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Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes

Cubrimientos, levantamientos y lógica mat.

Andrés Villaveces - Universidad Nacional de Colombia - Bogotá

Encuentro de Topología Carlos Ruiz - Universidad Nacional -

Bogotá - Septiembre de 2017

Contents

Intentos de diálogo entre TOP y LOG

Levantamientos

f i gEjemplos en topología y álgebra

Urysohn, Tietze, reales, complejos simpliciales

Inquietudes

Negación polarizada

Ergosistemas

“... maquinaba y escribía unos esquemas de pensamientoincreíbles, sencillos y minimalistas, que conectaban todas lasideas que transmitía en clase...”

Rafael Méndez, sobre el profesor Carlos Ruiz

“... exponer y escuchar.De exponer: resultados e inquietudes. Plantear

problemas...De escuchar: ... neutralizar... la soledad.... evitar la tentación de dejar en la reserva resultados

porque nos parezcan muy elementales o de exponerlos con elúnico objeto de impresionar al auditorio...”

Carlos Ruiz, sobre estos Encuentros de Topología

“... maquinaba y escribía unos esquemas de pensamientoincreíbles, sencillos y minimalistas, que conectaban todas lasideas que transmitía en clase...”

Rafael Méndez, sobre el profesor Carlos Ruiz

“... exponer y escuchar.De exponer: resultados e inquietudes. Plantear

problemas...De escuchar: ... neutralizar... la soledad.... evitar la tentación de dejar en la reserva resultados

porque nos parezcan muy elementales o de exponerlos con elúnico objeto de impresionar al auditorio...”

Carlos Ruiz, sobre estos Encuentros de Topología

Medianoche en San Petersburgo

Estas notas fueron inspiradas por varias conversaciones con Misha

Gavrilovich en el verano de 2015. Lo que sigue está (en un 85%)

basado en The unreasonable power of the lifting property inelementary mathematics.

Algunos caminos anteriores

I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para

la topología.

I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un

camino clásico que no ha llegado muy lejos.

I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,

Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad

lógica

I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como

(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción

topológica implícita (Zariski)

I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de

caminos en topología algebraica

I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto

sentido más “básico” que todo lo anterior!

la topología.

lógica

la topología.

lógica

la topología.

lógica

la topología.

lógica

la topología.

lógica

TOP/LOG

Recubrimientos Vecindades

TOP/LOG

��Recubrimientos

Vecindades

TOP/LOG

��Recubrimientos

//Vecindades

TOP/LOG

�� %%

Recubrimientos//Vecindades

TOP/LOG

�� &&

&&Levantamientos

Recubrimientos//Vecindades

Propiedad de levantamiento - la definición básica

“f tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a g”

Dadas f : A→ B, g : X → Y ,

si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales

que gi = jf (i, j hacen que el cuadrado conmute) existe j′ : B→ X tal

que j′f = i y gj′ = j (una diagonal ascendente que corta el diagrama

de manera conmutativa)

Dadas f : A→ B, g : X → Y ,

si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales

��

��B Y

Dadas f : A→ B, g : X → Y , si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales

que gi = jf (i, j hacen que el cuadrado conmute)

existe j′ : B→ X tal

��

∀i // X

��B ∀j

Dadas f : A→ B, g : X → Y , si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales

��

∀i // X

��B ∀j

Dos operadores en propiedades de flechas

Considere una propiedad C de �echas de una categoría y considere

las clases (propiedades) derivadas siguientes:

I C` := {f | ∀g ∈ C(f i g)},I Cr := {g | ∀f ∈ C(f i g)}.

Podemos incluso iterar:

C`r := (C`)r ,Cr` := (Cr)`,Cr`r = (Cr`)r , . . .

Dos operadores en propiedades de flechas

Considere una propiedad C de �echas de una categoría y considere

las clases (propiedades) derivadas siguientes:

I C` := {f | ∀g ∈ C(f i g)},I Cr := {g | ∀f ∈ C(f i g)}.

Podemos incluso iterar:

C`r := (C`)r ,Cr` := (Cr)`,Cr`r = (Cr`)r , . . .

