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ELEMENTOSREVISTA DlÉ MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
Año 116 Julio - Agosto - Septiembre 1965 N? 13
El programa científico de la 0. E. A.por Andrés VA LEI RAS
/La matemática moderna en la investigación y la enseñanza.
por -Luis A. -SANTALÓ
La experiencia belga.por C. Verdaguer de BANFI
La matemática al día.por Lucienne FÉLIX
Teoría moderna y aplicaciones de las probabilidades.
por Joao MARTINS
La labor de la C. N. E. M.
Crónica - Bibliografía - Noticias - Correo
■
ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
Publicación trimestral
!Editores: José Banfi - Alfredo B. Besio
Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)
Enrique Bilbao (San Juan)Raúl Fernández Calvo (Entre Ríos) Nélida T. Melani (Córdoba)Delia R. de Olivcncia (Mendoza) José A. Petrocclli (La Plata)
ii
ARTEAR S.A.FABRICA DE TELAS SINTETICAS DE CALIDADi
Sede: Fernández Blanco 2045 BUENOS AIRES (Sucursal 31) ARGENTINA
ALVAREZ JONTE 1845 BUENOS AIRESSuscripción anual: Argentina, 300,— nufn.
Exterior, 2,50 dólares.!
Ejemplar suelto: 100,— m$n.En venta en Librería y Editorial Alsina, Perú 127, Buenos Aires.Para ‘colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse- directamente a los Editores.
TEXTOS DE MATEMATICAS
PARA LA ENSEÑANZA MEDIASerie escrita por Lidia E. Alcántara,
Raquel T. Lomazzi y Félix Mina ARITMETICA. Tomos I y II; l9 y 29 año Ciclo Básico.ARITMETICA Y ALGEBRA. Tomo III y IV; 3er. año Ciclo Básico y 49 Bachillerato y Magisterio.GEOMETRIA. Tomos I, II y III; l9, 29 y 3er. año Ciclo Básico.GEOMETRIA DEL ESPACIO. Tomo IV y V; 49 año Bachillerato y 59 Magisterio. ARITMETICA - ALGEBRA - GEOMETRIA. 49 año (cursos diurnos) y 59 (cursos nocturnos) Escuelas Nacionales de Comercio. TRIGONOMETRIA. 59 año Bachillerato.
ELEMENTOS DE COSMOGRAFIA. Enrique Loedel Palumbo y Salvador De Lúea: 59 año Bachillerato.
MATEMATICA FINANCIERA. María de las Mercedes Busico Lavalle: 59 año (cursos diurnos) y ó9 (cursos nocturnos) Escuelas Nacionales de Comercio.
CONTABILIDAD. Urbano D. Grande: 1er. año Escuelas Nacionales de Comercio y 39 Ciclo Básico.CONTABILIDAD. Urbano D. Grande: 29 año Escuelas Nacionales de Comercio en preparación).
En el próximo número:
Un ilustre: Pievre Fermat, 1601 -1665.Relaciones y funciones.Teoría moderna y aplicaciones de las probabilidades. La matemática moderna en la enseñanza primaria. Elementos de la teoría de conjuntos.La Conferencia de Atenas.
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¡! EDITORESESTRADA
Registro Propiedad Intelectual N? 827.169 Buenos AiresBolívar 466Tarifa Reducida Concesión N9 7267
Franqueo Pagado J Concesión N9 609 |
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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
, de apoyo y levantaré el mundo”. Así, enfática-
menor esfuerzo. |os sistemas IBM responden al mismoMiles de años o P ' datos mucho más rápidamente que principio. Calcula y P con mayor segur¡dad. Pero lejos de
mente hl¡man^b multiplican sus posibilidades y favorecen su
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enseñen y aprendan adecisiones.
de hombres que los perfeccionen y dirijan, usarlos, que analicen sus resultados y
quelos utilicen en sus
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hswHi1mAño II! Julio - Agosto - Septiembre 1965 N9 13(-___
Este número so publica con el apoyo del Consejo Nacional de Investigaciones Científiacs y Técnicas.
Programa Inter americano para
mejorar la enseñanza de las CienciasEl “Programa Interamericano para Mejorar la Enseñanza cíe las Ciencias” fue pro
puesto al Programa de Coperación Técnica de la Organización de los Estados Americanos por el Departamento de Asuntos Científicos de la Unión Panamericana y aprobado por el Consejo Interamericano Económico y Social, en su reunión de noviembre de 1963, en San Pablo; comenzó sus actividades el l9 de julio de 1964 y se instaló en su sede, en la Facultad cíe Ingeniería y Agrimensura de la Universidad de la República Oriental del Uruguay, en Montevideo, en el mes de julio del corriente año. La duración, prevista inicialmente, de 5 años, expira en julio de 1969.
El estado de la educación científica en los países de América Latina requiere un esfuerzo enorme si se quiere ponerla a tono on las exigencias del momento actual; a pesar de lo que se está realizando para mejorarla desde hace unos años, con excepción de
pocas de las principales universidades, el nivel de la enseñanza de las ciencias y sus contenidos casi no han variado desde hace varias décadas; dos consecuencias inevitables han sido el atraso en el grado de preparación de sus egresados en relación con las necesidades actuales y la falta de personal suficientemente capacitado para llevar a cabo los planes de desarrollo en marcha o en preparación en la mayoría de los países latinoamericanos.
unas
te Si no se encara de inmediato la reestructuración de la enseñanza científica y los sistemas educativos para modernizarlos, con el objeto de que sirvan eficazmente a la promoción del material humano con la capacidad requerida para llevar a cabo esos planes, su fracaso será inevitable.
La reestructuración que se propone debe ser dinámica, de modo que pueda seguir el ritmo del progreso científico; para lograrlo habrá que preparar previamente a quienes han de tomar parte en ella, dando oportunidades a los actuales profesores de matemática y ciencias en las universidades y escuelas de profesorado secundario, y a los supervisores y profesores de ciencias de las escuelas secundarias, para que puedan seguir estudios avanzados de carácter intensivo, de modo que en un tiempo breve, sin interferir demasiado con sus obligaciones normales, logren ponerse en contacto con los contenidos y la
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filosofía del conocimiento-científico actual y de su enseñanza, lecreen su ínteres y tras- mitán luego en mejores condiciones este panorama ampliado a sus alumnos.
Las tareas que desarrollará el Programa tienen por objeto facilitar estas posibilidades de adiestramiento al mismo tiempo que sirvan de nexo de unión entre todos los que trabajan en este mismo campo de actividades; se referirán a los planes de la educación secundaria y universitaria pues de ellos se espera obtener los dirigentes que inicien actividades similares en escala nacional; comprenderán cursos de adiestramiento y tra- bajos de investigación sobre nuevos programas de estudio y mateiiales de laboratorio y bibliográfico para la enseñanza complementados con servicios de información y asesora-
miCnt°Él objetivo del Programa Interamericano para Mejorar la Enseñanza de las Ciencias puede enunciarse, en resumen, diciendo que es el de mejorai la enseñanza de las ciencias y la matemática en los Estados Miembros de la Organización de los Estados Americanos, para lograr disponer del personal cajDacitado necesario paia el éxito de susplanes de dcsarrolo. .Ampliando el enunciado anterior referido a las actividades del Programa, las fundamentales y de ejecución inmediata serán:
1. Cursos de adiestramiento intensivo y avanzado para profesores universitarios en matemáticas, física, química y biología.Cursos de adiestramiento intensivo y avanzado para los profesores de escuelas de profesorado secundario y funcionarios técnicos responsables de la supervisión de la enseñanza de ciencias en las escuelas secundarias.Seminarios de adiestramiento e información para el mismo grupo anterior. Participación del Programa en cursos nacionales tendientes a cumplir los mismos objetivos.Investigación sobre nuevos programas de estudio para la enseñanza secundaria y las escuelas de profesorado.
6. Desarrollo y utilización de material de laboratorio de poco costo.7. Cursos de capacitación para técnicos de nivel medio que se encarguen de la pro
ducción del material de laboratorio desarrollado en el programa.Servicio de consulta y asesoramiento para los Estados Miembros de la Organización de los Estados Americanos.
9. Servicio de información a través de un boletín.10. Servicio de publicación de monografías y traducción de obras científicas.
Para realizar tales tareas, el Programa dispondrá de especialistas con carácter permanente, asistidos por profesores de nivel medio y contratará profesores especiales para
TEMAS DE NUESTRO TIEMPO
La Matemática
InvestigaciónModerna en lai rr ~ (*>la enseñanzay
LUIS A. SANTALÓ (Universidad de Buenos Aires)
Parecería, por tanto, que la diferencia entre la matemática clásica y la moderna debe ser solamente cuestión de estilo, es decir, cuestión de forma o de nomenclatura. Sin embargo, tampoco ello es cierto. Por encima de la apariencia exterior, desde luego la más visible y notoria para quienes tan sólo ven la superficie de las cosas, hay algunas características profundas que hacen a la esencia misma de la matemática abren para ella nuevas y grandes pectivas. Tal vez, para una mejor prensión, convenga comparar el fenómeno actual con lo ocurrido en épocas anteriores.
En el comienzo de la historia de la matemática, cuyo origen permanece todavía oscuro, encontramos una colección de fórmulas y recetas que utilizaban los egipcios para resolver ciertos problemas: delimitar terrenos, repartir cosechas o cobrar impuestos. Ésta era la matemática clásica de los griegos: una matemática bien definida, bien concreta, aplicable a un campo de problemas bien determinado. De repente aparece en la escuela pitagórica el descubrimiento de los números irracionales y se produce una fuerte conmoción. Se pone de manifiesto que el uso exclusivo de la intuición puede conducir a errores; por tanto hay que revisar los fundamentos y pasarlos por el tamiz del razonamiento. Para ello hay que sentar bien las bases y nace así la axiomática como la mejor manera de estar seguro de la solidez de los cimientos. La matemática extiende mucho su campo de acción, invadiendo los ateneos y escuelas filosóficas de la época. Nace la matemática moderna de
1. LA PRIMERA MATEMÁTICA MODERNA. Mucho se habla hoy día de la matemática moderna. Se publican continuamente libros de matemática que añaden a su título específico el calificativo de "moderno"; basta hojear cualquier catálogo de publicaciones de los últimos años para encontrar títulos los siguientes: "Cálculo infinitesimal demo", Fundamentos de análisis moderno", "Tratado de geometría moderna", "Introducción a la matemática moderna", etc: Sin embargo, si se quiere dar definición de lo que se entiende por matemática moderna, la cuestión fácil.
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comomo-3.
4.y que
pers- com-
5.una
no es
No es moderna toda la matemática que se produce actualmente. Hay trabajos de reconocida importancia que se mantienen dentro del más puro clasicismo. Así ocurre, por ejemplo, con la mayoría de los trabajos sobre la teoría de números. Bastará citar los trabajos del matemático noruego Atle Selberg, entre ellos su famosa demostración del teorema fundamental de la teoría de los números primos, por la cual se le concedió la medalla Fields (la más alta distinción internacional dedicada exclusivamente a matemáticos), en el Congreso Internacional de Matemáticos de Harvard, en 1950 3.
Tampoco el modernismo radica en los temas, pues si bien la matemática moderna empezó con el álgebra, después se extendió por todas las demás ramas de la disciplina.
(*) Conferencia pronunciada por el Autor en la Sociedad Científica Argentina, el día 23 d© ¡unió de 1965, con motivo de recibir el premio de dicha entidad correspondiente al quinquenio 1959-64. Véase ELEMENTOS, año II, p. 169 (N. de los E.)
S.
sus cursos.la dirección del PIMEC están a cargo del Departamento de Unión Panamericana, que cuenta con el asesoramiento de di-
E1 planeamiento y Asuntos Científicos de la
grupos científicos interamericanos.Los problemas derivados de mejorar la enseñanza de las ciencias en América La
tina han atraído la atención de entidades de gran prestigio internacional, como la UNESCO , la Organización de Cooperación Económica Europea, la Fundación Nacional de Ciencias de los Estados Unidos, la Agencia para el Desarrollo Internacional, la Fundación Ford y la Fundación Rockefeller. Es propósito del Programa aprovechar la gran experiencia recogida por tales entidades y colaborar con ellas lo más estrechamente posible.
versos
Este es a grandes rasgos el marco en que se desenvolverán las actividades del Programa; otras iniciativas podrán incorporarse en el futuro; su éxito puede significar la posibilidad de un cambio importante en la enseñanza de las ciencias en los países latinoamericanos.
ANDRES VALEIRAS Director del PIMEC
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iSin embargo, nada más lejos de la realidad. La comprensión de la necesidad de ciertas demostraciones de Euclides y del por qué de su imprescindible plicación es muy difícil, mucho más que la comprensión de los pasos sucesivos de una demostración sobre las cónicas, de Apolonio, o sobre los centros de gravedad, de Arquímedes. Los Elementos de Euclides debieron haberse tomado como
obra fundamental para el uso de
los griegos, que culmina con los Elementos de Euclides (siglo III antes de C.).
Tenemos así dos características de la nueva matemática de aquella época: preocupación por una fundamentación rigurosa y extensión de la matemática a otros terrenos. Los beneficios de esa nueva matemática se notan inmediatamente; el estilo de Euclides, la amplitud de sus puntos de vista, la generalidad de conceptos y la ventaja de disponer de
bases firmes en qué apoyarse, mo-
confundiendo la matemática con un juego de palabras, se originaron trabajos y comentarios que eran triviales en la mayoría de los casos y absurdos muchos de ellos. Recordemos la discusión
que tuvo para explicar el mundo físico la hizo polarizar en esa dirección y la matemática fue adquiriendo el sentido de que solamente podía aplicarse a fenómenos previsibles con toda exactitud, como el momento de un eclipse o la trayectoria de un proyectil. Quedaban afuera las ciencias del hombre. Durante los siglos XVII y XVIII, la matemática progresa mucho en profundidad de resultados, pero su motor fundamental fue casi exclusivamente la física. La mecánica celeste era la más perfecta y la más admirada obra de los primeros genios matemáticos: Newton, Laplace y Poincaré fueron obteniendo resultados cada más profundos y precisos, cada vez con menos hipótesis. Pero precisamente por esta excesiva especialización, la matemática volvió a adquirir rigidez: volvió a moverse por cauces demasiado precisos e inamovibles. Se consideraba, y así se definió, como la ciencia "exacta" por antonomasia. Los fenómenos que no podían preverse hasta la quinta cifra decimal o hasta la centésima de segundo, se consideraban no susceptibles de un tratamiento matemático. Se estableció una diferencia neta entre los problemas matemáticos y los no matemáticos. Los primeros se fueron complicando mucho, hasta llegar a profundidades en que la misma complicación se traducía en oscuridad y hacía perder el interés. La matemática se volvió, nuevamente, clásica. Es nuestra matemática clásica de hoy. Se hizo sentir la necesidad de una explosión que abriera nuevos caminos, despejara nuevos horizontes y permitiese trabajar con métodos nuevos, para nuevos problemas y hacia nuevos fines.
3. LA MATEMÁTICA MODERNA ACTUAL. Varios hechos fueron confluyendo para esta tercera explosión de la matemática. En primer lugar, las geometrías no-euclidianas demostraron que la matemática no estaba obligada por nuestra intuición del espacio; cabía, en consecuencia, una mayor libertad en la construcción de esquemas geométricos. En segundo lugar, la aparición de la teoría de conjuntos por obra de G. Cantor (1845-1918) puso de manifiesto que había mucho por aclarar en las bases mismas de toda la matemática. Había que em-
com-
quemenciona Tannery, de dos escolásticos alemanes del siglo XI -, Reginboldus, de Colonia y Rodolfus, de Lieja, sobre el significado de "ángulo interior", palabras que encuentran en Euclides, extendiéndose en consideraciones sin sentido al creer que la palabra "interior" se aplica a cualquier ángulo, sin darse cuenta de que para Euclides la cuestión no admite ninguna duda, pues se refiere a los ángulos interiores de un triángulo o polígono.
susunamatemáticos ya formados, pero nunca
libro de texto elemental para em-unastivan o contribuyen grandemente a un
florecimiento matemático. Como excomopezar a aprender geometría. Para hablar de los fundamentos de una ciencia hay que conocer mucho de la ciencia misma.
Es muy probable que otra hubiere sido la evolución de la matemática medioeval, si se hubieran tomado como libros iniciales obras al estilo de las de Apolonio o Arquímedes, admitiendo como evidentes las cosas ciertas que se presentan como tales, sin preocuparse demasiado de si los postulados de partida
los cinco de Euclides u otro número
granponentes del mismo bastará citar a Arquímedes (-287, -212) y Apolonio (más c
-190). Es interesante observar que en Arquímedes la matemática amplía su campo de aplicaciones prácticas, pasando a la estática y a la ingeniería.
vezmenos
2 LA SEGUNDA MATEMÁTICA MODERNA. Llegamos al siglo XVII. La temática que, a pesar de todo, algo había progresado —bastante en aritmética y álgebra (precisamente la parte menos fundamentada) y menos en geometría— había devenido una matemática de moldes bien definidos, aplicable tan sólo a problemas de características bien reconocidas: era una matemática clásica.
Con Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-1665) nace la geometría analítica e inmediatamente después, con Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716), el cálculo infinitesimal. Ello significa una vigorosa inyección de savia nueva; la matemática se expande, muchas cosas se ven bajo nuevos ángulos, cambian los problemas y los métodos: es la matemática moderna de los siglos XVII y XVIII. Con ella, ciertos problemas clásicos (trisección del ángulo, duplicación del cubo) se aclaran definitivamente y al mismo tiempo la matemática extiende su campo de acción y se aplica con clamoroso éxito a la explicación de la naturaleza.
No todo se consiguió fácilmente. Como toda novedad, sobre todo el cálculo infinitesimal, tuvo sus enemigos (Berkeley) y motivó agrias polémicas. Tuvo también sus defensores equivocados, que con más vehemencia que capacidad lo aplicaban mal y lo desacreditaban más que sus enemigos declarados.
Sin embargo, la nueva matemática no tardó en imponerse. Nació la mecánica racional y sucesivamente todos los capítulos de la física matemática. El éxito
Ima-
Siguen después muchos siglos en que la matemática decae. No se incorpora savia nueva a sus bases, sus métodos no cambian y sus problemas y teoremas, si bien se van complicando y aumentando en número, poseen siempre unas mismas características. La matemática envejece: lo que fue la matemática moderna de los griegos, pasa a ser la matemática clásica del Renacimiento.
eranmayor, y dejando estas sutilezas y el estudio de los Elementos para matemáticos ya conocedores de su ciencia, los únicos, por otra parte, capaces de comprender su profundo y extraordinario contenido.
Es importante llamar la atención sobre este ciclo, por las analogías que presenta con el momento actual y por el peligro que puede representar para el futuro. Con Euclides la matemática fija sus fundamentos y muestra cómo se puede edificar, lenta y cuidadosamente, a partir de los mismos. Gran parte de los teoremas de los Elementos son de enunciado casi evidente y sin embargo se demuestran cuidadosamente, con todo detalle, para probar cómo todos ellos son consecuencia de los postulados, nociones comunes y definiciones previamente establecidas. Es una obra, en apariencia, fácil y elemental. Las obras de Arquímedes y Apolonio, en cambio, conducen en la mayoría de sus teoremas a resultados nada evidentes y en ellos, por tanto, la fuerza del razonamiento aparece bien visible como instrumento para llegar al descubrimiento de resultados insospechados. En una primera impresión superficial, las obras de Arquímedes y Apolonio son más "difíciles" que los Elementos de Euclides.
Sin embargo no ocurrió así. Por su aparente simplicidad, los Elementos fueron tomados como libro de texto de los primeros años de las escuelas donde se enseñaba matemática. Se obligaba a aprender las demostraciones de teoremas cuyo resultado nada nuevo decía al alumno. Fue clásico el famoso pons an- sinorum o "puente de los asnos" (teorema 5 del libro I de los Elementos, que dice: los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales), que al parecer era el primer escollo para la mayoría de los alumnos, escollo inútil, pues el teorema es evidente por la misma simetría de la figura, por lo cual poco podía interesar al alumno, incapaz de comprender la necesidad de tan complicada demostración.
La desproporción entre la simplicidad (aparente) de los enunciados y la dificultad (necesaria) de la demostración, desorientó a los espíritus no dotados de una gran sagacidad matemática y así,
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- 5 -- 4 -
a una gran variedad de situaciones. Los clásicos números enteros se consideran
elementos de un "anillo" muy par-
más unificada que en cualquier época precedente.
e) Las máquinas de calcular. La matemática moderna calcula poco. En general, los matemáticos —contra la opinión de mucha gente— odian el cálculo y las fórmulas complicadas. Por eso, les gusta la matemática moderna que deja los cálculos de lado y evita las fórmulas. Sin embargo, los cálculos son necesarios. Pero en vez de cargar continuamente con ellos, la posición de la matemática moderna fue la de ayudar (a través de la lógica) a los ingenieros electrónicos a construir máquinas computadoras, para luego descansar en ellas, cediéndoles todos los cálculos de rutina, que las máquinas hacen mejor y más rápidamente que los matemáticos. Los largos desarrollos en serie, el cálculo de integrales definidas y la integración de ecuaciones diferenciales se van dejando a las máquinas. También las fórmulas clásicas tienden a desaparecer, pues la mayor generalidad actual se adapta poco a la rigidez de las mismas, siendo necesario razonar directamente. Aparece, eso sí, otro tipo de simbolismo, todavía bastante simple, pero que amenaza complicarse tanto como el clásico: son las sucesiones exactas, los diagramas conmutativos, los productos de índole diversa.
4. LA MATEMÁTICA MODERNA EN LA INVESTIGACION. La matemática moderna ha abierto campos inmensos a la investigación. La generalización de la matemática conocida a los nuevos puntos de vista, o tan sólo su colocación en el nuevo orden de cosas, para mejor poner de manifiesto sus relaciones mutuas y centrar las dificultades, ha sido una labor más o menos difícil, pero siempre útil, para sistematizar y unificar los conocimientos matemáticos.
