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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Co
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di
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e”A
nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Lastre: • superficie media piana (piano medio)• carichi applicati giacenti sul piano medio
Co
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“Co
stru
zio
ne
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Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Piastre: • superficie media piana (piano medio)• carichi applicati ortogonalmente al piano medio
Co
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Ap
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nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media
Gusci: • superficie media curva • carichi applicati sia sul piano medio
che ortogonalmente ad esso
Co
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di
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
R h
rθ
z
Piastre Circolari caricate in modo Assialsimmetrico.
Ipotesi semplificative generali per le piastre:• spostamenti verticali del piano medio della piastra sotto carico molto minori
dello spessore della piastra stessa• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta
ortogonale al piano medio, dopo la deformazion continuano a formare una retta ortogonale al piano medio deformato (ipotesi di Kirchoff)
• tensioni normali agenti ortogonalmente al piano medio della piastra trascurabili (stato piano di tensione).
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
R h
rθ
z
Piastre Circolari caricate in modo Assialsimmetrico.
Assunzioni semplificative specifiche:• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria• la componente di spostamento in senso radiale si assume trascurabile in base
all'ipotesi di piccole deflessioni della piastra• la componente di spostamento verticale w, la sola significativa, risulta, per
simmetria, funzione della sola coordinata radiale, r.• il piano medio non varia le sue dimensioni con la deformazione (esattamente come
la fibra media di una trave inflessa)
Co
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
w
r
θ
Sistema di riferimento cilindrico con asse «z» coincidente con asse di simmetria ed origine sul piano medio
R h
rθ
z
Deformata della piastra definita dalla sola funzione w(r).
drdw
−=θ
Co
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r drBA z
Componenti di deformazione/1
Elemento di piastraSegmento AB alla quota «z»
Co
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“Co
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r drBA z
θ
O
Componenti di deformazione/2
dopo l'inflessione:• il segmento AB assume la posizione A'B‘• Il segmento dr appartenente al piano
medio (lunghezza immutata) può essere approssimato con un arco di circonferenza di centro O e raggio:
Co
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r drBA z
θ
Oθθρ dzdrdzBA ⋅+=+= )(''
Componenti di deformazione/3
Lunghezza di AB:
Deformazione radiale:
( )drdz
drdrdzdr
rrθθε ⋅=
−⋅+=
Co
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r drBA z
θ
Oθ⋅≈ zu
Componenti di deformazione/4
Il punto A subisce uno spostamento radiale :
La circonferenza per A, di lunghezza iniziale:
( )r
zr
rzr θπ
πθπεθθ =⋅
⋅−⋅+=
222
u
r⋅π2
