Lezione 15 Ponti (Modello di Engesser).ppt [modalità ... Ponti... · La soluzione del problema di...

LezionePONTI E GRANDI STRUTTUREProf. Pier Paolo RossiUniversità degli Studi di Catania

Il comportamento degli impalcati da ponte

Ponti a travataModellazione

Il modello d’analisi dovrebbe :

Ⱶ includere quanto più elementi strutturali possibile (telai trasversali, irrigidimenti, appoggi…)

Ⱶ riflettere la risposta strutturale in termini di deformazioni, resistenze e stabilità locale e globale.

Ⱶ considerare tutti gli stadi di costruzione e i casi di carico

Ⱶ considerare carichi facilmente applicabili

Ⱶ consentire il comportamento dinamico e includere i più significativi modi di vibrazione

Ⱶ essere facilmente implementabile

Ⱶ determinare risultati che consentono facilmente la verifica di normativa

Ⱶ essere supportato da programmi di analisi in commercio

Ponti a travataModellazione

Il ponte, che è un sistema spaziale, può essere ricondotto a :

Ⱶ modello di calcolo bidimensionale

Ⱶ modello monodimensionale

− piastra equivalente− graticcio di travi

Ⱶ modello di calcolo tridimensionale

modello monodimensionale

Ponti a travataModellazione monodimensionale

Ⱶ I modelli monodimensionali ben si adeguano al progetto per carichi verticali. Tuttavia, essi non considerano tutti gli elementi strutturali (ad esempio le travi trasversali, i controventi orizzontali). Pertanto, alcune verifiche (ad esempio l’instabilità laterale) vanno eseguite a parte.

Ⱶ I modelli monodimensionali sono supportati da programmi commerciali di analisi strutturale che considerano le fasi di costruzione, l’influenza della temperatura, viscosità e ritiro ed eseguono automaticamente le verifiche strutturali di normativa.

Difetti

Ⱶ I modelli monodimensionali non sono accurati per ponti curvi o sbiechi.

La soluzione del problema di De S. Venant può essere considerata se esiste un piano , detto piano di sistema, che contiene :

• l’asse geometrico della trave• uno degli assi principali di inerzia

della sezione retta

• gli enti sollecitanti

a λ1 λ2 ay

• La conservazione della forma può non essere garantita visto che la sezione è a pareti sottili.

Problemi :

• Gli enti sollecitanti non sono spesso concentrati in corrispondenza del piano di sistema.

La garanzia della conservazione della forma consentirebbe di sostituire i carichi distribuiti con le loro risultanti.

Alla conservazione della forma tende il progettista mediante l’uso di nervature trasversali.

1. Caso della sezione indeformabile (traversi rigidi)

L’unico elemento trascurato nella utilizzazione dei risultati della trave è l’eccentricità che il carico risultante distribuito o le forze risultanti concentrate hanno rispetto al piano del sistema

Il carico risultante Qtotè caratterizzato da :

tot iQ Q

( intensità )

( posizione )

Problema da risolvere :Ⱶ eccentricità del carico

2. Caso della sezione deformabile (traversi non rigidi)

Lo stato di sollecitazione e di deformazione del singolo elemento della sezione non dipende solo dalle caratteristiche del carico risultante ma anche dalle caratteristiche (intensità e posizione) dei singoli carichi

Problema da risolvere :

Ⱶ eccentricità del caricoⱵ ripartizione trasversale del carico

Ponti a travataModellazione della sezione trasversale

Occorre definire preventivamente la zona collaborante della soletta

Ponti a travataModellazione delle travi a cassone

Travi a cassone semplice possono essere modellate mediante una sola asta se le pareti del cassone sono sufficientemente irrigidite da diaframmi (travi trasversali piene o controventate) alquanto ravvicinati da evitare la distorsione della sezione trasversale.

Questa condizione è usualmente soddisfatta se la spaziatura degli elementi trasversali è tra 3.5 e 5m, in funzione delle dimensioni del cassone.

Ponti a travataModellazione degli appoggi nei ponti a cassone

Occorre porre attenzione nel posizionamento del vincolo alle pile al fine di determinare correttamente le reazioni degli appoggi.

