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Lições de Cálculo Poliádico Tomo I Volume I
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LIÇÕES
DE
CÁLCULO
POLIÁDICO
TOMO I - ÁLGEBRA VOLUME I
por
Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri Engenheiro Civil pela Escola de Minas de Ouro Preto
Furnas Centrais Elétricas SA Centro Tecnológico de Engenharia Civil – DCT.C
Goiânia (GO) – Brasil
2008
II
© 2008 - Elysio R. F. Ruggeri
Projeto gráfico e ilustrações: Elysio R. F. Ruggeri
Editoração eletrônica: Elysio R. F. Ruggeri
Capa: Luciano Dalmiglio e Elysio R. F. Ruggeri
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte em cada
página da reprodução.
Contato com o autor:
elysio.ruggeri@gmail.com
Ruggeri, Elysio Roberto Figueiredo.
Lições de cálculo poliádico : tomo I, volume I, álgebra /
Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri. – Goiânia : Ed.
do Autor, 2008.
XX, 444 p.
ISBN 978-85-907001-0-4
1. Análise tensorial. 2. Leis físicas lineares.
3. Matemática aplicada. I. Título.
CDU 514.742
III
À minha amada esposa, principal vítima da minha paixão descomedida,
Leila Maria;
e aos nossos resignados filhos (e meus netos),
Heloísa (Eiki, Kaito, Naoki), Renê, Elysio (Lucas e Paula), Marisa (João
Antônio e João Luis), Fabiano, Carolina (Eduarda), Galileo, Carla e Viviane,
com algum remorso pelos sacrifícios impostos.
À
ESCOLA DE MINAS DE OURO PRETO ...
onde, em 1876, floresceu a engenharia mineral nas Minas Gerais e no Brasil;
outrora a mais brilhante estrela na flâmula nacional da minha imaginação;
cujo "Anexo", saudoso, foi o credor do meu despertar consciente pela ciência;
cuja severa e eficaz filosofia de ensino, herdada da escola francesa de Gorceix e sustentada
pela vontade de D. Pedro II, desvanecendo-se paulatinamente, sucumbiu ingenuamente aos
93 anos.
Ao entusiasta, dinâmico e companheiro incomparável,
Prof. Dr. Walter José von Krüger (in memorian)
com admiração, respeito e gratidão pelo apoio incondicional na empreitada desse meu
trabalho idealista.
IV
GRATIDÃO
Ao meu ex-professor e amigo Dr. Antônio Moreira Calaes (in memorian), Professor
Emérito da UFOP, pelo incentivo e pela ajuda financeira no desenvolvimento desta
primeira fase do Projeto Poliádico, iniciado em abril de 1992. Ao Prof. Dr. Jerzy Tadeuz
Sielawa (ITA, INPE, EFEI), pelas oportunidades que tivemos para troca de opiniões e
informações relativas às aplicações do Cálculo Diádico. Aos professores do Departamento
de Geologia da UFOP: Dr. Antônio Gomes de Araújo, Dr. Fernando Flecha de Alkimim e
Dr. Issamu Endo pelo apoio concedido quando do início dos trabalhos de edição desse texto
(durante o ano de 1992) através do Laboratório de Computação Científica desse
Departamento. Aos meus colaboradores diretos nos primórdios dessa edição, universitário
Elysio G. Ruggeri e Eng. Renê G. Ruggeri, pelas inúmeras ajudas concedidas.
Aos empresários, presidentes e/ou diretores que, sem exigirem retorno ou
contrapartida para as suas empresas, simplesmente doaram o essencial em prol do ensino da
engenharia e da geração de conhecimento científico ... para o bem comum. Por tanta
generosidade e para que sejam sempre lembradas, deixo aqui registrados os nomes das
seguintes empresas: SAMITRI - Sociedade Anônima de Minerações Trindade, SAMARCO
Mineração S. A., MBR - Minerações Brasileiras Reunidas S. A., Mineração MORRO
VELHO S. A., CBMM - Companhia Brasileira de Mineração e Metalurgia, CST - Cia.
Siderúrgica de Tubarão, MAGNESITA S. A., ACESITA - Aços Especiais Itabira S. A.,
Grupo PARANAPANEMA e USIMINAS – Usinas Siderúrgicas de Minas Gerais S. A..
À FUNDAÇÃO GORCEIX - interveniente neste trabalho entre os anos 1992 e 2000
- na pessoa do seu Conselheiro-Diretor e ex-professor catedrático da antiga ESCOLA DE
MINAS de OURO PRETO, Dr. Walter José von Krüger.
Ao CENTRO TECNOLÓGICO DE ENGENHARIA CIVIL de FURNAS
CENTRAIS ELÉTRICAS S.A. pela acolhida generosa à minha causa (desde março de
2001), por ter propiciado a continuidade da redação desta obra (que se desenvolve desde
abril de 1992), por ter aberto espaço para pesquisas experimentais em seus conceituados
laboratórios e por procurar viabilizar aplicações de matérias deste Tomo I ao campo prático
da engenharia.
Goiânia, novembro de 2008.
E. Ruggeri
V
APRESENTAÇÃO
O Autor desta obra magnífica e pioneira em termos dos avanços da Matemática
Aplicada, - o Engenheiro e Ex-Professor Elysio Roberto Figueiredo Ruggeri - foi distinto
ex-aluno e proficiente auxiliar meu nas múltiplas atividades da Cátedra de que fui titular -
Geometria Analítica e disciplinas afins (Cálculo Vetorial - Cálculo Matricial - Geometria
Descritiva - Geometria Projetiva e Nomografia); e ainda, quando Estudante, nos idos de
1970, colaborou destacadamente na organização e instalação do C.P.D. da Escola de Minas
de Ouro Preto, iniciativa de minha autoria.
Mas prestou, também, eficiente e valiosa colaboração naquela mesma Escola (onde
havia se formado recentemente), nas atividades pertinentes de outras Cátedras, v. g. Física,
Resistência dos Materiais, Teoria de Estruturas etc.
Entretanto, seus pesados encargos familiares e injustos embaraços burocráticos
(estes mais onerosos com a criação da UFOP) tornaram impraticável, lamentavelmente, sua
permanência no quadro de docentes da Escola de Minas de Ouro Preto. Eis que, então, o
autor torna-se um engenheiro da construção pesada e desempenha esta função por vários
anos. Alem de construtor de estradas de rodagem e metrôs, foi, em especial, um construtor
de barragens; intitulava-se, parece-me que com certo orgulho, um "barrageiro".
A atual publicação desta obra, de tão importante valia técno-científica, é fiel
testemunho do quanto poderia o seu ilustre Autor ter proporcionado à renomada E.M.O.P.,
em termos do enriquecimento didático-científico de suas atividades.
Ademais há que se ressaltar a clareza, metodicidade e objetividade com que o Autor
soube ater-se na relação dos tópicos pertinentes dessa obra.
Obra tão meritória, oxalá produza frutos ubérrimos na Literatura Científica
Brasileira.
E ao seu autor uma consagração, ainda que tardia! ...
Belo Horizonte (MG), agosto de 2005.
Antônio Moreira Calaes
Professor Emérito
Universidade Federal de Ouro Preto
VI
PREFÁCIO
Algum filósofo já disse que toda matemática que explica não é integralmente
verdadeira, pois tem um fundo de inverdade. Portanto, essa nossa matemática pode ser
profana, embora pareça que, tendo-a como ponto de partida, comecemos a perceber
intuitivamente, mas ainda bem de longe e um pouco difusamente, alguns aspectos do
sublime maravilhoso, do inexplicável. Tão profana deve ser essa nossa matemática que,
com ela, somos suficientemente francos para nos declarar, de forma algo arrogante e pouco
habilidosa, um cientista empírico-analista. Essa postura é, talvez, uma condição necessária
para a conquista da ciência, podendo ter, eventualmente, algum valor num prelúdio a
alguma sapiência.
