Jövő heti gyakorlat

GráfmodellekHosszu Éva

1/10

• Nov. 16, péntek, 10:15, QBF10

• Előadó: Szabó Márton (iwiw)• Katalógus → házi feladatnak beszámít

Jövő heti gyakorlat

High Speed Networks Laboratory

Komplex hálózatok modellezése

GráfmodellekHosszu Éva

3/10

• Hogyan keresed meg a kulcsod?

• Hogyan fedezed föl a vidámparkot?

• Hogyan terjednek a járványok?

Miért vizsgálunk hálózatokat?

GráfmodellekHosszu Éva

4/10

•  

Ismétlés: átmérő

GráfmodellekHosszu Éva

5/10

• Két tetszőleges pont közötti átlagos távolság a hálózat átmérőjéhez képest kicsi

• Másképp: a hálózat pontjainak számához (N) képest a pontok közötti átlagos távolság (L) logaritmikusan nő: • Szociális hálózatok• Internet

• A komplex hálózatokra igaz a kisvilág-tulajdonság

Ismétlés: kisvilág-tulajdonság

GráfmodellekHosszu Éva

6/10

•  

Ismétlés: fokszámeloszlás

GráfmodellekHosszu Éva

7/10

• A fokszámeloszlás hatványfüggvényt követ

Ismétlés: skálafüggetlenség

GráfmodellekHosszu Éva

8/10

• Globális klaszterzettség:

• Lokális: i csúcsra vonatkozóan (ki: i fokszáma, Ni: a szomszédai közt hány él megy)

• nem pont ugyanaz a kettő!

alacsony klaszterezettség magas klaszterezettség

Ismétlés: klaszterezettség

GráfmodellekHosszu Éva

9/10

Olyan modellt találni, ami rendelkezik a komplex hálózatok tulajdonságaival.

Kis átmérő Kisvilág Skálafüggetlen Nagy klaszterezettség Növekedés

Mit jelentenek ezek pl. az WWW-ben?

Mi a cél?

GráfmodellekHosszu Éva

10/10

Erdős-Rényi modell

• Az első próbálkozás: minden hálózat véletlen

• Kialakulás: 1950-es évek vége• Erdős Pál, Rényi Alfréd: On random graphs (1959)

• Probabilistic method megalapozása• Egy n csúcs teljes gráfban nincs egyszínű r-klikk

GráfmodellekHosszu Éva

11/10

A G(n,p) gráf generálása

•  

GráfmodellekHosszu Éva

12/10

• A videókat frame-enként lejátszva látható, hogy a G(40,p) gráf hogyan alakul a p paraméter függvényében

• Figyeljük meg két kritikus pontot: megjelenik az óriáskomponens, majd összefüggő lesz a hálózat

1. Óriáskomponens: nagyjából ahol , azaz környékén2. Hirtelen összefüggő lesz a hálózat: nagyjából környékén várhatjuk

• Lásd a határfüggvényekről szóló részt

Az ER modell

GráfmodellekHosszu Éva

13/10

ÁTLAGOS FOKSZÁM• Élek számának várható értéke: • Egy pont fokszámának várható értéke: • Átlagos fokszám :

KLASZTEREZETTSÉG

• Nincs magas lokális klaszterezettség

Az ER tulajdonságai

GráfmodellekHosszu Éva

14/10

•  

Az ER modell tulajdonságai

GráfmodellekHosszu Éva

15/10

•  

Az ER tulajdonságai

n=100, p=0.005

n=100, p=0.025

n=100, p=0.01

GráfmodellekHosszu Éva

16/10

•  Az ER tulajdonságai

összefüggő

nem öf.

GráfmodellekHosszu Éva

17/10

Hol tartunk eddig

• Az ER egyszerűen leírható• Szép tulajdonságok• Analitikusan könnyen számolható

Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság

Nincs: Lokális klaszterezettség és lezárt háromszögek• Bármely két csúcs egymástól függetlenül u.a. valséggel létezik • -> alacson klaszterezettség

Nem magyarázzák meg a hubok képződését• A fokszámeloszlás a Poissonhoz tart, a hatványeloszlás helyett• Nem skálafüggetlen

Növekedés

GráfmodellekHosszu Éva

18/10

• Az ER modell hiányosságai:1. Kis lokális klaszterezettség, kevés háromszög

• Az éleket egymástól függetlenül, konstans valószínűségel húzzuk be → alacsony klaszterezettségi

2. A hubok képződését nem magyarázza meg• A fokszámeloszlás Poissonhoz tart – a hatványfüggvény helyett

• Watts-Strogatz: • A legegyszerűbb modell, ami az 1. hiányosságot kiküszöböli• Megmagyarázza a klaszterezettséget, miközben megtartja az ER-ből a rövid

utakat• Részben megmagyarázza a kisvilág jelenséget

A Watts-Strogatz modell

GráfmodellekHosszu Éva

19/10

• Alapötlet: ismerősök hálózata Közeli ismerősök, akik jellemzően egymást is ismerik Néhány távoli ismerős

