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Introdução à Lógica Matemática
Argumentos Válidos
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1
João Marques Salomão
Curso de Engenharia Elétrica
Coordenadoria de Eletrotécnica
CEFET-ES
ArgumentosArgumentos Um argumento é uma seqüência de formas
proposicionais A1, A2, ..., An, An+1, com n, tal que a conjunção das n primeiras implica a última, ou seja:A1۸A2۸ ...۸AnAn+1. (Argumento válido)
Neste caso, as formas proposicionais Ai, 1 i n são chamadas de premissas e An+1 é a conclusão.
Um argumento é inválido se a implicação não se verificar, isto é: A1۸A2۸ ...۸An An+1.
Obs: Denotaremos os argumentos válidos por: A1۸A2۸ ...۸AnAn+1
Para testar a validade de um argumento A1, A2, ..., An An+1 é necessário verificar se A1۸A2۸ ...۸AnAn+1 é uma tautologia.
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 2
Aplicação da TV na Validação de Aplicação da TV na Validação de ArgumentosArgumentos
1 – Usando a TV simplificada, testar a validade do argumento: A ~A, A۷ .
Sol: Devemos verificar se a proposição ((A۸~A)۸(A۷) é uma tautologia:
Conclusão: como a coluna da TV correspondente à condicional não é uma tautologia, então o argumento não é válido.
2 – Fazer o mesmo para o argumento: A A۷ .Sol: verificar se ((A۸(A۷))۸(~ é uma tautologia:
((A ۸ ~A) ۸ (A ۷ ))
0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 3
As Regras de InferênciaAs Regras de Inferência• São argumentos válidos simples usados como suporte para testar a
validade de argumentos mais complexos, visto que a técnica da tabela verdade pode se tornar impraticável.Dupla negação (DN): ¬¬P ou P P ¬¬P 1) Conjunção (C): P, Q
P۸Q
2) Disjunção (D): P (Tautolgia) ->
P۷Q
3) Simplificação (S): P۸Q (Tautolgia) ->
P
4) Regra da absorção (RA): P → Q
P→(P۸Q)
5) Simplificação disjuntiva (S+): P۷Q, P ۷¬Q
P
P P ۷ Q
0 1 0 0 0
0 1 0 1 1
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 4
(P ۸ Q) P
0 0 0 1 0
0 0 1 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
Regras de InferênciaRegras de Inferência6) Modus ponens (modalidade que afirma) - MP
P → Q, P If P, then Q. and P. Therefore, Q Q
7) Modus tollens (modalidade que nega) - MT
P → Q, ¬Q If P, then Q. and ¬Q . Therefore, ¬P .
¬P (P Q) ۸ ~Q ~P
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 0 0 1 0
Ex: Se hoje é quinta-feira, então haverá jogo.
Hoje é quinta-feira.
Portanto, haverá jogo.
Ex: Se há oxigênio ou fumaça
aqui, então há fogo.
Não há oxigênio ou fumaça.
Portanto, não existe fogo.
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 5
(P Q) ۸ P Q
0 1 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
Regras de InferênciaRegras de Inferência8) Silogismo disjuntivo (SD): P۷Q, ¬Q
~Q
9) Silogismo hipotético (SH): A→B, B→C
A→C
10) Regras do bicondicional (BIC): A→B, B→A ou AB_____
AB (A→B)۸(B→A)
11) Dilema construtivo (DC): A→B, C→D, A۷C
B۷D
12) Dilema destrutivo (DD): A→B, C→D, ~B۷~D
~A۷~C
Obs: Além dessas regras, usam-se propriedades, leis e teoremas da equivalência lógica. Por exemplo: A→B ~A۷BIntrodução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 6
Técnicas dedutivasTécnicas dedutivas Permitem obter a conclusão de argumentos sem o
uso de TV. Isso pode ocorrer através de três alternativas:
1. Dedução direta - Considera as informações dadas nas premissas e com o uso das regras de inferência permite encontrar a conclusão.
2. Dedução de conclusão condicional e bi- condicional – Neste caso, a conclusão é do tipo condicional ou bi- condicional e para demonstrar a validade, o antecedente da conclusão é tomado como uma nova premissa e o conseqüente é obtido como conclusão.
3. Dedução indireta ou redução a um absurdo - Nega-se a conclusão e obtém-se uma contradição se o argumento for válido.
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 7
Dedução diretaDedução direta Utiliza-se das regras de inferência para validar os argumentos.