Estas "Lições" tenta atender as necessidades da ciência dos fatos; deve, pois, agradar
a maioria dos leitores que, como nós, estão comprometidos com o entendimento de fatos
concretos. Do ponto de vista didático, tudo aqui foi escrito com a finalidade de satisfazer
aos interessados e aplicados alunos dos cursos de graduação em Engenharia, Física e
Matemática (Aplicada).
Preferimos correr o risco de, eventualmente, levar à exaustão o leitor mais exigente e
mais preparado. Despreocupamo-nos, com efeito, com a extravagância da síntese, com a
compacidade do texto, com a violência do rigor lógico, tão apreciados pelos matemáticos,
mas que desalentam os noviços por não permitirem em geral o entendimento fácil e rápido.
Porfiamos o entendimento de conceitos eventualmente banais; conclamamos o leitor,
repetidas vezes, em benefício da inteligibilidade fácil do texto, à revisão de conceitos
emitidos a poucas e a muitas páginas atrás. Esmiuçamos. Isto talvez justifique certa
prolixidade do texto, mas esperamos não levar o leitor ao enfado.
A matéria é desenvolvida com o objetivo de atender à Física básica (a relativista e a
quântica excluídas),
da qual consideramos fazer parte a Geometria (de Euclides). Pois se o leitor observar que,
nesta Física, todas as grandezas conhecidas, sem exceção, são grandezas inerentes a P
direções, com P (finito) = 0, 1, 2, ..., - isso é, a nenhuma direção (P = 0), caso das grandezas
escalares; a uma direção (P = 1), caso das grandezas vetoriais; a pares de direções (P = 2),
caso das grandezas tensoriais de ordem 2 etc. - verá inicialmente que a entidade matemática
aqui criada e denominada "poliádico", inerente a várias direções (caso em que ela se dirá
de "valência P"), tem a missão específica de expressar matematicamente uma feição da
natureza. Se com essas entidades, das mais diferentes valências, definirmos adequadamente
certas operações (montando assim uma álgebra, tema desse tomo), o leitor concluirá que
realmente atingimos o objetivo pretendido.
Restará, apenas, discutir as vantagens dessas concepções (em grande maioria,
devidas a Gibbs) em relação às portentosas matemáticas ora existentes (Cálculo Tensorial e
Álgebra Linear) utilizadas eficazmente com a mesma finalidade à custa de generalidade e
aridez exacerbadas.
VII
O leitor certamente está familiarizado com o Cálculo Vetorial estudado nos cursos
de graduação em Engenharia, pois esse cálculo é básico para o estudo da Mecânica
Racional e do Eletromagnetismo. Possivelmente experimentou certo desconforto - uma
quebra de harmonia no desenvolvimento matemático da teoria - com a introdução do tensor
de inércia (de ordem 2) no estudo da dinâmica do corpo rígido uma vez que os seus
conhecimentos não iam alem dos vetores (tensores de ordem 1). Pelo mesmo motivo, o
mesmo desconforto pode ter sido experimentado com a introdução dos tensores de tensão
(de ordem 2), de deformação (de ordem 2) e o das constantes elásticas (de ordem 4) nas
relações tensão/deformação estudadas na Teoria da Elasticidade; ou, até, quando da
introdução do tensor viscoso das tensões na Mecânica dos Fluidos.
O leitor eventualmente replicará as questões colocadas, mas sucumbirão
irremediavelmente os seus argumentos, pois tudo depende da complexidade do problema
que se propõe estudar num curso de Engenharia. Afinal, os problemas de engenharia vão
desde o levantamento de uma simples parede de tijolos até a complexa análise do
desempenho (funcional, seguro, econômico, estético e ambiental) dos mais variados
materiais (sólidos ou fluidos, naturais ou artificiais) componentes dos mais diferentes
elementos dos engenhos, das artes e da própria natureza. O Cálculo Poliádico estabelece
certamente um suporte adequado, na medida necessária, para atender às necessidades dos
estudiosos dos problemas gradualmente complexos em engenharia. Com outros termos,
afirmamos seguramente que
o Cálculo Poliádico, bem dosado, faz-se necessário nos cursos de graduação em
Engenharia, apenas porque a heurística é uma propriedade da alma do engenheiro.
Montamos essa obra procurando auto-suficiência de conteúdo e manutenção de
uniformidade de procedimentos, nomenclatura e notação. Procuramos sempre dar
continuidade na exposição, do particular para o geral, criando, assim, uma estrutura
organizada em todos os níveis de necessidade, de forma que cada novo assunto lançado
tivesse como pré-requisito a familiaridade com assuntos expostos anteriormente. Isso exigiu
incluir nessa obra tudo o que fosse essencial do Cálculo Vetorial clássico.
No Cap. I- VETORES - estendemos o conceito clássico de sistema de vetores
recíprocos (do espaço tridimensional) ao conjunto dos vetores de direção comum (de um
espaço unidimensional) e de plano comum (de um espaço bidimensional). Abordando o
assunto seqüencialmente (sempre do particular para o geral), tivemos a surpresa de ter
conseguido uma exposição estruturalmente original, de ter encontrado uma nova dedução
da fórmula do duplo produto vetorial (§ 03.03) e a dedução de identidades (§ 05.02 e §
05.03) que generalizam as clássicas de Fibonacci e Lagrange (da Álgebra Superior).
Notável, ainda, é a relação entre os sistemas de vetores recíprocos e os grupos ortocêntricos
de pontos (§ 03.02 e § 03.03). Dificilmente tudo isso teria sido revelado sem a força dos
vetores recíprocos.
Estruturamos grande parte do Cap. II - DIÁDICOS - (até ao § 09) suportados pelos
sistemas de vetores recíprocos; dai em diante criamos os espaços diádicos (de até 9
dimensões), as bases diádicas e os sistemas de diádicos recíprocos, perseguindo
insistentemente certa "linha melódica" promissora em generalizações (no Cap. IV do
volume II). Algumas fórmulas e alguns diádicos, não referidos por Gibbs e seus seguidores,
VIII
são aqui apresentados pela primeira vez; desempenharão um importante papel no capítulo
seguinte. A dupla multiplicação pontuada de diádicos sugeriu a introdução de uma nova
operação com matrizes (§09.11), ampliada mais à frente (no §06.02 do Cap. IV do volume
II) para atender aos novos avanços. Por igual motivo foi necessário criar também novas
operações com os diádicos de um espaço diádico (§’s 11 a 13), algo isomórficas de algumas
operações com os vetores, bem como ampliar adequadamente o conceito de permutador
(§14).
Exceto pelo fato de termos que atender necessidades matemáticas de ordens
estrutural e lógica, não nos consideramos satisfeitos com a utilidade prática dos assuntos
tratados no final desse capítulo II (§ 10 em diante). Pensemos fisicamente por um instante.
É certamente trivial para o leitor que qualquer força dada ao acaso possa ser uma
combinação linear de (não mais que) três outras forças independentes, escolhidas
arbitrariamente (já que estas formariam uma base de referência de forças). Então, a
matemática desenvolvida no final deste capítulo sugere, intuitivamente, que deva ser válida
a seguinte proposição: qualquer tensão, dada ao acaso (dentre todas as tensões suportadas
por um corpo físico), deve ser uma combinação linear de nove outras tensões independentes
(na verdade, seis, por questão de simetria) escolhidas arbitrariamente (desde que estas
formassem uma base de referência de tensões). Mas isto possivelmente não é trivial para o
leitor; além disso, contrariamente ao caso das forças, ele pode nem sequer conhecer a
utilidade prática da proposição. Mas não julga o leitor, por outro lado, que essa questão, no
seu aspecto físico mais geral, merece ser judiciosamente respondida? Não acha também, de
imediato, que esses conceitos podem ser estendidos - até com certa facilidade - para as
demais grandezas (de outras ordens) existentes na Física? Não será isso ... prático, útil?
