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Plan du cours : La flexion
1 Étude de la flexion des poutres longues
1.1 Rappels : principes fondamentaux pour l’étude des poutres
1.1.1 Torseur des actions extérieures dans une section
1.1.2 Décomposition du torseur - Mise en évidence du moment de flexion
1.2 Action du moment de flexion
1.2.1 Flexion pure - application à l’essai de flexion 4 points
1.2.2 Calcul des contraintes engendrées par un moment de flexion
1.2.3 Équation de la déformée
1.2.4 Énergie de déformation
1.3 Notion de flexion simple
2. Calcul de déformée et Calcul énergétique
2.1 Déformée d’une voilure de planeur - recherche de la charge appliquée
2.1.1 Modélisation du problème
2.1.2 Recherche de la déformée de la ligne moyenne - Utilisation des conditions limites
2.1.3 Calcul de l’inertie
Page 2 Plan du cours :
2.1.4 Détermination du facteur de charge
2.2 Méthodes énergétiques
2.2.1 Calcul d’une voilure de planeur soumise à un effort ponctuel : Théorème de Castigliano
2.2.2 Comparaison des contraintes engendrées par ces flexions : effort linéique / effort ponctuel
2.2.3 Méthode de la sollicitation évanouissante
2.2.4 Théorème de Ménabréa
3. Pré-dimensionnement des panneaux d’une voilure composite d’avion civil de 80 places
3.1 Schématisation de la voilure
3.2 Données
3.3 Détermination des cas dimensionnants
3.3.1 Calcul des efforts tranchants et des moments de flexion
3.3.2 Détermination des courbes enveloppes pour T et Mf
3.4 Détermination des épaisseurs maximales des panneaux
3.3.1 Equilibre du caisson
3.3.2 Application numérique
Page 3 1. Etude de la flexion des poutres longues
1.1 Rappels : principes fondamentaux pour l ’étude des poutres
1.1.1 Torseur des actions extérieures dans une section
La poutre de ligne moyenne GoG1 est coupée en 2 tronçons 1 et 2.
L ’ensemble des forces extérieures s ’exerçant sur le tronçon 2 est équivalent à une résultant R et à un
moment M qui constituent les éléments de réduction au centre de gravité de la section 1.
Cette effort résultant et ce moment résultant sont équivalents aux forces intérieures exercées par 2 sur 1.
Réf. 1
Page 4
1.1.2 Décomposition du torseur - Mise en évidence du moment de flexion
Le torseur est équivalent :
à une résultante R qui peut être décomposé en :
- une composante normale à S : l’effort normal N
- une composante contenue dans le plan S : l ’effort tranchant T
à un moment M qui peut être décomposé en :
- un moment Mt normal à S : le moment de torsion Mt
- un moment Mf contenu dans le plan S : le moment de flexion Mf.
Réf. 1
Page 5
1.2 Action du moment de flexion
1.2.1 Flexion pure - application à l ’essai de flexion 4 points
Flexion pure : Une poutre est soumise à une flexion pure si le torseur se réduit au centre de gravité de la section à
un seul moment de flexion Mf porté par un axe principal d’inertie.
Application :
L’essai de flexion 4 points est souvent utilisé car il permet d’obtenir une zone d’essai sollicitée en flexion pure
entre les points A et B :
F F
A B T
0 x
0 x
Mf
Page 6
1.2.2 Calcul des contraintes engendrées par un moment de flexion
La contrainte engendrée par un moment de flexion Mf dans une section S s’exprime par :
I3 : Le moment d ’inertie autour de l ’axe x3 s’exprime par :
Conséquences :
1 - Les fibres situées sur l ’axe x3 de la section ne sont pas sollicitées.
2 - L’ensemble des fibres pour lesquelles la contrainte engendrée par le moment de flexion est nul constitue le plan
neutre (x2 = 0)
3 - Pour une section donnée, la contrainte est maximale sur la fibre la plus éloignée du plan neutre.
