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Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)
Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : M é máquina classificadora},
L2 = {M ∈M : Lac(M) = Σ∗}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.Resolução: A indecidibilidade de L2 é consequência imediata do teoremade Rice. Como L2 ⊆ M, então L2 é indecidível desde que satisfaça trêsrequisitos: (1) L2 6= ∅, (2) L2 6=M, e (3) se M ∈ L2 e Lac(M) = Lac(M ′)então M ′ ∈ L2. Verificamos cada um deles.
(1) Considere-se a máquina A representada graficamente por:
qin qac
x→ x, S
para cada x ∈ Σ ∪ {�}
Amáquina A aceita todos os inputs pelo que Lac(A) = Σ∗, e portantoA ∈ L2 e L2 6= ∅.
(2) Considere-se a máquina B representada graficamente por:
qin qrj
x→ x, S
para cada x ∈ Σ ∪ {�}
A máquina B rejeita todos os inputs pelo que Lac(B) = ∅ 6= Σ∗, eportanto B /∈ L2 e L2 6=M.
(3) se M ∈ L2 e Lac(M) = Lac(M ′) então sabemos que Lac(M) = Σ∗ =Lac(M ′), e portanto também Lac(M ′) = Σ∗, pelo que M ′ ∈ L2.
Pelo teorema de Rice concluímos que L2 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.Resolução: Não é possível usar (directamente) o teorema de Rice parademonstrar a indecidibilidade de L1, pois existem máquinas M ∈ L1 eM ′ /∈ L1 com Lac(M) = Lac(M ′). Nomeadamente, seja M uma máquina(classificadora) que rejeita todos os inputs, e M ′ uma máquina (não clas-sificadora) que entra em ciclo infinito para todos os inputs. Obviamente,tem-se Lac(M) = ∅ = Lac(M ′), M ∈ L1 e M ′ /∈ L1.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.Resolução: Começa-se por verificar que L1 ≤ L2. Basta considerar afunção f : {0, 1}∗ → {0, 1}∗ definida por f(x) = x se x /∈ M, e f(x) = x′
caso contrário, onde x′ é a máquina definida a partir de x por:qin : w
↓
simula x sobre w(como na máquina universal)
se aborta→ ciclo infinito
↓ se aceita ou rejeita
qac
A função f é total, e computável por uma máquina que verifica se o inputé uma máquina, devolvendo x ou x′ como output consoante o resultado.Se x /∈M então x /∈ L1 e f(x) = x /∈ L2. Se x ∈M, então x ∈ L1 se e sóse x é máquina classificadora se e só se x aceita ou rejeita todos os inputsse e só se x′ aceita todos os inputs se e só se x′ = f(x) ∈ L2.Verifique-se agora que L2 ≤ L1. Basta considerar a função g : {0, 1}∗ →{0, 1}∗ definida por g(x) = x se x /∈ M, e g(x) = x′′ caso contrário, ondex′′ é a máquina definida a partir de x por:
qin : w
↓
simula x sobre w(como na máquina universal)
se aceita→ qac
↓ se rejeita ou aborta
ciclo infinito
A função g é total e computável por uma máquina que verifica se o seuinput é uma máquina, devolvendo x ou x′′ como output consoante o re-sultado. Claramente, se x /∈M então x /∈ L2 e g(x) = x /∈ L1. Se x ∈M,então x ∈ L2 se e só se x aceita todos os inputs se e só se x′′ não temciclos infinitos se e só se x′′ é classificadora se e só se x′′ = g(x) ∈ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, apartir da alínea a), que L1 é indecidível.
Resolução: Sabemos da alínea b) que L2 ≤ L1, nomeadamente por inter-médio da função computável g : {0, 1}∗ → {0, 1, $}∗. Seja G uma máquinade Turing que calcule g.Assuma-se, por absurdo, que L1 fosse decidível. Nesse caso, existiria umclassificador D1 tal que Lac(D1) = L1. Então, poder-se-ia construir amáquina D2, descrita por:
qin : x
↓ simulando máquina G que calcula g
g(x)
↓
simula D1 sobre g(x)(como na máquina universal)
se aceita→ qac
↓ se rejeita
qrj
Facilmente, D2 é um classificador pois a função g é total e D1 é um clas-sificador. Além disso, D2 aceita x se e só se D1 aceita g(x) se e só seg(x) ∈ L1 se e só se x ∈ L2. Mas então D2 decidiria a linguagem L2, emcontradição com a sua indecidibilidade, obtida na alínea a).
