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Sinais e SistemasEng. da Computação
Fundamentos Matemáticos
Prof. Aluizio Fausto Ribeiro AraújoDepto. of Sistemas de Computação
Centro de Informática - UFPE
ES 413 Sinais e Sistemas
Introdução
1-2Sinais e SistemasEng. da Computação
Conteúdo
• Números Complexos
• Sinais Senoidais
• Plotagem de Sinais
• Expansão em Frações Parciais
• Vetores e Matrizes
• Miscelânea
1-3Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (i)• História do Sistema Numérico
– Inicialmente considerava-se apenas números naturais (inteiros positivos) para enumerar objetos e organismos no dia a dia (e.g., crianças, pedras).
– Inclusão de frações para necessidade de medir continuamente quantidades variáveis advindas da agricultura (e.g., comprimento de um campo, peso de mercadorias). Os egípcios e os babilônicos sabiam utilizar frações.
– Pitágoras descobriu os números irracionais que só foram incluídos no sistemas de números mais tarde com Descartes.
– Os números negativos foram entendidos por hindus medievais (em meadosdo século 10). Foi reconhecido a existência de dois valores de raiz quadrada para um número positivo. Mais tarde, em Florença e Veneza renascentistas, o sistema bancário fez uso de números negativos para retiradas maiores que depósitos.
– Na época de Descartes e Newton os números imaginários vieram a ser incluídos no sistema numérico.
• Em 1777 o matemático suiço Leonhard Euler introduziu notação i que depois virou j devido à notação padrão de corrente em Eng. Elétrica.
1-4Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (ii)• Definição de Número Imaginário
• Origens de Números Complexos
– Aceitos por matemáticos em passo intermediário no método para solucionar equação cúbica (Gerolamo Cardano, 1545):
j
j
ej
2144
exemplo,Por 1
12
±=−×=−
±=−
−=
33
332
332
3
12121212 se-tem;4,15Para,
27422742
:é solução cuja,0
−−+−+=−=−=
+−−+++−=
=++
xba
abbabbx
baxx
1-5Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (iii)• Utilidade de um Número Complexo
– Problemas do mundo real devem iniciar a partir de números reais e terminar neles também, contudo, os cálculos para obter os resultados podem seguir “atalhos” quando se utiliza números complexos.
• Álgebra de Números Complexos
– Notação de números complexos:
( )θθθθ
θθ
jsenrzrsenjrjbaz
rsenbra
bzaz
jbaz
+=∴+=+=
==
==
+=
coscos
assim,;cos
:se- tempolares scoordenada Em
Im :(ordenada) imaginária parteRe :(abscissa) real parte
onde,
1-6Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (iv)• Álgebra de Números Complexos
– A fórmula de Euler determina:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
K
K
K
K
+−+−=
−+−+−=
−−++−−+=
+++++++=
+=
!7!5!3
!8!6!4!21cos
!6!5!4!3!21
!6!5!4!3!21
: termososexpandir paraMaclaurin de série da através se-Prova,cos
753
8642
65432
65432
θθθθθ
θθθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
θθ
θ
θ
sen
jjj
jjjjjje
senje
j
j
1-7Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (iv.a)• Álgebra de Números Complexos
∞<<∞−+++++=
<<−+++++=−
++++++=
xxxxx
xxxxxx
xn
fx
fx
fxffxf n
n
K
K
KK
432x
432
)(3
)3(2
)2(|
241
61
21
1e
1111
1MacLaurin de séries de Exemplos
!)0(
!3)0(
!2)0(
)0()0()(
MacLaurin. escocês matemático ao devido estenomerecebeu série Estazero. de tornoemTaylor de série da expansão a éMaclaurin de Série