A criação (algébrica) do espaço diádico e a introdução dos conceitos de norma,
módulo e ângulo de diádicos sugeriram associar a esse espaço “idéias geométricas
primárias” sobre as quais se pudesse erigir uma autêntica geometria euclidiana de até nove
dimensões, como uma extensão da geometria de três dimensões. Isto foi esboçado nos §’s
10.03 a 10.05 e §11.02. No §15 estudamos as projeções no espaço diádico e no § 16
esboçamos uma ligeira introdução à Geometria Analítica desse espaço. A partir disso fica
estabelecida uma Geometria Euclidiana N-dimensional para ser usada na física dos
problemas envolvendo grandezas diádicas (ou tensoriais de ordem dois); na Teoria da
Elasticidade, por exemplo.
No Cap. III - GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR - apresentamos
uma definição de tensor de ordem 2 (§02), preparando uma generalização a ser feita no
capítulo seguinte (Cap. IV do volume II). Buscamos, com mudança de bases, sistemas
convenientes (de bases vetoriais recíprocas) de representação de um diádico e de estudo de
uma transformação linear (TL); estudamos, então, os elementos característicos dos diádicos
(§03). Isto nos leva às reduções canônicas dos diádicos (§04) e a uma descrição das TL's
por essas reduções (§05). Percorrendo essa trilha natural, o diádico de rotação (que rege a
clássica transformação geométrica das figuras por rotação) aparece vinculado e como um
caso particular de uma rotação mais geral denominada elíptica, esta regida por um diádico
cíclico. Assim, alguns teoremas clássicos relativos a produto de rotações circulares tornam-
se corolários de teoremas mais gerais relativos a produtos de rotações elípticas (§06.03).
Por esse capítulo, sempre apoiados numa interpretação geométrica, entendemos, ainda, ter
"quebrado o tabu das bases ortonormadas". De fato, mostramos, em definitivo, de uma
forma simples e elegante, que a análise dos problemas físicos em bases quaisquer apresenta
IX
o mesmo grau de facilidade (ou de dificuldade) que em relação a qualquer outra base
particular. Visto também, por outro lado (§04 e §05,I), que as bases ortonormadas nem
sempre simplificam cálculos, nem sempre são convenientes e nem sempre são necessárias,
concluímos que a adoção rotineira de bases quaisquer é a forma mais elegante, a mais
lógica, e, principalmente, a mais segura de tratar os problemas (físicos ou geométricos).
Isto, entretanto, não implica que as bases ortonormadas devam sempre ser rejeitadas;
apenas que sejam utilizadas quando naturalmente necessárias. Com efeito, é o que
comprovamos no estudo das rotações circulares (§06), no estudo da redução normal e da
decomposição polar de um diádico completo (§07), de extrema utilidade em mecânica de
materiais. O leitor arguto certamente já terá pensado em estender esses conceitos aos
poliádicos em geral (assunto do Cap. IV do volume II) mas, certamente, tal como nós,
estará interessado na sua utilidade prática. Parece-nos que, ainda por um bom tempo,
deveremos insistir em estudos para responder a essas colocações.
A utilidade desta matéria é inquestionável. As aplicações serão expostas futuramente
em volume a parte, acompanhadas de um resumo dos conceitos, operações e principais
fórmulas. Algumas aplicações aqui expostas, dispensáveis numa primeira leitura, foram
dispostas entre o sinal onde começam e o sinal onde terminam.
Os que estiverem acostumados ao cálculo tensorial perceberão as diferenças de
estilo e certamente não hesitarão em migrar para o estilo simples e elegante do poliádico,
especialmente porque neste não se apela necessariamente para qualquer sistema de
referência. Os métodos poliádicos são estritamente geométricos.
Para o cientista empírico-analista esta nova abordagem pode gerar certo fascínio por
questões ainda não abordadas classicamente, como pequenos mistérios. Na pior das
hipóteses buscaremos um maior e melhor entendimento de “problemas já colocados” dentro
da Física Linear (e da Geometria) de que, em geral, nos valemos em Física Aplicada e
Engenharia. Mas poderemos dar, também, um passo interessante em direção à formulação
da Física Não Linear do futuro cujas leis poderão ser certamente expressas de uma forma
elegante e compacta pelos métodos poliádicos do presente, generalíssimos, abundantes e de
generosa simplicidade matemática frente a tanta complexidade física.
Complexidade física é a regra em muitas das ciências das quais se valem os
engenheiros, dentre outras: a Geologia Estrutural, a Geofísica, a Mecânica dos Meios
Porosos, o Cálculo das Estruturas, a Mecânica das Rochas e dos Solos, a Física dos
Cristais, a Ciência dos Materiais, o Eletromagnetismo etc., cujas bases vêm sendo
magistralmente unificadas, desde a segunda metade do século XX, na Física dos Meios
Contínuos. Disciplina desconhecida, o Cálculo Poliádico desponta como uma das mais úteis
e simples ferramentas de trabalho na Física Aplicada e na Engenharia. Idealizado por Gibbs
por volta de 1890, é um cálculo mais geral, tão geometrizado quanto o Cálculo Vetorial
clássico que, parece, foi adaptado à Física, entre 1870 e 1900, por Gibbs e Heaviside, das
obras de Hamilton e Grassman1. É, ainda, esse Cálculo Poliádico menos abstrato e bem
menos algebrizado que o seu parente um pouco mais jovem, o Cálculo Tensorial (de Ricci e
1 Segundo Crowe, M. J., A History of Vector Analysis, Dover, 1967: 1) - Grassmann, H. G., Die
Ausdehnungslehere, Berlin, 1844; 2) – Hamilton, W. R., Lectures on Quaternions, 1848 (os quaterniuos foram
descobertos em 1843).
X
Civita) que vem adquirindo as suas feições em partes específicas. O Cálculo Poliádico é o
Cálculo Tensorial exposto em bases geométricas, com estrutura própria e na medida certa
para a abordagem de problemas de engenharia.
... E isso basta para justificar a canonização de, pelo menos, os Elementos de
Cálculo Poliádico nos cursos de Engenharia ..., mas de engenharia de concepção e
desenvolvimento de engenhos, ... aquela engenharia pura, judiciosamente temperada com
economia, funcionalidade, segurança, ecologia e arte.
Goiânia (GO), outubro de 2008
E. R. F. Ruggeri
XI
CONVENÇÕES
NUMERAÇÕES DIVERSAS
Os capítulos, numerados seqüencialmente em romano, são compostos por parágrafos
e estes por subparágrafos numerados seqüencialmente em arábico (como §01, ou §03.01).
As páginas são numeradas seqüencialmente, em arábico, por capítulo.
As figuras são numeradas seqüencialmente dentro de cada parágrafo e de cada
capítulo. Assim, Fig. 02.03 significa a terceira figura dentro do § 02 do capítulo onde foi
feita essa referência (podendo existir figuras com o mesmo número em diversos capítulos).
A referência Fig. 02.03, III, feita em qualquer capítulo que não o III, é relativa à terceira
figura do § 02 do capítulo III.
As fórmulas são numeradas seqüencialmente, em arábico, dentro de cada parágrafo
ou subparágrafo, conforme as conveniências; esses números são dispostos entre parênteses.
Quando derivam diretamente de uma mesma fórmula (a matriz), são representadas com o
mesmo número desta, acompanhado de um subíndice; assim (021) é o número de uma
fórmula que deriva de (02), como pode ser encontrado no §02.04 do Cap. I.
Um conjunto de fórmulas pode ter um mesmo número (ver, por exemplo, as
fórmulas (09) do §02.02 do Cap. I). Como regra, imaginando-as numeradas mentalmente da
esquerda para a direita, ou de cima para baixo, na seqüência 1,2,..., a referência à fórmula
de ordem N do conjunto a que pertence será feita indicando o número N, como sub-índice,
à direita e externamente aos parênteses que envolvam o número do conjunto. Assim, a
citação (09)1 no texto é, apenas, uma referência à primeira fórmula do conjunto (09) e não
representará número de nenhuma fórmula especificamente; isso é, (09)1 e (091) têm
significados totalmente distintos.
