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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Trigonometría
Curso de Extensión
PARTE C SESIONES 9 - 13
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
CURSO DE EXTENSIÓN
TRIGONOMETRÍA
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
FACILITADORES
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 8
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 9 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 20
1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Trigonometría
Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache
Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”
Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77
Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:
Datos de Identificación Profesores del área:
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache
Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”
Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88
Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”
Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158
Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”
Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205
Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221
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3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………
Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”
Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………
Tema 7 “Resolución de triángulos”
Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………
Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………
Respuestas a las Autoevaluaciones.
Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14
Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46
Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80
Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………
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4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………
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5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Introducción
Este curso está orientado hacia la capacitación del
estudiante para el uso de herramientas básicas de
trigonometría. Esta área, como parte de las
matemáticas trata del cálculo de los elementos de los
triángulos planos y esféricos, siendo las funciones
trigonométricas parte fundamental del análisis y del
cálculo desempeñando un importante papel tanto en las
matemáticas puras, como en las aplicadas.
Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los
estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de
trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones
prácticas en su quehacer profesional.
El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones
Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades
Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones
trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes
de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de
Los Andes.
Objetivos
Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
básicas de trigonometría.
Objetivos específicos
* Tema 1: Preliminares geométricos
Formular los conceptos básicos de la trigonometría.
* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo
rectángulo.
* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo
Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.
* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos
suplementarios
Resolver problemas aplicados.
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6 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos
Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de
problemas.
* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.
* Tema 7: Resolución de triángulos
Resolver problemas de triángulos.
Estrategias
Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,
voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes
satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta
modalidad le permitirá:
1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
comodidad de su domicilio.
2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,
M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.
están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL
CURSO:
Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada
tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.
Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser
analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse
en un tiempo determinado.
Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se
lograrán durante la interacción con cada sesión.
Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
diferentes temas que comprende cada sesión.
Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben
seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje
de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los
contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes
(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos
y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te
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7 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada
sesión.
Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el
autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario
empleado.
Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de
finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te
sientas preparado para presentar la evaluación final.
Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
transcurso de 10 semanas.
• Leer pausadamente cada sesión de clase
• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
al final de cada unidad
• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
cada sesión de clases
• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
• Es importante consultar a través del correo electrónico
xxxxx@ula.ve cualquier duda de los temas expuestos.
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134 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 9
Objetivos específicos
* Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.
Actividades
* Leer apuntes sesión 9. * Practicar los ejemplos resueltos de cada contenido. * Realizar la autoevaluación de la sesión 9.
Recursos
* Apuntes sesión 9.
Preliminares
Antes de comenzar el tema, el estudiante debe recordar las
definiciones realizadas en la sección 1.4 del Capítulo I en lo
concerniente a:
• Circunferencia
• Círculo
• Arco de circunferencia
• Longitud de arco de circunferencia
• Medida angular de un arco de circunferencia
• Radián
• Longitud de una circunferencia
1. Coordenadas cartesianas ó rectangulares en el plano
A continuación recordaremos algunas definiciones que serán de
suma importancia en el desarrollo del tema.
1.1. Par ordenado: dos números reales cualesquiera forman un par
(o pareja), y cuando el orden del par tiene importancia, se le llama
par ordenado. Si x es el primer número real e y el segundo, este
par ordenado se denota como ),( yx . Nótese que el par ordenado
)7,3( es diferente del par ordenado )3,7( .
135 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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1.2. Plano cartesiano: al conjunto de pares ordenados de números
reales lo llamaremos plano cartesiano y lo denotaremos por ℜ², y a
cada par ordenado ),( yx , punto en el plano. Para construir el sistema
de coordenadas cartesianas ó rectangulares (ó plano cartesiano) se
siguen los siguientes pasos:
- Se escoge una recta horizontal en el plano geométrico y se le
denomina eje x ó eje de las abscisas.
- Se elije una recta vertical y se le llama eje y ó eje de las
ordenadas.
- El punto de intersección del eje x y del eje y recibe el nombre de
origen y se denota por la letra O.
- Se escoge una unidad de longitud, que en general es la misma
en ambos ejes.
- Se establece que el sentido positivo en el eje x es hacia la
derecha del origen y se indica con una flecha en el extremo
derecho y que el sentido positivo del eje y es hacia arriba del
origen y se indica con una flecha en el extremo superior. Ver
figura 9.1.
Figura 9.1. Plano Cartesiano
Para representar un par ordenado (a,b) en el plano cartesiano
seguimos los siguientes pasos:
- Trazamos una recta vertical que pase por el punto x=a en el
eje de las abscisas.
- Trazamos una recta horizontal que pase por el punto y=b en el
eje de las ordenadas.
- La intersección de estas dos rectas es el punto P asociado al par
ordenado (a,b) que denotamos por P (a,b). Ver figura 9.2.
Eje x (Abscisa
)O Origen
Eje y (Ordenada)
-3 -2 -1 1 2 3
1
3
2
-1
-2
-3
136 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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El primer número a del par, recibe el nombre de abscisa (o
coordenada x) de P y el segundo número, b, es la ordenada (o
coordenada y) de P.
Figura 9.2. Un punto en el plano
Definición 9.1. Dado un punto P del plano, el par ordenado (a,b) de
números reales asociado a éste se llaman coordenadas cartesianas
o rectangulares del punto P.
La notación P(a,b) significa que (a,b) son las coordenadas
cartesianas del punto P.
Ejemplo 9.1
Identificar la abscisa y la ordenada de los puntos P (8,9), Q (6,-2) y R
(0,12)
Solución:
La abscisa de P es 8 y la ordenada de P es 9.
La abscisa de Q es 6 y la ordenada de Q es -2.
La abscisa de R es 0 y la ordenada de R es 12.
Si la abscisa de un punto P es positiva, entonces P está a la
derecha del eje y, mientras que si es negativa estará a la izquierda.
Si la ordenada es positiva, entonces P está arriba del eje x, mientras
que si es negativa, estará por abajo.
Ejemplo 9.2 Los puntos P (1,2), Q (-1,3), R (1,-1), A (-3,0) y B (0,2)
Solución:
Punto P (1,2): como la abscisa de P es positiva, entonces el punto se
representa a la derecha del eje y. Por otro lado, como su ordenada
es positiva, entonces P estará por arriba del eje x. Ver figura 9.3.
Eje y
o
Eje x O
y=b P(a,b)
x=a
137 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Figura 9.3. Representación del punto P (1,2)
Punto Q (-1,3): como la abscisa de Q es negativa, entonces el punto
se representa a la izquierda del eje y. Por otro lado, como su
ordenada es positiva, entonces Q estará por arriba del eje x. Ver
Figura 9.4.
Figura 9.4. Representación del punto Q (-1,3)
Punto R (1,-1): como la abscisa de R es positiva, entonces el punto
se representa a la derecha del eje y. Por otro lado, como su
ordenada es negativa, entonces R estará por debajo del eje x. Ver
Figura 9.5.
oQ (-1,3)
-1
3
x
y
P(1,2) o
1
2
x
y
1
0
138 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Figura 9.5. Representación del punto R (1,-1)
Punto A (-3,0): como la abscisa de A es negativa, entonces el punto
está a la derecha del eje y. Por otro lado, como su ordenada es
nula, entonces A estará sobre el eje x. Ver figura 9.6.
Figura 9.6. Representación del punto A (-3,0)
Punto B (0,2): como la abscisa de B es nula el punto B se encuentra
sobre el eje y; por otro lado, como la ordenada es positiva B se
encuentra por encima del eje x. Ver figura 9.7.
o -3
A(-3,0) x
y
0
R(1,-1) o
1
-1
x
y
0
139 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Figura 9.7. Representación del punto B (0,2)
Los ejes x y y se denominan ejes coordenados, estos dividen al plano
en cuatro partes llamadas cuadrantes. El primer cuadrante es aquél
en el cual tanto la abscisa como la ordenada son positivas, los otros
cuadrantes se enumeran en sentido antihorario. Ver Figura 9.8.
Figura 9.8. Cuadrantes en el plano
Ejemplo 9.3
Diga en que cuadrantes están los puntos P (1,2), Q (-1,3) y R (1,-1).