E’ opportuno realizzare dei tratti rigidi per rappresentare i punti di contatto tra la trave e le pile.

elementi rigidi

asse trave

modello monodimensionale:comportamento flessionale

Ponti a travataComportamento flessionale

Le caratteristiche della sollecitazione M e V provocano tensioni normali e tangenziali :

0Vb SI

( formula di Jourawsky )

Lo spostamento verticale è indipendente dalla coordinata x ,v z x v z

( , ) ' yw y z v Lo spostamento assiale nasce per effetto della rotazione flessionale ed è indipendente dalla coordinata x :

a λ1 λ2 ay

Per derivazione delle precedenti equazioni si ottiene :

''w v yy

e per successiva derivazione ………………………… ''' VvEI

a λ1 λ2 ay

Ponti a travataDeformazioni a taglio

Nella maggior parte dei casi, le deformazioni a taglio sono alquanto piccole e pertanto la loro influenza può essere trascurata.

χ è il fattore di taglio

' M Vv dz CEI GA

In tal caso, se si aggiunge il contributo della deformazione da taglio, si ha :

L’influenza delle deformazioni a taglio deve essere considerata nei ponti di piccola luce

modello monodimensionale:comportamento torsionale

Ponti a travataEquilibrio torsionale

Oggetto : elemento di travata lungo dze soggetto a momento torcente.

z z z 0T dT m dz T

zdT dz m

zT m dz

Da questa relazione si ottiene ……………….

z zT dT

Equazione di equilibrio alla rotazione intorno a z

Ipotesi: La sezione trasversale è rigida nel proprio piano

Ponti a travataEquilibrio torsionale

Per detto elemento di travata vale :

(1)z 'T GJ GJ

Derivando questa relazione, si ottiene :

''GJ m

dove :

(1) angolo unitario di torsione (rotazione relativa tra due sezioni a distanza unitaria)J rigidità torsionale primariaG modulo di elasticità tangenziale

Questa relazione può ritenersi valida se la sezione è compatta

zdT dz m

Ponti a travataRipartizione del carico torcente

Alla rotazione (z) della sezione corrispondono spostamenti verticali,

i iv x

m=Qtot∙e

e0 1 3

0 1 32

v0 v1v2

valutabili tramite la relazione :

La torsione globale della trave è fronteggiata attraverso :

Ⱶ torsione della sezioneⱵ flessione delle nervature

longitudinali

m=Qtot∙e

Ponti a travataRipartizione del carico torcente

Di questa inflessione delle nervature è possibile tener conto :

1. trascurando la continuità rotazionale tra soletta e nervature(teoria di Engesser)

2. considerando la continuità rotazionale tra soletta e nervature(teoria della torsione non uniforme)

Ponti a travataMetodo di Engesser

Ⱶ la sezione è schematizzata come un insieme di travi longitudinali di eguale lunghezza

'''' ''''i i i i iR EI v EI x

Il carico torcente è fronteggiato dall’inflessione delle singole travi

Ⱶ la rigidità torsionale primaria dei vari elementi è trascurata

v0 v1v2

R0 R1 R2 R3

Le travi si oppongono allo spostamento con un carico reattivo :

Ai fini della ripartizione del carico torcente :

m=Qtot∙e

''''i i i

0R EI x '''' 2

i i i ii i

R x EI x m

Da queste relazioni deriva :

'''' tot2 2

i i i ii i

m Q eEI x EI x

I carichi reattivi devono :

verificare l’equilibrio alla traslazione verticale (risultante complessivamente nulla)

verificare l’equilibrio alla rotazione torsionale

ovvero ……………………

Per effetto del carico torcente per unità di lunghezza Qtot∙e, il carico reattivo sulla generica trave è :

i ii i i tot2

EI xR EI x Q eEI x

Per effetto del carico centrato Qtot, il carico reattivo sulla generica trave è :

ii tot

EIR QEI

(carico torcente)

(carico centrato)

Complessivamente, il carico reattivo della generica trave è :

i i i itot,i tot tot tot i tot2 2

i i i i

EI EI x EI EI xR Q Q e e Q QEI EI x EI EI x

… dato il carico di intensità Qtot ed eccentricità e, il coefficiente di ripartizione τifornisce la quota di carico che compete alla generica trave.

dove τi è un coefficiente di ripartizione ovvero …

Per Qtot=1 ed eccentricità e variabile, la relazione precedente fornisce la linea di influenza della reazione della trave i‐esima

Se …le travi sono tutte uguali,ma con luci qualsiasi,

tot,i tot i tot2

xR e Q Qn x

essendo :

(n+1) il numero di nervature longitudinali

il carico reattivo della generica trave è :

