View
353
Download
8
Category
Preview:
DESCRIPTION
Meridijan
Citation preview
GAUS’KRIGEROVA PROJEKCIJA
4. KONVERGENCIJA MERIDIJANA
KONVERGENCIJA MERIDIJANA (γ) je ugao koji u zadatoj tački u projekciji zaklapa tangenta na sliku meridijana sa pravom paralelnom x osi (mereno u pravcu kretanja kazaljke na satu).
Tačke istočno od srednjeg meridijana imaju pozitivnu kovergenciju meridijana, dok tačke zapadno od srednjeg meridijana imaju negativnu konvergenciju meridijana.
Značaj: Pomoću konvergencije meridijana (γ) na osnovu azimuta geodetske linije na elipsoidu (α) moguće odrediti geodetski (Gusov) direkcioni ugao (θ) (nagib) u iste linije u projekciji.
α = γ + θ
θ = α γ
γ = α – θ
Računanje konvergencije meridijana u ravni na osnovu geografskih koordinata φ,l
Kako je ugao između meridijana i paralele u projekciji prav to je:
γ = dx/dy
Kako se tačka T2 ’ po pretpostavci nalazi na slici paralele to će dφ = 0 pa će važiti:
odnosno:
Potrebni parcijalni izvodi u imeniocu i brojiocu mogu se odrediti na osnovu ranije izvedenih formula za računanje pravouglih koordinata na osnovu geografskih, te će biti:
U daljem izvođenju se najpre oba predhodna izraza podele sa N*cosφ, zatim se nađe recipročna vrednost drugog izraza na osnovu formule za razvijanje u red funkcije (1+x) 1 , te se konačno, obavi množenje dobijenih izraza, zadržavajući isključivo one članove u kojima se pojavljuju veličine η i t do stepena η 2 i t 4 , što ne utiče na tačnost računanja, te se dobija sledeća jednačina:
Ako dalje primenimo formulu za razvijanje u red funkcije arc tg γ:
a za , tgγ, tg 3 γ, tg 5 γ koristimo predhodnu formulu zadržavajući samo one članove koji utiču na tačnost računanja, onda formula za računanje zbližavanja meridijana izgleda:
odnosno u sekundama:
Na osnovu poslednje formule može se računati konvergencija meridijana sa tačnošću od 0,001" ako je l ≤ 3,5°
Konačno ako uvedemo oznake:
definitivna formula za računanje konvergencije meridijana biće sasvim jednostavna:
5. LINEARNA RAZMERA I RAZMERA POVRŠINA
Pođimo od poznate jednačine linearne razmere:
Kako je reč o konformnoj projekciji, razmatranje možemo pojednostaviti ako potražimo formulu za linernu razmeru u pravcu paralele n. Kako je duž paralele je dφ=0, to će totalni diferencijali dx i dy biti:
pa će dalje važiti:
Predhodno smo odredili izraze za ∂x/∂l i ∂y/l:
Te ćemo ih najpre kvadrirati:
a, zatim podeliti sa N 2 *cos 2 φ te dobiti izraz za razmeru površina, jer je kod konformnih projekcija p = c 2 :
Odnosno ako je φ u stepenima:
Izraz za linearnu razmeru dobija se stepenovanjem predhodnog izraza eksponentom 1/2 koristeći formulu za razvijanje u red funkcije (1+x) 1/2 :
Odnosno kada je φ u stepenima:
Ili konačno uvođenjem koeficijanata (koji zavise samo do φ):
definitivno:
Neki zaključci: Kod GausKrigerove projekciji uvek je c ≥ 1, dakle, preslikane dužine su veće nego na površi elipsoida, Iako je linearna razmera fja od φ, l na njenu promenu mnogo više utiče promena geografske dužine nego geografske širine, jer se cos φ menja sporije i u mnogo užim granicama (od 0 do 1). Najveću vrednost funcije c i p imaju na presečnim tačkama meridijanskih zona preslikavnja, a na polovima imaju u vrednost 1. Na srednjem meridijanu, gde je l = 0, je c=1 i p=1, prema za unapred zadatim uslovima za projekciju.
6. ODREĐIVANJE ŠIRINE ZONE PRESLIKAVNJA
Širina zone preslikavanja, odnosno veličina područja koje se može preslikati u jednom koordinatnom sistemu, zavisi od tačnosti koju zahtevamo od projekcije.
Kako kod konformnih projekcija nema deformacija uglova, to linearna deformacija predstavlja glavni kriterijum.
Imajuću u vidu predhono razmatranu funkciju linearne razmere problem određivanja širine zone preslikavanja svodi se na na određivanje maksimalne vrednosti geografske dužine lmax za koju linerna razmera dostiže maksimalno dozvoljenu vrednost cmax.
