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I polinomiDef.: Si chiama polinomio ogni somma algebrica di monomi.
Esempi:
Sono polinomi:π + 5π; 3π₯) β 2ππ₯ + 7; 2ππ¦/ + 4π)π₯ β ππ¦/
Non sono polinomi:)23β 1, 678
6
β’ 0 oltre che monomio nullo, Γ¨ considerato anche polinomio nullo.
β’ Ogni monomio puΓ² essere visto come la somma algebrica di se stesso con il monomio nullo: ππ)π = ππ)π + 0Quindi ogni monomio Γ¨ un polinomio.
β’ I monomi che compongono un polinomio si dicono anche termini del polinomio.
La riduzione a forma normaleUn polinomio puΓ² anche contenere monomi simili:
6π<π) β 3π/π= + 2π<π)
In tal caso si sommano i monomi simili. Il polinomio che si ottiene,
8π<π) β 3π/π=
si dice ridotto a forma normale.
β’ Due polinomi ridotti a forma normale, e non nulli, sono uguali quando i monomi del primo polinomio sono uguali ai monomi del secondo polinomio, indipendentemente dallβordine con cui sono scritti.
β’ I polinomi ridotti a forma normale con 1,2,3 e 4 termini si chiamano rispettivamente monomi, binomi, trinomi e quadrinomi.
Esempi:Esempio 1:
8π₯/π¦ + π₯)π¦) β 3π₯< Γ¨ un polinomio ridotto a forma normale.
Esempio 2:
3π) β ?)ππ + )
=π) e +)
=π) + 3π) β ?
)ππ sono due polinomi uguali.
Esempio 3:
π) β 3ππ= Γ¨ un binomio;2π/ β π) + 4π + 1 Γ¨ un quadrinomio.
Il grado di un polinomio ridottoDef.: Si chiama grado di un polinomio ridotto il grado maggiore fra i gradi dei suoi termini.
Inoltre il grado di un polinomio rispetto a una lettera Γ¨ il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.
Esempio:
6π<π) β 3π/π= + 2π)π
Γ¨ un polinomio di grado 8. il grado rispetto ad a Γ¨ 4, rispetto a b Γ¨ 5.
Esempio:
2π< β π)π β 2π< β 6ππ
non Γ¨ un polinomio di quarto grado poichΓ© riducendolo diventa
βπ)π β 6ππ
dunque Γ¨ un polinomio di terzo grado.
Polinomio omogeneo
Un polinomio ridotto Γ¨ omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo sesso grado.
Esempio:
8π₯/π¦ + π₯)π¦) β 3π₯<
Γ¨ un polinomio omogeneo in quanto tutti i termini che lo compongono sono di quarto grado.
Esempio:
8π₯/π¦ + 1
non Γ¨ un polinomio omogeneo
Polinomio ordinatoUn polinomio Γ¨ ordinato rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella
lettera sono in ordine crescente o decrescente.Esempio:
3π₯< + 7π₯) β π₯
Γ¨ un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x
Esempio:
β5π/π + π)π) β 3ππ<
Γ¨ un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di a e anche secondo le potenze crescenti di b
Esempio:
6ππ) + 8π)π/ β π=π
Γ¨ un polinomio ordinato rispetto alla lettera a ma non lo Γ¨ rispetto alla lettera b
Polinomio completoUn polinomio Γ¨ completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte
le potenze , dal grado massimo fino al grado 0.
Il termine di grado 0 di un polinomio, ossia quello in cui non compare nessuna lettera, viene detto termine noto.
Esempio:
2π/ β π) + 4π + 1
Γ¨ un polinomio completo. Infatti la lettera a Γ¨ presente dal grado 3 al grado 0 . Il termine noto Γ¨ 1
Le operazioni con i polinomi.Lβaddizione.
La somma di due polinomi Γ¨ un polinomio che per termini tutti i termini dei polinomi addendi.
Esempio:
5π₯/ + 6π₯) β 3 + 7 β 2π₯ + 4π₯) β 6π₯/ == 5π₯/ + 6π₯) β 3 + 7 β 2π₯ + 4π₯) β 6π₯/ =
Il polinomio somma, in generale non Γ¨ ridotto, si riducono pertanto i monomi simili:
= βπ₯/ + 10π₯) β 2π₯ + 4
Cambiando il segno a tutti i termini di un polinomio, si ottiene il polinomio opposto.La somma di due polinomi opposti Γ¨ 0.
