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MEMORIAS DEL XVIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE, 2012 SALAMANCA, GUANAJUATO, MÉXICO
Derechos Reservados © 2012, SOMIM
HIDRODI�ÁMICA DEL FLUJO MIXTO ELECTRO-OSMÓTICO/PRESIÓ�
PARA U� FLUIDO DE LEY DE POTE�CIA E� U� MICROCA�AL Escandón Colín J. Pablo, Beltrán Parra Ernesto, Donís Sánchez Fredy.
Departamento de Termofluidos, SEPI_ESIME Unidad Azcapotzalco IPN,
Av. De las granjas No. 682. Col. Santa Catarina D.F. México Teléfono:++(52)55 57296000 ext. 64487, jescandon@ipn.mx
RESUME�. En este trabajo se presenta un estudio
analítico y numérico sobre aspectos
hidrodinámicos de un flujo de un fluido no
newtoniano en un microcanal de placas planas
paralelas, bajo la influencia de fuerzas mixtas
electro-osmóticas/presión. El fluido obedece el
modelo reológico de ley de potencia y el flujo se
considera completamente desarrollado con
propiedades constantes. De la solución del
modelo matemático adimensional planteado, se
obtienen los perfiles de velocidad, distribuciones
de viscosidades y esfuerzos cortantes, así como
los correspondientes caudales de fluidos
seudoplasticos y dilatantes fluyendo en el
microcanal. Se muestra la influencia de los
parámetros adimensionales involucrados en el
análisis, como son el índice de comportamiento
de flujo (n), el parámetro electrocinético ( )κ y el
parámetro que involucra la competencia de las
fuerzas de presión con las fuerzas electro-
osmóticas ( )Γ .
ABSTRACT. On this research an analytical and numerical
study about hydrodynamic aspects of a non-
'ewtonian fluid flow in a microchannel of
parallel plates under the influence of mixed
electro-osmotic/pressure forces is presented. The
fluid obeys the rheological power law model and
a fully-developed flow with constant properties is
considered. From the solution of the
dimensionless mathematical model proposed, the
velocity profiles, distributions of viscosities and
shear stress, as well as the corresponding flow
rates of pseudoplastic and dilatant fluids are
obtained. The influence of dimensionless
parameters involved in the analysis, as the flow
behavior index (n), the electrokinetic parameter ( )κ and the ratio of pressure to the electro-
osmotic forces ( )Γ , is shown.
I�TRODUCCIÓ�. Como consecuencia del rápido desarrollo de
tecnologías de laboratorios en un chip la electro-
osmosis está siendo utilizada ampliamente como
fuerza conductora para manipular flujos de
líquidos, para transporte y control de muestras en
análisis biológicos, químicos, y diagnósticos
médicos. Por tanto, es fundamental entender las
características del flujo de fluidos en dispositivos
microfluídicos para su optimo diseño y control,
[1]. Los microcanales son una parte fundamental
de los laboratorios en un chip para conducir
sustancias coloidales [2] formadas por solutos
(bacterias, virus, células rojas, plasma,
aminoácidos, proteínas, etc.) y solventes
(electrolitos); las superficies de los microcanales
en contacto con electrolitos obtienen iones con
ciertas cargas eléctricas las cuales se balancean
con los iones de carga eléctricas opuestas
proporcionadas por el electrolito, formando una
doble capa eléctrica en la superficie; si un campo
eléctrico es aplicado tangencialmente, se tendrá
una fuerza de cuerpo sobre el exceso de iones en
la doble capa eléctrica, permitiendo que estos
tiendan a moverse arrastrando la sustancia con
ellos, dando como resultado el flujo electro-
osmótico [3].
Aunque en la literatura existen varios
modelos propuestos para analizar el
comportamiento de fluidos no newtonianos en
microcanales, en la actualidad, todavía aparecen
implicaciones pertinentes sobre el transporte de
flujos electrocinéticos que no han sido resueltos
completamente por la comunidad científica [4];
se han propuesto soluciones analíticas utilizando
el modelo Phan-Thien Tanner para fluidos
viscoelásticos [5, 6], con el objeto de resolver
modelos matemáticos que predigan el
comportamiento de los perfiles de velocidad,
viscosidad y caudal; mientras que estudios
realizados por Zhao [1, 7] consideran el modelo
reológico ley de potencia para el comportamiento
de flujo puramente electro-osmótico en
microcanales considerando la distribución de
velocidad para diferentes índices de
comportamiento de flujo, en el análisis los
perfiles de velocidad son resueltos mediante un
método aproximado para cualquier valor del
índice de comportamiento de flujo y también
propone una solución exacta para ciertos valores
ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1464
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Derechos Reservados © 2012, SOMIM
de este índice de comportamiento, de estos
estudios se obtiene la velocidad de referencia
Smoluchowski para fluidos no newtonianos de
ley de potencia. Se han realizado investigaciones
sobre flujos de ley de potencia en microcanales
contemplando el efecto combinado de fuerzas
electro-osmóticas y de gradientes de presión [3,
8-10], sin hacer un análisis detallado de la
distribución de viscosidad y esfuerzos en el
microcanal y su efecto en los perfiles de
velocidad y caudal.
