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IPERTESTO: I SISTEMI LINEARIIPERTESTO: I SISTEMI LINEARI
I.T.C. “G.ARCOLEO”- I.T.C. “G.ARCOLEO”- GRAMMICHELEGRAMMICHELE
A.S. 2005/06 - CLASSE II AA.S. 2005/06 - CLASSE II A
ALUNNI: S.Lonigro, S.Centorbi, ALUNNI: S.Lonigro, S.Centorbi, F.Giarrusso, S.LaTerra, A. F.Giarrusso, S.LaTerra, A. Tornello, G. Tornello Tornello, G. Tornello
Insegnante: Agata TicliInsegnante: Agata Ticli
I SISTEMII SISTEMILINEARILINEARI
I SISTEMI LINEARII SISTEMI LINEARISi definisce un sistema lineare
l’intersezione di due o più equazioni di primo grado. Simbolo di sistema
Risolvere un sistema significa determinare l’insieme delle sue soluzioni.
Si dice che un sistema è:
IMPOSSIBILE se non ha soluzioni Ø; DETERMINATO se ha un numero finito di soluzioni; INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni ∞.
111 cxbxa
cbyax
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA SULL’ASSE CARTESIANO
y
x
r s
r s
y
x P=r∩s r=s Ø
SistemaDeterminat
o(rette
incidenti)
SistemaIndetermina
to(rette
coincidenti)
SistemaImpossibile
(rette parallele)
y
x
P
r
s
Metodi algebrici per risolvere
un sistema lineare
Metodo di sostituzione
Metodo delconfronto
Metodo diriduzione
o di eliminazione
Metodo di Cramer
METODO DI METODO DI SOSTITUZIONESOSTITUZIONE
Per risolvere un sistema di due o più equazioni lineari si devono seguire i seguenti passi:
1. Si riduce il sistema a forma tipica;
2. Si risolve una delle due equazioni rispetto ad una delle incognite,
per esempio la “x” e si scrive
3. Si sostituisce nell’altra equazione, l’espressione –by+c al posto della “x”; a
4. Si sostituisce la soluzione trovata nella seconda equazione al posto della “y” nella prima equazione;
111 cxbxa
cbyax
111 cybxaacby
aax
111 )( cyba
cbya
a
cbyx
ya
c
a
bx )(
Esempio del metodo di
sostituzione1. Riduzione in forma tipica;
2. Risolvere rispetto ad una delle incognite e sostituire nell’altra equazione la soluzione trovata (-2y+4);
3. Infine, sostituire l’ultima soluzione nell’altra equazione.
Soluzione: (-2, 3)
42
1223
yx
yx
42
122)42(3
yx
yy
42
122126
yx
yy
42
3
yx
y
2
3
x
y
4)3(2
3
x
y
RISOLUZIONE RISOLUZIONE GRAFICAGRAFICA
42
1223
yx
yx
s
x y
0 2
4 0
r
x y
0 6
-4 0
Soluzione (-2, 3)
x
y
4
2
6
-4 -2
3
r
s
METODO DEL CONFRONTO
1. Si deve scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione;
2. Uguagliare le due espressioni al secondo membro;
3. Risolvere l’equazione che si presenta con una sola incognita;
4. Si ripete la stessa procedura scegliendo l’altra incognita in entrambe le equazioni e si risolve come il primo passaggio.
