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Ano: 2016
INTRODUÇÃO À
MATEMÁTICA
FINANCEIRA Aulas 01 a 04
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário Matemática Financeira ................................................ 1
REFLITA ................................................................................................................................................................ 1
Porcentagem ....................................................................................................................................................... 1
Cálculos com porcentagem ................................................................................................................................. 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
Lucro.................................................................................................................................................................... 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
AUMENTO e DESCONTO ..................................................................................................................................... 2
Preliminar 1 ......................................................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
Juro ............................................................................... 2
Elementos do estudo de juro ....................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
Juro Simples ........................................................................................................................................................ 3
Juro Composto .................................................................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
CAIU EM PROVAS ANTERIORES ........................................................................................................................... 4
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01 Matemática Financeira
REFLITA 1) Frações expressam números?
2) Qualquer número real pode ser escrito em
uma forma fracionária?
3) Dado um número real qualquer, é possível
escrevê-lo em uma forma fracionária, com um
denominador previamente escolhido?
Porcentagem
A razão 𝑎
𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0, pode ser expressa na forma
𝑝
100. As razões de denominador 100 podem ter seu
denominador trocado pelo símbolo de porcentagem
(%).
Veja como podemos escrever um número qualquer na
forma de porcentagem:
I. 1
2=
1
2.100
100=
50
100= 50%
II. 1
4=
1
4.100
100=
25
100= 25%
III. 0,2 =2
10=
2
10.100
100=
20
100= 20%
IV. 3 = 3
1=
3
1.100
100= 300%
Cálculos com porcentagem
Sejam 𝑣1 e 𝑣2 valores positivos quaisquer.
Se 𝑣1 equivale a 𝑝% de 𝑣2, podemos escrever:
𝒗𝟏 = 𝒑
𝟏𝟎𝟎∙ 𝒗𝟐 ou ainda
𝒗𝟏
𝒗𝟐=
𝒑
𝟏𝟎𝟎
Obs.1: Note que, do exposto acima, podemos concluir
que para descobrir “quantos por cento” um valor 𝒗𝟏
representa de um valor 𝒗𝟐 , basta calcular a razão 𝒗𝟏
𝒗𝟐.
Perceba também que, se efetuarmos a divisão de 𝒗𝟏
por 𝒗𝟐 , teremos a porcentagem escrita numa forma
decimal.
Exemplo 1
Em uma sala de 40 alunos, 25% ficaram para
recuperação em História. O número de alunos que
ficaram para recuperação é dado por:
25% de 40 =25
100. 40 =
1
4. 40 = 10
Exemplo 2
A taxa percentual de aumento no preço de um
produto que custava R$150,00 e passou a custar
R$165,00 é dada por:
165 − 150 = 15 ⟹ 15 =𝑝
100. 150 ⟹ 𝑝 = 10
Representa uma taxa de 10%.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1 Um hospital possui 120 pacientes internados,
sendo que 40% destes são homens. Se 25% dos
homens internados sofreram problemas cardíacos,
determine a quantidade de homens internados por
problemas cardíacos.
1.2 Em uma casa existiam 60 pratos, sendo que 60%
destes eram de cor branca. Após um almoço,
alguns pratos brancos se quebraram, reduzindo a
porcentagem de pratos brancos para 40% dos
pratos restantes. Quantos pratos quebraram?
AULA 02
Lucro Se o preço de custo de uma mercadoria é 𝑪 e o preço
de venda é 𝑽, então o lucro 𝑳 obtido é dado por
𝑳 = 𝑽 − 𝑪
TAREFA 1 – Ler nas páginas 3 a 8 os exercícios resolvidos 1
a 8. FAZER os PSA 1(a, c, e), 2(a, c), 4, 16 e 21.
Observe que calcular “𝒑% de 𝒙” é o mesmo de realizar
o produto 𝒑
𝟏𝟎𝟎∙ 𝒙.
