View
13
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Anno Accademico:
2020./2021.
LEZIONE 2 – Stato di sforzo e di deformazione
COSTRUZIONE DI MACCHINE E AFFIDABILITA’
Laurea Magistrale - IN15 Ingegneria Meccanica
Data: 19.10.2020.
Docente: Neven Munjas
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Vettore:
• Matematica
kjivvvv zyxzyx vvvv
z
y
x
z
y
x
v
v
v
v
v
v
vv
©Turkalj, G., ČK2
2
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Vettore trasposto:
zyx vvvv v
Intensità di un vettore (modulo o valore assoluto):
zyx vvvv
TTv
3
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
VALE LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA
zzyyxx babababa TT
baba
Prodotto scalare (ingl. dot product, inner product):
abba
©Turkalj, G., ČK2
cosabba
abbaTT abba
TT
4
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
NON VALE LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Prodotto vettoriale (ingl. cross product):
cbaab
sin, abc ccba
©Turkalj, G., ČK2
xyyx
zxxz
yzzy
z
y
x
baba
baba
baba
c
c
c
cc
kji
kji
ba xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx babababababa
bbb
aaa
5
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Prodotti misti:
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba
Prodotto triplo:
baccabcba
Doppio prodotto vettoriale:
©Turkalj, G., ČK2
6
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Prodotto tensoriale o diadico (ingl. tensor product, outer product):
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
bababa
bababa
bababa
TabbaT
T – tensore di secondo ordine NON VALE LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA
baab
TTTbaab
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
bababa
bababa
bababa
Tbaab 7
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Operatori differenziali
xff dd
d – operatore differenziale o derivata
xff Funzione:
fx
f
d
d derivata prima
zyxff ,, Funzione: più variabili
una variabile
zz
fy
y
fx
x
ff dddd
z
f
y
f
x
f
;; derivate parziali
8
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
kjizyx
z
y
x
∆ – operatore di Laplace (Laplace, delta):
2
2
2
2
2
22
zyx
T
– operatore di Hamilton (nabla, del):
9
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Campo scalare: zyxUU ,,
kjiz
U
y
U
x
UUU
grad
2
2
2
2
2
22 graddiv
z
U
y
U
x
UUUU
ha come risultato un vettore
ha come risultato uno scalare
10
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Campo vettoriale:
zyxv
zyxv
zyxv
v
v
v
vv
z
y
x
z
y
x
,,
,,
,,
ha come risultato uno scalarez
v
y
v
x
v zyx
vv div
ha come risultato un tensore
vT v
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
v
z
v
y
v
x
v
zzz
yyy
xxx
vv grad
zyx vvv
zyx
kji
vvv curlrot
ha come risultato un vettore 11
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Notazione scalare, matriciale, tensoriale
Vecchio sistema di riferimento (iniziale):
Nuovo sistema di riferimento (ruotato):
321
Tvvvv
321
Tvvvv
333333
322332
122112
111111
cos,cos
cos,cos
cos,cos
cos,cos
xxa
xxa
xxa
xxa
©Turkalj, G., ČK2
ijjiij coscos ,xxa
12
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Trasformazione del vettore – notazione scalare:
Trasformazione del vettore – notazione matriciale:3332321313
3232221212
3132121111
vavavav
vavavav
vavavav
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
v
v
v
aaa
aaa
aaa
v
v
v
vav
©Turkalj, G., ČK2
[a] – matrice di trasformazione
Iaaaa TT1
13
[a] - matrice ortogonale
[I] = dij – delta di Kronecker (matrice identità)
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Trasformazione del vettore – notazione degli indici:
Convenzione di Einstein o convenzione di sommatoria:
indice libero: i = 1,2 o 3
3 o 2 1,i,3j
1j
jiji
vav
3 2, 1,j i,,jiji vav
indice ripetuto: j = 1,2 e 3
14
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Regole della notazione degli indici
Gli indici vengono indicati di solito con le lettere latine e assumono i valori:
Indice libero (ingl. free index):
indice libero: i = 1,2 o 3 (x, y o z)
indice ripetuto: j = 1,2 e 3 (x, y e z)
compare una volta sola in ogni termine dell’equazione
il loro numero indica l’ordine tensoriale