Con el objeto de tener un conocimiento más
amplio sobre el flujo de fluidos bajo el modelo
reológico de ley de potencia en microcanales, el
presente trabajo hace un estudio alternativo, de
manera numérica y analítica, para la descripción
y análisis de la hidrodinámica de un flujo mixto
electro-osmótico/presión en un microcanal de
placas planas paralelas a través de sus perfiles de
velocidad y caudal, mostrando la influencia y de
los diversos parámetros adimensionales de
transporte que surgen del modelado matemático.
2 METODOLOGIA. 2.1 Modelo físico La Figura 1 muestra una vista esquemática del
modelo físico de estudio, el fluido fluye a través
de un microcanal de dos placas planas paralelas
de altura 2H . El sistema de coordenadas se
compone de una coordenada axial x y una
coordenada transversal y . El flujo es accionado
por la aplicación de un campo eléctrico externo
xE y un gradiente de presión favorable al flujo
/x
p dp dx= , ambos en la dirección axial entre
la entrada y salida del microcanal. En la figura,
se indica la elevada concentración de cargas
eléctricas en la zona de la longitud de Debye 1κ−
dentro de la doble capa eléctrica; además del
perfil de velocidad ( )u y en la dirección del flujo.
2.2 Ecuaciones gobernantes En el análisis del presente trabajo se
considero:
• Flujo incomprensible.
• Flujo hidrodinámicamente desarrollado.
• Propiedades físicas constantes
• El campo eléctrico es irrotacional, y actúa
en la dirección de la coordenada .x • El solvente de la dispersión coloidal es a
base de un electrolito simétrico.
• El potencial zeta, es uniforme a través de
las paredes del microcanal.
• El voltaje externo es mucho más alto que el
potencial de corriente inducido por el flujo.
Figura 1. Esquema del flujo electro-osmótico en un
microcanal de placas planas paralelas
• Por simetría, el análisis se restringe al
dominio de la mitad del microcanal.
Por lo tanto la ecuación de conservación de
cantidad de movimiento está dada por la
siguiente ecuación
0,xy e x
dp dE
dx dyτ ρ− + + = (1)
donde p , e
ρ , xE y
xyτ son la presión, densidad
de carga eléctrica, campo eléctrico externo y
esfuerzo cortante, respectivamente. La densidad
de carga eléctrica está dada por 2
cosh( ) / cosh( )e
y Hρ εκ ζ κ κ= − [2], en donde
ε ,2κ , ζ , H y κ son la constante dieléctrica
del fluido, parámetro de Debye-Hückel,
potencial zeta, mitad del microcanal e inverso de
la longitud de Debye, respectivamente. El
esfuerzo cortante para un fluido de ley de
potencia está dado por la siguiente expresión 1
,
n
xy
du dum
dy dyτ
−
=
(2)
donde m , n y u son el índice de consistencia
de flujo, índice de comportamiento de flujo y
velocidad axial del fluido, respectivamente.
Sustituyendo la ecuación (2) en la ecuación
(1) y considerando que el gradiente de velocidad
decrece en la dirección positiva de la coordenada
transversal ( )1 1,/ /
n n
du dy du dy− −= − se obtiene
la siguiente representación para la ecuación de
conservación de la cantidad de movimiento
2 cosh( ).
cosh( )
n
x
du dP yd E dy
dy dx Hm
κεκ ζ
κ= − −
−
(3)
Las condiciones de frontera asociadas a la
ecuación (3) son:
( )
0
0,
0.
y
u y H
du
dy =
= =
=
(4)
Ex
y
x
2H
+ - u(y)
κκκκ−1−1−1−1
κκκκ−1−1−1−1
- -
+
+
+
+
+
+
- -
-
-
-
+ + + + + + + + + + + + + + + - -
+ + + + + + + + - - + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
px
ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1465
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Definiendo las siguientes variables
adimensionales
; ,
c
y uu
H uη = =
(5)
donde η , u y cu son la coordenada transversal
adimensional, velocidad axial del fluido
adimensional, velocidad Smoluchowski para
fluidos con modelo de ley de potencia [1],
respectivamente. Introduciendo la ecuación (5)
en (3) y (4) se obtiene
11 cosh( )
,cosh( )
n n n
du nd d
d n n
κ κηη
η κ
++− = Γ −
(6)
donde ,Γ es la competencia entre las fuerzas de
presión y las fuerzas electro-osmóticas;
,Hκ κ= es el parámetro electrocinético. Γ esta
dado por la siguiente relación [3]
,
n
p
n
c
u
u
Γ = (7)
donde
11,
1
n
n n
p
n dPu H
n m dx
+= −+
(8)
11
,
n
n
nn
n
c
Exu n
m
εζκ
−
= −
(9)
donde pu es la velocidad de un fluido de ley de
potencia por efecto de fuerzas de presión. Las
condiciones de frontera adimensionales para la
ecuación (6) son:
0
( 1) 0,
0.
