View
21
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Lectia II
Dimensiunea spatiului liniar V. Repere carteziene.
Oana Constantinescu
Oana Constantinescu Lectia II
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Table of Contents
1 Subspatii liniare ale lui V
2 Vectori liniar dependenti si liniar independenti
3 Baze. Dimensiunea lui V.
4 Schimbari de repere
Oana Constantinescu Lectia II
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
De�nitia subspatiului liniar
De�nition
Dat spatiul liniar real (V,+, ·), o submultime S nevida a acestuia se
numeste subspatiu liniar daca restrictiile legilor de compozitie + si
· la S confera multimii S structura de spatiu liniar.
S este subspatiu liniar al lui (V,+, ·) daca si numai daca{∀u, v ∈ S ⇒ u + v ∈ S ,
∀α ∈ R, ∀u ∈ S ⇒ αu ∈ S .
Oana Constantinescu Lectia II
Exemple de subspatii liniare
De�nitions
1) Fie dreapta d . Notam cu−→d multimea tuturor vectorilor liberi ai
caror reprezentanti au aceeasi directie cu d:
−→d = {u ∈ V | ∃A,B ∈ S : u =
−→AB , (AB ‖ d) ∨ (AB = d) }.
Vom numi−→d dreapta vectoriala asociata lui d .
2) Fie planul π. Notam cu −→π multimea vectorilor liberi ai caror
reprezentanti au directia paralela in sens larg cu π :
−→π = {u ∈ V | ∃A,B ∈ S : u =−→AB , (AB ‖ π) ∨ (AB ⊂ π) }.
Numim −→π planul vectorial asociat lui π.
Dreapta si planul vectorial
Observatie: prin conventie 0 ∈−→d si 0 ∈ −→π pentru orice dreapta d ,
respectiv plan π.
Dreapta si planul vectorial
Theorem
Dreapta vectoriala−→d si planul vectorial −→π sunt subspatii liniare ale
lui V.
De�nitions
1) Doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca
reprezentantii lor au aceeasi directie.
2) Trei sau mai multi vectori liberi sunt coplanari daca
reprezentantii lor au directiile paralele (in sens larg) cu un acelasi
plan.
Corollary
1) Doi (sau mai multi) vectori liberi sunt coliniari daca si numai
daca apartin unei aceleiasi drepte vectoriale.
2) Trei (sau mai multi) vectori liberi sunt coplanari daca si numai
daca apartin unui aceluiasi plan vectorial.
Dreapta si planul vectorial
Theorem
Dreapta vectoriala−→d si planul vectorial −→π sunt subspatii liniare ale
lui V.
De�nitions
1) Doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca
reprezentantii lor au aceeasi directie.
2) Trei sau mai multi vectori liberi sunt coplanari daca
reprezentantii lor au directiile paralele (in sens larg) cu un acelasi
plan.
Corollary
1) Doi (sau mai multi) vectori liberi sunt coliniari daca si numai
daca apartin unei aceleiasi drepte vectoriale.
2) Trei (sau mai multi) vectori liberi sunt coplanari daca si numai
daca apartin unui aceluiasi plan vectorial.
Dreapta si planul vectorial
Theorem
Dreapta vectoriala−→d si planul vectorial −→π sunt subspatii liniare ale
lui V.
De�nitions
1) Doi sau mai multi vectori liberi sunt coliniari daca
reprezentantii lor au aceeasi directie.
2) Trei sau mai multi vectori liberi sunt coplanari daca
reprezentantii lor au directiile paralele (in sens larg) cu un acelasi
plan.
Corollary
1) Doi (sau mai multi) vectori liberi sunt coliniari daca si numai
daca apartin unei aceleiasi drepte vectoriale.
2) Trei (sau mai multi) vectori liberi sunt coplanari daca si numai
daca apartin unui aceluiasi plan vectorial.
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Dependenta si independenta liniara
De�nitions
1) O expresie de tipul
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk , (1)
αi ∈ R, v i ∈ V, i ∈ 1, k , se numeste combinatie liniara de
vectorii v1, · · · , vk .2) In cazul in care combinatia liniara (1) nu poate � 0 decat daca
toti scalarii αi , i ∈ 1, k sunt 0, spunem ca vectorii v1, · · · , vk sunt
liniar independenti.