Indice ripetuto (ingl. dummy index):
compare due volte in un termine dell’equazione
non deve comparire in ogni termine dell’equazione
nessun indice compare piu di due volte in un termine
3 2, 1,k i,,kiki vav3 2, 1,j i,,jiji vav15
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Scalari, vettori, tensori
Scalari massa, temperatura, densità, umidità
possono essere descritti da 30 = 1 componente tensore di ordine zero
trasformazione:
Vettori
forza, momento, velocità, accelerazione
possono essere descritti da 31 = 3 componenti
tensori del primo ordine
avv
SS
trasformazione:
jiji vav vav 16
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Tensori del secondo ordine sforzo, deformazione, inerzia
possono essere descritti da 32 = 9 componenti trasformazione:
Tensori del quarto ordine
tensore di elasticità (tensore delle costanti elastiche)
possono essere descritti da 34 = 81 componenti
trasformazione:
TaTaT TaTaT pqjqijij TaaT
pqrslskrjqipijkl TaaaaT 17
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Tensori del secondo ordine
333231
232221
131211
ij
TTT
TTT
TTT
TTT
Notazione matriciale
33
32
31
23
22
21
13
12
11
ij
T
T
T
T
T
T
T
T
T
TTT
Notazione vettoriale
18
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Tensore di secondo ordine - proprietà:
332313
322212
312111
T
333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
TTT
TT
tensore trasposto: ji
T
ij TT
tensore simmetrico: S
ijijjiij TTTT
STTTTT
fec
edb
cbaS
T
19
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
0
0
0AS
cb
ca
ba
T
tensore antisimmetrico:
jise0
jise
ij
jiij
ijij T
TTTT AS
20
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
AS
ij
S
ijij
ASS TTTo TTT
un tensore si può scomporre in parte simmetrica e antisimmetrica:
333323321331
322322221221
311321121111
TS
2
1
2
1
TTTTTT
TTTTTT
TTTTTT
TTT
0
0
0
2
1
2
1
23321331
32231221
31132112
TAS
TTTT
TTTT
TTTT
TTT
21
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Sforzo o tensione (ingl. stress): forza per unità di superficie
• Stato di sforzo e di deformazione
©Turkalj, G., ČK1
Stato di sforzo (deformazione) del corpo materiale
∆F – forza risultante
∆M – momento risultante
22
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
©Turkalj, G., ČK1
Intensita di sforzo medio per unità di superficie ∆A:
A
Fta
Sforzo medio per unità di superficie ∆A:
A
Ft
aat
Vettore di sforzo (totale) nel punto O:
AAA d
dlim
0n
FFt
Intensita di sforzo nel punto O:
A
Ft
d
dnn t
Pa
m
N2
Pa
Per i punti della superficie:
nt forza di contatto (ingl. traction)23
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
nnn τσt
Componenti del vettore di sforzo nel punto O:
Scomposizione del vettore di sforzo tangenziale:
1;1;1 nml nml
nmnln τττ
©Turkalj, G., ČK1
2
n
2
n
2
n τt
n tensione normale
n tensione tangenziale
nml
2
nm
2
nl
2
n τττ
Vettore di sforzo:
nmnlnn ττσt 2
nm
2
nl
2
n
2
n ττt 24
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
nnn 0 σtτ
Tensioni, piani e direzioni principali
321 nnn©Turkalj, G., ČK1
nn t
n tensione principale
R piano principale
3n2n1n
n direzione principale
321 25
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Classificazione di tensioni
Tipi di tensione
normale (trazione o compressione)
tangenziale (taglio)
Criteri di complessità
stati semplici
stati composti
In base alle tensioni principali
lineare o monoassiale
planare o biassiale
tridimensionale o triassiale26
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Stati di tensione
Stato di sforzo (deformazione) del corpo materiale
Elemento infinitesimale
©Turkalj, G., ČK127
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Stati di tensione semplici
Stato di tensione monoassiale Taglio puro
©Turkalj, G., ČK1
28
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Stati di tensione composti
Stato di tensione biassiale Stato di tensione triassiale
©Turkalj, G., ČK1
29
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Stati di tensione composti – tensioni principali
Stato di tensione biassiale Stato di tensione triassiale
©Turkalj, G., ČK1
30
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Faccia positiva e negativa – tensioni positive