23x
If
M
SdSxxI 2
2213
Réf. 1
Page 7
1.2.3 Équation de la déformée
Un élément de poutre soumis à un moment de flexion Mf positif se déforme
par rotation d’un angle dq positif.
Avec les hypothèse suivantes :
- petits déplacements,
et sur la déformée :
- loi de comportement : loi de Hooke :
(avec E : module de Young du matériau constituant la poutre)
On a la relation suivante :
En notant v la flèche, l’équation de la déformée est donnée par :
q
Mf
dx1
x2
31EI
fM
dx
d
q
321
2
EI
fM
dx
vd
1dx
dvq
12
'1 dx
dx
cd
dd q
1211 dxd
ExEq
c d d’
dq
dd’= - x2 dq
cd = dx1
x1
Page 8
1.2.4 Énergie de déformation
Le travail des forces extérieures engendré par le moment de flexion Mf déformant la poutre d’un angle dq est
donné par :
L’énergie de déformation due au moment de flexion est donc :
dq
Mf
x1
x2
13
2
2
1
2
1dx
EI
fM
df
Mdw q
dx1
1
01
3
2
2
1x
dxEIf
M
fMW
Page 9
1.3 Notion de flexion simple
Une structure est sollicitée en flexion simple lorsque le torseur se réduit à un effort tranchant et un moment de
flexion.
Les résultats obtenus pour la flexion pure sont valables pour la flexion simple. L’effet de l’effort tranchant est
obtenu par le principe de superposition.
Réf. 1
Page 10 2. Calculs de déformée et calculs énergétiques
2.1 Déformée d’une voilure de planeur - recherche de la charge appliquée
Problème
A partir de la flèche en bout de voilure (1000 mm), on recherche le facteur de charge appliqué au planeur lors de
cette ressource.
2.1.1 Modélisation du problème
On modélise la voilure du planeur par une poutre encastrée au niveau du fuselage et libre à l’autre extrémité
soumise à un chargement linéïque.
Données : Longueur de l ’aile : L = 9 m
Caisson de voilure : corde moyenne : c = 500 mm ; hauteur du caisson de voilure : h = 140 mm
Voilure :
Le caisson de voilure est constitué de 2 peaux en tissu de verre séparées par un caisson nervuré
reprenant le cisaillement. Epaisseur des peaux : e = 4 mm ; Module équivalent = 40000 MPa
Page 11
2.1.2 Recherche de la déformée de la ligne moyenne - utilisation des conditions limites :
Afin de déterminer la relation entre la flèche et le chargement appliqué, il est nécessaire de déterminer la déformée de
la ligne moyenne par intégration de la formule suivante :
Détermination du moment de flexion :
Le moment de flexion est obtenu par intégration de l’effort tranchant appliqué à la poutre par la relation suivante :
L ’effort tranchant est donné par :
Le moment de flexion est donc :
k correspond à la constante d ’intégration et est déterminé par la condition limite suivante :
d’où :
321
2
EI
fM
dx
vd
pxLxT
kx
Lxpxf
M
2
2
dxxTxfM
0Lf
M
2
2Lpk
x = 0
p
L
Réf. 1
Page 12
d ’où :
La rotation q (x) est obtenue par intégration du moment de flexion :
k ’ : constante d ’intégration est obtenue par q (x) = 0 (encastrement) d ’où : k’ = 0
La flèche v (x) est obtenue par une seconde intégration :
k’’ : constante d ’intégration obtenue par v(x) = 0 (encastrement) d ’où : k ’’ = 0
La flèche à l’extrémité de l’aile correspond à v (L) soit :
2
2
2
2 xLx
Lpx
fM
'6
3
2
2
2
2
3
1k
xxLx
Lp
EIx
q
''24
4
6
3
2
2
2
2
3
1k
xxL
xLp
EIxv
8
4
3
1max
pL
EIvLv
Page 13
2.1.3 Calcul de l ’inertie :
Calcul de l’inertie de flexion de la voilure :
Seules les peaux en fibres de verre reprennent la flexion. L’inertie des peaux est la suivante :
Ipropre : inertie propre de la peau dans le repère de la peau :
Itransport : inertie de la peau transporté dans le plan de l ’aile (théorème de Huygens) :
L’inertie de transport est donc nettement prédominante par rapport à l’inertie propre.