Solución:
Las coordenadas x e y del punto P son ambas positivas, por lo
tanto P está en el primer cuadrante.
La coordenada x del punto Q es negativa, mientras que su
coordenada y es positiva, por lo tanto Q está en el segundo
cuadrante.
2 o B(0,2)
x
y
0
Eje y
Eje x O
I cuadrante II cuadrante
III cuadrante IV cuadrante
140 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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La coordenada x del punto R es positiva y su coordenada y es
negativa, por lo tanto R está en el cuarto cuadrante.
2. Ángulos en trigonometría
Recordemos que un ángulo es la porción de plano comprendida
entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Ese punto, origen
de ambas semirrectas, es el vértice del ángulo y las dos semirrectas
son los lados del ángulo.
Cualquier ángulo α es congruente a un ángulo que tenga su vértice
en el origen y un lado sobre el lado positivo del eje x. Un ángulo
dispuesto de tal forma, se dice que está en posición normal.
Generalmente, se le llama lado inicial al que está sobre el eje x, y
lado final al que junto con el primero forma el ángulo α. Ver Figura
9.9.
Figura 9.9. Ángulo α versus ángulo α en posición normal
En el estudio de problemas que incluyen ángulos de triángulos, la
medida de un ángulo suele darse en grados. Sin embargo, como
nos interesa evaluar las funciones trigonométricas en números
reales, usaremos la medida de ángulos en radianes, es decir,
utilizando el sistema circular definido en el primer tema de este
curso.
Observación: En el capítulo I estudiamos los ángulos a los cuales les
asignamos medidas en grados sexagesimales (º) ó radianes (rad.) y
cuya medida sería positiva (+) si el sentido de giro del lado final era
antihorario y negativo (-) si el sentido de giro era horario (el de las
agujas del reloj). En este capítulo se presenta una manera de medir
ángulos en la que la medida es un número real cualquiera.
α α
Ángulo α Ángulo α en posición normal
O A
B
O x
B
Lado inicial
Lado final
A
141 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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P
A
(x,y) = (cos t, sen
Eje y
Eje
OO
t
o
3. Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera
3.1. Funciones trigonométricas en el círculo
A continuación daremos la definición de las funciones seno ( tsen ) y
coseno ( tcos ), donde t es la medida de un ángulo cualquiera en
radianes y para lo cual usaremos la circunferencia unitaria (radio
R = 1) con centro en el origen de coordenadas.
Definición 9.2. Sea t un número real arbitrario pero fijo, consideremos
el ángulo que mide t radianes. Representemos el ángulo t en su
posición normal, grafiquemos en el mismo dibujo la circunferencia
unitaria con centro en el origen, llamemos )0,(xA al punto de corte de
la circunferencia con el eje x en su sentido positivo, y llamemos
),( yxP al punto de intersección de la circunferencia con el lado final
del ángulo t, ver Figura 3.4.1. Entonces, la función coseno del ángulo
t se define como la abscisa del punto ),( yxP y la función seno del
ángulo t se define como la ordenada del punto ),( yxP . Es decir,
xt =)(cos y ytsen =)(
Tenemos entonces, que si ),( yxP es un punto de la circunferencia
unitaria, correspondiente a un ángulo t, entonces:
),(cos),( tsentyx =
Note que dado un número real t, siempre podemos encontrar un
ángulo AOP que tenga medida t en radianes, así, las funciones
)(tsen y )(cos t están definidas para cualquier valor de t. En la Figura
9.10. se puede observar el punto ),(cos),( tsentyx = cuando 2
0 π<< t (I
cuadrante). Y en la figura 9.11. se puede observar el punto
),(cos),( tsentyx = cuando 2π
π −<<− t (ó 2
3ππ << t , III cuadrante).
Figura 9.10. Circunferencia
142 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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(x,y) = (cos t,sen t) A
Eje y
Eje x O t o
Figura 9.11. Circunferencia
El valor máximo que pueden tener, tanto la abscisa como la
ordenada, de cualquier punto sobre la circunferencia unitaria es 1 y
el mínimo es -1. Luego, las funciones seno y coseno toman valores en
el intervalo [-1,1], de hecho, las funciones )(tsen y )(cos t toman todos
los valores en ese intervalo.
Ejemplo 9.4 Hallar los siguientes valores
a) )0(sen y )0(cos
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛2πsen y ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
2cos π
Solución:
• Cuando t = 0, el ángulo t tiene sus dos lados sobre el eje x
en su sentido positivo. Luego, el punto de corte de la
circunferencia con el lado final del ángulo ocurre en el
punto )0,1( . Por lo tanto ,
))0(),0((cos)0,1( sen= ,
es decir,
1)0(cos = y 0)0( =sen
• Cuando 2π
=t , el ángulo t tiene su lado final sobre el eje Y en
su sentido positivo. Luego, el punto de corte de la
circunferencia con el lado final del ángulo ocurre en el
punto )1,0( . Por lo tanto ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2,
2cos)1,0( ππ sen ,
es decir,
143 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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02
cos =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛π y 12
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛πsen
Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, para ciertos valores
de t, el coseno y el seno se pueden obtener a partir de la gráfica de
la circunferencia unitaria. En cualquier caso es conveniente recordar
que cualquier punto ),( yxP de la circunferencia unitaria, debe
cumplir la ecuación trigonométrica fundamental, que es una
consecuencia del teorema de Pitágoras:
1)()(cos 22 =+ tsent ,
y en términos de las coordenadas del punto es:
122 =+yx
Recordemos el teorema de Pitágoras definido en el capítulo II para
triángulos rectángulos: dado un triángulo rectángulo con catetos de
longitud X e Y, e hipotenusa de longitud C, se cumple que el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos. Ver figura 9.12.
Figura 9.12. El triángulo rectángulo y teorema de Pitágoras
En símbolos, tenemos que: 222 yxc += .
Note que con un punto ),( yxP de la circunferencia unitaria siempre
se puede construir un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a
1, es por ello que podemos definir las funciones seno y coseno a
partir de ésta. De hecho, si el punto ),( yxP está en el primer
cuadrante (ver figura 9.13.) se tienen las siguientes relaciones:
1)( y
hipotenusaopuestocatetotsen == , de ahí que )(tseny = ;
x Cateto
Cateto
Hipotenusa c
c2=x2+y2
144 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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1)cos( x
hipotenusaadyacentecatetot == , de ahí que )cos(tx =
Estas relaciones siguen siendo válidas independientemente del cuadrante donde se encuentre el punto ),( yxP .
Figura 9.13. El triángulo rectángulo con uno de sus vértices en el punto ),( yxP
sobre la circunferencia de radio unitario
En la figura 9.14. podemos observar los valores correspondientes a
algunos ángulos notables:
( ) ( ) 00,10cos == sen ,
22
4,
22
4cos =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ sen ,
12
,02
cos =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ππ sen ,
( ) ( ) 0,1cos =−= ππ sen ,
123,0
23cos −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ sen
Figura 9.14. Valores del seno y del coseno de algunos ángulos notables alrededor del círculo de radio unitario
(0,-1) = (cos 3π/2,sen 3π/2)
Eje y
Eje x
(1,0)=(cos 0, sen 0)
(√2/2,√2/2) = (cos π/4,sen π/4) (0,1) = (cos π/2,sen π/2)
(-1,0) = (cos π, sen π)
p(x,y)
y
x
t
1
145 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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La siguiente tabla muestra estos valores y algunos otros que se usan
con frecuencia.
Tabla 9.1. Valores correspondientes al primer cuadrante
Las demás funciones trigonométricas (tangente, secante,
cotangente y cosecante) se hallan de forma análoga a las
definidas en el capítulo II para el triángulo rectángulo.
t Sen(t) Cos(t)
0 0 1
6π
21
23
4π
22
22
3π
23
21
2π
1 0
146 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 9: Ejercicios propuestos
1. En las siguientes figuras el punto P(a, b) se encuentran sobre una
circunferencia de radio unitario. Si se conoce la abscisa o la
ordenada, determine las coordenadas de P:
2. En las siguientes figuras, el punto P se encuentra sobre una
circunferencia de radio unitario. Determine el Sen α, cos α y tag
α y las coordenadas de P, si α en el ángulo medio en el sentido
señalado en las figuras.
