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MORFOLOGÍA MATEMÁTICA
Mª del Carmen Tobar Puente
2
Índice• Retículo• Transformaciones morfológicas en conjuntos • Imágenes binarias y conjuntos• Transformaciones morfológicas en imágenes en grises
– Transformaciones elementales: erosión, dilatación– Apertura y cierre– Gradiente morfológico– Top-hat
• Transformaciones morfológicas en imágenes en color– Tratamiento marginal– Tratamiento vectorial
• Orden lexicográfico• Espacio cromático HSV• Distancia de matiz: orden de matiz• Orden total en HSV
• Bibliografía
3
Retículo
• 5HWtFXOR: conjunto ordenado en el que todo subconjunto de dos elementos admite ínfimo y supremo.
• (MHPSORV
Dado un conjunto, X, el conjunto de los subconjuntos de X, con la relación de inclusión de conjuntos es un conjunto con orden parcial, que es retículo:
( )( )
,
, ,
,QI $ % $ %
6XS $ % $ % $ % ;
= ∩
= ∪ ∀ ⊆
4
Retículo
En el conjunto de todas las aplicaciones de un conjunto A en un conjunto totalmente ordenado,
se define la relación:
es un conjunto parcialmente ordenado, que es retículo:
( ) , : / aplicacion) $ % I $ % I= →
( ),W
% ≤
( ) ( ) ( ), ,W
I J ) $ % I J I [ J [ [ $∀ ∈ ≤ ≡ ≤ ∀ ∈
( ),) $ %
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
, , ( , )
( , )
I [ VL I [ J [I J / $ % ,QI I J [
J [ VL J [ I [
I [ VL J [ I [6XS I J [
J [ VL I [ J [
≤∀ ∈ = ≤
≤= ≤
5
Transformaciones en retículos
• Una aplicación de un retículo en sí mismo
es una transformación:
&UHFLHQWH
([WHQVLYD
$QWLH[WHQVLYD
,GHPSRWHQWH
( ) ( ), /[ \ $ [ \ [ \ψ ψ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤
( )[ $ [ [ψ∀ ∈ ≤
( )[ $ [ [ψ∀ ∈ ≤
: $ $ψ →
2ψ ψ=
6
Transformaciones morfológicas elementales en conjuntos
• Sea G un grupo, con la operación interna +, y 0 el elemento neutro.
• finito, (Elemento estructurante)• (526,Ï1 del por el elemento estructurante E:
• ',/$7$&,Ï1del por el elemento estructurante E:
( *⊂ 0 (∈$ *⊂
( ) /( [ V
V (
$ [ * ( $ $ε −∈
= ∈ ⊆ =
$ *⊂
( ) ( ) /( V[
V (
$ [ * ( $ $δ∈
= ∈ − ∩ ≠ ∅ =
2
7
Erosión y dilatación de conjuntosElemento estructurante E
Erosión de A por E
Dilatación de A por E
0
x
xx
xx
xxx
x
x
xx
xx
xxx
xxx
xxxx
2$ ⊂
8
Erosión y dilatación de conjuntos
• (526,Ï1 por el elemento estructurante E
(Ínfimo en )• ',/$7$&,Ï1 por el elemento estructurante E
(Supremo en )
( )3 *
( ) ( )( )
:
/
(
( [ V
V (
3 * 3 *
$ $ [ * ( $ $
ε
ε −∈
→
→ = ∈ ⊆ =
( ) ( )( ) ( )
:
/
(
( V[
V (
3 * 3 *
$ $ [ * ( $ $
δ
δ∈
→
→ = ∈ − ∩ ≠ ∅ =
( )3 *
9
Propiedades de la erosión y la dilatación de conjuntos
• Transformaciones crecientes:
• La erosión es antiextensiva:
• La dilatación es extensiva:
• Dualidad de la erosión y la dilatación:
( ) ( ) ( )( ) ( )
, /( (
( (
$ %$ % 3 * $ %
$ %
ε εδ δ
⊆∀ ∈ ⊆ ⇒ ⊆
( ) ( )($ 3 * $ $ε∀ ∈ ⊆
( ) ( )($ 3 * $ $δ∀ ∈ ⊆
( ) ( )( )FF
( ($ $ε δ=
10
Conjuntos e imágenes binarias
• Imagen binaria (Blanco y negro):
• Erosión y dilatación de por el elemento estructurante :
• Se tiene:
• (URVLyQ\GLODWDFLyQ de por :I
2: 0,1I Ω ⊂ →
( ) ( ) , / , 1$ [ \ I [ \= ∈Ω =
( )( V
V (
$ $ε −∈
=( ) ( )( ) ( ) ( ) , / , 1 , / , 1
V V$ [ \ I V [ \ [ \ I [ \−= − + = = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ), es decir, , min , ,( V (
V (V (
I ,QI I I [ \ I V [ \ [ \ε ε∈∈
= = + ∀ ∈Ω
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sup , es decir, , max , ,( V (
