View
216
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/26/2019 lfa7
1/26
Notiuni de aritmetica fuzzyCapitolul 7
Doru Todinca
Departamentul CalculatoareUPT
http://find/7/26/2019 lfa7
2/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/http://goback/7/26/2019 lfa7
3/26
Surse
Acest curs contine definitii, exemple, formule, etc, preluate (si
prelucrate) din cartea Arnold Kaufmann, Madan M. Gupta, Anintroduction to fuzzy arithmetic: theory and applications, VanNostrand Reinhold, 1991, [KG91].
http://find/7/26/2019 lfa7
4/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/7/26/2019 lfa7
5/26
Intervale de incredere (confidence intervals): definitii
In multe situatii practice despre o anumita marime putemafirma doar ca este situata intre doua valori, a1, a2 R,a1 a2
Definitie: un astfel de interval de numere reale se numesteinterval de incredere (confidence interval) si se noteazaA= [a1, a2]
Un astfel de interval poate fi deschis la unul sau ambele
capete sau chiar unul sau ambele capete pot fi sau +
http://find/7/26/2019 lfa7
6/26
Operatii cu intervale de incredere: adunarea si scaderea
Daca stim ca x [a1, a2], y [b1, b2] (unde A= [a1, a2] siB= [b1, b2]), ce putem spune despre x+y, x y, x y,
xy
?
(despre x y si xy
putem discuta doar in R+)
Evident, x+y [a1+b1, a2+b2]
Notam A(+)B= [a1+ b1, a2+ b2],A()B= [a1 b2, a2 b1]
Ca si caz particular de scadere avem imaginea (opusul) unuiinterval de incredere A dat de A = [a2,a1]
Observam ca A(+)A = [a1 a2, a2 a1] = 0 in general,unde intervalul 0 se defineste ca fiind 0 = [0, 0]
In general orice numar real t R se poate reprezenta cainterval de incredere in forma [t, t]
Adunarea intervalelor de incredere in R formeaza un semigrup(monoid) comutativ, adica este asociativa, comutativa, are
element neutru (pe 0 = [0, 0]), dar are opus (invers)
http://find/7/26/2019 lfa7
7/26
Operatii cu intervale de incredere: inmultirea si impartirea
Operatiile de inmultire si impartire a intervalelor de increderese definesc in R+ asrfel:A()B= [a1, a2] [b1, b2] = [a1 b1, a2 b2]A(:)B= [a1, a2](:)[b1, b2] = [
a1b2, a2b1
], unde b1, b2 = 0
In general se defineste inversul intervalului A= [a1, a2] cafiind A1 = [ 1
a2, 1a1
], unde a1, a2 = 0
Inmultirea intervalelor de incredere in R+ este asociativa,comutativa, are element neutru (pe 1 = [1, 1]), dar nu este
inversabila pentru caA(:)A=A()A1 = [a1, a2](:)[a1, a2] = [
a1a2, a2a1
] = [1, 1] = 1
http://find/7/26/2019 lfa7
8/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/7/26/2019 lfa7
9/26
Numere fuzzy: definitii
Definition
Un numar fuzzy inR
este o multime fuzzy inR
care e normala siconvexa.
Kaufmann si Gupta considera ca un numar fuzzy consta inasocierea dintre intervale de incredere si nivele de prezumtie
(presumption levels, levels of presumptions): Se considera ca pentru = 1 avem prezumtia maxima privind
valoarea numarului fuzzy, iar pentru = 0 avem nivelul minimde prezumtie
[0, 1] se poate stabili un nivel de prezumtie
A = [a()1 , a()2 ]
Trebuie sa fie indeplinita conditia ca atunci cind cresteintervalul de incredere sa NU creasca, adica, daca 1 2 saaiba loc [a
(2)1 , a
(2)2 ] [a
(1)1 , a
(1)2 ]
http://find/7/26/2019 lfa7
10/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/7/26/2019 lfa7
11/26
Observatii generale
Operatiile cu numere fuzzy se vor defini in doua moduri, caresunt echivalente:
Pe baza principiului extensiei Pe baza nivelelor de prezumtie, care sunt echivalente cu
taieturile de nivel ale unui numar fuzzy
Se poate demonstra ca cele doua moduri de a defini operatiilecu numere fuzzy sunt echivalente
Se foloseste faptul ca orice multime fuzzy este reuniunea
tuturor taieturilor sale de nivel , cu [0, 1]
http://find/7/26/2019 lfa7
12/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/7/26/2019 lfa7
13/26
Adunarea numerelor fuzzy
Definition
Fiind date doua numere fuzzyAsi
B in
R, se defineste suma lorA B in felul urmator: x, y, z R
AB(z) = supz=x+y
(min(A(x), B(y)))
, sau, folosind notatiile din [KG91],AB(z) =
z=x+y
(A(x) B(y))
Definition
Folosind taieturi de nivel , adunarea a doua numere fuzzy sedefineste: A(+)B = [a1 , a
2 ](+)[b
1 , b
2 ] = [a
1 +b
1 , a
2 +b
2 ]
Operatiile din prima definitie se folosesc pentru numere fuzzydiscrete (de exemplu in Z), iar a doua definitie pentru numerefuzzy continue (in R).
