View
228
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
1
Dinamika materijalne toke
D´Alembertov principZakoni dinamike
Oscilacije
13. dio:
2
Newtonovi aksiomi:
• I. aksiom: Zakon inercije
• II. aksiom: Zakon gibanja
• III. aksiom: Zakon akcije i reakcije
(ponavljanje iz statike)
3
I. Aksiom: Zakon inercije
Materijalno tijelo ili toka bez djelovanja vanjskih sila zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni.
Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji. 4
II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike
Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili toke
kojeg tijelo (toka) dobiva djelovanjem sile jednak je
po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja
podudara se s pravcem i smjerom sile.
→→
→
→⋅=⋅=
⋅= am
dtv d
mdt
vm dF
5
III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije
Dva materijalna tijela (toke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera.
6
Zadaci dinamike:
Prvi zadatak dinamike:Poznat je zakon gibanja materijalne toke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu toku (F=?; D´Alembertov princip)
Drugi zadatak dinamike:Poznate su sile koje djeluju na materijalnu toku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne toke [s=f(t) =?].
2
7
D’Alembertov principD’Alembert je uveo u mehaniku pojam
sile inercije Fin t.j. sile kojom se tijelo
odupire promjeni gibanja.
8
Sila inercije
jednaka je produktu mase m i ubrzanja
i usmjerena je u suprotnom smjeru od
smjera ubrzanja a materijalne toke.
)a(mF in→→
−⋅=
inF
→a
9
( ) 0amam
0FF
)a(mF
aksiom) Newtonov (II. amF
in
in
=−⋅+⋅
=+
−⋅=
⋅=
→→
→→
→→
→→
10
D’Alembertov princip
• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav e biti u ravnoteži.
• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomou statikih uvjeta ravnoteže.
11
D’Alembertov principSlobodna toka:
• Vanjske sile koje djeluju na materijalnu toku u ravnoteži su sa silom inercije.
Neslobodna toka:
• Vanjske sile (aktivne i reaktivne-sile veza ) koje djeluju na materijalnu toku u ravnoteži su sa silama inercije.
0FF in =+→→
0FRF inreakakc =++
12
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
• Zakon o promjeni koliine gibanja
• Zakon o promjeni kinetike energije
• Zakon o ouvanju mehanike energije
• Zakon o promjeni momenta koliine gibanja
3
13
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
1. Zakon o promjeni koliine gibanja
Promjena koliine gibanja jednaka jeimpulsu sile.
tFIvmvm 01 ⋅==⋅−⋅→→→→
14
Izvod:
? vmvm
? vmvm
01
01
=⋅−⋅
+⋅=⋅→→
→→
15
=⋅−⋅ ⋅=
⋅=⋅−⋅⋅=
⋅ =−==⋅
⋅ ==⋅
=⋅
→→→→→
→→→→→
→→→→→→
→→→→
→→
i01
t
0i
1
0
t
0i01i
t
0i0
1i
t
0i
10i
i
Ivmvm dtFKd
dtFvmvm dtFKd
dtFKK FdtKd
dt)vm( d
dtF K Fdt
vdm
Fam
16
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
2. Zakon o promjeni kinetike energije
Promjena kinetike energije jednaka je radu sila.
→→⋅==⋅−⋅
sFA2vm
2vm 2
021
17
Izvod: Pravac sile F i puta s se podudaraju
→→
=⋅ iFam
1 cos 0 =α→=α
18
dsFvdvm
Fvdsdv
m
sFvm21
vm21
Fdtds
dsdv
m
sF2v
m Fdtvd
m
dsFdvvm Fam
i
i
20
21i
si
vv
2
i
s
0i
v
vi
0
1
0
1
0
⋅=⋅⋅
=⋅⋅
⋅=⋅−⋅=⋅⋅
⋅=⋅=⋅
⋅ =⋅⋅=⋅
→→
→→
4
19
sFEEE AE 0k1kkk ⋅=−=∆=∆
sRsFEEE t0k1kk ⋅−⋅=−=∆20
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
3. Zakon o ouvanju mehanike energije
Suma kinetike i potencijalne energije pri gibanjumaterijalne toke pod djelovanje konzervativnih sila
(bez trenja) je konstantna.
konstantan E E pk =+
0
20
1
21 hgm
2vm
hgm 2vm ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅
21
2
vm
2
vm0EEE
22
kp00 ⋅
=⋅
+=+=
vm 21
0 hgmEEE 20kp ⋅=+⋅⋅=+=
2vm
2vm
sgmEEE20
2s
kp⋅=⋅+⋅⋅=+=
Iz kinematike vertikalan hitac: g
vh
⋅=
2
20
22
Opi zakoni dinamike materijalne toke:
4. Zakon o promjeni momenta koliine gibanja
Promjena momenta koliine gibanja u vremenu
obzirom na neku toku jednaka je statikom
momentu sile obzirom na tu istu toku.