1-8Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (v)• Álgebra de Números Complexos
– A fórmula de Euler determina:
,cos θθθ senje j +=
1-9Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (vi)• Álgebra de Números Complexos
– Tem-se então as equivalências:
– Em termos de magnitude e ângulo tem-se:
=+=
==
=∴+=
+=
−
ab
bar
rsenbra
erzbjaz
senjej
j
122 tan,
;,cos:polarou cartesiana forma em expressoser pode complexo Número
,cos
θ
θθ
θθθ
θ
zjjj
zj
ez
errez
zrzezz
∠−−
∠
===
=∠==
1111:iaconseqüênc Como
,, onde,
θθ
θ
1-10Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (vii)• Álgebra de Números Complexos
– Definição de conjugado de um número complexo imagem de zcom respeito ao eixo horizontal):
– A soma de um número complexo e seu conjugado é um número real:
– O produto de um número complexo e seu conjugado é também um número real:
zjj erzzerbjaz ∠−− =∴=−= ** θ
( ) ( ) zabjabjazz Re22* ==−++=+
( )( )222*
22* )()(
zbazz
jjbabjabjabjabjazz
=+=
∴−−−+=−+=
1-11Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (viii)• Álgebra de Números Complexos
– No plano complexo, um número complexo é representado por um ponto distando r da origem, formando um ângulo ? com o eixo horizontal. Esta maneira é válida para representar casos particulares tais como:
θθ
π
π
π
π
π
rsenbra
njnj
e
je
je
ne
ne
jn
j
j
nj
jn
==
==±
=
−=
=
=
−=
±
−
±
±
,cos que Lembrando
,15,11,7,3 para,,13,9,5,1 para,
quedizer se-pode geral modo de,
,
inteiro um é ,1
ímpar inteiro um é ,1
2/
2/
2/
2
KmK
1-12Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (ix)• Álgebra de Números Complexos
– Gráfico dos pontos particulares:
jejeee jjnjjn −===−= −±± 2/2/2 ;;1;1 ππππ
1-13Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (x)• Álgebra de Números Complexos
– Pode-se também determinar o limite abaixo:
( )
1 para,1 pois
0,0,0
.limlim )(
===
>∞<
==∞→
+
∞→
rree
eee
jtj
tjt
t
tj
t
θω
ωαωα
αα
( ) ( ) 31323cos2cos
2 (b)
e3.605551,3.56
23tantan
3.605551,1332
32 (a)para çãorepresenta outra a Encontre :Exemplos
2
3/
3.56j1011
2222
1
0
jsenjjrsenrz
e
z
abz
bazr
jz
j
+=+=+=
=
=
=
=∠=
==+=+==
+=
−−
ππθθ
θ
π
1-14Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (xi)• Álgebra de Números Complexos
– Operações Aritméticas:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( ))(
2
1
2
1
2
1
)(212121
2211
21
3.562
1.531
21
2
1
2121
21
.
,
çõesrepresenta ambas com scompatívei são divisão e çãoMultiplica
7534233243
então,3213,435
scartesiana scoordenadautilizar devem subtração e Adição
θθθ
θ
θθθθ
θθ
−
+
==
==
==
+=+++=+++=+
+==+==
jj
j
jjj
jj
jj
err
erer
zz
errererzz
erzerz
jjjjzz
jezjez
1-15Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (xii)• Álgebra de Números Complexos
– Potenciação e Radiciação:
( )( )
[ ] [ ] nkjnnkjnjn
njnnjn
jnnnjn
j
erererz
n
ererz
ererz
erz
/)2(11)2(11
111
.
acima radiciação a para valores há eFormalment
.
.
Para
:polar çãorepresenta com simples mais fique embora ções,representa ambas com scompatívei operações são radiciação e oPotenciaçã
πθπθθ
θθ
θθ
θ
++ ===
==
==
=
1-16Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (xiii)• Álgebra de Números Complexos
– Exemplos:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )( )( )
( )( ) ( ) ( )2.3)3.561.53(
3.56
1.53
2
1
2222
1
4.1093.561.533.561.5321
21
3.562
1.531
135
135
135
:polar) (forma Divisão13
11318
13118
3.)(2118
32.3232.43
:a)cartesinan (forma Divisão
.135135135.