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
y = x1 + x2 + · · ·+ xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais∑k
i=1 xi é igual a y, onde os valores são tomados em representaçãobinária. Por exemplo, 111 = 100 + 1 + 10 ∈ S pois 4 + 1 + 2 é 7.
a) Demonstre que S ∈ P.Resolução: Considere-se a máquina de Turing D com alfabeto de trabalhoΓ = {0, 1, +, =,�} e duas fitas bidireccionais, representada por:
qin lst som vai
ret
precmp
qac
qrj
0�→ 0�, RS
1�→ 1�, RS
= �→= �, RS
0�→ 0�, RS
1�→ 1�, RS
+�→ +�, RS
��→ ��, LS
01→ �1, LL1�→ �1, LL
10→ �1, LL
0�→ �0, LL00→ �0, LL
11→ �0, LL
0�→ �1, LL
00→ �1, LL
10→ �0, LL
1�→ �0, LL
01→ �0, LL11→ �1, LL
+1→ +0, SL
= 1→= 0, SL
+∗→
�∗, L
R
+0→
�1,
LR
+�→
�1,
LR∗�
→∗�
, SL
=∗→
�∗,
LR
=�→
�1, L
R
=0→
�1, L
R
∗1→ ∗1, SR
∗0→ ∗0, SR0�→ 0�, LS�0→ �0, SL
11→ 11, LL
00→ 00, LL
∗�→ ∗�, SL
��→ ��, SS
1�→ 1�, SS
�1→ �1, SS
10→ 10, SS01→ 01, SS
∗∗→∗∗
, SS
∗∗→∗∗, S
S
∗0→ ∗0, SR∗1→ ∗1, SR
A máquina D começa por verificar que o input é da forma correcta, umasequência de 0s e 1s até ao símbolo =, transitando para o estado lst ondese verifica que o resto do input é uma lista de sequências de 0s e 1s sepa-radas pelo símbolo +. Depois, a partir do estado som começa a calcular-sena segunda fita a soma necessária. A lista é percorrida da direita paraa esquerda e sucessivamente adicionada, sendo o resultado acumulado nafita 2. Ao processar cada soma, caso haja transporte, transita-se parao estado vai. Processado um dos números da lista (encabeçado por +)recolocamos a cabeça de leitura e escrita da fita 2 no bit mais à direita do
resultado acumulado (estado ret) e repete-se o procedimento. Processadatoda a lista (símbolo =) transita-se para o estado pre, onde se recolocade novo a cabeça de leitura e escrita da fita 2 no bit mais à direita doresultado acumulado, e transita-se para o estado cmp onde se procede ànecessária comparação (considera-se que 0s à esquerda são irrelevantes).Analisando o comportamento de D, para um input y = x1 + x2 + · · ·+ xk
de tamanho n, têm-se n+1 passos na verificação do input, mais o númerode passos para efectuar as k somas, mais o número de passos para a com-paração final. Cada soma é efectuada num número de passos proporcionalao maior comprimento dos somandos que é O(n). Obviamente que k tam-bém é O(n), no pior caso. O mesmo se aplica à comparação final, peloque se tem timeD(n) ≤ O(n)+O(n).O(n)+O(n) = O(n2). Mesmo tendoem conta que D tem duas fitas bidireccionais, sabemos que a linguagemS seria decidida por uma máquina com uma única fita unidireccional emtempo O(n4) e portanto S ∈ P.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∪ S é C-completa então C ⊆ P.
Resolução: Da alínea a) temos uma máquina A, de tempo na com a ∈ N,que decide S.Como sabemos que L ≤P S, então existe uma função total f : Σ∗ →{0, 1, +, =}∗ computável por uma máquina F em tempo O(nb) com b ∈ N(onde Σ é o alfabeto subjacente à linguagem L) tal que w ∈ L se e só sef(w) ∈ S, para cada w ∈ Σ∗.Adicionalmente, como L ∪ S é C-completa então é C-difícil, e portantoX ≤P L ∪ S para toda a linguagem X ∈ C. Logo, para cada X ∈ C,existe uma função total gX : Σ∗X → (Σ ∪ {0, 1, +, =})∗ computável poruma máquina GX em tempo O(nc) com c ∈ N (onde ΣX é o alfabetosubjacente à linguagem X) tal que w ∈ X se e só se gX(w) ∈ L∪ S, paracada w ∈ Σ∗X .Dada X ∈ C, considere-se a máquina DX (com 2 fitas) descrita por:
qin : w
↓ simula máquina GX que calcula gX na fita 1
gX(w)
↓ copia resultado
gX(w)gX(w)
↓ simula máquina F que calcula f na fita 2
gX(w)f(gX(w))
↓
simula D sobre gX(w) na fita 1se aceita→ qac
↓ se rejeita
simula D sobre f(gX(w)) na fita 2se aceita→ qac
↓ se rejeita
qrj
Facilmente, DX é um classificador pois as funções f, gx são totais e D éum classificador. Além disso, DX aceita w se e só se D aceita gX(w) ouf(gX(w)) se e só se gX(w) ∈ S ou f(gX(w)) ∈ S se e só se gX(w) ∈ S ougX(w) ∈ L se e só se gX(w) ∈ L∪S se e só se w ∈ X. Conclui-se que DX
decide a linguagem X ∈ C.