147 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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3. En las siguientes figuras el punto P se encuentra sobre la
circunferencia de radio r =1, si conoce una de las coordenadas
de P determine sen α, cos α y tag α.
148 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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4. Los vértices de un triángulo están dados por los puntos A (0,5), B
(2,1) y C(6,1). El área en unidades cuadrada de dicho triángulo
es :
a) 4
b) 8
c) 12
d) 16
5. En los siguientes casos los puntos A, B, y C representan los vértices
de un triángulo en el plano cartesiano. Determine el área y el
perímetro de cada triángulo ABC
a) A(0,0) ; B(4,3) ; C(0,6)
b) A(0,1) ; B(5,4) ; C(0,4)
c) A(2,1) ; B(5,1) ; C(0,4)
d) A(-2,3) ; B(-2,1) ; C(-5,4)
e) A(2,0) ; B(-3,-2) ; C(-3,-5)
149 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 9
Autoevaluación 9
Pregunta Nº 1
El punto P sobre una circunferencia de radio unitario tiene por
abscisa , como se muestra en la figura. Luego el seno del
ángulo es:
a. 1
b.
c.
d. Pregunta Nº 2
Los vértices de un triángulo están dados por los puntos A (2,1); B(4,1)
y C(5,5). El área en unidades cuadrada del triángulo ABC es:
a. 4 b. 8 c. 12 d. 16 Pregunta Nº 3
SI P (a, b) es un punto sobre la circunferencia de radio unitario de
centro O y OP forma un ángulo = 225º con el eje OX en sentido
antihorario. Entonces las componentes a y b (abscisa y ordenadas)
de P son respectivamente:
150 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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a.
b.
c. d.
Pregunta Nº 4
Los vértices de un triángulo están dados por los puntos A (2,2); B
(5,2) y C(5,6). El perímetro del triángulo ABC es:
a. 10 b. 12 c. 14 d. 5
Pregunta Nº 5
Los vértices de un triángulo están dados por los puntos D (1,1); E
(7,1) y F (4,4). Luego, el triángulo DEF puede clasificarse como:
a. Isósceles y obtusángulo b. Rectángulo y escaleno c. Iso-rectángulo d. Solo equilátero
Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
151 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 9
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Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 9
Respuestas de la Autoevaluación 9 Pregunta Nº 1
b.
Pregunta Nº 2
a. 4
Pregunta Nº 3
b.
Pregunta Nº 4
b. 12
Pregunta Nº 5
c. Iso - rectángulo
152 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 10
Objetivos específicos
* Manejar las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera y su signo.
Actividades
* Leer apuntes sesión 10. * Realizar la autoevaluación de la sesión 10.
Recursos
* Apuntes sesión 10.
Funciones Trigonométricas de un ángulo cualquiera
Ahora, consideremos un ángulo cualquiera definido entre dos
semirrectas OA y OP (ángulo AOP ó α), sin tomar en cuenta el
círculo de radio unitario. Si fijamos un sistema de coordenadas
cartesianas de tal forma que el origen O coincida con el origen O
del ángulo AOP, la semirrecta OA es coincidente con el eje x
positivo, y la semirrecta OP tiene como punto final P un punto de
coordenadas (x0,y0) no situado en ninguno de los ejes
coordenados, como se muestra en la figura 10.1.
Eje y
A O
P(x0,y0)
α
x0
y0
Eje x
Figura 10.1. Angulo AOP ó α cualquiera en el sistema de coordenadas cartesianas
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153 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
En este caso las funciones trigonométricas del ángulo α se definen
en forma análoga a las halladas para un triángulo rectángulo en el
capítulo II:
OPy
hipotenusaopuestocatetosen 0==α (3.4.1)
OPx
hipotenusaadyacentecateto 0cos ==α (3.4.2)
(3.4.3)
(3.4.4)
0cos1sec
xOP
adyacentecatetohipotenusa
===α
α (3.4.5)
0
1cosyOP
opuestocatetohipotenusa
senc ===
αα (3.4.6)
Donde, por el Teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo,
20
20 yxOP += (3.4.7)
Si el punto P se encuentra sobre los ejes coordenados se puede
presentar cualquiera de las situaciones que se ilustran en la figura
10.2.
Figura 10.2. Punto P situado sobre los ejes coordenados
P O
P
P
P
x
y
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154 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
En este caso las funciones trigonométricas se definen tomando los
ángulos 0º, 90º, 180º y 270º respectivamente según el eje, positivo o
negativo, donde se encuentre.
Ejemplo 10.1
Determine las funciones trigonométricas del ángulo α presentadas
en la figura 10.3.
Figura10.3. Ángulo α
Solución:
En este caso, podemos utilizar las ecuaciones 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4,
3.4.5, 3.4.6 y 3.4.7 definidas anteriormente. En primer lugar,
necesitamos la distancia OP, luego con x0=3 y y0=2 del punto P, se
tiene:
Por la ecuación 3.4.7,
20
20 yxOP += = 134923 22 =+=+
y
3
P(3,2) Con la ecuación 3.4.1,
13132
1320 ===
OPysenα 2
Con la ecuación 3.4.2, 13
133133cos 0 ===
OPxα
Con la ecuación 3.4.3, 32
0
0 ==xytagα
Con la ecuación 3.4.4, 231cot
0
0 ===yx
tagag
αα
Con la ecuación 3.4.5, 313
cos1sec
0
===x
OPα
α
Oα
x -3 -2 -1 1 2 3
1
-1
-2
-3
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155 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
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Con la ecuación 3.4.6, 2131cos
0
===yOP
senc
αα
Ejemplo 10.2.
Determine las funciones trigonométricas de los ángulos XOA (α) y
XOB (β) presentadas en la figura 10.4.
Figura 10.4. Ángulos
Solución:
El punto A tiene coordenadas (-2,0) sobre el eje x negativo, luego el
ángulo α es de 180º y las funciones trigonométricas serán:
Sen 180º = 0
Cos 180º = -1
Tag 180º = 0
Cotag 180º = No existe
Sec 180º = -1
Cosec 180º = No existe
El punto B tiene coordenadas (0,-2) sobre el eje y negativo, luego el
ángulo β es de 270º y sus funciones trigonométricas serán:
Sen 270º = -1
Cos 270º = 0
Tag 270º = No existe
Cotag 270º = 0
Sec 270º = No existe
Cosec 270º = -1
y
β
α
B -2
-2 A
O x
156 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
1. Signo de una función trigonométrica
De la definición de las funciones seno y coseno, podemos conocer
la distribución de signos de éstas en el plano:
Si 2
0 π<< t (I cuadrante), entonces 0)(cos >t y , 0)( >tsen
Si ππ
<< t2
(II cuadrante), entonces 0)(cos <t y , 0)( >tsen
Si 23π
π << t (III cuadrante), entonces 0)(cos <t y 0)( <tsen y
Si ππ 223
<< t (IV cuadrante), entonces y 0)(cos >t 0)( <tsen
En la tabla 10.1. se puede apreciar la distribución de signos de las
funciones seno y coseno dependiendo del cuadrante en el cual se
encuentren.
Tabla 10.1. Signo del seno y del coseno
Los valores del seno y del coseno de los ángulos negativos, se
relacionan con los valores correspondientes a los ángulos positivos
mediante las siguientes identidades:
)(cos)(cos tt =− y )()( tsentsen −=− (3.5.1)
Las identidades (3.5.1) son válidas para cualquier número real t. En
la figura 10.5. puede observar geométricamente el significado de
estas ecuaciones:
y
Figura 10.5. Relación entre ángulos positivos y negativos
Así, dado un ángulo cualquiera t en radianes, podemos utilizar las
ecuaciones presentadas anteriormente para evaluar las funciones
Función \ cuadrante I II III IV
tangente + - + -
secante + - - +
Cosecante + + - -
cotangente + - + -
(cos t , sen t) = (cos -t, -sen -t) (x , y ) = ( x , -(-y) )
t t
-t -tx
y
x
-y -y
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157 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
trigonométricas de ángulos negativos, utilizando los valores
correspondientes a los ángulos positivos respectivos.
