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KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Fqq
N (x)
x
Q (x)M (x) M (x) Q (x)
N (x)
L - x
Innere Beanspruchungen - SchnittgrößenVorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
2 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und Festigkeitslehre Innere Beanspruchungen - Schnittgrößen
Statisch bestimmte Tragwerke
Schwerpunkt, Schwerachse
Definition der SchnittgrößenNormalkraftQuerkraftBiegemomentTorsionsmoment
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
3 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreStatisch Bestimmte Tragwerke
V
Pendelstütze
V
Eingespannte Stütze
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
4 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreEingespannte Stütze
VA V=
R
AH
AV
h
w
MAHH 0 A - R = 0= ⇒∑VV 0 A V 0= ⇒ − =∑
2
A A Ah h hM 0 M R 0 M R w2 2 2
= ⇒ + ⋅ = ⇒ = − ⋅ = − ⋅∑
Gegeben:
Konstante Gleichlast w [kN/m]Vertikallast V [kN]
Höhe h [m]
Resultierende Last R = w · h
Berechnung:
Gesucht:
Auflagerkräfte in A [kN], [kNm]
HA w h= ⋅
V
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
5 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreStatisch bestimmte Tragwerke
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
6 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreStatisch bestimmte Tragwerke
H HH 0 B - C = 0= ⇒∑
H HB = C
H H B = C
BV = q·L/6
A
L
h
BH
CV
CH
BV
A
L
BH
CH = -BH = CV·L/h = q·L²/(2h)
CV = q·L/2
2 2H VA= C C+
g + s = qg + s = q
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
7 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreEinfeldträger mit Auskragung
1 Nebenträger
2 Hauptträger
V3 Pendelstütze
1
23
qHT
qNT
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
8 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreEinfeldträger mit Auskragung
R
BH
AL
q
LK LK
FF
BV
HH 0 B = 0= ⇒∑ VV 0 A B q L F F 0= ⇒ + − ⋅ − − =∑
B K KLM 0 A L R F (L L ) F L 02
= ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ + + ⋅ =∑
K KV
L LR L A F F F q F B2 L L 2
= + + ⋅ − ⋅ = ⋅ + =
Gegeben:
Konstante Gleichlast q [kN/m]Einzellasten F [kN]Länge L, LK [m]
Resultierende Last R = q · L
Berechnung:
Gesucht:
Auflagerkräfte in A und B [kN]
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
9 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreEinfeldträger mit Auskragung
HH 0 B = 0= ⇒∑ VV 0 A B q L F 0= ⇒ + − ⋅ − =∑B K
LM 0 A L R F L 02
= ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ =∑
R
BH
AL
q
LK
F
BV
K KL LR L A= F q F2 L 2 L− ⋅ = ⋅ − ⋅
K KV
L LL LB R F - A = q L F q F q F(1 )2 L 2 L
= + ⋅ + − ⋅ + = ⋅ + +
Gegeben:
Konstante Gleichlast q [kN/m]Einzellasten F [kN]Länge L, LK [m]
Resultierende Last R = q · L
Berechnung:
Gesucht:
Auflagerkräfte in A und B [kN]
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
10 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreEinfeldträger mit Auskragung
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
11 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
Lage der Resultierenden Kraft R
Flächenschwerpunkt für beliebige Querschnitte
Lage von G = G1 + G2 + GG
qR
S
G1 G2G3
Kippsicherung
G G
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
12 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
F
a
F
a
2F
F
a
F
1,5a
2F
1,5F
a
0,5F
a
2F
Gleichgewicht Ungleichgewicht durch Geometrie (Hebelarm)
Ungleichgewicht durch Kraft
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
13 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
x 1,25 a= ⋅
1M 0 2F x F 2,5a 0= ⇒ ⋅ − ⋅ =∑1M 0 2F x 0,5 F 2a 0= ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ =∑
F
x
F
2,5a
2F
1,5F
0,5F
2F
Lage des Auflagers Lage des Auflagers
2a
x1 1
x 0,5 a= ⋅
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
14 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
y
z
G1
G2
G
y1y2
yS
G1 = A1 · γ
Resultierendes Drehmoment um Schwerpunkt SM = G1 · y1 + G2 · y2 = G · yS
1 1 2 2S
G y G yyG
⋅ + ⋅= 1 1 2 2 2 1 2 2
S1 2 1 2
A y A y A y A yy(A A ) A A⋅ γ ⋅ + ⋅ γ ⋅ ⋅ + ⋅
= =+ ⋅ γ +
G = G1 + G2 = (A1 + A2) ·γG2 = A2 · γ
GegebenFlächen A1, A2 [m²]Wichte γ [kN/m²]
