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2
x
y
zF
A
A0
IPOTESI: in campo plastico la deformazione avviene a volume costante
l
lε
ingegneristica
La variazione di volume è dipendente unicamente dalla componente elastica della deformazione.
0
lnl
l flogaritmica(vera)
Definizioni di deformazione
0
0
l
ll f 10l
l f10
l
l f
ln 1 e 1
Tensione ingegneristica
0A
F
Tensione vera
F
A A
A
A
F 0
0
A
A0
Volume costante: A0l0 Al f
l f
l0
A0
A1
10AA
A0
e
1 e e
ln 1
Rapporto tra le aree A0 ed A
l0
l f
1 e
A0
A1 e
Caratteristichedel materiale
Condizione di collasso plastico
A0
P
P
P
P
A
Una relazione spesso utilizzata: P A
A A0
1
A A0
eP
A0
e k n
udP
d 0
dP
d
A0
ed d
0
d u
d u
u k nnk n1 k n u n
0
3
Curve σε sperimentali (prove di trazione)
Valori di k ed n misurati sperimentalmente (prova di trazione)
( 1 MPa = 1450 psi)
4
2) Volume costante:
IPOTESI: 1) Storia di carico monotona
3) Parallelismo tra tensioni e deformazioni principali
4) Rapporto tra deformazione e tensione tangenziale uguale per tutte le componenti e costante durante la deformazione
5) Componente elastica della deformazione trascurabile rispetto a quella plastica
V 0
1 1
2 2
3 3
( = Tensione vera)
1 2
1 2
2 3
2 3
3 1
3 1
Ci
5
dalla 2° delle ipotesi precedenti (costanza del volume) si ha:
V0 abc
VS a 1 1 b 1 2 c 1 3 VS abc 1 1 1 2 1 3 V0 VS 1 1 1 2 1 3 1
ln 1 essendo: 1 2 3 0
dalla 4° ipotesi si ottengono le due relazioni:
1 2 Ci 1 2 1 3 Ci 1 3
queste tre equazioni costituiscono il legame costitutivo tra tensioni e deformazioni
=V0 VS
1 2 3 0
1 2 Ci 1 2
1 3 Ci 1 3
1 2Ci
31
1
2 2 3
2 2Ci
3 2
1
21 3
3 2Ci
3 3
1
21 2
Queste relazioni sono simili a quelle di Hooke, valide in campo elastico, ma con ν = ½ e con 2Ci/3 al posto di 1/E
6
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
I due stati di tensione sono equivalenti se la tensione equivalente calcolata nei due casi è la stessa
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
IPOTESI: sia applicabile il criterio della tensione tangenziale ottaedrica
0 1
31 2 2 2 3 2 3 1 2
alla quale corrisponde la deformazione:
0 2
31 2 2 2 3 2 3 1 2
Nel caso monoassiale la tensione tangenziale ottaedrica vale:
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
0 1
31 2 2 2 3 2 3 1 21 0
2 3 0
0 1
31 22 1 2
2
31
0 2
31
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
7
Nel caso monoassiale la deformazione tangenziale ottaedrica vale:
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
1 0
2 3 1
2
0 2
31 2 2 2 3 2 3 1 2
0 2
31
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
0 2
31
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
0 2
3
31
2
2
31
2
22
21
0 2
31 0 21
Nel caso monoassiale la deformazione tangenziale ottaedrica vale:
1 0
2 3 1
2
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
0 2
31 2 2 2 3 2 3 1 2
8
In campo monoassiale, il legame tra tensione e deformazione, per le ipotesi fatte, si può scrivere come:
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
1 2
3Ci 1 Ci
3
2
1
1
che si può riscrivere mettendo in evidenza Ci:
Conviene esprimere Ci in funzione della tensioni e delle deformazioni tangenziali ottaedriche:
Ci 3
2
0
23 0
2
1 3 0
2 0
2
31 0 21 1
0
2
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
In campo monoassiale, il legame tra tensione e deformazione, per le ipotesi fatte, si può scrivere come:
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
1 2
3Ci 1 Ci
3
2
1
1
che si può riscrivere mettendo in evidenza Ci:
Conviene esprimere Ci in funzione della tensioni e delle deformazioni tangenziali ottaedriche:
Ci 3
2
0
23 0
2
1 3 0
2 0
2
31 0 21 1
0
2
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
9
In campo monoassiale, il legame tra tensione e deformazione, per le ipotesi fatte, si può scrivere come:
caso monoassiale (prova di trazione)
0
caso triassiale
1, 2, 3
1 2
3Ci 1 Ci
3
2
1
1
che si può riscrivere mettendo in evidenza Ci:
Conviene esprimere Ci in funzione della tensioni e delle deformazioni tangenziali ottaedriche:
Ci 3
2
0
23 0
2
1 3 0
2 0
2
31 0 21 1
0
2
Ci 0
2 0
Ci è una caratteristica del materiale che può essere valutata con una prova sperimentale monoassiale (prova di trazione) ed estesa al campo triassiale.