Resta verificar que a máquina DX é de tempo polinomial. Tem-se, defacto, que
timeDX(n) ≤ timeGX
(n) +O(n + timeGX(n)) + timeF (n + timeGX
(n))+
timeD(n+ timeGX(n))+ timeD(n+ timeF (n+ timeGX
(n)))
≤ O(nc) +O(n + nc) + timeF (n +O(nc))+
timeD(n +O(nc)) + timeD(n + timeF (n +O(nc)))
≤ O(nc) +O(nc) +O((n + nc)b)+
O((n + nc)a) + timeD(n +O((n + nc)b))
≤ O(nc) +O(nc) +O(nbc) +O(nac) + timeD(n +O(nbc))
≤ O(nbc) +O(nac) +O((n +O(nbc))a) = O(nabc)
correspondendo ao tempo necessário para para calcular gX(w), copiargX(w) para a segunda fita, e depois o tempo necessário para para calcularf(gX(w)), simular D sobre gX(w), e ainda simular D sobre f(gX(w)).
Sabendo que existe uma máquina equivalente com uma única fita comuma desaceleração quadrática, podemos concluir que X é decidível emtempo O(n2abc), e portanto X ∈ P. Concluímos que C ⊆ P.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
Resolução: O teorema de Savitch diz que se n ≤ f(n) então NSPACE(f(n)) ⊆SPACE(f(n)2).
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
Resolução: Uma função f diz-se construtível no espaço se log(n) = O(f(n))e o cálculo de f(n) (em binário) a partir de n (em unário) é computávelem espaço O(f(n)).
O teorema de hierarquia espacial afirma que, se f é uma função cons-trutível no espaço, então existe uma linguagem L ∈ SPACE(f(n)) quenão pode ser decidida por nenhuma máquina cujo espaço seja o(f(n)).
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n) ( SPACE(n3).
Resolução: Demonstramos que
NTIME(n) ⊆ NSPACE(n) ⊆ SPACE(n2) ( SPACE(n3).
NTIME(n) ⊆ NSPACE(n) pois se L ∈ NTIME(n) então existe umamáquina não-determinista D que decide L tal que ntimeD(n) = O(n).Mas tem-se nspaceD(n) ≤ ntimeD(n) já que em cada passo de com-putação a máquina D visita, no máximo, uma nova célula de memória.Assim, tem-se que nspaceD(n) = O(n) e portanto L ∈ NSPACE(n).O teorema de Savitch garante que NSPACE(n) ⊆SPACE(n2).Como n2 = O(n3) é imediato que SPACE(n2) ⊆ SPACE(n3).Falta mostrar que existe L ∈ SPACE(n3) tal que L /∈ SPACE(n2).Observe-se que log(n) = O(n3) e que f(n) = n3 é construtível no espaço.Basta notar que para o input 1n o output pretendido (n3)bin é tal que|(n3)bin| ≤ 3.|(n)bin| = O(log(n)), e portanto é calculável em espaço lin-ear obtendo (n)bin e depois realizando duas multiplicações.O teorema de hierarquia espacial diz-nos então que existe L ∈ SPACE(n3)que não pode ser decidida por nenhuma máquina cujo espaço seja o(n3).Para mostrar que L /∈ SPACE(n2) basta verificar que n2 = o(n3). Veja-se então que:
limn→∞
n2
n3 = limn→∞
1n
= 0.
Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)
Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2A Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : M é máquina classificadora},
L2 = {M ∈M : Lac(M) = Σ∗}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L1 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
y = x1 + x2 + · · ·+ xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais∑k
i=1 xi é igual a y, onde todos os valores são tomados em repre-sentação binária.
Por exemplo, 111 = 100 + 1 + 10 ∈ S pois 4 + 1 + 2 é igual a 7.
a) Demonstre que S ∈ P.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∪ S é C-completa então C ⊆ P.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n) ( SPACE(n3).
Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)
Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2B Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Considere as linguagens L1 = {M ∈ M : M aceita todas as palavras} eL2 = {M ∈M : todas as computações de M são finitas}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L1 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L2.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L2 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
y#x1$x2$ . . . $xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais y é o máximo do conjunto {x1, . . . , xk}, onde todos os valores sãotomados em representação binária.
Por exemplo, 110#110$101$10 ∈ S pois 6 é o máximo de {6, 5, 2}.
a) Demonstre que S ∈ PSPACE.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L \ S é C-difícil então C ⊆ PSPACE.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n + log(n)) ( SPACE(n3 − n2).