Se…le luci delle travi sono eguali :

essendo

22 22 2 2 2

1 2 1 14 4 4 1 4

4 4 6 2

n n n n nx i n in n n

Inoltre :

1 2 16

n n ni

2 24 41 2 1 1 2

4 6 2 12n n n n n n n n

xi0 i n

e quindi :

2 211 1 2 12

i ne Q

n n n n

tot,i tot2

xR e Qn x

Se i=0 o n (trave di estremità) : tot,i tot

1 611 2

eR Qn n

6 21 11 2

i ne Q

tot,iR

Dalle relazioni ricavate in precedenza si ha :

Data l’affinità tra la rotazione torsionale e lo spostamento verticale,lo spostamento totale della generica trave vale:

i ''''tot2 2

i i i ii i

EIQ e e vEI x EI x

itot,i m i i m2

EIv v x e x v v

dove αi è un coefficiente di amplificazione dello spostamento medio.

'''' 2i i i i

R x EI x m

dove :

Se la trave è di estremità :

tot,i i mv v

i 2 2 x i nxi

i 2i i

essendo 2

x n n n

Poiché spostamenti, caratteristiche della sollecitazione e tensioni sono tra loro correlati da legami di proporzionalità, …

i iM yI

… lo stato tensionale della singola nervatura longitudinale potrà essere dedotto da quello conseguente alla flessione retta …

… amplificato mediante il coefficiente α, ovvero :

Tensioni normali Tensioni tangenziali

Ponti a travataInfluenza del numero dei campi

All’aumentare dei campi, le nervature estreme sono sempre più sollecitate.

n6 31 1

2 2e n

Non vi è alcun vantaggionel creare impalcati molto larghi.

e = B/2

xi0 i n

• le luci tra le travi sono eguali• il carico è eccentrico con e=B/2

• la larghezza del ponte è variabile

Ponti a travataInfluenza del numero dei campi

ed inoltre :

costi I cost1 i EIn (rigid. fless. globale)

(inerzia nervatura long.)

La scelta del numero di campi è principalmente condizionata dalla progettazione della soletta.

si nota che

e = n/2

xi=B/(n+1)0 i n

1n x x

il numero dei campi ha una scarsa influenza sulla ripartizione.

• le luci tra le travi sono eguali• il carico è eccentrico con e=B/2

• la larghezza del ponte è fissa

Ponti a travataTorsione primaria e secondaria

Con il metodo di Engesser si è mostrato come è possibile fronteggiare un carico torcente esterno in assenza di rigidità torsionale primaria.

'''' ''(z) (z)m E GJ

Se sono considerate entrambe le rigidità torsionali (primaria e secondaria), l’equazione fondamentale della trave soggetta a momento torcente diventa :

dove :GJ rigidità torsionale primariaE = EI x2 è la rigidità torsionale secondaria dell’impalcato

torsione primaria: sezioni aperte e chiuse

Ponti a travataRigidità torsionale primaria in sezioni aperte

La sezione aperta del ponte risulta scomponibile in una serie di rettangoli allungati costituiti da :

GJ G L

L lato maggiore della sezione rettangolare

Per ciascuna di queste parti la rigidità torsionale primaria si scrive :

dove :

Ψ coefficiente di forma lato minore della sezione rettangolare

Ⱶ soletta di impalcatoⱵ nervatura

51,3,5

1.92 11 tanh2n

n LL n

Il coefficiente Ψ si deduce dalla relazione :

Per L/δ ≥ 2.5

è lecito effettuare la seguente approssimazione :

1 0.63L

Per un impalcato con n+1 travi uguali si ha :

3 30 0

1 ( 1)3

GJ G Bs n h b

Ponti a travataTensioni da torsione primaria in sezioni aperte

Lo stato tensionale è quello della sezione rettangolare con valori massimi agli estremi dei lati minori

dove :

3i i i i

i tot tot 3i i i i

GJ LT T TGJ L

Ti aliquota di momento torcente primario relativo al singolo rettangolo, ottenibile scomponendo Ttotin parti proporzionali alla rigidità delle singole parti secondo la relazione :

Ponti a travataTorsione primaria in sezioni chiuse

Nel caso di sezioni chiuse, l’elevato grado di connessione determina una certa difficoltà di soluzione.

xiB/2 B/2

Una soluzione approssimata può essere determinata assumendo che l’intensità dei flussi (τb0)i vari con la distanza xi dal piano di simmetria.

