View
6
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 17
PARAGRAAF 7.1 : EENHEIDSCIRKEL EN RADIAAL
LES 1 : DE EENHEIDSCIRKEL IN GRADEN
THEORIE EENHEIDSCIRKEL EN GRADEN
β’ Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 }
β’ cos(ππ) = π₯π₯βππππππππππππππππππππ1
β π₯π₯ = cos(ππ)
β’ sin(ππ) = π¦π¦βππππππππππππππππππππ1
β π¦π¦ = sin(ππ)
β’ Ieder punt P op de cirkel geldt : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos(ππ) , sin(ππ) )
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 2 van 17
VOORBEELD 1 : GRADEN EN COΓRDINATEN
Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de coΓΆrdinaten als
a. π‘π‘ = 90 b. π‘π‘ = 22
OPLOSSING 1
a. Dit mag gewoon op de GR : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos(90) , sin(90) ) = (0,1) b. Dit mag gewoon op de GR : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos(22) , sin(22) ) = (0,93 ; 0,37)
VOORBEELD 2
Bereken de hoek van E en F als je weet dat yF = 0,8.
OPLOSSING 2
(1) Je weet dat π¦π¦ = π π π π π π (π‘π‘) = 0,8 β π‘π‘ = π π π π π π β1(0,8) = 53Λ. (2) De andere hoek is dan 180 β 53 = 127Λ
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 3 van 17
LES 2 : DE EENHEIDSCIRKEL IN RADIALEN
THEORIE EENHEIDSCIRKEL EN RADIALEN
β’ Radiaal = { Afstand (in cm) die iemand heeft afgelegd als hij over de rand van de cirkel loopt }
β’ De omtrek van de cirkel = 2Οβ r = 2Ο β 1 = 2Ο
β’ 2ππ ππππππ = 360 πππππππππππ π β ππ ππππππ = 180 πππππππππππ π . In een tabel :
Dus 180 πππππππππππ π = ππ ππππππ
1 ππππππππππ = 1180
ππ ππππππ
β’ Voor ieder punt P op de cirkel geldt : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos(ππ) , sin(ππ) ) β’ Je wisselt op de GR tussen graden en radialen via de knop MODE.
VOORBEELD 2 : RADIALEN
Kijk naar de eenheidscirkel. Bereken de coΓΆrdinaten als
a. π‘π‘ = 1 12ππ
b. π‘π‘ = 1 13ππ
c. π‘π‘ = 5 (ππππππ)
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 4 van 17
OPLOSSING 2
a. Dit mag gewoon op de GR : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos οΏ½1 12πποΏ½ , sin οΏ½1 1
2πποΏ½ ) = (0,β1)
b. Dit mag gewoon op de GR : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos οΏ½1 13πποΏ½ , sin οΏ½1 1
3πποΏ½ ) = (β0,5 ;β0,87)
c. Dit betekent dat je 5 cm over de cirkel gelopen hebt !!! Realiseer je dat dat een waarde is tussen ππ = 3,14 en 2ππ = 6,28 Op de GR : (π₯π₯,π¦π¦) = ( cos(5) , sin(5) ) = (0,28 ;β0,96)
VOORBEELD 3 : HOEK BEREKENEN
Bereken de hoek Ξ±, met Ξ± in radialen.( 0 β€ πΌπΌ β€ 2ππ )
a. π¦π¦ = 0,72 b. π₯π₯ = 0,18
OPLOSSING 3
a. sin(πΌπΌ) = 0,72 β πΌπΌ = sinβ1(0,72) = 0,80 (ππππ) Uit het plaatje hiernaast zie je dat er nog een oplossing is, waarbij de π¦π¦ = 0,72 πΌπΌ = ππ β 0,80 = 3,14 β 0,80 = 2,34
b. cos(πΌπΌ) = 0,18 β πΌπΌ = cosβ1(0,18) = 1,39 (ππππ) Uit het plaatje hiernaast zie je dat er nog een oplossing is, waarbij de π₯π₯ = 0,18 πΌπΌ = 2ππ β 1,39 = 6,28β 1,39 = 4,89
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 5 van 17
PARAGRAAF 7.2 : GONIO-VERGELIJKINGEN OPLOSSEN
LES 1 : GONIO-VERGELIJKINGEN OPLOSSEN
Om goniometrische vergelijkingen op te lossen moet je gebruik maken van een aantal gegevens
(1) DE STANDAARDTABEL
OPMERKING
β’ Uit deze tabel kun je bijv. aflezen dat π π π π π π (16
ππ) = 12 of πππππ π (0) = 1.