Quando se pede porcentagens consecutivas, isto é,
"𝒒% 𝒅𝒆 𝒑% 𝒅𝒆 𝒙”, realize todos os produtos de uma
só vez: 𝒒
𝟏𝟎𝟎∙ ቀ
𝒑
𝟏𝟎𝟎∙ 𝒙ቁ
Como calcular uma porcentagem de um valor?
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
Obs.2: Caso o lucro seja negativo (𝐶 > 𝑉), o
denominamos prejuízo.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Luís comercializa seus produtos obtendo 25% de
lucro sobre o preço de custo. Nessas condições,
determine a taxa percentual do lucro em relação
ao preço de venda.
AUMENTO e DESCONTO
Preliminar 1 Se uma mercadoria de valor 𝑥 recebe 10% de
aumento, então seu novo valor será de
𝑥 + 10% de 𝑥 = 𝑥 +10
100∙ 𝑥 =
110
100∙ 𝑥 = 1,10𝑥.
Se ela recebe um desconto de 10% sobre 𝑥, então seu
novo valor será de
𝑥 − 10% de 𝑥 = 𝑥 −10
100∙ 𝑥 =
90
100∙ 𝑥 = 0,90𝑥.
Generalizando:
Um AUMENTO de 𝒑% sobre 𝒗𝒊 gera um valor final 𝒗𝒇
𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 +𝒑
𝟏𝟎𝟎∙ 𝒗𝒊 ⇒ 𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 ∙ ቀ𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎ቁ
Um DESCONTO de 𝒑% sobre 𝒗𝒊 gera um valor final 𝒗𝒇
𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 −𝒑
𝟏𝟎𝟎∙ 𝒗𝒊 ⇒ 𝒗𝒇 = 𝒗𝒊 ∙ ቀ𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎ቁ
Exemplo 3
Dois aumentos sucessivos de 10% sobre 𝑥 equivalem
a um único aumento de 21% sobre 𝑥. Veja:
𝑥 ∙ 1,1 ∙ 1,1
= 1,21 ∙ 𝑥
= (1 + 0,21)𝑥
= (100% + 21%)𝑥
Ou seja, o que se tinha acrescido de 21% do que se
tinha.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2 Uma mercadoria sofreu um aumento de 25%.
Determine a porcentagem de redução do seu
preço atual para que ela volte a custar o que
custava antes do aumento.
AULA 03 Juro
Elementos do estudo de juro Capital (C): nome dado ao valor inicial referente
a um empréstimo ou investimento.
Montante (M): nome dado ao valor resultante ao
final de um determinado período.
Juro (J): o nome dado entre a diferença entre
montante e capital.
Taxa de Juro (I): quanto o juro representa sobre o
capital, geralmente expresso em porcentagem.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1 Para comprar um aparelho de 𝑅$ 1000,00 João
possui três diferentes opções de pagamento
I) pagamento à vista de 𝑅$1000,00;
II) sem entrada com o pagamento de 𝑅$ 1200,00 dois
meses após a compra;
III) com uma entrada de 𝑅$500,00 e pagamento de
𝑅$600,00 dois meses após a compra;
a) Determine o juro e a taxa de juro da opção II).
b) Determine o juro e a taxa de juro da opção III).
𝑰 =𝑱
𝑪
𝑴 = 𝑪 + 𝑱
TAREFA 2 – Ler os exercícios resolvidos 12, 13 e 15 e
FAZER os PSA 26, 27, 28, 29 e 31.
Aprofundamento: PROP. 10, 15, 17, 24
Como calcular aumentos ou descontos sucessivos?
Dois aumentos (ou descontos) sucessivos de
𝑝% não equivalem a um único aumento (ou desconto)
de 2𝑝%. Pois, o segundo irá incidir sobre o valor
resultante do primeiro. Assim, realize um aumento
após o outro.