Ci 3
2
1
1
1 3 0
2
0 2
31 0 21
1 0
2Ci
0
2 0
Riepilogando:
3
2 0 k
0
2
n
Per valutare Ci è necessaria una prova sperimentale; in particolare, la prova di trazione.
k nIl risultato della prova di trazione è dato dalla curva:
In altri termini, dalla prova di trazione si ricavano i valori numerici di k ed n.
e possono essere espressi in funzione di e : 0 0
0 23 0
k 2
1nCi
0
2 0Ci
2
2 0
3 0
k 2
1
n
10
Ci 2
2 0
3 0
k 2
1
n
Ottenuto Ci nel caso monoassiale, è possibile estenderne la validità al caso più generale di una sollecitazione triassiale, utilizzando il concetto di tensione equivalente.
0 1
31 2 2 2 3 2 3 1 2
Ci 3 2 1n 2n
1
k
1 2 2 2 3 2 3 1 2
1n 2n
2
1
3
1
1 2 3ponendo: con la convenzione:
si possono scrivere le equazioni costitutive in campo plastico:
Equazioni costitutive in campo plastico:
1 2Ci
31
1
2 2 3
2 2Ci
3 2
1
21 3
3 2Ci
3 3
1
21 2
1 1
k
1
n 2 2 1
1n
2n 122
2 1
k
1
n 2 2 1
1n
2n 2
1
2
3 1
k
1
n 2 2 1
1n
2n 2
1
2
12
P
L
IPOTESI: spessore sottile De Di Dm
c
c
a
a
c F
A
PDL
2sL
PD
2s
P
D
s
P
s
a F
A
PD2
4
1
Ds
PD
4s
r
rMAX P
rMAX
c
P
PD2s
2s
D
rMIN 0
r 0
s D
P
IPOTESI: spessore sottile De Di Dm
1
1
2
2L
a 2
r 3
c 1 1 PD
2s
2 PD
4s
3 0
21
1
2
3
13
1 PD
2s 2
PD
4s 3 0
2
1
1
2
3
1
0
1 1
k
1
n 2 2 1
1n2n 1
22
1 1
k
1
n 1
2
2
0 1 0 1
2 0
1n2n
11
4 0
1 1
k
1
n 1
41
1
2
1n
2n1
1
4
1
k
1
n 3
4
1n
2n 3
4
1
k
1
n 3
4
1n
2n
1 PD2ks
1
n 3
4
1n
2n
1 PD
2s 2
PD
4s 3 0
2
1
1
2
3
1
0
2 1
k
1
n 2 2 1
1n2n
2
1
2
2 1
k
1
n 1
2
2
0 1 0 1
2 0
1n2n 1
2 0
1
2
2 0
0
14
1 PD
2s 2
PD
4s 3 0
2
1
1
2
3
1
0
3 1
k
1
n 2 2 1
1n2n
2
1
2
3 1
k
1
n 1
2
2
0 1 0 1
2 0
1n2n
0 1
4
1
2
3 1
k
1
n 3
4
1n
2n
3
4
1
k
1
n
3
4
1n
2n
3 1
1 2 3 0
1 0 3 0
1Come era prevedibile, dato che:
1 3
e che quindi:
1 PD
2s 2
PD
4s 3 0
1 PD2ks
1
n 3
4
1n
2n
21
1
2
3
2 0 3 1
lnD
D0
1 lnl f
l0
e1 D
D0
D D0e1
3 lns
s0
s s0e3 s0e
1
1 PD0e
1
2ks0e1
1
n 3
4
1n
2n
D0 s0
Diametro e spessore nominali
P 2ks0
D0
e211
3 / 4 1n
2n
n
s s0e1
15
21
1
2
3
P 2ks0
D0
e211
3 / 4 1n
2n
n
Condizione di collasso plastico:dP
d 0
dP
d
2ks0
D0
1
3 / 4 1n