CITAÇÕES E REFERÊNCIAS
Durante a leitura do texto o leitor será ajudado relativamente à localização de
conceitos, fórmulas, figuras etc. que estejam sendo referidas ou citadas; isto será feito com
a indicação entre parênteses, do parágrafo ou subparágrafo onde se encontre o referido
conceito, ou fórmula, ou assunto. Assim, por exemplo, ((02)3, § 03.02, II) representa: a
terceira fórmula do grupo de fórmulas (02), apresentada no segundo subparágrafo do § 03
do Cap. II. As referências, ou apelos, a fórmulas, conceitos etc. contidas dentro do capítulo
em que se faz a referência serão desprovidas da indicação do capítulo.
ABREVIATURAS
CNS - Condição necessária e suficiente (CsNsSs para o plural), pagina 15.
EN - Espaço vetorial euclidiano N dimensional, paginas 47, 59.
Teor. - Teorema, pagina 22.
Corol. - Corolário, pagina 23.
Propr. - Propriedade, pagina 19.
nsn - Não simultaneamente nulo, pagina 30.
Min - Mínimo, menor, pagina 419.
Med - Médio, pagina 419.
Max - Máximo, maior, pagina 419.
sen, cos, tg - linhas trigonométricas circulares, paginas 11, 14.
XII
SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS
SÍMBOLOS REPRESENTAÇÃO TOM PÁGINA
Xi, Yj, A, B,
Números, variáveis numéricas, funções de valor
numérico, coordenadas de pontos e de vetores.
Natural 3,11,20
A o Vetor nulo Negrito 3
L u, v, ei ,ei, Vetores (sem seta) Negrito 3,11,14,17
F ab, aiei Díade, diádicos em forma N-nomial Negrito 72,78
A ... ,ˆ ,ˆ jiv Vetor e díade unitários Negrito 3,86
B I Operador de Argand (ver rodapé da página 129) Natural 129
E M Diádico de Moreira Negrito 96
T I J K Z, , ,
Operadores diádicos especiais Negrito 129
O Pau( , ) Par de diádicos de Pauly Natural 142
{e*} Base vetorial definida pelos vetores e1, e2, e3 Negrito 47
L
A
T
I
N
O
A Diádicos em geral Negrito 73,109
L ), ), ... Planos: Natural 91
F Diádico unidade, poliádico unidade Negrito
86
A Diádico nulo Negrito 86
B (i,) Diádico de rotação (de eixo i e ângulo ) Negrito 356
E Diádico de mudança de base Negrito 298
T Diádico ciclotônico Negrito
357
O ij,
ij Deltas de Kronecker Natural 49
ij, ijk, ijk Alternadores, ou Permutadores Natural 50
G Diádico cisalhante Negrito 362,365
R k Diádico de Argand Negrito 129
E
G {*} Base diádica definida por diádicos 1, 2, ... Negrito 224
O
XIII
SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS (Símbolos especiais envolvendo ou não letras latinas e gregas)
Todos os índices e todos os sinais constantes desta tabela são representados ao natural
SÍMBOLO
REPRESENTAÇÃO
PÁGINA
. Multiplicação escalar ou pontuada 11
Multiplicação vetorial ou cruzada 14
: Dupla multiplicação escalar ou pontuada 134 Dupla multiplicação vetorial ou cruzada 134 . Dupla multiplicação mista
134
. Dupla multiplicação mista 134
~ Adjunto (sobre-índice) 165
e * Símbolos que substituem . e . 134
Aproximadamente igual 322
Idêntico 70
[ ] Matriz 183
Det[A] Determinante da matriz A 229
| | Módulo, determinante 2,17
|| ||
Norma 158
{ } Base, matriz coluna 47,186
E, V Escalar e vetor do diádico 80
(x , y) Ângulo ou plano dos vetores x e y 12,15
(xyz), () Produto misto dos vetores x, y e z ou diádicos , e . 18,261
, , ,... Símbolos usuais da Teoria dos Conjuntos 7,23
A Texto B O texto é hipótese nos dois sentidos 24,30,40
|| , Paralelismo e perpendicularidade 15,12
Diádico cíclico 354
T Transposto ou conjugado do diádico 76
Adjunto do diádico 165
-1 Inverso ou recíproco do diádico 166
P Principal do diádico 168
2 Segundo do diádico 167
3 Terceiro do diádico 82
Hom() Homológico do diádico 96
l(x) Função linear vetorial do vetor x 70
< ... > Produto cruzado dos diádicos , , ..., 248
( ... ) Produto misto dos diádicos , , ..., 261
Cnp Combinações de n objetos tomados p a p 223, 243
EN Espaço de vetores, de dimensão N (N=1, ou 2, ou 3) 47
2EG Espaço de diádicos, de dimensão G (G N2) 224
XIV
SUMÁRIO
GRATIDÃO ..................................................................................................................................................... IV APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................................ V PREFÁCIO ....................................................................................................................................................... VI CONVENÇÕES ................................................................................................................................................ XI SIMBOLOGIA E NOTAÇÕES GERAIS ........................................................................................................ XII
CAPÍTULO I
VETORES § 01 - VETOR. .................................................................................................................................................... 1
§ 01.01 - Definição, notação. ............................................................................................................. 1 § 01.02 - Igualdade vetorial. .............................................................................................................. 3 § 01.03 - Alguns tipos de vetores. ...................................................................................................... 3 § 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. ................................................................... 3 § 01.05 - O uso dos vetores em Física. .............................................................................................. 4
§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES............................................................................... 5 § 02.01 - Adição de vetores. .............................................................................................................. 6
Soma de vetores. .............................................................................................................. 6 Propriedades da adição. .................................................................................................... 7
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. ............................................................................. 8 Produto de vetor por número real. .................................................................................... 8 Propriedades da multiplicação de vetor por número real. ................................................. 8
§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória. ...................................................... 10 § 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. .............................................................................. 11
Produto escalar. .............................................................................................................. 11 Propriedades da multiplicação escalar. ........................................................................... 11 Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores. ............................................ 13
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. ............................................................................. 14 Produto Vetorial. ............................................................................................................ 14 Propriedades da multiplicação vetorial. .......................................................................... 14 Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores. ........................................... 16 Identidade de Lagrange. ................................................................................................. 17
§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores. .................................................................................. 18 Produto misto. ................................................................................................................ 18 Propriedades da multiplicação mista. ............................................................................. 18 Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais. ................................................. 20
§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS. ................................................................................. 21 § 03.01 - Os VR de vetores paralelos. .............................................................................................. 22
Inversão na reta. ............................................................................................................. 22 Construção gráfica de vetores recíprocos na reta. ........................................................... 22 O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta. ..................................... 23 Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta. ........................................................... 24
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. ........................................................................................... 25 Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano. ................................................................ 25 Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano. ...................................................... 26 Grupo Ortocêntrico no plano .......................................................................................... 26 Propriedade fundamental de pares recíprocos. ............................................................... 27 Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares. ....................................................... 27 O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos. ................................. 29 Vetores término colineares. ............................................................................................ 31 Varias formas de equação da reta (no plano). ................................................................. 32 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano). ...................................... 33
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. .................................................................................... 34 Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço. ......................................................... 34
XV
Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço. .................................................... 35 Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos. .......................................................... 36 Dupla multiplicação vetorial (no espaço). ...................................................................... 37 Generalização da identidade vetorial de Lagrange. ........................................................ 37 O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos. ............................. 39 O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores. .................................................................. 41 Vetores término coplanares. ........................................................................................... 43 Várias formas de equação de um plano. ......................................................................... 44 A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço). .................................... 45
§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS. ........................................................................... 46 § 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. .............................................................................. 46
Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos. .............................................. 48 § 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores. ............................................................................... 49
Similarmente comprovaríamos que ................................................................................ 51 Produtos de Deltas de Kronecker. .................................................................................. 51 Produto de permutadores. ............................................................................................... 51
§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos. .......................................................... 52 § 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de vetores recíprocos. ........................ 55 § 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos. ....................................................................... 59
§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES. ............................................................................................. 59 § 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. ............................................................................. 59 § 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. ................................................ 62 § 05.03 - Generalização de identidades clássicas. ............................................................................ 64
§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS. .......................................................... 67 BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................................................. 68
CAPÍTULO II
DIÁDICOS § 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E DE VALOR VETOR. ....................... 69 § 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS. ...................................... 72
§ 02.01- Definições e notações. ....................................................................................................... 72 § 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos paralelos.......................................... 73 § 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. ................................................................... 73
Propriedades. .................................................................................................................. 74 § 02.04- O diádico como operador de uma T.L.. ............................................................................. 75 § 02.05 - Transposição diádica. ....................................................................................................... 76 § 02.06- Igualdade de diádicos. ....................................................................................................... 77 § 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos. ......................................................................... 78
O motivo de um diádico. ................................................................................................ 79 Casos de igualdade. ........................................................................................................ 79
§ 02.08- Invariantes primários de um diádico. ................................................................................. 80 O escalar e o vetor. ......................................................................................................... 80 O terceiro. ...................................................................................................................... 82
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. ................................................................ 85 Diádico unidade. ............................................................................................................ 86 Diádicos opostos ............................................................................................................ 88
§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS. .................................................................................... 89 § 03.01 - Definições e propriedades gerais. ..................................................................................... 89 § 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. ..................................................................... 94
Propriedades. .................................................................................................................. 96 § 03.03 - Diádicos de Moreira. ........................................................................................................ 96
Quadrângulo associado. ................................................................................................. 96 Quadrângulos transpostos. .............................................................................................. 98