u
du
d η
η
η =
= =
= (10)
Integrando una vez la ecuación (6) y
aplicando la condición de frontera de simetría
hidrodinámica de la ecuación (10) se obtiene el
gradiente de velocidad de flujo en el microcanal
como a continuación se presenta 1
1 sinh( ).
cosh( )
n n n
du n
d n n
κ κηη
η κ+
= − Γ +
(11)
De la ecuación (2) se tiene que la viscosidad
aparente µ y el esfuerzo cortante xy
τ para un
fluido de ley de potencia son respectivamente 1
,
n
dum
dyµ
−
= −
(12)
,
n
xym
du
dyτ = −
−
(13)
sustituyendo la ecuación (5) y (11) en las
ecuaciones (12) y (13) se obtiene la variación de
la viscosidad y esfuerzo cortante del fluido
respecto a la coordenada transversal del
microcanal de la siguiente forma
( )( )
1
1sinh1
,cosh
n
nn n
cu n
m
H n n
κηκµ η
κ
−−
+= Γ +
(14)
( )( )
sinh1
cosh.
n n
c
xy
u nm
H n n
κηκτ η
κ+
= − Γ +
(15)
Los valores de viscosidad y esfuerzo cortante
de referencia para fluidos de ley de potencia en
el presente trabajo se obtuvieron de la ecuación
(14) y (15) respectivamente cuando 1,η = es
decir, condiciones de viscosidad w
µ y esfuerzo
cortante w
xyτ en la pared del microcanal. De esta
manera la viscosidad y esfuerzo cortante
adimensional son:
( )( )
( )
1
sinh1
cosh,
1tanh
n
n n n
n n
w
n
n n
n
n n
κηκηκµ
µµ κ κ
−
+Γ +
= =+
Γ +
(16)
( )( )
( )
sinh1
cosh.
1tanh
w
n n
xy
xy n n
xy
n
n n
n
n n
κηκητ κ
ττ κ κ
+Γ +
= =+
Γ +
(17)
El flujo volumétrico del sistema del
microcanal se determina por la siguiente
expresión
ˆ2 ,Q Hu= (18)
donde la velocidad promedio u se define por
0
1ˆ .
y Hyu udy
H
=== ∫ (19)
Sustituyendo la ecuación (19) y (5) en (18),
se obtiene la ecuación general de gasto
adimensional en el microcanal [6].
( )1
02 ; , ,
2.
c
QQ u n d
u H
ηη η κ η=
== = Γ∫ (20)
2.3 Solución numérica Para obtener el perfil de velocidades del
flujo, la ecuación (11) fue resuelta por un
esquema numérico en diferencias finitas hacia
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adelante y adaptado a un algoritmo de una matriz
tridigonal, resuelto por el método de Thomas
[11]. Discretizando la coordenada transversal
adimensional en función del incremento nodal
para la región del fluido, se tiene lo siguiente
; 0,1,... ,kjj j Mη η= ∆ = (21)
donde k , es el número de iteraciones del método
y M es el número máximo de nodos. La
ecuación (11), puede ser escrita en forma
discretizada en diferencias finitas como se
muestra a continuación
( )
{ }
1
1
1
sinh ( ).
cosh( )
n
k k k kj j j j
k nnj
nu u j
n
j
n
η η
κ ηκκ
++
− = −∆ Γ ∆ +
∆
(22)
El incremento nodal en la sección transversal
de la región del fluido en el microcanal, está
dado por
1,
1
kj�
η∆ =−
(23)
donde � , se refiere al total de nodos de la malla
discretizada y que corresponde a la siguiente
secuencia ( 0,1,..., ).max
� j j= =∑ El valor de ,� se inicializara a partir de un valor de 10,001, el
cual se incrementa en cada iteración del método
aquí propuesto con un valor de 1000, hasta que
se cumpla la siguiente condición 1
,
k kj j Tu u tol
−− ≤ (24)
donde T
tol , es la tolerancia de la aplicación del
método de Thomas, con un valor de 1110
− .
Los datos obtenidos de la solución numérica
anterior para el perfil de velocidades, son
utilizados al implementar el método del trapecio
para la integración numérica de la ecuación (20),
transformándose de la siguiente manera
( )1
10
12 1
2
.