Neste caso, uma forma proposicional B é dita dedutível ou derivável a partir de um conjunto de premissas (p) ou hipóteses quando podemos escrever A1,A2, ...,An-1An B. Exemplos: a) Deduzir ~D a partir de:
C, C→~B, ~B →~D
Sol:
1 – C p
2 - C→~B p
3 - ~B →~D p
4 - ~B MP em 2 e 1
5 - ~D MP em 3 e 4
b) Deduzir E۷~D, dado as premissas: D۸B, C→~B, ~C →E.
Sol:
1 D۸B p
2 - C→~B p
3 - ~C →E p
4 - B S em 1
5 - ~(~B) DN em 4
6 - ~C MT em 2 e 5
7 - E MP em 3 e 6
8 - E۷~D D em 7
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 8
Dedução direta - ExemplosDedução direta - Exemplos
c) Derivar “x=0” das premissas: x0→x=y, x=y→x=z, x z.
Sol: escrevendo simbolicamente onde p x=0 , temos: ~p → q, q → r, ~r p
1 ~p → q p
2 - q → r p
3 - ~r p
4 - ~q MT em 2 e 3
5 - ~(~p) MT em 1 e 4
6 - p DN em 5
d) Deduzir A das premissas: ~A→B, B→~D, D۷E, ~E.
Sol:
1 ~A→B p
2 - B→~D p
3 - D۷E p
4 - ~E p
5 - D SD em 3 e 4
6 - ~(~D) DN em 5
7 - ~B MT em 2 e 6
8 - ~(~A) MT em 1 e 7
9 - A DN em 8
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 9
Dedução: conclusão do tipo PDedução: conclusão do tipo P۸QQQuando a conclusão é do tipo p q, devemos
obter, independentemente, as parcelas p e q, e a seguir, deduzir p q, por CONJUNÇÃO.
Exemplo: Se a procura do produto aumentar, seu preço subirá; se o preço subir, o produto não será exportado; se não houver importação ou se a produto for exportado, o produto escasseará. A procura do produto aumentou e não haverá importação. Logo, o produto não será exportado e escasseará.
Fazendo: p a procura aumentar; q o preço subir; r o produto ser exportado; s haver importação; t o produto escassear, temos o argumento na forma simbólica e sua dedução:
p q; q r; s r t; p s; r t
Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 10
Solução: conclusão do tipo PSolução: conclusão do tipo P۸QQ
1 premissa 1 p q
2 premissa 2 q r
3 premissa 3 s r t
4 premissa 4 p s
5 S em 4 p
6 SH em 1 e 2 p r
7 MP em 5 e 6 r
8 S em 4 s
9 D em 8 s r
10 MP em 3 e 9 t
11 C em 7 e 10 r t Exercício 36a): Deduzir E D das premissas: A B; E B;
(A D)Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 11
Dedução condicionalDedução condicional e bi- e bi- condicionalcondicional Sendo a conclusão da forma A→B e as premissas A1, A2, ...
An, se tomamos a conjunção das premissas como sendo D e comprovamos a validade do seguinte argumento DA→B, obtemos a equivalência (A۸D)B.
Prova: Se o argumento é válido, então temos D→A→B) 1 (tautologia) D→A۷B) ~D۷A۷B) (~D۷A)۷B ~(D۸A)۷B (D۸A)→B 1 (tautologia), portanto, (A۸D)B.
Isto é, se a conclusão do argumento é do tipo condicional, para demonstrar sua validade, o antecedente da conclusão é tomado como uma nova premissa e o conseqüente é obtido como conclusão.
OBS: Para a prova de argumentos com conclusão do tipo bi- condicional o procedimento é idêntico e deve ser feito em ambos os sentidos (condição necessária e suficiente).
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 12
Dedução condicional - ExemplosDedução condicional - Exemplos
a) Deduzir E→~A das premissas (pag 55): A→B, E→~B.
Sol:
1 A→B p
2 - E→~B p
3 - E pp (antecedente)
4 - ~B MP em 2 e 3
5 - ~A MT em 1 e 4
6 - E→~A DCond em 3 e 5
C – Obter C→D das premissas (pag 55):
(C۷E)→A, E→(~A۸~B), E۷D .
b) Comprovar a validade do argumento:
Se a casa ficar vazia ou eu conseguir o empréstimo então pago a dívida e me mudo. Se eu me mudar ou Pedro ficar em São Paulo então volto a estudar.
