IV dvoqas veжbi dr Vladimir Balti -...

IV dvoqas veжbi

dr Vladimir Balti�

2. Predikatski raqun

Teorijski uvod

Od iskaza (predikata) mogu se formiratinove reqenice upotrebom kvantifikatora.

Teorijski uvod

Od iskaza (predikata) mogu se formiratinove reqenice upotrebom kvantifikatora.

Postoje 2 kvantifikatora:

∀ je univerzalni kvantifikator,qita se ,,svaki“ (ili ,,za svaki“ ili,,bilo koji“ ili ,,proizvoƩni“);

Teorijski uvod

Od iskaza (predikata) mogu se formiratinove reqenice upotrebom kvantifikatora.

Postoje 2 kvantifikatora:

∀ je univerzalni kvantifikator,qita se ,,svaki“ (ili ,,za svaki“ ili,,bilo koji“ ili ,,proizvoƩni“);

∃ je egzistencijalni kvantifikator,qita se ,,postoji“ (ili ,,neki“ ili,,za neki“ ili ,,bar jedan“).

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Postoji objekat jednak samom sebi.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Postoji objekat jednak samom sebi.“

(∃x) x = x

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Postoji objekat jednak samom sebi.“

(∃x) x = x

1

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Svaki prirodan broj je i realan.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Svaki prirodan broj je i realan.“

(∀x) (x ∈ N ⇒ x ∈ R)

(∀x ∈ N) x ∈ R

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Svaki prirodan broj je i realan.“

(∀x) (x ∈ N ⇒ x ∈ R)

(∀x ∈ N) x ∈ R

1, jer je N ⊆ R.

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Neki celi brojevi su ve�i od 8.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Neki celi brojevi su ve�i od 8.“

(∃x) (x ∈ Z ∧ x > 8)

(∃x ∈ Z) x > 8

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Neki celi brojevi su ve�i od 8.“

(∃x) (x ∈ Z ∧ x > 8)

(∃x ∈ Z) x > 8

1, postoji, npr. ceo broj x = 9 > 8.

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Kvadrat proizvoƩnog realnog broja jenegativan.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Kvadrat proizvoƩnog realnog broja jenegativan.“

(∀x) (x ∈ R ⇒ x2 < 0)

(∀x ∈ R) x2 < 0

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Kvadrat proizvoƩnog realnog broja jenegativan.“

(∀x) (x ∈ R ⇒ x2 < 0)

(∀x ∈ R) x2 < 0

0, jer, npr. za x = 1: x2 = 1 < 0

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Jednaqina x2 = 1 ima rexeƬa u skupuprirodnih brojeva.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Jednaqina x2 = 1 ima rexeƬa u skupuprirodnih brojeva.“

(∃x) (x ∈ N ∧ x2 = 1)

(∃x ∈ N) x2 = 1

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Jednaqina x2 = 1 ima rexeƬa u skupuprirodnih brojeva.“

(∃x) (x ∈ N ∧ x2 = 1)

(∃x ∈ N) x2 = 1

1, jer postoji rexeƬe x = 1 ∈ N

(iako drugo rexeƬe x = −1 6∈ N).

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Razlika bilo koja dva prirodna broja jeprirodan broj.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Razlika bilo koja dva prirodna broja jeprirodan broj.“

(∀x)(∀y) (x ∈ N ∧ y ∈ N ⇒ x − y ∈ N)

(∀x, y ∈ N) x − y ∈ N

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Razlika bilo koja dva prirodna broja jeprirodan broj.“

(∀x)(∀y) (x ∈ N ∧ y ∈ N ⇒ x − y ∈ N)

(∀x, y ∈ N) x − y ∈ N

0, jer, npr. za x = 2 i y = 5:

x − y = 2 − 5 = −3 6∈ N

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Ne postoji najve�i prirodan broj.“

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Ne postoji najve�i prirodan broj.“

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

Primer 1. Napisati odgovraju�u formulu iodrediti Ƭenu istinitosnu vrednost:

,,Ne postoji najve�i prirodan broj.“

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

1 (u zagradi 0), za y = x + 1: x + 1 6 x

Negacija reqenica sa kvantifikatorima sevrxi na slede�i naqin:

q(∀x) P (x) ⇔ (∃x) q P (x)

i

q(∃x) P (x) ⇔ (∀x) q P (x).

Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x) q

(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x) q

(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ q

(

(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x) q

(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ q

(

(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))

Primer 2. ,,Proterajmo“ negaciju krozformulu za reqenicu

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x) q

(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ q

(

(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x) q

(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ q

(

(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))

(∀x)(

x ∈ N ⇒ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))

(∀x ∈ N)(∃y ∈ N) y > x

,,Ne postoji najve�i prirodan broj“.

q

(

(∃x ∈ N)(∀y ∈ N) y 6 x)

q

(

(∃x)(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x) q

(

x ∈ N ∧ (∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ q

(

(∀y)(y ∈ N ⇒ y 6 x))

)

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) q(y ∈ N ⇒ y 6 x))

(∀x)(

q(x ∈ N) ∨ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))

(∀x)(

x ∈ N ⇒ (∃y) (y ∈ N ∧ y > x))

(∀x ∈ N)(∃y ∈ N) y > x

,,Za svaki prirodan broj postoji ve�i od Ƭegaprirodan broj“.

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskihformula:

a) ∃x(x ∈ Z ∧ 3x = 8).

b) ∃x(x ∈ Q ∧ 3x = 8).

v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).

g) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x 6 y).

d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).

�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

a) ∃x(x ∈ Z ∧ 3x = 8).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

a) ∃x(x ∈ Z ∧ 3x = 8).

RexeƬe ove jednaqine je x = 8

36∈ Z.

0

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

b) ∃x(x ∈ Q ∧ 3x = 8).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

b) ∃x(x ∈ Q ∧ 3x = 8).

RexeƬe ove jednaqine je x = 8

3∈ Q.

1

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).

,,Za svaki prirodan broj x postoji prirodanbroj ve�i (ili jednak) od Ƭega“

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

v) (∀x ∈ N)(∃y ∈ N)(x 6 y).

,,Za svaki prirodan broj x postoji prirodanbroj ve�i (ili jednak) od Ƭega“, npr. y = x+1.

1

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

g) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x 6 y).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

g) (∃y ∈ N)(∀x ∈ N)(x 6 y).

,,Postoji najve�i prirodan broj“,a to smo ve� radili.

0

formula F1 ⇒ F2 je vaƩana akko u slede�emgrafu postoji put (po strelicama) iz qvora

F1 u qvor F2.

(∃y)(∀x) (∃x)(∀y)

(∀x)(∃y) (∀y)(∃x)

(∀x)(∀y) (∀y)(∀x)

(∃x)(∃y) (∃y)(∃x)

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).

x = y

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).

x = y / · z

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

d) (∀x, y, z ∈ R)(x = y ⇒ xz = yz).

x = y / · z

xz = yz X

1

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).

xz = yz / : z

x = y

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).

xz = yz / : z 6= 0

x = y

Primer 4. 1. decembar 2008.

Odrediti istinitosnu vrednost predikatskeformule:

�) (∀x, y, z ∈ R)(xz = yz ⇒ x = y).

x = 5, y = 2, z = 0 daje:

5 · 0 = 2 · 0 ⇒ 5 = 2,

tj. 1 ⇒ 0

0

KRAJ QASA