�
j jj
Q j j u uη η−
+=
≈ + ∆ − ∆ +∑
(25)
2.4 Solución analítica Para efecto de validación de los resultados
numéricos se propone la siguiente solución
analítica para el perfil de velocidad y caudal.
Integrando la ecuación del gradiente de
velocidad dado por la ecuación (11) para el
índice de comportamiento de flujo 1,n= y con la
condición de frontera de no deslizamiento de la
ecuación (10), se obtiene el siguiente perfil de
velocidades
( )( )
2cosh
(1 ) 1cosh
,u
κηη
κ= Γ − + −
(26)
la ecuación (26) se sustituye en la ecuación (20),
la cual se integra para obtener el caudal
correspondiente a 1,n = como a continuación se
presenta
4 2 tanh( )2
3,Q
κκ
Γ= + − (27)
de la misma forma para 12
n =
[ ]
1
22 3
2
24 cosh( )(1 ) 1
cosh( )
1 sinh( )tanh( )
cosh( )
1sinh(2 ) sinh(2 ) (1 )
2
cosh ( ),
u
κηη η
κ κ
κηκ
κ κ
κ κη κ η
κ
= Γ − + − −
− +
− − −
(28)
( )
( ) ( ) ( )
12
2
2
2
2tanh3 96 21
2
cosh 21 12
2 2cosh
sinh ,
Qκ
κ κ κ
κκ κ
κ κκ
Γ= + Γ − + +
− − +
(29)
para 13
n =
( ){
( )} ({
) ( )
( )( ) ( ){
( )} ( ){
( )} { } { }
( ) ( ){ ( )
4 1
23 33 4
2
2
12
33
2
2
2 2
2
3
6 ( ) 1(1 ) cosh
cosh( )
2cosh sinh( )
1sinh( ) cosh( ) cosh( )
972 1sinh 2
4cosh
1sinh 2 cosh 2
8
1 1cosh 2 1 1
4 2
3 1sinh cosh
3cosh
u
κη κκ κ
η κη η κηκ
κ κ κηκ
κκ
κκ
η κη κηκ
κ η η
κ κ κκκ
Γ = Γ − + −
+ −
+ − +
Γ −
+ −
+ − + − +
( ) ( )}( ) ( ){ }
2sinh cosh
2cosh cosh ,
3
κη κη
κη κκ
−
+
− (30)
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( )( ) ( ){
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
11
23 33
2
103688 1cosh
5 cosh
1 2 1sinh cosh sinh
sinh2 1cosh sinh
sinh1cosh
Qκ
κκ κ
κ κ κκ κ κ
κκ κ
κ κκ
κκ
κ κ
=ΓΓ + −
− − +
− − +
− +
( ) ( ) ( ){
( )( )
( )
( ) ( )
( ) { ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ){
( )
( ) ( )
1 2
3 3
2
2
2
3
2
2
17776 2
4
cosh 2 12
2 2
21 1cosh 2
2 28
6 1cosh
3cosh
cosh 12 cosh
2 3
cosh( ) sinh(2 )cosh
4
12 co
48 12
sinh
sinh
sinh
sinh
sinh
sinh
κ κκ
κκ
κ κ
κκ
κκ
κκ κ
κκ
κκ κ
κ
κ κκ
κκ κ
Γ −
− +
− − +
+
+ − −
− +
−−
( )( ){
} ( )3
sh 2
cosh( ) sinh(2 )3
sinh.
κ
κκ κ
κ
−
+
(31) 3 A�ALISIS DE RESULTADOS.
En la Figura 2 se muestran las soluciones
numérica y analítica de la ecuación (11) para los
perfiles de velocidad adimensional u como
función de la coordenada transversal η , para
diferentes valores del índice de comportamiento
de flujo ,n y valores fijos de 50κ = y 0Γ =(no hay gradiente de presión impuesto). Para
cualquier valor del índice de comportamiento de
flujo, la velocidad máxima se encuentra en el
centro del microcanal en 0,η = siendo ésta la
velocidad Smoluchowski; se observa la
disminución de los perfiles de velocidad hacia la
pared del microcanal en función de cumplir la
condición de no deslizamiento impuesta. Para
valores de 1n < (fluidos seudoplásticos), el
perfil de velocidad tiende a incrementarse en la
Figura 2. Distribución de velocidad adimensional para
diferentes valores del índice de comportamiento de flujo, n .
