()('[)()(' yyyyxyyxyyyx xexeeeexeeexex
f
)]()('[)()(' yyyyxyyxyyyx xexexeeexexeexey
f
Luego,
)()'(')()(' yyyxyyyyx xexexeexexeexe
)(')()(' yyxyyyxyyxy xeexexexexeexe
11)( xzxxee yyx
DERIVADAS DIRECCIONALES
Sea la función f: U Rn R. Sea p U y sea v R
n un vector unitario. Definimos la derivada
direccional de la función f en el punto p y en la dirección del vector unitario v como:
1 2
1 2
( )1. ( ). ( ). ... ( ).
( ) ( ) ( )2. lim
n
n
h o
f p f f fp v p v p v
v x x x
f p f p hv f xp
pv h
1.-Calcular la derivada direccional de la función 221),( yxyxf , en el origen, en la dirección
del vector u = (a, b)
Solución:
16
|||| u
uv es un vector unitario en la dirección de u.
0)0,0(
)1(;,),(
2
1
22
222222
x
fyxx
x
f
ba
b
ba
a
ba
bav
0)0,0(
)1( 2
1
22
y
fyxy
x
f
0)0,0()0,0()0,0(
2222
ba
b
y
f
ba
a
x
f
v
f
2.-Calcular la derivada direccional de la función f (x,y,z) = x Lny + y Ln z + z Ln x, en el punto
p = (1, 1, 1), en la dirección del vector v = (a, a, a).
Solución:
1101
1)1ln()1,1,1(ln
x
f
x
zy
x
f
101)1ln(1
1)1,1,1(ln
y
fz
y
x
y
f
101)1ln(1
1)1,1,1(ln
z
fx
z
y
z
f
3
1,
3
1,
3
1
3
),,(),,(2222 a
aaa
aaa
aaa
v
vu
Por tanto, 33
3
3
11
3
11
3
11
)1,1,1(
u
f
3.-Calcular la derivada direccional de la función f (x,y) = 5x2 y
3 en el punto p = (1,1) en la dirección del
vector tangente al círculo x2 + y
2 = 2 en p.
Solución: La dirección del vector tangente al círculo debe ser ortogonal al punto p = (1,1) del círculo x2 +
y2 = 2 ; y un vector (x,y) cualquiera es ortogonal a (1,1) si (x,y).(1,1) = 0, es decir, si x + y = 0. por
ejemplo el vector (-1,1). Luego,2
)1,1(v .
Por otro lado, 10)1,1(
10 3
x
fxy
x
f
17
15)1,1(
15 22
y
fyx
y
f
22
52/5)2/1(15)2/1(10
)(
v
pf
4.-Calcule la derivada direccional de la función f (x,y) = x Sen y en el punto (3,0), en la dirección del
vector tangente a la parábola y = x2 en el punto (1,1).
Solución:
Y Hallando v:
)1,1(),(donde),)((': khhxhfkyT
2)1(')('2)(' fhfxxf
Luego, )1(21: xyT
)2,1(),1,2(donde,012 1 nnyx Así,
X
5
2,
5
1
)2,1(
)2,1(
1
1
n
nv
Por otro lado, 3)0,3(;0)0,3(
x
fyCosx
y
f
x
fySen
x
f
5
6
5
23
5
10
)0,3(
v
f
5.-Sea la f (x,y) = x2+y
2 ¿En qué dirección es igual a cero la derivada de ésta función en el punto (1, 1)?.
¿En que dirección es igual a cero la derivada de esta función en los puntos del círculo unitario
x2 + y
2 = 1?.
Solución:
a) Rpta.- En la dirección del vector ortogonal al vector (1, 1), es decir, en la dirección del vector del
vector (x,y) tal que (x, y). (1, 1) = 0, o sea, x + y = 0. Por ejemplo, (-1, 1). Así,
2
2,
2
2
2
1,
2
1
)1()1(
)1,1(
)1,1(
)1,1(22
v
En efecto, 02
2)1,1(
2
2)1,1()1,1(
x
f
x
f
v
f
2 2
2 2 02 2
2xy
)1,1(
T
18
b) Rpta.- En la dirección del vector tangente al círculo x2 + y
2 = 1.