:polar) (forma çãoMultiplica
1761298632.43.:a)cartesinan (forma çãoMultiplica
1332e543 Para
00
0
0
00000
00
jjj
j
jjjjj
jj
eee
ezz
jjj
jjjjj
zz
eeeeezz
jjjjjzz
ejzejz
−− ===
−=−=−
−=−+−+=
===
+−=−++=++=
=+==+=
1-17Sinais e SistemasEng. da Computação
Números Complexos (xiv)• Álgebra de Números Complexos
– Logaritmos: ( )( )
( )
( ) ( )
( )( ) ( ) .ln de principal valor o chamado é 0 para ln de valor O
,3,2,1,0,2ln.lnln
Então,3,2,1,0,.
Se
logloglog
logloglog
2
2
ln
ln
2121
2121
2121
zkzkkjrerz
kererz
ea
ez
aaa
zz/zz
zzzz
kj
kjj
azz
zcc
zzzz
==±±==
===
=
=
×=
−=
+=
±
±
+
K
K
πθπθ
πθθ
1-18Sinais e SistemasEng. da Computação
Sinais Senoidais (i)• Introdução
– Apresentação:
( )
=
±±=+=
+=
seinoidal. da segundos) (em período o é
seinoidal; da hertz) (em freqüência a é,1
assim, segundos,1 cada para repete se de valor o modo, Deste,2,1,02coscos
:é isto ,2 cada a se-repete ângulo um de cosseno O
)2(cos)(:abaixo expressão a Seja
0
0
00
0
0
T
f
fT
fx(t)nn
tfCtx
Kπϕϕπ
θπ
1-19Sinais e SistemasEng. da Computação
Sinais Senoidais (ii)• Introdução
( )
2),2()2(cos)(
;0),(cos)(:destaque merecem que especiais casos Dois
.freqüência de chamadoser pode diante em daqui,2
ainda,ou ,2211
seinoidal. da radianos em freqüência a é2seinoidal; da radianos) (em fase a é
seinoidal; da amplitude a é que se- temonde
)(cos)(:anterior expressão a escrevendo-Re
00
0
00
0
00000
00
0
πθππωθω
ωπ
ω
ωππω
πωθ
θω
−==−===
=
=∴==
=
+=
tfsenCtCtx
tCtx
T
TfT
f
C
tCtx
1-20Sinais e SistemasEng. da Computação
Sinais Senoidais (iii)
• Introdução– Exemplo:
( )00
0
0
60cos)(
sen)(
cos)(
−=
=
=
tCtx
tCtx
tCtx
ω
ω
ω
1-21Sinais e SistemasEng. da Computação
Sinais Senoidais (iv)• Adição de Senoidais
– Dois sinais senoidais com a mesma freqüência e fases diferentes podem ser adicionados para formar uma outra senoidal com a mesma freqüência.
−
=+=
+=+
−==+=+
∴−=+
−
ab
baC
tCtbta
CbCa
tbtatCtCtCtC
122
000
000
000
tan; onde,
)(cossencos:escrever se-pode Portanto,
sen,cosonde,
sencos)(cossensencoscos)(cos
:que se- temtricas, trigonomérelaçôes Das
θ
θωωω
θθωωθω
ωθωθθω
1-22Sinais e SistemasEng. da Computação
Sinais Senoidais (v)• Adição de Senoidais
– Pode-se usar fazores para representar senoidais.
. )2cos(sen pois,2 módulo de icalfasor vert umpor dorepresenta é sen
.0 módulo de horizontalfasor umpor dorepresenta é cosque se- temLogo . ângulo e tamanhode
fasor umapor )(cos senoidal sinal o se-Representa
00
0
0
0
πωωπω
ωθ
θω
−−=−=
=
+
tt)a (?tb
)a (?taC
tC
1-23Sinais e SistemasEng. da Computação
Sinais Senoidais (vi)• Expressos por Exponenciais
– Utiliza-se a Fórmula de Euler.