Observación de Gavrilovich

“Muchas propiedades elementales (en topología, enálgebra, ...) se pueden obtener tomando repetidamenteortogonales (levantamientos) a izquierda, derechaC`,Cr ,C`r ,C``, ... si se inicia de una clase simple demor�smos C - muchas veces un único contraejemplo ala propiedad que se quiere atrapar.”

I ¿Qué diablos es esto??

I ¿A qué se re�ere Gavr. con propiedad elemental?

I ¿Iniciar... de un contraejemplo?

Un ejemplo básico

Sea C = {∅ −→ {•}} en CONJ o en TOP. Calculemos Cr:

��

∴(sobre)

��{•}

∀j//

j′>>

(∅ → {•})i g ssi g es sobre: la función

j : B = {•} → Y elige UN punto de Y .

j′ : B = {•} → X se ve entonces obligada a escoger

una preimagen, pues gj′ = j; la otra condición

j′f = i : ∅ → {•} se cumple trivialmente.

Así, (∅ → {•})r es la clase de las sobreyectivas.

I Cres entonces la clase de las funciones sobre,

I Crres la clase de los subconjuntos,

I Cr`es la clase de las inyecciones...

Un ejemplo básico

��

∴(sobre)

��{•}

∀j//

j′>>

Un ejemplo básico

��

∴(sobre)

��{•}

∀j//

j′>>

Más ejemplos básicos

De manera similar, para D = {{•, •} −→ {•}},

{•, •}

��

∴(1-1)

��{•}

Dres la clase de las inyecciones, ...

Más ejemplos

Antes de enfocar de nuevo, tomemos vuelo y veamos una primera

lista de ejemplos (¡ejercicios!):

I (∅ → {•})r , (0→ Z)r son las clases de epis en CONJ y en

I Un módulo P es proyectivo ssi 0→ P está en (0→ R)r` y un

módulo I es inyectivo ssi I → 0 está en (R→ 0)rr (en R-MOD).

I En GRUP, por ejemplo un grupo �nito H es un p-grupo ssi

H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)rr , un grupo �nito es de orden

primo rel. con p ssi H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)r , etc.

I En METR (con mor�smos UNIF CONT), un espacio métrico Xes completo ssi {1/n}n → {1/n}n ∪ {0}i X → {0} (con

métricas inducidas de R).

Más ejemplos

El caso de la topología general

Aunque estas ideas provienen realmente de la topología algebraica

“à la Quillen”, muchas ideas de topología básica se pueden expresar

en términos de i, C`, Cr

, etc.

La lista de propiedades a continuación muestra de manera

interesante (creo) el poder de expresar propiedades interesantes a

partir de propiedades de levantamiento, más allá de las originales de

las model-categories.

Ejemplos en TOP

I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.

I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r

I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`

I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en

({a, b} −→ {a = b})`r

I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`

I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``

I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r

I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r

Ejemplos en TOP

I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r

({a, b} −→ {a = b})`r

Ejemplos en TOP

({a, b} −→ {a = b})`r

Ejemplos en TOP

({a, b} −→ {a = b})`r

Ejemplos en TOP

({a, b} −→ {a = b})`r

Ejemplos en TOP

({a, b} −→ {a = b})`r

Ejemplos en TOP

({a, b} −→ {a = b})`r

Ejemplos en TOP

({a, b} −→ {a = b})`r

Más propiedades interesantes en TOP

I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,

I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,

I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales

que la topología de X es inducida por Y ,

I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,

I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.

Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un

espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},

{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r

Más allá...

Otros temas naturalmente expresables de manera corta y sencilla

usando i incluyen el Lema de Urysohn, el teorema de extensión de

Tietze, “caracterizaciones” de la recta real, por ejemplo

({a↙ U ↘ x ↙ V ↘ b} −→ {a↙ U = x = V ↘ b})`r .

También explora Gavrilovich la tensión entre categorías simpliciales

en topología algebraica y nociones métricas - por ejemplo

un espacio métrico M es completo ssi vale en sTOP

E(Ncof −→ Ncof ∪ {∞})i s(M −→ pt).

Más allá...

