lecture 11 public goods new 2010.ppt€¦ · , X1,X 2,Y ˙ • ... Microsoft PowerPoint - lecture...

מוצרים ציבוריים

1

דוגמה

.ראובן ושמעון שותפים לדירה•

.הם שוקלים לקנות טלוויזיה לסלון המשותף•

.עבור הטלוויזיה₪ 100ראובן מוכן לשלם עד •

.עבור הטלוויזיה₪ 50שמעון מוכן לשלם עד •

2

.עבור הטלוויזיה₪ 50שמעון מוכן לשלם עד •

. ₪c - אפשר לקנות טלוויזיה ב•

?האם כדאי להם לקנות אותה•

תלוי

.לא כדאי להם לקנות את הטלוויזיה c>150אם •

.ברור שכדאי להם לקנות את הטלוויזיה c<50אם •

.שמעון אפילו מוכן לתרום את המכשיר לדירה–

.ברור שכדאי להם לקנות את הטלוויזיה c<100>50אם •

3

.ברור שכדאי להם לקנות את הטלוויזיה c<100>50אם •

.ראובן אפילו מוכן לתרום את המכשיר לדירה–

.כדאי להם לקנות את הטלוויזיה c<150>100אם •

, אמנם הטלוויזיה עולה יותר ממה שכל אחד מוכן לשלם עבורה–

מסכום השקלים ששניהם ביחד מוכנים אך היא עולה פחות

.לשלם

דוגמה

שולמית ואהרון שוקלים לרכוש מנוי לערוץ •.האופרה

הם אוהבים לראות אופרה ביחד ושונאים לראות •.אופרה לחוד

4

.אופרה לחוד

.אגורות 89שעת שידור אופרה עולה •

הרצון לשלם שלהם עבור שעת שידור נוספת •.מתואר בטבלה הבאה

הרצון לשלם עבור שעת שידור נוספת

שעות

שידור

סך הכל שולמית אהרון

1 40 80 120

2 38 76 114

3 36 72 108

4 34 68 102

5

4 34 68 102

5 32 64 96

6 30 60 90

7 28 56 84

8 26 52 78

9 24 48 72

?כמה שעות שידור כדאי להם לקנות •

.שעות שידור 6כדאי לרכוש •

עבור השעה השביעית הם מוכנים לשלם ביחד •.פחות מאשר העלות שלה

עבור השעה השישית הם מוכנים לשלם קצת יותר •

6

עבור השעה השישית הם מוכנים לשלם קצת יותר •.מאשר העלות שלה

הגדרות -מוצרים ציבוריים

:מוצר ציבורי טהור מאופיין על ידי•(Non-excludability)חוסר בלעדיות בצריכה –

(Non-rivalry)חוסר יריבות בצריכה –

דוגמאות•

7

דוגמאות•ביטחון–

שידורי טלוויזיה–

תאורת רחוב–

. שידור טלוויזיה מעורבל הינו דוגמה לבלעדיות וחוסר יריבות•

.אויר לנשימה הינו דוגמה ליריבות וחוסר בלעדיות•

פארטו יעילות בכלכלה עם מוצר ציבורי

8

Paul A. Samuelson, 1915-2009

"The Pure Theory of Public Expenditure", 1954, REStat

תיאור כלכלה עם מוצר ציבורי)מישור עקומת התמורה(

. Yומוצר ציבורי Xבמשק מייצרים מוצר פרטי •

ידי עקומת -קבוצת אפשרויות הייצור מתוארת על•

.התמורה

H(X,Y)=0–משוואת עקומת התמורה יכולה להיכתב כ •

9

H(X,Y)=0–משוואת עקומת התמורה יכולה להיכתב כ •

X2+Y2-300=0: למשל•

ניתן גם להתחיל מנתונים על פונקציות ייצור וכמויות •

נתונות של גורמי ייצור ולהגיע מהם למשוואה של עקומת