( )
( )
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
sencos
sencos
:se- teminverso sentido No21
sen
21cos
je
je
eej
ee
j
j
jj
jj
−=
+=
−=
+=
−
−
−
1-24Sinais e SistemasEng. da Computação
Plotagem de Sinais (i)• Exponenciais Monotônicas
– Familiarizar com o traçado destes sinais comuns para sistemas:
• A constante de tempo é 0,5.
• A cada intervalo igual a constante de tempo, o valos de x(t)cai para 37% do valor no início deste intervalo.
• Os pares formados pelos múltiplos das constantes de tempo e os valores de x(t) podem ser usados para esboçar o gráfico.
:10) (Figura gráfico traçar para lexponencia da tempode Constante
37.011 Para .0,2; :Exemplo
.0;, :mentemonotonica variamque sinais Dois)1(
)(t
eeattae
aee
c
aac
at
atat
≅=⇒=>=
>−−
−
1-25Sinais e SistemasEng. da Computação
Plotagem de Sinais (ii)• Exponenciais Monotônicas (gráfico dos exemplos anteriores):
1-26Sinais e SistemasEng. da Computação
Plotagem de Sinais (iii)• Senoidal Variando Exponencialmente
).3
6cos(4)(
:específico Exemplo).cos()(
: típicoSinal
2
0
π
θω
−=
+=
−
−
tetx
tAetx
t
at
1-27Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (i)• Principal Objetivo
– Expandir uma função própria, ocorrendo em sistemas lineares e invariantes no tempo, em frações parciais:
• Funções, chamadas de funções racionais, são razões entre dois polinômios, expressas como:
• A função F(x) é imprópria se e própria se .
• Um função imprópria pode ser sempre re-escrita como a soma de um polinômio e uma função própria, por exemplo:
011
1
011
1
)()(
)(axaxax
bxbxbxbxQxP
xF nn
n
mm
mm
++++++++
== −−
−−
KK
nm ≥ nm <
341
1234
21192)( 22
23
++−
++=++
+++=
xxx
xxx
xxxxF
1-28Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (ii)• Método de Limpar Frações (Clearing Fractions)
– Função racional re-escrita como uma soma de frações parciais com coeficientes desconhecidos a serem determinados igualando-se coeficientes de potências idênticas dos dois lados.
[ ] [ ][ ] [ ]
∴++++++
++++++++=+++
∴++++++++++++=+++
++
++
++
+=
++++++=
)23()6116(
)9157()18218(643
)2)(1()3)(2)(1()3)(1()3)(2(643
: der denominado pelo lados os ambos se-multiplica)3(321)3)(2)(1(
643)(
: racional função aExpandir :Exemplo
24
233
232
231
23
43
22
21
23
24321
2
23
xxkxxxk
xxxkxxxkxxx
xxkxxxkxxkxxkxxx
F(x)x
kxk
xk
xk
xxxxxxxF
1-29Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (iii)• Método de Limpar Frações (Clearing Fractions)
2
4321
4321
4321
4321
321
43214321
43212
321323
)3(3
32
22
11
)(
:em resultando,3,2,2,1:se- temacima, equações de sistema o se-Resolvendo
62691843111521
3678
1: potência mesma de escoeficient os se-Iguala
)26918()3111521(
)678()(643
+−
++
+−
+=
−==−==
=+++=+++
=+++=++
∴++++++++++++++=+++
xxxxxF
kkkk
kkkkkkkk
kkkk
kkk
kkkkkkkkx
kkkkxkkkxxxx
1-30Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (iv)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos
– Expansão para quando não há repetição dos fatores de Q(x) e a função é própria (m<n).