Ejemplo 10.3
Si t toma los valores de π /4 y 15 π /2 se obtienen las siguientes
igualdades,
a. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−4
cos4
cos ππ
b. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
44ππ sensen
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2
152
15 ππ sensen
d. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2
15cos2
15cos ππ
Para conocer el signo de las funciones tangente, secante,
cosecante y cotangente de un ángulo t, en cualquiera de los cuatro
cuadrantes, usamos su definición.
Si tenemos en cuenta el signo de las funciones seno y coseno en
cada cuadrante y utilizamos la regla de los signos para la división,
obtenemos la distribución de signos de las funciones tangente,
secante, cosecante y cotangente:
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158 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 10: Ejercicios Propuestos
1. Hallar, sin calcular, el signo de los siguientes valores.
a. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛125πsen
b. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3
4πsen
c. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3631cos π
d. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛44
73πtag
e. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛103cot πag
f. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛10
13sec π
g. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛4
7csc π
h. ( )π125tag
2. En las siguientes igualdades trigonométricas, seleccione la(s)
correcta(s):
a. )3
(3
ππ−= SenSen
b. )3
(3
2 ππ−= SenSen
c. )3
(3
2 ππ SenSen =
d. )3
(3
2 ππ−= CosCos
3. El mayor valor de cosxsenx + , es:
a. 1
b. 2
c. 2
d. 3
4. En la figura 1., el triángulo ABC es rectángulo con AB = 4 3 cm,
y α = 60º; entonces el área total de la figura es:
a. 24 3 + 18π
b. 12 3 + 9π
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Tema 3 / Sesión 10
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c. 3 + π
d. 3 - π
Figura 1. Triángulo ABC 5. En las siguientes figuras determine las funciones trigonométricas
del α:
α A
C
B 4 3
160 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
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161 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 10
Autoevaluación 10 Pregunta Nº 1
En la siguiente figura los valores de sen y cos son
respectivamente:
a.
b. c.
d.
Pregunta Nº 2
En la siguiente figura, el valor de cotag es igual a:
a. -3 b. 1 c. No existe d. 0
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162 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
Pregunta Nº 3
En la siguiente figura, el valor numérico de (sen + cos ) es igual a:
a. b.
c.
d.
Pregunta Nº 4
En la siguiente figura, el triángulo ABC es rectángulo con AB= 10
cm, el arco BC media circunferencia y =30º, entonces el área total
de la figura es:
a.
b. c.
d.
Pregunta Nº 5
En la siguiente figura si |OP|= 10 cm y cos . Las coordenadas
rectangulares del punto P son:
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163 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
a. (-3,4) b. (-3,5) c. (6,8) d. (-6,8)
Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
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164 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 3: Funciones Trigonométricas en el círculo
Tema 3 / Sesión 10
Tema 3: Funciones Trigonométricas en el Círculo
Sesión 10
Respuestas de la Autoevaluación 10 Pregunta Nº 1
b.
Pregunta Nº 2
d. 0
Pregunta Nº 3
c.
Pregunta Nº 4
b.
Pregunta Nº 5
d. (-6,8)
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165 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 11
Objetivos específicos
* Resolver problemas aplicados utilizando los conceptos de ángulos complementarios y suplementarios.
Actividades
* Leer apuntes sesión 11. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 11. * Realizar la autoevaluación de la sesión 11.
Recursos
* Apuntes sesión 11. * Ejercicios resueltos sesión 11. * Autoevaluación sesión 11.
Introducción
En al capítulo I, se señaló todo lo referente a los ángulos: medida,
ángulos positivos y negativos, tipos de ángulos y en particular las
definiciones de ángulos complementarios y suplementarios.
Como recordaremos:
• Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas
angulares respectivas es igual a 90º.
• Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas
angulares respectivas es igual a 180º.
En el capítulo II se estudiaron las funciones trigonométricas de
ángulos agudos en un triángulo rectángulo, es decir,
implícitamente se estaban hallando las funciones trigonométricas
de ángulos complementarios.
En el capítulo III, por otra parte, se encontraron las funciones
trigonométricas de ángulos cualesquiera, en particular para
ángulos agudos y obtusos, positivos y negativos. Es decir, se
estaban hallando las funciones trigonométricas de un ángulo y su
complemento o suplemento según fuera el caso.
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166 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
En este capítulo vamos a reflejar todos estos resultados, incluyendo
las funciones trigonométricas para ángulos cuya suma de sus
medidas sea igual a 180º; y ángulos cuya suma de sus medidas sea
igual a 360º.
Ángulos complementarios.
1. Funciones trigonométricas de (90º-α) y (90+α)
Definición 11.1. Como se señaló en el Capítulo I, dos ángulos son
complementarios si la suma de sus medidas angulares es igual a 90º
(π/2 radianes). En este caso se puede decir que son
complementarios por defecto. Ver figura 11.1.
Figura 11.1. Ángulos complementarios
En la figura 11.1 los ángulos α y β son complementarios, luego se
dice que α es el complemento de β o recíprocamente, β es el
complemento de α.
Nota: Si α y β son ángulos complementarios por defecto, entonces
también son válidas las siguientes igualdades:
a) α = 90º - β
b) β = 90º - α
Teorema 4.2.1. Si α y β son ángulos complementarios por defecto,
entonces tienen las siguientes igualdades trigonométricas:
a) senβ = sen(90º-α) = cosα (4.2.1)
b) cosβ = cos(90º-α) = sen α (4.2.2)
c) tagβ = tag(90º-α) = cotag α (4.2.3)
d) cotagβ = cotag(90º-α) = tagα (4.2.4)
e) secβ = sec(90º-α) = cosecα (4.2.5)
f) cosecβ = cosec(90º-α) = secα (4.2.6)
Ejercicio 11.1
Demostrar las ecuaciones 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4, 4.2.5 y 4.2.6
C
B
O
Ángulos complementarios por defecto α + β = 90º
A α
β
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167 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
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Solución:
Se pueden demostrar estas ecuaciones utilizando las definiciones de
las funciones trigonométricas vistas en el capítulo II en un triángulo
rectángulo. Para ello considere la figura 11.2, donde se ha trazado
un sistema de coordenadas cartesianas XY y una circunferencia (de
cualquier radio R) cuyo centro coincide con el origen de
coordenadas; y sean α y β ángulos complementarios.
Figura 11.2. Circunferencia
Construyamos los triángulos rectángulos OAB y OBC, donde se
tienen las siguientes igualdades de las distancias de los catetos:
ACOBBCOA
=
=
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas en un
triángulo rectángulo, vistas en al capítulo II, y las igualdades
anteriores, se tiene:
a) αβ cos===OCAC
OCOBsen
b) αβ senOCOA
OCBC
===cos
c) αβ agOAAC
BCOBtag cot===
d) αβ tagACOA
OBBCag ===cot
e) αβ ecOAOC
BCOC cossec ===
f) αβ seccos ===ACOC
OBOCec
x
y
α
β
O A
C B α = 90º - β
168 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
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Definición 4.2.2. Dos ángulos α y β son complementarios por exceso
cuando la diferencia de sus medidas angulares es igual a 90º (β − α =
90º).
En la figura 11.3. los ángulos α y β están medidos en sentido positivo
a partir del eje x, describiendo arcos sobre una circunferencia de
radio R cualquiera, de tal manera que el ángulo BOC es recto; de
tal manera que se tiene la ecuación:
β – α = 90º
Y también, β = 90º + α
Figura 11.3. Ángulos complementarios por exceso
Observación: También se puede interpretar que el ángulo negativo,
que en este caso es α, es medido en sentido horario y por ende
también es válida la definición de ángulo complementario donde
β − α = 90º. Ver figura 11.4.
