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Koordinatensysteme und Transformationen
P1 P1
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 2
Inhalt
• Koordinatensysteme– Beschreibung von Positionen (Punkten) in 2D und 3D– Mathematische Basis für computergraphische
Algorithmen
• Transformationen– Mathematische Beschreibung geometrischer
Veränderungen von Objekten– Einfache arithmetische Operationen– Repräsentation durch Matrizen– 2D und 3D
• Projektionen– Übergang von nD nach (n-1)D – hier 3D nach 2D– Grundlage für Kameramodelle in der Computergraphik
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 3
Einführung
Motivation: Koordinatensysteme und Transforma-tionen für die Abbildung von 3D-Modellen entsprechend einer Kameraposition
Beispiele:– Weltkoordinaten → Kamerakoordinaten (3D-Modelle und
Kamera in einheitliches Koordinatensystem überführen)– Projektion auf die Bildebene (Kamerakoordinaten →
Bildkoordinaten)
• Grundlagen: Geometrie und lineare Algebra• Ausgangspunkt: Beschreibung von Objekten
durch Mengen von Eckpunkten und Kanten (Polygone bzw. Polyeder)
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 4
Einführung
Skalare, Punkte und „Vektoren“• Jeder Vektor (a,b,c) kann eindeutig in eine
Linearkombination der Elemente der Basis des Vektorraumes zerlegt werden:– (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)– Skalare a, b und c sind die kartesischen Koordinaten
des Vektors im System der Einheitsvektoren des euklidischen Koordinatensystems.
– Die kartesischen Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen.
• Skalare sind reelle/komplexe Zahlen. Bei Transforma-tionen repräsentieren sie z.B. Drehwinkel und Skalie-rungsfaktoren.
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 5
Skalare, Vektoren und Matrizen• Skalare – 0-dimensional• Vektoren – 1-dimensional, n Komponenten• Matrizen – 2-dimensional, nxm Elemente
Zusammenhang:• Komponenten eines Vektors bzw. Elemente
einer Matrix sind Skalare.• Zeilen bzw. Spalten einer Matrix sind Vektoren.
Warum Matrizen?Beschreibung von Transformationen (Trafo-Matrizen)
Einführung
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 6
Implementierung:Graphikbibliotheken enthalten oft vordefinierte Strukturen bzw. Klassen für Punkte, Vektoren und Matrizen.
Diese enthalten Methoden zum „Rechnen“ mit Vektoren.Beispiele: • Überladen von Operatoren zur Addition, Subtraktion• Bestimmung von Kreuz- und Skalarprodukt• Bestimmung der Größe eines Vektors
OpenGL:typedef GLfloat point3[3];
point3 vertices [8] = {{-1.0, -1.0, -1.0}, {-1.0, 1.0, -1.0}, …};
Einführung
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 7
• Vektorraum: enthält Vektoren und Skalare. In einem Vektorraum sind Operationen definiert, die Vektoren v und Skalare s verknüpfen.Multiplikation: f(v x s) → vAddition: f(v1,v2) → v
• Affiner Raum ist ein Vektorraum, der um Punkte p erweitert wird. Punkte können subtrahiert werden.Subtraktion: f (p1, p2) → v
• Euklidischer Raum ist ein affiner Raum, in dem skalare Werte quantifiziert werden, wobei das euklidische Abstandsmaß benutzt wird. In der CG nutzen wir vorrangig euklidische Räume.
Einführung
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 8
Identische Vektoren Addition von Vektoren
Einführung
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 9
x
y
z
(a,b,c)
a(1,0,0)
b(0,1,0)
c(0,0,1)
Interpretation: • Ein Vektor hat keine Position.• Ausgehend von einem festen
Punkt (z.B. o) definiert ein Vektor einen Punkt.
• Vektor (a,b,c) kann als Punkt im Raum dargestellt werden, der dem Endpunkt eines Vektors (a, b, c) ausgehend vom Koordinatenursprung (0,0,0) entspricht.