({a↙ U ↘ x ↙ V ↘ b} −→ {a↙ U = x = V ↘ b})`r .

Más allá...

({a↙ U ↘ x ↙ V ↘ b} −→ {a↙ U = x = V ↘ b})`r .

Inqietudes

De alguna manera hablar con Gavrilovich durante esas noches

blancas de San Petersburgo y luego leer con cuidado algunas de sus

notas me hicieron pensar en tableros de Carlos Ruiz, de hace varias

décadas ya. A continuación indico algunas inquietudes - nada muy

cercano a lo que trabajo pero posiblemente ahí.

If you are a mathematician you ought to look ateverything around, including mathematics itself, from amathematical viewpoint. But to see something interesting,something new, something you had no preconception of, youhave to distance yourself from what you try to discern.

Misha Gromov

Inqietudes

De alguna manera hablar con Gavrilovich durante esas noches

blancas de San Petersburgo y luego leer con cuidado algunas de sus

notas me hicieron pensar en tableros de Carlos Ruiz, de hace varias

décadas ya. A continuación indico algunas inquietudes - nada muy

cercano a lo que trabajo pero posiblemente ahí.

If you are a mathematician you ought to look ateverything around, including mathematics itself, from amathematical viewpoint. But to see something interesting,something new, something you had no preconception of, youhave to distance yourself from what you try to discern.

Misha Gromov

Negación polarizada e iterada

¿Cuál es la lógica implícita? Una lógica que arranca con una

“negación” con comportamiento muy interesante - pero

¿cómo juega

con las lógicas de topos, de haces, de recubrimientos, las otras

lógicas sensibles a estructura topológica?

En biología, química hay muchas propiedades y varias lógicas

“armadas” a dedo. Algunas corresponden a nociones no muy lejanas

de conexidad, separación.

Negación polarizada e iterada

¿Cuál es la lógica implícita? Una lógica que arranca con una

“negación” con comportamiento muy interesante - pero¿cómo juega

con las lógicas de topos, de haces, de recubrimientos, las otras

lógicas sensibles a estructura topológica?

En biología, química hay muchas propiedades y varias lógicas

“armadas” a dedo. Algunas corresponden a nociones no muy lejanas

de conexidad, separación.

Teoría de modelos / teoría de conjuntos

I Las model-categories de Quillen han sido usadas para

re-demostrar un lema de cubrimiento de Shelah en teoría de

conjuntos (Gavrilovich, Hasson).

I La conversación de San Petersburgo surgió por una pregunta

concreta que me hizo Gavrilovich sobre �braciones asociadas a

“clases elementales abstractas dependientes” (trabajo en curso

con Shelah) y acciones de grupoides.

I ¿Lógica in�nitaria y partes “�nitísticas”?

Ergosistemas - MG

Misha Gromov en [Memorandum Ergo] postula los ergosistemas

para entender procesos de aprendizaje en biología y describir el

surgimiento de comportamiento complejo en términos matemáticos.

Misha Gavrilovich sugiere que aquí hay ejemplos nuevos de

ergosistemas. Un ergosistema es un “motor” que produce

comportamiento interesante matemática o estructuralmente y que

después es “robado” o “incorporado ilícitamente” por un sistema

biológico para extraer comportamiento útil.

Las categorías “interesante” o “útil” aparecen en biología y en

�losofía pero no suelen aparecer de manera explícita en matemática.

Ergo 2

Un “comportamiento” es entonces una interacción con un �ujo de

señales. El “motor” (ErgoSist) produce comportamiento “interesante”

sin preocuparse por usos posteriores. Interactúa con un �ujo de

señales - reconoce y selecciona (i) lo “interesante” (para él) y lo usa

para construir su estructura.

Misha Gromov

Foto: María Clara Cortés

“Category/functor modulated structures

cannot be directly used by ergosystems

e.g. because the morphism sets between

even moderate objects become unlistable.

But the ideas of category theory show

that thre are certain (often non-obvious)

rules for generating proper concepts.

(Your ergobrain would not function if it

had followed the motto: “in my theory I

use whichever de�nitions I like”.)

Category theory provides a (rough so far)

hing on a possible nature of such rules...”

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