Calcul du produit EI3 :
transportI
propreII 2
3
ds
s
xxpropreI
2
221
12
3cepropreI
2
2
h
ectransportI
42667mmpropreI
4610.8,9 mmtransportI
2.1110.84,73
mmNEI
Page 14
En fonction de l ’expression de la flèche, on en déduit l ’expression du chargement appliqué à l’aile:
AN :
2.1.4 Détermination du facteur de charge :
Le chargement total sur la voilure est donc : F = 17200 N
or, on a :
En faisant les hypothèses suivantes :
- la totalité de la portance est reprise par la voilure,
- la déportance occasionnée par l ’empennage est négligée.
La masse du planeur étant d ’environ 500 kg, l ’accélération g est la suivante :
Le facteur de charge subi par le planeur lors de cette ressource est donc d’environ 3,5 g.
33
8
L
LvEIpL
NpL 8600
gmF
gsm 5,32.4,34 g
Page 15
2.2 Méthodes énergétiques
2.2.1 Calcul d’une voilure de planeur soumise à un effort ponctuel : Théorème de Castigliano
On souhaite réaliser un essai de flexion sur la voilure étudiée précédemment. Quel effort ponctuel faut-il
appliquer en bout de cette voilure afin d’obtenir la même flèche (1000 mm) ?
La méthode la plus simple pour résoudre ce problème est la méthode énergétique.
Pour cela, on considère que la flèche est uniquement due au moment de flexion (on néglige l’influence de
l ’effort tranchant).
L’énergie de déformation due au moment de flexion est la suivante :
La flèche d en bout de voilure, au point d’application de la force F, est donnée par le théorème de Castigliano et
a pour expression :
Ldx
EIf
M
fMW
0 3
2
2
1
x = 0
F
L
F
fW
d
Page 16 Hypothèses liées à l’application du théorème de Castigliano (hypothèse de calcul linéaire) :
1 - les déplacements sont uniquement dus aux déformations,
2 - les déformations sont proportionnelles aux forces appliquées,
3 - l’effet des forces reste indépendant des déplacements.
Dans l’exemple, le moment de flexion est le suivant :
La flèche s ’écrit donc :
Soit :
Pour une flèche de 1000 mm, la force appliquée doit donc être :
F = 3226 N
Soit 2.66 fois moins que pour un chargement linéique réparti sur toute l’envergure.
33
32
2
1
0 3
2
2
1
EI
LF
Fdx
L
EI
Fx
Fd
Fxf
M
33
3
EI
FLd
Page 17
2.2.2 Comparaison des contraintes engendrées par ces flexions : effort linéique / effort ponctuel
La contrainte engendrée par un moment de flexion s’écrit :
Remarque :
Si v > 0 : < 0 : l’extrados est donc comprimé par un moment de flexion positif.
Si v < 0 : > 0 : l’intrados est donc tendu par un moment de flexion positif.
De plus; la contrainte est maximale (pour un v identique) lorsque Mf est maximum, soit dans ce cas à
l ’emplanture de la voilure (encastrement dans la modélisation).
Pour le chargement linéique :
Pour le chargement ponctuel :
Les autres grandeurs restants identiques, le rapport des contraintes correspond au rapport des moments de flexion :
Pour une même flèche, les contraintes engendrées sont donc être différentes.
vIf
M
3
2
2
max0
pLf
Mf
M
FLf
M
33.12
2
2
max
max
F
pL
FL
pL
ponctuelfM
linéiquefM
ponctuel
linéique
Page 18
2.2.3 Méthode de la sollicitation évanouissante
Il est possible d’obtenir la flèche en un point M quelconque dans la direction D, en appliquant en M une
sollicitation évanouissante (force F) portée par D. On applique alors le théorème de Castigliano.
Soit : Mf le moment de flexion dû aux charges appliquées,
Soit : F.M’f le moment de flexion dû à F,
La flèche cherchée d s’écrit :
ou :
03
''.