§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS. ...................................................................................................................... 99 § 04.01 - Definição e propriedades. ................................................................................................. 99
Propriedades. .................................................................................................................. 99 § 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. ........................................ 101
XVI
§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS. ............................................................................. 107 § 05.01- Definição e propriedades. ................................................................................................ 107
Propriedades. ................................................................................................................ 107 § 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. ....................................................................... 110
Propriedades: ................................................................................................................ 111 § 05.03 - Terceiro e transposto de um produto. .............................................................................. 112 § 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. ................................................ 113
Exceções. ..................................................................................................................... 114 Produto nulo de diádicos não nulos. ............................................................................. 117
§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR. ........................................................ 121 § 06.01 - Definições e propriedades. .............................................................................................. 121
Propriedades. ................................................................................................................ 121 § 06.02- Fórmulas notáveis. ........................................................................................................... 124 § 06.03 - Escalar e vetor de r ..................................................................................................... 125 § 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. ............................................................................................... 126 § 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. ........................................................... 127
Interpretação geométrica do diádico de Argand. .......................................................... 128 Potências do diádico de Argand. .................................................................................. 129 Generalizações. ............................................................................................................ 131
§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS. ........................................................................................................... 134 § 07.01 - Definições e propriedades. .............................................................................................. 134
Propriedades. ................................................................................................................ 137 § 07.02 - Nulidade de duplos produtos. ......................................................................................... 140
Duplo produto nulo de diádicos não nulos. .................................................................. 141 Diádicos de Pauly. ........................................................................................................ 142 Diádicos ortogonais. ..................................................................................................... 144 Diádicos paralelos. ....................................................................................................... 145
§ 07.03 - Invariância. ..................................................................................................................... 146 § 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. ........................................................................ 147 § 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. ..................................... 153 § 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. ............................................................ 154
Dupla multiplicação mista de três diádicos. ................................................................. 155 Propriedades. ................................................................................................................ 156
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. .................................................... 158 § 08 - SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL. ........................................................................ 165
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. ............................................................................. 165 Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).................................. 169
§ 08.02 - Invariância e invariantes. ................................................................................................ 171 § 08.03 - Propriedades formais. ..................................................................................................... 171 § 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo). ...................................................... 176
Casos particulares......................................................................................................... 177 § 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. ................ 177 § 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. ................................................................... 179
§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA. ................................................................................... 180 § 09.01 - Definições. ...................................................................................................................... 180 § 09.02 - Matriz associada a um diádico. ....................................................................................... 182
Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos .............................................................. 187 § 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas ................................................... 187
Tábua de multiplicação de matrizes associadas a diádico ............................................. 188 § 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. ................................................................. 189 § 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana. ........................................................................ 191 § 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. ............................................................ 191
Expressões matriciais de . ........................................................................................ 192 Expressões matriciais de Ia e a .............................................................................. 192
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). ........................................................... 193 Quádrica centrada. ........................................................................................................ 196
§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. .......................................................................... 198 § 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana.............................. 200
Propriedades Gerais...................................................................................................... 201 Caracterização dos diádicos lineares. ........................................................................... 202
XVII
Caracterização dos ortolineares:. .................................................................................. 203 Caracterização dos planares. ........................................................................................ 204 Caracterização dos uniplanares e dos unilineares ......................................................... 205 Caracterização dos ortoplanares. .................................................................................. 206 Os diádicos antitriangulares e sua caracterização. ........................................................ 207
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. ........................... 210 § 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. ........................................................................ 215
§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS. ........................................................................................ 217 § 10.01 - Espaço diádico. ............................................................................................................... 217
Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos. ..................................................... 218 § 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. .............................. 223
Decomposição cartesiana de diádico em base diádica. ................................................. 226 Diádico posicional. ....................................................................................................... 227 Bases diádicas recíprocas. ............................................................................................ 229 Constituição de bases. .................................................................................................. 231 Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice). ................................... 232 Bases no espaço diádico simétrico. .............................................................................. 233 Bases no espaço diádico anti-simétrico. ....................................................................... 235 Bases diádicas ortonormadas. ....................................................................................... 237
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. ............................................................ 238 Biflechas ...................................................................................................................... 238 Independência de pontos e bases. ................................................................................. 239 União e interseção de espaços. ..................................................................................... 239 Graus de liberdade de um espaço diádico. .................................................................... 241
§ 10.04 – Ordem no espaço diádico. .............................................................................................. 242 § 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. ...................................................................................... 243
Direção e orientação. .................................................................................................... 243 Pontos impróprios (ou no infinito). .............................................................................. 243 Extensão de conceitos. ................................................................................................. 244 O paralelotopo. ............................................................................................................. 245 Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional. ......................... 246
§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA. PERPENDICULARIDADES. .................................... 246 § 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla. ..................................................................................... 246
Identidades notáveis ..................................................................................................... 251 § 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico............................................................................ 255
Ângulo de dois espaços. ............................................................................................... 256 Ortotopos...................................................................................................................... 256
§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G DIÁDICOS. ........................................ 256 § 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS. ............................................................ 261
Propriedades ................................................................................................................. 263 Produto misto de nove diádicos, dados em forma cartesiana. ....................................... 269 Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma
cartesiana. ....................................................................................................... 270 § 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES. .............................................................................................. 270 § 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO. .............................................................................................. 275
Projeção qualquer. ........................................................................................................ 275 Projeção paralela. ......................................................................................................... 276
§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO DIÁDICO. ....................................... 277 § 16.01 – Espaços opostos nos simplex. ........................................................................................ 278 § 16.02 - Baricentros. .................................................................................................................... 279
Definições. ................................................................................................................... 279 Bimedianas e medianas. ............................................................................................... 280
§ 16.03 - Equações de espaços. ...................................................................................................... 282 Várias formas de equação de uma reta. ........................................................................ 282 Várias formas de equação de um plano. ....................................................................... 283 Várias formas de equação de um 3-espaço. .................................................................. 284 Várias formas de equação de um espaço qualquer........................................................ 286
§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. ................................................................................ 287 § 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies. ............................... 288
BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 289
XVIII
CAPÍTULO III
GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA. ........................................................................... 291
§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL. ............................................................. 291 § 01.02 - Propriedades fundamentais. ............................................................................................ 292 § 01.03 - Aplicação numérica. ....................................................................................................... 295
§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR SIMILARIDADE. ........................................... 299 § 02.01 - Diádicos de mudança de base. ........................................................................................ 299 § 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. .................................................... 300
Propriedades dos diádicos e das transformações similares. .......................................... 301 § 02.03 - Matriz de mudança de base. ............................................................................................ 305 § 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de base. Matrizes similares.