6.-Dada f (x,y) = ex e
y y un punto p = (0,0). Compruebe que la derivada direccional de f en p, en la
dirección de (la tangente a) la curva de nivel que pasa por p [es decir, la curva f (x,y) = f (p)] es igual
a cero.
Solución:
)1().()(
vpfp
v
f
i) Hallandof (p):
)1,1()(
),()(
pf
eeeepf yxyx
ii) Hallando v:
Curva de nivel: f (x,y) = f (0,0)
2
1,
2
1
2
)1,1(
)1,1()1,1(,.0
0ln)(1lnln
11
1
1
1
00
n
nventonces
nnAquiyx
eyxe
eeeee
yx
yxyx
02
1,
2
1).1,1(
)1,1(
v
f
GRADIENTE
Sea f : U Rn R una función y p = (x1, x2,…xn) U
Definimos el gradiente de f en p como:
)(,...,
)(,
)()(
21
p
x
fp
x
fp
x
fpf
n
También, redefinimos la derivada direccional de f en p y en la dirección del vector unitario v como:
vpfv
pf.)(
)(
Observaciones:
z
x
y
)( 00 yxp )(pfp v)(pf
v
pf
)(
19
(1) f (p) Rn es un vector perpendicular a la curva (o superficie)
de nivel de f que pasa por p y además nos dice en que dirección
se tiene el mayor crecimiento de la función f en el punto p.
(2) Si v está en la dirección del f (p), entonces v
pf
)(es máximo
(3) y está dado por )()(
pfv
pf
, donde v = f (p)
(4) Si v es perpendicular al f (p), entonces v
pf
)(= 0
1.-Calcular la derivada direccional de la función f (x,y,z,) = x2 + Cos (x+y) – z
2. en p = (1,-1,1) en la
dirección de un vector ortogonal a la superficie de nivel de f que contiene a p.
Solución:
a) Hallando la superficie de nivel de f :
La superficie de nivel de f que sostiene a p = (1,-1,1) esta dada por:
C = x2 + Cos (x+y) – z
2
y como p = (1,-1,1) pertenece a esta superficie de nivel, satisface su ecuación:
C = (1)2 + Cos (1-1) – (1)
2 C = 1
Luego, la superficie de nivel pedida es:
01)(),,( 22 zyxCosxzyxf
b) Hallando v:
El vector ortogonal a f (x,y,z) en p es el f (1,-1,1):
)2,0,2()1,1,1()2),(),(2(),,( fzyxSenyxSenxzyxf Así,
2
2,0,
2
2
22
2,
22
0,
22
2
8
)2,0,2(
2,0,2
)2,0,2(
)1,1,1(
)1,1,1(
f
fv
Por otro lado,
)2,0,2()1,1,1()2),(),(2(),,( fzyxSenyxSenxzyxf
)(pf
vp
20
222
220
2
22
2
2,0,
2
2).2,0,2().(
)(
vpf
v
pf
2.-Calcular el ángulo entre los gradientes de las funciones f (x,y,z) = xy2 z
3 en los puntos
(1,1,1) y (1,-1,-1)
Solución:
)3,2,(,,),,( 22332 zxyxyzzyz
f
y
f
x
fzyxf
Luego, )3,2,1()1,1,1(y)3,2,1()1,1,1( ff
Por tanto (1,1,1) (1, 1, 1) (1,2,3) ( 1,2,3)
(1,1,1) (1, 1, 1) 14 14
f fCos
f f
7
6
14
12
14
1341
Cos
7
6CosArc
3.-Sean f (x,y) = x Sen y + y Sen y, p = (0,) y u = (2,3). Escriba la descomposición del vector f (p) en
sus componentes ortogonales, una de las cuales está en la dirección del vector u. Es decir, determine el
escalar tal que f (p) = u + w, donde w es un vector ortogonal a u.