• Äquivalentes gilt für andersdimensionale Vektorräume n
Koordinatensysteme
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 10
Koordinatensysteme• Eine Menge (o, e1, e2, ..., en) bestehend aus
einem Punkt o An und der Basis (e1, e2, ...,en) von An heißt Koordinatensystem.
• Für jeden Punkt p An ist Ortsvektor von p
• Komponenten von v heißen Koordinaten bezüglich (e1, e2, ..., en) d.h. p besitzt die Koordinaten (x1, x2, ..., xn):
• Punkt o heißt Koordinatenursprung
opv
nn2211 e x e x e x v op
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 11
Koordinatensysteme in der CG
• zweidimensional
• dreidimensional
x
y
x
y
z
x
y
z
linkshändigesKoordinatensystem
rechtshändigesKoordinatensystem
X- Richtung des DaumensY- ZeigefingerZ- MittelfingerDie beiden Koordinaten-systeme sind spiegelbildlich und nicht durch Drehung ineinander zu überführen.
Koordinatensysteme und Transformationen
2. Transformationen in 2D
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 13
• Fragestellung:– Wie werden Bewegungen beschrieben? Wie
berechnet man die Position von Objekten nach Bewegungen?
• Bewegungen = Transformationen– Veränderung der Position von Punkten– Verschiebung = Translation– Größenveränderungen = Skalierung– Drehung = Rotation– Weitere affine Transformationen:
• Spiegelung• Scherung
Transformationen in 2D
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 14
Transformationen in 2D: Translation
• Punkt (x,y) wird auf gerade Linie nach (x‘, y‘) verschoben.
• Beschreibung der Translation durch einen Vektor (dx,dy), der die Verschiebungsweite in x- und y-Richtung angibt
• Addition des Verschiebungs-vektors
• Noch eine Interpretation von Vektoren: Beschreiben den Weg bzw. die Linie von P1 zu P2
(x,y)
(x‘,y‘)
(dx,
dy)
dx
dy
dy
dx
y
x
y
x
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 15
Transformationen in 2D: Skalierung
Uniforme Skalierung• Zentrum der Skalierung
ist o, Skalierung erfolgt in alle Richtungen uniform mit dem skalaren Faktor
• Ortsvektor zu (x,y) wird auf das -fache verlängert, um (x‘,y‘) zu erhalten
• Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor
y
x
y
x
y
x
(x,y)
(x‘,y‘)
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 16
Nicht-uniforme Skalierung• Zentrum der Skalierung ist
o, Skalierung erfolgt in x-Richtung mit dem Faktor in y-Richtung mit (Skalierungsvektor ()T)
• Ortsvektor zu (x,y) wird auf das -fache in x-Richtung und das -fache in y-Richtung verlängert.
• Multiplikation mit entsprechenden Skalierungsfaktoren
ßy
x
y
x
(x,y)
(x‘,y‘)
Transformationen in 2D: Skalierung
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 17
Transformationen in 2D: Rotation
• Rotationszentrum ist o.• Punkt (x,y) wird um den
Winkel um o gedreht, so dass sich der Punkt (x‘,y‘) ergibt.
• Positive Werte von ergeben eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn.
(x,y)
(x‘,y‘)
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 18
• Herleitung der Berechnungsvorschrift:Entfernung r vom Ursprung zu (x,y) bzw. (x‘,y‘) bleibt unverändert. Nutzung von Additionstheoremen für Winkelfunktionen.
(x,y)
(x‘,y‘)
r
r
r cosr cos( +
sincos ryrx
cossinsincos
)sin(
sinsincoscos
)cos(
rr
ry
rr
rx
(I) In (III) und (II) in (IV) einsetzen:
cossin
sincos
yxy
yxx
(I)
(III)
(IV)
(II)
Transformationen in 2D: Rotation
x
y
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 19
• Berechnungsvorschrift
• Kann als Matrix-Vektormultiplikation ausgedrückt werden:
• Rotationen um negative Winkel erfolgen mit dem Uhrzeigersinn; ausnutzen: cos(-)=cos() und sin(-)=-sin()
cossin
sincos
yxy
yxx
y
x
y
x
cossin
sincos
Transformationen in 2D: Rotation
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 20
Transformationen in 2D: Zwischenergebnis• Translation:Addition des Verschiebungsvektors• Skalierung: Multiplikation des Skalierungsfaktors• Rotation: Matrixmultiplikation• Keine einheitliche Behandlung!• Schwierig bei zusammengesetzten
Transformationen!