Figura 11.4. Ángulos complementarios con una medida negativa
Teorema 4.2.2. Si α y β son ángulos complementarios por exceso
entonces se tienen las siguientes igualdades trigonométricas:
x
y
0 α
β
B
C Ángulos complementarios por exceso
β – α = 90º
x
y
0 −α
β
B
C
Ángulos complementarios con medida negativa β – α = 90º
169 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
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a) sen β = sen(90º+α) = cosα (4.2.7)
b) cos β = cos(90º+α) = -senα (4.2.8)
c) tag β = tag(90º+α) = -cotagα (4.2.9)
d) cotag β = cotag(90º+α) = -tagα (4.2.10)
e) sec β = sec(90º+α) = -cosecα (4.2.11)
f) cosec β = cosec(90º+α) = secα (4.2.12)
Demostración: para la demostración se puede proceder
análogamente al caso anterior para ángulos complementarios por
defecto; para ello considere la figura 11.5 donde se tienen los
ángulos complementarios α y β, y los triángulos OAB y ODC
Figura 11.5. Ángulos Complementarios
Los triángulos rectángulos OAB y ODC son congruentes donde las
longitudes:
OCOBODBóODAB
CDOA
=
=−−=
=
A
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas
presentadas en el Capítulo II, y con las igualdades anteriores, se
tiene:
a) αβ cos===OBOA
OCCDsen
b) αβ senOBAB
OBAB
OCOD
−=−=−
==cos
c) αβ agABOA
ABOA
ODCDtag cot−=−=
−==
d) αβ tagOAAB
OAAB
CDODag −=−=
−==cot
x
y
O α
β
B
C
A D
170 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
e) αβ ecABOB
ABOB
ODOC cossec −=−=
−==
f) αβ seccos ===OAOB
CDOCec
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171 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 11: Ejercicios propuestos
1. Hallar el valor de las siguientes funciones trigonométricas usando
las propiedades correspondientes para el ángulo de la forma
(π/2 + α ).
a) Sen(π/2 - π/3)
b) Cos( 90º + 30º)
c) Tag( 90º+45º)
d) Cos (135º)
e) Sen ( 2 π/3)
f) Cosec (π/2 + π/4)
g) Sec ((π/2 - π/6)
h) Cotag (135º)
i) Tag (120º)
j) Cosec (150º)
k) Cos (11 π/2)
l) Tag (7 π/2)
m) Sen (5 π/2)
n) Sec (15 π/2)
2. En la siguiente figura, si AOB es un ángulo recto, determinar las
funciones trigonométricas del ángulo α
3. En la siguiente figura, el punto B tiene coordenadas (-4, 3), y el
ángulo AOB es recto. SI |OA|=10, determine las funciones
trigonométricas del ángulo β y las coordenadas rectangulares
del punto A.
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172 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
4. En la siguiente figura, el triángulo POQ es recto y las
coordenadas de P son (6,8). Si |OQ|= 20, determine las
funciones trigonométricas del ángulo α y las coordenadas del
punto Q
5. Desarrollar las siguientes expresiones utilizando las propiedades
correspondientes
a) Sen (π/2 + α) + Sen (π/2 - α) Tag (π/2 + α)
b) Cosec (π/2 -α) + Cosc (π/2 + α) Cotg (π/2 -α)
c) Sen 2 (π/2 + α) + Cos 2 (π/2 -α) Tg 2 (π/2 + α)
d) √Sec 2 (α - π/2) + Cosc 2 (α - π/2)
6. En la siguiente figura α = 30º y β = 45º. Si |OP| = 4 √ 2 cm y
|OQ| = 8 cm, la distancia |PQ| es:
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173 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
a) ( 8 – 4 √ 2) cm
b) ( 4 √ 3 - 4) cm
c) 8 cm
d) 4 √ 2 cm
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174 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 11
Autoevaluación 11
Pregunta Nº 1
Al desarrollar la expresión: el resultado es: a. b. c. d.
Pregunta Nº 2
En la siguiente figura, el triángulo POQ es recto y el punto P tiene
coordenadas (2 , 2). Si la longitud del segmento OQ es |OQ| =
8 cm, las coordenadas del punto Q son:
a.
b.
c.
d.
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Tema 4/ Sesión 11
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Pregunta Nº 3
En la siguiente figura, si AOB es un ángulo recto, y αes el ángulo
AOX, entonces tag α es igual a:
a. -1
b. 0c. 1d. no existe
Pregunta Nº 4
En la siguiente figura, el punto B tiene coordenadas (-6,8) y el
ángulo AOB es recto. Si la longitud del segmento OA es
|DA| = 5 cm, las coordenadas rectangulares del punto A son:
a. (2,1) b. (4,3)
c. (3,4)d. (4,-3)
Pregunta Nº 5
Si cos (α + π/2) = - sen α y sen3π =0, entonces el cos(7 π/2) es igual
a:
176 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
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a. 0 b. -1
c. 1)d. no existe
Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
177 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 11
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Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 11
Respuestas de la Autoevaluación 11 Pregunta Nº 1
a.
Pregunta Nº 2
a.
Pregunta Nº 3
c. 1
Pregunta Nº 4
b. (4,3)
Pregunta Nº 5
a. 0
178 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 12
Objetivos específicos
* Resolver problemas aplicados utilizando los conceptos de ángulos complementarios y suplementarios.
Actividades
* Leer apuntes sesión 12. * Practicar los problemas resueltos de esta sesión. * Realizar la autoevaluación de la sesión 12.
Recursos
* Apuntes sesión 12. * Autoevaluación sesión 12.
Ángulos suplementarios.
1. Funciones trigonométricas de (180º- α)
Definición 4.3.1. Dos ángulos α y β son suplementarios por defecto si
la suma de sus medidas angulares es igual a 180º (π radianes).
α+ β = 180º
En la figura 12.1. los ángulos α y β son suplementarios por defecto;
luego, se dice que α es el suplemento de β ó recíprocamente β es
el suplemento de α.
B
β α
C O A
α + β = 180º
Figura 12.1. Ángulos suplementarios por defecto
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179 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
Observación: también son válidas las igualdades:
α = 180º - β
β = 180º - α
Teorema 4.3.1. Si α y β son ángulos suplementarios por defecto,
entonces se tienen las siguientes igualdades:
a) sen β = sen(180º-α) = senα (4.3.1)
b) cos β = cos(180º-α) = -cosα (4.3.2)
c) tag β = tag(180º-α) = -tagα (4.3.3)
d) cotag β = cotag(180º-α) = -cotagα (4.3.4)
e) sec β = sec(180º-α) = -secα (4.3.5)
f) cosec β = cosec(180º-α) = cosecα (4.3.6)
Ejercicio 12.1
Demostrar las ecuaciones 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 y 4.3.6
Solución: considere los ángulos α y β suplementarios que se señalan
en la figura 12.2. y en el cual se ha trazado un sistema de
coordenadas cartesianas XY, y una circunferencia de radio R de tal
manera de construir los triángulos rectángulos congruentes OA’B’ y
OAB.
Figura 12.2. Ángulos Suplementarios
α
β
O A
B
C
α + β = 180º β = 180º - α
y
B’
x A’
α
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180 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
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Como los triángulos OA’ B’ y OAB son congruentes, se tiene que las
distancias de sus catetos y la hipotenusa son iguales:
OBOBOAOAóOAOA
ABBA
=
−=−=
=
'''
''
Y de acuerdo a las definiciones vistas en el Capítulo II de funciones
trigonométricas en un triángulo rectángulo, se tienen:
a) αβ senOBAB
OBBAsen ==='''
b) αβ cos''cos −=−=
−==
OBOA
OBOA
OBOA
c) αβ tagOAAB
OAAB
OABAtag −=−=
−==
'''
d) αβ agABOA
ABOA
BAOAag cot
'''cot −=−=
−==
e) αβ sec''sec −=−=
−==
OAOB
OAOB
OAOB
f) αβ ecABOB
BAOBec cos
'''cos ===
Definición 4.3.2.- Dos ángulos α y β son suplementarios por exceso si
la diferencia de sus medidas angulares es igual a 180º, ver figura
12.3.