Tensores clássicos. ............................................................................................. 307 Transformação de coordenadas de vetores. .................................................................. 307 Transformação das coordenadas de diádicos ................................................................ 308
§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. ................................................................ 311 Diádicos com simetria externa em relação a um plano. ................................................ 312 Pesquisa de sistemas convenientes de representação .................................................... 314
§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS. ....................................................................... 314 § 03.01 - Polinômio mínimo. ......................................................................................................... 314 § 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. ............................................... 318 § 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. .................................. 321
Diádicos com autovalores nulos. .................................................................................. 327 § 03.04 - Outros exemplos numéricos. ........................................................................................... 330
§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS. ............................................................... 332 § 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC............................................... 332 § 04.01,A - Autovalores imaginários. ............................................................................................ 332
Caso de diádicos uniplanares. ....................................................................................... 336 Caso de diádico anti-simétrico ..................................................................................... 336 Outras reduções. ........................................................................................................... 337
§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral. ........................................................ 338 Elementos característicos de diádicos simétricos. ........................................................ 340 Tônicos associados a uma homologia ........................................................................... 343
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C. ............................................... 344 Diádicos simétricos ...................................................................................................... 346
§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. ................................................... 347 § 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS. ........................................................... 349
§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis. ...................................................................... 350 § 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. ............................................................... 351 § 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) ...................................................... 352
Diádico cíclico. Rotação elíptica. ................................................................................. 352 Diádico ciclotônico. ..................................................................................................... 358 Auto-similaridade dos ciclotônicos. ............................................................................. 359
§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* ................................................................. 362 Cisalhamento simples. Diádico cisalhante. ................................................................... 362
§ 05.02,C - TL regida pelo : =ab*+bc*, ........................................................................................ 365 § 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos. ................................................... 366
§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES). ................................................................................... 368 § 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. ............................................................ 368
Caracterização dos cíclicos e rotores. ........................................................................... 374 Generalização de conceitos clássicos. .......................................................................... 376
§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. ...................................................................................... 378 § 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares). ............................................................. 379 § 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. ............................................. 379
Cíclicos e rotores biquadrantais. ................................................................................... 379 Produto de biquadrantais. ............................................................................................. 382
XIX
Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1. ................................................. 384 Expressão cartesiana para . ........................................................................................ 385 Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3. ...................................................... 387 Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo
do outro. ......................................................................................................... 388 Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais. ............................... 391 Fatoração de cíclicos e rotores...................................................................................... 393 Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.................................................. 399
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. ....................................... 400 Raízes K-ésimas do diádico unidade. ........................................................................... 401 Potências de expoente inteiro de um cíclico. ................................................................ 402 Representação do cíclico em série de Mac Laurin. ....................................................... 404 Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico. ................................................... 406 Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados. .................................... 407 Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação. ......................... 408 Diádico de rotação e diádico de Argand associados. .................................................... 408
§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. ........................................................ 411 § 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO. DECOMPOSIÇÃO POLAR. ........................... 413
§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. .............................................................................. 413 § 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. ........................................................................... 415 § 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. ...................................................................................... 427
Diádico reto e deformação de um corpo. ...................................................................... 428 § 07.04 - Decomposição polar. ...................................................................................................... 429 § 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos ............................................. 432
APÊNDICE..................................................................................................................................................... 435 BIBLIOGRAFIA. ........................................................................................................................................... 440
VOLUME II (deste Tomo I)
Capítulo IV - Poliádicos Capítulo V - Poliádicos complexos
TOMO II
Capítulo VI - Análise Poliádica Capítulo VII - Campos de poliádicos
XX
Poliádicos - Ruggeri
CAPÍTULO I
VETORES
§ 01 - VETOR.
§ 01.01 - Definição, notação.
A reta da Geometria pode ser percorrida em dois sentidos pelo seu ponto corrente.
Um desses sentidos, arbitrariamente escolhido, é denominado sentido positivo; o outro,
sentido negativo. Diz-se, então, quando se fixa esse sentido, que se orientou a reta; esta
passa, assim, a denominar-se eixo ou reta orientada.
Dados dois pontos A e B de um eixo, o conjunto dos pontos A e B, e dos infinitos
pontos compreendidos entre A e B denomina-se segmento orientado AB e representa-se
por AB; A e B denominam-se, respectivamente, a origem e a extremidade do segmento
orientado; e o sentido de A para B, o seu sentido.
Os pontos, de um modo geral, são determinados sobre os eixos pelos segmentos
orientados que cada um define com um ponto fixo O, arbitrariamente escolhido sobre o
mesmo e fixado, por convenção, como origem desses segmentos. Com a introdução da
origem, o eixo fica dividido em dois semi-eixos: um positivo e um negativo, cujos sentidos
são concordantes, respectivamente, com os sentidos positivo e negativo do eixo (Fig.
01.01)2.
Postula-se, como fez Descartes, a existência de uma correspondência biunívoca entre
as distâncias da origem a pontos do semi-eixo positivo e do negativo, respectivamente, com
os conjuntos dos números reais, positivos e negativos. A distância, positiva ou negativa, de
um ponto qualquer A à origem O é denominada abscissa do ponto; e o segmento OA
segmento-posição; diz-se, assim, que o ponto é dado, analiticamente, por sua abscissa; ou,
geometricamente, por seu segmento-posição. Escreve-se: OA = A e lê-se: a abscissa do
ponto A é A (A um número real, positivo ou negativo, não acompanhado de nenhuma
unidade de medida).
Na prática, visualizamos questões conceituais através de gráficos e figuras. Para
construí-los a primeira providência é a fixação de uma escala. Escolhemos, arbitrariamente,
2Veja o critério de numeração das figuras dentro da seção "Convenções".
2
Poliádicos - Ruggeri
um segmento orientado OU com origem coincidente com a origem O dos semi-eixos de um
eixo (Fig. 01.02), com a extremidade U sobre o semi-eixo positivo e com a abscissa U
fixada, por convenção, como 1. Qualquer outro ponto, A, a ser concretizado sobre o eixo,
com uma abscissa dada A, deve ser marcado de forma a que OA =A OU , assinalando-se A
sobre o semi-eixo positivo se A>0; ou sobre o semi-eixo negativo se A<0. O segmento OU
é denominado unidade de medida de segmentos; a abscissa A é dita, também, a medida
algébrica de OA em relação a OU .
Consideremos, agora, dois pontos, A e B, de um eixo e o segmento orientado AB
por eles definido. A medida algébrica do segmento orientado AB é o número real puro
(não acompanhado de nenhuma unidade de medida) obtido como a diferença entre as
abscissas de sua extremidade e sua origem, nessa ordem, multiplicado por OU ; escreve-se,
então:
OU)AB(AB , (01)3,
independentemente da origem O, para qualquer unidade de medida. Resulta logo que se AB
tem sentido coincidente com o do eixo, sua medida algébrica é um número real positivo,
pois B>A; se não, esta medida é número negativo. O número real positivo puro,
representado por |B-A| OU , denomina-se o módulo do segmento orientado AB. Logo (01)
pode ser escrita na forma
OU|AB|AB , (02),
onde o sinal é positivo ou negativo conforme o sentido do segmento orientado seja
concordante ou não com o do eixo.
Ora, em Geometria Euclidiana, um feixe de retas paralelas tem em comum a mesma
direção; e qualquer reta do feixe pode ser uma representante do mesmo numa
concretização. Então, orientar uma reta é operação equivalente a orientar uma direção; e
toda proposição válida para segmentos orientados de uma reta orientada de um feixe, é
válida, igualmente, para as demais retas do feixe.
Diz-se que dois segmentos orientados são eqüipolentes se têm a mesma direção
(pertencem a um mesmo feixe) e a mesma medida algébrica (isso é, o mesmo sentido e o
mesmo módulo). Os segmentos orientados eqüipolentes (de um mesmo feixe de retas
paralelas) denominam-se vetores livres (do feixe); a diferentes feixes estão associados,
então, diferentes vetores livres.
3 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".
§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores. 3
Poliádicos - Ruggeri
Aos vetores livres estendem-se todas as definições relativas aos segmentos
orientados que lhes correspondem: origem, extremidade, sentido, direção, módulo etc.