2) In cazul contrar, (daca exista cel putin un scalar nenul astfel
incat combinatia liniara (1) sa �e nula) vectorii se numesc liniar
dependenti.
Oana Constantinescu Lectia II
Dependenta si independenta liniara
Observatii:
Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul
nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.
Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti
vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.
Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage
un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.
Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este
diferit de vectorul nul.
Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca
unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti
vectori.
Dependenta si independenta liniara
Observatii:
Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul
nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.
Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti
vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.
Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage
un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.
Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este
diferit de vectorul nul.
Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca
unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti
vectori.
Dependenta si independenta liniara
Observatii:
Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul
nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.
Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti
vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.
Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage
un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.
Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este
diferit de vectorul nul.
Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca
unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti
vectori.
Dependenta si independenta liniara
Observatii:
Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul
nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.
Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti
vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.
Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage
un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.
Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este
diferit de vectorul nul.
Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca
unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti
vectori.
Dependenta si independenta liniara
Observatii:
Daca unul dintre vectorii combinatiei liniare (1) este vectorul
nul, atunci vectorii sunt liniar dependenti.
Daca la un sistem de vectori liniar dependent se adauga alti
vectori, sistemul rezultat este liniar dependent.
Daca dintr-un sistem de vectori liniar independent se extrage
un numar de vectori, sistemul rezultat este liniar independent.
Un vector liber este liniar independent daca si numai daca este
diferit de vectorul nul.
Vectorii v1, · · · , vk sunt liniar dependenti daca si numai daca
unul dintre ei poate � scris ca o combinatie liniara de ceilalti
vectori.
Dependenta si independenta liniara
Theorem
1) Doi vectori sunt coliniari daca si numai daca sunt liniar
dependenti.
2)Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca sunt liniar
dependenti.
3) Orice patru vectori liberi sunt liniar dependenti.
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Exemplu
Example
Fie a, b, c trei vectori liniar independenti.
i) Ce puteti spune despre dependenta liniara a vectorilor
l = 2b − c − a, m = 2a − b − c, n = 2c − a − b ?
ii) Scrieti vectorul s = a + b + c ca o combinatie liniara de vectorii
l′= a + b − 2c, m′ = a − b, n′ = 2b + 3c ,
daca este posibil.
Oana Constantinescu Lectia II
Indicatii
Indicatii: i) Fie λ, µ, ν ∈ R a.i. λl + µm + νn = 0. Inlocuindexpresiile vectorilor l ,m, n, scriind rezultatul ca o combinatie
liniara de vectorii a, b, c si folosind faptul ca acestia sunt liniar
independenti, se obtine sistemul−λ+ 2µ− ν = 0,
2λ− µ− ν = 0,
−λ− µ+ 2ν = 0.
Sistemul este compatibil nedeterminat: λ = µ = ν. Deoareceacesti scalari pot � si nenuli, rezulta ca vectorii dati sunt liniar
dependenti.
ii) Cautam scalarii reali λ, µ, ν a.i. s = λl′+ µm′ + νn′.
Inlocuind expresiile vectorilor l′,m′, n′ si folosind faptul ca
a, b, c sunt liniar independenti, rezulta ca
λ = 4
5, µ = 1
5, ν = 3
5.
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Baze in V ,−→d , −→π
Theorem
i) Daca e ∈−→d , e 6= 0, atunci orice vector v din
−→d este de forma
v = αe, α ∈ R.ii) Daca e1, e2 sunt doi vectori liniar independenti din −→π , atunciorice vector liber v din
−→π este de forma
v = α1e1 + α2e2, α1, α2 ∈ R.
iii) Daca e1, e2, e3 sunt trei vectori liniar independenti din V,atunci orice vector liber v este de forma
v = α1e1 + α2e2 + α3e3, α1, α2, α3 ∈ R.
In plus, scrierile anterioare sunt unice.
Oana Constantinescu Lectia II
Baze in V ,−→d , −→π
Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar
independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector
este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o
combinatie liniara de vectorii dati.
De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza
toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru
spatiul liniar respectiv.
Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui
−→d ,
o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori
necoplanari.
Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au
acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar
respectiv.
Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional
al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al
lui V, iar dimV = 3.
Baze in V ,−→d , −→π
Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar
independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector
este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o
combinatie liniara de vectorii dati.
De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza
toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru
spatiul liniar respectiv.
Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui
−→d ,
o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori
necoplanari.
Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au
acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar
respectiv.
Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional
al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al
lui V, iar dimV = 3.
Baze in V ,−→d , −→π
Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar
independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector
este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o
combinatie liniara de vectorii dati.
De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza
toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru
spatiul liniar respectiv.
Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui
−→d ,
o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori
necoplanari.
Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au
acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar
respectiv.
Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional
al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al
lui V, iar dimV = 3.
Baze in V ,−→d , −→π
Cu alte cuvinte, dat un sistem maximal de vectori liniar
independenti intr-unul din spatiile liniare studiate, orice alt vector
este generat de acestia, putand � scris intr-un mod unic ca o
combinatie liniara de vectorii dati.
De aceea vom spune ca vectorii liniar independenti, care genereaza
toti ceilalti vectori ai spatiului liniar, constituie o baza pentru
spatiul liniar respectiv.
Deci o baza in−→d este formata din orice vector nenul al lui
−→d ,
o baza in −→π este formata din orice doi vectori necoliniari din−→π , iar o baza in V este formata din orice trei vectori
necoplanari.
Se poate demonstra ca doua baze ale aceluiasi spatiu liniar au
acelasi cardinal, ce se va numi dimensiunea spatiului liniar
respectiv.
Astfel, orice dreapta vectoriala este un subspatiu 1 dimensional
al lui V, orice plan vectorial este un subspatiu 2 dimensional al
lui V, iar dimV = 3.
Coordonate
De�nition
Numerele reale α, respectiv αi din relatiile anterioare, unic
determinate, se numesc coordonatele vectorului v in bazele {e},respectiv {e1, e2}, {e1, e2, e3}.
De�nition
Spunem ca doi vectori liberi sunt perpendiculari daca directiile lor
sunt perpendiculare. O baza se numeste ortonormata daca
vectorii ei sunt de lungime unu si perpendiculari doi cate doi.
Coordonate
De�nition
Numerele reale α, respectiv αi din relatiile anterioare, unic
determinate, se numesc coordonatele vectorului v in bazele {e},respectiv {e1, e2}, {e1, e2, e3}.
De�nition
Spunem ca doi vectori liberi sunt perpendiculari daca directiile lor
sunt perpendiculare. O baza se numeste ortonormata daca
vectorii ei sunt de lungime unu si perpendiculari doi cate doi.
Repere carteziene
De�nition
Un reper cartezian (sau sistem de coordonate ) pe dreapta d , inplanul π sau in spatiul S este o con�guratie formata dintr-un punct
O (ales drept origine ) si o baza de vectori din−→d , −→π , respectiv V
(Bineinteles, O trebuie sa apartina dreptei, planului sau spatiului).
R = {O; e i}, i ∈ {1, 2, 3}.
Coordonatele carteziene ale unui punct P sunt coordonatele
vectorului de pozitie rP =−→OP in baza {e i}.
Dreptele prin O, cu aceeasi directie cu vectorii bazei reperului, se
numesc axele de coordonate. Planele determinate de cate doua
axe de coordonate se numesc planele de coordonate.
Daca baza reperului este ortonormata, si reperul se numeste tot
ortonormat.
Repere carteziene
Coordonatele unei sume de vectori sunt egale cu suma
coordonatelor acestor vectori:
v = v1e1 + v2e2 + v3e3,
w = w1e1 + w2e2 + w3e3,
v + w= (v1 + w1)e1+(v2 + w2)e2+(v3 + w3)e3.
Coordonatele lui λv , λ ∈ R, v ∈ V, se obtin inmultind toate
coordonatele lui v cu scalarul real λ :
v = v1e1 + v2e2 + v3e3,
λv= (λv1)e1 + (λv2)e2 + (λv3)e3.