Solución:
),(),( xSenyCosxxCosyySenyxf
),0()00,0(),0()( SenCosCosSenfpf
Luego, como wupf )( , entonces
1 2
1 2
1 1
2 2
( ,0) (2,3) ( , )
( ,0) (2 ,3 )
2 2
3 0 3
w w
w w
w w
w w
Como w u w. u = 0 1 2( , ) (2,3) 0w w
( 2 , 3 ) (2,3) 0
0942
21
0132
13
2
4.-Determinar un vector normal a la gráfica de la función f (x,y) = Sen (Sen x cos y) en el punto p =
(,).
Solución:
El vector normal a la gráfica de una función f (x,y) en el punto p, está dada por
Np =
1,,
y
f
x
f. Luego,
( , )
( ( )( ), ( ) ( ),1)
( ( ) ( ), ( )( ),1)
[ (0)[( 1)( 1)], (0)(0),1] ( 1,0,1)
Np Cos Sen xCos y Cos xCos y Cos Sen xCos y Sen x Sen y
N Cos Sen Cos Cos Cos Cos Sen Cos Sen Sen
Cos Cos
5.-Considere las funciones 2 2; 3 2 , ; 7 3f x y x y g x y ln x y .Demuestre que la
derivada direccional de la función f en el punto p = (1,1), en la dirección del gradiente de la función g en
p es igual a la derivada direccional de la función g en p, en la dirección del gradiente de la función f en p.
Solución:
Debemos demostrar queu
pg
u
pf
)()(,
donde)(
)(,
)(
)(
pg
pgv
pf
pfu
vg
gg
xyxg
uf
ffyxyxf
)3,7(132
1
)1,1(
)1,1()3,7()1,1()3,
7(),(
)4,6(132
1
)1,1(
)1,1()4,6()1,1()4,6(),(
(1,1) 1 21 2 3(1,1) (6,4) ........................................................(1)
2 13 13
(1,1) 1 21 2 3(1,1) (7, 3) .....................................................(2)
2 13 13
ff
u
gg
v
De (1) y (2) concluimos que v
pg
u
pf
)()(
6.- ¿En qué dirección es nula la derivada de la función 22
22
),(yx
yxyxf
en el punto (1,1)?
22
Solución: Sabemos que si f (x0 y0) v entoncesv
yxf oo
),(= 0
Luego, )1,1()1,1()(
,)(
4),(
222
22
222
2
f
yx
yx
yx
xyyxf
Así, 212121 0),()1,1( vvvvvv
Por tanto los vectores unitarios perpendiculares a (1,-1) son:
)1,1(2
1
)1,1(
)1,1(v
Por tanto, 0)1,1(
v
fen la dirección del vector )1,1(
2
1v
7.-Determine el (o los) puntos de la gráfica de la función (si los hay) z = f (x,y) = 2x2 + 3xy + 5y
2, para
los que el vector N = (3,2,-3) es un vector normal.
Solución: N
De la gráfica se observa que
Np // N Np = N
)1,3/2,1()1,33,34(
3/1
)3,2,3()3,2,3()1,33,34(
yxyx
yxyx
1( 3)4 3 1 4 3 1 .............................(1)93
2 183 10 31
.............................(2)(4)3 331
x y x y y
x y yx
Reemplazando (1) y (2) en z = f (x,y):
961
125
961
125
31
15
93
1
31
83
31
82
22
zz
8 1 125 1 1 125( , , ) , , 8, ,
31 93 961 31 3 31pz x y z
8.-Determine el (o los) puntos de la gráfica de la función dada (si lo hay), para los que el vector N dado,
es un vector normal:
a) )4,3,1(),1ln(),( Nzyxyxf
),,( zyxp
),( yxfZ
N
x
y
z
1,,
y
f
x
fNp
23
b) )3,0,0(,),( 22 NyxSenyxf
Solución de a:
1 2// , , 1 ( 1, 3,4) ( , 3 ,4 )
1 2 1 2
1
4
Np N Np Nx y x y
Por igualdad de ternas:
IONCONTRADICCyx
yx
yxyx
)(3
84
3
821
4
3
21
1
4214
1
21
1
punto alguno.