GesuchtLage des Flächenschwerpunktes in y-Richtung
Berechnung
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
15 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
y
z
zS
AllgemeinA1
A2
A3
A4S
yS
n
i ii 1
S n
ii 1
A yy
A
=
=
⋅=∑
∑
n
i ii 1
S n
ii 1
A zz
A
=
=
⋅=∑
∑
Physikalische Bedeutung
G
G
G G
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
16 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
2 oder mehrSymmetrieachsen
1 Symmetrieachse
Sonderfall:keine Symmetrieachse
Seitenhalbierenden
a b
b a
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
17 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerpunkt
2 oder mehrSymmetrieachsen
1 Symmetrieachse
Sonderfall:keine Symmetrieachse
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
18 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchwerachse
Schwerachse
Schwerachse
Schwerpunkt
Schwerpunkt
Schwerachse
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
19 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchnittgrößen
…werden durch Trennen des Bauteils senkrecht zur Mittelachse freigesetzt ⇒ „Schnittgrößen“
…abstrakte und gedachte Kräfte oder Momente, die im Innern von Bauteilen wirken
AH
AV
q
N (x)
x
Q (x) M (x) N (x) Normalkraft
Q (x) Querkraft
M (x) Biegemoment
…wirken als Zug-, Druck- und Querkraft, Biege- und Torsionsmoment imFlächenschwerpunkt oder in der Schwerachse
…stehen mit den äußeren Lasten und Auflagerreaktionen im Gleichgewicht
Definition der Schnittgrößen
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
20 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchnittgrößen
AH
AV
L
qF
B
Querschnitt
Schwerachse yy
z
z
x
F
B
q
AH
AV
q
N (x)
x
Q (x)M (x) M (x) Q (x)
N (x)
L - x
Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
21 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchnittgrößen
AH
AV
q
N (x)
x
AH
AV
q
N (x)
x
Zugkraft (+)
Druckkraft (-)
F
B
q
N (x)
L - x
F
B
q
N (x)
L - x
Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer
-- N(xN(x)) -- N(xN(x))
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
22 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreSchnittgrößen
AH
AV
q
x
M (x)
AH
AV
q
x
Q (x)
Querkraft (+)
Biegemoment (+)
F
B
qM (x)
L - x
F
B
qQ (x)
L - x
Linkes (positives) Schnittufer Rechtes (negatives) Schnittufer
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
23 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalkraft
5 kN 4 kN 8 kN 7 kN
5 kN 5 kN
5 kN 1 kN4 kN
7 kN7 kN
Zug
Zug
Druck
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
24 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreNormalkraft
FDach
FDecke
FDecke
FDecke
NStütze
1 1
FDach
FDecke
FDecke
1 1
FDecke
Normalkraft in der Stütze im Schnitt 1 - 1
ΣV = 0 ⇒ 3 · FDecke + FDach – NStütze = 0
NStütze = 3 · FDecke + FDach
Druckkraft, zeigt auf Schnittfläche
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
25 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreQuerkraft
P
P
P
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
26 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreQuerkraft
Q (li)Q (re)
a
a
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
27 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegemoment
My y
yz
z
My
My
My
Unbelastet und unverformt
Belastet mit My, Drehung um y-Achse und verformt
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
28 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreBiegemoment
Unbelastet und unverformt
y
y
Vertikale Linien bleiben gerade
horizontale Linien werden gekrümmt
Belastet mit My, Drehung um y-Achse und verformt
My
My
My
My
z
z
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
29 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTorsionsmoment
MT
xUnbelastet und unverformt
Belastet mit MT, Drehung um x-Achse und verformt
x
MT
MTx
x
Fachgebiet Bautechnologie
Tragkonstruktionen
30 25.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner
Statik- und FestigkeitslehreTorsionsmoment
Akademie der Bildenden Künste München
Coop Himmelb(l)au
Foto Florian Weininger
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