V (V (
I I I [ \ I V [ \ [ \δ δ− ∈∈= = − + ∀ ∈Ω
2( ⊂
2( ⊂
( )( V
V (
$ $δ∈
=
11
Imágenes binarias: erosión y dilatación
• Transformaciones crecientes:
• La erosión es antiextensiva:
• La dilatación es extensiva:
• Dualidad de la erosión y la dilatación:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2, , 0,1 /( (
( (
I JI J / I J
I J
ε εδ δ
⊆∀ ∈ ≤ ⇒ ⊆
( ) ( )2 , 0,1(
I / I Iε∀ ∈ ≤
( ) ( )2 , 0,1(
I / I Iδ∀ ∈ ≤
( ) ( )( )FF
( (I Iε δ=
12
imagen original erosión dilatación
Elemento estructurante: cuadrado 3x3
Elemento estructurante: disco de radio 2
imagen original erosión dilatación
3
13
Transformaciones morfológicas elementales en imágenes en grises• Imagen en grises:
• (URVLyQ de por el elemento estructurante :
(Imagen más oscura)
• 'LODWDFLyQ de por el elemento estructurante :
(Imagen más clara)
I
( ) 2: con Im 0,1,...., 1I I OΩ ⊂ → ⊆ −
2( ⊂
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ), es decir, , min , ,( V (
V (V (
I ,QI I I [ \ I V [ \ [ \ε ε∈∈
= = + ∀ ∈Ω
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sup , es decir, , max , ,( V (
V (V (
I I I [ \ I V [ \ [ \δ δ− ∈∈= = − + ∀ ∈Ω
I
2( ⊂
14
Erosión y dilatación
7043583360
6871563533
5772504332
2543522423
4343333333
4343333232
4343242323
2543242323
Elemento estructurante:
Cuadrado de lado 37171716060
7272726060
7272725643
7272725243
Imagen originalImagen erosionada
Imagen dilatada
15
Transformaciones morfológicas elementales en imágenes en grises• Retículo de las aplicaciones
• (URVLyQ por elemento estructurante :
• 'LODWDFLyQpor elemento estructurante :
( ) 2: / aplicacion Im 0,1,..., 1I I I OΩ ⊂ → ⊂ −
2( ⊂
( ) ( )( ) ( )
2 2: , ,(
( V
V (
/ /
I I ,QI I
ε
ε∈
→
→ =
2( ⊂
( ) ( )( ) ( )
2 2: , ,(
( V
V (
/ /
I I 6XS I
δ
δ −∈
→
→ =
16
Propiedades de la erosión y la dilatación en imágenes en grises
• Transformaciones crecientes:
• La erosión es antiextensiva:
• La dilatación es extensiva:
( ) ( ) ( )( ) ( )
2, , /( (
( (
I JI J / I J
I J
ε εδ δ
≤∀ ∈ ≤ ⇒ ≤
( ) ( )2 ,(
I / I Iε∀ ∈ ≤
( ) ( )2 ,(
I / I Iδ∀ ∈ ≤
17
Imágenes en grises: Apertura y cierre
• Operaciones de realce de las formas de los objetos.
• $SHUWXUD de f por el elemento estructurante E:
– Elimina objetos pequeños.– Suaviza los bordes
• &LHUUH de f por el elemento estructurante E:
– Cierra agujeros y grietas.– Suaviza los bordes de los objetos
( ) ( )( )( ( (I Iγ δ ε=
( ) ( )( )( ( (I Iϕ ε δ=
18
imagen original apertura cierre
Elemento estructurante: disco de radio 2
imagen original erosión dilatación
Imagen en blanco y negro
4
19
imagen original erosión dilatación
imagen original apertura cierre
Imagen en grises
20
Imágenes en grises.Propiedades de la apertura y cierre
• Transformaciones crecientes:
• Transformaciones idempotentes:
• La apertura es antiextensiva:
• El cierre es extensivo:
•
( ) ( ) ( )( ) ( )
2, , /( (
( (
I JI J / I J
I J
γ γϕ ϕ
⊆∀ ∈ ≤ ⇒ ⊆
( ) ( )2 ,(
I / I Iγ∀ ∈ ≤
( ) ( )2 ,(
I / I Iϕ∀ ∈ ≤
2
2
( (
( (
γ γϕ ϕ==
( ) ( ) ( ) ( )( ( ( (I I I I Iε γ ϕ δ≤ ≤ ≤ ≤
21
Imágenes en grises: gradiente morfológico o de Beucher
• *UDGLHQWHSRUHURVLyQ
• *UDGLHQWHSRUGLODWDFLyQ
• *UDGLHQWHVLPpWULFR
• Para localizar los bordes de los objetos
• El gradiente simétrico intensifica la detección de bordes. Es la suma de los gradientes por erosión y por dilatación.