1
11
1
1
a
cyb
a
xaa
cby
a
ax
1
11
a
cyb
a
cby
Esempio del Esempio del metodo del metodo del confrontoconfronto
1. Scegliere la stessa incognita;
2. Uguagliare le due espressioni e risolvere l’equazione con una sola incognita;
3. Ripetere la stessa procedura scegliendo l’altra incognita.
Soluzione (-6, -5)Soluzione (-6, -5)
6065
4535
yx
yx
5
6065
453
yx
yx
5y
6056
4553
xy
xy
6
6053
455
xy
xy
6
605
3
455 xx
6x
5
606
5
453 yy
Procedura più Procedura più veloceveloce
del metodo del del metodo del confrontoconfronto1. Ridurre in forma tipica;
2. Scegliere la stessa incognita sia nella prima che nella seconda equazione;
3. Uguagliare le due espressioni;
4. Risolvere l’equazione che ci si presenta con una sola incognita;
5. Sostituire la soluzione trovata al posto dell’altra incognita.
6065
4535
yx
yx
6
6053
455
xy
xy
6
6055
606
5
453
xy
yy
6
6030
6
y
x
5
6
y
x
6065
4535
yx
yx
5
6
y
x
r
x y
0 -15
-9 0
s
x y
0 -10
-12 0
METODO DI METODO DI RIDUZIONE O RIDUZIONE O ELIMINAZIONEELIMINAZIONE
Consiste nell’addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni del sistema.
Se i coefficienti dell’incognita da eliminare sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni;
Se tali coefficienti sono opposti si sommano membro a membro le due equazioni.
85
325
yx
yx
35
85
325
y
yx
yx
835
5
35
x
y
1519
35
x
y
RISOLUZIONE GRAFICA
r
x y
0 3/2
3/5 0
s
x y
0 -8
8/5 0
85
325
yx
yx
1519
35
x
y
Secondo Secondo esempio del esempio del metodo di metodo di
eliminazioneeliminazioneSe i coefficienti dell’incognita non sono né uguali né opposti si moltiplica un’equazione per un numero in modo che i coefficienti da eliminare divengano uguali o opposti.
93
42
yx
yx
93
42
2 yx
yx
2
1862
42
y
yx
yx
18)2(62
2
x
y
3
2
x
y
RISOLUZIONE RISOLUZIONE GRAFICAGRAFICA
93
42
yx
yx
3
2
x
y
r
x y
0 -4
2 0
s
x y
0 3
9 0
METODO DI METODO DI CRAMERCRAMER
Per prima cosa si deve costruire una matrice: entità matematica costituita da un insieme di numeri, disposti ordinatamente secondo righe e colonne.
Poi si deve trovare il determinante: si moltiplicano i termini della diagonale principale e si sottrae il prodotto dei termini della diagonale secondaria.
Successivamente cerchiamo il determinante dell’incognita X e Y
Infine il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.
11 ba
ba
111 cxbxa
cbyax
)()( 11
11
abbaba
baD
)()( 11
11
cbbcbc
bcDx
)()( 11
11
accaca
caDy
D
Dyy
DDx
x
Esempio del Esempio del metodo di metodo di CramerCramer
1. Ridurre in forma tipica;
2. Creare una Matrice;
3. Trovare il determinante del sistema e i determinanti dell’incognite;
4. Il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.
143
423
yx
yx
43
23
18)32()43(43
23
D
18)12()44(41
24
Dx 9)34()13(
13
43Dy
118
18
D
Dxx
2
1
18
9
D
Dyy
RISOLUZIONE RISOLUZIONE GRAFICAGRAFICA
143
423
yx
yx
21
1
y
x
r
x y
0 2
4/3 0
s
x y
0 -1/4
1/3 0
4)3(23
12)1(2
yx
xyx
4623
1212
yx
xyx
1023
1023
yx
yx
1023
1023
3102
yy
yx
003
102yx Sistema
Indeterminato
r =s
x y
0 -5
10/3 0
xyx
yx
221
31
12
5
2
1
3
21
6
612
6
3212
5
12
68
xyx
yx
1234
568
yx
yx
4
123
568
yx
yx
4
123
564
1238
yx
yy
4
123
290
yx
Sistema Impossibil
e
RISOLUZIONE GRAFICA(Sistema impossibile)
r
x y
0 -5/6
5/8 0
r
x y
0 4
-3 0
1234
568
yx
yx
Lonigro Simona Tornello Giusy Tornello Antonino Giarrusso
Francesca La Terra Santino Centorbi Silvana
Grazie!!!
A.S. 2005/2006I.T.C. “G. Arcoleo”
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