TAREFA 3 (SALA) – Ler os exercícios resolvidos 17 e
19 e FAZER os PROP 49, 50 e 52.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
AULA 04
Juro Simples Quando a taxa de juro incide apenas, e sempre, sobre o
capital inicial 𝐶, diz-se que o juro está sobre um regime
de juro simples.
Generalizando a ideia do exercício anterior, tem-se
que:
G
Juro Composto Quando a taxa de juro incide sobre o montante
resultante do período antecessor, diz-se que o juro está
sobre um regime de juro composto.
Generalizando a ideia do exercício anterior temos que:
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1 Um capital de 𝑅$ 8000,00 será aplicado em um
banco por 4 meses, à taxa de 1% ao mês.
Determine o montante e o juro se
a) o capital for aplicado a um regime de juro simples.
b) o capital for aplicado a um regime de juro
composto.
4.2 Determine o capital que, investido a uma taxa de
juro de 5% ao mês, após 5 meses, gera um
montante de 𝑅$ 6.250,00, se
a) for aplicado a um regime de juro simples;
b) for aplicado a um regime de juro composto.
(1,055 ≅ 1,28)
4.3 Determine a taxa mensal de juro composto de uma
aplicação que gerou um montante de 𝑅$ 5.300,00,
ao final de três meses, para um capital de
𝑅$ 5.000,00. (1,023 ≅ 1,06)
Exemplo 1
Um capital 𝐶 de 𝑅$ 2000,00 é aplicado em regime de
juro simples, por 2 anos, à taxa de 5% ao semestre.
Calcule, em reais, o montante M.
Como 2 anos equivalem a 4 semestres, tem-se:
𝑀 = 2000(1 + 0,05.4) = 2400
Logo, 𝑀 = 𝑅$ 2.400,00.
EXTRA
𝑴(𝒕) = (𝟏 + 𝒊)𝒕. 𝑪
Leia, na PARTE 2, o exercício resolvido “20”(a, b, c, d).
Leia, na PARTE 2, o exercício resolvido 28 (a, b, c, d)
Dica
Caso ache necessário o uso das fórmulas, observe que,
tanto as de juro simples quanto composto, envolvem
𝑀, 𝐶, 𝑖 e 𝑡. Logo, sempre que você tiver três desses
parâmetros você poderá descobrir o outro.
TAREFA 4 – Ler os ex. resolvidos 25, 26, 31, 31, 34 e FAZER
os PSA 54, 56, 60, 63, 64 e 67.
Taxa de juro e período
A unidade de medida do tempo t, período de duração do
empréstimo ou investimento, sempre deve estar de
acordo com o período ao qual a taxa de juro i se refere
(ao mês, ao ano, ao semestre, ...).
Se não estiverem iguais, ajuste a unidade de medida do
tempo t à unidade da taxa i, pois dessa forma sempre
dará certo. No sistema de juro composto, o contrário
não é feito de maneira trivial, por isso não o faremos.
𝑱(𝒕) = 𝑪. 𝒊. 𝒕
𝑴(𝒕) = 𝑪(𝟏 + 𝒊𝒕)
EXTRAS – PSA 3, 8, 11, 12, 13, 18, 23, 24, 31, 40. 43, 48,
59, 61, 66 e 68. Conhecendo avaliações 27, 40 e 41
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
CAIU EM PROVAS ANTERIORES 1) (DISCURSIVA (SUB) – 2014) Julgue os itens a seguir.
a) Uma mercadoria que custava R$ 80,00 teve um
desconto de 17%. Assim, o valor desse
desconto é igual a R$ 13,60.
b) A taxa percentual de desconto de uma
mercadoria que custava R$ 70,00 e passou a
custar R$ 59,50 foi de 15%.
c) O valor 𝑥 de um objeto sofre um desconto de
20% e, em seguida, um aumento de 20%.
Nessas condições o seu valor final permanece
igual a x.
d) Três aumentos sucessivos de 8% equivalem a
um único aumento de 25,9712%.
e) Três descontos sucessivos de 7% equivalem a
um único desconto de 20%.