xib/2 b/2

0 0 ii

2b b xb

Pertanto, detto (τb0) il valore reattivo delle nervature estreme si ha :

0b 0 ib

I flussi nelle solette sono esprimibili in funzione dei flussi (τb0)i , ovvero :

1 2 0 ij ji=j

s s b xb

( analogia idrodinamica )

0 1 2 4 5 6

b/2 b/2

6b 6 5b b

6 5 4b b b

I flussi nelle solette sono esprimibili in funzione dei flussi (τb0)i , ovvero :

xiB/2 B/2

1 2 0 0 ij j ii=j i=j

s s b b xb

L’equilibrio tra il momento torcente esterno T e quello interno impone che valga la relazione :

20 i 0 iji

i 0 j 1 i 0

4n n nhT b hx s h b x

T 0 i i22T b x h xB

S i 0 i ii

22 2T s x h b x x hB

hContributo nervatura

Contributo soletta

0 1 2 4 5 6

L’equilibrio tra il momento torcente esterno T e quello interno impone che valga la relazione :

20 i 0 iji

i 0 j 1 i 0

4n n nhT b hx s h b x

Risolvendo rispetto a (τb0) si ottiene:

0 2 2i i2 2 2 2 2

T b T b Tbbh x x

Questa relazione può intendersi come la formula generalizzata di Bredt, a cui si torna in assenza di nervature intermedie ponendo il coefficiente correttivo =1.

L’angolo unitario di torsione può ottenersi dall’uguaglianza

del lavoro esterno

con il lavoro interno

Dall’inverso dell’angolo unitario di torsione si ricava la rigidità torsionale primaria :

21 ( )2i c

L b s dsG

20 1 2

GGJh b b bb x s s

torsione secondaria di sezioni aperte: 1a modifica del metodo di Engesser

Ponti a travataModifiche del metodo di Engesser – sezioni aperte

Il metodo di Engesser non permette una valutazione rigorosa della torsione secondaria.

2 2 2 i i AE EI x E x y dA

Infatti, nell’ipotesi di variabilità lineare degli spostamenti verticali si ha :

e anche le tensioni normali, a meno del valore medio del comporta‐mento a trave, assumono una variabilità lineare con la coordinata x.

i i2i i

EI e Mx yEI x I

In virtù del diverso grado di diffusione del materiale della soletta e delle nervature si ha :• equilibrio alla traslazione longitudinale (soddisfatto)

• equilibrio alla rotazione intorno ad asse orizzontale (soddisfatto)• equilibrio alla rotazione intorno ad asse verticale (non soddisfatto)

spostamenti verticali

Per soddisfare l’equilibrio alla rotazione intorno ad un asse verticale è opportuno modificare la posizione dell’asse neutro.

Se si trasla l’asse neutro verso l’alto di un segmento , si ottiene :

Se si impone l’equilibrio alla rotazione intorno ad y ( ) e si considerano separatamente l’area di soletta e l’area di nervatura, si ha :

2 2 2 2 2

3/ 2 2 2 2

s n s n

iA A A A A

i is A s s A

x y dA x y dA x y dA x y h dA x y h dA

Bx dx y h dy x y h dA ydy hdy x y h dA

i n nB S h s x S h A

dove :

Sn momento statico di una nervatura rispetto ad xS1 momento statico di una striscia di soletta di larghezza unitaria rispetto ad x

Se aggiungiamo e sottraiamo la quantità :

2 1 12nB S n otteniamo

3 3 2 2

2 21 1 1

12 12 12 12i n i n n nB B B BS h s x S x h A n S n S

2 211 1

12 12 12n n i n iB B Bn S BS h s A x S n x

dove :(n+1)Sn momento statico di tutte le nervature rispetto ad x.

ovvero :

Pertanto, la distanza vale :

B n xh S

B s A x

11 012 nB n S BS

Poiché il momento statico di tutta la sezione rispetto all’asse neutro è nullo, si ha :

La rigidità torsionale andrà calcolata rispetto ad un asse ≠ xe ad una distanza ≠ y , ovvero:

E E x y dA

(prima modifica del metodo di Engesser)

Ponti a travataEsempio su modifiche di Engesser

Se… le nervature sono uguali e ugualmente spaziate di luce λ, si ha:

2 1112 1 12iB Bn x

ovvero, all’aumentare delle nervature y tende a coincidere con

1/(n+1)

0 12 1

1n n 2n

x i n e … e

xi0 i n

quindi :

B n xh S

B s A x

Ponti a travataModifiche del metodo di Engesser – sezioni chiuse

Nel caso di sezioni chiuse :

In tal caso risulta sempre minore di quello ottenuto nel caso di sezione aperte a causa della presenza della controsoletta.