Figura 12.3. Ángulos suplementarios por exceso, β – α = 180º
Con respecto a los ángulos suplementarios por exceso, es válido el
siguiente teorema, cuya demostración se deja como ejercicio al
estudiante.
α β
O A
B
C
β − α = 180º ó
β = 180 + α
181 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
Teorema 4.3.2. Si α y β son ángulos suplementarios por exceso,
entonces son válidas las siguientes igualdades trigonométricas:
a) sen β = sen(180º+α) = -senα (4.3.7)
b) cos β = cos(180º+α) = -cosα (4.3.8)
c) tag β = tag(180º+α) = tagα (4.3.9)
d) cotag β = cotag(180º+α) = cotagα (4.3.10)
e) sec β = sec(180º+α) = -secα (4.3.11)
f) cosec β = cosec(180º+α) = -cosecα (4.3.12)
2. Funciones trigonométricas de (360º-α) y de ángulos
negativos
Teorema 4.4.1. Si β = 360º - α, son válidas las siguientes igualdades
trigonométricas:
a) sen β = sen(360º-α) = -senα (4.4.1)
b) cos β = cos(360º-α) = cosα (4.4.2)
c) tag β = tag(360º-α) = -tagα (4.4.3)
d) cotag β = cotag(360º-α) = -cotagα (4.4.4)
e) sec β = sec(360º-α) = secα (4.4.5)
f) cosec β = cosec(360º-α) = -cosecα (4.4.6)
Ejercicio 4.4.1
Demostrar las ecuaciones 4.4.1, 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5 y 4.4.6
Solución:
Considere la figura 12.4 donde se han seleccionado los ángulos α y
β de forma tal que β = 360º - α. De tal manera que se construyen los
triángulos congruentes AOB y AOC, donde:
OCOByBCyDEcon
OEODACAB
=
−=−====
Figura 12.4. Ángulos
α β
O A
B
C
y
−α
D
x
E
β = 360º - α
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182 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
De las definiciones de las funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo, se tiene:
a) αβ senOBAB
OCACsen −=−==
b) αβ coscos =−==OBOA
OCOA
c) αβ tagOAAB
OAACtag −=−==
Se deja como ejercicio al estudiante la comprobación de las
definiciones trigonométricas cotag β, sec β y cosec β.
Teorema 4.4.2. Análogamente a los casos anteriores, tomando las
mismas consideraciones, se puede llegar a las siguientes igualdades
de funciones trigonométricas de ángulos negativos.
a) sen α = -sen(-α) (4.4.7)
b) cos α = cos(-α) (4.4.8)
c) tag α = -tag(-α) (4.4.9)
d) cotag α = -cotag(-α) (4.4.10)
e) sec α = sec(-α) (4.4.11)
f) cosec α = -cosec(-α) (4.4.12)
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183 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 12: Ejercicios propuestos
1. En la siguiente figura, si B = 120º, determine las funciones
trigonométricas del ángulo α.
2. Determine el valor de las siguientes funciones trigonométricas
usando las propiedad correspondiente para ángulos de la
forma (180º ± α).- (π ± α)
a) Cos (π + π) g) Cosec (180º +30º) 3
b) Sen (π - π) h) Cos (5 π) 3
c) Cos (π - π) i) Sen (6 π) 4
d) Tag (π + π) j) Tag (π + π) 4 3
e) CoTag (π + π) k) Sec (108º -30º) 2
f) Sec (60º-180º) l) CoSec (π + π) 6
m) Tg (π + π/4) n) Sen 150º
o) Cos (210º)
3. Evaluar las siguientes expresiones usando las propiedades
correspondientes.
a) Tag (108º + α) – Tg ( 180º - α )
Sen (180º + α) + Sen (360º - α)
b) [ Sec (180º- α) . CoSec (360º - α) ]
CoTag (180º + α)
c) 1 + Sen ( 1 08 º - α)
Sen (360º - α) + Tg (180º + α)
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184 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
4. Determine el valor de las siguientes funciones trigonométricas
usando la propiedad correspondiente para ángulos de la forma
(360º ± α) o (2 π ± α)
a) Sen (2π + π) f) Sen 6 π
3
b) Cos (2 π- π/6) g) CoSe (360º - 60º)
c) Sen (2 π- π/4) h) Tg (12 π)
d) Tg Sen (2π - π) i) Cos (1800º)
3
e) Sec Sen (π + 2π)
3
5. En las siguientes figuras determine las funciones trigonométricas
del ángulo α y las coordenadas del punto P.
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185 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
6. En la siguiente figura α es un ángulo interior y β un ángulo
exterior del triangulo OBP. Si las coordenadas de los puntos B y P
son B (8,0) P (4,3), el resultado de la suma de Sen α +Sen β es:
a) 3 c) 7/5 5
b) 3 d) 1 2 2
7. En la siguiente figura α y β son ángulos interiores del triangulo
OAB. Si O es el origen de coordenadas y los vértices A y B
tienen coordenadas A (11,0) B (8,6); el resultado de la suma
Tag α + Tag β es:
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186 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
a) 14/5 c) 4 + 3√10 5 20
b) 9/10 d) 11/4
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187 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
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Sesión 12
Autoevaluación 12
Pregunta Nº 1
En la siguiente figura, si β=30º, Sen α es igual a:
a. 1/2
b. √2/2c. √3/2d. √3
Pregunta Nº 1
En la siguiente figura, si │OP│ = 10 y Cos α = 4/5 las coordenadas
rectangulares del punto P son:
a. (-4, -3) b. (-8, -6) c. (-4, -5) d. (-8, -10)
188 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
Pregunta Nº 3
En la siguiente figura si │OP│= 2 √3 y O = 300º las coordenadas del
punto P son :
a. (-√3,2) b. (3,- √3) c. (√3,-3) d. (1,-3)
Pregunta Nº 4
Al evaluar la expresión : Tag (108º α) + Tag ( 360º - α ) el
resultado es : 1+ Cos (180º - α)
a. Sen α b. cos α c. -1 d. 0
Pregunta Nº 5
En la siguiente figura el punto P tiene coordenadas ( 2√6 – 5) ,
luego Cos β es igual a :
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189 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
a. -2√6/7 b. -5/7 c. -2√6/5
d. 5/2√6
Pregunta Nº 6
En la siguiente figura α es un ángulo interior y β es una ángulo
exterior del triangulo OBP. Si O es el origen de coordenadas, los
vectores B y P son los puntos B (7,0) y P (3,4), el resultado de la
suma │Cos α + Sen β│ es:
a. 7/3 b. 5 + 4√2 c. 4/5 + √2/2
d. 3/5 + √2/2
Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
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190 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Tema 4/ Sesión 12
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Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 12
Respuestas a la Autoevaluación 12
Pregunta Nº 1
a. 1/2
Pregunta Nº 2
b. (-8, -6)
Pregunta Nº 3
c. (√3,-3)
Pregunta Nº 4
d. 0
Pregunta Nº 5
b. -5/7
Pregunta Nº 6
d. 3/5 + √2/2
191 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Sesión 13
Objetivos específicos
* Resolver problemas utilizando ángulos mayores a 360° con reducción al primer cuadrante.
Actividades
* Leer apuntes sesión 13. * Practicar los ejercicios resueltos de la sesión 13. * Realizar la autoevaluación de la sesión 13.
Recursos
* Apuntes sesión 13. * Ejercicios resueltos sesión 13.
Funciones trigonométricas de ángulos mayores a 360º
Función periódica. Periodicidad de las funciones seno,
coseno y tangente
Cuando se trabaja con ángulos superiores a 360º, las funciones
trigonométricas de dicho ángulo se pueden hallar:
• Utilizando la periodicidad de las funciones trigonométricas
• Por reducción del ángulo al primer cuadrante.
Vamos a comenzar utilizando la periodicidad de las funciones seno
coseno y tangente, trabajando con ángulos medidos en radianes,
aunque se puede trabajar también en el sistema sexagesimal.
Definición 4.5.1. Una función es llamada periódica de período
, si se cumple que
)(tf
p )()( ptftf += para todos los números t y
t+p para los cuales tenga sentido la función.