β’ Als de waarde negatief is, tel je er ππ bij op. Dus bijv.
π π π π π π (1 16
ππ) = β12
πππππ π (1 16
ππ) = β12β3
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 6 van 17
(2) DE GONIO VERGELIJKINGS REGELS :
(1) π π π π π π (π΄π΄) = π π π π π π (π΅π΅)
π΄π΄ = π΅π΅ + ππ β 2ππ π£π£ π΄π΄ = ππ β π΅π΅ + ππ β 2ππ
(2) πππππ π (π΄π΄) = πππππ π (π΅π΅) π΄π΄ = π΅π΅ + ππ β 2ππ π£π£ π΄π΄ = βπ΅π΅ + ππ β 2ππ
Opmerking
Kijk naar de plaatjes om te begrijpen waarom de regels zo zijn !!!!
(3) EEN STAPPENPLAN
Stappenplan Gonio-vergelijking oplossen
(1) Zorg dat er links geen getal voor de sin of cos staat (2) Zet de rechtse waarde om in een sin/cos-waarde m.b.v. de standaardtabel (3) Gebruik bovenstaande regel om de vergelijking verder op te lossen (4) Schrijf alle oplossingen op die binnen het domein liggen
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 7 van 17
VOORBEELD 1
Los exact op
a. π π π π π π (π₯π₯) = 1 b. 2πππππ π (π₯π₯) = 1 met domein [ 0 , 4ππ ] c. 4πππππ π (2π₯π₯) = β2β3 d. π π π π π π (π₯π₯) + π π π π π π 2(π₯π₯) = 0
OPLOSSING 1
a. (2) π π π π π π (π₯π₯) = sin (12ππ)
(3) π₯π₯ = 12ππ + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = ππ β 1
2ππ + ππ β 2ππ (zelfde)
π₯π₯ = 12ππ + ππ β 2ππ
b. (1) πππππ π (π₯π₯) = 12
(2) πππππ π (π₯π₯) = cos (13ππ)
(3) π₯π₯ = 13ππ + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = β1
3ππ + ππ β 2ππ
(4) π₯π₯ = 13ππ π£π£ π₯π₯ = 2 1
3ππ π£π£ π₯π₯ = 1 2
3π£π£ π₯π₯ = 3 2
3ππ
c. (1) πππππ π (π₯π₯) = β12β3
(2) πππππ π (π₯π₯) = cos (1 16ππ)
(3) π₯π₯ = 1 16ππ + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = β1 1
6ππ + ππ β 2ππ
d. π π π π π π (π₯π₯) + π π π π π π 2(π₯π₯) = 0
π π π π π π (π₯π₯)[1 + π π π π π π (π₯π₯)] = 0 π π π π π π (π₯π₯) = 0 π£π£ 1 + π π π π π π (π₯π₯) = 0 (1) π π π π π π (π₯π₯) = 0 π£π£ π π π π π π (π₯π₯) = β1
(2) π π π π π π (π₯π₯) = sin(0) π£π£ π π π π π π (π₯π₯) = sin οΏ½1 12πποΏ½
(3) π₯π₯ = 0 + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = ππ β 0 + ππ β 2ππ π£π£
π₯π₯ = 1 12ππ β 0 + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = ππ β 1 1
2ππ + ππ β 2ππ
π₯π₯ = 0 + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = ππ + ππ β 2ππ π£π£