• Einheitliche Repräsentation von Transformationen gesucht → Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 21
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten• Ein Koordinatensystem wird in ein homogenes
Koordinatensystem überführt, indem eine zusätzliche Dimension eingeführt wird: n n+1 Dimensionen.
• Ein Punkt (x, y) wird in homogenen Koordinaten durch das Tripel (x·w, y·w, w) repräsentiert, mit w0.
• Normalisierte Darstellung: w = 1 (x, y, 1)
• Jeder Punkt hat unendlich viele äquivalente Repräsentationen in homogenen Koordinaten.
• Achtung: Homogene Koordinaten von 2D-Punkten nicht mit „normalen“ 3D-Koordinaten verwechseln!
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 22
Vorteile:• Repräsentation aller Punkte in homogenen Koordinaten
ermöglicht einheitliche Behandlung der Transformationen
• Fragen:– Was steht für das Fragezeichen?– Welche Operation ist *?
• Antwort:– Transformationen werden als Matrizen repräsentiert– Verknüpfung durch Multiplikation
1
y
x
w
yw
xw
?
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 23
• Translation– Vorher: Addition eines Vektors– Jetzt: Multiplikation mit einer Translationsmatrix
• Skalierung– Vorher: komponentenweise Multiplikation mit
Skalierungsfaktoren– Jetzt: Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix
1100
10
01
1100
10
01
y
x
dy
dx
y
x
dy
dx
1100
00
00
1100
00
00
y
x
sy
sx
y
x
sy
sx
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 24
• Rotation– Vorher: komplexe Gleichung oder
Matrixmultiplikation– Jetzt: Multiplikation mit einer Rotationsmatrix
• Allgemeine 2D-Transformationsmatrix
1100
0cossin
0sincos
1100
0cossin
0sincos
y
x
y
x
100
fed
cba Skalierung
Rotation
Translation
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 25
Inverse Transformationen:• Frage: Wie macht man Transformationen
rückgängig (was sind die inversen Transformationen)?
• Für elementare Transformationen einfach:– Translation: Verschiebung um den negativen
Verschiebungsvektor T-1(dx, dy) = T(-dx, -dy)
– Skalierung: Skalierung mit dem reziproken Skalierungsfaktor S-1() = S(1/)
– Rotation: Rotation um den negativen Rotationswinkel. Da aber Rotationsmatrizen orthogonal sind, gilt R-1 = RT.
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 26
Zusammengesetzte Transformationen• Nacheinanderausführung zweier Translationen
– Translation ist additiv, d.h. Ergebnis ist eine Verschiebung um die Summe beider Vektoren
• Nacheinanderausführung zweier Skalierungen
– Skalierung ist multiplikativ, d.h. Ergebnis ist eine Skalierung um das Produkt der beiden Faktoren.
1100
10
01
100
10
01
11
1
2
2
y
x
dy
dx
dy
dx
y
x
1100
10
01
121
21
y
x
dxdy
dxdx
y
x
1100
00
00
100
00
00
11
1
2
2
y
x
sy
sx
sy
sx
y
x
1100
00
00
121
21
y
x
sysy
sxsx
y
x
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 27
• Nacheinanderausführung zweier Rotationen
– Rotation ist additiv.