dirección del flujo sobre el caso newtoniano
( )1n= , esto es debido a que a partir del análisis
la ecuación (14) se deduce que para valores
típicos de flujos electro-osmóticos la razón de
viscosidades en la pared para un fluido
seudoplástico y un fluido newtoniano es
( ) ( )1/
seudoplastico newtonianow wµ µ < , por tanto los fluidos
con valores de 1n < , tienen las viscosidades en
la pared más pequeñas [1], haciendo que las
fuerzas del cuerpo del efecto electro-osmótico
sea más relevante dentro de la doble capa
eléctrica cuando disminuye n con la viscosidad
,
wµ
y por tanto se generan los perfiles de
velocidad más altos en magnitud, presentándose
una tendencia más clara a un perfil de flujo tipo
tapón. En el caso de 1n > (fluidos dilatantes),
el perfil de velocidad tiende a decrecer en la
dirección del flujo por debajo del caso
newtoniano, debido al análisis de la ecuación
(14) se tiene que la razón de viscosidades
( ) ( )1/
dilatante newtonianow wµ µ > , lo cual indica que
los fluidos dilatantes presentan una viscosidad
más alta en la pared del microcanal que los
fluidos newtonianos y en general de los fluidos
de ley de potencia, haciendo que las fuerzas de
cuerpo del efecto electro-osmótico dentro de la
doble capa eléctrica sea menor en este tipo de
fluidos por tener una resistencia al flujo mayor
en esta zona, generando los perfiles de velocidad
en magnitud más pequeños. Se puede observar
también en esta figura, la adecuada
correspondencia entre las soluciones numéricas y
analíticas planteadas en el presente trabajo para
los perfiles de velocidad.
En la Figura 3 se observa la solución
numérica de las distribuciones de velocidad
adimensional ,u como función de la coordenada
0.0 0.1 0.2 0.90 0.95 1.000.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
η
n=0.33
n=0.5
n=0.75
n=0.8
n=0.9
n=1.0
n=1.1
n=1.2
n=1.5
u
Γ=0κ=50
�uméricoAnalítico
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Figura 3. Distribución de velocidad adimensional para
diferentes valores del parámetro electrocinético, κ .
transversal η , para diferentes valores del
parámetro electrocinético ,κ manteniendo a
0Γ = y 0.75n = . El parámetro electrocinético
es una medida relativa del espesor de la longitud
de Debye 1κ − con la altura del microcanal H; es
de esperarse que al decrecer el valor de ,κ se
están considerando microcanales cada vez más
delgados, por tanto el espesor de la longitud de
Debye tendera a ser de la misma magnitud que la
altura del microcanal haciendo que la doble capa
eléctrica en la pared sea mayor y los efectos
electro-osmóticos se distribuyan en una
proporción más grande de la sección transversal
del microcanal, dejando un perfil de velocidad
con tendencia parabólica [1]. En esta figura, se
observa el comportamiento de un flujo tapón
(uniforme) para valores grandes de ,κ caso
particular de flujos puramente electro-osmóticos
con longitudes de Debye pequeñas dentro de la
doble capa eléctrica [2], es claro que una mayor
velocidad promedio se espera para flujo de fluido
con valores de 10.κ ≫ El flujo tapón es
utilizado por flujos en microcanales para el
control y detección de solutos, debido a que
genera una muy pequeña dispersión de las
muestras en los dispositivos microfluídicos [12].
La Figura 4 considera aspectos
hidrodinámicos de un flujo de un fluido
seudoplástico en un microcanal con (n=0.75) y
50.κ = En la Figura 4a, se observan los perfiles
de velocidad adimensional del fluido, como
función de la coordenada transversal del
microcanal. Γ representa la competencia entre
las fuerzas de presión y las fuerzas electro-
osmóticas; cuando 0Γ = no existen fuerzas de
presión favorables al flujo (caso mostrado en las
Figuras 2 y 3), predominando el patrón de flujo
tapón; cuando 0Γ > la solución numérica de la
ecuación (11), indica que la aplicación de
fuerzas de superficie generadas por gradientes de
presión favorables a la dirección de flujo,
incrementan las magnitudes de los perfiles de
velocidad en el orden del incremento de Γ . Esta
figura describe de manera clara la combinación
de los efectos electro-osmóticos (patrón de flujo
de tipo tapón) y de presión (patrón de flujo
parabólico), en los perfiles de velocidad.