π₯π₯ = 1 12ππ + ππ β 2ππ π£π£ π₯π₯ = β1
2ππ + ππ β 2ππ
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 8 van 17
PARAGRAAF 7.3 : GRAFIEK Y=SIN(X) EN Y=COS(X) (TRANSFORMATIES)
LES 1 TRANSFORMATIES
DE GRAFIEKEN VAN Y=SIN(X) EN Y=COS(X)
De grafieken van π¦π¦ = π π π π π π (π₯π₯) πππ π π¦π¦ = πππππ π (π₯π₯) kun je uit de eenheidscirkel halen :
(1) π¦π¦ = π π π π π π (π₯π₯) (de y-coΓΆrdinaat in de eenheidscirkel)
(2) π¦π¦ = πππππ π (π₯π₯) (de x-coΓΆrdinaat in de eenheidscirkel)
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 9 van 17
REGELS BIJ TRANSFORMEREN
Je hebt al twee regels geleerd bij transformeren. Je leert nu ook de laatste regel :
(1) ππ(π₯π₯)ππ(ππ,ππ)οΏ½β―β―β―οΏ½ππ(π₯π₯ β ππ) + ππ
(2) ππ(π₯π₯)πππ₯π₯βππππ,πποΏ½β―β―β―οΏ½ππ β ππ(π₯π₯)
(3) ππ(π₯π₯)πππ¦π¦βππππ,πποΏ½β―β―β―οΏ½ππ οΏ½1
ππβ π₯π₯οΏ½
VOORBEELD 1
Gegeven is de functie ππ(π₯π₯) = π π π π π π (π₯π₯). Bepaal de formule die ontstaat als :
a. ππ eerst 5 naar rechts / 2 omlaag en vervolgens vermenigvuldigd wordt met 3 t.o.v. de x-as.
b. ππ eerst vermenigvuldigd wordt met -2 t.o.v. de y-as en dan 3 naar links verschoven wordt. c. Geef de transformaties die nodig zijn om tot de formule
ππ(π₯π₯) = β2 + 3π π π π π π οΏ½3π₯π₯ + 13πποΏ½
OPLOSSING 1
a. π π π π π π (π₯π₯)ππ(5,β2)οΏ½β―β―β―β―οΏ½π π π π π π (π₯π₯ β 5) β 2
πππ₯π₯βππππ,3οΏ½β―β―β―οΏ½3 β (π π π π π π (π₯π₯ β 5) β 2) = 3π π π π π π (π₯π₯ β 5) β 6
b. π π π π π π (π₯π₯)πππ¦π¦βππππ,β2οΏ½β―β―β―β―οΏ½ sin οΏ½ 1
β2π₯π₯οΏ½ = sin (β1
2π₯π₯)
ππ(β3,0)οΏ½β―β―β―β―οΏ½ sin (β1
2(π₯π₯ + 3))
c. π π π π π π (π₯π₯) πππ₯π₯βππππ,3οΏ½β―β―β―οΏ½3 β π π π π π π (π₯π₯)
πποΏ½β13ππ,β2οΏ½οΏ½β―β―β―β―β―β―οΏ½3π π π π π π οΏ½π₯π₯ + 1
3πποΏ½ β 2
πππ¦π¦βππππ,13οΏ½β―β―β―οΏ½3π π π π π π οΏ½3π₯π₯ + 1
3πποΏ½ β 2
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 10 van 17
LES 2 HERLEIDEN VAN SIN(X) EN COS(X)
REGELS VOOR SIN(X) EN COS(X)
Er zijn een aantal belangrijke regels voor herleiden :
(1) π π π π π π 2(π₯π₯) + πππππ π 2(π₯π₯) = 1
(2) β π π π π π π (π₯π₯) = π π π π π π (π₯π₯ + ππ)
(3) β πππππ π (π₯π₯) = πππππ π (π₯π₯ + ππ)
(4) π π π π π π (π₯π₯) = πππππ π (π₯π₯ β Β½ππ) { Β½Ο naar rechts }