( ) ( )( (J I I Iε− = −
( ) ( )( ( (J I I Iδ ε= −
( ) ( )( (J I I Iδ+ = −
22
imagen original erosión dilatación
gradiente por erosión gradiente por dilatación gradiente simétrico
Imagen en blanco y negro
23
Imágenes en grises: top-hat
• Descubrir las estructuras de la imagen eliminadas en el filtrado de apertura o cierre.
• Top-hat por apertura:– Antiextensiva– Idempotente– Destaca los objetos claros eliminados en la
apertura.
• Top-hat por cierre:– Destaca los objetos oscuros eliminados en el
cierre.
( ) ( )( (I I Iρ γ− = −
( ) ( )( (I I Iρ ϕ+ = −
24
top-hat por apertura top-hat por cierre
imagen original apertura cierreImagen en blanco y negro
5
25
top-hat por apertura top-hat por cierre
gradiente por erosión gradiente por dilatación gradiente simétrico
Imagen en grises
26
Transformaciones morfológicas en imágenes en color
Imagen en color:Depende del espacio de color con el que se visualiza la imagen: RGB, HSV,….
Tratamiento marginal Tratamiento vectorial
2 3:I Ω ⊂ →
27
Imágenes en color: tratamiento marginal
• Aplicar la morfología en imágenes en grises a cada una de las tres componentes de la imagen, con el mismo elemento estructurante.
,QFRQYHQLHQWHV: Depende del espacio de color con el que se visualice la imagen: RGB,
HSI, HSV, CIELAB,… Aparecen colores inexistentes en la imagen original.
a) Sección numérica de la
imagen en color
b) sección numérica de la
imagen erosionada
28
Imágenes en color: tratamiento vectorial
• 7UDWDPLHQWRYHFWRULDOEs necesario tener definido un orden total en el espacio cromático.Orden lexicográfico en :
(6 órdenes distintos)
3
( ) ( )
’
, , ’, ’, ’ ’ ’
’ ’ ’
[ [
R
[ \ ] [ \ ] [ [ \ \ \
R
[ [ \ \ \ \ ] ]
<≤ ⇔ = <= = ≤
29
Transformaciones morfológicas en imágenes en color
• En el orden lexicográfico se da prioridad a una de las componentes sobre las demás. – En RGB, los tres colores básicos deberían tener un tratamiento
similar.
– En espacios de color basados en la percepción de la visión humana (CIELAB, HSV, HSI,..) la componente con prioridad dependerá del tipo de imagen.