Por otra parte, la matemática moderna ha modificado incluso el estilo de la investigación. En la matemática clásica, la investigación consiste en proponerse un problema y tratar de resolverlo con todos los medios disponibles. La matemática moderna construye continuamente nuevassin pensar demasiado en problemas concretos y avanza en todas direcciones, a
sin otro fin que la satisfacción de
pezar de nuevo desde el principio para sentar el edificio sobre bases firmes. No sólo había que revisar la matemática, sino también la lógica, por cuyas reglas la matemática se regía. La explosión de los siglos XVII y XVIII había ampliado mucho los dominios de la matemática, pero había descuidado sus fundamentos. Por otra parte, los filósofos habían seguido prácticamente con la lógica aristotélica, que ya no era suficiente para los matemáticos, y éstos tuvieron que salirse de sus dominios específicos para hacerse cargo de la lógica e incorporarla, como un capítulo más, a la matemática.
A fines del siglo XIX el momento era parecido al de los griegos al descubrir los irracionales. Había que rever la axiomática de la geometría, pues la de Eu- clides ya no resultaba rigurosa ante las exigencias modernos y había que axio- matizar también el álgebra y el análisis para evitar paradojas que afloraban por todas partes. Se había trabajado mucho con número reales, pero no se habían definido de manera precisa; se estaba operando continuamente con funciones, pero el sentido exacto de esta palabra quedaba ambiguo e impreciso.
La axiomática de la geometría la hizo Hilbert en 1899. En el resto de la matemática la axiomatización empezó con el álgebra. Se vio que muchos conceptos dispersos se podían unificar y ordenar mediante la introducción de ciertas estructuras. Reuniendo cursos de los matemáticos alemanes E. Artin y E. Noether, en 1930 se publicó el Algebra Moderna de B. L. van der Waerden que fue, prácticamente, el punto de partida de toda la matemática moderna actual. Sus ideas, su lenguaje y su forma se extendieron rápidamente a todas las otras Tamas de la matemática. A ello contribuyó grandemente la obra de N. Bourbaki, empezada en 1938 y que, durante varios años, ha sido la verdadera Biblia de la matemática moderna. Las características de esta nueva matemática pueden resumirse en los siguientes puntos:
a) Gran generalidad y abstracción. La matemática moderna se coloca siempre en un punto de vista muy general y abstracto, lo que permite su aplicación
generalizar resultados para ver qué pasa con ello y cómo se ve el resto de la matemática desde las nuevas avanzadas. Con ésto se obtienen a veces resultados sorprendentes. Vamos a dar un ejemplo que aclare lo que queremos decir.
Un problema clásico es el de la llamada hipótesis de Riemann. Para ciertos problemas de la teoría de números, Riemann introdujo la siguiente función (función "zeta"):
comoticular; los números racionales, reales o complejos son también casos particulares o ejemplos de la idea más general de "cuerpo". Los elementos geométricos se estudian en espacios de un número cualquiera de dimensiones; cuando se habla de "punto", no se entiende más el tradicional punto geométrico, sino cualquier elemento de un espacio general.
b) Especial atención a los fundamentos. Precisamente por su gran generalidad, al faltarle puntos de apoyo concretos en qué apoyarse, la matemática moderna debe cuidar mucho que su fundamen- tación sea rigurosa. De aquí que a veces se confunde la matemática moderna con la matemática de los fundamentos. Sin embargo ella no es todo fundamentación, sino que ha construido ya un edificio importante que engloba prácticamente toda la matemática clásica.
c) Predominio del álgebra. Para tener unos fundamentos sólidos y también para unificar su contenido, la matemática moderna ha seguido el camino iniciado por el álgebra; puede decirse que toda ella se ha algebrizado. Se ha visto que las estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales), las estructuras de orden y las estructuras topoló- qicas son la base de toda la matemática. Incluso ramas que parecían muy apartadas del álgebra, como la geometría diferencial, han sido algebrizadas, lo que ha resultado muy útil, tanto para una mejor comprensión como para ayudar a su crecimiento.
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1 1 1g (s) =-----+ + ...i
1 s 2 s 3S
donde 1 a variable s es compleja, s = <r + i t. Se demuestra fácilmente que la ecuación g (s) = 0 tiene las raíces s — —2, —4, —6, ..., y también se sabe que tiene otras infinitas raíces complejas, todas ellas con la parte real en la banda 0 < o- < 1. Por otra parte, todas las raíces complejas que se conocen tienen o- = %. La hipótesis de Riemann consiste en afirmar que todas las raíces, no reales, de g (s) = 0 tienen la parte real igual a Se ha trabajado mucho para demostrar la veracidad o falsedad de esta hipótesis, sin que hasta el día de hoy se haya logrado tal demostración.
Matemáticos eminentes, trabajando al estilo clásico, han ido obteniendo resultados parciales muy notables. Por ejemplo, Hardy probó que el número de ceros en la franja 0 < cr < 1 es infinito; Selberg ha demostrado que sobre la recta (; -- hay también una infinidad de ceros, infinidad del mismo orden que la del total de ceros en la franja 0 < o- < 1. Otros matemáticos han ido calculando ceros, cada vez en mayor número, obteniendo siempre que su parte real es
Es decir, los métodos clásicos consisten en ir cercando el problema, obteniendo cada vez resultados parciales que van acercando a la meta.
La matemática moderna cambia el método de ataque. En vez de la función g (s), considera otras funciones análogas perra ver qué pasa con ellas. E. Artin y F. K. Schmidt consideraron un cuerpo Qk de funciones algebraicas de una va-
d) Unificación de la matemática. Si la obra de Descartes permitió unificar la geometría clásica y el álgebra, la matemática moderna ha tendido puentes entre las ramas al parecer más alejadas de la matemática. La teoría de grupos continuos se vincula estrechamente con la geometría diferencial; la geometría proyectiva no es más que álgebra lineal; la topología y la teoría de funciones analíticas (de una o más variables) se complementan armoniosamente; la teoría de cuerpos finitos juega un papel esencial en la fundamentación de la geometría. Con todo ello, la matemática aparece
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armas, amplía sus posibilidades
veces
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iunificada todo lo esencial de la matemática clásica y, además, embarcarse en busca de nuevos descubrimientos por caminos vírgenes, más atrayentes que los ya muy trillados y conocidos de la matemática tradicional.
Se planteó luego el problema de la introducción de la matemática moderna en el nivel secundario. Ello está presentando, en todo el mundo, mayores dificultades. Las razones son varias, principalmente la gran extensión del alumnado y el profesorado, lo que diluye los esfuerzos, y la gran dificultad de información para los profesores, muchos de ellos situados en lugares alejados de todo centro de enseñanza superior. Pero el esfuerzo se está haciendo y la necesidad del mismo está siendo comprendida cada
más. No queremos extendemos so-
riable con coeficientes en un cuerpo finito k de q elementos. Si p es un divisor primo de Í2k que es trivial en k y k (p) una extensión algebraica de k, tal que [k (p) : k] = d (p), se puede definir la función
trario, que insistir en que la matemática, clasica o moderna, sólo es importante cuando llega a resultados no evidentes.
La matemática moderna tiene mucho que hacer en la educación del hombre para el complicado y vertiginoso mundo actual, mundo que no es trivial y que necesita mucho más que definiciones y evidencias. Hay que enseñar a utilizar la matemática para atacar dificultades y no convertirla en adomo de fantasía para vestir insignificancias.
b) La matemática y el mundo. En la época actual, la posibilidad de difusión de noticias es mucho mayor que la capacidad de comprensión de las mismas. Se hace mucha propaganda, bien justificada, de la importancia de la ciencia. Junto con la propaganda se lanzan satélites artificiales, se fotografía la parte posterior de la Luna y el hombre flota
en el espacio a unos 30.000 km. por hora. Se dice, también con razón, que a estos éxitos contribuye de manera importante la matemática. Por ello, todo el mundo comprende la necesidad e importancia de esta ciencia: el número de alumnos de las facultades de ciencias aumenta todos los años en proporción insospechada; en todas las carreras se pide más matemática; la gente común desea saber qué es esta nueva matemática que contribuye a tales maravillas.
Todo esto seguramente habrá de redundar en bien de la humanidad, pues una fuerte educación matemática es útil para todo el mundo, simplemente porque educar la razón, que es la característica más típicamente humana, es contribuir a perfeccionar al hombre, que cuanto más perfecto será también más sabio y más bueno.G
Z (u) = n (l — udWh1
donde u es una variable compleja y el producto está extendido a todos los divisores primos distintos. Artin formuló la hipótesis (análoga a la de Riemann) dé que todos los ceros de Z (u) están sobre la circunferencia | u | = q *%. A. Weil, por métodos insospechados, en los que aplica los conceptos abstractos de sus famosos "Fundamentos de la Geometría Algebraica", logró demostrar esta hipótesis de Artin-Riemann.4
Vemos así, en este ejemplo concreto de la hipótesis de Riemann, los dos métodos de ataque: el clásico, que trata de ir acercándose al resultado buscando nuevos ceros de la función zeta, resultados asintóticos y acotaciones cada vez más precisas pero siempre teniendo en vista el problema mismo; el método moderno, en cambio, transforma el problema y lo engloba dentro de toda una familia de problemas análogos y se encuentra con que la solución de algunos de ellos aflora como subproducto de una amplia teoría elaborada para otros fines, en el caso actual para fundamentar con todas las exigencias de la matemática moderna toda la geometría algebraica. En este caso de la hipótesis de Riemann, ni uno ni otro método han llegado al resultado final, pero ambos han ido localizando las dificultades y abriendo caminos que tal vez proseguidos, pueden llegar al mismo.
5. LA MATEMATICA MODERNA EN LA ENSEÑANZA. En el nivel superior, el triunfo de la matemática moderna fue rápido y total. Prácticamente no queda en el mundo ninguna institución donde se enseñe o cultive la matemática superior, en que la matemática moderna no constituya el núcleo y la base de toda enseñanza o el temario de toda investigación. Sus ventajas son evidentes, puesto que permite conservar de una manera
vezbre este punto que ya hemos tratado con detalle en otros lugares. 5 Nos limitaremos a señalar dos cuestiones muy generales, a saber:
a) Precauciones a tomar. La historia de lo sucedido después de Euclides, obliga a reflexionar un poco para no caer en el mismo error. La matemática moderna, por la necesidad, que ya hemos indicado, de poseer cimientos bien sólidos, tiene mucho de axiomática y mucho de definiciones nuevas. Su estudio es indispensable para los matemáticos profesionales, sobre todo cuando ya poseen cierta versación sobre su ciencia. En la edu-
la Escuela media: la Matemática, Ciencia e Investigación, vol. 19, 1960, 245-252 (*); La Matemática mo- derna en la escuela primaria y en la secundaria, Revista la Educación, Washington (en prensa). (*) Apareció como apéndice en "Matemática Moderna, Matemática viva" de A. Revuz; Elementos, Bs. Aires, 1965 (N. de los E.).
6) Sin embargo, esta rápida crecida de la matemática fuera de la órbita de los especialistas, conduce también a resultados pintorescos. Hay muchos problemas difíciles, todavía no resueltos, que por su fácil enunciado llaman la atención a personas poco preparadas que a veces aplicando métodos infantiles que no pueden conducir a nada, y a veces entremezclando en disparatado galimatías, cuestiones de matemática superior que nada tienen que ver con el problema, creen o pretenden hacer creer que han encontrado la solución. Ya hemos mencionado en la nota (3), el problema de la hipótesis de Riemann Otro problema típico es el teorema de Fermat, según el cual la ecuación xn rf- yn = zn no puede tenor soluciones enteras para n>3. No se conoce todavía la demostración de este teorema, que incluso puede no ser cierto. Sin embargo, los "solucionistas" del problema de Fermat constituyen una pesadilla, bien conocida y temible por su insistencia y pesadez, de los Centros de matemática, adonde acuden mirando de soslayo para evitar les sea robado tan precioso secreto, como lo hacían en otros tiempos los trisectores del ángulo o los cuadradores del círculo. Naturalmente que cuando se. deCiden a darlas a publicidad, sus presuntas demostraciones no son admitidas en ninguna revista especializada en matemática. Tan sólo logran alguna vez sorprender la buena fe de periódicos destinados al gran público o de revistas .cuyo fin es la propaganda co- merCial los que, en su afán de llamar la atención, intercalan en sus páginas noticias sensacionalistas, ganando tal vez en. lectores, pero perdiendo en seriedad. !
(1) El trabajo de Selberg es An elementary proof of the prime number thoorom, Annals of Mathematics (2), 50, 1949, 305-313, El teorema, ya conjeturado por Gauss, había sido demostrado por Hadamard y La Vallés - Poussin a fines del siglo pasado, pero con medios de la teoría de funciones analíticas. Se había llegado a sospechar (Hardy) que una demostración de carácter elemental (que solamente utilizara funciones trascendentes elementales, no podía existir. De aquí la sensación que causó la demostración de Selberg, que es elemental, aunque nada fácil. La medalla Fields es la más alta recompensa de carácter internacional dedicada específicamente a matemáticos. Se confiere cada 4 años en ocasión de cada Congreso Internacional de Matemáticas. Ver Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1950, vol. 1, 127-134.
(2) P. Tannery y Abbé Clcrval, Une eorrespondence d'écolátres du XIo siécle. Notes et Extraits des manus- crits de la Biblíothéque National et d'autros Biblio- théques, t. XXXVI, 512; París, 1900.
(3) Una puesta al día del problema hasta 1952 puede verseallied functions, Bulletin of the American Máthemati- cal Society, 58, 1952, 287-305.
Como ocurre con todos los problemas clásicos de enunciado relativamente simple, la hipótesis de Rie-
ha llamado la atención, no solamente de los
cación general, en cambio, destinada al hombre común, o aun al principiante en el estudio de la matemática, hay que evitar dar la sensación de que la matemática es un conjunto de axiomas y definiciones que desembocan en una serie de teoremas triviales. en S. Chowla, The Riemann zeta and7
Esta parte externa, con su nomenclatura especial y sus malabares juegos de palabras, se presta mucho a entusiasmar a los espíritus frívolos, propensos a la exageración ante toda novedad. Hay que cuidarse de los "nuevos ricos" de la temática moderna que, con el tiempo, convirtiendo a la matemática junto de palabras difíciles para enunciar vulgaridades, pueden llegar a ser, al borde del segundo milenio, lo que fueron los citados Reginboldus y Rudolfus al culminar el primero. Hay, por lo con-
mannmatemáticos, sino de la pléyade de pseudomatemá- ticos que siempre creen demostrarlo todo antes do dedicarse a estudiar seriamente, haciendo gran alharaca de presuntos éxitos que sólo existen en su imaginación. Naturalmente que, por el carácter objetivo de las demostraciones matemáticas, las mistificaciones sólo sirven para poner de manifieso cuán atrevida es la ignorancia en ciertas personas.
ma-!en un con-
(4) A. Weil, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Scientifiques et Industrielles, N? 1041; Hermann, Paris, 1948, pp. 60-70.
(5) L. A. Santáló; La Enseñanza de jas Cjencias §n
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de la obra perfecta sino para contribuir al éxito de posteriores investigaciones.
Papy cree que las experiencias deben cumplirse en clases de 20 alumnos, Fré- derique se decide por 25; ambos coinciden en que no siempre pueden darse esas condiciones ideales y en que debe irabajarse con el número de alumnos habitual en las escuelas de cada país. De ser posible en toda una escuela, con lo que se evitarían las comparaciones estériles y las objeciones sin fundamento. De no serlo, debieran intervenir por lo menos todos los cursos de un mismo año de estudios, para que los profesores puedan, en reuniones periódicas, comparar los resultados, corregir las fallas, proponer cambios.
En el Centro actúa un cuerpo de investigadores a cuya tarea se asigna mucha importancia. No está constituido formalmente, sino que se ha llegado a él por imperio de las circunstancias. Los hechos ocurrieron así. En 1957, los Papy decidieron introducir algunos temas de matemática moderna en sus cursos de la Escuela Normal de Berkendael, en Bruselas. Al hacerlo, pudieron estudiar cuidadosamente las reacciones estudiantiles y redactar apuntes provisorios. Al año siguiente, dictaron el curso completo de acuerdo con las ideas renovadoras y completaron las observaciones. Paralelamente se constituyó en el Centro un grupo de colaboradores, que para el dictado de las clases en sus respectivas escuelas usaron los apuntes provisorios de los Papy, a los cuales hicieron todas las observaciones que estimaron pertinentes. Todo este material fue minuciosamente analizado y corregido en el Centro y sirvió para redactar el tan difundido libro de Papy, "Mathématique Moderne I", ejemplo de capacidad editorial por la profusión de sus gráficos multicolores. Prontamente, el libro, traducido a varios idiomas, se difundió por el mundo; hoy se aguarda su anunciada aparición en nuestro país.
El éxito fortificó enormemente al Centro, que hoy está empeñado en dos tareas fundamentales: investigar los temas nuevos para la escuela segundaria y adaptar a los docentes para las necesidades actuales. Para esto último se vale de un
grupo de docentes, dirigidos por el profesor Roger Holvoet, que dictan cursos en una veintena de las principales ciudades del país. Asisten más de 2000 docentes, una vez por semana, durante 40 semanas; tanto los profesores que dictan los cursos como los asistentes lo hacen en forma voluntaria. En Bélgica, todos los profesores dictan semanalmente un mínimo de 21 horas semanales y un máximo de 24; Papy solicitará que se reconozca esa actividad extraescolar disminuyendo las clases semanales de los asistentes a los cursos.
Hoy, el cuerpo de investigaciones del Centro es más o menos estable. Son unos diez; la mitad es belga y el resto ha sido destacado por distintos países; la profesora argentina Irma Dumrauf, de La Plata, forma parte del mismo desde 1964. Están distribuidos en comisiones que estudian los apuntes básicos para los futuros libros, hacen los gráficos, analizan los problemas pedagógicos, etc. Todo ello con el auspicio del Ministerio de Educación, que provee los fondos para el funcionamiento del Centro.
Papy asegura que los docentes jóvenes participan gozosos de la experiencia y que también muchos viejos profesores trabajan con todo entusiasmo, "hastiados de la vacuidad de la enseñanza antigua. Les ocurre lo mismo que a mí; al principio no creía en la enseñanza de la matemática moderna, pero cuando advertí sus enormes ventajas, ya no dudé y sin vacilación me dediqué a su difusión1'.
La reforma de los planes belgas de enseñanza de la matemática está hoy en su séptimo año y alcanza ya a los cursos superiores. Los profesores gozan de gran libertad para ensayar sus propias concepciones, pero se los controla para evaluar los resultados. En el Ateneo Provincial de Morlanwelz, su director Serváis, asiste a muchas de las clases e interviene con preguntas a los alumnos y sugerencias a los profesores, con quienes se reúne y discute las dificultades. De esos coloquios ha surgido la idea de una clase para alumnos rezagados con la cual, de tener éxito, se espera recuperarlos para un desarrollo normal.
Daremos sucintamente los programas para los tres primeros años de la escuela
PANORAMALa experiencia belga
C. VESDAGUER DE BANFI (Buenos Aires)
especial la de la geometría que con urgencia debía ser expuesta con criterio moderno. Para desarrollar eficazmente la idea se realizaron las primeras Jornadas de Arlon, desde entonces anuales, cuya finalidad es trasmitir a los profesores belgas las conclusiones de la experiencia en marcha y discutir exhaustivamente los resultados.
Como consecuencia de todo lo dicho se creó en 1961 el Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, presidido por el profesor Georges Papy y apoyado por la Sociedad Belga de Profesores de Matemática que encabeza el destacado matemático Willy Serváis.
Papy es el primer y principal propagandista de la tarea en que está empeñado. Su gran vitalidad le permite asistir a cuanta reunión de matemática moderna se organiza en Europa y a ellas lleva su temperamento desbordante, casi exhu- berante, que se vuelca ardorosamente en el cumplimiento de su quehacer, de su misión, diría él. Lo apoya eficientemente su esposa, Fréderique, sin duda su principal colaboradora, que opuestamente, es mesurada y hasta parca en sus opiniones, pero actúa con mucha seguridad y está dotada de gran capacidad de trabajo.
Fréderique y Papy —como gustan ser llamados— nos expusieron sus principales objetivos:
1. Desarrollar los conceptos de la matemática moderna en la escuela secundaria.
2. Investigar qué métodos pedagógicos deben emplearse para que esos conceptos sean no sólo comprendidos por los alumnos sino para que sientan la necesidad de asimilarlos.
3. Publicar en libros y revistas sus ideas sobre los nuevos conceptos y las nuevas corrientes, no con la pretensión
En el movimiento renovador de la enseñanza de la matemática, una de las experiencias más amplias, de resonancia mundial, es, sin duda, la que se está desarrollando en Bélgica. Diversas circunstancias la facilitan, entre ellas el decidido apoyo de las autoridades educativas y el tesón con que han puesto manos a la obra los profesores de matemática de todos los niveles. Agréguese la poca extensión del país y su alto "status" económico, y se comprenderá por qué la experiencia ha podido ser realizada y controlada debidamente a lo largo y a lo ancho de todo el territorio.
Punto de partida fueron las recomendaciones de la CIEMEM (Comisión Internacional para el Estudio y Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática), la cuai, animada en esa época por Caleb Gat- tegno, "ha abierto los horizontes nuevos de la pedagogía de las situaciones". Precisamente, luego de la reunión de 1958 en Saint Andrews, los profesores Lenger y Serváis redactaron nuevos programas de matemática para las escuelas normales, los que indican el principio de la reforma. Estos programas, adoptados rápidamente por el Ministerio de Educación, introducen el estudio de conjuntos y relaciones, y prestan debida atención a los problemas pedagógicos. Justamente para resolverlos, en el curso escolar de 1959-1960, hicieron su aparición los gráficos multicolores; asimismo, algunos de los nuevos temas revelaron sus virtudes pedagógicas, en especial el de la numeración binaria. Estos éxitos iniciales fructificaron en prometedores ensayos acerca de la enseñanza de los números reales y de la geometría métrica.
Surgió entonces una idea cuya fecundidad fue creciendo día a día: encarar la enseñanza de acuerdo con la reconstrucción unitaria de la matemática, en
?