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Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2C Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : M não é máquina classificadora},
L2 = {M ∈M : Lac(M) 6= Σ∗}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L1 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
u1$u2$ . . . $uk#u, onde k ≥ 0 e u1, . . . , uk, u ∈ {0, 1}∗
para as quais (u)bin >∑k
i=1(ui)bin.
Por exemplo, 101$1$10#1001 ∈ S pois 9 > 8 = 5 + 1 + 2.
a) Demonstre que S ∈ P.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∩ S é C-completa então C ⊆ P.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(2n) ( SPACE(n2. log(n)).
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Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2D Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : Lac(M) 6= Σ∗},
L2 = {M ∈M : M tem pelo menos uma computação infinita}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L1 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L2.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L2 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
y#x1$x2$ . . . $xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais y ≤ min(x1, . . . , xk), onde todos os valores são tomados em rep-resentação binária.
Por exemplo, 100#110$101$1000 ∈ S pois 4 ≤ 5 = min(6, 5, 8).
a) Demonstre que S ∈ PSPACE.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∩ S é C-difícil então C ⊆ PSPACE.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n.√
n) ( SPACE(n3. log(n)).
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Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2E Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Considere as linguagens L1 = {M ∈ M : M é máquina classificadora} eL2 = {M ∈M : M aceita todas as palavras}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L1 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
x1 + x2 + · · ·+ xk < y, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais∑k
i=1 xi é menor que y, onde todos os valores são tomados emrepresentação binária.
Por exemplo, 10 + 100 + 1 < 1000 ∈ S pois 2 + 4 + 1 = 7 < 8.
a) Demonstre que S ∈ PSPACE.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e S ∪ L é C-completa então C ⊆ PSPACE.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(3n) ( SPACE(n3).
Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)
Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2F Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : Lac(M) = Σ∗},
L2 = {M ∈M : M não tem nenhuma computação infinita}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L1 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L2.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L2 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
y#x1$x2$ . . . $xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais y = max(x1, . . . , xk), onde todos os valores são tomados em rep-resentação binária.
Por exemplo, 110#101$110$10 ∈ S pois 6 = max(5, 6, 2).
a) Demonstre que S ∈ P.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L \ S é C-difícil então C ⊆ P.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n + log(n3)) ( SPACE(n3 − n).
Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)
Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2G Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : Lac(M) ∪ Lrj(M) 6= Σ∗},
L2 = {M ∈M : existe(m) palavra(s) não aceite(s) por M}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L2 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L1.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L1 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
u1$u2$ . . . $uk#u, onde k ≥ 0 e u1, . . . , uk, u ∈ {0, 1}∗
para as quais (u)bin ≥∑k
i=1(ui)bin.
Por exemplo, 10$101$1#100 ∈ S pois 8 ≥ 8 = 2 + 5 + 1.
a) Demonstre que S ∈ PSPACE.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e L ∩ S é C-completa então C ⊆ PSPACE.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n) ( SPACE(n2. log(n)− n2).
Instituto Superior TécnicoLic. Engenharia Informática e de Computadores (Alameda)
Teoria da Computação31 de Maio de 2017 Teste 2H Duração: 1h30
Grupo I (3+1+2+2 valores)
Seja Σ um alfabeto. Considere as seguintes linguagens:
L1 = {M ∈M : Lac(M) 6= Σ∗},
L2 = {M ∈M : nem todas as computações de M são finitas}.
a) Use o teorema de Rice para demonstrar que L1 é indecidível.
b) Justifique porque não é possível aplicar o teorema de Rice a L2.
c) Demonstre que L1 ≤ L2 e L2 ≤ L1.
d) Use uma das reduções da alínea c) para concluir, justificadamente, a par-tir da alínea a), que L2 é indecidível.
Grupo II (4+3 valores)
Considere a linguagem S formada por todas as palavras da forma
y#x1$x2$ . . . $xk, onde k ≥ 0 e y, x1, . . . , xk ∈ {0, 1}∗
para as quais y é o mínimo de {x1, . . . , xk}, onde todos os valores são tomadosem representação binária.
Por exemplo, 101#110$101$1000 ∈ S pois 5 é o mínimo de {6, 5, 8}.
a) Demonstre que S ∈ P.
b) Seja C uma classe de linguagens e L uma linguagem. Use a alínea a) parademonstrar que se L ≤P S e S ∩ L é C-difícil então C ⊆ P.
Grupo III (1+1+3 valores)
a) Enuncie o teorema de Savitch.
b) Enuncie o teorema de hierarquia espacial.
c) Use os teoremas anteriores para mostrar que
NTIME(n.√
n) ( SPACE(n4).
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