Repere carteziene
Coordonatele unei sume de vectori sunt egale cu suma
coordonatelor acestor vectori:
v = v1e1 + v2e2 + v3e3,
w = w1e1 + w2e2 + w3e3,
v + w= (v1 + w1)e1+(v2 + w2)e2+(v3 + w3)e3.
Coordonatele lui λv , λ ∈ R, v ∈ V, se obtin inmultind toate
coordonatele lui v cu scalarul real λ :
v = v1e1 + v2e2 + v3e3,
λv= (λv1)e1 + (λv2)e2 + (λv3)e3.
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Schimbari de repere
Dat un reper, �ecarui punct i se asociaza un set unic de
coordonate si reciproc, un set de coordonate determina un unic
punct.
Dar acelasi punct va avea coordonate diferite in raport cu
repere diferite.
Ne vor interesa studiul unor obiecte geometrice invariante la
schimbarile de reper. Pentru veri�carea acestei invariante, este
necesara cunoasterea formulelor schimbarii de repere
(schimbarii de coordonate).
Oana Constantinescu Lectia II
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Schimbari de repere
Dat un reper, �ecarui punct i se asociaza un set unic de
coordonate si reciproc, un set de coordonate determina un unic
punct.
Dar acelasi punct va avea coordonate diferite in raport cu
repere diferite.
Ne vor interesa studiul unor obiecte geometrice invariante la
schimbarile de reper. Pentru veri�carea acestei invariante, este
necesara cunoasterea formulelor schimbarii de repere
(schimbarii de coordonate).
Oana Constantinescu Lectia II
Subspatii liniare ale lui VVectori liniar dependenti si liniar independenti
Baze. Dimensiunea lui V.Schimbari de repere
Schimbari de repere
Dat un reper, �ecarui punct i se asociaza un set unic de
coordonate si reciproc, un set de coordonate determina un unic
punct.
Dar acelasi punct va avea coordonate diferite in raport cu
repere diferite.
Ne vor interesa studiul unor obiecte geometrice invariante la
schimbarile de reper. Pentru veri�carea acestei invariante, este
necesara cunoasterea formulelor schimbarii de repere
(schimbarii de coordonate).
Oana Constantinescu Lectia II
Schimbari de repere
Fie R = {O; e i} si R′ = {O ′; e ′i} doua repere carteziene. Vom
trata unitar cazurile in care reperele sunt pentru o dreapta, un
plan si respectiv tot spatiul. (Indicii vor varia astfel: i = 1,i ∈ {1, 2}, respectiv i ∈ {1, 2, 3}.)
Exprimam coordonatele vectorilor bazei unui reper in raport cu
baza celuilalt reper:
e ′i =∑j
aji e j ,
e i =∑j
bji e′j .
Schimbari de repere
Fie R = {O; e i} si R′ = {O ′; e ′i} doua repere carteziene. Vom
trata unitar cazurile in care reperele sunt pentru o dreapta, un
plan si respectiv tot spatiul. (Indicii vor varia astfel: i = 1,i ∈ {1, 2}, respectiv i ∈ {1, 2, 3}.)
Exprimam coordonatele vectorilor bazei unui reper in raport cu
baza celuilalt reper:
e ′i =∑j
aji e j ,
e i =∑j
bji e′j .
Schimbari de baze
Relatiile de mai sus le scriem matricial sub forma
e ′ = Ae, e = Be ′,
unde e, e ′ sunt matrici coloana ce contin drept elemente
vectorii celor doua baze, A = (aji ), B = (bji ), indicele de sus
aratand coloana iar cel de jos linia.
Se demonstreaza ca
B = A−1.
Matricea S = At se numeste matricea de trecere de la baza
B = {e i} la baza B′ = {e ′i}.Deci, pentru a determina matricea de trecere de la baza
B = {e i} la baza B′ = {e ′i}, vectorii noii baze B′ suntdescompusi in raport cu vectorii vechii baze B, iarcoordonatele obtinute se trec pe coloanele unei matrici.
Schimbari de baze
Relatiile de mai sus le scriem matricial sub forma
e ′ = Ae, e = Be ′,
unde e, e ′ sunt matrici coloana ce contin drept elemente
vectorii celor doua baze, A = (aji ), B = (bji ), indicele de sus
aratand coloana iar cel de jos linia.