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18. EQUIPOLENCIA Y TRASLACIONES. Pares equipo- lentes. La equipolencia es una equivalencia. Proyección de los pares equipolentes: pequeño teorema de Tales. Punto medio de un segmento, teoremas del paralelogramo. Propiedades de las equipolencias, cruzamiento de equipa- lencias. Traslaciones o vectoros. Imágenes de partes del plano por una traslación. Imágenes de rectas, semirrectas, segmentos y pares de puntos, por una traslación.
16. SIMETRIAS CENTRA.LES. Imágenes de partes del plano por una simetría central. Centro (s) do simetría de una parte del plano. Compuesta do dos y de más simetrías centrales. Grupo de las simetrías centrales y de las traslaciones.
17. SIMETRIAS PARALELAS Y SIMETRIAS ORTOGONALES. Imágenes do partes del plano y especialmente de rectas. Propiedades que se conservan. Eje (s) de simetría de una parte del plano.
CUARTA CLASE (14 - 15 años)Al. La relación ''divide" en Z y en el conjunto de los números naturales. Divisores primos y primarios de un número. Partes estables y subgrupos de Z, -J-. Todos los subgrupos de Z,+ son cíclicos. M.C.D. y M.C.M. de una parte de Z. Relación de Bézout.
2. ECUACIONES DE LA RECTA. Ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación cartesiana.
3. FUNCIONES DE R EN R. FUNCIONES POLINÓ- MICAS. Ejemplos. Representación cartesiana. Adición y multiplicación. Anillo do las aplicaciones de R en R.
4. ÁLGEBRA DE LOS POLINOMIOS REALES DE UNA VARIABLE. Álgebra de los polinomios. División por (x-a). Resto. Factoreo en casos simples.
5. RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO REAL POSITIVO. Aproximaciones.
6. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, CON UNA, DOS O TRES INCÓGNITAS. Resolución por el método de Gauss. Problemas.
7. SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS. Resolución de sistemas simples. Problemas. Interpretación geométrica.B 8. GRUPO DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y DE LAS ISOMETRÍAS DEL PLANO. Simetrías ortogonales. Traslaciones, rotaciones directas e inversas, como compuestos de simetrías ortogonales. Grupo conmutativo de las rotaciones de centro dado. Grupo de los desplazamientos. Grupo de las ¡sometrías.
9. DISTANCIA. Circunferencias. Círculos abiertos y cerrados.
10. ANGULOS (ORIENTADOS Y NO ORIENTADOS). Angulo (orietnado) de una rotación y de un par de semirrectas. Grupo de los ángulos (orientados). Angulo (no orietnado) de un par de semirrectas. Medida de los ángulos.
11. COSENO Y PRODUCTO ESCALAR. Coseno de un ángulo. Un ángulo no orientado está determinado por su coseno. Producto escalar y su ¡nvariancia para las isometrías. Teorema de Pitágoras. Fórmulas trigonométricas elementales.
12. DESIGUALDAD TRIANGULAR. Desigualdad de Cau- chy-Schwarz, Desigualdad triangular. Convexidad del disco. Intersección de una recta y una circunferencia o un círculo. Cálculo aproximado en el plano.
13. CONGRUENCIAS Y CONGRUENCIAS DIRECTAS. Partes congruentes del plano. Partes directamente congruentes. Pares de puntos congruentes. Ternas de puntos congruentes.
14. GRUPO DE LAS SEMEJANZAS DEL PLANO Y SUBGRUPOS DE LAS SEMEJANZAS DIRECTAS.
15. AREAS Y SU MEDIDA. Areas de partes elementales del plano. Cálculo de áreas con ayuda del cálculo vectorial y, la trigonometría.
Para redactar estos programas se ha tenido en cuenta la importancia del pasaje de la escuela primaria a la secundaria. Se entiende que el alumno se encuentra en una etapa en que predo
mina la imaginación, el razonamiento abstracto adquiere vigor y la expresión verbal, que conserva toda su frescura, se adapta fácilmente a la expresión espontánea. Como el alumno se siente ávido de cosas nuevas, no es posible decepcionarlo dedicándole mucho tiempo a la revisión de temas ya considerados en la escuela primaria; si el docente secundario es hábil sólo repasará los puntos difíciles, aquéllos que inhiben a los alumnos y les impiden progresar.
La enseñanza secundaria debe realizarse sobre nuevas bases y si es forzoso referirse a temas ya conocidos debe hacérselo desde un nuevo punto de vista, que permita que los alumnos comprendan intuitivamente las situaciones para que puedan llegar a sustituirlas por modelos abstractos que han de constituirse en los soportes de un razonamiento efectivo.
En lo que se refiere al contenido, se piensa que el espacio euclidiano ha sido durante mucho tiempo la base de una exposición unificada, pero hoy ya no ocurre lo mismo: esa función puede ser ventajosamente desempeñada ahora por el "universo conjuntista" que —se ha probado— interesa vivamente a los alumnos. Medio pedagógico fundamental son ios diagramas de Venn, que se pueden introducir con toda espontaneidad ya que son los mismos alumnos quienes los realizan. Estos diagramas permiten introducir naturalmente los conceptos de reunión, intersección y diferencia de conjuntos; se aconseja acostumbrar a los alumnos a emplear los símbolos correspondientes desde las primeras lecciones. Los mismos diagramas permitirán establecer las leyes de asociatividad, con- mutatividad, distributividad y el papel del conjunto vacío.
Las nociones fundamentales de matemática moderna que deben enseñarse en la escuela primaria son las de relación, función, equivalencia y orden.
En cuanto a la geometría, su conocimiento, a la vez lógico e intuitivo, sigue siendo fundamental en la matemática actual, y las nociones conjuntistas y rela- cionistas permitirán mayor profundidad en el estudio: "la intuición geométrica ayudará al razonamiento sin sustituirlo
secundaria; según la redacción aprobada en 1963.
SEXTA CLASE (12-13 años)A 1. CONJUNTOS. Elementos. Representación mediante diagramas do Vcnn. Conjunto vacío. Conjunto de un solo elemento. Términos y objetos. Igualdad. Los símbolos —, £, Notación E “ -¡ x e Y variantes.
2. PARTES DE UN CONJUNTO. Subconjuntos. Inclu- sión: los símbolos C y O. Conjuntos do partes de ciertos conjuntos.
3. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS. Intersección. Reunión. Diferencia. Conmutatividad y asociatividad de |J y Q. (Algunos contraejcmplos: no asociatividad de situaciones relativas do y de | |.)
4. PARTICION. Ejemplos de particiones de un conjunto. .Definición.B 5. RELACIONES Y GRAFICOS. Numerosos ejemplos de relaciones. Gráfico. Relaciones como conjuntos de pares. Relación entre el conjunto A y el conjunto B. Producto A X B. Recíproco de una relación. Imagen de un conjunto por una relación. Propiedades relativas de X» f”J , |J.
6. PROPIEDADES DE CIERTAS RELACIONES. Refloxi- vidad, simetría, transitividad, antisimetría.
7. COMPOSICION DE RELACIONES. Asociatividad de la composición. Reciproco de una compuesta.
8. FUNCIONES. Funciones, aplicaciones, biyecciones, composición de funciones, transformaciones y permutaciones de un conjunto.
9. EQUIVALENCIA. Equivalencia y partición.10. ORDEN. Orden total. Los símbolos <C, !>,
C 11. ENTEROS NATURALES. Conjuntos equipolentes, cardinal de un conjunto (muy elementalmente). Conjuntos finitos e infinitos. Números naturales: cardinales de los conjuntos finitos. Problemas relativos a les cardinales de la reunión, intersección y producto de un par de conjuntos . Búsqueda de la definición de la adición y multiplicación de enteros racionales mediante las operaciones con conjuntos. Aclarar y justificar las propiedades elementales de la adición y multiplicación.
12. SISTEMAS DE NUMERACION. Numeraciones bi-
QUINTA CLASE (13-14 años)!
1. GRUPO DE LAS TRASLACIONES O VECTORES. Composición de traslaciones. Grupo conmutativo de las traslaciones del plano. Traducción en notaciones vectoriales aditivas. Primeros elementos de cálculo vectorial.
2. EL GRUPO Nueva representación del grupode los traslaciones o del grupo de vectores. Subgrupos de ^o,-k Suma de partes de ^o,-K Suma de partes de Cálculo en Ecuaciones. Problemas.
3. EL GRUPO TOTALMENTE ORDENADO D0,4-,<. Toda recta D0 que contiene a O, es un subgrupo de
Estudio del grupo ordenado D0,+,<C. Suma de segmentos. Primera ¡dea de aproximación de una suma.
4. PRIMERA SÍNTESIS DE LA NOCION DE GRUPO. Puesta en evidencia de la noción de grupo a partir de los ejemplos ya encontrados. Nuevos ejemplos, especialmente do grupo cíclico. Cálculo en un grupo cualquiera. Notaciones, aditiva y multiplicativa. Coeficientes y exponentes enteros racionales. Ecuaciones en un grupo.
5. NÚMEROS REALES. Graduación de la recta, Axlo- de Arquímedes. Subgraduaciones, binarias o decima
les, limitadas e ilimitadas. Axioma de continuidad. Primera aparición del concepto de número real.
6. TEOREMA DE TALES. Forma general. Razón de vectores paralelos.
7. HOMOTECIAS. Imágenes de partes del plano por una liomotecia. Razón de homotecia. Las homotecias de razón distinta de 0 conservan: la linealidad, la incidencia, el paralelismo, el centro, la razón de vectores paralelos, el conjunto do segmentos. Composición de homotecias del mismo centro. Grupo conmutativo de las homotecias del mismo centro y razón distinta de 0.
8. ADICION DE REALES. Grupo aditivo ordenado de las reales. Ecuaciones, inecuaciones. Cálculo aproximado, Valor absoluto.
9. MULTIPLICACION DE REALES. Para las homotecias de razón entera racional y del mismo centro: la razón de la compuesta de dos homotecias es igual al producto de las razones. Definición de la multiplicación de números reales por generalización de la propiedad precedente. Asociatividad y conmutatividad de !a multiplicación de reales. El grupo Ro,. de los reales no nulos. Ecuaciones en Ro.
10. MULTIPLICACION DE VECTORES POR UN REAL.Asociatividad mixta. Doble distributividad. Combinación R/ Puesta en evidencia de la estructura decuerpo ordenado. Cálculo en ese cuerpo. Problemas.
12. FRACCIONES. Fracciones de términos reales. Reglas y ejercicios. Cuerpo de los números racionales.
13. ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA EN EL CUERPO REAL. Ecuaciones con una incógnita. Problemas.
14. INECUACIONES, APROXIMACIONES, PRIMEROS ELEMENTOS DEL CALCULO DE ERRORES.
15. VECTORES EN EL PLANO. Cálculo vectorial. Ecuación vectorial do la recta. Bases y coordenadas. Problemas.
nía
noria y decimal.13. ESTUDIO ELEMENTAL DE Z, Propiedades ele
mentales de Zespecialmente los productos notables. Ecuaciones en Z, ~r. Cálculo numérico y literal. D.14. GEOMETRIA. Plano, punto, recta. El plano, conjunto infinito de puntos, las rectas, partes propias del plano. Conjunto de rectas del plano. Propiedades de incidencia (diagramas de Venn). Paralelismo: el símbolo //. Dirección de una recta, partición del plano.
15. PARALELAS Y PERPENDICULARES. Rectas y direcciones perpendiculares, el símbolo J_. Relaciones en-
I
i™ ly/-16. RECTAS ORIENTADAS. Los dos órdenes totales
recíprocos de toda recta. Orientación de las rectas. Semirrectas, abiertas y cerradas. Segmentos abiertos y cerrados y semiabiertos. Definición de conjuntos convexos.
17. PROYECCIONES PARALELAS. Proyección paralela del plano sobre una recta. Imagen de una parte de plano por una proyección. Proyección paralela de una recta A sobre otra B. La proyección paralela de una recta orientada sobre otra recta es creciente o decreciente. Caso particular de la proyección de una recta orientada sobre una recta paralela orientada. Rectas paralelas orientadas del mismo sentido o de sentido opuesto.
.-'13 -- 12 -
I'l- ,
matematizar situacionesmáticamente a . ., , .derivadas de la misma organización del curso, pues, como lo ha hecho notar Dienes "es indispensable que el curso de matemática encuentre en sí mismo su propia motivación , que siempre debe
al alcance de los alumnos.,La libertad de experimentación que
existe en Bélgica puede observarse en La tradicional École De-
insidiosamente". Partiendo de nociones empíricas, ya poseídas por los alumnos, y de la observación de situaciones adecuadas, se podrá proceder a una juiciosa elección de los axiomas que permitan cumplir sin dificultades el programa formulado.
Se considera que la matemática es hoy indispensable en numerosos dominios, como medio de investigación y de cultura. El alumno secundario deberá ser capaz de usarla en sus estudios posteriores y en su profesión, pero no ha de
conocimientos le resol
CUESTIONES DIDACTICAS—La Matemática al día
i
estarLUCIENNE FELIX (París, Francia)
otros ensayos, croly, que dirige madame Libois, sigue .L-pléando los centros de interés para.el dictado de sus cursos. El centro de interés del año 1963 fue Galileo, con motivo del cuarto centenario de su fallecimiento. En tomo a su figura se programó la actividad matemática de ese año, con la supervisión del distinguido matemático Paul Libois, quien ha expresado claramente: "no soy partidario de la matemática moderna sino de la matemática actual". El programa elaborado con ese motivo contiene muchos temas clásicos, pero incluye otros modernos. En todo caso, la ordenación es totalmente distinta de la tradicional y tanto profesores como alumnos deben desplegar para desarrollarlo gran actividad y no escasa imaginación.
El desarrollo prodigioso de las ciencias en nuestra época se manifiesta por realizaciones tan espectaculares que nadie puede ignorar sus progresos. En lo que concierne a la matemática, todos saben que las exigencias de las ciencias la utilizan le presentan sin problemas, y que ella está a la altura de su labor. Pero, para los no especialistas, aun los enunciados de las cuestiones por resolver son incomprensibles, y lo mismo ocurre, con mayor razón, con las meditaciones de los matemáticos que crean sin pensar demasiado en las aplicaciones posibles, al solo impulso de su imaginación y su curiosidad.
Por lo contrario, todos se sienten afectados por el anuncio de una decisión ambiciosa: gracias al nuevo aspecto de la matemática, revolucionar la enseñanza dándole más unidad, claridad, simplicidad a las concepciones elementales, anular los compartimientos artificiales entre capítulos tradicionalmente separados, cegar los fosos sucesivos entre los diversos ciclos de la enseñanza hasta el nivel superior.
Todo cambio exige un esfuerzo de adaptación que puede hacer juzgar como sobrecarga lo que es realmente simplificación. Si un cierto trabajo es necesario para comprender, es el tener conciencia de lo que muy a menudo está implícito. Pero el beneficio es inmenso, pues, en el cuadro propuesto, los
conocimientos antiguos o modernos se ubican por sí mismos.em
ÁLGEBRA DE BOOLEcreer que sus verán automáticamente los problemas que se les planteen. La dificultad primordial consiste en "matemaiizar" una situación, en formular los problemas. Esto logrado, para hallar la solución se tratará en lo posible de encuadrarlos en una u otra de las grandes estructuras de la matemática. De acuerdo con las conclusiones de Saint Andrews "se preferirá, a los problemas estereotipados de solución única, los problemas abiertos que hagan pasar a los alumnos a un grado más alto de comprensión". Se eliminarán, pues, los problemas artificiales y se tratará que los alumnos se habitúen siste-
A mediados del siglo XIX, el matemático inglés George Boole mostró1 que el pensamiento lógico sigue un álgebra que puede ser observada como lo es el álgebra numérica desde la época de Viéte. Esta álgebra, más trascendente aún que la de los cálculos numéricos, ha adquirido un desarrollo considerable2. Sólo sus primeros pasos nos interesan aquí; son tan fundamentales para un pensamiento científico, aún a su despertar, que son el objeto más o menos consciente de la enseñanza en el jardín de infantes.
El modelo elemental, que se impone ante todo, presenta un aspecto conjun- tista que traduce la lógica en extensión, paralelo al aspecto preposicional de la lógica en comprensión.
Una proposición tal como "Esta bolita es roja", que expresa una cualidad de- la bolita, tiene signiifcación para nosotros si sabemos, en el conjunto E de las bolitas, reconocer aquéllas que son rojas y ponerlas eventualmente en una caja reservada al subconjunto R de las bolitas rojas. Por eso mismo, definimos al subconjunto de las bolitas no rojas como subconjunto complementario de R.
Consideremos simultáneamente otra propiedad de las bolitas, elementos del conjunto E; por ejemplo, "ser de vidrio". Las bolitas que tienen esta propiedad forman el subconjunto V. Podemos interesarnos por las bolitas que son rojas y de vidrio; ellas constituyen el subconjunto intersección de R y V. Otra elección hace considerar las bolitas que son rojas o de vidrio, aceptando aquéllas que
que cesar nuevos
O O O
CRUCINUMERO CUADROS VACIOS: Id, 2d, 3b, 3e, 4o, 41, 5c. 6c.ROSARIO RUSSO (h.) (Santiago del Estero)
DIAGONALES: la, las seis primeras cifras de la raíz cuadrada de 2; lf, las seis primeras cifras de la expre-
1564 — 156fb dC ea sión decimal periódica de 349000
1 !HORIZONTALES: la, límites (eos x. 134 —sen x), para
x —► 0; le, derivada de 5 x2 -+■ 13 x para x = 2; 2a, valor numérico de x3 — x2 + 4x + 2 para x = 10; 2e, apotema del triángulo ea.uilátero inscripto en la circunferencia x2 + y2 — 82';; 3a, logi 1; 3c, primer número primo de dos cifras; 3d, potencia 1/2 de 9; 4b, divisores dígitos d° 40 en orden decreciente; 5a, razón entre 8 y 1/2; 5d, coeficientes numéricos del cuadrado de un binomio; 6a, cateto mayor del triángulo rectángulo de hipotenusa 50 y cateto menor 30; 6d, exponente del producto a423 . arB= .a.
z3
(*) En ocasión de su redente visita a nuestro país (véase ELEMENTOS, oño III, p. 31) liemos logrado de la profesora FELIX su autorización para pu blicar este artículo suyo aparecido originalmente en francés en "Sévriennes d'hier et d'aujourd' hui" (Boletín de la Asociación de Alumnos y Ex - Alumnos de la Escuela Normal Superior de Sév- res, Francia) de septiembre de 1964, que publicamos en la versión de la profesora Irma A. Estol de Besio. (N. de los E.)
*
5 VERTICALES: la, derivada del producto 95.In 10.log x para x = l/2; Id, lado del hexágono inscripto en la circunferencia x= + y2 = 1156; lf, límite (7X — lOx) para x -► 3; 4b, ordenada al origen de 2x — y/4 -f- 215 = 0; 5a, valor de x en log 100x = 28; 5f, lo mismo que 3c horizontal.
6
T- 15- 14 -
1
(a + b) X c = (“Xf + d»XJ)la figura 2, donde
Venn que permiten comparar (A[JB) f]C —figura 4— y (Af|B)con (Af|) [J (B(|) (B[JC) — figura 5—.[JC con (A(JC) f| Ayudándonos con algunos colores, se comprueba que cada una de las operaciones es distributiva con respecto a la otra. Así. las dos conjunciones y, o, son igualmente "fuertes", cada una puede "romper" el vínculo establecido por la otra.
i las posibilidades de transformaciones, es un elemento esencial del pensamiento científico. Si en el cálculo numérico se- aplica sobre todo el álgebra de Vieta, en el espacio se aplica sobre todo eí álgebra de Boole relativa a los subconjuntos de puntos llamados figuras. Toda una parte de la geometría es así algebrizada. Pero advirtamos bien que álgebra no significa automatismo: si una conclusión algebraica es formalizada, ella permite una aplicación automática sobre un ejemplo, sobre un modelo; pero el descubrimiento de la. fórmula, la organización de la teoría, la búsqueda dd casos particulares o de extensiones nuevas, exigen intuición, imaginación, agudeza.
tienen a la vez ambas cualidades (sentido del latín vel). Ellas constituyen el subconjunto unión de R y V. Se advertirá que la intersección está incluida en la unión de R y V, y que esta interseca ción puede ser vacía, aún si R y V. no lo son.
está justificada por
O O o í
Mt09O O O
Figura 2
a = 3, b = 5, c = 5; mientras que la expresión
(a X W + cse representa en la figura 3.
Citemos todavía algunas observaciones. En álgebra numérica, a + a = a, sólo es verdadero si a = 0; a X a = a sólo es verdadero si a = 1. En cambio, en el álgebra de Boole, las fórmulas Af|A = Ay A [JA = A son verdaderas cualquiera sea el subconjunto A de E.
He aquí, diréis, algunos amables ejercicios de observación que exigen atención y cuidado a los niños de 10 a 12 años. Cierto; pero también la base de una ciencia que se desarrolla desde hace siglos. En un nivel más elevado, estas comprobaciones dejan el lugar a una exposición axiomática: algunas de estas fórmulas son elegidas como axiomas del álgebra que se desea edificar, y por simple lógica es posible deducir de ellas las consecuencias próximas o lejanas: por una parte, toda el álgebra numérica; por la otra, toda un álgebra del pensamiento lógico. Se sabe cómo la adopción de las notaciones del álgebra numérica, donde las letras reemplazan a números cualesquiera y donde los signos indican las operaciones (conjuntamente con las reglas de la numeración decimal), ha revolucionado la enseñanza elemental poniendo a los niños en condiciones de plantearse y de resolver problemas reservados otrora únicamente a los sabios. Encontramos un beneficio análogo al codificar el álgebra de Boole: reemplazar frases largas para pronunciar, difíciles de redactar y escribir sin faltas, por expresiones claras, fáciles de comprender y verificar, calcadas directamente sobre la idea por expresar.
Una formulación sin ambigüedad, desprovista de matices afecfivos, que sugiera
¿Cuáles son las subdivisiones que pueden preverse en la caja de las bolitas (conjunto E de referencia, o referencial)? El dibujo de la figura 1 es el del esquema lógico de Euler y, al mismo tiempo, el del diagrama conjuntista de Venn. A las dos conjunciones o, y, que los lógicos denotan respectivamente con V (recordando vel) y A, están, pues asociadas dos operaciones en el conjunto de los subconjuntos de E (o conjunto RÍE) de las partes de E). Ahora bien, esas dos operaciones propiedades que jan a las de la adición y la multiplicación de los números; sin embargo, las diferencias son demasiado importantes para que adoptemos los mismos signos 4- y X; la unión de R y V se indica por R[JV y la intersección por Rf|V (convención universalmente aceptada .ahora).