→→
→→
→→
×=
⋅×= Fr
dt
vmr d M
dtLd
OO
23
→→→⋅×= vmrLO
24
4. Zakon o promjeni momenta koliine gibanja
Primjer 1: Gibanje planeta oko Sunca i sila kojom Sunce privlai planete
• Putanja planeta je elipsa a Sunce se nalazi u fokusu elipse – to je gibanje pod djelovanjem centralne sile kod koje pravac sile za cijelo vrijeme gibanja prolazi kroz jednu te istu toku O.
5
25Keplerov zakon 26
.konstvdvdvd.konstvd
.konstmvd
.konstsinmvrL
.konstvmrL
0dt
vmrd
dtLd
0FrM
BBAA
0
0
O
O
=⋅=⋅=⋅=⋅
=⋅=α⋅⋅=
=⋅×=
=
⋅×=
=×=
→→→
→→→
→→→
Toka O – Sunce
Toka M – Zemlja
masa Zemlje m = konstanta
27
Površine moraju biti jednake !
brzina najveav
brzina najmanja- v
N
A
−
.konstvd =⋅
28
Primjer 2: Prandtlov stolac
• Piruete kod klizanja.konstL
dtLd O ==
→→
0
konst. v mrL =⋅=
konst. v r =⋅
29
Primjer 3:
• Kuglica Mprivezana na nit koja se namotava na tanki vertikalni štap.
100 mvr mvr 1 ⋅=⋅
30
Primjer 4: Matematiko njihalo
lg
0lg
sin kut mali za 0sinlg
mgsin l dtd
l m
dinamike)zakon (4. MdtLd
mgsin l mgd Mdtd
l mdtd
lmlL
dtd
lr v;lr
Fr M vmrL
2
22
OO
O
2O
OO
=ω→=ϕ⋅+ϕ
ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ
⋅ϕ−=ϕ
=
⋅ϕ−=⋅−=
ϕ=ϕ⋅=
ϕ=ω⋅==
×=×=
••
••
→→
→→→→→→
6
31
Diferencijalna jednadžba (oscilacijskog) gibanja matematikog njihala:
0 2 =ϕ⋅ω+ϕ••
ti tr2
titr1
21
22
rtrt2rt2
2
rt2
ee ee
i r ir :Rješenja 0r
e:/ 0eer
0
er
21 ⋅ω−⋅ω
••
••
==ϕ==ϕ
⋅ω−=⋅ω==ω+
=⋅ω+⋅
=ϕ⋅ω+ϕ
⋅=ϕ
Rješenje u obliku:rte=ϕ
32
Ope rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se od zbrojapojedinanih rješenja pomnoženih konstantama:
Pošto je
te uz
Dobivamo ope rješenje diferencijalne jednadžbe matematikognjihala:
Konstante A i B odreujemo iz poetnih uvjeta gibanja.
ti 2
ti12211 eCeCCC ⋅ω−⋅ω ⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ
tsintcose ti ω±ω=⋅ω±
tcosBtsinA ω⋅+ω⋅=ϕ
2121 CCB i CCA +=−=
33
Gibanje materijalne toke
a) Krivocrtno gibanje
b) Pravocrtno gibanje
c) Oscilacijsko gibanje
34
Harmonijsko gibanje:
Kulisni mehanizamKinematika:
Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom ω.
Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C
35
Harmonijsko gibanje:
( )tsinrx +⋅⋅=α = 0
36
OscilacijeOsciliranje ili titranje je esta pojava u prirodi.
areometar
7
37
Oscilacijska gibanja materijalne toke okopoložaja stabilne ravnoteže spadaju upravocrtna i periodina gibanja.
Razlikujemo:1. Slobodne oscilacije2. Prigušene oscilacije3. Prisilne oscilacije sa i bez otpora
38
Diferencijalna jednadžba oscilacija:
( )−−⋅−⋅
−⋅
Ω
•
••
tFx k xb
xm
( )tFxkxbxm Ω
•••=⋅+⋅+⋅
sila inercije
sila prigušenja
elastina sila opruge (restitucijska)
sila prisile – poremeajna sila
39
Harmonijske oscilacije
• Tijelo mase m vezano je pomou opruge konstantne krutosti k, pomaknuto iz položaja statike ravnoteže i zatim osloboeno, giba se oscilatorno.
• Harmonijske oscilacije prouzrokuje restitucijska sila elastinog pera Fr koja vraa tijelo u ravnotežni položaj.