Solución de b:
2 2 2 2
2 2 2 2
.2 .2// , , 1 (0,0, 3)
2 2
1(0,0, 3 )
3
Cos x y x Cos x y yNp N Np N
x y x y
Por igualdad de ternas:
0
0
22
22
22
22
yx
yxCosy
yx
yxCosx
Aquí no puede sucedes que 22 yx = 0 , x = 0, y = 0.
Luego, sólo queda la posibilidad de que:
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
(2 1)0 ,
2
2 1, 0
2
nCos x y x y n
nx y k k
}0,/),(),{( 2222 kkyxyxfyx
24
9.-Se da la ecuación de una superficie S y un vector N . Determine el punto de S (si los hay) para los que
N es un vector normal a S.
a) ).6,3,2(,132 222 NzyxS
b) ).2,2,2(,4222 NzyxS
Solución:
Considerando como superficie de nivel:
)6,4,2(
0132),,( 222
zyxf
zyxzyxf
Como, )6,3,2()6,3,2()6,4,2(// zyxNfNf
Por igualdad de ternas:
2 2
34 3
4
6 6
x x
x y
x z
…………………………………………………….(*)
Como (x,y,z) está en la superficie S, satisface su ecuación, es decir,
).(..........41
81
8
411
8
24
8
9
8
8
1316
181)(3
4
32)(
2222
2222
2
2
Reemplazando () en (*):
41
8),1,
4
3,1(),,( Dondezyx
10.-Hallar los puntos del elipsoide x2 + 2y
2 + 3z
2 = 6 en los que la recta normal que pasa por ellos es
perpendicular al plano 4x – 6y + 3z = 7.
Solución:
Considerándolo como una superficie de nivel:
0632),,( 222 zyxzyxf
Como NfNf //
)3,6,4()3,6,4()6,4,2( zyx
),,( zyxp
F
)3,6,4( N
x
y
z
),,( zyxp S
N
x
y
z
z
f
y
f
x
ffN ,,
25
Por igualdad de ternas:
2 4 2
32 6 ....................................(1)
2
6 32
x x
y y
z z
Como (x,y,z) está en el elipsoide, entonces satisface su ecuación, es decir,
62
33
222
22
2
, de donde, como en el ejercicio anterior, obtenemos que:
37
2222
37
3762
37
62
37
24
2
1,
2
3,2),,( zyx
11.-Dada la superficie S = x2+2y
2 + 3z
2 + 2xy + 2xz + 4yz = 8, hallar los puntos en los cuales los planos
tangentes son paralelos al plano xy.
Solución:
i) Hallando la ecuación del plano 1:
)642,442,222(),,(
0842232),,(
1
222
oooooooooooo zyxzyxzyxzyxfN
yzxzxyzyxzyxf
Así, 1 : ( , , ) [( , , ) ( , , )] 0o o o o o of x y z x y z x y z
( ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 8 ..............................................(1)o o o o o o o o ox y z x x y z y x y z
ii) Por otro lado, la ecuación del plano paralelo al plano x, y es:
2 : 0 0 , .....................................................................(2)x y z c c cte
Luego, )1,0,0(,// 22121 NNN
),0,0()1,0,0()32,22,( ooooooooo zyxzyxzyx
),,0(
032
022
0
p
x
y
z
zyx
zyx
zyx
o
o
o
ooo
ooo
ooo
Hallando :
26
)22,22,0(
228432 222
p
Sp
12.-Encontrar las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies
2 2 2 2 2 2
1 2: 3 2 16 y : – 2 1S x y z S x y z en el punto (2,1, 2) . Además, hallar la
ecuación del plano normal.