En el conjunto P(E) de las partes de E, sabemos, utilizando los paréntesis como en el álgebra numérica, qué sentido atribuir a las expresiones de Boole, tales como (A|JB) (JC, (A[JB) f|C, etc., que recuerdan las expresiones algebraicas corrientes (a + b) 4* c, (a + b) X c> etc.
Lo mismo que la observación de algu- configuraciones simples hace apare
cer las fórmulas fundamentales del álgebra numérica, por lo menos para el conjunto de los enteros, el examen de los diagramas de Venn hace aparecer las fórmulas fundamentales del álgebra de Boole en el conjunto P(E). Demos por
ejemplo para precisar: lafórmula del álgebra numérica
O 9LAS ESTRUCTURAS
Se puede definir a la, matemática como el estudio de las estructuras. Precisemos un poco con ejemplos lo que se entiende por ello. Los conjuntos considerados no permanecen amorfos, como una reserva inutilizada. ¿Qué se hace con ellos?
La acción más importante es sin duda la de hacer actuar un principio de clasificación que defina clases en cada una de las cuales los elementos son considerados como equivalentes desde el punto- de vista considerado. Denominemos a, b, c,... a los elementos del referencial E'.. Una relación de equivalencia está representada por un símbolo que se lee "equi* valente a" y se escribe: = o con un signo aproximado; tomemos codificar explícitamente las condiciones de empleo de tales signos. Estas condiciones son tres. Son evidentemente necesarias; un poco de reflexión muestra que su conjunto es suficiente.
1) a ^ a. Todo elemento es equivalente a sí mismo; no puede estar en dos clases diferentes.
2) a = b implica b sz? a. Si b está en la clase donde está a, también a está en la clase donde está b.
3) La conjunción de a P b,.y b = c
Figura 3
Los niños ven que las dos operaciones —adición y multiplicación— no tienen la misma "fuerza"; dicen: "la multiplicación es la "más fuerte" —ella puede romper a la adición para tomar los pedazos—; por lo contrario, en (aXb) + c, los números a y b están ligados por la multiplicación, y la adición es demasiado débil para separarlos". La expresión técnica que enuncia esto es la siguiente: "La multiplicación es distributiva con respecto a la adición; la adición no es distributiva con respecto a la multiplicación."
Examinemos ahora los diagramas de
se aseme-
Es esencial
ti
fFigura 4
ñas
* i
lo menos un4- V.: • 0 v* •. ••Figura 5
— 51,7 —- 16 -
/
/esencial para la representación gráfica (orden lineal), pero hay de otros tipos, tal como la red de. los divisores de un número en el conjunto de los enteros (figura 6); en efecto, lo esencial de la teoría de la divisibilidad es expresado por la aserción: la relación "divide" es
relación de orden.Pero, por ejemplo, 4 X 1 = 4; es ne
cesario pues aceptar que 4 se divide a sí mismo. Esto nos obliga a modificar los axiomas y a adopiar los del orden amplio, en los que se admite una equivalencia:
1) a^a es verdadero para todo a;2) a^b y b^a son compatibles en el
caso a = b;3) transitividad.Este es un ejemplo de la manera en
modifica el sistema de axiomas
Pero sobre todo importa la lectura de los esquemas en lenguaje vulgar. Los ejercicios de composición y de traducción tienen un carácter particular: la lengua matemática es pobre, estricta, objetiva, esquelética puede decirse; y la traducción literaria le agrega flexibilidad, matices afectivos; muchos elementos psicológicos intervienen en la manera de describir la exploración que conduce a construir un esquema, en la de leer un esquema más o menos complejo de clusiones o de demostraciones.
Así las dificultades de la expresión verbal está disociadas de las de la cepción.
implica a == c. Si b está en la clase definida por a y si c está en la clase donde está b, también c está en la clase donde está a. Es la transitividad de la relación.
Esto es todo. Cada vez que, entre los elementos de un conjunto, una relación tiene esas tres propiedades, ella se dice relación de equivalencia, y define una partición de E en clases de equivalencia. Eso es evidente, se pensará. Pero eso es una razón, no para sobrentenderla, sino para subrayarla cada vez que se la encuentra, es decir, a cada paso: 2/3, 4/6, 6/9,... son fracciones equivalentes desde el punto de vista de la medida y cada clase es un número racional; las rectas paralelas son equivalentes y cada clase es una dirección; hay dominios equivalentes en cuanto a su superficie; hay sistemas de ecuaciones equivalentes en lo que concierne a sus soluciones, etc.
También es importante la noción de relación de orden, que corresponde a un comparativo; empleamos aquí el vocablo "antes" y el signo <, o algún signo que lo recuerde. Los axiomas de una estructura de orden son los siguientes:
1) a<a es falso para todo a;2) a<b es incompatible con b<a;3) transitividad: la conjunción de a<b
y b<c, implica a<c.Lo más interesante para nosotros es
quizás la posibilidad de representar una relación de ese tipo por flechas, sobrentendiendo que las flechas corresponden a la transitividad; de ahí la posibilidad de esquemas. Pensamos inmediatamente en el orden natural de los números, de las fechas, de los puntos sobre una recta,
necesaria para la seguridad de la marcha.
CUANTIFICADORES
Muy a menudo nos ha sido necesario utilizar las expresiones "para todo elemento del conjunto", "cualquiera que sea el número", "cualquiera que sea el valor", "cualesquiera que sean los elementos". Para aligerar la redacción, se sobrentiende a menudo esta noción esencial, lo que constituye un grave error pedagógico. Por lo contrario, la idea debe ser subrayada puesto que ella precisa a qué elementos se aplica la aserción. El símbolo de ese cuantificador universal es Y (el calificativo está justificado por el antiguo nombre "universo" del referencial). Así, en el conjunto de los números,
Y a, (a -P 1 )“ = a2 -p 2a -p 1; en el conjunto de los triángulos,
una
con
cón-
OPERACIONES
Entre los elementos de un conjunto se definen las operaciones internas: con "2" y "3", la adición forma "5"; con dos simetrías axiales del conjunto de las transformaciones puntuales, la composición proporciona una rotación; etc. Pero también las operaciones pueden hacer intervenir elementos de dos conjuntos: vector multiplicado por un número da otro vector; por multiplicación escalar, dos vectores dan un número. La clasificación de las operaciones según sus propiedades permite definir diversas estructuras algebraicas. Damos uno de los ejemplos esenciales: un conjunto tiene estructura de grupo para una operación interna (indicada, por ejemplo, con el signo -P) en las condiciones siguientes:
1) asociatividad: (a + b) + c = a -p (b -P c);
2) existencia de un elemento neutro 0: para todo x, x -p 0 = 0 -P x = x;
3) existencia de un opuesto x' de todo elemento x: x + x' = x' + x = 0.
El trabajo matemático es particularmente fácil en el caso de una estructura de grupo; esto conduce a crear seres nuevos si es posible obtener, por una extensión tal, esta estructura (creación axiomática del cero, de los números negativos, por ejemplo). La técnica de los cálculos es totalmente diferente si esa estructura no es realizada; por ejemplo, [J o f| en P(E). El reconocimiento de la estructura exigida por una situación es
que separa adaptarlo a la estructura que se desea construir.
Uno de los ejemplos más esenciales de una estructura de orden es la vinculación de las aserciones de una teoría por la relación de inferencia: la verdad de la proposición p implica la verdad de la proposición q, lo que se indica p -*• q (Los niños me han declarado: "Puesto que se puede pasar de p a q, es necesario poner verde en la flecha." Después, poner flechas verdes entre las afirmaciones; es el signo lo que se ha razonado). La posibilidad de representar por un dibujo en el espacio, un esquema, un gráfico, la construcción lógica de una teoría es extremadamente importante: eso permite controlarla, incita a las recíprocas (¿Hay sentidos únicos?), pone en evidencia las reducciones (La transitividad permite reemplazar una parte del esquema por una flecha única). '
Y (A, B, C), AB = AC - B = C.Este símbolo es perfectamente acep
tado por los alumnos de 11 ó 12 años, pero es necesario perfeccionar progresivamente su comprensión en el caso de conjuntos infinitos —un punto cualquiera de un segmento, un triángulo cualquiera, una función cualquiera.
En un nivel un poco superior, se impone introducir el cuantificador existen- cial: "existe por lo menos un elemento x tal que...", que se escribe 3 x.
un
ESTRUCTURAS TOPOLOGICAS
El álgebra presenta cierta rigidez: para asegurar la transitividad de una relación de equivalencia, por ejemplo, hace falta una exactitud perfecta; a fuerza de reiterar errores de 1 mm., se obtendrán diferencias de 1 m., 1 km. Ahora bien, toda aplicación a modelos físicos, a mediciones experimentales, implica la aceptación de aproximación. Desde los primeros pasos, en la adquisición de los conocimientos, el niño debe tener conciencia de ello: los números utilizados son vecinos de las medidas pedidas, los puntos están en la vecindad de las posiciones deseadas, las líneas son casi correctas... Todo esto es perfectamente válido si se establecen precisiones. Va-
{El esquema muestra también el grado
de complejidad de una situación o de una demostración, lo que es sumamente importante para el maestro que prevé la dificultad de comprensión o de descubrimiento.
Desde el punto de vista pedagógico es necesario estudiar la dificultad de confección de esquemas: es exactamente la dificultad de una real comprensión. También hace falta examinar cómo la libertad en la disposición del esquema se adopta al modo de pensar de los niños.
/ \t
— 18 - - 19 -í
/
/famoso elemento denominado Como se ve, no se puede evitar la topología sin restringir extremadamente las cues, tiones estudiadas.
Una construcción axiomática de la matemática, cuyo tipo es la monumental exposición de Bourbaki, estudia primero las estructuras sencillas "en culturas puras", después las estructuras cada vez más complejas. Los capítulos tradicionales son apartados a un lugar posterior, pues presentan un enredo enorme de estructuras; ocurre así, por ejemplo, con la noción de línea recta, tan rica en estructuras algebraicas y topológicas. Esta marcha de lo simple a lo compuesto no está adaptado, evidentemente, a la enseñanza elemental: la visita a una casa
desea habitar, no supone el es-
aquí la importancia de losmos a ver cuantificadores.
En física experimental, cuando se emplean. números, los resultados son aceptados con tal que la precisión sea suficiente, pongamos inferior a 1/1000 de la unidad. El matemático exige un error inferior a e, cualquiera sea el número e elegido en el conjunto E de que se dispone. Si una función determina y conocido x, allí donde el físico pide: "Mida x con una precisión tal que el error sobre y no sobrepase 1/1000 de la unidad", el matemático exige la continuidad de la función. Si el valor a de x da el valor b de y, la condición se expresa con la frase: "Por pequeño que sea el número positivo e, existe un número positivo oc tal que asegurar que la diferencia entre el número x utilizado y el valor exacto a sea inferior a «, implica que la diferencia entre y deducido de x y b deducido de a es inferior a e". Esto es, en lengua matemática:
ORIENTACIONTeoría moderna y aplicaciones
de las probabilidades (*)í
JOAO MARTINS (San Pablo, Brasil),
II. — TRATAMIENTO TEÓRICO 1 .Definición moderna de probabilidad.
Dado un espacio de eventos E, habilidad es una función P(A) de eventos que a cada evento A de E asocia número y que satisface los siguientes axiomas:AXIOMA I. 0 < P(A) < 1 AXIOMA II. P(A) = 1, para el evento
cierto E.AXIOMA III. P(A (J B) = P(A) + P(B), si
AB = 0 representando por 0 al evento imposible.
El primer axioma asegura que la probabilidad es un número racional comprendido entre cero y uno; por eso puede parecer superfluo el segundo. Pero el axioma I no establece formalmente que el evento cierto tiene probabilidad 1.2. Teoremas importantes.
pro-
unque setudio previo de los cimientos y de las vigas; el estudio de la vaca, en cursos elementales, no se hace a partir de las células constitutivas de un ser vivo. Es claro que es necesario partir de las situaciones proporcionadas por la experiencia y extraer de ellas las concepciones abstractas. Las estructuras devendrán realidades vivientes para el niño si se destaca su aparición en todo momento utilizando siempre el mismo vocablo, después el mismo símbolo.
Dejar en la sombra, sin formularlo, al cuadro esencial del pensamiento lógico y matemático, sería enseñar una lengua dejando implícita la gramática, sería describir las reacciones químicas sin observar que los diferentes ácidos tienen una función común. Dejar al alumno descubrir por sí solo lo que ordena, organiza, justifica, unifica, los conocimientos y dirige la exploración que se le fuerza a emprender, es verdaderamente contar demasiado con "la cabeza para la matemática".
!¡
V e > 0, a a > 0: | x a | < °c | y — b | < s AB' o AB= A
Ejemplo de verificación: Lanzamiento de un dado una única vez.
Más generalmente, se pueden hacer estudios topológicos si se han definido las vecindades en el conjunto estudiado: vecindad de un número, vecindad de una recta para el estudio de las tangentes a las curvas, vecindad de las curvas para el estudio de las áreas o las longitudes. El dominio de la topología es el de los conjuntos infinitos; las estructuras topológicas superponen a los estudios algebraicos un estudio de los cuantificadores que puede ser extremadamente difícil. Es ella la que discute, por ejemplo, las posibilidades de vínculos por caminos continuos entre las regiones de una superficie, estudios que justifican etimológicamente el término "topología", extendido ahora a cuestiones más amplias. Es la topología la que ha obligado al matemático a crear entes para evitar considerar los valores aproximados a "nada". Por ejemplo, ha sido necesario agregar a los números racionales elementos iracionales tales como \/2;- al conjunto de los números formados mediante un número finito de radicales, ha sido necesario-agregar, por ejemplo»-el
ProbabilidadPuntos .Evento
TEOREMA 1. —-La probabilidad del evento imposible es nula.
Demostración: El evento cierto E y el evento imposible 0 son mutuamente ex- cluyentes. Entonces, por el axioma III, se tiene:
2Cara 3A"Cara divisible por 3" Cara 6 6
Cara 1 Cara 3 Cara 5
3B"Cara impar")P(E 60) = P(E) + P(0)
0 = E, se deduce que P(E U 0) = P(E)-
Por lo tanto, P(0) = 0.TEOREMA 2. — Siendo A y B dos even
tos del mismo espacio, P(AB') = P(A) — P(AB).
Demostración: Los eventos AB y AB' son mutuamente excluyentes, toda vez que B' es el complemento de B. Además, como muestra la figura 8, AB {] AB' = A.
Luego, P(AB (J AB') = A.Por el axioma III, P(A) = P(AB) + P(AB')
de donde finalmente:P(AB') = P(A) — P(AB)
y, como E
i AB1t "Cara impar,
divisible por 3"Cara 3
El trabajo de los sabios ha dado un aspecto nuevo a la matemática, que le asegura una unidad de método y de vocabulario en todos los niveles de la enseñanza y también en las diversas partes artificialmente separadas, más aún por una tradición pedagógica que por la verdadera evolución del pensamiento de los matemáticos creadores. Después de un período preparatorir* de iniciación
'Sigue en pág, 43)
6iAB'
1"Cara par, divisible por 3"
Cara 66
Debe ser: P(AB') = P(A) — P(AB).1 ___1
3 6En efecto: P(A) — P(AB) = —
1— = P(AB').6(*) Véase ELEMENTOS, Año II, págs. 160-4 (N. de los E.).
-‘-20 -- 21 -
v5TEOREMA 3. — Siendo P(A) la proba
bilidad de un evento cualquiera y P(A') la de su complemento, P(A') = 1 — P(A).
Demostración: Como A [j A' = E y PÍE) = 1, resulta P(A (} A') = 1.
Pero A y A' son mutuamente exclu- yentes, pues A' es la negación de A. Entonces, por el axioma III, P(A (J A') = = P(A) 4- P(A').
Entonces, finalmente: P(A') = P(A (J A') — PÍA) = 1 — PÍA).
Ejemplo de verificación: Se sabe que en un lote de 100 lámparas de gas neón existen 5 que, por error, fueran preparadas con argón. Un técnico va a iniciar una prueba para separarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera lámpara examinada sea de argón?
PÍA) = Probabilidad de que sea de
neón =
argón =TEOREMA 5. — Para tres eventos lesquiera A, B y C, de un mismo espacio, PÍA U B [J C) = PÍA) -1- P(B) 4- P(C) — — P(AB) — P(AC) — P(BC) + P(ABC).
Demostración: De acuerdo con el teorema 4, P([A U B] U C) = PÍA II B) + 4- PÍC) — P([A [J B] C) = PÍA) 4- PíB) 4- -h PÍC) — P(AB) — P([A U B] C).
Aplicando la propiedad distributiva de la intersección de eventos, [A M B1 c = AC y BC.
Por el teorema 4 nuevamente, P(AC II BC) = PÍAC) 4- PÍBC) — PítAC] [BC].
Como [AC] [BC] = ABC, reemplazando en la expresión inicial queda demostrado el teorema.
Nota: Un teorema semejante, para la unión de un número finito cualquiera de eventos, puede ser demostrado por inducción.
TEOREMA 6. — Dados n eventos tuamente excluyentes, Ai, A2, ... An, la probabilidad de la unión de esos eventos es la suma de sus probabilidades.
Demostración: Por el axioma III, P( M B) = PÍA) 4- PÍB).
Entonces: P(An [¡ A„-i [J A = P(A„ U [An-i U • • • IJ AU) = P(An) + PÍA,,-! U ÍAn_2 U . .. U Aii) = P(A„) fP(An.,) + P(An.2 U [An-3 U • • U AJ)
= PÍA j* 4-* PÍA,,-i) + PÍA, -*_.) + V.’. + PÍAi)
Problemas:Io Dos dados, que se suponen perfec
tamente balanceados, son lanzados simultáneamente. Sea A el evento "la suma de las caras es impar"' y B, "sale por lo menos una cara 1".
a) Describir los eventos AB, A [J B y AB\
b) Determinar sus probabilidades, suponiendo que todos los puntos del espacio tengan la misma probabilidad.
Solución:a) Descripción de los eventos: AB: "la
suma de las caras es impar y por lo menos una de ellas es 1"; A |J B: “por lo menos sale una cara 1, si la suma ss par, o la suma es impar, si no aparece la cara 1, o la suma es impar y cale la cara 1"; AB': "la suma de las rarcs es impar, pero no aparece la cara 1 .
100 b) Determinación de las probabilidades. En primer término, veamos el número de puntos de cada evento: AB), Combinando la cara 1 de cada dado con las tres caras pares del otro, se obtienen seis puntos. A (J B) El evento A tiene,, obviamente, 18 punios, los cuales son obtenidos combinando las tres caras impares de cada dado con las tres caras pares del otro. El evento B tiene 11 puntos. En realidad, combinando la cara 1 de cada dado con cada una del otro, se obtienen 12, pero en este procedimiento el punto (1,1) se computa dos veces. Ahora bien, como Puntos de (A [J B) = Puntos de A 4- Puntos de B — Puntos de AB, resulta que (A (J B) tiene 18 4- 11 — 6 = veintitrés puntos. AB') Este evento tiene, doce puntos, los cuales son obtenidos combinando las caras 3 y 5 de cada dado, con las caras pares del otro.
Estamos en condiciones de determinar, las probabilidades. En efecto, desde que todos los puntos del espacio tienen la misma probabilidad, 1/36, resulta: P(AB)> = 6/36; PÍA |J B) = 23/36; P(AB') = 12/36.
29 Entre los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, se elige al acaso uno de ellos y luego, inmediatamente, otro. Hallar la probabilidad de. que un dígito impar sea seleccionado:
a) la primera vez;b) la segunda vez;c) ambas veces.
Solución:a) El evento A, "dígito impar en la pri-,
mera elección'", tiene los tres puntos 1, 3, 5, mientras que el espacio de eventos tiene cinco. Así PÍA) = 3/5.
b) El evento B, "dígito impar en la segunda elección"; sus puntos pueden obtenerse del siguiente modo: con número impar ambas veces, hay 6 puntos, pro-, ducto de tres posibilidades primero, por dos después; con número par la primera vez e impar, la segunda, hay otros 6 puntos, producto de dos posibilidades inicia- primero, por dos posibilidades iniciales por tres finales. Luego hay 12 puntos para B. Como los puntos del espacio de eventos se obtienen combinando cada resultado inicial posible, con todas las posibilidades de la segunda elección, se tienen en total 5.4 = 20 puntos. Así, PÍB) = 12/20.
cua-Según el teorema, P(A') = 1 — PÍA) =
------, resultado coinci-95
100100dente.
TEOREMA 4. — La probabilidad de la unión de dos eventos A y B de un mismo espacio, es igual a la suma de la p-oba- bilidades de esos dos eventos, menos la probabilidad de su intersección, esto es: PÍA U B) = PÍA) + PÍB) — PÍAB).
Demostración: Del hecho de que A [J B = A [j A'B, donde A y A'B son eventos mutuamente excluyentes, conforme ilustran la figura 9, se tiene, por el axioma III, PÍA [J B) = PÍA U A'B) = PÍA) 4- PÍA'B).
Pero, por el teorema 2, P(A'B) = PÍB) — PÍAB).
Luego: PÍA [J B) = PÍA) 4- PÍB) — PÍAB).Ejemplo de verificación: Se lanzan si
multáneamente un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra "o cara de la moneda, o cara par del dado, o ambas"?
Indicando "cara de la moneda" por a y "cruz de la moneda" por b, los doce puntos del espacio de eventos pueden ser representados por:
l,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,al,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6,bIndicando por A el evento "sale cara
de la moneda" y por B, "sale cara par del dado", se tiene:
Evento
9
95
100 mu-
P(A') = Probabilidad de que sea de
■ ■ U A,)n-2 •
fe) /
ePuntos Probabilidad
l,a 2,a 3,a 6i A 4,a 5,a 6,a£ 12
62,a 4,a 6,aB 2,b 4,b 6,b 12
2,a 4,a 6,a 3AB 1.a 2,a 3,a12
94,a 5,a 6,aA U B 2,b 4,b 6,b j2
Po: el teorema, P (A (J B) = PÍA) 4- PÍB) — PÍAB).