ixi
xn
ini
ixi
ii
n
n
i
i
n
nnn
mmm
m
kxFx
xxkk
xxkxFx
kx
xk
xk
xk
xxxxP
xF
axaxaxbxbxbxb
xQxP
xF
i
i
i
=−
∴−
−++++−−=−
−−
++−
++−
=−−−
=
∴++++
++++==
=
==
−−
−−
λ
λλ
λ
λλ
λλλ
λλλλλλλ
)()(
)()(
)()()()(
:achar para por lados os ambos se-multiplica
)()()()())(()(
)(
)()(
)(
: própria racional função a Seja
1
1
1
1
21
0111
0111
KK
KKK
KK
1-31Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (v)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos
– Exemplo: Expandir F(x) em frações parciais:
( ) ( )
( ) ( )
32
21
13
)( :se- temAssim
2)(3;1)(2
escoeficient demais os se-encontra teAnalogamen
36
18)3)1)((2)1((
11)1(9)1(2
)3)(2)(1(1192
1)(1
: de resdenominado o se-Emcobre321)3)(2)(1(
1192)(
333222
1
2
1
1
2
11
1
3212
+−
−+
+=
−==∴+===∴−=
=∴−−
=+−−−−−+−
=
∴+−+
−++=+=
++
−+
+=
+−+−+
=
−==
−=−=
xxxxF
kxFxkkxFxk
kk
xxxxx
xxFxk
kxk
xk
xk
xxxxx
xF
xx
xx
1-32Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (vi)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos
– Fatores complexos de Q(x): Segue-se o mesmo procedimento.
.5,5 ,2 Assim
21)32)32)((1)32((
18)32(2)32(4)()32(
21)32)32)((1)32((
18)32(2)32(4)()32(
21020
)13)1(4)1((18)1(2)1(4
)()1(
:achar para por lados os ambos se-multiplica)32()32()1()32)(32)(1(
1824)(
: própria racional função a Seja :Exemplo
00 43.633
43.6321
2
323
2
322
2
2
11
3212
jj
jx
jx
x
ii
ekekk
jjjj
jjxFjxk
jjjj
jjxFjxk
xFxk
kxjx
kjx
kxk
jxjxxxx
xF
−
−−=
+−=
−=
===
−=−+−−+−−
+−−+−−=++=
+=+++−++−
++−++−=−+=
==+−+−+−+−
=+=
−++
+−+
++
=++−++
++=
λ
1-33Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (vii)• Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) ou Resíduos
– Fatores quadráticos de Q(x): Combina-se dois termos vindos de fatores complexos conjugados em um fator quadrático.
8;2)26()8()2(
)1)(()134(21824
:fraçõeslimpar de métodopor sencontrado são e ecoeficient os)134()1(
2)134)(1(
1824
:Portanto Heaviside, de método pelo encontrado é ecoeficient o)134()1()134)(1(
1824)(
: própria racional função a Seja :Exemplo
21
2212
1
2122
21
221
2
2
1
2211
2
2
−==∴++++++=
+++++=++
++++
+=
+++++
+++
++
=+++
++=
cccxccxc
xcxcxxxx
ccxxcxc
xxxxxx
kxx
cxcxk
xxxxx
xF
1-34Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (viii)• Fatores Repetidos de Q(x)
– Método Encobrir de Heaviside (Cover-up) adaptado.
[ ] λλ
ααλλλ
αααλ
=
−−
−=
∴−
++−
+−
++−
+−
=
∴−−−−
=
xr
j
j
j
j
i
n
nrrr
nr
xFxdxd
ja
a
kx
kx
kxa
xa
xa
xF
xxxxxP
xF
)()(!