2) (DISCURSIVA – 2014) Um capital de 300 reais será
investido no regime de juro composto a uma taxa
de juro de 5% ao semestre. Calcule o juro gerado
por esse investimento em um período de 4 anos.
Adote 1,054 = 1,2.
3) (DISCURSIVA – 2014) O preço de uma mercadoria
aumentou de 82%, em decorrência de dois
aumentos sucessivos: 30% e 𝑥%. Nessas
condições, determine 𝑥.
4) (DISCURSIVA – 2015) Se uma mercadoria é vendida
com 50% de lucro em relação ao preço de custo, é
correto afirmar que o lucro em relação ao preço de
venda é de aproximadamente
a) 15%
b) 26%
c) 30%
d) 33%
e) 38%
5) (DISCURSIVA – 2015) O preço de uma mercadoria
foi reduzido em 20% e, em seguida, sofreu um
aumento de 20%. Essa redução e aumento
sucessivos equivalem,
a) A um aumento de 16% em relação ao preço
original.
b) A um desconto de 4% em relação ao preço
original.
c) A um desconto de 16% em relação ao
preço original.
d) A manutenção do preço original.
e) A um aumento de 4% em relação ao preço
original.
6) (DISCURSIVA – 2012) Um capital de R$ 4000,00 foi
aplicado a uma taxa de 3% ao mês, durante quatro
anos, em um sistema de juro composto. Determine
o juro obtido ao final dessa aplicação. (adote
(1,03 )48 ≅ 4,1)
7) (DISCURSIVA – 2012) Considere uma melancia que,
sem casca, tem massa 𝑚 = 10 kg constituída
somente por polpa e água. A participação de água
nessa massa é de 95%. Se essa melancia for
submetida a um processo de desidratação, que
elimina apenas água, a participação de água na
massa da melancia é reduzida a 90%. Determine,
em kg, a massa de água eliminada.
8) (TESTE – 2015) Frederico quer aplicar seu primeiro
salário, 3000 reais, em uma poupança com taxa de
juros de 6% ao bimestre. Dado que a poupança
tem suas aplicações em regime de juros
compostos, determine o montante obtido por
Frederico ao final de um ano. Utilize 1,066 = 1,42.
a) 6030 reais
b) 5680 reais
c) 5320 reais
d) 4260 reais
e) 4080 reais
9) (TESTE – 2015) Carlos investiu 2500 reais, em
regime de juro simples, a uma taxa de 5% ao mês.
Nessas condições, o juro obtido nesse
investimento, ao final de 8 meses, foi igual a
a) 1000 reais
b) 1500 reais
c) 2000 reais
d) 3000 reais
e) 3500 reais
10) (TESTE – 2015) O gráfico a seguir ilustra a
composição corporal de um adulto de 92 kg obtida
durante uma avaliação física com o objetivo de
iniciar a prática de atividade física.
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
Após um ano de atividade física regular, essa avaliação
foi refeita e constatou-se que ele adquiriu 3 kg de
massa magra e reduziu o seu percentual de massa
gorda a 10%. Sendo assim, a massa total desse adulto
nessa reavaliação foi de
a) 75kg.
b) 80 kg.
c) 85 kg.
d) 90 kg.
e) 95 kg.
GABARITO:
FUNDAMENTAIS
1.1. 12
1.2. 20
2.1. 20%
2.2. 20%
3.1. a) J = R$ 200,00 e I = 20%
b) J = R$ 100,00 e I = 20%
4.1. a) J = R$ 320,00 e M = R$ 8.320,00
b) M = R$ 8.324,83 e J = R$ 324,83
4.2. a) R$ 5.000,00
b) R$ 4.882,81
4.3. 2%
QUESTÕES EXTRAS (Livro)
CAIU EM PROVAS ANTERIORES
1) C C E C E
2) R$ 132,00
3) 40
4) D
5) B
6) R$ 12.400,00
7) 5 kg
8) D
9) A
10) B
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