3 3 21 2 i n

B S b S x Sh

B s b s A x S

b/2 b/2

dove :

Sn momento statico di una nervatura rispetto ad xS1 momento statico di una soletta sup. di larghezza unitaria rispetto ad xS2 momento statico di una soletta inf. di larghezza unitaria rispetto ad x

torsione secondaria di sezioni chiuse: 2a modifica del metodo di Engesser

Ponti a travataComportamento sezioni aperte

Il comportamento torsionale di una nervatura di una sezione apertaè assimilabile a quello di un rettangolo allungato sul piano medio, dove risultano nulle le tensioni tangenziali ed i relativi scorrimenti :

' 0zyw v w vy z y

' 'w v x

Nelle travi inflesse per effetto della torsione si ha, introducendo la distanza al posto di y :

' 'w v y x y '' ''w v y x yz

Ponti a travataRigidità torsionale secondaria in sezioni chiuse

Passando alle sezioni chiuse, le non saranno più nulle nei piani medi delle nervature,

poiché …

0 0 i i2i

2 22 2 i

T bb b x xb x b

area racchiusa dalla linea media dell’anello esterno= b∙h

b/2 b/2

avendo sostituito nel momento torcente le seguenti espressioni :

ovvero

'T GJ 2

4 22 i

h b b bGJ Gb x s s

2 2 2'

2 2 20 0

20 1 2

1 ' 1 42 2 2 2

GJ b bGb x b x h b b b

b x s s

con …

Sulle travi di estremità (x = b/2) si ha :

b T bG Gb Gb x

T bb xx b

b/2 b/2

e (ipotesi di Engesser) :

20 1 2

2' ' 1 '22 2 2

w b b bxy bb s s

b h s s

0 1 22

bx bb s s

b h s s

Dopo alcune semplificazioni, sulle travi di estremità (x = b/2) si ha :

Per sezioni chiuse, la precedente relazione può scriversi in forma generale :

' 'w x vy

' 'w v y x y '' ''w v y x yz

e da questa, ricordando che alla grandezza geometrica va sostituita la grandezza ridotta ,si ha :

x yx y

La rigidità torsionale secondaria per sezioni chiuse vale :

Se si pone μ=1, la relazione coincide con quella ricavata per sezioni aperte. Ciò rispecchia una continuità fisica di comportamento osservando che μè direttamente legato all’ingobbamento della sezione.

2E E e quindi :

E E x y dA

E E x y dA Sezioni aperte

(seconda modifica del metodo di Engesser)

Ponti a travataRigidità torsionale primaria e secondaria

I ponti a sezione trasversale costante possono essere considerati liberi da torsione secondaria se:

10 i=1,2,3...segmentoE E

GJ GJdL L

dove :GJ rigidità torsionale primariaE rigidità torsionale secondariaL lunghezza della travata

I ponti a sezione trasversale non costante possono essere considerati liberi da torsione secondaria se:

integrazione dell’equazione fondamentale della trave soggetta a torsione

Ponti a travataIntegrazione dell’equazione fondamentale

L’equazione fondamentale della trave soggetta a torsione

essendo … 2 GJE

si può anche scrivere :

''''(z) ''(z)E GJ m

2''''(z) ''(z)= mE

(equazione differenziale lineare a coefficienti costanti)

L’integrale generale dell’equazione omogenea associata

è del tipo

L’equazione caratteristica è 4 2 2 0h h che ammette le soluzioni

'''' 2 '' 0 hze

0h h h

L’integrale generale è :

1 2 3 4z zC C z C e C e

(doppia radice)

con C1 … C4 da determinare in funzione delle condizioni ai limiti

Essendo :

l’integrale generale dell’equazione omogenea associata può anche essere scritto :

z ze ez

' '1 2 3 4cosh sinh C C z C z C z

dove : '3 3 4 C C C'4 3 4 C C C

z ze ez

L’integrale particolare dell’equazione fondamentale della trave soggetta a torsione

… con k costante da determinarsi2mk zE

''''(z) ''(z)E GJ m

L’integrale particolare è ………….

