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Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Teil 2: Kurven und Flächen
Parametrische Objekte
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Kurven und FlächenKurven: 1D-ObjekteFlächen: 2D-Objekte,
basierend auf Kurven
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
KurvenWelche Form der Darstellung?
Beispiel: 2D-Linie Explizit: y = k·x + d x =
(x, y)T
Implzit: a·x + b·y + c = 0auch: x·n = p·n n = (a, b)T
p·n = – c
Parametrisch: x(t) = p + t·v v·n = 0
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Definition: x(t) – Punktdef. in Abh. von kontinuierlichen
Parameter t x(t) & t[a,b] parametrische Kurve Startpunkt x(a), Endpunkt x(b) Beispiel: x(t) = p + t·v (Linie)
Tangente in x(t): x(t) = d x(t) / d t = Ableitung von x nach t Beispiel: x(t) = v (Tangentenvektor)
Parametrische Kurven (1)
.
.
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Parametrische Kurven (2)2 Stetigkeitsqualitäten: mathematisch: x(t) restriktiver geometrisch: x(t) / | x(t) | schwächer
Attribute höherer Ordnung: Krümmung Torsion
.
. .
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Arten von KurvenInterpolierende Kurven: Kurve geht durch vorgegebene
Punkte pi
Approximierende Kurven: Kurve wird von Punkten pi
beeinflußt
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Attribute von KurvenKurvenpunkte: Startpunkt, Endpunkt Kurvenevaluation
Tangenten: Startrichtung, Endrichtung Tangenten an beliebigen Kurvenpunkt
Stetigkeit: geometrisch, mathematischGrad: Differenzierbarkeit, smoothness
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Spline-Kurven: Stetigkeiten
(a) C0-Stetigkeit
(b) C1-Stetigkeit
(c) C2-Stetigkeit
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
PolynominterpolationGegeben: Anzahl von PunktenGesucht: Interpolierendes Polynom p(x) = a + b·x + c·x2 + … + q·xn
2 Punkte – Linie: n = 1 3 Punkte – Quadratisch Kurve: n = 2
Berechung: Lösung eines linearen Gleichungssystems
Beurteilung: Überschwingen (), nur gut, wenn n klein
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Spline-Kurven (1)Kombination aus TeilkurvenKontrollpunkte werden: approximiert interpoliert
Einfluß der Kontrollpunkte: global: Bézier-Kurve lokal: B-Spline-Kurve
Unterschiedlicher Grad
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Spline-Kurven: Beispiele2 Bsp. f. kubische Spline-Kurven
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Spline-Kurven (2)Ansatz: Zusätzlich zu Kontrollpunkten bi auch: Einflußfunktionen: Basis-Funktionen Bi,n
Definition: b(t) = 0in bi·Bi,n(t)
Beispiel: Bernstein-Polynome (Bézier-Kurve)
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Spline - convex hull property
Kurve bleibt i. d. konvexen Hülle
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Kurven (1)Spline-Approximation:
Bernstein Polynome:
b(t) = 0in biBi,n(t) 0t1
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Kubische Bézier-Kurven – Bernsteinpolynome
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Kurven: Beispiel
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Kurven (2)Design mit Bézier-Kurven: closed Bézier
curves multiple control
points
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Kurven (3)Design mit Bézier-Kurven Bézier verbinden (C0, C1 Stetigkeit)
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Kurve: AlgorithmenDe Casteljau-Algorithmus: Evaluation bei Parameter t Rekursiver Ansatz
Degree elevation: Mehr Kontrollpunkte, selbe Kurve
Subdivision: Teilung der Kurve, bzw. Kurvenevaluation
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Nächste Stufe: B-Spline KurvenBézier-Kurven: globaler EinflußBrauchbarer: B-Spline Kurven: Jeder Kontrollpunkt hat nur lokalen Einfluß Grad unabhängig von Anzahl der Pkte.
Rationale Kurven: Erweiterung von Bézier-Kurven und
B-Spline Kurven Ein Gewicht pro Kontrollpunkt NURBS = „Standard“ in CAD, CAGD, etc.
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Patch (1)Kartesisches Produkt v. Bézier-Kurven
(m+1)x(n+1) Kontrollpunkte
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Bézier-Patch (2)Eigenschaften wie Bézier-Kurve
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Quadric Surfaces (1)
Definition “quadrics”: Gleichung 2-ter
Ordnung
Beispiel: Kugel
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Quadric Surfaces (2)2. Beispiel: Ellipsoid
Helwig Hauser Teil 2: Kurven und Flächen
Quadric Surfaces (3)3. Beispiel: Torus
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