(5) πππππ π (π₯π₯) = π π π π π π (π₯π₯ + Β½ππ) { Β½Ο naar links }
(6) π‘π‘πππ π (π₯π₯) = π π ππππ(π₯π₯)πππππ π (π₯π₯)
VOORBEELD 1
Toon aan dat :
a. π‘π‘πππ π 2(π₯π₯) = π π ππππ2(π₯π₯)1βπ π ππππ2(π₯π₯)
b. πππππ π (3π₯π₯) + π π π π π π οΏ½3π₯π₯ + 1 12ππ οΏ½ = 0
OPLOSSING 1
a. π‘π‘πππ π 2(π₯π₯) = π‘π‘πππ π (π₯π₯) β π‘π‘πππ π (π₯π₯) = π π ππππ(π₯π₯)πππππ π (π₯π₯) β
π π ππππ(π₯π₯)πππππ π (π₯π₯) = π π ππππ2(π₯π₯)
πππππ π 2(π₯π₯) = π π ππππ2(π₯π₯)1βπ π ππππ2(π₯π₯)
b. πππππ π (3π₯π₯) + π π π π π π οΏ½3π₯π₯ + 1 12ππ οΏ½ = πππππ π (3π₯π₯) + πππππ π (3π₯π₯ + ππ ) = πππππ π (3π₯π₯) β πππππ π (3π₯π₯ ) = 0
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 11 van 17
PARAGRAAF 7.4 : TEKENEN EN BEPALEN VAN EEN GONIOFUNCTIE
LES 1 : TEKENEN VAN EEN GONIOFORMULE
Gegeven is gonioformule π¦π¦ = ππ + ππ π π π π π π ππ (π₯π₯ β ππ)
ππππ π¦π¦ = ππ + ππ πππππ π ππ (π₯π₯ β ππ).
Hierin is:
(1) a = evenwichtsstand
(2) b = amplitude
(3) ππ = 2ππππππππππππππππ
ππππ πππππππ π ππππππ = 2ππππ
(4) d = verschuiving met π₯π₯ + ππ = verschuiving d naar links
π₯π₯ β ππ = verschuiving d naar rechts
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 12 van 17
STAPPENPLAN TEKENEN GONIO-FORMULE Y = A + B SIN C (X - D)
(1) Teken eerst de formule π¦π¦ = ππ + ππ π π π π π π πππ₯π₯ (dus zonder verschuiving d) (2) Verschuif de eerste grafiek d naar links / rechts
VOORBEELD 1
Teken op domein [0 , 2Ο] de formule ππ(π₯π₯) = 2 + 3π π π π π π 12
(π₯π₯ β 1)
OPLOSSING 1
a. (1) ππ = πππ£π£πππ π πππ π ππβπ‘π‘π π π π π‘π‘πππ π ππ = β2
ππ = πππππππππ π π‘π‘ππππππ = 3
πππππππ π ππππππ = 2ππ0,5
= 4ππ (β 12,57)
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 13 van 17
(2) β1 = verschuiving 1 naar links
OPMERKING
Je kunt ook direct de grafiek tekenen. Je moet dan als start van de grafiek het punt (π£π£πππππ π ππβπππ π π£π£π π π π ππ, πππ£π£πππ π πππ π ππβπ‘π‘π π π π π‘π‘πππ π ππ) = (1,2) nemen voor de sinusgrafiek.
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 14 van 17
LES 2 BEPALEN VAN EEN GONIOFORMULE
VOORBEELD 1
Bepaal de formule van de onderstaande grafiek
a. Als het een sinusgrafiek is
b. Als het een cosinusgrafiek is.