.תמורה

עקומת התמורה של המשקX

10

Y

העדפות הפרטים

.U2(X2,Y) -ו U1(X1,Y):העדפות הפרטים ניתנות על ידי•

ששווה למעשה , Yכלומר כל פרט יכול לצרוך אותה כמות

. המיוצרת Yלכמות

אינדקס "שימו לב כי בצריכת המוצר הציבורי לא מופיע ".של פרט

11

העדפות הפרטיםX

12

Y

הקצאות

הקצאה בכלכלה מורכבת מרמת ייצור של מוצר •וכמויות xרמת ייצור של המוצר הפרטי , yהציבורי

x1 ו - x2 ידי שני -של המוצר הפרטי הנצרכות על

.הפרטים.הפרטים

(x1+x2, y)והסל x=x1+x2ההקצאה אפשרית אם •

כלומר נמצא על או מתחת לעקומת , אפשרי.התמורה

שימו לב שמשוואת עקומת התמורה תהיה למעשה •H(x1+x2,Y)=0

13

הצגה גראפית–הקצאה אפשרית X

x2

x1 +x2

14

Yy*

x1

?האם הקצאה זו יעילה

פארטו יעילות

מכיוון שהסל המיוצר , ברור שקיימת יעילות בייצור•.נמצא על עקומת התמורה

?"מותאם לצריכה"אך האם הייצור •

על מנת לענות על שאלה זו ננסה לענות על שתי • על מנת לענות על שאלה זו ננסה לענות על שתי •:השאלות הבאות

מהי עלות הייצור של יחידה נוספת של המוצר –?הציבורי

כמה מוכן לשלם כל אחד מהפרטים עבור יחידה נוספת –?של המוצר הציבורי

15

מהי עלות הייצור של יחידה נוספת של המוצר

X?הציבורי

x2

x1 +x2RPTxy

16

Yy*

x1

עבור יחידה נוספת של 1כמה מוכן לשלם פרט

X?המוצר הציבורי

x2

x1 +x2

17

Yy*

x1

MRS1xy

עבור יחידה נוספת של 2כמה מוכן לשלם פרט

X?המוצר הציבורי

x2

x1 +x2

MRS2xy

18

Yy*

x1

MRS2xy

RPTxy<MRS1xy+MRS2

xy

X

x1 +x2RPTxy

19

Yy*

x1

x2

MRS1xy

MRS2xy

ההקצאה אינה יעילה

אנו רואים שעלות הייצור של יחידה נוספת של •קטנה ) במונחי המוצר הפרטי(מוצר הציבורי

במונחי (מסכום הכמויות שהפרטים מוכנים לשלם .עבור אותה יחידה) המוצר הפרטי

20

.עבור אותה יחידה) המוצר הפרטי

מכאן שניתן לשפר את מצבם של שני הפרטים על •.ידי הגדלת הכמות המיוצרת מהמוצר הציבורי

...ומה היה קורה אם

•RPTxy>MRS1

xy+MRS2x

על ידי הקטנת הכמות פארטובמקרה כזה ניתן להשיג שיפור • על ידי הקטנת הכמות פארטובמקרה כזה ניתן להשיג שיפור •.המיוצרת מהמוצר הציבורי

כתוצאה מהקטנת הייצור של המוצר הציבורי ניתן לייצר יותר •את הכמות הנוספת מהמוצר הפרטי ניתן אז . מהמוצר הפרטי

על הירידה " ממש"לחלק בין הצרכנים בצורה שתפצה אותם .בכמות המוצר הציבורי

21

מסקנה

תהיה פארטו יעילה ) פנימית(מנת שהקצאה אפשרית -על•

חייב להתקיים שעלות הייצור של המוצר הציבורי תהיה :שווה לסכום הרצונות לשלם עבורו של הפרטים

22

),(),(),( 2

2

1

1

21 yxMRSyxMRSyxxRPT xyxyxy +=+

תנאי סדר ראשון–פארטו יעילות "חזרה"