Faccia negativa
Faccia positiva
©Turkalj, G., ČK1 31
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Teorema di Cauchy – stato di tensione (sforzo) piano
Stato di sforzo (deformazione) del corpo materiale
Elemento infinitesimale
©Turkalj, G., ČK132
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
ny
nx
nnynxn t
ttttt
Teorema di Cauchy – stato di tensione (sforzo) piano
©Turkalj, G., ČK1
ndA area della faccia obliqua
m
l
n
n
y
x
sin
cosn
mAAzxA
lAAzyA
y
x
nn
nn
dsindddd
dcosdddd
Equazioni di equilibrio:
0ddd0
0ddd0
nnnny
nnnnx
mAlAAtF
mAlAAtF
yxyy
yxxx
33
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Teorema di Cauchy – stato di tensione (sforzo) piano
©Turkalj, G., ČK1
Condizioni di equilibrio:
mltF
mltF
yxyy
yxxx
ny
nx
0
0
Tensore degli sforzi di Cauchy:
yyx
xyx
ijσ
Notazione matriciale: nσtT
n nt T
n
Notazione tensoriale: σnt n
Notazione degli indici: jijin nσt 34
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Teorema di Cauchy – stato di tensione (sforzo) tridimensionale
©Turkalj, G., ČK1
Vettore di sforzo:
nz
ny
nx
nnznynxn
t
t
t
ttttt
Tensore degli sforzi di Cauchy:
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijσ
Condizioni di equilibrio:
rmltF
rmltF
rmltF
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx
nz
ny
nx
0
0
0
Normale al piano:
r
m
l
n
n
n
cos
cos
cos
z
y
x
n35
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Coniugazione degli sforzi tangenziali – stato di tensione (sforzo) piano
©Turkalj, G., ČK1
Condizioni di equilibrio:
02
ddd2
2
ddd20G
yzx
xzyM yxxy
T
yxxy
Analogamente: zxxzzyyz
σσ T
zyzxz
zyyxy
zxyxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijσ
36
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Coniugazione degli sforzi tangenziali
©Turkalj, G., ČK1
σnnσt T
n nnt T
n
Equazioni di equilibrio di Cauchy:
37
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) piano
©Turkalj, G., ČK1
Vettore delle forze di volume:
yx fff V
y
x
f
ffVVf
3m
N
Condizioni di equilibrio:
0dddddd
ddd0
zyxfzx
zyF
xyxyxyx
xxxx
0dddddd
ddd0
zyxfzy
zxF
yxyxyxy
yyyy
38
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) piano
Incrementi degli sforzi:
yy
xx
yy
xx
yx
yx
xy
xy
y
yx
x
dd;dd
dd;dd
0ddddddddd0
zyxfzxy
yzyx
xF xyx
yx
yxxx
xx
0ddddddddd0
zyxfzyx
xzxy
yF yxy
xy
xyy
y
yy
©Turkalj, G., ČK1
39
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) piano
©Turkalj, G., ČK1
00
x
yxxx f
yxF
00
y
yxy
y fyx
F
0
0
y
x
yxy
yxx
f
f
yx
yx
Equazioni di equilibrio di Navier 40
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) piano
0
0
y
x
yxy
yxx
f
f
yx
yx
Equazioni di equilibrio – stato di tensione (sforzo) tridimensionale
0
0
0
z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
f
f
f
zyx
zyx
zyx
41
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Stato di sforzo nel punto e’ definito dal tensore di tensione (sforzo)
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijσTensore degli
sforzi di Cauchy
σσ T
zx
yz
xy
z
y
x
ijσσ
42
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Assi (x, y, z) = direzioni principali di sforzo
3
2
1
00
00
00
σ
321 ,, sforzi PRINCIPALI
321 ©Turkalj, G., ČK1
43
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Trasformazione del tensore di tensione
yyx
xyx
σ
Trasformazione di tensori del secondo ordine:
©Turkalj, G., ČK1
yyx
xyx
σ
Taσaσ Taσaσ 44
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Matrice elementare di trasformazione:
cossin
sincos
,cos,cos
,cos,cos
yyxy
yxxxaa
Trasformazione del tensore di tensione – notazione matriciale:
cossin
sincos
cossin
sincos
yyx
xyx
yyx
xyx
Forma scalare:
cossinsincossincos 22
yxxyyxx
cossinsincossincos 22
yxxyyxy
22 sincoscossin yxxyyxxy
22 cossincossin yxxyyxyx 45
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Sforzi principali, direzioni principali
yyx
xyx
σ
©Turkalj, G., ČK1
2
1
0
0
σ
21 e sforzi principali, autovalori o valori caratteristici (ingl. eigenvalues) del tensore di tensione
1 angolo della prima direzione principale 46
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
0nIσ iiσ
i
i
iisin
cos
nn
Problema matriciale di valori caratteristici (ingl. eigenvalue problem)