Se demonstreaza ca
B = A−1.
Matricea S = At se numeste matricea de trecere de la baza
B = {e i} la baza B′ = {e ′i}.Deci, pentru a determina matricea de trecere de la baza
B = {e i} la baza B′ = {e ′i}, vectorii noii baze B′ suntdescompusi in raport cu vectorii vechii baze B, iarcoordonatele obtinute se trec pe coloanele unei matrici.
Schimbari de baze
Relatiile de mai sus le scriem matricial sub forma
e ′ = Ae, e = Be ′,
unde e, e ′ sunt matrici coloana ce contin drept elemente
vectorii celor doua baze, A = (aji ), B = (bji ), indicele de sus
aratand coloana iar cel de jos linia.
Se demonstreaza ca
B = A−1.
Matricea S = At se numeste matricea de trecere de la baza
B = {e i} la baza B′ = {e ′i}.Deci, pentru a determina matricea de trecere de la baza
B = {e i} la baza B′ = {e ′i}, vectorii noii baze B′ suntdescompusi in raport cu vectorii vechii baze B, iarcoordonatele obtinute se trec pe coloanele unei matrici.
Schimbari de baze
Ne intereseaza si relatiile intre coordonatele unui vector in
raport cu cele doua baze.
Presupunem ca
v =∑i
x ie i =∑j
x ′je ′j .
Se obtin formulele:
x ′j =∑
bji xi , x i =
∑j
aijx′j ,
sau matricial:
X ′ = S−1X , X = SX ′,
unde X , X ′ reprezinta matricile coloana ale coordonatelor
vectorului v in raport cu baza {e i}, respectiv {e ′i}.
Schimbari de baze
Ne intereseaza si relatiile intre coordonatele unui vector in
raport cu cele doua baze.
Presupunem ca
v =∑i
x ie i =∑j
x ′je ′j .
Se obtin formulele:
x ′j =∑
bji xi , x i =
∑j
aijx′j ,
sau matricial:
X ′ = S−1X , X = SX ′,
unde X , X ′ reprezinta matricile coloana ale coordonatelor
vectorului v in raport cu baza {e i}, respectiv {e ′i}.
Schimbari de baze
Ne intereseaza si relatiile intre coordonatele unui vector in
raport cu cele doua baze.
Presupunem ca
v =∑i
x ie i =∑j
x ′je ′j .
Se obtin formulele:
x ′j =∑
bji xi , x i =
∑j
aijx′j ,
sau matricial:
X ′ = S−1X , X = SX ′,
unde X , X ′ reprezinta matricile coloana ale coordonatelor
vectorului v in raport cu baza {e i}, respectiv {e ′i}.
Schimbari de repere
Fie punctul M arbitrar, r si r ′ vectorii de pozitie ai lui M in
raport cu cele doua repere R,R′ :
r =−−→OM,
r ′ =−−→O ′M,
r =−−→OO ′ + r ′.
Schimbari de repere
Se obtin formulele schimbarii de repere:
x j =∑i
aji x′i + αj , x
′j =∑i
bji xi + βj ,
unde (αi ) sunt coordonatele lui O ′ in raport cu R iar (βi ) suntcoordonatele lui O in raport cu R′.
Matricial:
X = SX ′ + α, X ′ = S−1X + β,
cu α = (αi ), β = (βi ) matrici coloane.
Schimbari de repere
Se obtin formulele schimbarii de repere:
x j =∑i
aji x′i + αj , x
′j =∑i
bji xi + βj ,
unde (αi ) sunt coordonatele lui O ′ in raport cu R iar (βi ) suntcoordonatele lui O in raport cu R′.
Matricial:
X = SX ′ + α, X ′ = S−1X + β,
cu α = (αi ), β = (βi ) matrici coloane.
Exemplu
Example
Fie cubul ABCDEFGH de laturi de lungime unu. Consideram
reperele R = {A; i =−→AB, j =
−→AD, k =
−→AE} si
R′ = {G ; i′=−→GH, j
′=−→GF , k
′=−→GC}. Scrieti ecuatiile schimbarii
de coordonate ale unui punct cand primul reper este inlocuit cu al
doilea.
Recommended