1
,derivadas) e função para (igualdade escoeficient osencontrar Para
Heaviside. de método pelo osdeterminad são escoeficient os)()()()()(
)(
)())(()()(
)(
: própria racional função a Seja
1
111
10
21
KK
K
1-35Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (ix)• Fatores Repetidos de Q(x)
[ ]
[ ]1
23
2
2
13
2
2
2
1
23
13
1
23
13
0
3
23
2
22
13
03
23
)2(1323164
21
)()1(!2
1
)2(1323164
)()1(
212
)2)1((13)1(23)1(16)1(4
)()1(
111
)1)2((13)2(23)2(16)2(4
)()2(
:achar para por lados os ambos se-multiplica)2()1()1()1()2()1(
1323164)(
: própria racional função a Seja :Exemplo
−=−=
−=−=
−=
−=
+
+++=+=
+
+++=+=
==+−
+−+−+−=+=
==+−
+−+−+−=+=
−+
++
++
++
=++
+++=
xx
xx
x
x
ii
xxxx
dxd
xFxdxd
a
xxxx
dxd
xFxdxd
a
xFxa
xFxk
kxx
kxa
xa
xa
xxxxx
xF
λ
1-36Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (x)• Fatores Repetidos de Q(x)
1)2)1((
)13)1(23)1(16)1(4()23)1(32)1(12)(2)1((
)2()1)(1323164()233212)(2(
)2(1323164
:que se- temassim
)()(
:que Lembrando:ão)(continuaç Exemplo
2
232
1
12
232
1
1
23
1
2
=+−
+−+−+−−+−+−+−=
∴+
+++−+++=
∴
+
+++=
−=
−=
−=
a
xxxxxxx
a
xxxx
dxd
a
vdxdvudxduv
vu
dxd
x
x
1-37Sinais e SistemasEng. da Computação
Expansão em Frações Parciais (xi)• Fatores Repetidos de Q(x)
31
2821
])2)1((
))2)1((2)(33)1(64)1(40)1(8(
)2)1(()64)1(80)1(24()2)1((
[21
)2())2(2)(3364408()648024()2(
21
)2(3364408
!21
)2()1)(1323164()233212)(2(
!21
:que se- temte,Analogamen :ão)(continuaç Exemplo
4
23
4
22
2
14
2322
2
12
23
2
12
232
2
=
−
=+−
+−+−+−+−
−+−
+−+−+−=
∴+
++++−+++=
∴
+
+++=
∴
+
+++−+++=
−=
−=
−=
a
xxxxxxxx
a
xxxx
dxd
a
xxxxxxx
dxd
a
x
x
x
1-38Sinais e SistemasEng. da Computação
Regra de Cramer (i)• Utilização típica:
– Solucionar sistema de equações lineares.
=
=+++
=+++=+++
nnnnnn
n
n
nnnnnn
nn
nn
y
yy
x
xx
aaa
aaaaaa
yxaxaxa
yxaxaxayxaxaxa
nn
MM
K
MKMMKK
KM
KK
2
1
2
1
21
22221
11211
2211
22222121
11212111
:matricial forma na expressasser podem equações Estas
:icógnitas com ssimultânea lineraes equações Seja
1-39Sinais e SistemasEng. da Computação
Regra de Cramer (ii)• Descrição do Procedimento:
– Operações para solução do sistema de equações lineares.
.por asubstituíd coluna a com é onde
,,2,1,
:Cramer de fórmula pela dada solução única uma tem vetor o Assim,
0 tedeterminanseu e matriz a Considere
21
22221
11211
yAD
AD
x
A
AA
k-ésima
nkx
aaa
aaaaaa
k
kk
nnnn
n
n
K
KMKMM
KK
==
=
≠
1-40Sinais e SistemasEng. da Computação
Regra de Cramer (iii)– Exemplo:
04111131
112:como calculado é de tedeterminan O
,173
111131
112 :se- temmatricial forma Em
1
73
32:ssimultânea lineares equaçõe de sistema o Resolva
3
2
1
321
321
321
≠=−=
=
−∴=
=++
=−+
=++
AA
YAxxxx
xxx
xxx
xxx
1-41Sinais e SistemasEng. da Computação
Regra de Cramer (iv)– Exemplo (continuação):
248
111731312
1
144
111171
1321
248
111137
1131
:é única solução a então zero, de diferente é tedeterminan o Como
33
22
11
−=−
===
==−==
==−==
AAD
AAD
AAD
x
x
x
1-42Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (i)• Vetor:
– Entidade especificada por n variáveis em uma dada ordem (n-tupla ordenada) é um vetor n-dimensional. Assim,
[ ]
=
×
==
mnmm
n
n
n
n
aaa
aaaaaa
nm
x
xx
xxx
n
KMKMM
KK
MK
21
22221
11211
2
1
21
: dimensão de ordenadas) variáveisde(array matriz se-Representa
coluna)(vetor linha);vetor (
:por dorepresentaser pode dimensão de vetor Um
A
xx
x
1-43Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (ii)• Transformação Linear:
– Um sistema de equações lineares simultâneas pode ser visto como a transformação de um vetor em outro (transformação linear de vetores).