222m zE

'' 2 mkE

'''' 0

e le sostituiamo nell’equazione differenziale, si ha :

2 2m mkE E

Se calcoliamo le derivate dell’angolo di rotazione torsionale

e quindi

' ' 21 2 3 4 2cosh sinh

2mC C z C z C z zE

In definitiva, l’integrale generale dell’equazione differenziale

''''(z) ''(z)E GJ m

Per determinare le costanti di integrazione si pone :

''' 'E GJ T

'''E T

rotazione torsionale nulla ‐ vincolo ‐

ingobbamento impedito (w = 0) ‐ sezioni di simmetria o vincolo ‐

tensioni normali nulle ( )‐ sezioni di estremità ‐

momento torcente nullo, ‐ sezioni di estremità o di simmetria ‐

momento torcente nullo e ’=0

………………………………...

………….

…………………….....

'' 0E y v

Nel caso di continuità di più tronchi, si pone nelle sezioni di contatto :

continuità delle rotazioni torsionalinelle sezioni di contatto

continuità degli spostamenti assialinelle sezioni di contatto

eguaglianza delle tensioni normali nelle sezioni di contatto

rotazioni torsionali nulle nelle sezioni di contatto

' 's d

'' ''s d

……………………..

s d 0 ……………...

la torsione del traverso

Ponti a travataLa torsione nei traversi

che rappresenta :

Gli spostamenti verticali vdefiniscono nel piano longitudinale l’angolo di rotazione :

Ⱶ una rotazione flessionale delle nervatureⱵ una rotazione torsionale per gli elementi trasversali.

v0 v1 v2 v3

zv2(z)

v3(z)3

i iv x

L’angolo unitario di torsione dei traversi vale:

se si definisce una rigidità distribuita riferita alla fascia di larghezza unitaria,

(rigidità torsionale di cortina)GJ

in una fascia di larghezza infinitesima dz, nasce il seguente momento torcente riferito ai traversi :

'zdT GJ dz

Pertanto,

Il lavoro di deformazione dovuto alla torsione nei traversiin una striscia di larghezza dz e lunghezza pari a quella del ponte è

1 ' '2 2z

GJd dT dz b dz

mentre il lavoro di deformazione da torsione primaria della travata è

Il lavoro di deformazione totale vale :

GJd T dz dz

d GJ bGJ dz

Pertanto, la presenza di una cortina resistente a torsioneequivale ad una rigidità primaria fittizia :

fGJ GJ bGJ

Il momento torcente primario assume l’espressione

mentre quello sollecitante una fascia unitaria di cortina vale

e va riportato all’interasse Δz servito dal traverso.

'z1T GJ

Tale valore va considerato nell’equazione fondamentale della trave soggetta a torsione.

calcolo delle tensioni indotte da torsione

Ponti a travataLe tensioni normali

La conoscenza della (z) consente il calcolo delle corrispondenti tensioni normali mediante la relazione

essendo :

'' ''wE E E v y E x yz

' 'w x vy

' 'w v y x y

'' ''w v y x yz

La precedente relazione può essere posta in forma diversa moltiplicando e dividendo per :

'' ''M

x y x y x yE E B

dove :

Se BM=0, anche μ=0 e si ricade nel problema di De S.Venant (solo torsione primaria).

M '' B E è il bi‐momento

M By x yI

Lo stato tensionale complessivo sarà dovuto:

comportamento trave inflessa (carico centrato) comportamento torsionale (carico eccentrico)

(tensioni normali dovute al bi‐momento)

M Mtot 1

M B B I M Mx y x y yI M I I

Si noti che per h → 0 si ha :

Può definirsi ancora una volta un coefficiente di amplificazione

B I xM

EI e xEI x

analogo a …

Ponti a travataLe tensioni tangenziali nelle sezioni aperte

Le tensioni tangenziali sono dovute al contributo della torsione primaria e secondaria.