2n
n
2e211n n1
n1e21 0
1u
n
2La derivata si annulla se:
Pcr 2ks0
D0
en n
2 3 / 4 1n
2n
n
Sostituendo con nella formula della pressione1u
n
2P
si calcola il valore della pressione critica:
Esempio numerico
D0 18" 457.2 mm
s0 1/ 8" 3.175 mm
k 154 ksi 1066 MPa
n 0.156
S 89 ksi 614 MPa
R 98 ksi 676 MPa
Dati
Pcr 2ks0
D0
en n
2 3 / 4 1n
2n
n
Pcr 2 1066 3.175
457.2
e0.156 0.156
2 3 / 4 10.156
20.156
0.156
10.05 MPa 100 bar
Acciaio SAE 4340
16
Esempio numerico
D0 18" 457.2 mm
s0 1/ 8" 3.175 mm
k 154 ksi 1066 MPa
n 0.156
S 89 ksi 614 MPa
R 98 ksi 676 MPa
Dati
Pcr 10MPa
1 10 457.2
2 3.175 720 MPa
2 10 457.2
4 3.175 360 MPa
eq 12 2
2 1 2
1 PD
2s 2
PD
4s 3 0
eq 7202 3602 720 360 624 MPa
Acciaio SAE 4340
17
P
P
D
s
IPOTESI: spessore sottile De Di Dm
21
1
2
3
1 2 PD2
4
1
Ds
PD
4s
3 0
2
1
1 3
1
0
1 PD
4s
1 1
k
1
n 2 2 1
1n2n 1
22
1 1
k
1
n12 0 1 0 1 0
1n2n 1
1
2 0
1 1
k
1
n111
1n
2n1
2
1
k
1
n1
1n
2n1
2
1
k
1
n 1
2
1 PD4ks
1
n 1
2
1 0
18
2 1
k
1
n 2 2 1
1n2n
2
1
2
2 1
1 PD
4s 1 0
2 1
k
1
n12 0 1 0 1 0
1n2n 1 0
1
2
1
k
1
n 1
2
3 1
k
1
n 2 2 1
1n2n
2
1
2
3 21
1 PD
4s 1 0
3 1
k
1
n12 0 1 0 1 0
1n2n 0
1
2
1
2
1
k
1
n1
19
P 4ks0
D0
e31 21 n
1 PD4ks
1
n 1
2
2 1
D D0e1 s s0e
1
PD0e
1
4ks0e1
1
n 1
2
3 PD0e
1
4ks0e1
1
n
Condizione di collasso plastico:dP
d 0
dP
d
4ks0
D0
2 n 3e311n n1
n1e31 0
1u
n
3La derivata si annulla se:
Pcr 4ks0
D0
en 2n
3
n
quindi la pressione critica vale:
Esempio numerico
D0 18" 457.2 mm
s0 1/ 8" 3.175 mm
k 154 ksi 1066 MPa
n 0.156
S 89 ksi 614 MPa
R 98 ksi 676 MPa
Dati
Pcr 4 1066 3.175
457.2
e0.156 0.156
3
0.156
17.8 MPa 178 bar
Pcr 4ks0
D0
en 2n
3
n
Acciaio SAE 4340
20
Esempio numerico
D0 18" 457.2 mm
s0 1/ 8" 3.175 mm
k 55.9 ksi 384 MPa
n 0.211
Dati
Pcr 4 384 3.175
457.2
e0.211 0.211
3
0.211
5.8 MPa 58 bar
Pcr 4ks0
D0
en 2n
3
n
Alluminio ALCOA 24-S
Esempio numerico
D0 18" 457.2 mm
s0 1/ 8" 3.175 mm
k 77.1 ksi 531 MPa
n 0.261
Dati
Pcr 4 5313.175
457.2
e0.261 0.261
3
0.261
7.2 MPa 72 bar
Pcr 4ks0
D0
en 2n
3
n
Acciaio 0.05% C
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