Kriterijum linearne tačnosti definisan je na osnovu propisane relativne tačnosti meranja dužina u poligonskoj mreži od 1:3000 (tačnost dužina je u trigonometrijskoj mreži IV reda je oko 1:10.000), te je za kriterijum tačnosti projekcije uzeta vrednost od 1:10.000.
Na taj način, ako su greške projekcije 3 puta manje od grešaka masovnih lineranih merenja u radovoma na premeru, smatralo se da se deformacije dužina se mogu zanemariti.
Stoga se širina zone (imajući u vidu predhodno izvedenu formulu za c) računa kao:
odnosno:
Na osnovu predhodne formule može se načiniti tabela:
što bi za naše područje ( 40° ≤ φ ≤ 50°) iznosilo 2° 07’ ≤ lmax ≤2° 31’.
Kako se područje ExJugoslavije prostire longitudinalno na oko 10°, to bi u ovim uslovima bilo potrebno 4 do 5 koordinatnih sistema.
U cilju smanjenja broja koordiantnih sistema uvedene su negativne linerane deformacije koje bi na srednjem meridijanu iznosila d = 0.0001 ( c = 0.9999), a na krajevima zona preslikavanja d = + 0.0001 ( c = 1.0001).
Linerna deformacija se stoga menja u opsegu 0.0001 ≤ d ≤ + 0.0001, odnosno │d│≤ + 0.0001, odnosno širina opsega iznosi 0.0002, te ako se ova vrednost uvede predhodno razmatranje biće:
odnosno važiće tabela:
odakle je očigledno da se za područja severnija od 40° mogu koristiti meridijanske zone od 3°, odnosno 1.5° istočno i zapadno od srednjeg meridijana, a da pri tom linerne deformacije po apsolutnoj vrednosti ne premašuju vrednost od 0.0001, t.j. │d│≤ 0.0001.
Promene linerne razmere u zavisnosti od širine zone (izražene u km) data je na grafiku:
Dakle, kod isključivo pozitivnih deformacija (1dm na 1km) možemo se udaljiti od srednjeg meridijana oko 90 km, dok uvođenjem negativnih deforamcija (±1dm na 1km) zona se povećava na oko 127 km.
7. REDUKCIJA KOORDINATA
Predhodno izvedene jednačine preslikavanja date su pod uslovom da da je linerna deformacija na srednjem meridijanu jednaka 0, odnosno linerna razmera jednaka 1.0000.
Ako se uvde uslov da na srednjem meridijanu linerana deformacija iznosi 0.0001, odnosno lineran razmera 0.9999 (koji je uveo Gaus), onda i vrednosti koordinata koje su takođe linearne veličine treba pomnožiti faktorom m0=0.9999.
Faktor m0 nazivamo linearnim modulom, a koordinate pomnožene ovim faktorom redukovanim koordinatama (modulisanim koordinatama).
Uobičajene oznake za redukovane pravogle koordinate su: x, y , dok se neredukovane koordinate daju u oznakama ¯x, ¯ y, gde je njihova veza data sa:
8. DRŽAVNI PRAVOUGLI KOORDINATNI SISTEM
Marta 1924. Stručna komisija je GausKrigerovu projekciju usvojila (među prvima u Evropi) za projekciju premera državne teritorije.
Projekcija je usvojena, najpre, zbog relativno malih linijskih i površinskih elemenata, a pored toga i zbog: relativno jednostavnih formula za direktno računanje pravouglih koordinata iz geografskih i obrnuto, jednoobraznosti koordinatnih sistema, malim konvergencijama meridijana, najmanjim brojem koordiantnih sistem u odnosu na ostale razmatrane (GausŠrajberova, stereogrfska i kosa konformna clindrična projekcija).
Za srednje meridijane usvojeni su: 15°, 18°, 21°, odnosno 3 koordinatna sistema.
Usvojene su tri zone: 5, 6, 7.
Granični merirdijani među zonama su: 16.5° i 19.5°
Apsicise (x) su uvek pozitivne, dok su ordinate (y) pozitivne za tačke istočno od srednjeg meridijana, negativne za tačke zapadno od srednjeg meridijana.
Da bi se izbegle negativne vrednosti ordinata, svim ordinatama dodaje se 500.000 metara, po predlogu nemačkog geodete Baumgarta.
Da bi se obezbedila jednoznačnost koordinata, ispred vrednosti ordinate dodaje se broj koordinatnog sistema, odnosno npr. u 7oj zoni dodje se 7.000.000.
Recommended