Solución: 1 2: ( , , ) (2,1, 2) , dondeL x y z t a a N x N
i) Hallando a :
2 2 2 2 2 2
1 2
( , , ) 3 2 16 0; ( , , ) 2 1 0
( , , ) (6 , 4 , 2 ); ( , , ) (2 , 2 , 4 )
(2,1, 2) 2(6,2, 2); (2,1, 2) 2(2,1, 2)
F x y z x y z G x y z x y z
F x y z x y z G x y z x y z
N F N G
1 2 4 6 2 2 4 ( 5 2, 14 2, 2)
2 1 2 2
i j k
a N N
2 1 2
:25 2 14 2
x x zL
ii) La ecuación del plano normal es:
: -5 2, 14 2, 2 , , 2,1, 2 0
: 5 2 x 14 2 y 2z 6 2 0
x y z
13.-Determine la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + xy que sea perpendicular a los
planos x + y – z = 3 y 2x – y + z = 4.
Solución:
)1,1,2(:
)1,1,1(:42:
3:22
1
2
1:
1
21
21
n
nzyx
zyxzyx
)3,3,0(
111
11221
kji
nxnN
Por otro lado, como NNpNNp //
1n
2n
Np
),,( zyxp
1
2
x
y
z
1S2S
2S
27
)3,3,0()1,,2(
)3,3,0(1,,
xyx
y
f
x
f
= 1/3
)1,1,0()1,,2( xyx
Por igualdad de ternas:
1
02
x
yx x = -1 y = 2
Reemplazando x e y en z = x2 + xy obtenemos que z = -1
Así. P = (-1,2,-1)
1:
333
03363
0)1(3)2(3)1(0
0)1,2,1)(3,3,0(
0)]1,2,1(),,[(*:
zy
zy
zy
zyx
zyx
zyxN
14.-Los puntos A=(2,5,3); B=(-1,-2,-3) son los extremos del diámetro de una esfera. Hallar las
ecuaciones de los planos tangentes a esta esfera en los puntos A y B.
Solución:
La ecuación de la esfera es:
2222 )()()( rwzkyhx
Hallando el centro y el radio:
2 2
2
2 1 5 2 3 3 1 3, , , , 0
2 2 2 2 2 2
1 3 94 47( , ) 1 2 (0 3)
2 2 4 2
47
2
A BC
r d C B
r
Luego, 2
47
2
3
2
1: 2
22
zyxS
Así considerándolo como una superficie de nivel:
C
B
A
28
2 2
2
1
1 3 47( , , ) 0
2 2 2
1 3 7( , , ) , (2,5,3) , , 3
2 2 2
3 7: , , 3 [( , , ) (2,5,3)] 0
2 2
F x y z x y z
F x y z x y z F
x y z
De donde 59673:1 zyx Análogamente: 35673:2 zyx
15.-Dada la ecuación de la esfera x2 + y
2 + z
2 = 4 y la ecuación de la recta
L: (x,y,z)= (4,0,0) + t (-1,1,1), t R. Determine la ecuación del plano que pasa por L y es tangente a la
esfera.
Solución:
04),,( 222 zyxzyxf
04
0),,4(*)2,2,2(
0)]0,0,4(),,[(::
4:: 222
mzqymxn
zyxqnn
zyxNpPlano
zyxSEsfera
Hallando n, m, q:
De la figura: 0)2,2,2(*)1,1,1( qmnNpa
n = m + q…………………………….. (1)
(m,n,q) S n2 + m
2 + q
2 = 4………………………………………………. (2)
(m,n,q) mn + mm + qq – 4n = 0
4 – 4n = 0 n = 1…………………………………. (3)
Reemplazando (3) en (1): 1 = m + q q = 1 – m ………………………… (4)
Reemplazando (4) y (3) en (2): 1 + m2 + 1 – 2m + m
2 = 4
2
510222 2
mmm …………… (5)
Reemplazando (5) en (4): 2
51
2
511
q
)2,2,2( qmnNp
)0,0,4(aL
PS
29
8)51()51(2
042
51
2
51:
zyx
zyx
16. Sea C = (3,4,5) el centro de una esfera que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano tangente en
el origen y de su plano paralelo.
