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Flusso e corrente 1Il caso idraulico
v⋅ndt
dV=dS v⋅ndt
dS
n v
dS’fluido di densità µ
densità di corrente J
vvJ ⋅== µdVdm
dtdm
dtdSdt
dVdmdSd =
⋅⋅⋅=⋅=Φ nvnJflusso elementare
portata attraverso una sezione S
temposuperficieattraverso(volume)massad)( =⋅=Φ ∫
SS SnJJ
Conservazione della massa 2Il caso idraulico
∫=V
dVM µflusso uscente da S chiusa = velocità di diminuzione della massa contenuta nel volume
dtd
dVdtd
dtdMdVdS
vVs
µµ
µ
−=⋅∇=⋅∇
⇓
−=−=⋅∇≡⋅ ∫∫∫
vJ
JnJ
Caso di densità costante 3Il caso idraulico
Liquido incomprimibile o a regime stazionario
∫∫ ⋅=⋅⇒
=⋅∇⇒
21
21
)(0costante
SS
dSdSlsuSeS
nulladivergenza
nJnJ
Jµ
S2
S1
n
[ ][ ]sm3
)(
=⋅∫lS
dSnv
vl
l
Portata volumetrica
Correnti elettriche 4Definizioni
vvJ µ==dVdQdensità di corrente
Flusso (corrente) elementare
dtdqdS
dtdl
dVdqdS
dVdqd n ==⋅=Φ nv
)ampère(AsC
scoulomb
==Unità di misura della corrente elettrica
Conservazione della carica Correnti 5
Legge di conservazione della carica
flusso uscente da S chiusa = velocità di diminuzione della carica contenuta
dtddV
dtddVdS
VS
µµ−=⋅∇⇒−=⋅∇≡⋅ ∫∫∫ JJnJ
Per regime stazionario
00 =⋅∇⇒= Jdtdµ
J è solenoidale
Interpretazione microscopica 6Corrente ed elettroni
ze
v⋅1s
vS3
)(m
zecarichedinumeroN =
v⋅⋅⋅=⋅= ∫ SzeNdSnJIS
pari numericamente alla carica in un cilindro di altezza v⋅1s
Velocità di deriva in Cu 7esempio
Calcolo la velocità degli elettroni in un filo di rame con
S= 1 mm2 e I = 1°A
( )C106.1 19−=ze
( )( ) 3
28
26
3
matomi108.3
106.0264
8900Cudiatomomassa
Cudimmassa≈≈=N
( ) ( ) ( )sm105.7
10106.1103.81v 5
61928−
−− ≈⋅
≈=NzeS
I
Resistenza 8Esempio idraulico
resistenza idraulica in regime viscoso
=
costante di proporzionalità tra caduta di pressione e portata
Jean Léonard Poiseuille (~1850)
pA
pB
2r [ ]/smportata8 34
BA
×=∆
×=−
rLp
portataresistenzapp
πη
Resistenza elettrica R 9Ohm
Legge di Ohm
IRVVV ⋅=−= BAAB
R in ohm
( )ampère
voltohm =Ω
VBVAE
J
I
S
L
+
JEL
SRSJRLEV ⋅=⇒⋅⋅=⋅=AB
resistenza specifica
forma puntuale della legge di OhmS
LRL
SR ρρ =⇔⋅
=
JE ρ=( ) m107.1 8 Ω≈ −ρper Cu
Resistenza elettrica 10Interpretazione
microscopicaConduttore = contenitore con gas di particelle cariche di massa m e carica ze in moto termico a grande velocità che provoca un urto mediamente ogni tempo τ
zem
ES
( )( )
( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )s5.2~
107.1106.1103.8
101.9~
Cuperm107.1
14
821928
31
2
82
−
−−
−
−
=⇒
Ω≈=⇒=
ρτ
τρ
τ
zeNm
zeNmE
mze
NzeJ
L’accelerazione dovuta ad E
mzeEa =
La velocità media èproporzionale ad E e al tempo tra urti τ
Eam
ze ττ =~v
Scale resistività e lunghezze 11confronto
−30 −20 −10
isolantisemi-condutt
ori
metallisupercon-duttori ρ[Ωm]→
m→
nucleo universouomo
lunghezza diPlanck
Le scale di resistività e lunghezze hanno estensioni
enormi e comparabili
0 10 20 30 Log
Combinazione di resistenze 12R in serie
Resistenze in serie
+ + I serie
V1 V2
IVVR
IVR
IVR 21
serie2
21
1+
=⇒==
2121 serie RRRR +=
Combinazione di resistenze 13R in paralleo
Resistenze in parallelo
+
I1 paralleloV
I2
11 I
VR =
22 I
VR =
21
211
2121
11||RR
RRRR
RR+
=
+=
−
21 IIVR+
=
Legge di Joule 14Potenza dissipata in R
Potenza dissipata nella resistenza + legge di Ohm ⇒legge di Joule
Versione “integrale”
L
ES J
RIWR
VW
RIV
VIdtdqVW
2
2
=
=⇒=
== ρ
( )( )( )
ρρ
ρ
2
2
J
EJE
LSJSLEpotenzadidensità
JELSVI
volumepotenza
⇒⋅==
⇒=
=Versione “puntuale”
Forza elettromotrice 15f.e.m.