0
0
sin
cos
10
01
i
i
i
yyx
xyx
0ii nIσσ
autovettore o vettore caratteristico i (ingl. eigenvector) del tensore di tensione
Condizone di risultato non triviale (per avere soluzione non nulla):
0i
i
yyx
xyx
02i1
2
i II
2
1
47
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Invarianti del tensore di tensione:
Primo e secondo sforzo principale (valori estremi di tensione normale):
211 yxyxI
21
22
2 xyyxxyyxI
invariante primo o lineare
invariante secondo o quadratica
Invariante secondo del tensore di tensione:
2
1
20
0
yxy
xyx
yxy
xyxI
22
1,2 42
1
2
1xyyxyx
48
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Piano principale (φ = αi):
Angolo della direzione principale:
0sincoscossin i
2
i
2
ii yxxyyxxy
ii
2 2cos12
1cos ii
2 2cos12
1sin iii 2sin
2
1cossin
02cos2sin2
1ii xyyxxy
2i
1i
yx
yx
9012 yx
xy
22tan i
49
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Stato di tensione triassiale (tridimensionale)
zyxzyx ,,,,
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σ
Trasformazione del sistema di riferimento T
aσaσ
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
©Turkalj, G., ČK2
jiij ,cos xxa 50
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Problema matriciale di valori caratteristici (ingl. eigenvalue problem):T
aσaσ
©Turkalj, G., ČK2
Assi (x, y, z) = (1,2,3) direzioni principali di sforzo
3
2
1
00
00
00
σ
0
0
0
100
010
001
i
i
i
i
r
m
l
zzyzx
yzyyx
xzxyx
51
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
zzyzx
yzyyx
xzxyx
I
3
Condizone di risultato non triviale (per avere soluzione non nulla):
0
i
i
i
zzyzx
yzyyx
xzxyx
03i2
2
i1
3
i III2
1
3Invarianti del tensore di tensione:
zyxI 1
222
2 zxyzxyxzzyyxI
invariante primo o lineare
invariante secondo o quadratica
invariante terzo o cubico
52
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
3
2
1
3
00
00
00
I
Invarianti del tensore di tensione:
3211 I
1332212 I
Direzioni principali:
zyzx
zyx
zxz
yxyz
zzy
yzy
rml
i
i
i
i
i
i
i
53
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Valori estremi delle tensioni tangenziali:
32I2
1 31II
2
1 21III
2
1
Piani dei valori estremi delle tensioni tangenziali:
54
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Piani e sforzi ottaedrali
3
2
1
00
00
00
σ
©Turkalj, G., ČK2
Tensore delle tensioni:
3
1
1222
222
rml
rml
rml
Normale al piano ottaedrale:
31
31
31
ott
r
m
l
n
55
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
ottott σnt
©Turkalj, G., ČK2
31
31
31
00
00
00
3
2
1
(3)ott
(2)ott
(1)ott
t
t
t
2
3
2
2
2
1
2
(3)ott
2
(2)ott
2
(1)ott ott
3
1
tttt
Vettore di sforzo nel piano ottaedrale:
56
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
m321ott
T
ottott3
1σσσσσ nt
©Turkalj, G., ČK2
Componenti del vettore di sforzo nel piano ottaedrale:
Tensione normale:
213
2
32
2
21
2
321
2
3
2
2
2
1
2
ott
2
ottott
3
1
9
1
3
1
σσσσσσ
σσσσσσ
t
Tensione tangenziale:
1ott
3
1Iσ 3
2
1ott 323
1II
57
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
parte sferica della tensione o tensore sferico
Scomposizione di uno stato di sforzo
Sσσ m
mσ
m
m
m
m
00
00
00
σ
33
321m
zyx tensione media (ingl. mean stress)
58
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
m pressione idrostatica
©Turkalj, G., ČK1 59
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
parte deviatorica della tensione o tensore deviatorico
S
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
SSS
SSS
SSS
m
m
m
mσσS
3
2
1
m3
m2
m1
00
00
00
00
00
00
S
S
S
mσσS
3
1imii
I
S
sforzi principali deviatorici321 ,, SSS
60
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
3
1imii
I
SS
Invarianti della parte deviatorica della tensione (J1, J2, J3):
03i2
2
i1
3
i III
0333
31
i2
2
1i1
3
1i
II
SII
SII
S
03i2
2
i1
3
i JSJSJS
03211 SSSJ 2
2
12 33
1IIJ
321
3
13 279227
1IIIIJ
61
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
321133221321
3
32133
1
27
2 J
3211 I 1332212 I 3213 I
2
13
2
32
2
21
133221
2
3212
6
1
3
1
J
2
3
2
2
2
122
1SSSJ
3213 SSSJ 62
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
area della faccia obliqua
Stato di sforzo biassiale (piano)
ndA
yyx
xyx
σ
sindd
cosdd
n
n
AA
AA
y
x
?