• Allgemein: Homogene Koordinaten – Ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller
geometrischen Transformationen
• Schreibweise– Transformationen werden in der Reihenfolge T1,
T2, ..., Tn ausgeführt P‘=Tn·...·T2·T1·P
1100
0cossin
0sincos
100
0cossin
0sincos
111
11
22
22
y
x
y
x
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 28
Zusammensetzen von Transformationen• Rotation eines Punktes um einen beliebigen
Punkt P1 in der Ebene
• Ausführung in drei Schritten1. Translation, so dass P1 im Ursprung liegt
2. Rotation um den Ursprung3. Rück-Translation von P1
P1 P1
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 29
Zusammensetzen von Transformationen• Zerlegung von komplizierten Transformationen
in elementare Transformationen• Repräsentation der Gesamt-Transformation
durch eine Matrix möglich
1100
sin)cos1(cossin
sin)cos1(sincos
1100
10
01
100
0cossin
0sincos
100
10
01
),()(),(
11
11
1
1
1
1
1111
y
x
xy
yx
y
x
y
x
y
x
PyxTRyxTP
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 30
Zusammensetzen von Transformationen:• Aber: Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ!• Das bedeutet: Reihenfolge der Transformationen ist
ausschlaggebend für das Ergebnis
• also: Tn...T2T1P T1T2...TnP T2Tn...T1P wenn die Ti voneinander verschiedene Transformationen sind
• Allerdings in einigen Fällen besteht Kommutativität:– Nacheinanderausführung von Translationen– Nacheinanderausführung von Skalierungen– Nacheinanderausführung von Rotationen
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 31
Weitere Transformationen:• Spiegelung
– an der x-Achse – an der y-Achse – wird implementiert als
Skalierung mit dem Faktor -1
100
0)1(0
00)1(
T
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 32
Weitere Transformationen:• Scherung
– Versatz parallel zur x-Achse, proportional zur y-Position (bzw. umgekehrt)
– in x-Richtung
– in y-Richtung
(x,y) (x‘,y‘)
100
010
01 a
T
100
01
001
bT
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 33
Affine Transformationen• Jede Sequenz von Rotation, Translation und
Skalierung erhält die Parallelität von Linien, aber nicht Längen und Winkel.
• Solche Transformationen heißen affine Transformationen.
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 34
Affine Abbildungen sind: – Geradentreu. Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade.– Parallelentreu. Parallele Geraden haben parallele Bildgeraden.– Teilverhältnistreu. Dem Teilverhältnis auf einer Geraden
entspricht das Teilverhältnis auf der Bildgeraden. – Bsp: Wenn Punkt C Strecke AB im Verhältnis 1:2 teilt, dann liegt
C´auf A´B´und teilt A´B´im gleichen Verhältnis.
Affine Abbildungen sind:– nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen – Bsp: Wenn ein Punkt D das Dreieck ABC in drei gleich große
Dreieck ABD, ACD und BCD teilt, dann ist das Verhältnis der Flächen von A´B´D´zu A´C´D´zu B´C´D´im allgemeinen nicht 1:1:1.
– nicht längentreu– nicht winkeltreu– nicht flächentreu.
Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten
A B
C
D
Koordinatensysteme und Transformationen
3. Transformationen in 3D
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 36
3D Transformationen
• Vorgehensweise gleich zu 2D• Repräsentation in homogenen Koordinaten
(4D)
• Transformationsmatrizen demzufolge 44-Matrizen
1
z
y
x
z
y
x
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 37
3D Transformationen: Matrizen
• Translation– Addition eines Translationsvektors bzw.
Multiplikation mit einer Translationsmatrix
• Skalierung– Multiplikation mit Skalierungsfaktoren bzw.
Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix
1000
100
010
001
dz
dy
dx
T
1000
000
000
000
sz
sy
sx
S
uniforme Skalierung, wenn sx=sy=sz, sonst Nicht-uniforme Skalierung
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 38
• Rotation– Rotationen um die verschiedenen Koordinatenachsen
müssen betrachtet werden.– 3 verschiedene Rotationsmatrizen (Rotation um
positive Winkel in rechtshändigem Koordinatensystem)
– Achse, um die gedreht wird, bleibt „Einheitsvektor“ in der Matrix
1000
0100
00cossin
00sincos
1000
0cos0sin
0010
0sin0cos
1000
0cossin0
0sincos0
0001
z
yx
R
RR
3D Transformationen: Matrizen
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 39
3D Transformationen: Matrizen
Warum unterschiedliche Vorzeichen bei den Winkeln (Sinus)?