OPLOSSING 1
a. De 4 letters berekenen :
(1) a = evenwichtsstand = 7+ β12
= 62
= 3
(2) b = amplitude = 7 β 3 = 4
(3) periode = 4 β 1 = 3 (Van top tot top) dus ππ = 2ππ3
= 23ππ
(4) Bij de sinusgrafiek start in de evenwichtsstand en dat doet deze grafiek ook dus ππ =0
Dus : π¦π¦ = 3 + 4 π π π π π π (23πππ₯π₯)
b. De stappen 1 t/m 3 zijn gelijk (4) De cosinusgrafiek start in het maximum en dat is bij π‘π‘ = 1, dus is de grafiek 1 naar rechts verschoven
Dus : π¦π¦ = 3 + 4 πππππ π (23ππ(π₯π₯ β 1))
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 15 van 17
LES 3 F(X)= TAN(X)
THEORIE TAN(X)
(1) tan(π₯π₯) = sin(π₯π₯)cos(π₯π₯)
(2) tan(x) heeft asymptoot bij π₯π₯ = Β½Ο + ππΟ (daar is cos(x) = 0 ) (3) Grafiek
(4) Vergelijking π‘π‘πππ π (π΄π΄) = π‘π‘πππ π (π΅π΅) β π΄π΄ = π΅π΅ + ππΟ
(5) Mooie exacte waarden ( Let op π‘π‘πππ π (π₯π₯) = π π ππππ(π₯π₯)πππππ π (π₯π₯)
)
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 16 van 17
VOORBEELD 1
Los exact op op het interval [ 0, 1Β½Ο ]
3 tan(4π₯π₯) = β3
OPLOSSING 1
3 tan(4π₯π₯) = β3
tan(4π₯π₯) =13β
3
tan(4π₯π₯) = tan (16ππ)
π₯π₯ = 16ππ + ππππ
π₯π₯ = 16ππ π£π£ π₯π₯ = 1
16ππ
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 17 van 17
PARAGRAAF 7.5 : DIFFERENTIΓREN VAN GONIOMETRISCHE FUNCTIES
DIFFERENTIΓERREGELS GONIOFORMULES
Er zijn maar 2 regels :
(1) ππ(π₯π₯) = π π π π π π (π₯π₯) β ππβ(π₯π₯) = πππππ π (π₯π₯)
(2) ππ(π₯π₯) = πππππ π (π₯π₯) β ππβ(π₯π₯) = βπ π π π π π (π₯π₯)
Denk bij het differentiΓ«ren aan de productregel en kettingregel !!!
VOORBEELD 1
Differentieer
a. ππ(π₯π₯) = 2πππππ π (π₯π₯) + 1
b. ππ(π₯π₯) = πππππ π (3π₯π₯)
c. ππ(π₯π₯) = π₯π₯ π π π π π π (π₯π₯)
d. ππ(π₯π₯) = 3π₯π₯2 πππππ π (π₯π₯)
e. ππ(π₯π₯) = π π π π π π 3(π₯π₯)
OPLOSSING 1
Met productregel en kettingregel.
a. ππβ²(π₯π₯) = 2 π π π π π π (π₯π₯)
b. ππβ²(π₯π₯) = β3 π π π π π π (3π₯π₯)
c. ππβ(π₯π₯) = 1 β π π π π π π (π₯π₯) + π₯π₯ πππππ π (π₯π₯) = π π π π π π (π₯π₯) + π₯π₯ πππππ π (π₯π₯)
d. ππβ(π₯π₯) = 3π₯π₯2 β β π π π π π π (π₯π₯) + 6π₯π₯ β πππππ π (π₯π₯) = β 3π₯π₯2π π π π π π (π₯π₯) + 6π₯π₯πππππ π (π₯π₯)
e. ππ(π₯π₯) = π π π π π π 3(π₯π₯) = (π π π π π π (π₯π₯))3
ππβ(π₯π₯) = 3 β οΏ½π π π π π π (π₯π₯)οΏ½2 β πππππ π (π₯π₯) = 3π π π π π π 2(π₯π₯)πππππ π (π₯π₯)
Recommended