,תהיה פארטו יעילה X1,X2,Y פנימיתבכדי שההקצאה •

י שינוי כמות המוצר הציבורי"לא יתכן להשיג שיפור פארטו ע

.וחלוקה מחדש של כמות המוצר הפרטי הנותרת

. Yשל המוצר הציבורי ") קטנה("נניח כי מייצרים יחידה נוספת •

.יחידות של המוצר הפרטי RPTXYלצורך כך נדרשות

23

ניתן , את יצור היחידה הנוספת של המוצר הציבורי" לממן"על מנת •MRS1, מבלי שהוא יפגע, 1לקחת מפרט

XY יחידות של המוצר

MRS2 2וניתן לקחת מפרט , X1הפרטי XY יחידות שלX2.

.ההגדלה הייתה כדאית, MRS1+MRS2>RPTאם •

.כדאי להקטין את כמות המוצר הציבורי, MRS1+MRS2<RPTאם •

:יעילות- לפארטו כלל סמואלסוןקיבלנו את •

∑iMRSi=RPT

נתונים–1דוגמה

:העדפות הפרטים•

)()(),(

)()(),(

222

111

yLnxLnyxu

yLnxLnyxu

+=

+=

24

:פונקצית הייצור•

.Xיחידות 300בכלכלה יש רכוש תחילי של •

xy =

:עקומת התמורה•

או 2300

300

yx

xy

−=

−=

25

y-מכאן שdy

dxRPTxy 2==

הוא 1שיעור התחלופה השולי של פרט •

x

yxu

yxuyxMRS

x

y

xy

1

1

1

1

1

1

1

),(

),(),(

=

=

26

y

x1=

הוא 2שיעור התחלופה השולי של פרט •

y

xyxMRSxy

22

2 ),( =

הקצאה פארטו יעילה פנימית מקיימת, לכן

+−=

=+

)(300

2

21

21

xxy

yy

x

y

x

27

+−= )(300 21 xxy

200

10

21 =+

=

xx

y

:הפתרון למערכת משוואות זו הוא

אוסף ההקצאות הפארטו יעילות–1דוגמה

אוסף: יעילות הפנימיות ניתן על ידי הפארטואוסף ההקצאות

המקיימות (X2,Y);(X1,Y)ההקצאות

Y=10 ,X1+X2=200

היא זו בה הוא מקבל את כל 1ההקצאה המועדפת ביותר על פרט

Xהמוצר הפרטי =200, Y=10 ,X =0. .X1=200, Y=10 ,X2=0המוצר הפרטי

היא זו בה הוא מקבל את כל 2ההקצאה המועדפת ביותר על פרט

.X1=0, Y=10 ,X2=200המוצר הפרטי

. אלו שתי ההקצאות הפינתיות היחידות בדוגמה זו

28

150

200

250

300

x

29

5 10 15 20 25 30y

50

100

150

פארטו יעילות בהקצאה פינתית

,הינה פארטו יעילה X1 , X2=0 , Y פינתיתאם הקצאה •

Yי הגדלת כמות המוצר הציבורי "לא ניתן להשיג שיפור פארטו ע

. 1של פרט X1על חשבון הקטנת כמות המוצר הפרטי

.ההגדלה הייתה כדאית, MRS1>RPTאם •

.MRS1≤RPT: הוא, בפינה כזו, יעילות-לכן תנאי ההכרחי לפארטו•

30

MRS: הוא, בפינה כזו, יעילות-לכן תנאי ההכרחי לפארטו• ≤RPT.