?
nn
nn
©Turkalj, G., ČK1
63
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Condizione di equilibrio in direzione della tensione normale:
0F
0cosdsindsindcosdd nn yyxxxyyyxx AAAAA
n
22
n sincos2sincos xyyx
0cossindsincosdsindcosdd nn
2
n
2
nnn AAAAA yxxyyx
Sostituzioni trigonometriche:
2cos12
1cos2 2cos1
2
1sin 2 2sin
2
1cossin
©Turkalj, G., ČK1
yxxy
sindd
cosdd
n
n
AA
AA
y
x
64
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazione della tensione normale sulla faccia obliqua:
2sin2cos2
1
2
1n xyyxyx
Per φ = α angolo della direzione principale di sforzo:
Condizione di estremo:
02cos22sin0d
d n
xyyx
yx
xy
22tan
2
1
yx
yx
9012 65
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
2sin2cos2
1
2
1n xyyxyx
SFORZI PRINCIPALI (valori estremi di tensione normale)
Sostituzioni trigonometriche:
22242tan1
12cos
xyyx
yx
22242tan1
2tan2sin
xyyx
xy
22
1,2 42
1
2
1xyyxyx
min2
max1
66
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Condizione di equilibrio in direzione della tensione tangenziale:
0F
0sindcosdcosdsindd nn yyxxxyyyxx AAAAA
n
22
n sincoscossin yxxyyx
0sindcosdcossindd 2
n
2
nnnn AAAA yxxyyx
Sostituzioni trigonometriche:
2cos12
1cos2 2cos1
2
1sin 2 2sin
2
1cossin
©Turkalj, G., ČK1
yxxy
sindd
cosdd
n
n
AA
AA
y
x
67
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazione della tensione tangenziale sulla faccia obliqua:
2cos2sin2
1n xyyx
Per φ = β angolo degli sforzi tangenziali massimi:
Condizione di estremo:
02sin22cos0d
d n
xyyx
xy
yx
22tan
4512tan2tan 1III, 68
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
2cos2sin2
1n xyyx
Valori estremi delle tensioni tangenziali:
Sostituzioni trigonometriche:
221
2
2tan1
12cos
yx
xy
22242tan1
2tan2sin
xyyx
yx
21
22
III,2
14
2
1 xyyx
maxI
minII 69
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
2cos2sin2
1n xyyx
Equazione del cerchio di Mohr:
2sin2cos2
1
2
1n xyyxyx
2
2
2222
n
2
n 44
1
2
1xyyxyx R
Centro del cerchio di Mohr:
0,
2
1yxC
Raggio del cerchio di Mohr:
224
2
1xyyxR
70
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Cerchio di Mohr - stato di tensione (sforzo) piano 0; xyyx
Punti sul cerchio di Mohr:
A(x, ) B(y, -)
©Turkalj, G., ČK1
M - polo per le normali
71
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Cerchio di Mohr - stato di tensione puramente tangenziale (taglio puro)
Punti sul cerchio di Mohr:
A(x, ) B(y, -)
A(0, ) B(0, -)
21
©Turkalj, G., ČK1
72
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Deformazione
Cambiamento di configurazione del corpo materiale
Il vettore che unisce i punti del corpotra la configurazione indeformata e laconfigurazione deformata e' chiamatovettore di spostamento e il suo moduloe' detto spostamento.