Il campo elettrostatico Es è conservativo. Presente dentro e fuori la batteria. Il campo elettromotore Em è presente solo nella batteria e hacircuitazione non nulla
+
−
Em− Es =
A
B
Forza elettromotrice 16f.e.m.
A circuito aperto all’interno della batteria non passano cariche e il campo è nullo
"fuori""dentro"00
stot
smtot
EEEEEJ
==+=⇒=
La forza elettromotrice (f.e.m.) è la circuitazionedi Em e anche VAB a circuito aperto
BA
B
smA
f.e.m. VVdd −=⋅−=⋅= ∫ ∫ lElE
Bipoli elettrici 17bipoli elettrici = dispositivi con due terminali (poli)
RA
I
BRIV =ABresistenza 2RIW =
AC
BC
QE2
2
s =CQV =ABcapacità
AV
B+ Generatore di VVIW =VV == .f.e.mAB
Reti elettriche 18Definizioni
Reti elettriche = insieme di bipoli con morsetti tra loro collegati mediante conduttori di resistenza trascurabile
Ramo = tratto tra due nodi (=contatti tra poli) caratterizzato da un’unica corrente
maglia = cammino chiuso con partenza e arrivo ad un nodo costituito da rami percorsi una sola volta
Reti elettriche 19Leggi di Kirchhoff
Legge dei nodi(conservazione della carica elettrica) = somma algebrica nulla delle correnti in un nodo
I1
I30321 =−− III
I2
D
A
B
C
Legge delle maglie= somma nulla delle cadute di potenziale di una maglia
0DACDBCAB =+++ VVVV
Reti elettriche 20Esempio
21 III +=
R2R1
I2
I1
I R
Vg
01122 =− RIRI011g =++− RIIRV
segni dei bipoli 21convenzioni
corrente
ad ogni ramo si assegna un verso; la corrente è positiva se le cariche + si muovono nel verso
←+ I<0
+→ I>0
generatore di f.e.m.
il valore della f.e.m. èV=VA−VB e il segno + identifica il primo nodo (A), non necessariamente il polo positivo
+
A
B
V
segni nelle maglie 22maglia
verso di percorrenza arbitrario; segno meno se I ha verso opposto alla percorrenza e se il secondo polo del generatore è quello segnato con +
0CDAB =++− VVIRVA B
D C
V R
+
Resistenza interna 23Resistenza interna r del generatore
C
BA
+
C
V R
interno esterno
r R
W
rVW
2
f.e.m. max =
rVWR 4
max2
. =
( )22
2
RrrVrIWr
+==
( )22
2
RrRVRIWR
+==
RrVVIW+
==2
f.e.m.
r
Scarica condensatore 29 I(t)
V(t)RC + +
dtdQI
IRCQ
−=
=
RCdt
QdQ
−=
( )( )( )RCtItI
RCtVtVRCtQtQ
/exp)0()(/exp)0()(/exp)0()(
−=−=−=
V(t)/V(0)
t/RC 0 2
1
0
Carica condensatore 30
V(t)R1 +
+
CVb
R V(t)
t /RC 0 42
0
CQ
dtdQRV
dtdQI
CQIRV
+=⇒=
+=b
b
−−=⇒
−=
⇒−=⇒−=⇒=
−=
RCtV
CtQ
RCtqtq
RCt
qdq
CV
CVQq
exp1)(exp)0()(
)0(0)0(
b
b
b
Sicurezza elettrica 31Messa a terra
220 V
neutro
fase
ENEL
R
RcRt
Rl
Rl Imax
Messa a terra della carcassa dell'apparato utilizzatore: sistema passivo affidabilema insufficiente.
I(danno)<10 mA quando Rc(contatto) ~5 kΩ
⇓V(carcassa )< 50V
terra
utente
Vmax(caracassa) ≈Imax(~14 A)×Rt(terra)<50V⇓
Rt(terra)<3 Ω
Il valore stimato per Rt (tipicamente ~ decine di Ω) è difficile o impos-sibile da realizzare e mantenere. Con più utenti (da 3 kW) Imax cresce.
Sicurezza elettrica 32Il salvavita
|If-In|>Is ?
If
In
SalvavitaStacca il contatto sulla
fase quando lo sbilancio tra
corrente sulla fase If e corrente sul neutro Insupera per un tempo t(intervento) ~ 100 s
la soglia Is(~10 mA)
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