dopo la deformazione assume lunghezza:
( )ur +⋅π2
Producendo una deformazione circonferenziale:
Co
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di
“Co
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re C
him
ich
e”A
nn
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Componenti di deformazione/4
Stato piano di tensione:
Invertendo:
EE
EErr
rrrr
σνσε
σνσε
θθθθ
θθ
−=
−=
( )
( )rr
rrrr
E
E
νεεν
σ
νεεν
σ
θθθθ
θθ
+−
=
+−
=
2
2
1
1
Co
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di
“Co
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him
ich
e”A
nn
o a
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emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazioni costitutive
Stato piano di tensione:
Invertendo:
EE
EErr
rrrr
σνσε
σνσε
θθθθ
θθ
−=
−=
( )
( )rr
rrrr
E
E
νεεν
σ
νεεν
σ
θθθθ
θθ
+−
=
+−
=
2
2
1
1
rz
drdzrr
θε
θε
θθ =
⋅=
+
−⋅
=
+
−⋅
=
drd
rzE
rdrdzE
rr
θνθν
σ
θνθν
σ
θθ 2
2
1
1
Co
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di
“Co
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
z
σθθ
τ
dϕ
drσrr
dz
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/1
Si considera un elemento di volume della piastra, ottenuto con tre incrementi delle coordinate.Tensioni agenti (simmetria ed ipotesi di «plane stress»):
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
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emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
z
σθθ
τ
dϕ
drσrr
dz
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/2
Dato che le tensioni normali dipendono linearmente da «z», per le relative risultanti si ha:
0
0
2
2
2
2
=⋅=
=⋅=
∫
∫
−
−
h
h
h
h rrrr
dzN
dzN
θθθθ σ
σ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
z
σθθ
τ
dϕ
drσrr
dz
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/3
Per i momenti risultanti, invece si ottiene:
( )2
3
3
2
2
2
22
2
2
112
121
1
ν
θνθθνθν
θνθν
σ
−⋅
=
+=
+
−=
=⋅
+
−⋅
=⋅⋅= ∫∫ −−
hED
rdrdDh
rdrdE
dzzrdr
dzEdzzMh
h
h
h rrrr
r
h
dϕ
dr
rrM
Mθθ
Mθθ
Rigidezza flessionale della piastra
Co
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“Co
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ne
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him
ich
e”A
nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
z
σθθ
τ
dϕ
drσrr
dz
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/4
Per i momenti risultanti, invece si ottiene:
( )2
3
3
2
2
2
22
2
2
112
121
1
ν
θνθθνθν
θνθν
σ
−⋅
=
+=
+
−=
=⋅
+
−⋅
=⋅⋅= ∫∫ −−
hED
rdrdDh
rdrdE
dzzrdr
dzEdzzMh
h
h
h rrrr
r
h
dϕ
dr
rrM
Mθθ
Mθθ
Rigidezza flessionale della piastra
+=
drd
rDM θνθ
θθ
Co
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par
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4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
z
σθθ
τ
dϕ
drσrr
dz
Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/5
Si pone infine:
∫− ⋅= 2
2
h
h dzQ τ
r
h
dϕ
dr
Q
Osservazioni
• i momenti sono denominati in base alle tensioni che producono, invece che all'asse cui si riferiscono
• i momenti Mrr ed Mθθ e la forza di taglio Q sono calcolati per unità di lunghezza in direzione circonferenziale; essi si misurano rispettivamente in N*m/m ed in N/m e sono detti Caratteristiche di sollecitazione generalizzate.
Co
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re C
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ich