.תנאי זה כמובן אינו תנאי מספיק•

תנאי זה הכרחי על מנת שלא נוכל להשיג שיפור פארטו על ידי •

.הגדלת הכמות המיוצרת מהציבורי

הכרחי על מנת שלא נוכל להשיג שיפור MRS1+MRS2≥RPTהתנאי •

.פארטו על ידי הקטנת המוצר הציבורי

נתונים - 2דוגמה

:העדפות הפרטים

U1=X1+6Y0.5 , U2=X2+10Y0.5

Y=3X: פונקצית הייצור

31

Y=3XP: פונקצית הייצור

.Xיחידות 1000בכלכלה יש רכוש תחילי של

הקצאות פארטו יעילות פנימיות –2דוגמא

:יעילות הפנימיות הפארטומציאת אוסף ההקצאות • 3Y-0.5ניתן על ידי 1של פרט MRSxy–ה –5Y-0.5ניתן על ידי 2של פרט MRSxy–ה –

3Y-0.5+5Y-0.5=1/3: ניתן על ידי סמואלסוןתנאי •

.Yיחידות 576יעילה פנימית מייצרים פארטוכך מתקבל כי בהקצאה – .Yיחידות 576יעילה פנימית מייצרים פארטוכך מתקבל כי בהקצאה –.X1+X2=808–ו , XP=192בייצור הינה Xתשומת , לאור זאת–

:יעילות פנימיות פארטודוגמאות להקצאות •–Y=576 XP=192 X1=452 X2=356 ⇐ U1=596 U2=596–Y=576 XP=192 X1=808 X2=0 ⇐ U1=952 U2=240

)1הטובה ביותר עבור פרט (–Y=576 XP=192 X1=0 X2=808 ⇐ U1=144 U2=1048

)2הטובה ביותר עבור פרט (

32

הקצאות יעילות פנימיות–2דוגמא

UB

:דוגמאות להקצאות פארטו יעילות פנימיות

•Y=576 XP=192 XA=808 XB=0 UA=952 UB=240 ⇐

)1הטובה ביותר עבור פרט (

•Y=576 XP=192 XA=0 XB=808 UA=144 UB=1048⇐

) Bהטובה ביותר עבור פרט (

•XP=192 XA=452 XB=356

33 UA

•XP=192 XA=452 XB=356

⇐ UA=596 UB=596 Y=576

הקצאות פארטו יעילות פינתיות–2דוגמא

:הינה 1יעילה הטובה ביותר עבור פרט הפארטוההקצאה •

Y=81 XP=27 X1=973 X2=0 ⇐ U1=1027 U2=90

).MRS1=RPT=1/3בהקצאה זו (

:הינה 2יעילה הטובה ביותר עבור פרט הפארטוההקצאה •

Y=225 XP=75 X1=0 X2=925 ⇐ U1=90 U2=1075

).MRS2=RPT=1/3בהקצאה זו (

ובין ההקצאה 1יעילה הפנימית הטובה ביותר לפרט הפארטובין ההקצאה " דרך"ב•

34

ובין ההקצאה 1יעילה הפנימית הטובה ביותר לפרט הפארטובין ההקצאה " דרך"ב•עוברים על פני הרבה , 1יעילה הפינתית הטובה ביותר עבור פרט הפארטו

: למשל. יעילות פינתיות פארטוהקצאות

Y=324 XP=108 X1=892 X2=0 ⇐ U1=1000 U2=180

הוא , X - מ 0צורך 2מכיוון שפרט . RPT - ים גדול מה- MRS - בהקצאה זו סכום ה( - צריך כמובן ש. MRS2 - ל" אין חשיבות"ולכן , Yתמורת הגדלת Xלא יכול לוותר על

MRS1 רוצה פחות 1אחרת פרט , 1/3לא יעבור אתX ויותרY(.

הקצאות יעילות פינתיות–1דוגמא

UB

?) 952,240(מעבר לנקודה Aהאם ניתן לשפר את מצבו של פרט

הנחסך X - והעברה של כל ה Yעל ידי הקטנת כמות המוצר הציבורי , כןמתקיים) 952,240(זה אפשרי מכיוון שבנקודה . Aלרשותו של פרט

MRSA<MRSA+MRSB=RPTהוא לא יכול לוותר על , X -מ 0צורך Bמכיוון שפרט (

X תמורת הגדלתY , ל" אין משמעות"ולכן- MRSB(.