coluna. e linha da elemento o como definido é .escrever se-pode compacta forma Em
:icógnitas com ssimultânea lineraes equações Seja
ij
2
1
2
1
21
22221
11211
2211
22222121
11212111
j-ésimai-ésimaa
y
yy
x
xx
aaa
aaaaaa
yxaxaxa
yxaxaxa
yxaxaxa
nm
mnmnmm
n
n
mnmnmm
nn
nn
yAx =
=
⇔
=+++
=+++=+++
MMK
MKMMKK
KM
K
K
1-44Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (iii)• Definições e Propriedades:
.:)( a transpostMatriz
)(, :)( idênticas Matrizes
.)(,0 :zero Matriz
).(, :simétrica Matriz
.)(,1 0, :)unitária(ou identidade Matriz
.)(,00 :diagonal Matriz
se-define , : , Matriz a Seja
21
22221
11211
nmijmnji
ijij
iiij
jiij
iiij
iiij
mnmm
n
n
)(a)(b
nmi,j, ba
nmi,j, aa
nni,j, aa
nni,j, aa
nni,j, , aa
aaa
aaaaaa
nmA
×× ==
×∀==
×∀==
×∀=
×∀==
×∀≠=
=×
TAB
BA
I
A
KMKMM
KK
1-45Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (iv)• Álgebra de Matrizes:
AIAAICBCAB)C(ABCACB)C(A
BADABC
AA
BA
BA
BA
==+=++=+
===
∀
∀=
∀++
=
=
×
∑=
×
××
×
×
:neutro Elemento . ; :vidadeDistributi
existe. não )(;.)( :)(
,)(,)( para matrizes, de çãoMultiplica
. :)(escalar por matriz de çãoMultiplica
. :)( matrizes de Adição
,
: dimensão de e matrizes duas Considere
1
21
22221
11211
21
22221
11211
n
kkjikpmij
pnijnmij
nmij
nmijij
mnmm
n
n
mnmm
n
n
)b(ac
i,jba
i,j, )(cacc
i,j, )b(a
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
nm
KMKMM
KK
KMKMM
KK
1-46Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (v)• Álgebra de Matrizes:
)( que seConclui
1
:Cramer de regra Pela
se- tem, inversa pela termosos ambos ndomultiplica-Pré
)(, :matricial forma em sistema o Considere
1
2
1
2
2222
211
2
1
2
2222
211
2
1
11
1
ADA
DDD
DDDDDD
A
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
AD
yAxIxyAAxAyAAxy
A
AAxy
1
1
1
11
1
1
11
11
ijij
nnnnn
n
n
nnnnn
n
n
n
a
y
yy
y
yy
x
xx
nn
==−
=
=
=∴=∴=∴=
×=
−−
−−−−
−
MK
MKMMKK
M
K
MKMM
K
K
M
1-47Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (vi)• Álgebra de Matrizes:
−−−−
−−=∴
−=
−=
=
=
−−
+
−
314518
114
41
41
.a componente do coluna e linha a se-deletando
obtidaA de submatriz da tedeterminan o é onde ,)1(
,,123321112
Exemplo
33323
23222
3211
ij
333231
232221
131211
1
1
1
111
1
ADDDDDDDDD
A
MMD
ADADADADADADADADAD
AA
ijijji
ij
1-48Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (vii)• Derivada e Integral de uma Matriz:
[ ]
[ ]( )
( )
( )
( ) 0
: válidassIdentidade
)()( :matriz uma de Integral
)()( :matriz uma de Derivada
: dimensão de e matrizes as Considere
=
+=+=
=
+=+
∀=
∀=
=
×
×
×
∫∫
I
BABAB
ABA
AB
AA
BABA
A
AA
BA
dtd
dtd
dtd
dtd
dtdcc
dtd
dtd
dtd
dtd
i,j., dttat
i,j., tadtd
t dtd
nm
TTT
TT
nmij
nmij
&&
&
1-49Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (viii)• Equação Característica: Teorema de Cayley-Hamilton:
– Toda matriz A satisfaz a sua equação característica, isto é, na equação característica pode se substituir ? por A.