Solución:
0543
01086
0)]0,0,0(),,[(*)10,8,6(:
)10,8,6(
))5(2),4(2),3(2(
50543
;50)5()4()3(
)()()(:
1
222
222
2222
zyx
zyx
zyx
Np
zyxN
r
zyx
rqzkyhxs
100543:2543: 2
2
2 zyxrzyx
INCREMENTOS Y DIFERENCIALES
LA DIFERENCIAL. Si 2:f U es diferenciable en U , entonces
, ; , ; , ,d f x y f x x y y f x y f x x y y f x y d f x y
,f f
df x y dx dyx y
valor aproximado.
Aplique la diferencia para calcular aproximadamente en valor de:
1) 1.2 0.98Arctag 2) 2
3.1 4.9 2.1
Solución:
1) ,f x y Arctag x y
a)Puntos cercanos: 1 , 1x y . Luego debemos calcular
, , ,f x x y y f x y d f x y . Es decir,
¿ 1.2 , 0.98 1,1 1,1 ?f f d f , donde 1,1 1,1 1,1f f
d f d x d yx y
b) calculando 1,1 , 1,1 , 1,1 ;f f
f d xx y
y d y :
)5,4,3(R
1
2
x
P y
30
1
2
2 2
2
1,1 1 1 2
11 12, 1,1
101 2 1
1 11,1
51
f Arctag Arctag
xf f
f x y Arctag x yx xx y x x y
f f
y yx y
Por lo tanto,
1.2 1.2 1 0.2
0.98 0.98 1 0.02
x x x d x
y y y d y
c) calculando 1,1d f : 1 1
1,1 0.2 0.02 0.01610 5
d f
d) 1.2 ; 0.98 1,1 1,1f f d f
1.1071
1.2 0.98 2 0.016 1.1231Arctag Arctag
, 1.2 ; 0.98 1.1231
1.1231 1.1071
0.016
Aquí f
Error
2) a) 1
2, , xf x y z y z
b) puntos cercanos: 3, 5, 2x y z .Luego debemos calcular
, , , , , ,f x x y y z z f x y z d f x y z es decir,
3.1;4.9 ; 2.1 3,5,2 3,5,2f f d f
c) calculando , , 3,5,2 , 3,5,2f f
dx dyx y
y 3,5,2
f
z
3.1 3.1 3 0.1
4.9 4.9 5 0.1
2.1 2.1 2 0.1
x x x d x
y y y d y
z z z d z
Por otro lado,
12 3
12 2
212
11
2
11
2
3,5,2 5 2 3
13,5,2 1.098
, ,1
2 3,5,2 0.37
13,5,2 0.037
x
x
x
x
f
f fy z Lm y z
x x xf x y z y z
f fy z y
y x y
f fy z
z x z
31
d) calculando 3,5,2d f ;
3,5,2 3,5,2 3,5,2 3,5,2
1.098 0.1 0.37 0.1 0.037 0.1 0.1431
f f fd f d x d y d z
x y z
e) 2
3.1 4.9 2.1 3,5,2 3,5,2 3 0.1431 2.8569f d f
Sea ,z f x y y sean x y y los incrementos de x e y respectivamente.
La diferencial de x : dx x
La diferencial de y : dy y
La diferencial de z : f f
dz dx dyx y
nota: z x d z con error máximo: z dz error
1. Usando diferenciales, calcular el máximo error que se comete al calcular el volumen de un recipiente
cilíndrico de 15cm de radio y 20cm de altura y 3mm de espesor.
Solución: 3 0,3mm cm el volumen del cilindro es: 2.V r h r h
Para 15, 20, 0,3, 0,3r h r h
el incremento del volumen del recipiente cilíndrico es:
, ,V V r r h h V r h
15 0,3 ; 20 0,3 15,20V V V
3791,7662cm
Por otro lado, la diferencia del volumen:
V V
dV dr dhr h
2
2
3
2
2 15 20 0,3 15 0,3
777,5442
r hdr r dh
r
cm
Por tanto, el máximo error cometido es:
3791,7662 777,5442 14,222V dV cm
2. Una lata de cerveza mide 12cm de alto y tiene 3cm de radio en la base. El fabricante quiere reducir la
altura en 0,2cm y el radio en 0,3cm. ¿Qué cantidad dejaran de beber los consumidores por cada lata de
cerveza?