En efecto: — + — — 1 9
12 12 12 12
fe)— —, que
es PÍA [J B).- 22 - - 23 -
/ :
el evento B/Ai tiene 6 puntos en Ai, que a su vezEste resultado coincide con el antes obtenido.
Entonces, la probabilidad pedida será: HAiBVHAi) = 6/20 : 12/20 = 6/12.
2? ¿Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca después de haber salido bola roja?
a) Los puntos del evento Bi, "bola roja la primera vez", son:
Representando por:A, el evento el primero es un niño",
P(A) = 1/2;B, el evento "el segundo es un niño",
P(B) = 1/2.Se deduce que representando AB el
evento "ambos son niños", que tiene apenas el punto bb, será: P(AB) = 1/4.
Además, A (J B, que repreesnta el evento "por lo menos un niño", tiene la probabilidadPÍAB/A U B) = P(A) -b P(B) — P(AB) ~
= 1/2 + 1/2 — 1/4 = 3/4Consecuentemente, la probabilidad de
que ambos sean varones, sabiendo uno de ellos lo es, será
c) El evento C, "número impar ambas veces". Saliendo un impar la primera vez, quedan dos posibilidades para la segunda; luego se tiene un total de 3.2 = 6 puntos para C en un espacio de 20 puntos, según se ha dicho. Así, P(C) = 6/20.
3. Probabilidad condicional.
Antes de definir probabilidad condicional, es interesante compenetrarse de su significado con algunos problemas.
Una urna contiene cinco bolas numeradas de 1 a 5. La 1 y la 2 son rojas; las demás, blancas. Se extrae una bola al acaso y, sin reponerla, se retira una segunda, también al acaso. Se pregunta:
l9 ¿Cuál es la probabilidad de que, habiendo salido una bola blanca la primera vez, salga una bola roja la segunda?
Para obtener el espacio de eventos, consideremos el experimento de retirar dos bolas de una urna, sin reposición. El número de puntos de ocurrencia de diferentes resultados posibles— está dado por el de arreglos binarios de cinco objetos: Ar„2 = 5 (5 — 2 -f 1) = 20. Esos puntos del espacio de eventos aparecen como los 20 elementos de la matriz
I — 1,2 1,3 1,4 1,52,3 2,4 2,5
I 3,1 3,2 — 3,4 3,5! 4.1 4,2 4,3| 5,1 5,2 5,3 5,4 —
en la que no aparecen los puntos diagonales por cuanto en el experimento des- cripto no hay repetición. De otro modo, los elementos de la matriz son los arreglos binarios, sin repetición, de las cinco cifras dadas.
a) Los puntos pertenecientes al evento Ai' "bola blanca en la primera extracción", son: 3,1; 3,2; 3,4; 3,5; 4,1; 4,2; 4,3; 4,5; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4. Por lo tanto, Ai tiene 12 puntos; luego, P(Ai) = 12/20.
Designando con B al evenio "bola roja una vez", es fácil ver que la intersección AiB tiene solamente los 6 puntos: 3,1; 3,2; 4,1; 4,2; 5,1; 5,2. Por tanto, P(AiB) = 6/20.
b) Entre los 12 puntos del evento Ai existen 6 puntos del evento B, los cuales describen el evento B/Ai, "bola roja la segunda vez, habiéndose extraído una bola blanca en la primera". Por lo tanto,
Pero, por definición:P(AC)/P(C) = P(A/C) y
P(BC)/P(C) = P(B/C)Además: [AC] fBC] = ABC = [AB]C,
y consiguientementeP([AC] (BC])/P(C) = P([AB]C)/P(C) =
= P(AB/C)con lo que por simple sustitución queda demostrada la proposición enunciada.
V) Probar que si A, B y C son tres eventos de un mismo espacio con P(B) > 0, P(C) > 0 y P(BC) > 0, entonces:
P(ABC) = PCA/BC) . P(B/C) . P(C)Demostración: De P(A/X) = P(AX)/P(X),
con X = BC, resulta P(ABC) = P(A/BC) . P(C). Pero, como P(BC) = P(B/C) . P(C), queda demostrada la relación propuesta.. 4. Independencia estadística.
Sean A y B dos eventos de un mismo espacio, con probabilidades diferentes de cero.
DEFINICION': Se dice que A es independiente de B si su probabilidad condicional con respecto a B es igual a su probabilidad no condicional o absoluta,, esto es, si P(A/B) = P(A).
De P(A/B) = P(AB)/P(B) y P(B/A =■ PÍBA/PÍA), como P(BA) = P(AB) se infiere que P(AB) =• P(A/B) . P(B) = P(B/A) . P(A)DI. Si A fuera independiente de B, o sea P(A/B) = P(A), resulta que P(AB) = P(A) . P(B).
Por otra parte, la simetría de 111 muestra que si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. Luego:
DEFINICION: Se dice que dos eventos A y B de un mismo espacio y con probabilidades no nulas, son estadística-, mente independientes si
P(AB) = P(A) . P(B)
tiene 12. Así, P(B/Ai) = 6/12.
— 1,2 [ 1,3 1,4 1,52#i _ [ 2,3 2,4 2,5
queLuego: P(Bi) = 8/20.b) Los seis puntos interiores al rectán
gulo punteado de la matriz precedente que representa el espacio de Bi, constituyen la intersección de este evento con A, "bola blanca una vez". Por tanto: P(AB,) = 6/20.
De allí se desprende también que el evento A/Bi, "ocurrencia de bola blanca después de haber obtenido bola roja", tiene 6 puntos en el subespacio constituido por el evento Bj, que, como se sabe, tiene 8 puntos. En consecuencia:
PÍA/BJ = 6/8Pero también: P(ABi)/P(Bi) = 6/20 :
8/20 = 6/8.Esto establecido, se establece la si
guienteDEFINICION: Sean A y B dos eventos
de un mismo espacio E en el cual está definida una función de probabilidad P(.). La probabilidad condicional P(B/A) del evento B, referida al evento A, está definida por
P(AB)P(AB/A [J B) =P(A [J B)
= 1/4 : 3/4 = 1/3
Problemas teóricos:
I) Probar que P(A/C) = 1 si C C A. Demostración: Si P(A/C) está definida,
entonces P(C) 0. Luego P(A/C) = P(AC)/ P(C); pero como C es un subconjunto de A, todos los puntos de C lo son de AC y por lo tanto P(C) = P(AC).
Siendo así: P(A/C) = P(AC)/P(C) = P(C)/P(C) =1.
II) Probar que P(E/C) = 1, siendo E el evento cierto.
Demostración: Siendo E el evento cierto, todos los puntos de C pertenecen al espacio de E, pues E ocurre, ocurra C o no. De aquí en adelante se sigue el razonamiento del problema anterior.
III) Probar que P(A/C) = 0, si PÍA) = 0. Demostración: Si P(C) = 0, se deduce
que C = 0 y por tanto PÍA/C) no está definida; pero de A = 0, pues PÍA) = 0, se infiere que AC = 0C = 0. Lueao PÍAC) = 0, pues AC es imposible. En consecuencia PÍA/C) = P(AC)/P(C) = 0.
IV) Probar que si A, B y C son eventos de un mismo espacio E y si PÍA U B/C) fuera definida, entoncesPÍA [J B./C) = PÍA/C) + PÍB/C) - PÍAB/C)
Demostración: Como (A [J B) C — = AC [J BC,
FÍA U B/C) = P([A [J B] OmO == PÍAC U BO/PÍC).
Luego: PÍA (J B/C) = P(AC)/P(C) + + PÍBO/PÍC) — PÍCAC] LBCD/PÍC).
!
2,1I
4,5
PÍAB)PÍB/A) = , para PÍA) > 0 ?PÍA)
Para PÍA) = 0, PÍB/A) no está definida.Problema: Luego del nacimiento do
gemelos, se sabe que uno de ellos es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean varones?
Solución: Representando niña con a y niño con b, los casos posibles de nacimientos de gemelos, teniendo en cuenta el orden, son: aa, ab, ba, bb. El espacio de eventos tiene, pues, 4 puntos. Admitiendo que ellos sean igualmente probables, cada uno de ellos tendrá probabilidad 1/4.
Ejemplo: Considérense familias con 3 hijos. Teniendo en cuenta las posibilidades para los dos sexos y el orden de nacimiento, si "a" representa niña y "b", niño, se tiene el siguiente espacio de eventos:
aab aba baa bba bab abb
Supóngase que los 8 puntos de este espacio tengan la misma probabilidad 1/8.
Son eventos de este espacio:A. "la. familia tiene hijos de ambqs
sexos".
aaabbb
—¿25—- 24 -
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i
i
Evento A: "cara impar la primera vez". Los puntos de este evento se obtienen combinando las tres caras impares, posibles en la primera vez, con las seis posibilidades de la segunda. Por tanto, el evento A tiene 3 6 = 18 puntos.
Evento B: "cara impar la segunda vez". Por simples razones de simetría se concluye que el evento B tiene tantos puntos posibles como A; B tiene, pues, 18 puntos.
Evento C: "suma impar": Los puntos de este evento se obtienen combinando las tres caras impares posibles en la primera vez con las tres caras que pueden aparecer en la segunda, y viceversa. Luego C tiene 3. 3 4- 3. 3 = 18 puntos.
Evento AB: "cara impar las dos veces". Se obtienen los puntos de este evento combinando la tres posibilidades de la primera vez con las tres de la segunda. Así AB tiene 9 puntos.
Evento AC: "cara impar la primera vez y suma impar". Combinando las tres posibilidades de cara impar la primera vez con cara par en la segunda, se obtienen 9 puntos para AC.
Evento BC: "cara impar la segunda vez y suma impar". Este caso es simétrico del anterior y tiene, por tanto, el mismo número de puntos. Es decir, BC tiene 9 puntos.
Evento C/A: "suma impar habiendo ocurrido cara impar la primera vez". Sus puntos coinciden con los de AC. Por tanto, C/A tiene 9 puntos. Pero esos 9 puntos deben ser considerados en relación con el subespacio de 18 puntos que se obtiene combinando las tres impares posibles la primera vez, con las seis posibilidades de la segunda. De manera, C/A tiene 9 puntos en 18.
Evento C/B: "suma impar, apareciendo cara impar la segunda vez". Sus puntos coinciden con los de BC, de modo que C/B tiene 9 puntos en 18.
Evento B/A: "cara impar la segunda vez, habiendo aparecido cara impar la primera". B/A tiene obviamiente los mismos puntos que BA. Por consiguiente, en el subespacio de 18 puntos, el evento B/A tiene 9. O sea, B/A tiene 9 puntos en 18.
De modo que:P(A) = P(B) = P(C) = 18/36
aab aba baa P(AB) = P(BC) = P(AC) = 9/36 P(C/A) = P(C/B) = P(B/A) = 9/18 Así:
Resérvase la definición de independencia estadística para los casos en que no hay ningún tipo de interferencia entre los eventos considerados. Por eso, en el caso de tres eventos, se da la siguiente DEFINICION: Se dice que tres eventos A, B y C, con probabilidades diferentes de cero, son estadísticamente independientes cuando son satisfechas simultáneamente todas las siguientes relaciones: P(AB) = P(A) . P(B); P(AC) = P(A) . P(C); P(BC) = P(B) . P(C), P(ABC) = PÍA) . P(B) . P(C).
Análogamente se generaliza esta definición para más de tres eventos, considerando todas sus intersecciones.
P(AC) = 6/8bba bab abb
B. "a lo sumo una criatura es niña", bbb bba bab abb P(B) = 4/8C. "por lo menos una de las criaturas
es niña".
P(AB) = PÍA) . P(B) = 1/4 P(BC) = PÍB) . P(C) = 1/4 P(AC) = PÍA) . PÍB) = 1/4
lo mismo que:aab aba baa PÍC/A) = PÍA) = 1/2
PÍC/B) = P(B) = 1/2 PÍB/A) = PÍA) = 1/2
Conclusión: De lo expuesto se concluye que los eventos A, B y C, que se acaban de examinar, son dos a dos estadísticamente independientes. Entre tanto, los tres no lo son conjuntamente, toda vez que no es posible su ocurrencia simultánea, esto es, "cara impar dos veces con suma impar".
PÍC) 7/8bbb baa bab abbAB. "dos criaturas son del mismo sexo
y a lo sumo una es niña".bba bab abb PÍAB) = 3/8
AC. "la familia tiene por lo menos una niña y como máximo dos".
aab aba baaP(AC) = 6/8
bba bab abb Se observa que: l9 PÍAB) = 3/8 y PÍA) . PÍB) = 6/8
4/8 = 3/8Por lo tanto, A y B son estadísticamen
te independientes.2? PÍAC) = 6/8 y PÍA) . PÍC) = 6/8 .
7/8 = 21/32 £ 6/8 Por lo tanto, A y C no son estadística
mente independientes.En efecto, antes de la ocurrencia de
A, C presenta 7 puntos en el espacio de eventos, de los cuales apenas 6 pueden ser considerados después de ocurrir A. Más explícitamente, el punto de cia aaa pertenece a AC pero no a C/A.
Habiendo ocurrido A, la probabilidad condicional de C es PÍC/A) = PÍAO/PÍA) = 6/8 : 6/8 = 1
Por lo tanto, PÍC/A) es un evento cierto, lo que es obvio pues sabiendo que la familia tiene hijos de ambos sexos"
(ocurrencia de A) es cierto que "tiene por lo menos una niña" (ocurrencia de C).
En el caso de tres eventos, A, B y C, de un mismo espacio, puede acontecer que sean estadísticamente independientes dos a dos, pero que no lo sean los tres conjuntamente. El lanzamiento de un dado dos veces consecutivas proporciona un ejemplo ilustrativo de este hecho.
El espacio asociado a este experimento —o descrito por él— tiene 6 . 6 = 36 puntos de ocurrencia. Suponemos que todos los puntos del espacio tienen la misma probabilidad, 1/36, o que el dado es ideal, pues las dos hipótesis son equivalentes.
(Continuará)
ooo
PROBLEMASocurren-
La compra de tarjetas de navidad. — Juan y Pedro, después de haber sido llevados por sus esposas al atestado comercio para que les ayudaran a elegir tarjetas de Navidad, estaban muy complacidos de haber finalizado sus compras y de poder llegarse hasta un café cercano. Mientras saboreaban el café, se dedicaron a comparar las tarjetas; completamente por casualidad, comprobaron que cada pareja había
prado veinte: Juan había comprado tres más que María y Elena había comprado sólo cuatro.
Pareciera casi fuera de lugar, pero ¿cuál de las dos jóvenes estaba casada con
carascora
esa
Pedro?
Un cuento de gatos. — Los gatos del jardín de la esquina de mi casa comen cada uno 7 ratones; los gatos de la calle deben conformarse con dos. El número total de ratones es 24. ¿Cuántos gatos han participado del ágape?
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CPIM»mS ¥ EXPERIENCIASNos escriben desde Mendoza In medio stat virtur
A los señores editores de ELEMENTOS De mi mayor consideración:
El motivo, al dirigirme a ustedes, es el de responder a la constante preocupación manifestada en lo que hace a la vida de ELEMENTOS y, sin la intención de contestar a conceptos publicados, mostrar otros puntos de vista sobre el momento actual de la enseñanza de la Matemática y la colaboración de vuestra Revista.
que ha sido realmente defraudado? Pienso que no, y que la respuesta hay que buscarla fuera de la Revista, aunque parezca extraño.
En efecto, al querer imponer un cambio en cualquier orden, se inicia siempre una campaña de difusión, de la que conviene estudiar "a priori" su duración aproximada e intensidad, y posteriormente llega la parte ejecutiva, la puesta en acción.
En el caso de la reforma matemática estamos en el primer período, y en él, contribuye ampliamente ELEMENTOS; pero sucede que el profesor ha advertilo ya a través de eila, de conferencias ocasionales, de cursos de verano y de algún otro contacto, la magnitud del problema. Ante él, unos esperan, que si le exigir, le brinden el camino racional para iniciar su preparación, y por tanto es relativo el interés en la lectura de ELEMENTOS, principal mente teniendo en cuenta que los temas matemáticos, no son para leerlos, sino para interpretarlos,- otros en cambio desearían iniciarse, y la orientación la buscan directamente en "temas a enseñar". Son reacciones naturales, inevitables y obedecen a idiosincrasias distintas.
Es probable que ya estemos en la entrada del segundo período, pues salvo apartados lugares de la República, en casi todas partes, de una u otra forma, se ha hecho sentir el de la Matemática Moderna, al quienes han querido oír.
Ya hay resultados de la reforma; los hay en el orden secundario y también primario. Están disipadas, en general, las dudas sobre qué puede aprender un niño y un adolescente,- ya hay material y elemento humano como para analizar qué conviene hacer y cómo, y esto es a mi entender lo que hoy esperan profesores y maestros.
La nueva querella entre ''antiguos'" y "modernos" suscitada por la aparición en la enseñanza, de la matemática llamada "moderna", provoca como siempre muchas controversias, y este artículo tiene por objeto presentar un punto de vista intermedio sobre la cuestión, que por otra parte, creo, es el de muchos colegas. Los ataques contra la matemática nueva son bien conocidos; desde hace algún tiempo ellos han renovado su agudeza, por lo menos con respecto a la enseñanza al nivel de las clases preparatorias. Ciertos colegas, que tienen a mano obras en las que se presenta la noción de espacio afín desde las clases de 2^, se sorprenderán al saber que precisamente sobre una cuestión tal (introducción de la geometría utilizando por primera vez en forma explícita las nociones de especio afín y de espacio proyectivo) fueron más vivas las oposiciones al nuevo programa de las clases preparatorias y condujeron finalmente a la diferenciación entre un progra-
completo A' y otro simplificado A sin estas nociones. Todas las escuelas, salvo la Normal y la Politécnica, se plegaron al programa. A, declarando algunos explícitamente no querer recibir más que un mínimo de candidatos con el programa A', pues ellos tendrían la mente "deformada". Opuestamente, numerosos colegas, como Glaeser*, en reciente artículo, ven a las nuevos tendencias aportar una verdadera revolución en la enseñanza matemática que permite esperar la desaparición de seres ¡ntelectualmente dotados, pero inaptos para la matemática.
las jóvenes generaciones matemáticas criticar el "bour- bakismo de papá".
Esto sentado, juzgo análogas la diferencia entre la presentación tradicional y más o menos "intuitiva" de la geometría y su presentación moderna descripta más arriba, y,.por ejemplo, la diferencia entre la presentación "intuitiva" de la integral en el siglo XVIII y la presentación rigurosa que conocemos. Aunque se pueda discutir "la utilidad" de una presentación rigurosa de la integral, no vemos realmente cómo puede "deformar la mente" e impedir saber calcular "prácticamente" integrales. Para mí, ocurre exactamente lo mismo en lo que respecta a la geometría; no abusamos, por otra parte del vocablo "axiomática": un bourbakista de los más notorios me hacía observar con placer aue era la antigua presentación la más "axiomática", puesto que reposaba en un número mucho mayor de axiomas, aunque a menudo imperfectamente formulados. La nueva geometría es "abstracta", se dirá; pero un solo axioma la vuelve "concreta". Obtengo una descripción satisfactoria de cierto número de propiedades del espacio físico en que vivo, suponiéndolo constituido por elementos llamados punto y considerando al conjunto de tales puntos provistos de una estructura de espacio afín tridimensional orientado en el cuerpo de los reales, con
métrica propiamente euclidíana. Esto admitido, no tengo inconveniente en considerar "esquemas físicos" de algunos entes matemáticos que he estudiado precedentemente, y el hecho de haber definido la orientación del espacio independientemente de todo recurso físico no me impide en absoluto decidir que tal o cual tornillo es "a la derecha" habiendo elegido previamente un modelo físico de triedro directo ideal.
Entiéndase bien, no he removido más quo un aspecto de las críticas de los "antiguos" para mostrar mi desacuerdo. Para no extenderme desmedidamente, desde ahora voy a enfrentarme con los "ultramodernos". Comenzaré por protestar vivamente contra la presentación de ciertas notaciones modernas, como "panacea contra los errores". Si uno se embrolla a menudo en las condiciones necesarias y suficientes, lo es per falta de conocimientos, de memoria, de aptitud para razonar debidamente sobre un problema difícil, ..., y el hecho de suprimir los términos o de reemplazar "entonces" por la flecha de implicación no cambia nada. La falacia "para que la serie U„ converja es suficiente que Un tienda a cero" la he descubierto después muy a nudo en trabajos de alumnos flojos en su forma moderna.- Un-*Oí=; serie (Un) converge. Mi experiencia me hace calificar a estas nuevas notaciones como cómodas en algunos casos, del mismo modo que el signo
en lugar del vocablo "igual". Además, no hay que abusar de ellas; muchas propiedades "formalizadas" se me aparecen como más claras cuando están enunciadas "a la manera antigua", con el mínimo de símbolos. No creo que el alumno que "tropieza" con el signo del trinomio, vea de pronto aclarado el horizonte porque "resolver x2 — 3x -f- 20 ^ O" se ha transformado en "determinar E = [x/xgR, x"-3x !"2gR+]".
Es éste un momento muy especial para el aprendizaje matemático: urge cambiar contenidos y metodología; lo primero cia inmediata del desbordante crecimiento de esta disciplina y lo segundo está íntimamente vinculado a los nuevos conceptos sobre la ducción del pensamiento, de la inteligencia en general, de la percepción, así como también al conocimiento cabal de las distintas instancias psíquicas, de cuya relación depende la armonía espiritual.
Es probable que el profesor viva con cierta inquietud la reforma que, a manera de experiencia, ya está iniciada,- es en todo caso lo angustia inevitable que acompaña a "lo nuevo", tanto mayor, si esto nuevo va a significar, como se deja ver, la ejecución de un verdadero trabajo para lograrlo.
