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Inferências Geográfica: Classificação contínua
Processo Analítico Hierárquico Inferência Bayesiana
Análise Multi-Critério
Classificação continua (Fuzzy Logic)
Inferência BayesianaSuporte a decisão
Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
Classificação contínua (Fuzzy Logic)
Lógica convencional Paradoxo insolúvel
119900
117700
115500
114400
221100
Muito Muito baixabaixa
abaixo abaixo médiamédia
Acima Acima médiamédia
Muito Muito altaalta
AltoAltomédiamédiabaixabaixa AltaAlta
baixabaixa
Eu sempre minto.
Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%, não importando as demais condições
Lógica Fuzzy Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica
Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e “completamente falso”.
0
11
Falso
Verdade
Lógica Boleanaz
FF VV
F(z)
Lógica Fuzzyzz
VVFF
00
11
Falso
Verdade
Conjuntos Fuzzy: exemplo
Exemplo: Altura de Pessoas S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta: " a que grau uma pessoa “z” é alta? Z : S = (z, f(z)) especialistas
00
11
BAIXO
ALTO
z
f(z)
1.5 2.1
0.50.5
Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38
1.2,11.25.16.0/)5.1(
5.1,0)(
zsezsez
zsezf
Conjuntos Fuzzy: exemplo
Outro exemplo - Declividade
f(z) = 0 se z
f(z) = 1/[1+ (z )2] se < z <
f(z) = 1 se z
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 .025
40
Declividade
Mínimo () Máximo ()
f(z)f(z) = = 0 se z 0.025 f(z)f(z) = = 1/[1+ 0.025(z 40)2] se < z < 40 f(z)f(z) = = 1, se z 40
Na prática: Realizar mapeamento para espaço [0,1]
determinação de valores limites (mínimo e máximo) estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide
Mapeamento para fuzzy
Campo deCampo deAmostrasAmostras [0,1][0,1]Grade deGrade de
valoresvalores
f(z)f(z)
SuperfícieSuperfíciecontínuacontínua
Análise Multi-CritérioAnálise Multi-Critério
Operadores Fuzzy : E
Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.
c = MIN (a, b, c, ......)
A, B, C, .. são os valores de pertinência nos mapas
0,75
0,60
0,30
0,70
0,55
0,00
0,65
0,40
1,00
0,50
0,65
0,40
0,75
0,55
0,20
0,60
0,40
0,00
0,50
0,60
0,30
0,70
0,55
0,00
0,60
0,40
0,00
A Bc = A E A
Operadores Fuzzy : OU
Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização.
c = Max (a, b, c, ......)
A, B, C, .. são os valores de pertinência nos mapas
0,75
0,60
0,30
0,70
0,55
0,00
0,65
0,40
1,00
0,50
0,65
0,40
0,75
0,55
0,20
0,60
0,40
0,00
0,75
0,65
0,40
0,75
0,55
0,20
0,65
0,40
1,00
A Bc = A OU A
Operadores Fuzzy: Produto algébrico
c = i
onde i é a função de pertinência para o i-ésimo mapa
O valor dessa função combinada tende a ser muito pequeno, produto de valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.
n
i 1
0,75
0,60
0,30
0,70
0,55
0,00
0,65
0,40
1,00
0,50
0,65
0,40
0,75
0,55
0,20
0,60
0,40
0,00
0,37
0,39
0,12
0,52
0,30
0,00
0,39
0,16
0,00
A B c
Operadores Fuzzy: Soma algébrica
c = 1- (1-i)
Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50) é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .
n
i 1
0,25
0,40
0,70
0,30
0,45
1,00
0,35
0,60
0,00
0,50
0,35
0,60
0,25
0,45
0,80
0,40
0,60
1,00
0,12
0,14
0,42
0,07
0,20
0,80
0,14
0,36
0,00
0,87
0,86
0,58
0,92
0,79
0,80
0,86
0,84
1,00
1 - A
1 - B 1 - A
c (1 - i)
2
1i
Classificação continua (Fuzzy Logic)
Inferência BayesianaSuporte a decisão
Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
Abordagem BayesianaPrincipal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori
Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.
probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano
a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)
P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)
Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia
hoje 1
2
1 pode ser tratado com a priori em relação a 2
Abordagem Bayesiana - Exemplos
Ex. 1 – prospecção mineralAnomalia geoquímica de zinco > 250 ppm
Prob. A priori > 250 ppmFatores (a posteriori)Mapa geológico
rocha A e B favorávelrocha C e D desfavorável
Intensidade de assinatura geofísicaTipo de vegetaçãoBaseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)Baseado em dados (dados históricos suficientes)
Ex. 2 – diagnostico médicoCombinação de sintomas clínicos
Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.Combinação
Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.
2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito em cada celula.
Notação N{} = contagem de unidadesN{R} = 10.000 unidades de áreaN{D} = 200 depósitos conhecidos com área de 1 km2.Densidade de depositosN{D}/N{R} = 200/10000=0.02
probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02
R
A
Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicaçãoNova evidencia:
Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180 dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.
P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02
Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:
R
A
RA
DR A
A DA D
D A
Anomalia (A) = 3600 Celulas
Técnica Bayesiana
P{D / A} é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’
dado que a célula está dentro da área de anomalia ‘A’.
RA
DR A
A D
A D
D A
P{D∩A} = N{D∩A} / N{R} é a proporção da área
total onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia.P{A} = N{A} / N{R}
Técnica Bayesiana RA
DR A
A D
A D
D AP{D / A} = 180 / 3600 = 0,05
P{D} = 0.02P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}
Anomalia (A)Não Anomalia
(A)Depósito (D) N{D∩A} (180) N{D∩A} (20) D (200)
Não Depósito (D)N{D∩A} (3420) N{D∩A} (6380) D (9800)
N{A} (3600) N{A} (6400)N{R} (10000)
Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 para 3.600 km2 .