Logo, se a casa ficar vazia, volto a estudar.
Considere:p a casa ficar vaziaq eu conseguir o empréstimor eu pagar a dívidas me mudart Pedro ficar em São Paulou voltar a estudar.
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 13
Dedução Dedução bi-bi-condicional - Exemploscondicional - ExemplosExemplo: Deduzir CD das premissas (pag 55):
F→C, D→F, C→G, D۷~G .
Sol: 1 F→C p
2 - D→F p
3 - C→G p
4 - D۷~G p
5a - C pp
6a - G MP em 3 e 5a
7a – D SD em 4 e 6a
8a - C→D Dcond em 5a e 7a
5b - D pp
6b - F MP em 2 e 5b
7b – C MP em 1 e 6b
8b - D→C CondD em 5b e 7b
9 - (C→D)۸(D→C) C em 8a e 8b
10 - CD BICON em 9
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 14
Dedução da forma Dedução da forma p p q q • Sabemos que, por COND, p q p
q, portanto, se a conclusão do argumento tem a forma p q, podemos substituíla por p q.
• Utilizando Dedução da Condicional, incluir p nas premissas e deduzir q.
• Exemplo: Ou pagamos a dívida ou o déficit aumenta; se as exportações crescerem, o déficit não aumenta. Logo, ou pagamos a dívida ou as exportações não crescem.Onde: p pagar a dívida; q o déficit aumentar; r as exportações crescerem, Temos o argumento: p q, r q, p r.
• Pela Dedução da Condicional, a forma: p q, r q, p, r
Solução:
1 premissa 1 p q
2 premissa 2 r q
3 premissa 3 p
4 SD em 1e 3 q
5 MT em 2 e 4
r
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 15
Dedução indireta ou por absurdoDedução indireta ou por absurdo O método da dedução indireta ou redução a um
absurdo consiste em admitir a negação da conclusão como uma nova premissa e, então, deduzir uma contradição.
Prova: Considerando o argumento abaixo é válido: A1, A2... An B, é uma tatologia
Então A1, A2... An, ~B 0 é uma
Contradição.
Mas pela regra da condicional temos que:
A1, A2... An, ~B→0 , mas como ~B→0 ~~B۷0 B۷0B۷0B segue que o argumento
A1, A2... An B é válido.
Exemplo: Deduzir E das premissas:
~A→E, ~E→B, ~(A۸B). Sol:
1 ~A→E p
2 - ~E→B p
3 - ~(A۸B) p
4 - ~E pp
5 - B MP em 2 e 4
6 - ~A۷~B DM em 3
7 - ~~B DN em 5
8 - ~A SD em 6 e 7
9 - E MP em 1 e 8
10- E۸~E C em 4 e 9 (contradição)
11 – E DI de 4 a10
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 16
Validade e invalidade de argumentosValidade e invalidade de argumentos Os métodos de dedução demonstram a validade de um
argumento. Ele não serve para a prova de sua invalidade. Por outro lado,um argumento é, uma operação de condicional.
Se o argumento for válido, essa condicional é tautológica, caso contrário, ela é falsa;
Uma condicional é falsa se o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso;
Em um argumento, o antecedente é uma conjunção de premissas, e o conseqüente é a conclusão;
Para que o antecedente seja verdadeiro, é necessário que todas as premissas sejam verdadeiras, e para que o conseqüente seja falso, é necessário que a conclusão seja falsa.
Sendo assim, para mostrar que um argumento é inválido, é suficiente encontrar uma combinação de valores lógicos para as proposições simples envolvidas, de forma que torne cada premissa verdadeira, e a conclusão falsa.
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 17
Validade e invalidade - Validade e invalidade - ExemplosExemplos Exemplo: Considere o
seguinte argumento: Se José comprar ações
e o mercado baixar, ele perderá seu dinheiro. O mercado não vai baixar. Logo, ou José compra ações ou perderá seu dinheiro.
onde: p José comprar ações; q o mercado baixar; r José perder dinheiro.
Formalmente: pq r, q, p r
Solução: Para mostrar sua invalidade devemos fazer as premissas verdadeiras e a conclusão falsa; isto é:
VL [p q r] = V ( a ); VL [ q] = V ( b ) ;
VL [ p r ] = F ( c ).
De ( b ) vem que o VL [ q ] = F; subst em ( a ) temos: VL [p F r ] = V ( d ).