40
Slobodne harmonijske oscilacije
• Restitucijska sila elastinog pera Fr
Fr = k . x
k – krutost opruge (N/m)
Krutost opruge jednaka je sili koja uzrokuje jedinini pomak.
za jedinini pomak x = 1 k = Fr
41 42
Σ Fx = 0
G – Fr = 0
m.g – k.xst = 0
m.g = k.xst
Fr = k . xst
= m . g
kgm
xst⋅=
x st
x
0
k k
G
Ravnoteža - statika
8
43
D ´Alembertov princip
x st
x
0
k k k
G
G
FR Restitucijska sila:
Fr = k .(xst + x)
dtxd
mamF2
in ⋅=⋅=
a
Sila inercije:
Fr
x
44
( )xxkgmdt
xdm
FGF
0FFG
0F
st2
2
rin
inr
x
+−⋅=⋅
−==−−
=
45
0xx
0xmk
dtxd
xkgmxkdt
xdm
2
2
2
st2
2
=⋅ω−
=⋅−
⋅−⋅=⋅−⋅
••
kgm
xst⋅=
46
Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:
0xx 2 =⋅ω−⋅⋅
mk2 =ω
• Rješenje diferencijalne jednadžbe:
t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=
Kružna frekvencija slobodnih oscilacija:
47
Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:
0xx 2 =⋅ω−⋅⋅
• Rješenje diferencijalne jednadžbe:
cosRA ⋅= sinRB ⋅=
t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=
st
st
xg
mx
gm
mk =
⋅
==ω
48
Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:
0xx 2 =⋅ω−⋅⋅
• Rješenje diferencijalne jednadžbe:
( )α+ω⋅= t sinRx
stxg
mk ==ω
9
49
Slobodne oscilacije
( )α+ω⋅= t sinRx
50
Za poetne uvjete t =0 - poetni pomak x0 i - poetnu brzinu v0
• Amplituda slobodnih oscilacija:
• Poetna faza slobodnih oscilacija:
2
202
0
vxR +=
0
0
vx
tg⋅=
51
• Period slobodnih oscilacija:
• Broj slobodnih oscilacija u jednoj sekundi - frekvencija:
[ ]
[ ]s g
x2T
s
2T
st⋅π⋅=
π⋅=
[ ]Hzs1 2
T1
f =π
ω==
52
Karakteristike slobodnih harmonijskih oscilacija
a) amplituda R i poetna faza oscilacija ααααzavise od poetnih uvjeta gibanja
b) frekvencija oscilacija f i period oscilacija Tne zavise od poetnih uvjeta gibanja.
• Najznaajnija karakteristika oscilacijskog gibanja je kružna frekvencija ωωωω – vlastita frekvencija.
53
Paralelni spoj Serijski spoj
Ekvivalentna veza:
54
Mehaniki oscilator
može imati jedan ili više stupnjeva slobode.
• Broj stupnjeva slobode oznaava broj meusobno neovisnih koordinata mase mikoje su potrebne za opisivanje gibanja.
10
55
Mehaniki oscilatori- s jednim - s dva
stupnjem slobode: stupnja slobode:
56
Vibrograf
• Ureaj za mjerenje vertikalnih oscilacija
57
Geigerov vibrograf• Instrument za mjerenje vertikalnih i
horizontalnih oscilacija
58
ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ
⋅ϕ−=ϕ
=
⋅ϕ−=⋅−=
ϕ=ϕ⋅=
ϕ=ω⋅==
×=×=
••
→→
→→→→→→
sin kut mali za 0sinlg
mgsin l dtd
l m
dinamike)zakon (4. MdtLd
mgsin l mgd Mdtd
l mdtd
lmlL
dtd
lr v;lr
Fr M vmrL
2
22
OO
O
2O
OO
Matematiko njihalo
59
Matematiko njihalo
lg
21
T1
f
gl
22
T
0
lg
0lg
2
π==
π=ωπ=
=ϕ⋅ω+ϕ
=ω→=ϕ⋅+ϕ
••
••
60
Prigušene oscilacije
Slobodne oscilacije
11
61
Prigušene oscilacije
62
Prigušene oscilacije
• Sila otpora:
• Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija
xbvbFw
⋅−=⋅−=
0xx2x 2 =⋅+⋅⋅+
mb
2 =⋅
63
Prigušene oscilacije
( )1t
t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−
<
>
slabo prigušenja
jako prigušenja
mb
2 =⋅
Rješenje:
64
Prigušene oscilacije
22
~ −=
( )1t
t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−
Rješenje:
Period:22
2~
2T~
−π⋅=π⋅=
Kružna frekvencija:
Prigušenje poveava period oscilacija TT~ >
65
Prigušene oscilacije[ ]mx
[ ]st 0
R
R-
T~
t-eRx ⋅⋅=
t-eRx ⋅⋅−=
01 =( ) t~sineRx 1
t- +⋅⋅⋅= ⋅
22
~ −=
66
Vrlo jako prigušenje: δ >> ω
- Gibanje nema karakter oscilacija
12
67
Prigušene oscilacije• Viskozni prigušiva - amortizer
68
Prisilne oscilacije
- bez otpora- s otporom
• Sila prisile:
t sinFF 0⋅=
69
Prisilne oscilacije bez otpora
• Sila prisile
• Diferencijalna jednadžba (nehomogena):
t sinFF 0⋅=
tsinhxx 2 ⋅=⋅+
mF
h 0=70
Prisilne oscilacije bez otpora
• Rješenje:
( ) tsin
htsinRx
xxx
22
.parthom.