En la Figura 4b se observa la evolución de la
viscosidad adimensional µ como función de la
coordenada transversal η , para diferentes
valores de Γ . De la ecuación (16), se obtiene
que el aumento de la magnitud del gradiente de
presión a través del parámetro Γ , provoca la
disminución de la viscosidad adimensional y la
resistencia al flujo del fluido a lo largo de la
coordenada transversal, y como consecuencia el
aumento de los perfiles de velocidad dados por la
Figura 4a. En los fluidos seudoplásticos (n<1),
como es el caso de esta figura, se puede observar
que la mayor viscosidad se encuentra en las
cercanías del centro del microcanal,
disminuyendo en forma asintótica en esa zona,
posteriormente el decrecimiento es de manera
uniforme hacia la pared para alcanzar el valor de
la viscosidad de referencia en esa posición ,
wµ
que es el punto donde se encuentran las
velocidades de deformación máximas del flujo
( )/max
du dη y por consiguiente la mayor
resistencia que ofrece el fluido a fluir para
cumplir la condición de no deslizamiento
impuesta. El modelo planteado por la ecuación
(16) falla en los fluidos seudoplásticos para
predecir la viscosidad en el centro del microcanal
en 0.η = La Figura 4c muestra la variación del
esfuerzo cortante adimensional xyτ como función
de la coordenada transversal η , para diferentes
valores de Γ . Para cualquier valor de Γ y de
acuerdo a la ecuación (17), se tiene que 0xy
τ =
en el centro del microcanal en 0,η = debido al
cumplimiento de la condición de frontera de
simetría hidrodinámica, en donde el gradiente de
velocidad en la coordenada transversal es cero.
Se puede observar que el esfuerzo cortante xyτ
crece lineal y uniformemente desde el centro del
microcanal hacia la pared, pero al llegar a la zona
de la doble capa eléctrica el esfuerzo crece
asintóticamente con las velocidades de
deformación para alcanzar la condición de no
deslizamiento en la pared y el esfuerzo cortante
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Γ=0n=0.75
η
κκκκ =10
κκκκ =50
κκκκ =100
u
ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1469
MEMORIAS DEL XVIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 19 al 21 DE SEPTIEMBRE, 2012 SALAMANCA, GUANAJUATO, MÉXICO
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Figura 4. Comportamiento hidrodinámico de un fluido
seudoplásticos con 0.75n = y 50.κ = a) perfil de
velocidad ,u b) viscosidad ,µ y c) esfuerzo cortante .
xyτ
máximo. El esfuerzo .
xyτ crece asintóticamente
con Γ en el mismo orden que las velocidades de
deformación dentro de la doble capa eléctrica
para incrementar los perfiles de velocidad dados
en la Figura 4a.
La Figura 5 describe aspectos sobre la
hidrodinámica de flujo de un fluido dilatante
( 1.2)n = con 50.κ = En la Figura 5a se
observa la solución numérica del desarrollo de
los perfiles de velocidad ,u como función de la
Figura 5. Comportamiento hidrodinámico de un fluido
seudoplásticos con 1.2n = y 50.κ = a) perfil de velocidad
,u b) viscosidad ,µ y c) esfuerzo cortante .
xyτ
coordenada transversal η , para diferentes
valores de .Γ De la misma manera que la Figura
4a, los perfiles de velocidad de fluidos dilatantes
se ven modificados bajo la acción de gradientes
de presión favorables al flujo en el orden de
incrementar su magnitud con el parámetro ,Γ
siendo este tipo de fluidos menos sensibles al
efecto de ,Γ y por tanto menores en magnitud en
comparación con los fluidos seudoplásticos para
las mismas condiciones de flujo. Para cualquier
valor de ,Γ la velocidad es máxima en el centro
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
a)
η
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
ΓΓΓΓ=2
n=0.75κ=50
u
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00
2
4
6
8
10
12
14
16
18
b)
µ
η
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
ΓΓΓΓ=2
n=0.75κ=50
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1τxy
c)
η
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
ΓΓΓΓ=2
n=0.75κ=50
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
a)
η
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
ΓΓΓΓ=2
n=1.2κ=50
u
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
b)
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
ΓΓΓΓ=2
η
n=1.2κ=50
µ
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0c)
η
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
ΓΓΓΓ=2
n=1.2κ=50
τxy
ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1470
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del canal, disminuyendo hasta hacerse nula en la
pared del microcanal por efecto de la condición
de no deslizamiento impuesta.
En la Figura 5b, se muestra la distribución de
la viscosidad adimensional u como función de
la coordenada transversal η y diferentes valores
de .Γ Independientemente del valor de ,Γ en
esta figura se observa el comportamiento
inviscido de los fluidos dilatantes (n>1) en el
centro del microcanal en 0.η = La viscosidad
adimensional crece asintóticamente en las
cercanías del centro del microcanal y después de
manera uniforme a lo largo de la coordenada
transversal, para finalmente crecer de manera
asintótica en las cercanías de la pared dentro de
la doble capa eléctrica. De esta manera, la
viscosidad adimensional de los fluidos dilatantes
aumenta desde el centro del microcanal hacia la
pared para alcanzar la viscosidad máxima en esa
posición. Para valores típicos de flujos electro-
osmóticos se observa a partir de la ecuación (16),
que la razón de viscosidades en la pared del
microcanal es ( ) ( )
1,/seudoplastico dilatantesw w
µ µ < lo
cual reafirma que en los fluidos dilatantes se
presentan una mayor resistencia del fluido a fluir
y por tanto es menor el efecto electro-osmótico
dentro de la doble capa eléctrica, en comparación
con los seudoplásticos; de ahí, que los perfiles de
velocidad presentados en la Figura 4a
(seudoplásticos), son mayores en magnitud que
los de la Figura 5a (dilatantes), bajo las mismas
condiciones de flujo. En lo que respecta al
comportamiento de la viscosidad fuera de la
doble capa eléctrica se tiene que la razón de
viscosidades ( ) ( )
1,/seudoplastico dilatantes
µ µ < siendo
los fluidos dilatantes con menor viscosidad en
esta zona.