e”A
nn
o a
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4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazione tra tensioni normali e momenti/1
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
+
−⋅
=
+
−⋅
=
drd
rzE
rdrdzE
rr
θνθν
σ
θνθν
σ
θθ 2
2
1
1
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
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emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazione tra tensioni normali e momenti/2
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
+
−⋅
=
+
−⋅
=
drd
rzE
rdrdzE
rr
θνθν
σ
θνθν
σ
θθ 2
2
1
1
DMzED
MzE rrrr
θθθθ ν
σ
νσ
2
2
1
1
−⋅
=
−⋅
=
Co
rso
di
“Co
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e”A
nn
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4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazione tra tensioni normali e momenti/3
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
+
−⋅
=
+
−⋅
=
drd
rzE
rdrdzE
rr
θνθν
σ
θνθν
σ
θθ 2
2
1
1
( )2
3
112 ν−⋅
=hED
DMzED
MzE rrrr
θθθθ ν
σ
νσ
2
2
1
1
−⋅
=
−⋅
=
Co
rso
di
“Co
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ne
di
Ap
par
ecch
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ich
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nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazione tra tensioni normali e momenti/4
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
+
−⋅
=
+
−⋅
=
drd
rzE
rdrdzE
rr
θνθν
σ
θνθν
σ
θθ 2
2
1
1
( )2
3
112 ν−⋅
=hED
DMzED
MzE rrrr
θθθθ ν
σ
νσ
2
2
1
1
−⋅
=
−⋅
=
zhM
zhM rr
rr
3
3
12
12
θθθθσ
σ
=
=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
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ich
e”A
nn
o a
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Relazione tra tensioni normali e momenti/5
I valori massimi di tensione si verificano alle superfici inferiore e superiore dello spessore (z=±h/2). In valore assoluto i valori massimi di tensione sono :
2max_
2max_
6
6
hMhM rr
rr
θθθθσ
σ
=
=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
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ich
e”A
nn
o a
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/1
Forze e momenti applicati all’elemento di volume:
Equazioni di equilibrio identicamente soddisfatte:• Traslazione in direzione radiale e circonferenziale• Rotazione attorno alla direzione radiale e assiale
Co
rso
di
“Co
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zio
ne
di
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par
ecch
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ich
e”A
nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
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him
ich
e”A
nn
o a
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
02 =⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕϕϕ ddrrpdrQddrdrdQddrQddrr
drdQdrQ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
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him
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e”A
nn
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01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
02 =⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕϕϕ ddrrpdrQddrdrdQddrQddrr
drdQdrQ
Semplificando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
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par
ecch
iatu