Aניתן להמשיך להיטיב עם

35 UA

Aניתן להמשיך להיטיב עם

:עד להקצאה הטובה ביותר עבורו

Y=81 XP=27 XA=973 XB=0

⇐ UA=1027 UB=90

⅓=MRSA=RPTבהקצאה זו

Yח "ע XAהגדלת , מעבר לכך()Aתקטין את התועלת של פרט

(952,240)

MRSA=RPT=⅓

הקצאות יעילות פינתיות–1דוגמא

UB

(144,1047)

י "ניתן לנוע מההקצאה הפ, באותו האופן

י "להקצאות פ) 144,1047(הפנימית

עד , Bפינתיות טובות יותר עבור פרט

:להקצאה הטובה ביותר עבורו

Y=225 XP=75 XA=0 XB=925

⇐ UA=90 UB=1075

MRSB=RPT

36 UA

(952,240)

MRSA=RPT

⇐ UA=90 UB=1075

).⅓=MRSB=RPTבהקצאה זו (

היצע- פארטו יעילות במישור ביקוש

37

נחזור לשולמית ואהרוןשעות

שידור

סך הכל שולמית אהרון

1 40 80 120

2 38 76 114

3 36 72 108

4 34 68 102

5 32 64 96

38

5 32 64 96

6 30 60 90

7 28 56 84

8 26 52 78

9 24 48 72

p=42-2Y: הביקוש לאופרה של אהרון הינו

p=84-4Y: הביקוש לאופרה של שולמית הינו

p=(42-2Y)+(84-4Y)=126-6Y: הינו" המצרפי"הביקוש

: הפותר את Yיש לייצר , 90אם העלות השולית לייצור שעת אופרה הינה 90=126-6Y אוY=6

)כדי לקבל חיתוך במספרים שלמים 90- ל 89עברנו מ (

הקצאה תחרותית–מוצר ציבורי

כך (כל פרט תורם כמות מוצר פרטי לטובת ייצור המוצר הציבורי •).מהמוצר הציבורי Yiכמות ") תורם" ("קונה"הוא

.Yiולא Y=∑Yiבפונקצית התועלת של כל פרט מופיע •

בלוקחו כנתון את , הפרט ממקסם את רווחתו תחת מגבלת התקציב•:מגבלת התקציב היא למעשה. תרומת הפרטים האחרים

39

:מגבלת התקציב היא למעשה. תרומת הפרטים האחרים

+qiP pyyi=px(wx-xi)

הינה xi, הינו כמות המוצר הפרטי איתה מתחיל הפרט wxכאשר •חלק – qi -הינם רווחי הפירמה ו P, אותה הוא צורך x–כמות ה

. הפרט ברווחי הפירמה

מחליטה כמה לייצר ולהעסיק על מנת px,pyהפירמה לאור המחירים •.למקסם רווחים

הקצאה תחרותית–מוצר ציבורי

צריכה להשתוות לכמות Yבשיווי משקל תחרותי הכמות המיוצרת •.yi∑המבוקשת

RPTXY=PY/PX: מפתרון בעיית הפירמה•

MRSi: מפתרון בעיות הצרכנים•XY=PY/PX

.iלכל MRSi=RPTלכן התנאי המתקיים בשיווי משקל תחרותי הוא • .iלכל MRSi=RPTלכן התנאי המתקיים בשיווי משקל תחרותי הוא •

מושווה לשיעור התחלופה RPTשיפוע עקומת התמורה , כלומר•( חברתי במקום לשיעור התחלופה ה, עבור כל פרט פרטיה