Solución: Volumen de la lata: 2V r h
Para 3, 12, 0,3r h r y 0,2h el incremento del volumen es:
; ,V V r r h h V r h
3mm
3mm
32
3
3 0,3; 12 0,2 3,12
270,246 339,292
69,046
V V V
cm
Y la diferencia del volumen es:
V V
dV r hr h
2
2
3
2
2 3 12 0,3 3 0,2
67,858 5,655
73,513
r h r r h
cm
Por tanto los comunicadores beberán 373,513cm menos de cerveza y con un error cometido de:
3
3
69,046 73,513
4,467
V dV cm
cm
3. Estimar el porcentaje de cambio del volumen de un cilindro si el radio aumente en 1% y la altura
disminuye en 1,5%.
Solución.
Nos piden: 100% 100
100 ?%
V V Vx
V x V V
11% 0,01
100
1,51,5% 0,015
100
El volumen del cilindro es: 2V r h
El incremento del volumen del cilindro es: 1% 1,5%r r h h
Para 0,01 0,015r r h h es aproximado
2
2
2 2
2
2
2
2 0,01 0,015
2 0,01 0,015
2 0,01 0,015
0,005
V VV dV r h
r h
r h r r h
r h r r
r h r h
r h
r h
2
2
100100
0,005100
0,005 100
0,5
% 0,5%
V Vx
V V
r h
r h
x
4. Sea A el área de un triángulo con lados a y b que forman un ángulo de 60º3
. Si a disminuye
en 3% y b aumenta en 4% , estimar el porcentaje de cambio de A .
Solución:
Sabemos que op
Senhip
3
a
b
ch
33
Luego, 3
3 2
hSen
a
También, sabemos que
3 3
2 2 2 4
bh bA a ab
Por otro lado, 3 3
4 4dA b d a a d b
2
3 3 40,03 0,04 0,013 0,017 0,013 3 0,017
4 4 3
0,017 0,030
Ab a b a a
a
a A
a
5. Una placa calentada de manera irregular tiene una temperatura ,T x y en ºC en el punto ,x y . Si
2,1 135, 2,1 16xT T y 2,1 15yT , calcular la temperatura en el punto 2.04 ; 0.97
Solución: , ,T x x y y T x y dT x y
2.04 ; 0.97 2.1 2.1 2.1 135 16 0.04 15 0.03 136.09T T
T T dx dyx y
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Halle el Dominio de las siguientes funciones:
4ln, xyyxf 22 44, yxyxf
y
yxyxf
1,
22 221 1, yxsenyxf
yxyxf ,
2
21
1
1tan,
y
xyxf
2. Grafique algunas Curvas de Nivel para cada una de las siguientes funciones.
yxyxf , yxyxf ln, ´
22 925, yxyxf 22
2,
yx
xyxf
34
xyyxf , 22
),( yxeyxf
3. Demuestre usando la definición de Límite
1042lim 22
)1,3(,
yxyx
yx 53lim 2
)2,1(,
yx
yx
2lim 22
)1,1(,
yx
yx 42lim 2
)4,2(,
yxx
yx
4. Use la definición para hallar las derivadas de primer orden a las siguientes funciones.
332 3, xyxyxyxf y
xyxf
2
3,
222,, zyxzyxf xzzyyxzyxf 222,,
5. Obtenga las derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones.
a) yxxyzxxzyzzy zzyyxxzyxf ,,
b)
y
xArc
x
yArcsenyxf cos,
c) 4ln2222
ln,, eeezyxf xyzzyx
d) 312
,
zy
xyzsenyxf
e) mnnmnmf 11,
f)
22
2,
yx
xyArctagyxf
6. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө y = rsenө. Demuestre que:
r
senucos
r
u
x
u
y
r
cosusen
r
u
y
u
7. Demuestre que si u = ln ( x2 + y
2 ) y
x
ytanv 1
y
v2
x
u
2
y
u
x
v
8. Sea z una función de 2 variables tal que 2
1
y
xz
. Demuestre que:
0y
fy
x
fx
9. Si
y
xtanz 1
, donde x = u sen v y = u cos v.