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him
ich
e”A
nn
o a
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o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
02 =⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕ ddrrpddrdrdQddrQddrr
drdQ
Trascurando i termini di ordine superiore
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
0=⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕ ddrrpddrQddrrdrdQ
Dividendo per il fattore comune
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
0=⋅−+⋅ rpQrdrdQ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/2
Equilibrio in direzione «z» (assiale):
( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+
+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr
drdQQ
0=⋅−+⋅ rpQrdrdQ
( ) rpdr
rQd⋅=
⋅
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
rdϕ
ϕϕθθθθ ddrMddrM ⋅⋅≈⋅⋅ )
2sin(2
Mθθ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
drψ
dϕ/2Mθθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
02
2322
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
θθ ddrMddrrpddrdrdQddrQddrr
drdQddrrQ
drMddrdr
dMddrMddrrdr
dMdrM rrrr
rrrr
rr
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
02
2322
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅
+⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
θθ ddrMddrrpddrdrdQddrQddrr
drdQddrrQ
drMddrdr
dMddrMddrrdr
dMdrM rrrr
rrrr
rr
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
Semplificando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
02
2322
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅
+⋅+⋅⋅+⋅⋅
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
θθ ddrMddrrpddrdrdQddrQddrr
drdQddrrQ
ddrdr
dMddrMddrrdr
dM rrrr
rr
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
Trascurando i termini di ordine superiore
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
0=⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕ θθ ddrMddrrQddrMddrrdr
dMrr
rr
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
Dividendo per il fattore comune
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
0=−⋅++ θθMrQMrdr
dMrr
rr
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
0=−⋅++ θθMrQMrdr
dMrr
rr
r
h
dϕ
dr
r
h
dϕ
dr
drdrdQQ +
Q
p
drdr
dMM rrrr +
Mrr
Mθθ
Mθθ
ψ
Equazioni di equilibrio/3
Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:
( ) ( ) 02
2
=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+
++⋅⋅−+
+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr
drdQQdrMddrrdr
drdMM rr
rrrr
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
rQrdrd
drdD
drd
rD ⋅=
+−
+ νθθθνθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
rQrdrd
drdD
drd
rD ⋅=
+−
+ νθθθνθ
DrQ
drd
drdr
drd
drd
r
DrQr
drd
drd
drd
r⋅
=−−−+
⋅=
+−
+
θνθθθνθ
νθθθνθ
2
2
Semplificando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
rQrdrd
drdD
drd
rD ⋅=
+−
+ νθθθνθ
DrQ
rdrdr
drd
DrQ
drd
drdr
drd
drd
r
DrQr
drd
drd
drd
r
⋅−=−+
⋅=−−−+
⋅=
+−
+
θθθ
θνθθθνθ
νθθθνθ
2
2
2
2
Dividendo per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
rQrdrd
drdD
drd
rD ⋅=
+−
+ νθθθνθ
DQ
rdrd
rdrd
DrQ
rdrdr
drd
DrQ
drd
drdr
drd
drd
r
DrQr
drd
drd
drd
r
−=−+
⋅−=−+
⋅=−−−+
⋅=
+−
+
22
2
2
2
2
2
1 θθθ
θθθ
θνθθθνθ
νθθθνθ
La relazione può essere scritta come segue
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/1
( ) rQdr
rMdM rr ⋅=⋅
−θθ
+=
+=
drd
rDM