En la Figura 5c se presenta la distribución del
esfuerzo cortante adimensional xyτ como función
de la coordenada transversal η y diferentes
valores de .Γ Se puede observar en la Figura 5c
el crecimiento de manera lineal y uniforme del
esfuerzo cortante xyτ hacia la pared del
microcanal, pero en la zona de la doble capa
eléctrica este esfuerzo tiende a aumentar
drásticamente de manera asintótica para alcanzar
su valor máximo junto con la velocidad de
deformación máxima ( )max
/du dη en 1.η = El
esfuerzo cortante xyτ aumenta con Γ a lo largo
de la coordenada transversal, pero dentro de la
doble capa eléctrica, el xy
τ tiende a ser igual
para cualquier valor de .Γ De la ecuación (15) y
para valores típicos de flujos electro-osmóticos y
en lo concerniente al presente trabajo con fluidos
de ley de potencia, se tiene que la razón de
esfuerzos en la pared y dentro de la doble capa
eléctrica es ( ) ( )
1,/seudoplastico dilatantesxyw xyw
τ τ ∼ pero
fuera de la doble capa eléctrica hacia el centro
del canal, la relación de esfuerzos se comporta
( ) ( )1,/
seudoplastico dilatantesxy xyτ τ > situación que se
observa al comparar las figuras 4c y 5c; así, en el
orden de vencer la resistencia al flujo debido a
las altas viscosidades de los fluidos
seudoplásticos fuera de la doble capa eléctrica, es
de esperarse que los esfuerzos cortantes sean
mayores, situación contraria en los fluidos
dilatantes.
La Figura 6 muestra el caudal adimensional
Q del microcanal como función del índice de
comportamiento de flujo ,n para diferentes
valores de Γ y 50κ = . La imposición de un
gradiente de presión favorable al flujo a través
del parámetro adimensional Γ incrementa el
perfil de velocidad en la dirección de flujo (ver
Figuras 4a y 5a), como consecuencia de esto, el
caudal adimensional Q crece con Γ para
cualquier valor del índice del comportamiento de
flujo. El efecto combinado de fuerzas electro-
osmóticas y de presión sobre los perfiles de
velocidad reside en la magnitud de la viscosidad
dentro de la doble capa eléctrica representada en
la longitud de Debye 1;κ − en el caso de fluidos
dilatantes (n>1), la viscosidad dentro de la doble
capa eléctrica aumenta con ,n por tanto es de
esperarse que los perfiles de velocidad y caudal
para estos fluidos disminuya cuando ,n → ∞
este tipo de fluidos son poco sensibles al efecto
Figura 6. Caudal adimensional en el microcanal como función del
índice de comportamiento de flujo n, para diferentes valores de Γ.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.51
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15�uméricoAnalítico
n
ΓΓΓΓ=0.5
ΓΓΓΓ=0.75
ΓΓΓΓ=1
ΓΓΓΓ=1.5
Q κ=50
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de la aplicación de gradientes de presión sobre el
caudal Q . Para fluidos seudoplásticos (n<1), la
viscosidad dentro de la doble capa eléctrica
disminuye con ,n por tanto los perfiles de
velocidad y caudal para estos fluidos aumentan
cuando 0,n → estos tipos de fluidos son muy
sensibles al efecto de la aplicación de gradientes
de presión sobre el caudal .Q La solución
numérica y analítica de la ecuación (20) para el
caudal adimensional presenta una excelente
convergencia.
La Figura 7 muestra el comportamiento del
caudal Q como función del índice de
comportamiento de flujo, n , para diferentes
valores del parámetro electrocinético κ y con
0.Γ = Siendo el parámetro electrocinético κ un
indicador geométrico del microcanal, es de
esperarse que para valores decrecientes de este
parámetro se tengan microcanales cada vez más
delgados y con velocidades promedio más
pequeñas (ver Figura 3), disminuyendo el caudal
adimensional. En esta figura se observa que para
fluidos seudoplásticos con 0,n → el caudal Q
crece debido a la reducción de la viscosidad
dentro de la doble capa eléctrica y a la mayor
sensibilidad del efecto electro-osmótico en esta
zona, como se había explicado en figuras
anteriores; el caso contrario ocurre con fluidos
dilatantes.