• A WS(N,p,K) gráf N a csúcsok száma K-reguláris a kiinduló gráf

o N >> K >> ln(N) >> 1 p az élek újrahúzásának (rewiring) valószínűsége

A Watts-Strogatz modell

GráfmodellekHosszu Éva

20/10

ALGORITMUS:1. Kiindulás: egy K-reguláris ring

lattice N csúcson

2. Sorban minden élet egymástól függetlenül p valószínűséggel áthúzunk máshova egyenletesen választunk a szabad

helyekből ne legyen párhuzamos él és

hurokél

A Watts-Strogatz modell

GráfmodellekHosszu Éva

21/10

• n=30, k=6 gráfból kiindulva:

P=0.2

P=0.4

A WS modell

p=0.7

p=1

GráfmodellekHosszu Éva

22/10

Finomhangolás p-vel

p = 0 p ~ 1

GráfmodellekHosszu Éva

23/10

1. FOKSZÁMELOSZLÁSWatts-Strogatz

Átl. k = K, P(k) ~ Poisson(k)

A WS modell hátulütői

Valós hálózatP(k) ~ k -γ

GráfmodellekHosszu Éva

24/10

2. MECHANIZMUS

A WS feltevései:• Fix N db pont

Pedig hálózatok folyton nőnek vagy elfogynak

• Minden élet egyforma p valószínűséggel cserélünk ki egy újra Ez sem hangzik túl jól, a gazdag egyre gazdagabb lesz??

A WS modell hátulütői

GráfmodellekHosszu Éva

25/10

Hol tartunk eddig

• A WS jól megmagyarázza a klaszterezettséget

Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Klaszterezettség

Nem magyarázzák meg a hubok képződését• Még mindig nem skálafüggetlen

Növekedés

+ Preferenciális kapcsolódás

GráfmodellekHosszu Éva

26/10

Preferenciális kapcsolódás

Egy nemzetségen (nem) belül a fajok számának növekedése• Canis

sujtásos sakál (Canis adustus) aranysakál (Canis aureus) prérifarkas  (Canis latrans) szürke farkas  (Canis lupus) panyókás sakál (Canis mesomelas) vörös farkas vagy rőt farkas (Canis rufus) abesszin farkas más néven kaber, etióp róka vagy etióp sakál (Canis

simensis) óriásfarkas (Canis dirus) - kihalt.

• A gazdag egyre gazdagabb lesz

GráfmodellekHosszu Éva

27/10

1. KIINDULÁS• Egy néhány (≥2) csúcsból álló gráf, amiben nincs izolált pont

2. ÉPÍTKEZÉS• Minden lépésben egy új csúcsot veszünk hozzá + m új élet

• Egy már meglévő csúcshoz valószínűséggel kapcsolódik Arányos a fokszámmal Nagyobb fokszámú csúcshoz nagyobb eséllyel kapcsolódik

(preferenciális kapcsolódás)

Barabási-Albert modell

GráfmodellekHosszu Éva

28/10

BA modell

20 csomópontig növekedik

Preferenciális kapcsolódás

GráfmodellekHosszu Éva

29/10

A MODELL: CSAK NÖVEKEDÉS Elindulunk egy néhány csúcsból álló gráfból Minden lépésben beveszünk egy új csúcsot + m élet Minden új élnek egyenletesen választjuk a végpontját a meglevő csúcsok

között

Exponenciális lecsengésű fokszámeloszlásNem skálafüggetlen

B MODELL: CSAK PREFERENCIÁLIS KAPCSOLÓDÁS Indulás: N izolált csúcs, behúzunk 1 élet Minden lépésben vál. egy csúcsot, a már meglévő fokszámmal arányos

valsózínűséggel hozzákötjük valamelyik másikhoz ()

Kezdetben skálafüggetlennek tűnő eloszlás, egyre több él behúzásával normálishoz tart

Nem elég-e kevesebb?

GráfmodellekHosszu Éva

30/10

• Fokszámeloszlás• P(k) ~ k-3

• Valóban hatványfüggvény

http://discopal.ispras.ru/images/c/c9/Barabasi-Albert_model.pdf

A BA modell tulajdonságai

SkálafüggetlenKisvilág-tulajdonságú

GráfmodellekHosszu Éva

31/10

KLASZTEREZETTSÉG• Analitikusan nem lehet számolni• Szimuláció: <k>=4 véletlen gráfokkal összehasonlítva

• Véletlen gráfokban: • BA-ban:

• A hálózat méretével csökken• Megfigyelt hálózatok: független a hálózat méretétől

A BA modell tulajdonságai

GráfmodellekHosszu Éva

32/10

Hol tartunk eddig

• A BA modell az eddigi legjobb próbálkozás

Kis átmérő Kisvilág-tulajdonság Skálafüggetlenség Növekedés Preferenciális kapcsolódás

A klaszterezettség a hálózat méretével csökken• Nem független

GráfmodellekHosszu Éva

33/10

Összefoglalás

Tulajdonság Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási-Albert

Kis átmérő OK OK OK

Kisvilág OK OK OK

Klaszterezettség

Nem OK Nem

Preferenciális kapcsolódás

Nem Nem OK

Növekedés Nem Nem OK

Skálafüggetlen Nem Nem OK

nov. 16.gyakorlat!