x
y
zrechtshändigesKoordinatensystem
x
z
Gegenüber der 2D-Herleitung, Spiegelung an der x-Achse (x, -y) (sin α = - sin (- α), cos (- α) = cos α
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 40
• Überführung rechtshändiges in linkshändiges Koordinatensystem (Spiegelung)
1000
0100
0010
0001
lrT
3D Transformationen: Matrizen
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 41
Zusammensetzen von Transformationen• auch über Multiplikation der Matrizen• generelle Transformationsmatrix in 3D
ponm
lkji
hgfe
dcba
T
Skalierung
Rotation
Translation
3D Transformationen: Matrizen
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 42
Matrizen werden in der CG benötigt für Transformationen der Szene in Kamerakoordinaten und Projektionen.
Realisierung in OpenGL:In OpenGL wird die Spezifikation dieser Matrizen (4x4, homogene Koordinaten) unterstützt; alle Matrizen werden einheitlich gehandhabt.Der glMatrixMode spezifiziert, auf welche Matrix sich die folgenden Kommandos beziehen.glLoadIdentity () setzt Matrix auf die EinheitswerteglLoadMatrixf (matrixPointer) lädt die Matrix mit dem angege- benen Feld (1D, 16 Werte)glMultMatrixf (matrixPointer) multipliziert aktuelle Matrix mit der angegebenenglPushMatrix(), glPopMatrix() Matrix auf einem Stack ablegen bzw. vom Stack holen.
3D Transformationen: Matrizen
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 43
3D Transformationen: Matrizen
Realisierung in OpenGL:glTranslatef (v1, v2, v3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer
TranslationsmatrixglRotatef (ang, ref1, ref2, ref3) multipliziert aktuelle Matrix
mit einer Rotationsmatrix. Rotation um (ref1; ref2; ref3) und den Winkel „ang“.
Beispiel:glPushMatrix(); // aktuelle Matrix auf dem Stack sichernglMatrixMode (GL_MODEL_VIEW); // Welche Matrix?glLoadIdentity(); // InitialisierungglTranslatef (4.0, 5.0, 3.0); // TranslationglRotatef (45.0,1.0, 0.0, 0.0);// Rotation um x-AchseglTranslatef (-4.0, -5.0, -3.0); // RücktranslationglPopMatrix(); // Matrix rekonstruieren
Reihenfolge: Alle Manipulationen der Matrizen sind postmultiplikativ.
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 44
Koordinatentransformationen
• Bisher: Transformation von Punkten in neue Punkte bei konstantem Koordinatensystem („geometrische Transformationen“)
• Äquivalente Sichtweise: Wechsel des Koordinatensystems bei konstantem geometrischen Objekten („Koordinatentransfor-mationen“)
• Allgemein gilt:– Geometrische Transformationen und entsprechende
Koordinatentransformationen sind invers zueinander!
• Computergraphik:– Geometrische Objekte oft in lokalem „bequemem“
Koordinatensystem definiert („Objekt-Koordinatensystem“)
– Koordinatentransformation in Weltkoordinaten gibt Lage des Objekts in der Szene wider.
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 45
Zusammenfassung Transformationen• Geometrische Transformationen sind lineare
Abbildungen vom n in den n
– für uns von besonderem Interesse 2 2 und 3 3
• Für Computergraphik relevant:– Translation– Skalierung– Rotation– Scherung, Spiegelung
• Einheitliche Behandlung der Transformationen durch Übergang zu homogenen Koordinaten und zur Darstellung der Transformationen durch Matrizen
B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme 46
• Zusammengesetzte Transformationen durch Hintereinanderausführen von elementaren Transformationen, entspricht Multiplikation der Matrizen.
• Transformation der Objekte oder des Koordinaten-systems
Zusammenfassung Transformationen
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