0
limite
F
B
AEI
dxfMfMFfM
F
w
F
d
B
Adx
EIf
Mf
M
3
'd
Page 19
Calcul pour la voilure de planeur soumise à un effort linéique : Méthode
de la sollicitation évanouissante - Théorème de Castigliano :
Il est possible de déterminer la flèche d en bout de voilure
dans le cas d’un chargement linéique en appliquant une
sollicitation évanouissante F en bout de voilure (au point
où l’on souhaite calculer la flèche).
L’application du théorème de Castigliano permet alors la résolution de ce
problème.
Le moment de flexion dû à l’effort linéique p s’écrit :
Le moment de flexion dû à l’effort ponctuel F (exprimé sous la forme FMf') :
x = 0
p
L
F
2
2
2
2 xLx
Lpx
pfM
xLFxFf
M '
Page 20
Le produit suivant :
avec : F.Mf ’ : moment dû à la force évanouissante
s’écrit :
et :
'' fMfMFfM
xLxLFxLxLpfMfMFfM
2
2
2
2
''
3
3
8
43
3
2
4
23
6
2
2
2
2
3
''xL
Fx
xL
xL
xL
xL
xL
pfMfMFfM
3
3
8
4
0 ''FLpLL
fMfMFfM
Page 21
La flèche cherchée d en bout de voilure s’écrit donc :
on peut aussi écrire :
on retrouve bien, dans les 2 cas, la flèche v(L) :
38
4
03
''
0
limiteEI
pL
F
B
AEI
dxfMfMFfM
F
w
F
d
8
4
3
1 pL
EILv d
B
AdxxL
xLx
L
EI
pB
Adx
EI
fMfM
2
2
2
2
33
'd
Page 22
2.2.4 Théorème de Ménabréa
On souhaite, dans l’essai précédent, fixer le bout de la voilure et pour cela calculer l’effort sur l’appui (point B)
En ajoutant au problème précédent un appui au point B, le système étudié devient hyperstatique.
Les inconnues RA, RB et MA permettant l’équilibre de la structure sont indiquées sur le schéma ci-dessous :
Les équations d’équilibre s’écrivent :
x = 0
p
L
B
A
x = 0
p
L
B
A
RB RA
MA
0
02
2
0
AX
Lp
AML
BR
pLBR
AR
XA
Page 23
Soit 4 inconnues pour 3 équations. Le système est donc hyperstatique de degré 1.
Afin de lever l’hyperstaticité de ce système, en considèrant comme inconnue hyperstatique RB , on peut écrire la
relation suivante correspondant au théorème de Ménabréa (appui en B) :
on ne considérera pour cela que l’énergie de flexion.
Le moment de flexion s’écrit :
L’énergie de flexion s’écrit donc :
Soit :
Ou :
Et donc :
0,
BR
BRpW
2xL
xLpxLBR
fM
L dx
xLpxL
BR
EIfMW
0
2
2
2
32
1
L dxxL
xLpxL
BR
EIBR
fMW
0 2
2
3
1
04
83
3
3
1
LpL
BR
EIBR
fMW
pLBR
8
3
Page 24 On peut également choisir RA comme inconnue hyperstatique. On a également (encastrement en A) :
et :
donc :
ou :
Soit : ou :
Avec la condition correspondant au théorème de Ménabréa, on obtient donc une équation supplémentaire
permettant de résoudre le système, soit :
ou :
L dxxL
xLpxL
ARpL
EIAR
fMW
0 2
2
3
1
4
83
3
3
1LpL
ARpL
EIAR
fMW
pLAR
8
5
L dx
xLpxL
ARpL
EIfMW
0
2
2
2
32
1
2
2,
xLpxL
ARpL
ARp
fM
0,
AR
ARpW
pLAR
8
5
pLBR
8
3
Page 25
2. Pré-dimensionnement des panneaux d’une voilure composite d’avion civil de 80 places
On souhaite déterminer les épaisseurs maximales des panneaux extrados et intrados d’une voilure composite.