rdrdDM rr
θνθ
θνθ
θθ
rQrdrd
drdD
drd
rD ⋅=
+−
+ νθθθνθ
DQ
rdrd
rdrd
DrQ
rdrdr
drd
DrQ
drd
drdr
drd
drd
r
DrQr
drd
drd
drd
r
−=−+
⋅−=−+
⋅=−−−+
⋅=
+−
+
22
2
2
2
2
2
1 θθθ
θθθ
θνθθθνθ
νθθθνθ
( )DQr
drd
rdrd
−=
⋅θ1 Relazione 1
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
( )DQr
drd
rdrd
−=
⋅θ1 Moltiplicando per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
( )
( )D
rQrdrd
rdrdr
DQr
drd
rdrd
⋅−=
⋅
−=
⋅
θ
θ
1
1
Derivando rispetto a «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
( )
( )
( ) ( )dr
rQdD
rdrd
rdrdr
drd
DrQr
drd
rdrdr
DQr
drd
rdrd
⋅−=
⋅
⋅−=
⋅
−=
⋅
11
1
1
θ
θ
θ
1° equazione di equilibrio( ) rpdr
rQd⋅=
⋅
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
( )
( )
( ) ( )dr
rQdD
rdrd
rdrdr
drd
DrQr
drd
rdrdr
DQr
drd
rdrd
⋅−=
⋅
⋅−=
⋅
−=
⋅
11
1
1
θ
θ
θ
1° equazione di equilibrio( ) rpdr
rQd⋅=
⋅
( )D
rprdrd
rdrdr
drd ⋅
−=
⋅θ1
Relazione 2
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Equazioni risolventi/3Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno
( )D
rprdrd
rdrdr
drd ⋅
−=
⋅θ1
Relazione 2
( )DQr
drd
rdrd
−=
⋅θ1
Relazione 1
drdw
−=θ
DQ
drdwr
drd
rdrd
=
1
Drp
drdwr
drd
rdrdr
drd ⋅
=
1
Equazioni risolvente 1
Equazioni risolvente 2
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Momenti e tensioni in funzione della w(r)
+−=
+=
+−=
+=
2
2
2
2
1
1
drwd
drdw
rD
drd
rDM
drdw
rdrwdD
rdrdDM rr
νθνθ
νθνθ
θθ
+
−⋅
−=
+
−⋅
=
+
−⋅
−=
+
−⋅
=
2
2
22
2
2
22
111
111
drwd
drdw
rzE
drd
rzE
drdw
rdrwdzE
rdrdzE
rr
νν
θνθν
σ
νν
θνθν
σ
θθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
11 C
drdwr
drd
r=
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
rCdrdwr
drd
Cdrdwr
drd
r
⋅=
=
1
11
Moltiplicando per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
2
2
1
1
1
2
1
CrCdrdwr
rCdrdwr
drd
Cdrdwr
drd
r
+⋅=
⋅=
=
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
rCrC
drdw
CrCdrdwr
rCdrdwr
drd
Cdrdwr
drd
r
21
2
2
1
1
1
2
2
1
+⋅=
+⋅=
⋅=
=
Dividendo per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
( ) 32
2
1
21
2
2
1
1
1
ln4
2
2
1
CRrCrCrw
rCrC
drdw
CrCdrdwr
rCdrdwr
drd
Cdrdwr
drd
r
+
+⋅=
+⋅=
+⋅=
⋅=
=
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0
Piastra libera da carichi01
=
drdwr
drd
rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q
( ) 32
2
1
21
2
2
1
1
1
ln4
2
2
1
CRrCrCrw
rCrC
drdw
CrCdrdwr
rCdrdwr
drd
Cdrdwr
drd
r
+
+⋅=
+⋅=
+⋅=
⋅=
=
( )
( )
( )22
12
2
21
32
2
1
2
ln4
rCC
drrwd
rCrC
drrdw
CRrCrCrw
−=
+⋅=
+
+⋅=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
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3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
2
2
0
20
rpQ
rprQ⋅
=
⋅⋅=⋅⋅ ππ
Q
r
p
Equazioni risolvente 1Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
1
20
41 C
Drp
drdwr
drd
r+=
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
rCDrp
drdwr
drd
CDrp
drdwr
drd
r
1
30
1
20
4
41
+=
+=
Moltiplicando per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
2
2
1
40
1
30
1
20
216
4
41
CrCDrp
drdwr
rCDrp
drdwr
drd
CDrp
drdwr
drd
r
++=
+=
+=
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
rCrC
Drp
drdw
CrCDrp
drdwr
rCDrp
drdwr
drd
CDrp
drdwr
drd
r
21
30
2
2
1
40
1
30
1
20
216
216
4
41
++=
++=
+=
+=
Dividendo per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
( ) 32
2
1
40
21
30
2
2
1
40
1
30
1
20
ln464
216
216
4
41
CRrCrC
Drprw
rCrC
Drp
drdw
CrCDrp
drdwr
rCDrp