Los esfuerzos realizados en nuestro país hasta el presente, por las instituciones oficiales y privadas, interpreto que sólo tienden a la difusión, y el objetivo es despertar inquietudes ante la realidad que de alguna manera muestran; inquietudes que por ahora, cada cual satisfará en la medida en que su espíritu se lo exija, ya que material existe.
El periodismo tiene la magnífica misión de "comunicarnos", y esa finalidad está ampliamente cumplida por ELEMENTOS, hasta el presente. Se ha cuidado el aspecto científico, tratando de mostrar temas de Matemática Moderna y comentarios psicopedagógicos, se ha mantenido una amplia información del movimiento matemático mundial, y se ha puesto al servicio del lector la bibliografía moderna, depositando así en sus manos las armas para iniciar el trabajo.
¿Por qué esa aparente indiferencia del profesor hacia el único órgano informativo?; ¿es
!es consecuen-
con- van a ma
una
Personalmente, me opongo enérgicamente a estos dos puntos de vísta contrarios y estimo que esas dos opiniones divergentes tienen la misma fuente-, la excesiva importancia acordada a la evolución de la matemática que comprobamos en la actualidad. Es muy humano, en todos los dominios, pensar que "jamás se ha visto esto", decir que "esta vez es diferente". En realidad, ¿no se ha estado ya muchas veces en esta situación en el curso de la larga historia de la matemática? Pensemos en el trastorno introducido por la aparición del cálculo diferencial e integral; si evocamos las nuevas notaciones, comparemos las notaciones clásicas con la de los algebristas del Renacimiento; si evocamos "el más grande rigor", comparemos las series según Euler y según Cauchy,- si hablamos de teorías generales que engloban numerosos problemas tratados antes en formas particulares, miremos a Pascal, Fermat, ... calcular áreas y determinar tangentes, y comparemos con el análisis clásico, pensemos en los numerosos problemas geométricos resueltos "por la analítica" después de Descartes, "por la homografía" después de Poncelet y Chasles, y com-
los tan dispares métodos "elementales".la hora actual el
ecomenos para
me-
La taréa que ustedes realizan es realmente loable, y por lo tanto sólo queda por desearles que encuentren la repercusión indispensable que los estimule para continuar.
Haciendo votos
paremos conEntiéndase bien, no niego que en
rápido, las modificaciones importantes,- i de la aceleración del descubri-
todos los dominios de la ciencia.
para que logren el mejor de los éxitos, me complazco en saludarlos cordialmente.
progreso sea vemos allí un aspecto miento existente en Pero me rehúso a ver en ello una revolución, otra cosa
actual de la evolución continua de laver a
Josefina B. Cosentino Mendoza, 28 de agosto de 1965 que el aspecto
matemática. Y espero vivir bastante tiempo para
- 28— 29 -
!
subsistirán! Para lograr éxito en ella, si no seConfieso mi asombro por la puerilidad do ciertos ejemplos, tales como el de la mola notación 2 + 3 . x citada por Glaeser para decir que la "cabeza para la matemática" resulta inútil si se la modifica. En la elaboración constante del formalismo matemático, malas notaciones pueden introducirse y subsistir algún tiempo,- no so ha esperado a Bourbaki para hacerlas desaparecer. Atribuirles el papel esencial on la incomprensión matemática me parece inadmisible. ¿Qué diría Glaeser si algunos, argumentando notaciones viciosas que emplean los cuantificadores, puestas en evidencia por Lacombc en artículo reciente dijeran que para comprender la matemática moderna hoce falta un "olfato especial?".
Vayamos a lo esencial, la cuestión do la inaptitud para la matemática de algunos alumnos inteligentes. Es una cuestión delicada y compleja, sobre la cual me he inclinado a menudo, habiendo enseñado en todos los niveles, y confieso haberme irritado por el optimismo irreflexivo de los que creen quo bosta cambiar métodos y programos. Que se pueden hacer progresos en esos dominios, nadie lo discute, creo yo. Pero los problemas que se plantean en esta cuestión, están lejos de ser resueltos fácilmente, aún por un "moderno". Pienso, en particular en la enseñanza de la geometría al nivel del segundo ciclo,- los numerosos estudios de Choquet sobre la cuestión, muestran que hay allí un problema difícil. Por otra parte, hay temas como el ostudio del trinomio de segundo grado que no pueden cambiar más que en la presentación. ¿No habrá más necesidad de fórmulas trigonométricas y no habrá siempre alumnos que no las sabrán y que seguirán embrollándose en su empleo? En fin, si ciertas nociones nuevas, tales como los básicas de la teoría de los conjuntes, son fácilmente asimiladas aún por alumnos jóvenes, no se podrá ir muy lejos en este dominio. La dificultad aparece rápido. Me levanto con energía contra la afirmación de que sería mucho más fácil comprender las demostraciones "modernas" o resolver los problemas planteados por el tema. Hay dificultades de todo orden, como antes, y mis alumnos de Matemáticas Especiales, lo comprueban cada día. Tengo, como muchos, un cierto gusto por la paradoja, pero no cuando se trata de cosas serios. Así, continuaré "mordicus" afirmando que, basándome en largos conversaciones con literatos, particularmente con profesores de filosofía, muchos no triunfan en matemática porque carecen de cierto poder de abstracción. Contrariamente a lo que declara Glaeser, numerosos alumnos de 4$, por ejemplo (he enseñado cuatro años en esa dosel, fracasan en la resolución algebraica de problemas, y en particular en el planteo de la ecuación, que es la traducción abstrccta del problema concreto. "Lo que es esencial es la ecuación", pero todavía hace falta llegar a ella, ¿o no se dará más que ecuaciones para resolver? A un nivel más elevado, confieso haber sido completamente incapaz de hacer comprender a un colega de filosofía —interesado en la noción de número—, la definición correcto de Q a partir de Z como conjunto cociente. Si ella está ahora en al programa de Matemáticas Elementales, no pienso que pueda descender más y estimo que numerosos alumnos no son capaces de asimilarla, aquéllos justamente que no tienen su lugar en Matemáticas Elementales. Sin embargo, un alumno de la escuela primaria comprende muy bien, y en la inmensa mayoría de los casos ciertamente sin zozobra, qué son los de una torta o de un capital. Verdaderamente, para hacer "más fácil" la matemática volviéndola "más abstracta", ¿se quiere hablarle de conjunto cociente o prohibirlo 3¿? ,
¡Hay muchas otras causas de fracaso en matemática
queestá excepcionalmente dotado, hocen falta bueno; profesores; la matemática es difícil de enseñar y, a m¡ criterio, seguirá siéndolo. Es necesario decir claramente que siempre ha habido, y habrá todavía por mucho tiempo, profesores, aún muy dedicados, aún de elevado nivel de conocimientos, que no saben hacer comprender bien y amar la matemática a sus alumnos. Pues, con seguridad, hay que amar la matemática para lograr éxito en ella, y los gustos no se mandan. Si ciertos aspectos de la matemática moderna son muy atrayentes, otros ¿no son más repelentes? Entro mis alumnos los opiniones están muy repartidas: uno se complace con el álgebra moderna, otro se regocija con un difícil ejercicio sobre series, un tercero —pero sí— es muy feliz al hacer "una bella demostración geométrica como antes".
CRONICANuestro PaísLucienne Félix en3.—¿En qué nivel de la enseñanza de-
la reforma? ¿Con que con-En la primera quincena de agosto estu- Buenos Aires la profesora francesa be comenzar
tenido“El niño, desde que nace, desde que to- conocimiento de los objetos, comien
za a pensar científicamente; por eso, desde entonces, se lo debe ayudar y, por tanto, el trabajo esencial debe comenzar en el jardín de infantes. Desde entonces hasta su egreso de la universidad se debe realizar una tarea coordinada”.
4. —¿Se han determinado las bases psi- copedagógicas de la reforma que se preconiza?
vo en _Lucienne Félix, conocida especialista en didáctica de la matemática moderna. Realizaba una gira por distintos países sudamericanos respondiendo a una invitación de su gobierno. Procedente de Chile, pronunció conferencias en Mendoza, San Luis y Córdoba, sobre temas de su especialidad, y luego en Buenos Aires y Rosario. Estas últimas disertaciones fueron organizadas por el Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas y auspiciadas por la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, el Centro Internacional de Estudios Pedagógicos y el Consejo Cultural y de Cooperación Técnica de la Embajada de Francia.,La profesora Félix puso término a su actuación en nuestro país ofreciendo el 13 de agosto una conferencia de prensa en la sede del Consejo citado. En esa oportunidad, contestó así a las siguientes preguntas que le formulamos:
— ¿Qué debe entenderse por matemática moderna?“Los grandes problemas de la matemática estaban circunscritos a los sabios y, en general, no eran tratados ni por los aium-
ni por los profesores; estaban limita- exigua “élite”. Hoy, el lenguaje
vuelto más accesible y
ma
Para triunfar en matemática, si no se está excepcionalmente dotado, hace falta consagrarle tiempo y ¡cuántas actividades solicitan a nuestros jóvenes! Hace falta recordar numerosas propiedades; hace falta que los conocimientos necesarios acudan a la mente en el preciso instante deseado. Hace falta una atención sostenida para evitar los tan frecuentes errores de cálculo,- hace falta saber plegarse al formalismo riguroso sin ninguna fantasía. El alumno que a cada paso escriba horrores o bien como V (a2 + b2) = a + b puede ser un espíritu brillante y haber comprendido perfectamente que eso no es cierto, pero no ha prestado atención o 'o he olvidado. No puede triunfar en matemática. ¿Y qué decir de la intuición, de la "idea" de investigar en esa vía que va a revelarse fecunda más que en tal orra tan natural, facultad misteriosa que adquirirá cada vez más importancia a medida que se e'eve el nivel de los estudios?
En conclusión, pienso que existe una variación continua de las aptitudes para tener éxito en matemática; que esas aptitudes están lejos de estar vinculadas con las necesarias para triunfar en otros actividades intelectuales y que, para las aptitudes medias, el valor de los profesores, el esfuerzo, el tiempo consagrado a la matemática tienen mucho más importancia que los cambios de métodos y de programas. Por eso, finalmente, me parece no probada, y por lo mismo peligrosa, !a afirmación de que el número de fracasos en matemática disminuirá de año en año. Es el gran tema de los artículos de "vulgarización de la matemática moderna" en los periódicos científicos. Es, por la crítica a menudo injusta de la "matemática de papá", ofrecer a los padres y a los alumnos una explicación simplista de los fracasos, muy cómoda para el espíritu. Como cuencia, es el impulso de numerosos alumnos hacia estudios para los cuales no son aptos, una prima a la facilidad y a la falta de trabajo, y la preparación de amargas desilusiones. Y es, finalmente, hacer un flaco servicio, creo, a la nueva matemática querer imponerle esa tarea imposible, la de abrirse con provecho y sin esfuerzo notable a todas las inteligencias.
“Se ha estudiado al niño detenidamente tiene conciencia de ciertas normas
cuando no se las hayay sepedagógicas, aún . establecido rigurosamente. Pero la luz proviene de los grandes matemáticos; basta
los niños para advertir el éxi- obtener en ese sentido, muchos alumnos, infor-
trabaiar con to que se puede Tanto es así quemados de los nuevos contenidos, preguntan por qué no se los había enseñado antes, ya que ellos aprenden más rápido y fácilmente. Las dificultades tradicionales de la matemática provienen de los métodos arcaicos y hasta oscuros empleados en su enseñanza. Además, se dece evitar el uso de un material único; en cada situación es preciso encontrar lo que más convenga a los alumnos mediante una conti-
experimentación. Todo Idogmatismo . evitado. En mis clases hago todo
lo que puedo. Debo trasmitir un pensamiento estructurado y si me hace falta no vacilo en recurrir a un lenguaje que no es estrictamente matemático. Me ayudo con objetos .esquemas, colores. Creo que no se enseña a enseñar, aunque también entiendo que el intercambio de experiencias y métodos puede dar resultados positivos”.
5. — ¿Qué grado de aceptación tiene la reforma de la enseñanza de la matemática entre los profesores secundarios? ¿Y en la universidad? ¿Y entre las autoridades educativas?
“No se encontrarán inconvenientes ni en el nivel inicial ni en la universidad; maestros y especialistas tienen formación adecuada para impartir la enseñanza debida. No ocurre otro tanto con los niveles intermedios; aquí las formaciones de los docentes son muy variadas y crean un obstáculo serio; probablemente sea el único, pero es común a todos los países. En la universidad la transferencia a la matemá-
(Sigue en pág. 34)
1.
nosdos a una matemático se ha esclarece tanto a la asignatura como a su enseñanza, permitiendo distinguir lo principal de lo accesorio. -Se han acortado las distancias entre los alumnos y los temas que se les enseñan. Se sabe expresar ahora conceptos desconocidos en un pasado no muy distante. Antes el alumno debía tratar estructuras cuyo significado se le escapaba; hoy no sólo las comprende, sino que logra explicarlas porque está en posesión de un lenguaje común que expresa las ideascon precisión y sencillez”.2.—¿Considera que la revolución actual de la matemática es más importante que la del siglo XVII?“No se puede hablar con propiedad de una revolución y, por otra parte, la comparación no es posible; desde los griegos, el progreso de la matemática es continuo y constante, y tanto los descubrimientos del siglo XVII como los de nuestro tiempo,
muy importantes. La diferencia podría consistir en que en el siglo XVH el conocimiento estaba restringido a la “élite” citada, en tanto que en la época actual, las necesidades sociales han provocado una difusión urgente y enorme de la disciplina”.
nua debe ser
conse-
Jacques BOUTELOUP (Lycée Cornellle, Rouen)
.* El Prof. Bouteloup se refiere a la conferencia de G. Glae- scr, profesor do la Facultad de Ciencias de Rennes, Francia, sobre "La evolución reciente de la pedagogía de la matemática" publicada en Bulletin de la A.P.M. de abril-mayo 1964. Más adolante, se referirá también a unas notas de D. Lccombo, de la Facultad do Ciencias de Lille, Francia, sobre el simbolismo matemática, aparecidas en el mismo Bulletin, Nros. 239/40. Por su parte, la opinión de Boufeloup apareció en el N9 248, do abril del año en curso (N. de los E.)
sonj
31 -- 30 -
i
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rrientes, Nacional de B. Blanca, Normal N9 1 de Rosario. "En general -expresa- los programas proyectados no pueden completarse, originando un desplazamiento de temas de ler. año a 29 y de éste a 39. Salvo una lentitud en el cálculo, especialmente con racionales, no se observan dificultades de asimilación. Los alumnos trabajan bien, con entusiasmo y con una actitud positiva frente a una situación planteada. El desarrollo de los nuevos programas va acompañado, sin excepción, de una adecuada conducción del aprendizaje, donde la participación creadora del alumno es primordial. Los cuatro profesores que iniciaron la experiencia en 1963 gozan de una adscripción que les permite dedicarse exclusivamente a la atención de los cursos de ensayo. En general, los docentes seleccionados para esta tarea demuestran gran dedicación, entusiasmo y capacidad, y tratan de superar dificultades como la falta de textos para los alumnos. Si los resultados obtenidos al presente pueden estimarse en sí satisfactorios, la influencia de esta experiencia educativa sobre todo el profesorado de matemática es extraordinaria". 3) Se alude a la preparación deficiente de los alum-
que egresan de la escuela primaria y a la necesidad de no descuidar la formación de los maestros normales. 4) Se propone (Piaña) la prosecución de las reuniones semanales para estudio y discusión de los nuevos programas, ya realizadas en el lapso 1963-65, que podrían contar con los auspicios de la C.N.E.M. Sólo se accede a estimar que "es útil proseguir esas reuniones de seminario", sin llegar a auspiciarlas. 5) Se propone (Piaña) la preparación de un "test" que abarque los conceptos fundamentales de la primera etapa del ensayo —ciclo básico—, concebido no sólo para valorar los conocimientos adquiridos, sino también la capacidad de razonamiento y la aptitud matemática de los alumnos de los cursos experimentales* en comparación con las de los que, en los mismos establecimientos, siguen con los programas vigentes. Se dispone encargar su confección a los mismos profesores del sayo, en colaboración con la Dra. Repetto. ó) Se toma nota de la realización de la próxima Conferencia Interamericana sobre Educación Matemática y del pedido de sus organizadores de indicación de su posible sede. 7) Se dispone encargar a la subcomisión de Profesorado y Perfeccionamiento Docente la preparación de una encuesta entre los'catedráticos de matemática de los institutos del profesorado. 8)
Se propone la realización de una reunión de directores de las secciones de Matemática de dichos institutos. 9) Se informa sobre la próxima reunión de la U.M.A. en Carlos Paz (Córdoba) entre el 10 y el 12 de octubre próximos, para tratar el tema "Matemática para ingenieros y físicos".
Reunión del 31 de agosto de 1965
Asisten: Babini, Vólker, Piaña, Repetto, San- taló, Varsavsky, Galán, Castagnino, Martínez de Murguía.
Asuntos tratados: 1) Ante una nota de la Subsecretaría de Educación que expresa el interés de la Secretaría de Marina por vincularse con la Comisión, se resuelve hacer saber al Sr. Subsecretario que la Comisión vería con agrado la concurrencia de un representante de dicha Secretaría a sus reuniones. 2) Al darse cuenta de algunos expedientes entrados, se observa la falta de la providencia de pase firmada por el Sr. Director General de Enseñanza, por lo que se devuelven para el cumplimiento de esa formaildad. 3) Se toma conocimiento de que los cursos de perfeccionamiento que, auspiciados por la Comisión, se dictarán en Rosario (Santa Fe), se llevarán a cabo, el de Geometría, a cargo de la Prof. Elena Décima, a partir del 3 de septiembre, y el de Algebra, a cargo del Ing. Roger O. Mascó, desde el 4 del mismo mes. No se decide enviar representante a las inauguraciones. 4) Se toma conocimiento, sin entrar a considerarlos, de los programas elaborados por Santaló y Varsavsky (’), para ser aplicados en los cursos de 49 año, comercial y magisterio, con las divisiones que continúan el ensayo. 5) Se dispone encomendar a ¡o subcomisión de Programas la preparación de "una nómina de temas que podrían incluirse en los programas vigentes, mientras se concluye el estudio de los programas definitivos". (2). Al aludirse a un anteproyecto de "programa por unidades' para el ciclo básico, preparado por el Servicio Nacional de la Enseñanza Privada, se’resuelve girarlo a la subcomisión respectiva, sin entrar a considerarlo. 6) Se toma conocimiento de la colaboración del Dr. Jorge P. Staricco para dictar un cursillo de Probabilidades y Estadística (3), "con vistas a su incorporación en la enseñanza secundaria", que se dictaría en el local de la Sociedad Científica Argentina. Se encomienda a Secretaría convenir los detalles de su organización y remitir invitaciones a los profesores que están a cargo del ensayo de los nuevos programas.
IMFOltMACION —------—La labor de C. N. E. M.
Constitución de la Comisión Asuntos tratados: 11 Se aprueba el Reglamento Interno. 2) Se integran las subcomisiones: Difusión (Scarfiello, Galán, Babini), Ensayos (Piaña, Santaló, Hernández), Interdiscipli- nas (Martínez de Murguía, Scarfiello, Hernández, Castagnino), Programas (Varsavsky* Santaló, Repetto, Martínez de Murguía, Galán, Piaña, Vólker), Profesorado y Perfeccionamiento Docente (Repetto, Castagnino, González Domínguez, Vólker), Publicaciones (González Domínguez, Varsavsky, Babini, Galán). 3) Se faculta a la Presidencia la elección de la sede de la Comisión. 4) Se propone la creación de la biblioteca de la Comisión. 5) Al tratar sobre los cursos de perfeccionamiento para profesores, se alude a la proliferación de institutos del profesorado faltos del debido control. 6) Como la Comisión se desentiende de la redacción de los programas para 4? año comercial
El 6 de julio de 19ó5, en el local de la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior, el Ministro de Educación y Justicia de la Nación, Dr. ALCO- NADA ARAMBURÚ, con la presencia del Subsecretario de Educación, Prof. DURAND. y del Director General de Enseñanza, Dr. MARTÍNEZ GRANADOS, puso en posesión de sus cargos a los doce miembros de la C.N.E.M., nueve de ellos —Dr. Luis A. SANTALÓ, Dr. Alberto GONZÁLEZ DOMÍNGUEZ, Ing. José BABINI, Dr. Oscar VARSAVSKY, Ing. Mario A. CASTAGNINO, Dra. Celina REPETTO, Prof. Roberto HERNÁNDEZ, Prof. Hellmut R. VÓLKER y Prof. Afilio PIAÑA —designados por el art. 3? de la Resolución Ministerial N9 1166/64— y los otros tres —Ing. Roque SCARFIELLO, Ing. Julián A. MARTÍNEZ DE MURGUIA y Prof. Elvira de la Quintana de GALÁN— como representantes de la Facultad de Ingeniería de Bs. Aires, el Consejo Nacional de Educación Técnica y el Servicio Nacional de la Enseñanza Privada, según el Art. 49 de la mencionada Resolución Ministerial.
En esa oportunidad, constituida la Comisión, se procedió a elegir sus autoridades: Presidente, J. Babini; Vicepresidente, H. R. Vólker; Secretario, A. Piaña; Prosecretario, R. Hernández.
Reunión del 20jde julio de 1965
Asisten: Babini, Vólker, Piaña, Hernández, Castagnino, Repetto, Santaló, Martínez de Murguía, Galán, González Domínguez.
nosy ma
gisterio, necesarios para continuar el ensayo dispuesto por la Resolución Ministerial Número 2418/63, Santaló y Varsavasky se ofrecen para ocuparse personalmente de la tarea. 7) Se resuelve auspiciar la realización de dos para profesores en Rosario, organizados por el C.N.I.C. y T.* y dirigidos por el Ing. Castagnino. 8) Se resuelve auspiciar conferencias a cargo de Lucienne Félix, invitada por el gobierno francés a realizar una gira por Sud- américa.
cursos
Reunión del 3 de agosto de 1965
Asisten: Babini, Vólker, Piaña, González Domínguez, Repetto, Santaló, Galán, Castagnino, Martínez de Murguía.