2.1 Schématisation de la voilure
On schématise la voilure par une poutre encastrée :
La section simplifiée de la voilure est la suivante :
Train d’atterrissage
9000 mm
14000 mm
emplanture
h = 400 mm
l = 1000 mm
longeron
panneau
Page 26
2.2 Données
Deux cas de chargement sont pris en compte :
1er cas : Rafale positive (A)
Ce cas correspond à un effort linéique de p = 35 N/mm
2ème cas : Atterrissage dynamique (B)
Ce cas correspond à un effort ponctuel : F = 350000 N
x = 0
F
9000 mm
14000 mm
Page 27
On considère des panneaux de voilure en carbone en fibre IM orienté 50/20/20/10 :
Module sens long équivalent : Ex = 95000 MPa
Les valeurs de dimensionnement pour ce matériau et cette application sont les suivantes :
Intrados : x = 3700 md
Extrados : x = -2700 md
Hypothèse de calcul :
Le moment de flexion est repris par les peaux intrados et extrados.
Page 28
2.3 Détermination des cas dimensionnants
2.3.1 Calcul des efforts tranchants et des moments de flexion
1er cas : Rafale positive (A)
Avec les conventions de repère choisies on a :
et : Tmax = 490000 N
et :
xpT
2
2xp
fM mmN
fM .610.3430
max
T
0 14000
Mf
0 14000
490000 3430.106
x x
Page 29
2ème cas : Atterrissage dynamique (B)
Avec les conventions de repère choisies on a :
Si x < 9000 :
T = 0 et : Mf = 0
Si :
T = 350000 N et :
et :
9000x
9000 xFf
M
mmNf
M .610.1750max
T
0 14000
Mf
0 14000 9000 9000
350000 1750.106
x x
Page 30
2.3.2 Détermination des courbes enveloppes pour T et Mf
Pour l ’effort tranchant :
Pour : 0 < x < 9000 : T = 35x (cas A)
Pour : 9000 < x < 10000 : T = 350000 (cas B)
Pour : 10000 < x < 14000 : T = 35 x (cas A)
Pour le moment de flexion :
Pour : 0 < x < 14000 : (cas A)
2
2xp
fM
Mf
0 14000
3430.106
x
1750.106
T
x
0 14000
490000
350000
Page 31
2.4 Détermination des épaisseurs maximales des panneaux
2.3.1 Equilibre du caisson
En ne considérant que le moment de flexion et les contraintes qu’il engendre, l’équilibre du caisson est le
suivant :
L’équilibre du caisson de voilure implique un même effort Fp dans chaque panneau.
Un flux Nx (négatif) comprime l’extrados.
Le même flux Nx (positif) tend l’intrados.
extrados
l = 1000 mm
Longeron AV
intrados
• Nx
Nx
Extrados en compression
Intrados en traction
Mf h = 400 mm
Page 32
Avec Fp, l’effort passant dans chaque panneau, le flux Nx est alors définit par :
L’équilibre en moment donne donc (pour l ’intrados) :
(pour l’extrados : )
Or, on a :
Donc (intrados) :
Le moment de flexion est maximum à l’emplanture de la voilure (x = 14000), l’épaisseur des panneaux y sera
donc aussi maximale. Cette épaisseur s’exprime à l’intrados par :
avec : x = 14000
lxNpF
hlexhlxNhpFfM
xxEx
elhxxEfM
lhxx
E
px
lhxxE
fM
e 2
2max
max
hlexhlxNhpFfM
Page 33
2.3.2 Application numérique
Avec les valeurs suivantes :
Mfmax = 3430.106 N.mm
Ex = 95000 Mpa
l = 1000 mm
h = 400 mm
Pour l’intrados, avec x = 3700 md , on a : emax = 24.4 mm
Pour l’extrados, avec x = -2700 md , on a : emax = 33.4 mm
Page 34
Les documents suivants ont été utilisés pour l’élaboration de ce cours :
- Réf. 1 : Résistance des matériaux - Tome 2 - P. Vaussy - Ecole Centrales de Nantes
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