''' ''' ''' 20 i i y i y

d Tb dA E x ydA E x ydA E x S x Sdz

Su una generica corda di una nervatura,il contributo dovuto alla torsione secondaria è :

Sy momento statico rispetto ad x della parte della sezione trasversale della nervatura posta al di sotto della corda

A area della parte della sezione trasversale della nervatura posta al di sotto della corda

essendo '''2zT E

σzbds ds dz

τ2bdz

b(s) zbds b dzdsz

bbdz dzds

Le tensioni tangenziali sono dovute al contributo della torsione primaria e secondaria.

mentre su una corda della soletta, si ha

''' ''' ''' 20 i i y i y

d Tb dA E x ydA E x ydA E x S x Sdz

2''' ''' 2

j j 1 j j 1i i

Ts E xydA E x S h xdA x S h S

Su una generica corda di una nervatura

distanza dell’asse della soletta rispetto all’asse neutromomenti statici rispetto ad delle aree delle nervature site alla destra della corda

S momento statico rispetto ad della parte di soletta a destra della corda

Unendo le due relazioni si ha :

d d BdA x y dAdz dz

'' '' 21 1

d TE xy dA E xy dA Sdz

dS x y dove …

2 B x y

1 2 30

Ponti a travataLe tensioni tangenziali nelle sezioni chiuse

Si impongono delle sconnessioni ai piedi di n nervature e si applicano le stesse formule delle sezioni aperte, ovvero :

2 21d2 4

bS x y h s x

'' '''M 21 1 1 1 1

d B d Tx y dA E xy dA E xy dA Sdz dz

In particolare, per la controsoletta si ha :

La determinazione rigorosa dei flussi incogniti ai piedi delle n nervature dove è stata eseguita la sconnessione non è semplice

Pertanto, si adotta la formula di Bredt generalizzata :

* * * *1 2 0i i i i

s s s b

* * i0 0i

* **0 0

2 22 2

i ii i

x xT b bh b

essendo :

L’incognita (τb0) si ottiene equilibrando le forze interne totali τdAe il momento torcente secondario Tz2.

2 221 i i i i

zTd dl h x S x I

Td dl h h I

(nervature)

(controsoletta)

I contributi della sezione chiusa all’equilibrio torsionale sono :

2* zd dl d dl T

(contributo sezione aperta)

(contributo sezione chiusa)

dove d è la distanza rispetto ad un polo arbitrario, in questo caso la soletta superiore.

Risolvendo l’equazione di equilibrio torsionale si ha :

* 2 21 i i i i 2 s2 h x S x I h h I

esempi

EsempiTravata appoggiata

Caso: trave con vincoli di estremità che consentono rotazioni flessionali ma non torsionali.

L/2L/2 z

21 2 3 4 2cosh sinh

2mC C z C z C z zEI

La soluzione dell’equazione fondamentale dell’equilibrio torsionale è :

dove :

Condizioni ai limiti

' 0 ''' 0

Ⱶ Nella sezione di estremità (z=l/2) si ha :

0 '' 0

Ⱶ In mezzeria (z=0), per simmetria, si ha :

( tensioni normali nulle )

( rotazione torsionale nulla )

( momento torcente nullo )

( ingobbamento impedito )

Dalle le prime due condizioni si ottiene :

4 2 0C C 3

4 0C 2 4 0C C

dalle altre due condizioni si ha :

1cosh / 2

Se si adimensionalizzano l’ascissa e la tensione

e quindi …

Sostituendo le costanti nell’espressione della soluzione, si ha :

1 1 cosh 1cosh / 2 8 2

Le caratteristiche della sollecitazione valgono :

1 sinhcosh / 2zT GJ mL

'' 2M 2

1 cosh 1cosh / 2

B EI mL'''

21 sinh

cosh / 2zT EI mL

La caratteristica torcente si avrà per somma di due aliquote :

1 2z z zT T T mL

11 sinh

cosh / 2

21 sinh

cosh / 2

EsempiCasi limite per travata appoggiata

Passando ai limiti, le relazioni trovate in precedenza consentono di trovare i casi di sola torsione secondaria e di sola torsione primaria.

2 GJEI

GJL LEI

1 1EI L GJ

per σ → 0, valgono i seguenti limiti:

limsinh lim cosh / 2 1

2 2 42 4cosh 1 5lim 1

cosh / 2 8 2 384 16 24

Se si utilizzano le posizioni

EsempiTravata appoggiata: casi limite

Per pura torsione secondaria:

Introducendo i limiti riportati in precedenza si ottiene:

0, 0GJ

4 2 45384 16 24

2z zT T mL

8 2B mL

Per pura torsione primaria:

2 218 2

1z zT T mL

EsempiTravata a sbalzo

Caso: trave a sbalzo, con carico torcente distribuito me coppia torcente T concentrata all’estremo.