Esempio:
Lβopposto del polinomio 3π₯) + 2π) β 1 Γ¨ β3π₯) β 2π) + 1
La sottrazione
La differenza di due polinomi Γ¨ un polinomio che si ottiene addizionando al primo (minuendo) lβopposto del secondo (sottraendo)
Esempio:
3π/ + 3π)π + 5π) β 5π< + 3π)π β π) == 3π/ + 3π)π + 5π) + β5π< β 3π)π + π) == 3π/ + 3π)π + 5π) β 5π< β 3π)π + π) =
= 3π/ + 6π) β 5π<
La moltiplicazione di un monomio per un polinomio
Il prodotto di un monomio per un polinomio Γ¨ un polinomio che ha come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio dato
Esempio:
β12π
/ @ π) + 2ππ = β12π
/π) β12π
/2ππ = β12π
= β π<π
La moltiplicazione di due polinomiIl prodotto di due polinomi Γ¨ un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del
primo polinomio per ogni termine del secondo e addizionando tutti i prodotti ottenuti.
Esempio :
πππ β π πππ β π + π == πππ πππ β π + π β π πππ β π + π == πππ β πππ + πππ β πππ + ππ β ππ =
= πππ β πππ + πππ β ππ
Il grado del polinomio prodotto Γ¨ la somma dei gradi dei polinomi fattori.
Prodotti notevoli
Un prodotto tra polinomi Γ¨ notevole quando Γ¨ possibile scrivere il risultato senza passaggi intermedi utilizzando una formula.
I prodotti notevoli sono:
β’ Somma di due monomi per la loro differenzaβ’ Quadrato di un binomioβ’ Quadrato di un trinomioβ’ Cubo di un binomio
Somma di due monomi per la loro differenza
Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza Γ¨ il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo e il quadrato del secondo.
π + π π β π = ππ β ππ
Esempio 1:
3π + 5π/ 3π β 5π/ = 3π ) β 5π/ ) = 9π) β 25πI
Esempio 2:
β1 β12π₯
/ β12π₯
/ + 1 = β12π₯
/ + 1 β12π₯
/ β 1 = β12π₯
/)β 1 ) =
14π₯
I β 1
Quadrato di un binomio
il quadrato di un binomio Γ¨ un trinomio che ha per termini il quadrato del primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato del secondo
π + π π = ππ + πππ + ππ
Esempio 1:
2π₯ + π¦ ) = 2π₯ ) + 2 @ 2π₯ @ π¦ + π¦ ) = 4π₯) + 4π₯π¦ + π¦)
Esempio 2:
π/ β 3 ) = π/ ) + 2 @ π/ @ β3 + β3 ) = πI β 6π/ + 9Osservazione importatnte:
Così come il quadrato di un numero è il prodotto del numero per se stesso, allo stesso modo il quadrato di un binomio è il prodotto del binomio per se stesso:
2π₯ + π¦ ) = 2π₯ + π¦ 2π₯ + π¦ = 4π₯) + 2π₯π¦ + 2π₯π¦ + π¦) = 4π₯) + 4π₯π¦ + π¦)
π/ β 3 ) = π/ β 3 π/ β 3 = πI β 3π/ β 3π/ + 9 = πI β 6π/ + 9
Quadrato di un trinomio
Il quadrato di un trinomio Γ¨ un polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.
π + π + π π = ππ + ππ + ππ + πππ + πππ + πππ
Esempio :
3π β π β 2π ) == 3π ) + βπ ) + β2π ) + 2 3π βπ + 2 3π β2π + 2 βπ β2π= 9π) + π) + 4π) β 6ππ β 12ππ + 4ππ
Cubo di un binomio
Il cubo di un binomio Γ¨ un quadrinomio che per termini il cubo del primo termine, il triplo del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo del primo termine per il quadrato
del secondo , il cubo del secondo termine.π + π π = ππ + ππππ + ππππ + ππ
Esempio:
2π₯) β π¦) / = 2π₯) / + 3 2π₯) ) βπ¦) + 3 2π₯) βπ¦) ) + βπ¦) /
= 8π₯I β 12π₯<π¦) + 6π₯)π¦< β π¦I
Altri prodotti notevoli
Somma di due cubi:ππ + ππ = (π + π)(ππ β ππ + ππ)
Esempio:πI + 1 = π) / + 1/ = π) + 1 (π< β π) + 1)
Differenza di due cubi:ππ β ππ = (π β π)(ππ + ππ + ππ)
Esempio:π/ β 27 = π/ β 3/ = π β 3 (π) + 3π + 9)
La divisione di un polinomio per un monomio
Un polinomio Γ¨ divisibile per un monomio se ogni suo termine Γ¨ divisibile per tale monomio.
Quando un polinomio Γ¨ divisibile per un monomio, il quoziente Γ¨ il polinomio che si ottiene dividendo ciascun termine del polinomio per il monomio.