⋅−
++⋅⋅=
+=
slobodne oscilacije prisilne oscilacije
71
Amplituda prisilnih oscilacija
• Rezonanca:
1
x
hC
2
2st
22−
=−
=
ω≅Ω72
Prisilne oscilacije bez otpora
[ ]m s
[ ]st 0
x [m]
t [s]
13
73
• Ako se sustav sa sposobnošu osciliranja – oscilatoruje frekvencijom ΩΩΩΩ koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora ωωωω, javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance – Tacoma bridge).
74
Prisilne oscilacijes otporom - opi sluaj• Vlastite oscilacije se vrlo brzo
prigušuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u užem smislu.
75
Diferencijalna jednadžba oscilacija:
( )−−⋅−⋅
−⋅
Ω
•
••
tFx k xb
xm
( )tFxkxbxm Ω
•••=⋅+⋅+⋅
sila inercije
sila prigušenja
elastina sila opruge (restitucijska)
sila prisile – poremeajna sila 76
Prisilne oscilacije s otporom
t [s]
x [m]
77
Primjer 1: Slobodne oscilacijeOpruga oscilira jer je optereena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m.
Zadano:G = 0,12 kNk = 2000 N/m.
0x v0t
x x0t
0
st0
===
==•
( )
t sinBt cosAvt cosBt sinAx
t sinRx
ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅=ω⋅+ω⋅=
α+ω⋅=
78
x st
0
k
G
x
( )
Hz 08,249,01
T1
f
s 49,08,12
22T
t 8,12 cos60,0 x
(1/s) 8,12120
9,812000G
gkmk
0A 0B1A0 0x v0t
0,06 B 1B0A 60,0 0,06 x x0t
m 06,0NmN
2000120
kG
x
tsinBtcosAxv
tcosBtsinAx
0
st0
st
===
=π=ωπ=
⋅⋅−=
=⋅=⋅==ω
=→⋅ω⋅−⋅ω⋅====
−=→⋅+⋅=−−===
=
==
ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅==
ω⋅+ω⋅=
•
•
14
79
• Primjer 2:Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi.Zadano: a = 0
R = 50 cm = 0,5 mT = 8 s
• za t = 4 s x = ?; v = ?; a = ? 80
( )
222
2
m/s 4
5,0 24
sin4
5,0 x
m/s 0 24
cos4
5,0x
m 0,5 24
sin5,0x s 2t
t4
sin4
5,0 x
t4
cos4
5,0x
t4
sin5,0x
48
2T2
2
T tsinRx
π⋅−=
⋅π⋅
π⋅−=
=
⋅π⋅π⋅=
=
⋅π⋅==
⋅π⋅
π⋅−=
⋅π⋅π⋅=
⋅π⋅=
π=π=π=ω→ωπ=α+⋅ω⋅=
••
•
••
•
81
( )
004
5,0 44
sin4
5,0 x
m/s 8
14
5,044
cos4
5,0x
005,044
sin5,0x s 4 t
22
=⋅
π⋅−=
⋅π⋅
π⋅−=
π−=−π⋅=
⋅π⋅π⋅=
=⋅=
⋅π⋅==
••
•
82t
2sin
2xa
t2
cosxv
2 π⋅π−==
π⋅π==
••
•
• Primjer 3:Amplituda slobodnih harmonijskih oscilacija iznosi 2 metra, a period 4 sekunde bez poetne faze. Izraunajte za vrijeme t = 2 sekunde trenutne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja.( )
t2
sin2x
24
2T
0 4T 2Rt sinRx
π⋅=
π=ω→=ωπ=
=α==α+ω⋅=
0a-πv0x2t
83
Primjer 4: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 1 sekunda, ako amplituda oscilacija iznosi 30 cm a period osciliranja 6 sekundi.
Recommended