Técnica Bayesiana
P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)
Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.Qual a probabilidade de uma célula estar na região de
anomalia ‘A’, dado que esta célula contém um deposito?
P{A / D} = 180/200=0.9
Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}
Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia
P(priori) * (Fatorevidência)
Técnica Bayesiana
P{A / D} = 180/200=0.9
P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05
0,9/0,36 = 2,5 fator multiplicativo
P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36
A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.
Técnica BayesianaProbabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia.
P{A} = (10000-3600)/10000=0.64
P{A / D} = 20/200=0.1
= 0,1/0,64 = 0,15625
A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes menor do que a probabilidade a priori.
P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125
Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor do que onde há anomalia.
Análise Multi-Critério
Classificação continua (Fuzzy Logic)
Inferência BayesianaSuporte a decisão
Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)
Suporte à Decisão - Conceitos Básicos Decidir é escolher entre alternativas.
Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo.
O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade.Onde indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.
Suporte à Decisão - Conceitos Básicos
Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos:
Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado.
Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e determinar um critério de avaliação.
Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.
Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um ?
Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.
Livro: Multicriteria Decision Making – The Analytical Hierarchy process Pittsburg, RWS Publications , 1992
Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
Escala de Valores AHP para Comparação PareadaEscala de Valores AHP para Comparação Pareada
2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.
AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIGDecidir sobre a compra de um SIGFatores importantes: Fatores importantes:
hardwarehardware, , softwaresoftware, , serviço de vendasserviço de vendas
Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
Hardware Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3
Sistema 1 1 4 8
Sistema 2 1/4 1 6
Sistema 3 1/8 1/6 1
A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 émoderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extrema com relação ao Sistema 3.
Passo 1- Importância relativa dos fatores entre sistemas.
Critérios objetivos
Sistema 1 Sistema 1 = 1 Sistema 2 Sistema 3 = 6Sistema 2 Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 Sistema 2 = 1/6Sistema 3 Sistema 1 = 1/8
Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware
Hardware Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3
Sistema 1 1 4 8Sistema 2 1/4 1 6Sistema 3 1/8 1/6 1
Total 1,375 5,167 15
Passo 2-Normalizar colunas
Sistema 1 0,727 0,774 0,533Sistema 2 0,182 0,194 0,400Sistema 3 0,091 0,032 0,067
Hardware
Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores
Hardware Cálculo da média Vetor de MédiaSistema 1 (0,727+ 0,774+0,533)/3 = 0,678Sistema 2 (0,182+0,194+0,400)/3 = 0,259Sistema 3 (0,091+0,032+ 0,067)/3 = 0,063
Passo 3- Média de cada linha normalizada representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema
Fator Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3hardware 0,678 0,259 0,063Software 0,077 0,186 0,737
Serviço de ven. 0,653 0,251 0,096
Matriz de avaliação dos três fatores
Matriz de Comparação de Fatores
Fator Hardware Software Serviço Vendas
hardware 1 1/8 1/5Software 8 1 6
Serviço de ven. 5 1/6 1
Total 14 1,292 7,20
Passo 4- Importância relativa entre os fatores.
hardware 0,072 0,097 0,028Software 0,571 0,774 0,833Serviço vendas.
0,357 0,129 0,139
Fator Matriz normalizada
Matriz de Comparação de FatoresPasso 5-
Pesos dos fatores.
Fator Matriz normalizada
Fator Cálculo da pesos Vetor de Média
hardware(0,072 + 0,097 + 0,028)/3
= 0,066
Software (0,57 + 0,774 + 0,833)/3 = 0,726Serviço vendas.
(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 = 0,208
Sistema 1(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)= 0,236
Sistema 2 (0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)= 0,204
Sistema 3 (0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)= 0,559
O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é o sistema 3. Então o mais adequado para
aquisição
Consistência da seleção realizadaPara aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso o parâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência (RC)
A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice tabelado.
IC IC = ( -n) / (n-1) onde n é o numero de fatores
= valor médio do vetor de consistência
Consistência da seleção realizada
Estimando IC
Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo
Hardware Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3
Sistema 1 1 4 8Sistema 2 1/4 1 6Sistema 3 1/8 1/6 1
Hardware Vetor de MédiaSistema 1 0,678Sistema 2 0,259Sistema 3 0,063
= valor médio do vetor de consistênciaPasso 2: Calcula-se o vetor soma
ponderada1,000 4,000 8,000 0,6780,250 1,000 6,000 * 0,2590,125 0,167 1,000 0,063
=
1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,2180,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191
2,218/0,6780,807/0,2590,191/0,063
3,2713,1163,032
=Vetor de consistência =
Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência
Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência = (3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140
Razão de consistênciaA razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatório conforme tabela abaixo.
RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12Segundo o método desenvolvido por TS, o valor de RC deve ser menor que 0,10 para
que a decisão seja consistente
IC = ( -n) / (n-1) onde n é o numero de fatoresIC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070
n IR2 0,003 0,584 0,905 1,126 1,247 1,328 1,41
Processo AHP
Passo 1: Comparar os critérios dois-a-dois
Passo 2: Verificar a consistência dos dados Compara a matriz de pesos com uma matriz aleatória Consistente se a probabilidade da matriz ser aleatória é menor
que 10% Passo 3:
Produzir os pesos (soma = 1.0) Fazer uma inferência por média ponderada
Interface
A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico
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