0 é, isto ,0
tica)caracterís (equação se só e se existe equações destas soluçãoA ente.correspondautovalor seu eautovetor um é onde ,
:dosatisfazen ,0 qualquer, )1( e )( doConsideran
0)
é ticocaracterís polinômio o onde
,0 é, isto
21
22221
11211
00
11
11
00
11
11
=
−
−−
=−=−
=≠××
=++++=−=
=++++=
−−
−−
λ
λλ
λλ
λλ
λλλλ
nnnn
n
n
nn
n
nn
n
aaa
aaaaaa
nnn
aaa?Q(?
aaa
KMKMM
KK
K
K
AIIA
xxAxxxA
AI
AAA A Q(A)
1-50Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (ix)• Equação Característica: Teorema de Cayley-Hamilton:
– Funções de uma matriz quadrada usando o teorema.
( )
11
2210
10
21
12
001
111
1
10
21
121
1
001
22
11
0
22
110
)
escrita-reser pode infinita série a logo , raciocíno Estendendo
se- temassim acima,seu valor por substtuir se pode equação Nesta
:se- tem,lados ambos ,,
:assim tico,caracterís polinômio o satisfaz ele então , deautovalor é
)
:potências de infinita série uma forma na Função
−−
−−
−−−
+
−−−
+
−−
−−
∞
=
++++=
+∀
−−−−−−−−−=
−−−−−=
×−−−−−=
=++++= ∑
nn
nn
nnn
n
n
nn
nn
n
nn
nn
n
i
ii
f(?
k n
aaaaaaa?
?
aaaa?
aaaa?
f(?
λβλβλββ
λλλλλλ
λλλλ
λλλλλ
λ
λβλβλββ
K
KK
K
K
KK
A
1-51Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (x)• Equação Característica: Teorema de Cayley-Hamilton:
– Funções de uma matriz quadrada usando o teorema.
11
2210
1
1
0
1
122
111
2
1
n1
)
:se- temteanalogamen tico,caracterís polinômio o satifaz também Como
1
11
)(
)()(
:se- tem),,,( distintos sautovalore com sistema Para
−−
−−
−
−
++++=
=
nn
nnnn
n
n
n
f(
f
ff
n
AAAIA
A
ββββ
β
ββ
λλ
λλλλ
λ
λλ
λλ
K
M
KMKMM
KK
M
K
1-52Sinais e SistemasEng. da Computação
Vetores e Matrizes (xi)• Cálculo de Exponencial e Potência:
– Usadas para solucionar sistemas lineares, invariantes no tempo.
1110
1
0
0
22
: Potência,
)(
:que se- tem, de equação da Assim,!!2
:de definida , l,Exponencia
−−
−
=
∞
=
+++=
=
=+++++=
∑
∑
nn
k
k
n
i
ii
t
k
kknnt
t
e
) f(kt
nt
!tte
e
AAIA
A
A
A
AAAAI
A
A
A
βββ
β
K
KK
1-53Sinais e SistemasEng. da Computação
Miscelânea• Conteúdo
– Relação de expressões matemática, para consulta, que envolvem:
• L’Hopital;
• Séries de Taylor e Maclaurin;
• Séries de potências;
• Somatórios;
• Números Complexos;
• Identidades Trigonométricas;
• Integrais indefinidas;
• Fórmulas comuns de derivadas;
• Constantes usuais;
• Soluções de equações quadráticas e cúbicas.
1-54Sinais e SistemasEng. da Computação
Exercícios Recomendados• Propostos para o MATLAB ou SCILAB
– Todos
• Problemas– B.1, B.2, B.3, B.5, B.7, B.8, B.9, B.13, B.17, B.18, B.22, B.23,
B.24, B.26, B.27, B.31 até B.37.
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