drdwr
drd
CDrp
drdwr
drd
r
+
++=
++=
++=
+=
+=
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/2
Piastra soggetta a pressione uniforme p0
( )
( )
( )221
20
2
2
21
30
32
2
1
40
2163
216
ln464
rCC
Drp
drrwd
rCrC
Drp
drrdw
CRrCrC
Drprw
−+=
+⋅+=
+
+⋅+=
Drp
drdwr
drd
rdrd
21 0=
( ) 32
2
1
40
21
30
2
2
1
40
1
30
1
20
ln464
216
216
4
41
CRrCrC
Drprw
rCrC
Drp
drdw
CrCDrp
drdwr
rCDrp
drdwr
drd
CDrp
drdwr
drd
r
+
++=
++=
++=
+=
+=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3
Piastra soggetta a carico costante P0
Q
rRisultante = P0
rPQ
PrQ
⋅=
=⋅⋅
π
π
2
2
0
0
Equazioni risolvente 1rD
Pdrdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
10 ln
21 C
Rr
DP
drdwr
drd
r+
=
π
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
rCRrr
DP
drdwr
drd
CRr
DP
drdwr
drd
r
⋅+
=
+
=
10
10
ln2
ln2
1
π
πMoltiplicando per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
2
2
12020
10
10
216ln
4
ln2
ln2
1
CrCrD
PRrr
DP
drdwr
rCRrr
DP
drdwr
drd
CRr
DP
drdwr
drd
r
+⋅+−
=
⋅+
=
+
=
ππ
π
π
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
rCrCr
DP
Rrr
DP
drdw
CrCrD
PRrr
DP
drdwr
rCRrr
DP
drdwr
drd
CRr
DP
drdwr
drd
r
21
00
2
2
12020
10
10
216ln
4
216ln
4
ln2
ln2
1
+⋅+−
=
+⋅+−
=
⋅+
=
+
=
ππ
ππ
π
π
Dividendo per «r»
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
( ) 32
2
1202020
21
00
2
2
12020
10
10
ln43232
ln8
216ln
4
216ln
4
ln2
ln2
1
CRrCrCr
DPr
DP
Rrr
DPrw
rCrCr
DP
Rrr
DP
drdw
CrCrD
PRrr
DP
drdwr
rCRrr
DP
drdwr
drd
CRr
DP
drdwr
drd
r
+
+⋅+−−
=
+⋅+−
=
+⋅+−
=
⋅+
=
+
=
πππ
ππ
ππ
π
π
Integrando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 - Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
( )
( ) 32
2
12020
32
2
1202020
21
00
2
2
12020
10
10
ln416
ln8
ln43232
ln8
216ln
4
216ln
4
ln2
ln2
1
CRrCrCr
DP
Rrr
DPrw
CRrCrCr
DPr
DP
Rrr
DPrw
rCrCr
DP
Rrr
DP
drdw
CrCrD
PRrr
DP
drdwr
rCRrr
DP
drdwr
drd
CRr
DP
drdwr
drd
r
+
+⋅+−
=
+
+⋅+−−
=
+⋅+−
=
+⋅+−
=
⋅+
=
+
=
ππ
πππ
ππ
ππ
π
π
Semplificando
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3 - Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
( )
( ) 32
2
12020
32
2
1202020
21
00
2
2
12020
10
10
ln416
ln8
ln43232
ln8
216ln
4
216ln
4
ln2
ln2
1
CRrCrCr
DP
Rrr
DPrw
CRrCrCr
DPr
DP
Rrr
DPrw
rCrCr
DP
Rrr
DP
drdw
CrCrD
PRrr
DP
drdwr
rCRrr
DP
drdwr
drd
CRr
DP
drdwr
drd
r
+
+⋅+−
=
+
+⋅+−−
=
+⋅+−
=
+⋅+−
=
⋅+
=
+
=
ππ
πππ
ππ
ππ
π
π
Conglobando in C1
( ) 32
2
120 ln
4ln
8C
RrCrC
Rrr
DPrw +
+⋅+
=
π
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Integrali generali/3
Piastra soggetta a carico costante P0
rDP
drdwr
drd
rdrd
⋅=
π21 0
( )
( )
( )22100
2
2
21
00
32
2
120
283ln
4
28ln
4
ln4
ln8
rCC
DP
Rr
DP
drrwd
rCrCr
DP
Rrr
DP
drrdw
CRrCrC
Rrr
DPrw
−++
=
+⋅++
=
+
+⋅+
=
ππ
ππ
π
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Condizioni al contorno/1
Tipiche CC
R0
R0
(a)
(b)
(c)
0)(0)(
0
=
=
=Rrdrrdw
Rw
Incastro
Appoggio 0)()(
0)(
0
2
2
0
=
+
=
=Rrdrrdw
rdrrwd
Rw
ν
Asse simmetria 0)(
0
=
=rdrrdw
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Condizioni al contorno/2
Tipiche CC
Estremo libero al raggio R0
R0
R01
2
(d)
(e)
Confine tra piastre diverse al raggio R0
( ) ( )00
21
0201 )()(
RrRr drrdw
drrdw
RwRw
==
=
=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
R
p ( )
( )
( )
=
=
=
=
=
0
0
0
0r
Rr
rrdw
rrdw
Rw
CC
( )
( )r
CrCDrp
drrdw
CRrCrC
Drprw
21
30
32
2
1
40
216
ln464
+⋅+=
+
+⋅+=
=
=
−=
→
=
=+⋅+
=+⋅+