∑iMRSi .(

כלומר מייצרים מעט , iMRSi <RPT∑כלומר בשיווי משקל תחרותי •.מדי מהמוצר הציבורי

.במידה מסוימת–" free-rider"כל צרכן הוא •

40

הקשר בין מוצר ציבורי להשפעות חיצוניות

בעצם ניתן לחשוב על מוצר ציבורי כמקרה פרטי •:של השפעות חיצוניות חיוביות

אך בחירה , כל פרט בוחר תרומה מהמוצר הפרטי•זו משפיעה באופן חיובי על תועלות כל הפרטים

41

זו משפיעה באופן חיובי על תועלות כל הפרטים .האחרים

הפרט לוקח בחשבון את השפעת התרומה על •.ומתעלם מכך שהיא עוזרת לאחרים, רווחתו

ל"פתרון תחרותי עם טכנולוגית תק

היא גוררת יחס , ל"כאשר הטכנולוגיה הינה תק•.מחירים מסויים והרווחים הינם אפס

.ל"אנו נחשב דוגמאות עבור המקרה של תק•

42

ההקצאה תחרותית–2דוגמה U1=X1+6Y0.5: תזכורת• , U2=X2+10Y0.5 Y=3XP

.Xיחידות 500נוסיף כי לכל פרט רכוש תחילי של •

*Yiתורם iפרט , נניח כי בשווי משקל. PX=3, מפונקצית הייצור. PY=1ננרמל •יחידות של

Y ,) 1/3כלומר תורם Yi* יחידות של המוצר הפרטי.(

MaxY1X1+6(Y1+Y2*)0.5 :1בעיית פרט • s.t. 3·X1+1·Y1=3·500

43

MaxY1X1+6(Y1+Y2*) :1בעיית פרט • s.t. 3·X1+1·Y1=3·500

MRS1 :פתרון•XY=3(Y1*+Y2*)-0.5/1=PY/PX=1/3

Y1*+Y2*=81: ומקבלים•

.Y1*+Y2*=225: מקבלים 2מפתרון בעיית פרט , באופן דומה•

.Y2*=225 Y1*=0הפתרון הוא , Yi≥0משום ששני הפרטים מוגבלים לבחור •

1הנכונות לתרום של פרט , X-משום שלשני הפרטים תועלת ליניארית ב, בדוגמא זו: נשים לב(על אחת 2אז פרט –מוכן לתרום למוצר הציבורי 1לכן אם פרט . 2תמיד קטנה מזו של פרט

).לא תורם כלל 1לכן חייב להיות שבשיווי משקל תחרותי פרט . כמה וכמה

".מושלם" free riderהוא 1פרט •

U1=590 U2=575: תועלות הפרטים הן•

.U1=U2=596יעילה השוויונית - ההקצאה הפארטו, לדוגמא, י"תוצאה זו נשלטת פארטו ע•

3דוגמה

.בכלכלה יש שלושה פרטים•

). x(לכל פרט יש יחידה אחת מהמוצר הפרטי •

: ניתנות על ידי iהעדפותיו של פרט •

u (x ,y)=ln(x )+γ ln(y)

44

ui(xi,y)=ln(xi)+γiln(y)

.y=xP: פונקציית הייצור של המוצר הציבורי•

"תחרותי"פתרון - 3דוגמה

מה תהיינה רמות הייצור והצריכה בשיווי משקל •?למימון המוצר הציבורי" תרומות"של

. zi–נסמן את התרומה של כל פרט ב •

בשיווי משקל מתייחס כל פרט לתרומות האחרים •

45

בשיווי משקל מתייחס כל פרט לתרומות האחרים •כקבועות וממקסם את רווחתו על ידי בחירת

).שיווי משקל נש(תרומתו האישית

:פותר iפרט . z-i=∑j≠izjנסמן •

Maxzi≥0 ln(1-zi) )+γiln(zi+z-i)