http://find/7/26/2019 lfa7
14/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/7/26/2019 lfa7
15/26
Scaderea numerelor fuzzy
Se defineste:x, y, z R
AB(z) = supz=xy(min(A(x), B(y)))
sau:A()B = [a1 , a
2 ]()[b
1 , b
2 ] = [a
1 b
2 , a
2 b
1 ] deoarece
B = [b1 , b2 ] = [b2 ,b
1 ]
http://find/7/26/2019 lfa7
16/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
http://find/7/26/2019 lfa7
17/26
Inmultirea numerelor fuzzy
Se defineste in R+:x, y, z R
AB(z) = supz=xy
(min(A(x), B(y)))
sau:A()B = [a1 , a
2 ]()[b
1, b
2 ] = [a
1 b
1 , a
2 b
2 ]
C
http://find/7/26/2019 lfa7
18/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
I i l f
http://find/7/26/2019 lfa7
19/26
Impartirea numerelor fuzzy
Se defineste in R+:x, y, z R
AB
(z) = supz=x/y
(min(A
(x), B
(y)))
sau:A(/)B = [a1 , a
2 ](/)[b
1, b
2 ] = [
a1b2
, a2b1
] deoarece
B1 = [b1 , b
2 ]1 = [ 1
b2, 1b1
]
N f i l i i i l b i
http://find/7/26/2019 lfa7
20/26
Numere fuzzy speciale si proprietati algebrice
Un singleton tse poate extinde sub forma unui nr fuzzy t
Numere fuzzy speciale sunt 0 si 1
Adunarea numerelor fuzzy in R este asociativa, comutativa,
are element neutru (numarul fuzzy 0), dar nu este inversabiladeoarece in general A A = 0
Inmultirea numerelor reale in R+ este asociativa, comutativa,are element neutru (numarul fuzzy 1), dar nu este comutativa
deoarece in generalA A
= 1
C i
http://find/7/26/2019 lfa7
21/26
Cuprins
Intervale de incredere
Numere fuzzy
Operatii cu numere fuzzyAdunarea numerelor fuzzyScaderea numerelor fuzzyInmultirea numerelor fuzzy
Impartirea numerelor fuzzyExemple de operatii cu numere fuzzy
O tii f di t
http://find/7/26/2019 lfa7
22/26
Operatii cu numere fuzzy discrete
Pt operatii fuzzy discrete se aplica primul set de formule si se
lucreaza pe baza principiului extensiei (ca in exemplul dincursul 3, de la Principiul extensiei).
Pentru adunare si scadere se procedeaza exact ca in acelexemplu: se cauta toate perechile de numere x si ya carorsuma sau diferenta este zsi se aplica principiul extensiei
La inmultire (doar pt numere pozitive) ramin valori intregicare nu sunt produsul a doua numere. Ele se completeazaastfel incit functia de apartenenta a produsului, (z) sa fiecrescatoare in stinga valorii pt care (z) = 1 si descrescatoare
in dreapta. Va rezulta un numar in trepte, dar care NU va fi
descrescator in stinga valorii maxime si NU va fi crescator indreapta ei.
O e atii c e e f co ti e i R es ecti R+
http://find/7/26/2019 lfa7
23/26
Operatii cu numere fuzzy continue in R, respectiv R+
Pt numere fuzzy continue se lucreaza cu taieturi de nivel
In general un nr fuzzy este dat in forma:
A(x) =
0, daca x l1
f1(x), daca l1 x l2
f2(x), daca l2 x l3
0, daca l3 x
, unde f1 e crescatoare, iar f2 e descrescatoare
DESEN ! Se face =f1(a
1 ) si rezulta a
1 =f
11 () si similar
din =f2(a2 ) rezulta a
2 =f
12 ()
Operatii cu numere fuzzy continue in R respectiv R+
http://find/7/26/2019 lfa7
24/26
Operatii cu numere fuzzy continue in R, respectiv R+
similar se da al doilea numar fuzzy:
B
(x) =
0, daca x m1
g1(x), daca m1 x m2
g2(x), daca m2 x m3
0, daca m3 x
, unde g1 e crescatoare, iar g2 e descrescatoare
Se face =g1(b1 ) si rezulta b
1 =g
11 () si similar
din =g2(a2 ) rezulta b
2 =g
12 ()
Apoi se face A
B
= [a
1 , a
2 ]
[b
1 , b
2 ] = [c
1, c
2], undeoperatia poate fi adunare, scadere, inmultire sau impartire
Din = h1(c1) si respectiv din=h2(c
2) se obtin functiile
de apartenenta ale numarului fuzzy rezultat, pe intervale:y=h1(x) si y=h2(x)
Exemple pentru numere fuzzy triunghiulare
http://find/7/26/2019 lfa7
25/26
Exemple pentru numere fuzzy triunghiulare
Un nr fuzzy triunghiular se noteaza [m1, m2, m3], undem1 m2 m3 R (sau R+ pt inmultire si impartire)
Adunarea si scaderea a 2 nr fuzzy dau tot un nr fuzzy,
Coordonatele sunt suma coordonatelor cu acelasi indice ptadunare
La scadere se face adunarea cu opusul, care e[m3,m2,m1]
Coordonatele se calculeaza similar pt inmultire, adica prininmultirea coordonatelor cu acelasi indice, doar ca inmultirea
si impartirea nu pastreaza liniaritatea. La impartire se inmulteste primul numar fuzzy cu opusul celui
de-al doilea, care este dat de [ 1m3
, 1m2
, 1m1
]
Arnold Kaufmann and Madan M Gupta.
http://find/7/26/2019 lfa7
26/26
pIntroduction to fuzzy arithmetic: theory and applications.Van Nostrand Reinhold, 1991.
http://find/Recommended