©Turkalj, G., ČK1
y
z
xAB
D C
Fn
F1
A
B
D
C
1
1
1
1
s
Vettore spostamento (unisce i punti A e A1):
s i j k u v w u v w
• notazione matriciale:
( , , )
( , , ) ( , , )
( , , )
x y z
s x y z s x y z
x y z
u
v
w
Sollecitazione esterna spostamento del corpo 73
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Moto del corpo deformabile:
traslazione
rotazione
deformazione (deformazione pura, ingl. strain)
Traslazione del corpo:
tutti i punti del corpo si spostano di una distanza fissa e con stessa velocità
Rotazione del corpo materiale:
tutti i punti hanno spostamenti diversi, ma la posizione reciproca tra i punti del corpo non si modifica
74
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Tipi di deformazione:
variazione di volume (dilatazione)
alterazione della forma (distorsione o scorrimento)
Stati di deformazione:
monoassiale (lineare)
biassiale (planare)
triassiale (spaziale)
75
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Deformazione di un tratto intorno al punto A:
deformazione lineare (normale), dilatazione
deformazione angolare, scorrimento
1 1x
B A
A B ABlim
AB
1 1
yC A
A C AClim
AC
0liml
l
l
v0
limV
V
V
deformazione volumetrica
1 1z
D A
A D ADlim
AD
111
ACAB
CBAABClim
yxxy 111
ADAC
DCAACDlim
zyyz
111
ADAB
DBAABDlim
xzzx
©Turkalj, G., ČK1
76
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Deformazione di un elemento infinitesimale
Deformazioni piccole:
d
F
B d
A
E
H
G
C
d
D
z
y
x y
z
x
A'B' AB d
A'C' AC d
x
y
A'B'' A'B'''
A'C'' A'C'''
©Turkalj, G., ČK1
77
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Deformazione lineare (normale) in direzione delle assi x e y:
©Turkalj, G., ČK1
x
d d dA'B''' A'B'
dA'B'
x x xx
x
u
y
d d dA'C''' A'C'
dA'C'
y y yy
y
v
xx
u
yy
v
78
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Deformazione angolare per il paio di assi (x,y):
©Turkalj, G., ČK1
xy xy xy
xy
x
dB''B'''
tan1A'B''' d d 1
xx x x
x xx x
v v v
u u
xy
y
dC''C'''
tan1A'C''' d d 1
yy y y
y yy y
u u u
v v
xy yxy x
u v
y
u
x
v
xyyxyxy
xyxxyxy
1,tan
1,tan
Deformazioni piccole:
79
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Equazioni di Cauchy delle piccole deformazioni:
x y z, ,x y z
u v w
80
xzzxxzzx
zyyzzyyz
yxxyyxxy
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
22
22
22
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Deformazione volumetrica
d d d dV x y z
1d d d d d d dV x y z u v w
1v
d dd
d d
V VV
V V
v
d d d d d d d d d
d d d
x y z x y z
x y z
u v w
Volume iniziale del parallelepipedo:
Volume del parallelepipedo deformato:
Deformazione volumetrica:
81
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
v x y z x y y z z x x y z X X X X
v x y z kk
v 0
v x y z1 1 1 1
v
1 1 1 d d d d d d
d d d
x y z x y zx y z
x y z
u v w
deformazioni piccole (ε <<1)
deformazione ISOCORA (ingl. isochoric deformation)
82
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Tensore delle deformazioni per lo stato di deformazione triassiale:
x xy xz
xx xy xz
yx y yz yx yy yz
zx zy zz
zx zy z
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
T
T
x y z xy yz zx
Assi (x,y, z) = direzioni principali di deformazione:
1
2
3
0 0
0 0
0 0
1 2 3, , 1 2 3 dilatazioni PRINCIPALI 83
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
parte sferica della deformazione (variazione di volume)
Scomposizione del tensore delle deformazioni
deformazione media (ingl. mean strain)
o e
o
0
o
0 m
0
0 0
0 0
0 0
x y z1 2 30
3 3
84
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
parte deviatorica della deformazione (variazione di forma)
e
1 0
o
2 0
3 0
0 0
0 0
0 0
e
x 0 xy xz
o
yx y 0 yz
zx zy z 0
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
e
85
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Tensore delle deformazioni per lo stato di deformazione biassiale:
Assi (x,y) = direzioni principali di deformazione:
xyx x
y
y
x
y
x xy
xx xy
yx yy
yx y
1
2
1
2
1
2
0
0
86
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
n x y x y xy
1 1cos2 sin 2
2 2
n x y xy
1sin 2 cos2
2
x x y y xy xy xy
1
2
n x y x y xy
1 1 1cos2 sin 2
2 2 2
t x y x y xy
1 1 1sin 2 cos2
2 2 2
nt x y xy
1 1 1sin 2 cos2
2 2 2
87
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Per = angolo della direzione principale:
Valori estremi delle deformazioni normali (DEFORMAZIONI PRINCIPALI)
2
2
1,2 x y x y xy
1 1
2 2
xy
x y
tan 2
x y 1
x y 2
2 1
π
2
Notazione matriciale:
x xy x xy
yx y yx y
1 1
cos sin cos sin2 2
1 sin cos 1 sin cos
2 2
T[ ] [ ][ ][ ]a a Trasformazione del tensore secondo ordine88
Recommended