Sendo o VL [p r] = F ( e ), e como o VL [p F] = F qualquer que seja p, de ( d ), vem VL [r] = F; que substituindo em ( e ), vem: VL [p F] = F. O que implica em VL [ p ] = F
Temos então que, para o conjunto de valores lógicos:
VL [ p ] = F; VL [ q ] = F e VL [ r ] = F Então a condicional é falsa, o que significa
que o argumento é inválido.
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 18
Fluxograma é um método de modelagem lógica utilizado em programação e na solução de problemas em geral.
Simbologia utilizada em Fluxogramas
Validade e invalidade de argumentos:Validade e invalidade de argumentos:FluxogramasFluxogramas
NÃO
Y X
?SIM
1 - Início ou fim de rotinas ou deduções.
2 - Comando que atribui valores às variáveis;
3 - Comando que toma decisões.Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 19
No caso do Fluxograma aplicado na verificação da validade de um argumento ou prova de um teorema, procede-se da seguinte forma:
1. consideram-se as premissas verdadeiras; 2. aplicam-se os conectivos lógicos na obtenção da
conclusão. 3. verifica se a conclusão é tautológica ou não. No
primeiro caso, o argumento é válido, e no segundo, ele é inválido.
O teste de validade ou não de argumentos pode ser feito pelo método direto ou indireto (redução a um absurdo).
Validade e invalidade de argumentos:Validade e invalidade de argumentos:FluxogramasFluxogramas
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 20
Fluxogramas - ExemplosFluxogramas - ExemplosEx1: Como obter, no máximo em
duas pesagens, a bola mais pesada de um total de oito com as mesmas semelhanças físicas entre elas?
Sol:
Início
Colocar 3 bolas em cada prato,
deixando 2 de fora.
Um dos lados é
mais pesado?
Colocar as 2 de fora, uma em cada
prato.
Das 3 mais pesadas, colocar
uma em cada prato, deixando uma fora.
Um dos lados é
mais pesado?
A bola que ficou de fora é a mais pesada!
SIM NÃO
A mais pesada é a que fizer pender o
prato!
NÃOSIM
FIM
1a Pesagem!
2a Pesagem!
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 21
Fluxogramas – Exemplos método Fluxogramas – Exemplos método diretodireto
Ex2: Pelo método direto, obter p’ dadas as premissas:p q, q’
Sol:
Ex3: Testar a validade do argumento:a b, a’ b’
Sol:
a b = 1 a’ = 1
Início
2
1
3
4
5
a = 0
0 b = 1
b = 0 b = 1
b=?
Fim
Indefinido
p q = 1 q’ = 1
Início
2
1
3
4
5
q = 0
p 0 = 1
p = 0
p’ = 1
Fim
Arg . válido
Arg . inválido
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 22
Fluxogramas – Exemplos método Fluxogramas – Exemplos método indiretoindireto Ex4: Pelo método indireto,
obter p dadas as premissas:
p + q, p’ q’
Sol:
Ex5: Provar a validade do argumento:p + q, q r , r’ p
Sol:
Fim
Contradição
r’ = 1 q r = 1
Início
2
1
3
4
5
p = 0
0 q = 1
q = 1
r = 0
6
p + q = 1
1 0 = 1
Arg . válido
Conclusão falsa
Início
Fim Arg . válido
p + q = 1 p’ q’ = 1
2
1
3
4
5
p = 0
0’ q’ = 1
1 q’ = 1
q’ = 1
q = 0
0 + 0 = 1
6
7 Contradição
Conclusão falsa
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 23
FaláciasFalácias Afirmando o conseqüente: Se Frei Beto escreveu a Bíblia, então Frei Beto é um grande escritor.
Frei Beto é um grande escritor. Portanto, Frei Beto escreveu a Bíblia.
Negando o antecedente: Se eu estiver adormecido, meus olhos estão fechados. Eu não estou
adormecido. Conseqüentemente, meus olhos não estão fechados.
Falácia da relevância: as premissas não têm relação com a conclusão.
Antonio viu os homens cometerem o crime. Antonio é apenas um pobre coitado. De vez em quando ele toma umas biritas. Logo, o testemunho de Antonio não tem valor algum.
Raciocínio circular: assume aquilo que se deseja comprovar. É claro que estas cenas de sexo são imorais, pois são ofensivas aos
telespectadores.
Introdução à Lógica Matemática - 2007/1 – p. 24
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