Demuestre que u
z
= 0 y
v
z
= 1
35
10. Sea
xy
y
xt Halle
x
t
,
y
t
11. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:
y
1ln2
x
1ln2
eey
x)y,x(f
Demuestre que: y,xf4y
fy
x
fx
12. Sea f(x,y), una función de dos variables, tal que:
2x
1ln
2
1yln2
ey
x)y,x(f
Demuestre que: y,xf4y
fy
x
fx
2
22
2
22
13. Sea xy22 e,yxfz , Halle x
z
,
y
z
14. Sea yxz , )x(y Halle
x
z
14. Supongamos que una montaña tiene La forma de un semielipsoide
2 2( , ) 66 4f x y x y , donde el eje X son las coordenadas este-oeste, el eje Y norte-sur y el
eje Z es la altitud sobre el nivel del mar. En el punto 2;1;7 se encuentra un andinista:
a. ¿Cuál es la ladera mas pronunciada?
b. Si el Andinista se mueve en la dirección sur-este ¿esta ascendiendo o descendiendo?¿cual es su
rapidez?
c. Si el Andinista se mueve en la dirección este ¿esta ascendiendo o descendiendo?¿cual es su rapidez?
d. En la curva de nivel apropiada ubique y dibuje el vector gradiente 2;1f
e. ¿en que dirección esta recorriendo una trayectoria de nivel?
15. Sea y una función de dos variables tal que: y + z = x + ln(y), Halle 2
2
x
y
16. Sea y una función de dos variables de modo que:
x
ytankzyxln 1222
, tal que k
= ctte, Halle 2
2
x
y
17. Demuestre que la función x
y
xexyz , satisface la ecuación
xyzy
zy
x
zx
18. Demuestre que la función zy
yxxu
, satisface la ecuación:
36
1z
u
y
u
x
u
19. Sea
t
r
zettrfln
, , halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:
r
f
ttr
t
f 12
19. Demuestre que la función
x
yfxxyz , satisface la ecuación
xyzy
zy
x
zx
20. Sea u = f (x,y) , tal que x = rcosө, y = rsenө. Demuestre que:
2
2
2
2
2
2
22
2
y
u
x
uu
r
1
r
u
r
1
r
u
21. Demuestre que si )y,x(fw , y que x = rcosө, y = rsenө.
2
2
222w
r
1
r
w
y
w
x
w
22. Sea z una función de dos variables tal que, 4ln2xyzzyx eeeln222
Halle x
z
,
y
z
23. Sea
x
yhxy)xy(fw Halle
y
w
,
x
w
24. Sea x
y
y
x)y,x(f
Demuestre que: 0
y
fy
x
fx
25. Sea z una función de dos variables tal que, )e2ln(y
x 4
z
Demuestre que: 0y
zy
x
zx
26. Sea xyfy
xw Demuestre que: w2
y
wy
x
wx
27. Sea
x
yfxyw Demuestre que: w2
y
wy
x
wx
28. Sean u y v funciones de “x” e “y” tal que:
yuv
yxu
Halle y
u
,
x
u
,
y
v
,
x
v
,
2
2
x
u
,
2
2
y
u
,
xy
u2
29. Sea yyx xegey,xf . Donde g(x,y). Demuestre que: )yx(zy
fy
x
fx
37
30. Sea z una función de dos variables tal que: x + y + z = xyz
Demuestre que: x
z
xy1
y2
x
z2
2
y
z
xy1
x2
y
z2
2
31. Demuestre que la función
x
yfxxyz , satisface la ecuación
xyzy
zy
x
zx
33. Verifique si )()cos(, kxsenkatAtxf , cumple con:
2
22
2
2
x
fa
t
f
; siendo A,a,k constantes
34. Sea
ztngex
zyxf yln,
111, halle
y
f
,
x
f
35. Sea t
r
zettrf 4
2
,
, halle el valor de la constante “z” que satisface la ecuación:
r
fr
rrt
f 2
2
1
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