La geometria analitica

Un punto nel piano cartesiano è rappresentato da una coppia ordinata di numeri A(x ;y) per esempio A(2; 3)

.654321

32 4 5 61

. .A=(2;3)

B=(6;5)M=(4;4)La distanza fra due punti si

ottiene:

d = d(A;B) = (x1-x2)2+(y1-y2)2

Il punto medio M di un segmento AB, avrà coordinate:

xm=x1+x2 ; ym=y1+y2

22

X

Y

La retta è un insieme di punti allineati tra La retta è un insieme di punti allineati tra loro:loro:

Se la rappresentiamo su di un piano Se la rappresentiamo su di un piano cartesiano le possibili posizioni sono:cartesiano le possibili posizioni sono:

Ad ogni rettaAd ogni retta del piano corrispondedel piano corrisponde un’equazione lineareun’equazione lineare

e, viceversa e, viceversa ogni ogni

equazioneequazione di primo grado di primo grado

ha per ha per grafico una rettagrafico una retta

COINCIDENTE ASSE YCOINCIDENTE ASSE Y

COINCIDENTE ASSE XCOINCIDENTE ASSE X

PARALLELA ASSE YPARALLELA ASSE Y

PARALLELA ASSE XPARALLELA ASSE X

La retta è un insieme di punti allineati l’equazione generica di una retta nel piano cartesiano è: ax+by+c=0 (forma implicita) dove il coefficiente c prende il nome di termine noto. Risolvendo rispetto y= -a/bx+c/b e ponendo m=-a/b e p=-c/b, l’equazione si trasforma in y= mx + p (forma esplicita) dove m rappresenta il coefficiente angolare (cioè la tangente trigonometrica dell’angolo che la retta forma con il verso positivo dell’asse x se m>0 ) e p rappresenta l’intercetta (termine noto).1) Se il termine noto è uguale a 0 la retta passa per l’origine degli assi e la sua equazione generica è y=mx

2) Se p=0 ed m=1 l’equazione della retta è y=x (bisettrice 1°3° quadrante)

3) Se p=0 ed m=-1 l’equazione della retta è y=-x (bisettrice 2°4° quadrante)

Tabella

Tipo di retta Equazione

coincidente asse x y=0

coincidente asse y x=0

parallela asse x y=K

parallela asse y x=K

passante per l’origine y=mx

generica del piano y=mx+p

Chiamiamo conica quella curva che si ottiene intersecando un cono rotondo indefinito con un piano non passante per il vertice del cono

La parabola è una La parabola è una conica conica definita come il luogo geometrico dei punti definita come il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la distanza da un punto fisso detto del piano per i quali è costante la distanza da un punto fisso detto fuocofuoco e da una retta fissa detta e da una retta fissa detta direttricedirettrice.. L’equazione generica di una parabola è L’equazione generica di una parabola è y=axy=ax2 +bx+c+bx+c

I punti caratteristici della parabola sono:I punti caratteristici della parabola sono: VERTICEVERTICE V V ( -b/2a ; - ( -b/2a ; -/4a)/4a)FUOCO F FUOCO F (-b/2a ; (1- (-b/2a ; (1- )/4a))/4a)ASSE DI SIMMETRIA X ASSE DI SIMMETRIA X (-b/2a) (-b/2a)RETTA DIRETTRICE Y RETTA DIRETTRICE Y (-1- (-1- )/4a)/4a

a>0a>0Se a >0 concavità verso l’altoSe a >0 concavità verso l’alto

Se a<0 concavità verso il bassoSe a<0 concavità verso il basso

La parabola è una La parabola è una conica conica definita come il luogo geometrico dei punti definita come il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la distanza da un punto fisso detto del piano per i quali è costante la distanza da un punto fisso detto fuocofuoco e da una retta fissa detta e da una retta fissa detta direttricedirettrice.. L’equazione generica delle parabole è L’equazione generica delle parabole è y=axy=ax2 +bx+c+bx+c

I punti caratteristici della parabola sono:I punti caratteristici della parabola sono: VERTICEVERTICE V V ( -b/2a ; - ( -b/2a ; -/4a)/4a)FUOCO F FUOCO F (-b/2a ; (1- (-b/2a ; (1- )/4a))/4a)ASSE DI SIMMETRIA X ASSE DI SIMMETRIA X (-b/2a) (-b/2a)RETTA DIRETTRICE Y RETTA DIRETTRICE Y (-1- (-1- )/4a)/4a

a>0a>0Se a >0 concavità verso l’altoSe a >0 concavità verso l’alto

Se a<0 concavità verso il bassoSe a<0 concavità verso il basso a<0a<0

y= axy= ax2 + +bxbx +c +c

c = 0 c = 0 yax y=ax2 ++bxbx

Se b=0 y=axSe b=0 y=ax2 +c+c

Se b=c=0 y= axSe b=c=0 y= ax2

F I N E