Asuntos Tratados: 1) La Presidencia informa haber establecido como sede provisoria el local de la D.G.E.S.N.E.S., Azcuénaga 1234, Bs. Aires. 2) Piaña informa sobre la marcha actual del ensayo de los nuevos programas según R. M. 2418/63, que se está llevando a cabo en cursos de los establecimientos siguientes: Normal N94 de Capital, Normal de Bánfield, Nacional de Adrogué, Comercial de Témperley, Normal N9 10 de Capital* Instituto del Profesorado de Lenguas Vivas, Normal de Maestros de Co-
;
(*) En un número anterior (N9 9, pág. 84) anunciamos la creación de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, dispuesta por la Resolución Ministerial N9 1166/64* hecho al que también nos referimos en nuestro editorial del mismo número (págs. 59/60); hoy complacemos en comenzar a informar sobre la labor de dicha Comisión, que acaba de constituirse.
en
nos
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(2) La demora en la aparición del presente- número de ELEMENTOS nos permite adelantar el despacho de la subcomisión de programas, aprobado en la reunión de la C.N.E.M. del 19 de octubre de 1965, que transcribimos más adelante.(•■*) El cursillo mencionado se desarrolla los viernes a partir del 24 de setiembre con el siguiente programa:
I. Naciones de Estadística Metodológica. El método estadítsico. Registros. Presentación de observaciones. Histogramas. Parámetros característicos de una distribución de frecuencias. Aplicaciones. Medidas de posiciones, dispersiones y asimetrías. Significado de cada palabra-, media aritfé- tica, cuartil, decil, etc.
II. Introducción al Cálculo de probabilidades. Definición clásica de Laplace. Problemas simples. Frecuencia relativa y probabilidad. Introducción al método axiomático. Probabilidad condicionada. Teorema de Tchebicheff. Ejemplos en que puede utilizarse. Empleo de la teoría de los conjuntos.
III. Pruebas repetidas. Abundancia de problemas. Binomio de Newton. Valor más probable. Nociones sobre variables aleatorias. Esperanza matemática. Dispersión. Idea sobre distribución binomial. Aplicación estadística. Intervalo de ‘Confianza. Curva de Gauss. Tablas de valores. Porcentajes. Números y gráficos. Variables aleatorias discretas. Datos. Parámetros para estadística. Álgebra de Boole.
Instrucciones para el desarrollo de
los programas del Ciclo Básico
(') Estos programas son los siguientes*. Magisterio: 1. Números complejos. Definición por pares de números reales. Operaciones elementales.
2. La función y —• ax2 4* bx + c, de coeficientes reales,* representación gráfica. La ecuación ax2 -r bx 4* c = 0. Interpretación gráfica de las raíces; fórmulas para calcularlas. Relaciones entre raíces y coeficientes. Aplicaciones .
3. Funciones elementales,- familiarizarse con sus propiedades aritméticas, gráficos y tablas. Logaritmos decimales. Cambios de base. Cálculo logarítmico. Regla de cálculo y uso del papel logarítmico.
4. Geometría analítica de cónicas reducidas a sus ejes: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
5. Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas.
6. Aritmética comercial. Capitalizaciones y amortizaciones. Uso de tablas.Comercial. El mismo programa anterior, pero dando mayor extensión a las bolillas 3, 5 y 6. .Esta última comprenderá distintos tipos de amortizaciones y descuentos, con uso de máquinas de calcular y de tablas para interés compuesto.
Nota: Además se propone que la parte de Probabilidades y Estadística, tanto en el Magisterio como en el Comercial, pase íntegramente a 59 año, dándose con relativa amplitud, si bien con programas distintos: en el Comercial se referirá más a cuestiones comerciales
. y seguros, y en el Magisterio ,a la estadística de "test" y ensayos pedagógicos .
Como es de conocimiento de los señores profesores de la materia, el Ministerio de Educación y Justicia ha creado la COMISIÓN NACIONAL PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA.
Uno de sus objetivos es la actualización de los programas de esta asignatura en el ciclo secundario. Dada la complejidad del problema, y hasta tanto se estudien las reformas de fondo, ha estimado conveniente la introducción de algunos temas nuevos, con el propósito de estimular una participación de los docentes y familiarizarlos con el tratamiento de aspectos que se consideran fundamentales.
Al mismo tiempo, sin modificar los contenidos generales de los programas vigentes, se procura favorecer una actitud del profesor acorde con una moderna conducción del aprendizaje y con la mayor o menor importancia que debe asignar a temas tradicionales.
Cabe señalar que las presentes instrucciones complementan las que figuran en "Planes y Programas" pág. 61 y 62, cuya vigencia se ratifica.
Observación general para todos los años: La geometría, la aritmética y el álgebra son aspectos de una sola disciplina, que es la matemática. En consecuencia, si bien se mantendrá la separación establecida en los programas vigentes, se procurará señalar, siempre que se presente ocasión, las relaciones mutuas entre estos aspectos. Al estudiar geometría se darán ejercicios en que se utilice la aritmética o el álgebra y, recíprocamente. estas partes se ¡lustrarán lo más posible con ejemplos geométricos. De esta se mantendrán siempre activos los conceptos fundamentales que no deben olvidarse.
Indicaciones: Se trata de una introducción intuitiva. El uso de los símbolos y el lenguaje de conjuntos se aplicará durante el desarrollo de todo el programa, tanto en aritmética como en geometría, cada vez que la ocasión sea propicia, ya sea para definir nuevos conceptos como para destacar las propiedades de los conjuntos con los que se trabaja: números naturales, enteros, racionales, múltiplos o divisores, de puntos, rectas, segmentos, ángulos, triángulos, etc.
El tema a) es previo al desarrollo del programa de primer año. Sin darle una extensión exagerada, se presentarán muchos ejemplos que tengan una interpretación clara para los alumnos tomados de la vida de relación. El uso de representaciones gráficas puede facilitar el aprendizaje de los conceptos y el manejo de los símbolos. Las propiedades de las operaciones con conjuntos se irán estableciendo a medida que se apliquen a las operaciones que se estudien con números naturales, segmentos o ángulos.
Es importante que el profesor tenga presente —aunque no sea motivo de estudio en este curso— las propiedades que confieren una estructura a los conjuntos de que se trata.
b) Numeración binaria.Indicaciones*. Este tema se incorporará a la
bolilla I, como ejemplo de sistema de numeración no decimal, de importancia creciente por sus aplicaciones en las modernas computadoras. Por otra parte, el manejo de otro sistema ayuda a la comprensión de las propiedades del que manejan habitualmente. Suele interesar a los alumnos por su novedad y muchos profesores ya lo han incorporado a sus clases.
El estudio y manejo de las tablas para las operaciones de adición y multiplicación puede dar origen a observaciones interesantes.
(Viene de la pág. 31)tica moderna se ha realizado en casi todas partes; los profesores universitarios exigen una buena preparación actualizada de los estudiantes secundarios. En la escuela secundaria se introdujo la matemática moderna en las clases superiores, ‘descendiendo", y en las inferiores, "ascendiendo", pero aún no se ha logrado la unión. Aquí los profesores no están suficientemente preparados. Por eso, las autoridades educativas tienen que ayudarlos a completar su formación. Es, repito, un problema común a todos los países".
6. — ¿Qué otras dificultades encuentra el proceso de renovación en su aplicación a la escuela secundaria?
"La dificultad no reside en los alumnos menores, porque a edad temprana se los puede despertar y encaminar; así lo en-
go haciendo en mis clases desde hace unos quince años. Con los de 13 años todo va bien, pero con alumnos mayores, de 18 años, la cuestión se vuelve más difícil, porque ignoran lo que debieran conocer. No obstante se observan progresos: las clases pilotos se multiplican. Lo he observado en Rosario, donde se hacen cosas admirables en escuelas pobres. Una dificultad real es el temor de los profesores de suprimir los enunciados tradicionales, sin interés e inútilmente pesados. Se está logrando dominar ese temor".
?•!—¿Qué aconsejaría a los encargados de promover la reforma en nuestro país?
‘Discutir, leer, ensayar. Confrontar observaciones con las de los demás y pedir ayuda. Que los jefes tengan coraje. No apresurar una reforma sin suficiente ela-
(Sigue en pág. 42)
manera
PRIMER AÑO
I) TEMAS NUEVOSa) Noción de conjunto y elemento; perte
nencia e inclusión,* unión e intersección de conjuntos.
II) NORMAS PARA GEOMETRÍA
susSe destinarán dos de las cinco o seis horas
semanales. Apelar —en cuanto sea posible— al descubrimiento intuitivo de las propiedades que se estudien, estimulando la participación(*) Aprobadas por la C.N.E.M. el 19 de octubre de 1965.
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del tiempo disponible y la preparación del so, cuáles propiedades serán introducidas por |a vía intuitiva y cuáles serán objeto de demostración lógica rigurosa; pero en todo los casos se orientará al alumno en el descubrimiento de la relación que se busca, mediante preguntas graduadas, verificaciones particulares o el empleo de material concreto. Se estima fundamental una adecuada ejerci- tación donde se apliquen e integren las propiedades estudiadas o donde se puedan descubrir otras mediante razonamientos sencillos. Por la economía de tiempo que supone, timulará la demostración oral de propiedades que los alumnos puedan hacer por sí mismos, pero se insiste en el uso apropiado del lenguaje y en el orden lógico de las cadenas deductivas. Ya se ha señalado la utilidad del empleo de las nociones de conjuntos ya vistas, al estudiar las propiedades de los cuadriláteros y paralelogramos, en particular intersección e inclusión.
tante concepto de función como caso particular de relación entre conjuntos que aplica a cada elemento del dominio uno y sólo uno del contradominio. Ejemplos tomados de la vida cotidiana, numéricos y geométricos (transformaciones): la función que hace corresponder a cada alumno de la clase su padre; a cada alumno el número de su cédula de identidad; a cada número natural el siguiente; a cada entero o racional su duplo; a cada carta el franqueo según su peso; a cada longitud del radio la longitud de la circunferencia correspondiente; etc. Se construirán gráficas de temperaturas, de cotizaciones y conversión de monedas, de población, de exportaciones, de producción, etc.
El concepto de ecuación surge al encarar el problema de determinar el elemento o punto del dominio cuando se conoce su imagen en el contradominio. Estas nociones se aplicarán al tratar con más detalle la bolila Vil.
lelogramos es muy útil utilizar la inclusión y la intersección de clases y los llamados diagramas de Venn.
Para introducir e concepto de relación se empelarán ejemplos extraídos del ámbito familiar al alumno ("Tiene como padre a"...), además de Tos numéricos ("divide a", "menor o igual que"...) y geométricos (paralelismo, igualdad de área...). Se acompañará con el uso de gráficos y tablas.
Se insiste en que este capítulo es sólo una introducción muy elemental y no debe exagerarse. su extensión (aproximadamente dos semanas). Importa capacitar al alumno en el uso apropiado de los conceptos nuevos en el aprendizaje posterior.
b) Decimales y potencias de diez (la llamada notación científica).
Indicaciones: Este tema se incorporará al capítulo de decimales. Se trata de habituar al alumno en la interpretación y manejo de expresiones del tipo de:
3,5 X 10*° ; 10-scm., etc.c) La función lineal (y = k.x) y la propor
cionalidad directa.La función (x.y = k) y la proporcionalidad
inversa. Empleo de gráficos.Indicaciones: Este tema se incorpora al ca
pítulo de magnitudes directas e inversamente proporcionales y será la base del estudio de los problemas de regla de tres. La noción de función deberá surgir naturalmente como correspondencia entre elementos de dos conjuntos. El tipo de problema de este capítulo se presta para iniciar a los alumnos en esta importante noción. El empleo de tablas y los correspondientes gráficos serán auxiliares poderosos.
d) Transformaciones del plano en sí mismo: traslaciones, rotaciones y simetrías respecto de un punto o un eje (reflexiones).
Indicaciones: Se trata de una ampliación del capítulo II del programa vigente, que ya tiene simetría central y axial, pero foque más moderno. Puede utilizarse quema de su contenido el consignado en la pág. 15 de la Circular N9 14/64.
II) NORMAS ESPECIALES PARA GEOMETRÍA
Son las mismas ya señaladas para el programa de 1er. año.
Se reitera que sólo se demostrarán los teoremas más importantes.
Corresponde al profesor establecer, dentro
curativa y creadora de los alumnos. Ello no supone eliminar la demostración de todos los teoremas y mucho menos descuidar el razonamiento deductivo, pero se suprimirán las •demostraciones de propiedades evidentes para el alumno. La ejercitación será abundante, bien seleccionada, tal que integre los conocimientos adquiridos. Algunas cadenas deductivas podrán hacerse oralmente, con gran economía de tiempo, cuidando siempre el uso apropiado del vocabulario y los términos definidos.
El uso de material concreto (varillas, plegados, etc.) con criterio dinámico y relacio- nal, resulta un valioso auxiliar didáctico que desnierta gran interés.
una
ya sea
se es-
III) NORMAS PARA ARITMÉTICA
Los ejercicios de aritmética deben ser sencillos y bien seleccionados. No hacer de la habilidad operatoria de cálculos complicados (especialmente con racionales) el objetivo de la enseñanza. Las reglas y recetas pueden crear hábitos, pero no ayudan al razonamiento. En cambio, la presentación de problemas que configuren situaciones donde el alumno puerta desarrollar Sus facultades de observar, ción, análisis, búsqueda y razonamiento, contribuirá a uñ cambio de actitud también en los alumnos ál vérse estimulados a una permanente actividad creadora. La recitación de teoremas aprendidos de memoria y la copia proliia de ejercicios hechos en clase por el profesor carecen en absoluto de interés.
Para el año lectivo 1966, teniendo en cuenta que los alumnos no han visto, por lo general, nociones sobre conjuntos, el profesor deberá extremar su habilidad para encarar, en la forma más sucinta posible, sobre la base de claros ejemplos, los conceptos y manejos de los símbolos más indispensables. A fin de no extender demasiado la duración de este capítulo el profesor podrá introducir naturalmente los conceptos nuevos sobre conjuntos al desarrollar los temas del programa que por su naturaleza lo permitan.
b) Conjuntos definidos por inecuaciones. Inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones lineales con una y dos incógnitas. Representaciones gráficas.
Indicaciones: Este capítulo se incorpora a las bolillas Vil y VIII según se trate de inecuaciones o sistemas de inecuaciones respectivamente. Se trata de la determinación y representación gráfica del conjunto solución de expresiones del tipo:
x < — 2; 3x-2^5x + 8; 3x-7y>0;— y — 3 > 0
— 2y + 3 < 0 [y — 3 < 0
III) NORMAS ESPECIALES PARA ARITMÉTICA
Si bien la seguridad en los cálculos es necesaria, no debe hacerse de la habilidad operatoria el único objetivo, descuidando la resolución de problemas bien seleccionados que respondan a necesidades de la vida de relación. El programa de aritmética de 2? año se presta a una simplificación en su tratamiento si se tiene en cuenta esta norma: no perder el tiempo en problemas que jamás se presentan, como muchos de regla de tres compuesta, mezcla, interés, descuento, (vencimiento común y medio).SEGUNDO AÑO
Familiarizar al alumno en el manejo de tablas para el cálculo de intereses y descuentos a las tasas corrientes. De ser posible, —sobre todo en las Escuelas de Comercio— uso de las máquinas usuales de calcular.
1) TEMAS NUEVOS
al Revisión de las nociones sobre conjuntos vistas en 1er. año. Concepto de par ordenado. Relaciones entre conjuntos: equivalencia y orden,- ejemplos.
Indicaciones: Se trata de una ampliación cíclica de los conocimientos adquiridos en el curso anterior, salvo para el año lectivo 1966, en el que se limitará al contenido señalado para ler. año.
No se pide incorporar esta bolilla al comienzo del programa para abandonarla después, sino para aprovechar sus conceptos, sus símbolos y su lenguaje en el desarrollo posterior cada vez que la naturaleza del tema lo permita. Por ejemplo, al estudiar cuadriláteros y para-
con- con un en
como es-
TERCER AÑO
£2x — 5y < 0I) TEMAS NUEVOS
|x -f 5y — 1 >0 Este tema se presta para aplicar los con
ceptos de intervalos abiertos y cerrados, de conjunto solución y de intersección de conjuntos (rectas y semiplanos) para el caso de sistemas de ecuaciones e inecuaciones.
El capítulo que se incorpora tiene especial importancia por sus aplicaciones en modernas
a) Revisión del concepto de relación. Noción de función. Funciones dadas por tablas, por gráficos y por fórmulas. Noción de funciones inversas y. de ecuación. Conjuntos definidos por ecuaciones.
Indicaciones: Se trata de una aplicación cíclica de lo tratado en el curso anterior/ con vistas a un estudio más detallado del impor-
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Es importante señalar la propiedad distributiva del producto escalar (A + B).C A.CB)2 = A- + 2.A.B + B-, que equivale al teorema del coseno y al teorema de Pitágoras s¡ A y B son perpendiculares.
Aplicaciones:
a) Propiedades del paralelogramos y diagonales.
b) Base media de un triángulo.c) Baricentro de un triángulo.En cuanto a la ubicación de este capítulo
en el programa de Geometría se establece:Las nociones de trigonometría que figuran
como último tema del programa pasan a constituir la bolilla III, luego de triángulos semejantes. Vectores pasará a ser el tema IV. siguiéndole polígonos semejantes y los restantes capítulos del programa vigente. Se suprime el tema V (cuadrado del lado opuesto a un ángulo de un triángulo) porque su contenido pasa a ser una aplicación del producto escalar de vectores. La construcción del segmento medio proporcional se agrega como ejercicio al tema IV, de manera que el número total de bolillas del programa se mantiene en 9.
La ubicación de trigonometría y vectores al comienzo del programa permite aprovechar sus aplicaciones en el desarrollo posterior (proyecciones de segmentos sobre un eje, relación pitagórica, cuadrado del lado opuesto ángulo de un triángulo, cálculo de apotemas de polígonos regulares, etc.). Por otra parte facilita la necesaria correlación con la asignatura Física (Elementos de F. y Q.).
II) NORMAS ESPECIALES PARA ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
Se establece como norma general emplear ejemplos sencillos en la ejercitación correspondiente a operaciones con expresiones algebraicas y factoreo. Mayor énfasis en la resolución de problemas de primer grado con una y dos incógnitas mediante ecuaciones.
NOTA DE LOS EDITORES: Con fecha 16 de noviembre de 1965, por Resolución Ministerial N? 1772, el Ministro de Educación y Justicia de la Nación ha aprobado las modificaciones y las normas e instrucciones precedentes, disponiendo su aplicación a partir de 1966 en el Ciclo Básico Común y el Primer Ciclo de las Escuelas Nacionales de Comercio.
teorías de economía matemática como la programación lineal. Para más detalles, dentro de la bibliografía citada en circulares anteriores, puede consutarse: "Introducción a las Matemáticas Finitas'" de Kemeny, Snell y Thompson. Cap. 6.
bl Vectores en el plano. Equivalencia de vectores. Producto de un vector por un escalar. Adición y sustracción de vectores. Descomposición de un vector según dos direcciones. Producto escalar de vectores. Propiedad distributiva del producto escalar. Algunas aplicaciones de los vectores a la geometría plana.
Indicaciones: Se trata de una introducción intuitiva. Los vectores son segmentos orientados y los primeros ejemplos provienen de la física (fuerza, velocidades) y de la geometría (traslaciones).
Dos vectores son equivalentes si tienen igual módulo, dirección y sentido (relación de equivalencia).
A los números reales se los llama escalares.El producto a A de un escalar a por un
vector A es otro vector cuyo módulo es el producto del módulo de A por el escalar a,- la dirección es la misma de A y el sentido también el mismo de A, si el escalar a es positivo, y el opuesto si el escalar a es negativo.
El producto de A per —1 es el vector— A que se llama opuesto de A.
La adición A -f-B se define por la diagonal del paralelogramo construido sobre A y B o, lo que es lo mismo, como resultado de llevar B a continuación de A. Aplicar esta definición al caso de la suma de traslaciones.
La diferencia A — B es igual a la suma de A más — B. Definir la suma y diferencia de varios vectores.
Fijados en el plano dos vectores I, J de distinta dirección, todo vector A puede descomponerse en la forma A = a, I + a2 J, que suele llamarse la descomposición de A respecto de la base I, J. Los escalares ai, a? se llaman las componentes del vector A en la base I, J.
El producto escalar a.b. eos <x, siendo a el módulo de A, b el módulo de B y a el ángulo formado por los dos vectores, medido entre 0 y 180 grados: A . B = a.b.
Dos vectores son perpendiculares si ducto escalar es nulo.
B.C.. Consecuencia de ella es (A -|-
sus
Ally J. WASHINGTON, Basic Technical Mathe- matics with Calculus. ADDISON-WESLEY; Reading, 1964.
ginal inglés — "The growth of basic mathe- matical and scientific concepts in children" (El desarrollo de los conceptos científicos y matemáticos básicos en los niños)— es de 1961; la edición española, de 1962. Estas fechas, empero, dan una idea de su actualidad; las referencias bibliográficas que acompañan o cada capítulo lo corroboran.
Su autor es catedrático de Psicología de la Educación en la Universidad de Leeds (Inglaterra). Es él mismo quien nos aclara que "éste no es un libro acerca de los métodos de enseñanza como tales", sino que "pretende estimular a investigadores y docentes a reflexionar sobre las actividades a que se entregan en su enseñanza". Sigue las huellas de la escuela de Ginebra, de Piaget e Inhelder —su prologuista—, a cuya "clarividencia sobre las etapas de evolución del pensamiento infantil" rinde "cálido tributo", apoyándose en los resultados de "unos siete mil experimentos" realizados bajo su dirección.
El primer capítulo está dedicado a analizar el proceso de la "formación del concepto" en general primero, y con referencia a la matemática, después,- cita especialmente la opinión de Dienes en este terreno. Enseguida se trata el problema de los fundamentos lógicos de la matemática, "antes de poder discutir los diferentes procedimientos didácticos de la asignatura" Justamente, los dos capítulos siguientes, 3? y 49, se dedican a los métodos de enseñanza de los conceptos numéricos. Entre otros, se describen, con tal motivo, los materiales de Cuisenaire-Gattegno y de Dienes y se exponen las opiniones de Piaget relacionadas con la cuestión.