30
Espacio cromático HSVEspacio cromático perceptual: luminancia (valor), saturación y matiz
OXPLQRVLGDG (brillo): emisión de luzPDWL](tono): denominación de los colores (longitud de onda)
VDWXUDFLyQ: proporción de color cromático puro
Componente acromática: valor desacopladas
Componentes cromáticas: matiz y saturación
Escala de saturaciones (matiz verdoso)
Escala de luminosidades (matiz verdoso)
Escala de matices
6
31
Espacio cromático HSV
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )( ) ( )( )2
max , , min , ,Si max , , 0 entonces
max , ,
sino 0
max , ,
12arccos Si entonces 360
5 * % 5 * %5 * % 6
5 * %
6
9 5 * %
5 * 5 %
+ % * + +
5 * 5 % * %
−≠ =
==
− + − = > = −
− + − −
32
Orden en HSV
• Orden en matiz:– Matiz indefinido: S=0 (Umbral de saturación: discrimina los pixeles
cromáticos de los acromáticos)– Valor angular– Matiz de referencia: dependerá de la imagen a procesar
matiz de referencia en a) 0º b)135º
33
Distancia de matiz: preorden
Preorden:
( )
0 360º
si 180º,
360º si 180º
UHI UHI
UHI
UHI UHI
+
+ + + +
G + +
+ + + +
≤ <
− − ≤= − − − >
( )min
max 180º mod 360º
UHI
UHI
+ +
+ +
=
= +
matiz de referencia en a) 30º b)135º c) 225º
34
Orden en matiz
UHI+
Se tiene un orden total en el conjunto cociente ( Clases de equivalencia formada
por los dos matices que están a la misma distancia de )
a) Imagen original b) c) d)
Mapa de distancia a matiz con matiz de referencia a) 30º b) 135º c)225º
35
Orden lexicográfico en HSV
• Se dará prioridad a las componentes H, S , V según– la imagen a tratar
– la información que se quiera extraer
– En el 98% de los píxeles, la elección se hace en la 1ª componente de la terna. Por ello, tiene importancia la 1ª componente y mucho menos la 2ª y la 3ª; de los 6 órdenes lexicográfico, realmente se tienen 3
V: Preservar el contorno de los objetos de la imagen
S: Objetos muy coloreados en fondo grisH, con matiz de referencia adecuado: Objetos de un color específico
36
Espacio HSV
componente matiz componente saturación componente valor
imagen original
MATLAB: el orden en matiz no tiene en cuenta la distancia definida
7
37
Espacio HSV
componente matiz componente saturación componente valor
imagen original
38
Transformaciones morfológicas en imágenes en color
• Erosión:• Dilatación:
• Apertura:• Cierre:
• Gradiente por erosión:• Gradiente por dilatación:• Gradiente simétrico:
• Top-hat por apertura:• Top- hat por cierre:
( ) ( )( V
V (
I LQI Iε∈
=
( ) ( )sup( V
V (
I Iδ −∈
=
( ) ( )( )( ( (I Iϕ ε δ=
( ) ( )( (J I I Iε− = −( ) ( )( (
J I I Iδ+ = −
( ) ( )( (I I Iρ γ− = −( ) ( )( (
I I Iρ ϕ+ = −
( ) ( )( )( ( (I Iϕ δ ε=
( ) ( )( ( (J I I Iδ ε= −
39
Órdenes en el espacio cromático
• Se pueden tener otros órdenes totales en el espacio cromático, además del lexicográfico, que permitiría realizar las operaciones morfológicas.
• Para poder definir las operaciones morfológicas en imágenes en color se ha utilizado un retículo de funciones vectoriales, y en el espacio cromático se exigía un orden total (como el lexicográfico utilizado). En realidad, es suficiente tener definido en el espacio cromático un orden parcial, de modo que sea un retículo. Esto permite tener más órdenes definidos, y por lo tanto, distinto significado las operaciones morfológicas definidas a partir de éstos órdenes.(Tenemos , por ejemplo, orden canónico, orden α−lex (Ortiz),…)El principal inconveniente es que al definir las operaciones morfológicas elementales (ver diapositiva 13),el mínimo y el máximo que aparece en las definiciones de la erosión y la dilatación pasarían a ser ínfimo y supremo, y por lo tanto el valor de la erosión y la dilatación en un pixel dado podría no estar en la imagen, lo que llevaría a colores LQH[LVWHQWHV en la imagen original.
40
Bibliografía• W. Brockett, P. Maragos. Evolution equations for continuous-scale morphological
filtering. IEEE transactions on signal processing, Vol 42, Nº 12. (1994)• A. Hanbury. Lexicographical orden in the HLS colour space. Technical report N
04/01/MM Centre de Morphologie Mathematique. École de Mines de Paris. 2001• A.Hanbury and J. Serra. Mathematical Morphology in the L*a*b* Colour Space.
Technical report N-36/01/MM Centre de Morphologie Mathematique. École de Mines de Paris. 2001.
• A.Hanbury and J. Serra. Colour image analysis in 3D-polar coordinates.• R. Molina. Introducción al procesamiento y análisis de imágenes digitales.
Departamento de Ciencias de la computación e I.A. Universisdad de Granada (1998)• F. Ortiz. Tesis• F. Ortiz, F. Torres, E. de Juan and N. Cuenca. Colour Mathematical Morphology for
neural image analysis. Real Time Imaging 8, 455-465. (2002). • C. Platero. Apuntes de visión artificial • J. Serra. Lecture notes on Morfhological operators. First French-Nordic Summer
Course in Mathematics. Uppsala University, SWEDEN. June 2001.
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