Ejemplo 13.1
De la definición de las funciones trigonométricas usando la
circunferencia unitaria, surgen identidades importantes.
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192 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Algunas de ellas, que usaremos para calcular el seno y el coseno de
ángulos mayores que π2 (360º), y que son válidas para todo
número n entero y x real, son las siguientes:
( ) ( )tt cos2cos =+ π ,
( ) ( )tsentsen =+ π2 ,
( ) ( )tnt cos2cos =+ π , (4.5.1)
( ) ( )tsenntsen =+ π2 . (4.5.2)
( ) ( )ttagttag =+ π
( ) ( )ttagnttag =+ π (4.5.3)
Por ello se dice que las funciones trigonométricas seno y coseno son
2 π periódicas y la función tangente es π periódica, y estos
valores son utilizados para hallar las funciones trigonométricas de
ángulos superiores a 360º.
Observación: Se ha definido la periodicidad de las funciones seno
coseno y tangente utilizando el concepto de función seno, coseno y
tangente como tal. En el capítulo VII se revisará el concepto y
gráfica de una función trigonométrica como tal.
Un ejemplo lo representa la función seno definida como f(t) = sen(t),
siendo t cualquier número real (ó en radianes), es 2π periódica
puesto que:
f (t+2π) = Sen(t+2π) = sen(t) = f(t)
En la figura 13.1. se aprecia el significado de estas igualdades. 2 π
radianes es equivalente a una vuelta (360º) en el sistema
sexagesimal; lo que indica que el segmento OP describe el mismo
ángulo t (medido desde el eje x) cada vez que gira 2 π radianes, y
por tanto tiene el mismo valor trigonométrico seno y coseno (y el
mismo punto P).
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193 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Figura 13.1. Periodicidad de las funciones Seno y coseno
De las ecuaciones anteriores se puede deducir que los valores de las
funciones seno y coseno de un ángulo t, se repiten a medida que
avanzamos en intervalos de longitud 2 π Es decir, el valor del seno
en un ángulo t es el mismo valor del seno en el ángulo t+2 π .
Ejemplo 13.2 Comprobar que la función tangente es π periódica
Solución: Eje y
Considere la función tangente como f(t)= tag(t).
Calcular f(t+π) = tag(t+π)
Por el teorema 4.3.2 y la ecuación 4.3.9 con α=t y 180º = π radianes,
se tiene que:
Tag(t+π) = tag(t)
Lo cual demuestra que la función tag(t) es periódica con p=π.
Ejemplo 13.3
Hallar el valor de las siguientes funciones trigonométricas
a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
49πsen d) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
29cos π
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
49cos π
e) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
325πsen
c) ( )π5sen f) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
325cos π
Solución: Utilizando la periodicidad de las funciones seno y coseno,
ecuaciones 4.5.1 y 4.5.2, se tiene que:
Eje x O
P(x,y)=(cos t, sen t) =(cos(t+2π), sen(t+2π))
O 1 -1
y
t x
t+2π
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Tema 4/ Sesión 13
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a) ( )22
442
448
418
49
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
ππππ sensensensensen
b) ( )22
4cos
42cos
448cos
418cos
49cos =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
ππππ
c) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0221225 ==+=+= πππππ sensensensen x
d) ( ) 02
cos2
)2(2cos22
8cos218cos
29cos =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
ππππ
e) ( )23
338
3324
3124
325
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
ππππ sensensensensen
f) ( )21
3cos
38cos
3324cos
3124cos
325cos =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
ππππ
1. Reducción de ángulos al primer cuadrante y funciones
trigonométricas
Ahora abarcaremos el problema de encontrar el valor de una
función trigonométrica de un ángulo positivo arbitrario, ya que si el
ángulo es negativo, usamos las relaciones (3.5.1) y la tabla 11.1,
presentadas en el Capítulo III, sección 3.5 (signo de una función
trigonométrica), para luego trabajar con los ángulos positivos
correspondientes.
Dado un ángulo medido en radianes, con t π20 << t . Siempre es
posible encontrar un ángulo entre y s 0 2/π , es decir, en el
primer cuadrante, el cual podemos usar para evaluar las funciones
seno y coseno del ángulo . Este proceso se llama, reducción del
ángulo al primer cuadrante.
tt
Consideremos todos los casos posibles; comencemos con un
ángulo arbitrario en el I cuadrante, luego uno arbitrario en el II
cuadrante, luego uno en el III cuadrante, uno en el IV cuadrante y
finalmente consideraremos cualquier ángulo mayor que π2 .
En lo que resta de la sección vamos a suponer que el ángulo
medido en radianes, tiene la forma
tπrt = , siendo r un número
real.
Caso (i): 0< t < 2π
Sea un ángulo, con t2
0 π<< t , entonces el ángulo está en el
primer cuadrante y las funciones
t
( )tsen y ( )tcos son positivas.
195 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Caso (ii): ππ<< t
2
Sea t un ángulo, con ππ<< t
2 , entonces el ángulo t está en el
segundo cuadrante, de manera que ( )tsen es positivo y ( )tcos es
negativo. Los valores respectivos pueden hallarse reduciendo el
ángulo t al primer cuadrante; esto se logra realizando una
transformación ó cambio de variable del ángulo, de la forma:
s = π − t
Ver Figura 13.2.
Eje y
Figura 13.2. Reducción de un ángulo t en el II cuadrante, π/2< t < π, al
primer cuadrante con 0 < s < π/2
Entonces s es un ángulo en el primer cuadrante. El valor de la
función evaluada en va a coincidir con el valor de la función
evaluada en , pero tomando en cuenta el signo de dicha función
(seno, coseno ó tangente) en el segundo cuadrante y que fue
estudiada en el capítulo III, sección 3.5, o utilizando las igualdades
4.3.1, 4.3.2, 4.3.3, 4.3.4, 4.3.5 y 4.3.6 definidas en la sección 4.3 de
este capítulo para ángulos suplementarios por defecto.
ts
Eje x O
1
O
t s
A’ A π
s 1 -1
-1
s = π - t
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Tema 4/ Sesión 13
Ejemplo 13.4
Calcular sen ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
43π
y cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
43π
por reducción del ángulo al primer
cuadrante
Solución:
a) 22
443
43
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
π sensensen . En este caso 4
3π=t
y 4π
=s . Note que el seno tiene signo positivo en el segundo
cuadrante.
b) 22
4cos
43cos
43cos −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
π. En este caso
43π
=t y 4π
=s . Note que el coseno tiene signo negativo en el
segundo cuadrante, por tanto se le coloca al evaluar el coseno de
la diferencia.
En general, si está en el segundo cuadrante, realizando la
transformación:
t
ts −= π
Y tomando en cuenta el signo de la función correspondiente, se
obtienen las siguientes ecuaciones:
( ) )(ssentsen = ,
y (4.5.4)
( ) )(coscos st −=
Con 2
0 π<< s
Caso (iii): π < t < 3π / 2
Sea t un ángulo, con π < t < 3π/2 , entonces t está ubicado en el
tercer cuadrante y la transformación a utilizar es:
s = t −π
Ver figura 13. 3.
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197 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Figura13.3. Reducción de un ángulo t en el III cuadrante,
π < t < 3 π / 2, al primer cuadrante con 0 < s < π / 2
En este caso, s estará en el I cuadrante y como t está en el III
cuadrante, se tienen las siguientes relaciones:
( ) )(ssentsen −= , (4.5.5)
( ) )(coscos st −= ,
Pues tanto el seno como el coseno toman valores negativos en el
tercer cuadrante.
Eje y Ejemplo 13.5
Calcular sen ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
43π
y cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
43π
, usando reducción al primer
cuadrante
Solución:
a) 23
334
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ sensen . Note que 3
4π=t está en el III
cuadrante, entonces 33
4 πππ=−=s .
b) 21
3cos
34cos −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ. Note que
34π
=t está en el III
cuadrante, entonces 33
4 πππ=−=s
Caso (iv): ππ 22
3<< t
Eje x O
t s
O s
s = t - π
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Tema 4/ Sesión 13
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Sea t un ángulo, con 3π / 2 < t < 2π, entonces t está en el IV
cuadrante. En este caso, realizamos la transformación: s = 2π −t
(ver figura 13.4)
Como en este cuadrante el coseno es positivo y el seno es negativo,
tenemos las siguientes relaciones:
( ) )(ssentsen −= , (4.5.6)
( ) )(coscos st =
Con s un ángulo en el primer cuadrante.