La Figura 8 presenta el caudal adimensional
Q como función del parámetro Γ, y diferentes valores del índice de comportamiento de flujo ,n
con 50.κ = El caudal Q de los fluidos bajo el
modelo de ley de potencia aumenta con la
imposición de fuerzas de presión (Γ>0); pero es de notarse, que los fluidos seudoplásticos (n<1)
Figura 7. Caudal adimensional en el microcanal como
función del índice de comportamiento de flujo n, para
diferentes valores de κ .
Figura 8. Caudal adimensional en el microcanal como
función de la competencia entre fuerzas de presión y fuerzas
electro-osmóticas ,Γ para diferentes valores de n
tienen una sensibilidad mayor al incrementarse Γ provocando un aumento importante en el caudal
;Q mientras que en el caso de los fluidos
dilatantes (n>1) el efecto del incremento de Γ sobre la magnitud del caudal es menor que en los
fluidos seudoplasticos. Se puede observar la
adecuada aproximación de la solución numérica
con la analítica de la ecuación (20).
CO�CLUSIO�ES
Como resultado del presente trabajo se
llegaron a las siguientes conclusiones:
• Los fluidos seudoplasticos presentan la
menor viscosidad del fluido en la pared del
microcanal y dentro de la zona de la doble
capa eléctrica, siendo más sensibles en esta
zona al efecto combinado de fuerzas
electro-osmóticas y de presión sobre la
magnitud de los perfiles de velocidad y
caudal; caso contrario en los fluidos
dilatantes.
• La influencia del parámetro electrocinético
κ , sobre los perfiles de velocidad y caudal
es débil para valores grandes de este
parámetro, es decir para 10κ ≫ .
De esta manera, el presente modelo y su
solución, pueden actuar como una herramienta
que ayude al entendimiento de los diferentes
mecanismos de transporte para el diseño de los
sistemas microfluídicos.
AGRADECIMIE�TOS
Este trabajo fue patrocinado por los proyectos
169718 SEP-CONACYT y 20120852 SIP-IPN
�OME�CLATURA
xE campo eléctrico [V/m]
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
1.7
1.8
1.9
2.0
Q
n
�umérico
Γ=0
κκκκ =10
κκκκ =50
κκκκ =100
Analítico
Analítico
0.0 0.5 1.0 1.5 2.02
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Γ
umérico
n=0.5
n=0.75
n=1
n=1.2
n=1.5
κ=50
Q
ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1472
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H mitad del microcanal [m]
M número máximo de nodos
m índice de consistencia de flujo [Pa sn]
� número de nodos
n índice de comportamiento de flujo
xp gradiente de presión
Q caudal [m2/s]
Q caudal adimensional
Ttol tolerancia de la aplicación del método de
Thomas
u velocidad axial del fluido [m/s]
u velocidad axial del fluido adimensional
u velocidad promedio [m/s]
c
u velocidad Smoluchowsky [m/s]
pu velocidad por fuerzas de presión [m/s]
,x y coordenada cartesianas
Símbolos griegos ε constante dieléctrica del fluido [C/Vm]
η∆ incremento nodal
Γ competencia entre fuerzas de presión y
fuerzas electro-osmóticas.
η coordenada transversal adimensional
κ inverso de la longitud de Debye [m-1]
κ parámetro electrocinético 1κ − longitud de Debye [m]
µ viscosidad aparente [Pa s]
wµ viscosidad en la pared del microcanal [Pa s]
µ viscosidad adimensional
ρ densidad [kg/m3]
xyτ esfuerzo de corte [Pa]
wxy
τ esfuerzo de corte en la pared [Pa]
xyτ esfuerzo de corte adimensional
ζ potencial zeta [V]
Subíndices
j iteración
w pared
Superíndices
k número de iteraciones
REFERE�CIAS
[1] C. Zhao, Emilijk Zholkovskij, Jacob H.
Masliyah, Chun Yang, “Analysis of
electroosmotic flow of power-law fluids in a
slit microchannel”, International Journal of
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osmotic/pressure driven flows of
viscoelastic fluids in microchannels”, J.
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electroosmosis of non-�ewtonian fluids
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Fluid Mechanics, 2011, pp. 792-798.
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electroosmotic/pressure driven flow of
power-law fluids in microchannels and
micropumps” Colloids and Surfaces A: Phy.
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Engineers and Scientist”, Marcel Dekker,
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on electrokinetic transport of solutes in
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Acutators A, 2007, pp. 221-232.
ISBN 978-607-95309-6-9 Página | 1473
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