m=a eT=A e

La soluzione dell’equazione fondamentale dell’equilibrio torsionale è :

21 2 3 4 2cosh sinh

2mC C z C z C z zEI

'' 0 ''' 'EI GJ T

Condizioni ai limiti

Ⱶ All’estremo libero (z=0) si ha :

Ⱶ All’estremo incastrato (z=L) si ha :

0 ( rotazione torsionale nulla )

( ingobbamento impedito )

( tensioni normali nulle )

( momento torcente )

Per le prime due condizioni si trova:

Le altre due costanti si possono ricavare dalle altre condizioni :

m mLCEI EI

1 2 2 2 2

1 sinh cosh 1 1 1sinh sinh 1

cosh 2 coshmL mL

CEI EI

T TLCEI EI

4 2 22

1 1sinh 1cosh cosh

mL mLC

La caratteristica torcente si avrà per somma di due aliquote:

1 2z z zT T T mL

EsempiTravata appoggiata: casi limite

Per pura torsione secondaria:

0, 0GJ

2z zT T mL T

Per pura torsione primaria:

2 21 1

2 2mL TLGJ GJ

1z zT T mL T

4 4 3 31 18 6 24 3 2 2

mL TLEI EI

Introducendo i limiti riportati in precedenza si ottiene:

Ponti a travataUlteriori considerazioni

Risulta utile estendere la soluzione ottenuta imponendo GJ=0 al caso in cui non possa porsi tale condizione.

Trave appoggiata: carico ripartito m’1 4 2

384 1 1 115 cosh 2 8

Trave a sbalzo: carico ripartito m’

2 4 4 2

senh senh 1 cos 18cos 2

Trave a sbalzo: carico concentrato M3 3 2

senh 13cosh

Rapporto tra rotazione torcente corrispondente a GJ≠0 e rotazione torcente con GJ=0 :

Ponti a travataUlteriori considerazioni

Il coefficiente di amplificazione di Engesserpuò essere calcolato nel seguente modo per tener conto anche della rigidità torsionale primaria :

EsempiTravata a più luci

Il problema va affrontato suddividendo la soluzione in quella relativa ai singoli tronchi.

Si considerano i casi limiti di pura torsione primaria (estensione del problema di De S. Venant) e di pura torsione secondaria (Engesser)

Nel caso di sola torsione primaria non si considerano gli ingobbamenti e l’unico vincolo di tipo torsionale è quello che impedisce la torsione .

L1 /2 L2 /2

mL2 /2

mL1 /2

Si è considerato un carico costante a e, per e2, le possibilità indicate.

T T mL

Ogni tratto compreso tra due vincoli torsionali si trova nella condizione di trave appoggiata, indipendentemente dai vincoli flessionali intermedi

Nel caso più generale il valore estremo del momento vale

Considerando il caso limite di sola torsione secondaria (Engesser), l’equazione fondamentale della torsione diventa :

'''' mEI

43 2 1

1 2 3 424mL C C C CEI

Il suo integrale generale, valido per ciascuno tronco, si scrive:

Il problema è ricondotto a quello della trave inflessa con le seguenti equivalenze :

In questo caso bisognerà tener conto della continuità e la mutua influenza tra le condizioni di carico nei singoli tratti.

Carico = m (momento torcente)Rigidità flessionale = EI (rigidità secondaria)Abbassamento = (rotazione torsionale)Taglio = Tz (momento torcente)Momento flettente = BM (bimomento)

e2 = ‐e

e2 = e

e1 = ‐e

e1 = e

e2 = ‐e

e2 = e

e1 = ‐e

e1 = e

EsempiSuggerimenti per le verifiche

Le condizioni di carico che conducono ai valori massimi e i minimi di Te BM non coincidono in generale con quelle che forniscono i valori massimi e minimi di V e M.

M By x yI

V Tb S xSI

Ciò non semplifica la ricerca dei valori massimi delle tensioni :

EsempiSuggerimenti per le verifiche

I valori che possono assumere T e BM sono condizionati dai valori modesti dell’eccentricità di carico. Si evince che i primi termini saranno più condizionanti dei secondi.

Si opererà, pertanto, determinando le massime sollecitazioni di V e M e considerando per la stessa condizione di carico, con opportuna eccentricità, i valori corrispondenti di T e BM.

Principali riferimenti

Aldo Raithel. Ponti a travata. Liguori editore. 1978. ISBN 88-207-0563-X

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