O vetor é representado pelo par de letras relativas à sua origem e à sua extremidade,
nessa ordem, encimadas por uma pequena flecha: AB , por exemplo. É também
representado, com muita freqüência, por letra minúscula do alfabeto latino encimada por
flecha. Em Mecânica é comum o uso da notação de Grassmann: ABAB , justificando-se
esta notação com a introdução da operação de adição de um vetor AB com um ponto A,
cujo resultado (a soma) é o ponto B. Desse ponto de vista, o ponto A seria transportado pelo
vetor AB até o ponto B, o que justifica a nomenclatura: a palavra vetor provém da palavra
latina vehere que significa transportar.
Doravante os números reais e os pontos serão denotados, na maioria das vezes, pelas
letras latinas maiúsculas, eventualmente indexadas: A1, A1, B
2, etc. Os vetores serão
denotados pelas letras latinas minúsculas em negrito, sem a clássica seta; e seus módulos,
por estas mesmas letras dispostas entre duas barras verticais: |u|, |v| etc.
§ 01.02 - Igualdade vetorial.
Diz-se que dois vetores u e v são iguais ou eqüipolentes e escreve-se: u=v (ler: u
igual a v), quando são eqüipolentes a um mesmo segmento orientado de um mesmo feixe;
isso é, quando têm um mesmo módulo, uma mesma direção e um mesmo sentido.
§ 01.03 - Alguns tipos de vetores.
Dois vetores são ditos paralelos ou colineares quando têm a mesma direção. Assim
dois vetores iguais são sempre paralelos. Dois vetores u e v são ditos opostos quando,
paralelos, têm o mesmo módulo e sentidos opostos; escreve-se u v v u ou . Vetores
coplanares são aqueles paralelos a um mesmo plano; dois vetores são, pois, sempre
coplanares.
Vetor nulo é o vetor de módulo zero; escreve-se u=o e lê-se: o vetor u é igual a zero.
Graficamente o vetor nulo tem a sua origem coincidente com a sua extremidade. Por
convenção, o vetor nulo faz um ângulo qualquer com qualquer vetor, com qualquer plano e
seu sentido é qualquer.
Vetor unitário é o vetor de módulo igual a um; é utilizado geralmente para
especificar uma direção e representado por uma letra encimada por um acento circunflexo: v .
§ 01.04 - Conceitos geométricos estendidos aos vetores.
Para sintetizar um pouco o desenvolvimento da teoria dos vetores, e por reconhecer
a sua origem geométrica, estenderemos aos mesmos os conceitos de perpendicularidade,
projeção etc., como em Geometria Elementar. Deve ser observado, entretanto, que não é
necessário lançar mão de toda a Geometria para se fazer a teoria dos vetores. Pelo contrário,
basta o estabelecimento dos conceitos mais elementares de Geometria, como os de:
ângulos, retas perpendiculares e paralelas, figuras planas de segunda categoria (linhas
quebradas, polígonos, teoremas fundamentais da geometria do triângulo, do quadrilátero, da
circunferência) para estarmos prontos para utilizar os vetores no desenvolvimento dessa
mesma Geometria. A rigor, entretanto, pretendendo-se aplicar conceitos vetoriais à
Geometria, é necessário estabelecer um encadeamento lógico dedutivo de conceitos e
§ 01.05 - O uso dos vetores em Física. 4
Poliádicos - Ruggeri
propriedades. Com efeito, pois, do contrário, correr-se-ia um sério risco de deduzir
propriedades a partir de outras ainda não demonstradas ou, até, de deduzir uma propriedade
a partir de outras cujas validades dependem necessariamente da primeira.
Deve ser considerado, também, que a Matemática sempre requer concisão, precisão
e economia de pensamento; isso é, não é de índole matemática a utilização de um "aparato
pesado" para a dedução de resultados que poderiam ser obtidos com "aparatos leves". Por
exemplo, como demonstrar que as mediatrizes de um triângulo têm ponto comum, de um
modo mais simples que o da Geometria Elementar? Por outro lado, montando-se um
aparato com o objetivo de estudar questões mais avançadas, nada impede que, de passagem,
se possam deduzir propriedades elementares. Assim, por exemplo, poderíamos resolver o
problema proposto das mediatrizes do triângulo pela Geometria Analítica; solução esta que
não é tão simples quanto a da Geometria Elementar, mas que também é independente dos
métodos elementares.
Finalmente, deve ser considerado que o Cálculo Vetorial é formulado hoje
praticamente nos mesmos moldes como GIBBS o formulou há pouco mais de 100 anos [1]4
com vistas à sua utilização na carente Física-Matemática da sua época e com vistas à sua
utilização em Geometria. As necessidades da Física-Matemática, por outro lado, parecem
ter forçado um estudo mais vetorial da Geometria Diferencial onde, indubitavelmente, os
métodos vetoriais são expressivos.
Em resumo: parece-nos que o uso metódico da Álgebra Vetorial em Geometria
Elementar requer desta Álgebra uma estruturação diferente da clássica, mais adequada à
finalidade visada. Seguiremos, aproximadamente, a apresentação clássica porque não nos
interessa aqui um desenvolvimento específico para a Geometria Elementar.
§ 01.05 - O uso dos vetores em Física.
4 Veja também os clássicos "Scientific Papers" de Gibbs.
A Física é desenvolvida sobre o conceito de grandeza, ou seja, de entidades que
participam dos fenômenos físicos e que são mensuráveis. Medições são necessárias para
atender necessidades práticas relacionadas com os conceitos de maior, menor, muito,
pouco, alto, baixo, forte, fraco etc., conceitos que exigem, logicamente, uma referência.
Criam-se, então, as unidades de medidas como o metro, o quilograma força, o segundo etc..
O desenvolvimento da Física através do tempo mostrou a necessidade de se
expressarem matematicamente as suas grandezas. Em vista das diferentes naturezas destas,
criaram-se diferentes entidades matemáticas para representá-las. Assim, as grandezas
denominadas escalares são representadas simplesmente por um número real acompanhado
de uma unidade de medida (escala); são exemplos: uma distância, uma temperatura etc.
Outras grandezas, inerentes a uma direção e um sentido sobre esta, puderam ser
representadas por vetores e foram denominadas grandezas vetoriais; são exemplos: força,
velocidade, aceleração etc. Existem outras grandezas, inerentes a mais de uma direção, que
serão apresentadas mais à frente.
Vejamos como foi possível a representação das grandezas vetoriais pelos vetores.
Ora, sendo a grandeza vetorial inerente a uma direção podemos imaginar um vetor
cuja direção seja paralela à direção da grandeza e com um sentido arbitrado. Façamos,
agora, corresponder a intensidade dessa grandeza, acompanhada da sua unidade de medida,
com o módulo do vetor a definir. Se, finalmente, associamos a esse conjunto o sinal + ou -
conforme o sentido da grandeza coincida ou não com o sentido arbitrado para o vetor,
§ 02 - Operações fundamentais com vetores. 5
Poliádicos - Ruggeri
poderemos dizer que essa entidade abstrata, o vetor, assim definido, representa aquela
grandeza. Interessando a construção de um gráfico basta escolher uma escala. Assim,
quando se diz, em Física: "seja f a força que atua sobre o corpo...", todas as considerações
geométricas e físicas feitas neste § 01 ficam subentendidas, para felicidade do leitor. Nos
parágrafos seguintes definiremos operações com os vetores destacando, quando
conveniente, o seu significado em Física.
O conceito de igualdade de vetores (§ 01.02)5 é exclusivamente algébrico-
geométrico e não físico, isso é, se um vetor representa uma força e um outro vetor uma
velocidade, não faz sentido analisar a igualdade desses vetores porque essas grandezas são
de naturezas diferentes. De outra forma, diríamos: dois vetores podem ser paralelos, ter os
mesmos módulos e os mesmos sentidos e não fazer sentido a sua igualdade porque
representam grandezas diferentes. Os tipos de vetores já criados (§ 01.03) têm também
correspondência na Física na forma dos conceitos físicos: velocidades opostas, forças
paralelas, força nula, velocidade unitária etc. Analogamente, os conceitos geométricos
estendidos aos vetores (§ 01.04) são também assimiláveis em Física; falamos, pois, em
forças que fazem certo ângulo, vetor velocidade tangente à trajetória etc. Esse é o modo
mais simples de contemplar-se o uso dos vetores em Física.