DRpC
C
DRpC
CR
CRCDRp
CRCDRp
CC
64
0
8
00
0216
0464
40
3
2
20
1
2
21
30
3
2
1
40
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/2
R
p
( )
( ) ( )
DRpww
rRD
prw
DRpr
DRp
Drprw
64)0(
64
643264
40
max
2220
402
20
40
==
−=
+−=
3.02100001515005.1 0
=====
νMPaEmmhPapmR
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/2
R
p
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )8
16100
1631
1611
163
1611
16163
1616
20
max
20
20
20
2
2
20
20
2
2
20
20
2
2
20
30
RpRMM
RpMM
rpRpdr
wddrdw
rDM
rpRpdrdw
rdrwdDM
DRp
Drp
drwd
rDRp
Drp
drdw
rr
rr
rr
==
+==
+−
+=
+−=
+−
+=
+−=
−=
−=
ν
ννν
ννν
θθ
θθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/3
R
p
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
20
max_
max_max_
2max_
2max_
43
,max
6
6
hRp
rh
rMr
hrMr
id
rrid
rrrr
⋅=
=
=
=
σ
σσσ
σ
σ
θθ
θθθθ
Valori massimi sullo spessore
Valore massimo sull’intera piastra
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo esterno/1
RM0 ( )
( )
( )
=
=
=
=
0
0
0
0
r
rr
rrdw
MRM
Rw
CC
( )
( )
+=
=
+−=
→
=
=
+⋅+−−
=+⋅
DRMC
C
DMC
C
MRCC
RCCD
CRC
CC
ν
ν
νν
12
0
12
00
22
04
20
3
2
01
2
0221
221
3
2
1
( )
( )
( )221
2
2
21
32
2
1
2
2
ln4
rCC
drrwd
rCrC
drrdw
CRrCrCrw
−=
+⋅=
+
+⋅=
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo esterno/1
RM0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )DRMw
rRD
MRD
MrD
Mrw
ν
ννν
+=
−+
=+
++
−=
12
121212
20
max
2202020
mmNMMPaE
mmhPapmR⋅
===
===
1503.0210000
1515005.1
0
0
ν
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo esterno/1
RM0
( )
( )
( ) ( )
02
2
000
2
2
02
2
0
1
111
1
1
Mdr
wddrdw
rDM
MMMdrdw
rdrwdDM
DM
drwd
rD
Mdrdw
rr
=
+−=
=
+
++
=
+−=
+−=
+−=
ν
νν
νν
ν
ν
θθ
Momenti (e tensioni) costanti su tutta la piastra
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1Rp
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1
R
p
Rp
R(p∙R2)/8
(p∙R2)/8
=
+
Sovrapposizione di due problemi di cui si conosce la soluzione
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1Rp
( ) ( )2220
64rR
Dprw −= ( ) ( ) ( )22
20
116rR
DRprw −+
=ν
( ) ( ) ( ) ( )222
02220
11664rR
DRprR
Dprw −
++−=
ν
( ) ( )
( ) ( )816
3116
1
8163
161
20
20
20
20
20
20
RprpRpM
RprpRpM rr
+
+−
+=
+
+−
+=
νν
νν
θθ
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1Rp
07.415
15
64
40
max
=
++
++
=
νν
νν
DRpw
65.12
32
34
32
20
max_
=
+
+
⋅=
ν
νσhRp
id
+
=2
38
20
max_ν
θθRpM
Co
rso
di
“Co
stru
zio
ne
di
Ap
par
ecch
iatu
re C
him
ich
e”A
nn
o a
cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo con rinforzo centrale rigido soggetto a carico P0/1
R
P0
R0
( )
( )
( )
=
=
=
=
=
0
0
0
0Rr
Rr
rrdw
rrdw
Rw
CC
=+⋅++
=+⋅+
=+⋅
028
ln4
028
04
0
2010
000
0
21
0
3
2
1
RCRCR
DP
RRR
DP
RCRCR
DP
CRC
CC
ππ
π
( )
( )r
CrCrD
PRrr
DP
drrdw
CRrCrC
Rrr
DPrw
21
00
32
2
120
28ln
4
ln4
ln8
+⋅++
=
+
+⋅+
=
ππ
π
Co
rso
di
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par
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nn
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cacd
emic
o2
01
3-1
4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche
Piastra circolare incastrata al bordo con rinforzo centrale rigido soggetto a carico P0/1
R
P0
R0
⋅−
−−
−=
⋅−
−−
−−=
⋅−
−−
=
RR
RRR
RRRR
DPC
RR
RRR
RRRR
DP
DRPC
RR
RRR
RRR
DPC
020
20
2
220
2200
3
020
20
2
220
20
20
20
2
020
20
2
220
200
1
ln216
ln288
ln24
π
ππ
π
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