Esempio 1:
5πI β 6π< + 2π/ : 2π) = 5πI: 2π) β 6π<: 2π) + 2π/: 2π) =52 π
< β 3π) + πEsempio 2:π) + π + 1 non Γ¨ divisibile per π/
La divisione fra due polinomi
Dati due polinomi A e B nella variabile x, con il grado di B minore o uguale al grado di A, si puΓ² dimostrare che Γ¨ sempre possibile ottenere due polinomi Q e R
tali che:π¨ = π© @ πΈ + πΉ
Il grado di Q Γ¨ la differenza tra il grado di A e il grado di B; il grado di R Γ¨ minore del grado di B.
Nel caso particolare in cui R=0, si ha π¨ = π© @ πΈ ossia A Γ¨ divisibile per B.
Tecnica per eseguire la divisione tra due polinomiEsempio :
Dividiamo il polinomio di terzo grado:
π΄ = 13π₯) + 6π₯/ + 6 + 5π₯
Per il polinomio di secondo grado:
π΅ = 2 β π₯ + 3π₯)
Per eseguire la divisione bisogna ordinare i due polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile:
6π₯/ + 13π₯) + 5π₯ + 6 : 3π₯) β π₯ + 2
Il quoziente sarΓ un polinomio di primo grado.
La figura seguente mostra i passaggi della divisione.
Verifica della divisione
Con riferimento allβesempio precedente, la definizione di divisione con resto, in base alla qualesi ha π΄ = π΅ @ π + π , permette di verificare lβesattezza del risultato.
Calcoliamo:
π΅ @ π + π = 3π₯) β π₯ + 2 2π₯ + 5 + 6π₯ β 4= 6π₯/ + 15π₯) β 2π₯) β 5π₯ + 4π₯ + 10 + 6π₯ β 4 =
= 6π₯/ + 13π₯) + 5π₯ + 6
Il risultato ottenuto coincide con il dividendo:π΄ = 6π₯/ + 13π₯) + 5π₯ + 6
La regola di RuffiniQuando il polinomio divisore Γ¨ un binomio del tipo π β π, dove π Γ¨ un numero reale qualunque, per determinare Q e R possiamo utilizzare un procedimento rapido detto regola di Ruffini.
Esempio:β10π₯ β 9 + 3π₯) : π₯ β 4
Scriviamo i polinomi ordinati in senso decrescente:
3π₯) β 10π₯ β 9 : π₯ β 4
La figura seguente illustra come si applica la regola di Ruffini.
La regola di RuffiniScrittura del quoziente:I coefficienti del polinomio quoziente sono 3 e 2 . Tenendo conto che il dividendo ha grado 2 e il divisore ha grado 1, il quoziente deve avere grado 1.Quindi possiamo scrivere:
π = 3π₯ + 2; π = β1Verifica:Per verificare che il risultato Γ¨ esatto, possiamo controllare che sia valida lβuguaglianza π΄ = π΅ @ π + π
Osservazione 1:Se il polinomio dividendo Γ¨ incompleto, al posto dei Coefficienti mancanti avremmo dovuto inserire alcuni zero. Per esempio, per il polinomio dividendo
2π₯< β π₯) β 1I coefficienti da mettere in riga sono:
2,0, β1,0, β1Osservazione 2:Se il divisore Γ¨ del tipo π + π, osserviamo che:
π + π = π β βπ .
Teorema del resto
Data la divisone π΄ π₯ : π₯ β π ,Il resto Γ¨ dato dal valore che assume π΄ π₯ quando alla variabile π₯ si sostituisce il valore π, cioΓ¨:
π = π΄ π
Esempio:Calcoliamo il resto della divisione βπ₯< + 3π₯) β 5 : (π₯ + 2).PoichΓ© π₯ + 2 = π₯ β (β2), possiamo sostituire il valore β2 a π₯.Abbiamo quindi:
π = π΄ β2 = β β2 < + 3 β2 ) β 5 = β +16 + 3 +4 β 5 = β16 + 12 β 5 = β9
Teorema di Ruffini
Un polinomio π΄ π₯ Γ¨ divisibile per un binomio π₯ β π se e soltanto se π΄ π = 0
Esempio:Il polinomio π΄ π₯ = 2π₯/ + π₯) β 5π₯ + 2 Γ¨ divisibile sia per π₯ β 1 sia per π₯ + 2, infatti:
π΄ 1 = 2 @ 1/ + 1) β 5 @ 1 + 2 = 2 + 1 β 5 + 2 = 0π΄ β2 = 2 @ β2 / + β2 ) β 5 @ β2 + 2 = 2 β8 + +4 + 10 + 2 = 0
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