"תחרותי"פתרון - 3דוגמא

דרך הפתרון

:משוואות 3נקבל . נניח ראשית שכל הפרטים תורמים כמות חיובית

.אם אכן כל התרומות יצאו אי שליליות סיימנו. נפתור•

01

1=

++

−−

−

i

ii

i

i

zzzz

γ

46

.אם אכן כל התרומות יצאו אי שליליות סיימנו. נפתור•

במקרה זה מניחים שהתורם ! אם יצאה תרומה שלילית יש בעיה•

ופותרים לאור זאת מה יהיה שיווי המשקל אליו , השלילי יתרום אפס

בודקים שאכן ) נניח שיצאו אי שליליות(לאור הרמות . יגיעו האחרים

.תרומת האפס היא התשובה הטובה ביותר עבור הפרט שהשמטנו

"תחרותי"פתרון - 3דוגמה

γ1=0.25 ; γ2=0.5 ; γ3=0.75נעבור לדוגמא מספרית. נניח

אם נניח שכולם תורמים כמות חיובית נקבל:

)(4

1

1

1

3211 zzzz ++=

−

47

)(4

3

1

1

)(2

1

1

1

)(41

3213

3212

3211

zzzz

zzzz

zzzz

++=

−

++=

−

++−

הפתרון של שלושת משוואות אלו הנו:

z1=-0.44 ; z2=0.28 ; z3=0.52

"תחרותי"פתרון - 3דוגמה

. z1=0נניח כעת כי בשיווי משקל

מתקבלות מפתרון המשוואות: 3 – ו 2לאור זאת ההחלטות של פרטים

31

)(2

1

1

1

322 zzz

+=

−

+=

−

48

)(41 323 zzz +=

−

z2=1/13 z3=5/13ומתקבל:

.) z3, ומחפשים את z1=z2=0, אז היינו מניחים כי z2<0(אם היינו מקבלים

: 0 באמת כדאי לתרום 1 לפרט 3 – ו 2כעת נותר לבדוק כי בהינתן תרומות אלו של

24/13. התועלת השולית היא 1הנזק השולי מהתרומה הינו )13/513/1(4

1=

+

אכן לא כדאי לתרום . 1לכן לפרט

קביעת מיסוי אחיד לפי הצבעת רוב–3דוגמה

על כל פרט , ותממן את אספקת המוצר הציבורי באמצעות המס . tהניחו כי יש ממשלה שתטיל מס

? נפתור: iמהו שיעור המס המועדף על פרט

Maxti ln(1-ti)+γiln(3ti)

תנאי הסדר הראשון הינו : i

i

i tt

γ=

−1

1

49

ii tt−1

לאור זאת שיעור המס המועדף הינו : i

iit

γ

γ

+=

1

. 3/7 יעדיף מס של 3 ופרט 1/3 יעדיף מס של 2, פרט 0.2 יעדיף מס של 1כלומר פרט

. 3/7 או 0.2 ינצח בהצבעת רוב מול 1/3מס של

xi=2/3 y=1ההקצאה עם מיסוי תהיה:

קביעת מיסוי אחיד–3דוגמא u

uA

uB

uC

50

t0.2 1/3 3/7

תחת המגבלה שכל הפרטים משלמים אותו (אילו שיעורי מס הינם פארטו יעילים

?)tמס

?Condorcetאיזה מס זוכה בהצבעת

נתונים–4דוגמא

:העדפות הפרטים•

yxyxu

yxyxu

+=

+=

222

111

),(

),(

51

:פונקצית הייצור•

.Xיחידות 3בכלכלה יש רכוש תחילי של •

Pxy =

:עקומת התמורה•

yxאו

xy

−=

−=

3

3

52

==1-מכאן שdy

dxRPTxy

:הוא 1שיעור התחלופה השולי של פרט •

yxu

yxuyxMRS

x

y

xy

1

),(

),(),(

1

2

1

1

1

1

=

=

53

y2

1=

:הוא 2שיעור התחלופה השולי של פרט •

yyxMRSxy

2

1),( 2

2=

הקצאה פארטו יעילה פנימית מקיימת, לכן

+−=

=+

)(3

12

1

2

1

21 xxy

yy

54

+−= )(3 21 xxy

2

1

21 =+

=

xx

y

:הפתרון למערכת משוואות זו הוא

הקצאות פארטו יעילות פינתיות–4דוגמה

?האם זה אוסף כל ההקצאות הפארטו יעילות•

!לא •

.ישנן הרבה הקצאות פארטו יעילות פינתיות•

55

הקצאות התחרותיות - 4דוגמה

משקל -בשיווי, 1-מכיוון ששיפוע עקומת התמורה שווה ל•

.1המחיר היחסי של המוצר הציבורי הוא

הפרטים מביאים למקסימום את תועלתם , משקל-בשיווי•

.במסגרת התקציב שלהם

56

.במסגרת התקציב שלהם

111

211,

..

11

Ipyxts

yyxMaxyx

≤+

++

משקל מתקיים-בשיווי•

pyxMRSxy

1),( 1

1=

12

1

21

=+ yy

1=+ yy

או

-מכאן ש

57

4

121 =+ yy -מכאן ש

משקל תחרותי מספקים פחות -בשיווי, כלומר

.מהרמה היעילה של המוצר הציבורי

כל . יש כאן רצף של הקצאות שיווי משקל תחרותי, שימו לב. Xיחידות 1.5נניח שלכל פרט יש

שמקיימים את מגבלות התקציב של הפרטים x1,x2ביחד עם y1+y2=0.25המקיים y1,y2צרוף

מהווים הקצאת שיווי y1=0.1,x1=1.4,y2=0.15,x2=1.35למשל . מהווים שיווי משקל תחרותי

.משקל תחרותי

5דוגמה

X+Y=100עקומת התמורה של המשק הינה

X ניתנות על ידי: 1העדפותיו של פרט 2Y1

XY2 ניתנות על ידי: 2העדפותיו של פרט

התנאי המאפיין הקצאות פארטו יעילות פנימיות ניתן

על ידי:

58

על ידי:

12 21 =+

X

Y

X

Y

פארטו X=50 Y1=25 Y2=25האם ההקצאה

יעילה?

היא אפשרית ואינה פארטו יעילה. בהקצאה זו סכום

. 1 – שגדול מ 1.5 הינו MRSה

5דוגמה X=50 Y1=25 Y2=25בהקצאה

מוכן לוותר על ( לכל היותר) יחידה אחת של 1פרט

המוצר הפרטי תמורת עוד יחידה של המוצר

הציבורי.

מוכן לוותר על ( לכל היותר) חצי יחידה של 2פרט

המוצר הפרטי תמורת עוד יחידה של המוצר

הציבורי.

כלומר הפרטים במשק מוכנים לוותר על ( לכל

59

כלומר הפרטים במשק מוכנים לוותר על ( לכל

יחידות מהמוצר הפרטי תמורת עוד 1.5היותר)

יחידה של המוצר הציבורי.

מבחינת מנגנון הייצור צריך לוותר רק יחידה אחת

של המוצר הפרטי תמורת עוד יחידה מהמוצר

הציבורי ולכן ניתן להשיג שיפור פארטו על ידי

הגדלת הכמות המיוצרת מהמוצר הציבורי.

הקצאה השולטת פארטו על הקצאה זו ניתנת על ידי:

X=51 Y1=24.3 Y2=24.7

667.6650

100

12

21

21

≤≤

=++

=+

X

YYX

X

Y

X

Y

ההקצאות הפארטו יעילות הפינתיות היחידות

:נחשב כעת את אוסף ההקצאות הפארטו יעילות בכלכלה זו

:ההקצאות הפארטו יעילות מקיימות

ההקצאות הפארטו יעילות הפינתיות היחידות בכלכלה זו הינן:

1ההקצאה הפארטו יעילה העדיפה ביותר עבור פרט

X=66.667 Y1=33.333 Y2=0

2ההקצאה הפארטו יעילה העדיפה ביותר עבור פרט

X=50 Y1=0 Y2=50

60