Luego se tratan sucesivamente los conceptos de materia (Cap. V), peso (Cap. VI) y tiempo- (Cap. Vil), que no son estrictamente matemáticos, lo que hace discutible el nombre asignado a la obra en su versión española, también en este aspecto.
Este texto está destinado principalmente a estudiantes y graduados de disciplinas técnicas. Su propósito ha sido desarrollar los aspectos prácticos de la matemática más necesarios para el campo al cual va dirigido. Por tanto, este libro, atiende fundamentalmente al desarrollo de la aptitud para encarar y resolver problemas evitando las demostraciones rigurosas. El texto es completo en cuanto a los temas tratados y cubre bien las necesidades de consulta que se presentan con mayor frecuencia desde el álgebra elemental y la trigonometría hasta el cálculo diferencial e integral, incluyendo capítulos sobre serie de funciones y series de Fourier, y ecuaciones diferenciales elementales. Asimismo presenta un breve capítulo de introducción a la estadística, un apéndice sobre cálculo aproximado, otro sobre la regla de cálculo y las tablas habituales.
La obra desarrolla numerosos ejercicios y problemas y presenta otros similares sin resolver, figurando al finalizar la misma los resultados de los problemas impares. La yoría de los problemas de aplicación se relacionan con los estudios de electricidad. La presentación de la obra es excelente y contiene
obra ade-
a un
ma-
?
numerosos gráficos. En suma, una cuada para aquellos estudiantes que, luego de sus clases teóricas deben recurrir a varios textos para desarrollar las aplicaciones de los temas requeridos. Aquí hallarán reunidos la mayoría de esos temas y podrán aclarar dudas con cierta facilidad, pues el tratamiento es elemental y didáctico.
sus
:
Juan A. Foncubertaeos oc. su pro- IC LOVELL, Didáctica de las Matemáticas. Sus
bases psicológicas. Ediciones Morata; Madrid, 1962.
No es una obra recién aparecida: el ori-■
l
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mero posible de lectores, sin temer exponer largamente lo que pueda parecer evidente a| matemático experto, evitando así ahuyentar al neófito.
El concepto de espacio y los conceptos métricos asociados —longitud, área y volumen—, constituyen los objetivos de los capítulos 8, y 10. Es notoria y persistente la influencia del pensamiento de Piageí y su escuela en todos ellos.
El autor ha adelantado en el prefacio las razones de la inclusión del penúltimo capítulo, dedicado al estudio somero del sistema numérico: su eficacia como ejemplo del proceso de generalización en matemática y la necesidad del conocimiento del tema por parte de todo aquél que se dedique a su enseñanza. Esto vuelve a recordarnos que la obra comentada está dirigida a la erseñanza primaria, sobre todo.
Los comentarios finales son de valor didáctico; las conclusiones con que se cierran merecen meditarse: "El pensamiento lógico es el utensilio más poderoso de que el hombre dispone para enfrentarse con el mundo físico. Desgraciadamente los hombres poseen en muy diversos grados la capacidad para ese tipo de pensamiento y muchos de ellos parecen poseerla en un grado muy bajo. Sin embargo, hasta que las operaciones mentales no se desarrollan y coordinan, como resultado de la actividad y la experiencia, el individuo no puede comprender el medio que le rodea ni hacerse cargo de la realidad circundante. No podemos, por tanto, "enseñar" a los niños el número, la longitud o el tiempo como verdades aisladas de su contexto vital. Finalmente, cuando el pensamiento lógico tiene portancia para el hombre, no es conveniente sobrestimar su capacidad de aplicación a las situaciones reales".
Michel QUEYSANDE: Algébre (M. G. P. etSpéciales A). LIBRAIRIE ARMAND COLIN; París, 1964.
Este libro corresponde a la sección matemática de la colección U, que la conocida editorial francesa dedica a los estudiantes d los primeros años de la enseñanza científica superior, pero que igualmente puede proporcionar instrumentos de trabajo cómodos a científicos y técnicos en general, y sobre todo puede ser útil a los profesores secundarios que quieran mantenerse al día en la evolución de la disciplina que enseñan. La referida sección está dirigida por André Revuz y se orienta hacia una exposición accesible al mayor nú-
valores y vectores propios de un endomorfismo y la reducción de sus matrices (cap. XIV) y a las formas bilineales simétricas y las hermi- tianas (cap. XV). Seleccionados ejemplos y ejercicios acompañan a cada parágrafo ticular y a cada capítulo en general.
El autor se ha preocupado especialmente por buscar un equilibrio entre las exigencias didácticas de un "curso" y las normas de sistematización de un "libro"; pero recuerda que "la comprensión total de una obra matemática exige frecuentes retornos a temas expuestos antes". Nosotros recordaríamos a Revuz: "Se recomienda leer con el lápiz en la do se quiere profundizar el conocimiento de una obra.- para una obra matemática regla absoluta; no respetarla es perder el tiempo". Aquí estamos frente a una obra que exige inexorablemente ese esfuerzo, sobre todo porque se trata de temas con Tos que podemos no estar suficientemente familiarizados si nuestra formación no es muy reciente.
Si al valioso, extenso y ordenado contenido del libro agregamos su cuidada presentación, no podemos retacear nuestro elogio por el esfuerzo editorial y su acertada dirección, ni dejar de recomendar su lectura, especialmente a quienes les preocupa el perfeccionamiento docente, tanto propio como ajeno.
partir la enseñanza de la matemática falla en la mayoría de los casos porque existe una diferencia fundamental entre la adquisición de una técnica y la comprensión de las ¡deas fundamentales, y como, en general, se presta más atención al primer aspecto que al segundo, sólo se logra una apariencia de conocimiento, nunca el conocimiento cabal". Al referirse al aspecto didáctico sostiene que "la técnica más ampliamente difundida en la enseñanza de la matemática —y nosotros diríamos que en la enseñanza en general— es la lección en el aula en la que el maestro actúa como fuente de información autoritaria en la que el "cómo se hace" es trasmitido a los alumnos por el proceso conocido como enseñanza". Pero esta trasmisión no funciona bien porque hace caso omiso de la auténtica comprensión y todo el sistema, por consiguiente, resulta ser un vehículo inadecuado.
En lo que se refiere al aspecto psicológico propiamente dicho, Dinnes señala que apenas ahora estamos comenzando a comprender la mecánica del pensamiento abstracto e indica los principales temas en que está progresando la investigación: diferencias individuales en la formación de ¡deas abstractas y variaciones en el mismo individuo a medida que va creciendo; detalles del mecanismo del proceso de abstracción; el problema de la motivación. Estos temas son minuciosamente analizados a lo largo del libro que comentamos y su consulta se hace imperiosa por su moderna información y la ingeniosa investigación de soluciones.
Esta segunda edición se completa con un apéndice sobre "escalares, vectores y matrices". Por nuestra parte hacemos lo propio con este comentario reproduciendo textualmente al autor: "Al abandonar el aprendizaje matemático formal se cometerán errores y pasarán algunos años antes de descubrir cuál es la "mejor mezcla matemática", si es que hay alguna. Cierta rigidez puede derivar rápidamente de cualquier clase de aparato, cuando uno se vuelve adicto a él. Debemos preguntarnos cuáles son los efectos de largo alcance, tanto como sus ventajas inmediatas. También importa no perder de vista la unidad del pensamiento matemático. Cuando se planea un conjunto de experiencias matemáticas, una cualquiera puede tener repercusión en el aprendizaje de conceptos en ramas diferentes de la disciplina y sus efectos no ser observados hasta mucho tiempo, acaso años, después de la experiencia". El lector dirá si es oportuna esta mención.
I
Su autor, egresado de la famosa Escuela Normal Superior y veterano profesor de temáticas especiales en liceos de su país, ejerce la docencia en la Facultad de Ciencias de París. En colaboración con A. Delachet, publicó hace una década el tomito "L'Algébre Moderne" de la colección: "Que sais-je?" de PUF. Para la redacción de la obra que comentamos, confiesa haber consultado particularmente obras y cursos recientes de Chevalley, Choquet, Dixmer, Dubreil, Godement, Linchne- rowicz, Pisot y Zamansky, sin olvidar el deradá libro de Van der Waarden básica para todos los estudios desde la fecha de
en par-ma-
mano cuan-
pon- —"obra
matemáticos su aparición", según Santaló
en el apéndice de "Matemática moderna, matemática viva"— que Quesaynne estima "sigue siendo el tratado de álgebra más pese a su reducido tamaño".
Esta formidable nómina de las fuentes no excluye —bourbakista al fin, también él— al tratado fundamental de N. Bourbaki que "naturalmente, no es accesible directamente a los estudiantes", pero del que debe decir que "en veinte años de enseñanza, cuando he encontrado dificultades en la elección de una noción aceptable, o de una definición, o de un término, ha sido siempre en él donde hallé !a respuesta". Consideramos conveniente dar estas informaciones bibliográficas para ubicar mejor al lector de este comentario en la actualidad de la obra de Quesaynne y en lacorriente de pensamiento matemático que la fecunda.
es una
nos
completo,
Zoltan P. DIENES: Building up Mathematics. HUTCHINSON EDUCATIONAL LTD. London, 1964. (2nd. edition).
aun tanta im-
:.
Los problemas psicopedagógicos de la matemática han adquirido especial relevancia en nuestro tiempo. El especialista húngaro Zoltan P. Dienes, actualmente en la universidad de Adelaida (Australia) ha procurado esclarecer estas cuestiones en sus difundidos libros —a otro de los cuales ya nos hemos referido en ELEMENTOS, año II. pág. 25—, además de gozar de merecido prestigio por su labor experimental en los diversos centros en que actúa. Justamente, este libro es considerado como "la mejor introducción" a sus puntos de vista y como de lectura obligada.
El autor comienza por esbozar panorámica- la situación actual, para luego desa
rrollar una teoría del aprendizaje de la temática y ocuparse de la formación de los conceptos matemáticos, hasta llegar al de función. Afirma que "el sistema actual para ¡m-
Se trata de cuyo frondoso pa en can a
un volumen de 600 páginas -- y apretado contenido se agru-
15 capítulos. Los tres primeros se dedi- las nociones fundamentales —conjuntos,
aplicaciones, relaciones, números naturales, leyes de composición— w aplicación inmediata. Elturas fundamentales —grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales— y de los números complejos, comprende los capítulos cuarto al séptimo, inclusives. Ya en este último comienza el álgebra lineal que prosigue con matrices (cap. VIH)/ determinantes (cap. IX) y ecuaciones lineales (cap. X). Por otro lado se estudian los polinomios (cap. XI), las fracciones racionales (cap. XII) y las ecuaciones algebraicas (cap. XIII). La ultima parte del libro se dedica a los
:
sin preocuparse por su estudio de las estruc-e
mentema-
- 40 - 41
:
SríH SSSHo en 000 docentes, & Quienes no se puede transformar en cinco o diez anos. En Escandinava, con países más pequeños y de sistema cooperativo, se puede avanzar más ráoido En México se esta trabajando muy hien ñero no se puede decir que todo marche ’En Brasil, el grupo GEEM cubre prácticamente todas las grandes ciudades.
(Viene de la pág. 34)boración previa por parte de los docentes. Si esto falla, los resultados serán malos y se perderá lo bueno que podría haberse logrado”.
8: — ¿En qué países ha avanzado el movimiento de reforma? ¿Qué perspectivas advierte para ei futuro?
“Perspectivas muy optimistas, sin creer que se podrá concluir la tarea en dos o
Noticias;1
i1 panameño, 1 salvadoreño y 3 venezolanos.
5. El mismo PIMEC ha organizado un nuevo curso para enero, febrero y marzo próximos, también en Montevideo. Constará de dos partes principales sobre Estructuras algebraicas y Algebra lineal, y tres cursillos sobre Algebra de Boole, Teoría de Galois y Aplicaciones de álgebra lineal.
6. Durante el presente año lectivo se están ensayando los nuevos programas en divisiones de 1?, 29 y 3er. años de las Escuelas Normal N9 10, de la Capital, Normal N9 1 de Rosario, Normal de Maestras de Corrientes y de Comercio de Temperley, así como en los Colegios Nacionales de Adrogué y de Bahía Blanca y en el Instituto Nacional del Profesorado de Lenguas Vivas de la Capital, todos establecimientos dependientes del Ministerio de Educación y Justicia de la Nación.
7. Con la supervisión de la Dirección General de Enseñanza Secundaria, Normal, Especial y Superior se han organizado cursos de perfeccionamiento a cargo de los profesores: Eusebio Sastre, en Santo Tomé (Corrientes); Leopoldo Varela, en Lincoln (Buenos Aires), y Arrigo Ludati y Francisco Maldonado, en San Juan.
1. Profesores secundarios de matemática asistieron al cursillo sobre "Elementos de programación Fortram" que desarrolló en Mendoza, con el auspicio de la Universidad Tecnológica Nacional, el Ing. E. Lauría.
2. El 23 de agosto disertó en Mendoza sobre "La Matemática en el mundo de hoy", el Dr. Luis A. Santaló. Esta conferencia formó parte de las actividades llevadas a cabo en las provincias de Cuyo por los integrantes de la delegación enviada por la Academia Nacional de Ciencias y la Universidad Nacional de Buenos Aires, con propósitos de divulgación
:::!O O O
HEMOS RECIBIDO:T. M. APOSTOL: Matemática Básica para Técnicos. (Vol. I, Introducción, con vectores y geometrío
analítica). REVERTÉ; Barcelona, 1965.B. LEIGHTON WEllMAN: Geometría Descriptiva: REVERTÉ; Barcelona, 1964.J. BLAQUIER - M. L. CAPPA de CAMPI: Elementos de Cálculo de Funciones con varias variables
y Geometría Analítica. CENTRO ESTUDIANTES DE INGENIERIA; Bs. Aires, 1963.E. R. GENTILE: Espacios vectoriales. C.E.D.Q,; Buenos Aires, 1965.G. E. OWEN: Fundamentáis of Scientific Mathematics. THE JOHNS HOPKINS PRESS; Balti
more, 1961.P. ABELLANAS CEBOLLERO y colaboradores: Apuntes de 'Matemática Moderna. Dirección General
de Enseñanza Media; Madrid, 1963.G. SARTON: Historia de la ciencia. La ciencia antigua durante la edad do oro griega. Vol. I.
EUDEBA; Buenos Aires, 1965.F. CERNUSCHI - S. CODINA: Panorama de la astronomía moderna. Unión Panamericana;
Washington, 1965.A. DELACHET: La Géométrie Analytique. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; Paris, 1963.R. TATON: Le Calcul Mental. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; Paris, 1961. (3e. éd.).J. KLEIN - G. REEB: Formules commentées de mathématiques. (Programme M.P.C.). GAUTHIER-
VILLARS; Paris, 1964.Associafion des Professeurs de Mathématiques (APM): Bulletin, mars 1965. Bulletin, avrll 1965. F. BELLO - G. A. W. BOEHM - L. LESSING: La ciencia al día. Grandes científicos norteamerica
nos. HOBBS-SUDAMERICANA; Buenos Aires; 1965.A. HUXLEY: Literatura
científica.3. En Córdoba, en la Escuela Normal "A.
Carbó", se está dictando un cursillo para profesores de matemática de ese establecimiento, en el que se comenta el programa proyectado
29 año por la Subcomisión Argentina de
í
para la CIEM.
4. Para el curso dedicado a profesores universitarios de matemática que, organizado por el PIMEC, ha comenzado a dictarse en septiembre en Montevideo (Uruguay), fueron seleccionados 7 profesores argentinos, 7 brasileños, 3 bolivianos, 4 colombianos, 1 costarri-
5 chilenos, 2 ecuatorianos, 2 guatemaltecos, 2 mejicanos, 3 peruanos, 1 paraguayo,
i
y Ciencia. SUDAMERICANA; Buenos Aires, 1964.
cense,i
EL TRATADO DE ECHTERNACHSe ha denominado así a la aprobación, el 2 de junio pasado, por G. CHO-
QUET y J. D1EUDONNE, en Echternach (Luxemburgo), del texto de A. REVUZ aceptado en la reunión última de la CIEMEN en Ravena (Italia), en abril pasado, que reproducimos en el número precedente de ELEMENTOS. En esta oportunidad se celebraba en dicha ciudad luxemburguesa, con los auspicios del Ministerio de Educción Nacional de ese país, una reunión de la CIEM, actualmente presida por A. LICHNEROWICZ. A esta reunión concurrieron, además de los citados, otros destacados matemáticos europeos, como: H. Behnke, H. G. Steiner, A. Kirsch, G. Pickert y A. Engel, de Alemania; W. Serváis, G. Papy y A. Debhaut, de Bélgica; L.N.H. Bunt, de Holanda; P. Foehr y A. Gló- den, de Luxemburgo; A. Delessert y J. de Siebenthal, de Suiza; C. Bréard y C.Pisot, de Francia. El tema de la reunión de Echternach fue: “Las repercusiones de la investigación matemática en la enseñanza”.
Antes se decía: "No hay más ciencia la del número". Ahora se podría
en su(Viene de la pág. 20)
quedecir que todo pensamiento lógico, aspecto moderno, utiliza la matemática, reconocidas, se impone organizar el estudio según esas estructuras consideradas por sí mismas y por sus aplicaciones.
Pero sería muy insuficiente concluir pensando sólo en la matemática: la visión conjuntista y el álgebra de Boole, la concepción de las relaciones de equivalencia y de orden, los gráficos y esquemas, las nociones de operación, vecindad y continuidad, son las bases
bien dirigido, cuando los conocimientos particulares son suficientes para proporcionar modelos a las estructuras bien de todo estudio científico; la matemática se anexa dominios cada vez más extendidos que invaden todas las ciencias y las artes. En particular, el álgebra de Boole y la topología son esenciales cada
que se quiera sacar partido de un número de informaciones —proba-
sociales, lingüística,
!t
vezI gran bilidad, cienciasetc.—.
43 -- 42 -
:
Correo de ELEMENTOS iYA ESTAMOS
TRABAJANDO
PARA SU
FUTURO
Editores
José Banfi — Alfredo B. Besio
Buenos Aires (Argentina)Fernández Blanco 2045
nuestros esfuerzos por regularizar suEl tercer año de ELEMENTOS se inicia con el cambio que ya habrán advertido nuestros lectores: la Revista pasa a ser trimestral. Procuramos de esa manera disminuir los costos y mantener el precio de suscripción. Además, incrementamos proporcionalmente el número de páginas. Por eso, en cuanto se refiere a las suscripciones, mantendremos la misma fecha de vencimiento.
El deseo de no retardar más la aparición del número anterior, nos impidió comunicar a nuestros lectores la incorporación de un nuevo corresponsal, el Prof. Enrique EILBAO, de San Juan, cuya colaboración estimamos ha de ser muy valiosa. Asimismo, hoy nos complacemos en informar la designación del señor. Raúl FERNANDEZ CALVO como corresponsal viajero en la provincia de Entre Ríos, quien ya nos ha dado prueba de su adhesión a ELEMENTOS.
porqueaparición son insuficientes. La razón fundamental es que el siempre escaso número de suscriptores nos obliga a buscar otros recursos para mantenerla, con la consiguiente pérdida de tiempo.
Divulgación social de la matemática (Sr. José Ramón Viso, Buenos Aires). Hemos recibido muy complacidos su interesantísimo trabajo y esperamos poder ocuparnos próximamente de la cuestión planteada.
Aclaraciones sobre artículos de Piaget, Mer- klen y Papy (Sr. Eusebio Sastre, Paso de los Libres). En los tres casos hemos tenido
dedicados a esas carcas, que significan una cuantiosa inversión anual de casi cien millones de dólares.Este intenso esfuerzo empresario y científico, mira al futuro de los niños
extendiendo los beneficios de todos
Cuando este niño sea hombre y po- automóvil, cuando utilice un
cualquier otra maquinaria su trabajo, el adelanto de la téc
nica exigirá para entonces nuevos combustibles, lubricantes y productos químicos derivados del petróleo, que pueden ser totalmente desconocidos hoyAdelantándose a las necesidades del
mañana, la organización mundial de SHELL estudia y experimenta
miles de elementos y estar a tono
sea un tractor o para
cons-cantcmcntc con nuevos procesos, para con las exigencias del progreso. En 21 centros de investigación diseminados en varios países, unos 6.000 técnicos y hombres de ciencia de la organización SHELL
de hoy,la investigación de SHELL a los países en que actúan sus empre-. sas asociadas.
\
se encuentranque
comoajustarnos a los respectivos originales y, se comprende, no podemos hacer agregados de la naturaleza que Ud. sugiere. En el artículo de Merklen, las expresiones simbólicas aludidas debieron aparecer dos renglones más arriba, precediendo a la aclaración correspondiente.
Enseñanza del sistema métrico (Sra. Noemí E. de Delía, General Belgrano). Creemos interpretar su consulta remitiéndola al capítulo VIII de la Aritmética para 2? año del ciclo básico, que los editores de ELEMENTOS, en colaboración con Félix Mina, publicáramos en 1946, con el sello de Librería del Colegio. No excluimos la posibilidad de ocuparnos más pijamente del tema en su conjunto.
al servicio del país.do superaciónMedio siglo
__ DE: CENTRAL C1ECH VARSOV'A - POLONIA
REPRESENTANTES
ERRATA NOTABLE:En nuestro último número, póg. 143, en la
transcripción del editorial de "La Nación" debe leerse "estudios universitarios" en lugar de "estudios secundarios", como apareció por error.
Atraso casi crónico de ELEMENTOS (Sra. Juana T. de Sosa, Corrientes,- Sr. Alfredo J. Cossi, Baradero). La Revista llega con atraso
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Al Prof. Florencio D. JAIME, la mención que hace de ELEMENTOS en su artículo "Una revolución en la matemática y su impacto en la enseñanza', aparecido en Selecciones Pedagógicas, año I N9 2.
A LA VOZ DEL INTERIOR, de Córdoba, su amable comentario del 7 de junio ppdo. sobre ELEMENTOS.
Al Boletín de Informaciones del PIMEC, su comentario bibliográfico sobre ELEMENTOS publicado en su número inicial.
Al Boletín de Informaciones del C.N.I.C. y T., su información sobre el subsidio acordado a ELEMENTOS, publicado en el N9 31, de julio corriente.
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