Figura 13.4. Reducción de un ángulo t en el IV cuadrante, 3π/2 < t < 2π, al
primer cuadrante con 0 < s < π/2
Ejemplo 13.6
Calcular sen ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
35π
y cos ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
35π
usando reducción al primer cuadrante
Solución:
Sea 3
5π=t (300º sexagesimales) que está en el IV cuadrante,
entonces, para reducir al primer cuadrante, hacemos: t
33522 ππ
ππ =−=−= ts
Entonces,
a) 23
335
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ sensen
b) 21
3cos
35cos =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ππ
Note que 3/5π está en el cuarto cuadrante, pues
ππππππ 2
612
35
610
69
23
=<=<= .
Eje y
Eje x O
t s
-s O
s = 2π - t
199 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
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Caso (v): t > 2π
Si tenemos un ángulo t mayor que π2 , entonces descomponemos t
como:
t = (2 π)n + s
Donde n indica el número de vueltas a dar alrededor del origen y s
el ángulo que le falta a (2 π)n para llegar a ser t. De esta forma, t va
a ser congruente al ángulo s (ver Figura 13.5).
Figura 13.5. Reducción de un ángulo t > 2π (ángulo mayor a 360º)
a un ángulo s en cualquier cuadrante del sistema, 0 < s < 2π
Las funciones trigonométricas del ángulo t serán las mismas del
ángulo s congruente.
Ejemplo 13.7
Dado el ángulo t =2
23π, determine el número de vueltas y el
ángulo s congruente con t
Si 2
23π=t , entonces como
2310
2)320(
223 π
πππ
+=+
=
23)2(5
223 π
ππ
+= ,
De donde n = 5 y s = 3π/2, lo cual nos indica que el ángulo t lo
formamos dando 5 vueltas alrededor del origen en sentido
antihorario y luego avanzar 2/3π radianes.
Luego, con este ángulo se pueden evaluar las funciones
trigonométricas como en cualquiera de los casos anteriores.
s
Ejemplo 13.8
Calcular sen ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛2
23π y sen ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛6
13π usando la reducción
correspondiente
Eje y
Eje x O
t
s
O
s = 2π - t
200 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Solución:
a) 123
23)2(5
223
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
π sensensen . Note que se dan 5
vueltas y restan 3π/2 radianes.
b) 21
662
6612
6)112(
613
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ πππ
ππππ sensensensensen . Note que
se gira una vuelta y restan π/6 radianes.
Las herramientas anteriores se pueden aplicar en el cálculo de los
valores de las funciones: tangente, secante, cosecante y
cotangente, realizando antes el despliegue de la función, para
escribirlas usando las funciones seno y coseno.
Ejemplo 13.9 Hallar el valor de las funciones trigonométricas
a) tag ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
611π
,
b) sec ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
47π
,
c) cosec ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
223π
y
d) cotag ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
613π
usando las igualdades y reducciones
correspondientes.
Solución:
En este ejemplo se hallarán algunos valores de funciones
trigonométricas, describiendo, en el lado derecho de la ecuación,
cada paso efectuado.
a)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
611cos
611
611
π
ππ
sentag (Despliegue de la función)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
6112cos
6112
ππ
ππsen
(11π/6 está en el IV cuadrante)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
6cos
6π
πsen (Reducción al I cuadrante)
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201 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
2321
−= (Evaluación de las funciones usando tablas)
33−
= (Simplificación y resultado final)
b) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
47cos
14
7secπ
π (Despliegue de la función)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
472cos
1π
π (7π/4 está en el IV cuadrante)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
4cos
1π (Reducción al I cuadrante)
221
= (Evaluación de las funciones usando tablas)
2= (Simplificación y resultado final)
c) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
2231
223cos
ππ
senec (Despliegue de la función)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
23
220
1ππsen
(23π/2 es mayor que 2π)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
23
1πsen
(Seno es periódica)
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202 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
11−
= (Evaluación de las funciones usando tablas)
= (Simplificación y resultado final) 1−
d)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
613
613cos
613cot
π
ππ
senag (Despliegue de la función)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
6612
6612cos
ππ
ππ
sen (13π/6 es mayor que 2π)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=
6
6cos
π
π
sen (Reducción al I cuadrante. Seno y
coseno son periódicas)
2123
= (Evaluación de las funciones usando tablas)
3= (Simplificación y resultado final)
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203 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 13: Ejercicios propuestos
1. Hallar el valor de las siguientes funciones trigonométricas usando
la propiedad y reducción correspondiente.
a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
322 π
πsen ll) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
322sec π
π
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
342 π
πsen m) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
342sec π
π
c) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
672 π
πsen n) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
672sec π
π
d) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − π
π 23
5sen ñ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − π
π 23
5sec
e) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
322cos π
π o) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
322cos π
πec
f) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
342cos π
π p) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
342cos π
πec
g) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
672cos π
π q) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
672cos ππec
h) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − π
π 23
5cos r) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − π
π 23
5cosec
i) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
322 π
πtag s) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
322cot π
πag
j) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
342 π
πtag t) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
342cot π
πag
k) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
672 π
πtag u) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
672cot π
πag
l) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − π
π 23
5tag v) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − π
π 23
5cotag
2. Usando la propiedad y reducción correspondiente calcular el
valor de las siguientes funciones trigonométricas:
a) Sen (11π)
4
b) Cos (8 π)
3
c) Tag (19 π)
6
d) Sec (10 π)
3
e) Cotag (11 π)
3
f) Cosec(1500º)
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Tema 4/ Sesión 13
g) Sen(4680º)
h) Tag(11 π)
2
i) Sec (7 π)
j) Cos (1620º)
k) Sen (1710º)
l) Cosec (10 π)
3. Resolver las siguientes expresiones, usando la propiedad y
reducción correspondiente:
a) Cos 1620º + Sen 1710º
Cos 4680º - Sen 630º
b) Sec 7π – Tag (17 π/4)
+ Cosec (1470º)
c) √ Tag²(1500º) + Sen 1170º
d) Cotag (15π) – Sec (11π)
Sen 8 π + Tag 19 π
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Tema 4/ Sesión 13
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 13
Autoevaluación 13
Pregunta Nº 1
Al calcular el valor numérico de Sen (4620º) el resultado es: a. 0 b. -1 c. -1/2 d. -√3/2
Pregunta Nº 2 Al resolver la expresión Sec (9π) – Cotag (13 π/4) 1+ Sen (4680º) a. 0 b. -1 c. 1 d. -2
Pregunta Nº 3
El valor numérico de Cotag (11 π)
6
a. 1 b. 1/3 c. _ √3/2 d. _ √3/3
Pregunta Nº 4
En la siguiente figura y β son ángulos inferiores del triangulo OAB.
Si O es el origen de coordenadas A (11, 0) y B (8, 6), el resultado de
la suma Cos + Tag β es:
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206 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 4: Funciones Trigonométricas de Ángulos Suplementarios
Tema 4/ Sesión 13
a. 11/4 b. 14/5 c. 10+2 √10 d. 9/10 Pregunta Nº 5 Al calcular la diferencia Sec (12π) – Tag (11π) el resultado es:
a. 1 b. -1 c. 0 d. no existe
Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final
de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la
sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión
antes de continuar.
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Tema 4/ Sesión 13
Tema 4: Funciones Trigonométricas de ángulos suplementarios
Sesión 13
Respuestas a la Autoevaluación 13
Pregunta Nº 1
d. -√3/2
Pregunta Nº 2
d. -2
Pregunta Nº 3
d. _ √3/3
Pregunta Nº 4
b. 14/5
Pregunta Nº 5
a. 1
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