5O leitor será ajudado na leitura deste livro com a indicação, entre parênteses, do parágrafo onde se encontra o conceito ou o assunto em referência.
O entendimento de certos fenômenos físicos, algo complexos, por outro lado, exigiu
a criação de entidades matemáticas bem mais complexas que, numa situação limite - isso é,
numa particular condição - representassem também os vetores elementares. No espaço
físico em que ocorrem tais fenômenos, figuras geométricas como segmentos de reta,
porções de plano, poliedros, por exemplo, só existem nas "vizinhanças de um ponto". Isto
significa, em outros termos, que os vetores só existem no espaço vizinho (nas
proximidades) de um ponto. Mas o que será essa "vizinhança", nesse espaço eventualmente
estranho? Por acaso, nesse espaço, as retas e os planos se empenam quando um pouco
distantes desse ponto? Por acaso, nesse espaço, o critério de medida de distâncias muda de
um ponto para um outro "um pouco afastado"? Neste capítulo o leitor encontrará não mais
que uma teoria elementar dos vetores, montada de um ponto de vista superior, respigada de
pistas para uma generalização futura de operações e conceitos de utilidade prática em
Física.
§ 02 - OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM VETORES.
São sobejamente conhecidas as utilidades geométricas e físicas ordinárias dessas
operações (veja a bibliografia). Interessa registrá-las aqui, como referência, para facilitar o
desenvolvimento dos capítulos seguintes e tornar a obra auto-suficiente.
Suporemos em relação a tudo o que será desenvolvido a seguir, que os módulos de
dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento
unidade (de medida de distâncias) comum aos respectivos eixos (| x |=1 e | y |=1). Não
obstante, estaremos interessados em conseguir resultados com segmentos quaisquer de
comparação (ex e ey); passo a passo conseguiremos esse intento.
§ 02.01 - Adição de vetores.. 6
Poliádicos - Ruggeri
§ 02.01 - Adição de vetores.
Soma de vetores.
Dados dois vetores u e v, chama-se soma de u com v, e representa-se por u+v (ler: u
mais v), o vetor s tal que, dispostos u e v consecutivamente nessa ordem no espaço, a sua
origem seja a origem de u e a sua extremidade a extremidade de v. Escreve-se: s=u+v,
lendo-se: s é igual a u mais v.
A adição de dois vetores é a operação que tenha por fim determinar a sua soma.
Provemos que ela é unívoca. Disponhamos dois vetores quaisquer, u e v,
consecutivamente em ordens inversas, a partir de um ponto qualquer do espaço; sejam s e s'
os vetores somas em cada caso. Os triângulos formados por esses vetores, num caso e
noutro, são iguais, o que acarreta s = s' já que s e s' têm o mesmo módulo, a mesma direção
e o mesmo sentido.
Graficamente, o vetor s, co-inicial com dois vetores a somar, u e v, e cuja
extremidade seja a diagonal do paralelogramo construído sobre u e v, é o vetor soma de u
com v. Esse processo de obtenção do vetor soma costuma ser designado como "regra do
paralelogramo" (Fig. 02.01), sendo já conhecido dos gregos antigos para compor
velocidades e forças.
A adição se estende a vários vetores, bastando ordená-los e convencionar que a soma
de vários vetores é obtida somando o terceiro com a soma dos dois primeiros, e assim
sucessivamente. Escreve-se, então: s u v w [( ) ] ... .
A operação é sempre possível porque é sempre possível dispor consecutivamente
vetores diversos no espaço. A soma de vetores obtém-se como a "linha de fechamento"
da poligonal reversa cujos lados sejam os vetores parcela na soma a ser determinada,
conforme esquematizado na Fig. 02.02.
§ 02.01 - Adição de vetores.. 7
Poliádicos - Ruggeri
Do ponto de vista físico a adição só tem sentido para vetores representantes de uma
mesma grandeza física (medidas com a mesma unidade de medida). Com efeito, faria
sentido somar força com velocidade?
Outra observação se faz necessária. Sempre que recorremos a uma representação
gráfica, supomos mentalmente que esta seja feita com certa escala (o segmento unidade é o
mesmo para os eixos orientados de todos os vetores envolvidos). Geralmente, entretanto,
essas figuras são feitas apenas para orientar e ordenar o raciocínio uma vez que a sua
correta construção poderia ser extremamente trabalhosa. Assim, por exemplo, o cálculo do
vetor soma de dois outros, dados os seus módulos, sentidos e ângulos de suas direções,
pode ser feito com muito mais simplicidade, rapidez e precisão com o uso da Trigonometria
e calculadoras de bolso, do que graficamente; supõe-se, obviamente, se esses vetores
representam grandezas, que as unidades de medida (de grandezas) que acompanham os seus
módulos sejam as mesmas.
Propriedades da adição.
1ª) - É operação associativa:
a b c, , : ( ) ( )a b c a b c , (01)6,
o que é evidente;
2ª) - É operação comutativa:
a b, : a b b a , (02),
o que também é evidente, pela definição de soma;
3ª) - Adição com o vetor zero:
a : a o a , (03).
Com efeito, pondo aMN tem-se, obviamente, pela definição: MNMN NN ; logo,
tem-se (03), pois, oNN . Observando-se, ainda, que MNMMMN e que, por (02),
MMNMMN , tem-se oMM . Resulta, então, que NN , MM , etc. são iguais ao vetor
nulo, isso é, o vetor nulo é único.
4ª) - Adição com vetores opostos:
a : a a o ( ) , (04).
Pondo-se aMN , resulta que o vetor NM é oposto a a, porque ambos têm o mesmo
módulo, a mesma direção e sentidos opostos. Logo: o NMMN , isso é, a a o ( ) .
6 Usaremos, oportunamente, a simbologia da teoria dos conjuntos (veja a lista de "Notações Gerais").
5ª) - Subtração de vetores:
Chama-se diferença de dois vetores u e v, nessa ordem, e se denota por u-v
(ler: u menos v), o vetor d tal, que
d u v u v ( ).
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 8
Poliádicos - Ruggeri
A subtração é a operação que tem por fim determinar a diferença de vetores. Esta
operação, sempre possível e unívoca, é extensível a vários vetores. É operação inversa da
adição. Ademais:
a) u u u o: ;
b) graficamente, d u v obtém-se como a diagonal do paralelogramo construído
sobre os vetores co-iniciais u e v, a origem de d sendo a extremidade do subtraendo (Fig.
02.03).
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real.
Produto de vetor por número real.
Chama-se produto de um vetor v por um número real M e se indica por Mv (que se
lê: M vezes v), o vetor u de mesma direção que v (logo, paralelo a v), mesmo sentido que v
se M>0 e sentido contrário se M<0, e cujo módulo valha |M||v|; escreve-se, então:
vu M .
A multiplicação de vetor por número real é a operação que tenha por fim
determinar o produto do vetor pelo número real7.
Propriedades da multiplicação de vetor por número real.
1ª) - É sempre possível e unívoca;
2ª) - O produto de qualquer vetor pelo número 1 é o próprio vetor:
1v v , (05),
o que é evidente;
3ª) - A multiplicação é associativa em relação a fatores numéricos,
A B AB( ) ( ) ,v v (06).
7 Gibbs deu a essa operação o nome de multiplicação escalar.
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 9
Poliádicos - Ruggeri
Pondo Bv = w, tem-se: A(Bv) = Aw = r. Ora, r tem a mesma direção de v porque r e
v têm a mesma direção de w. O sentido de r é o mesmo de w se A>0, ou o sentido contrário
se A<0. Mas w tem o mesmo sentido de v se B>0, ou o sentido contrário, se B<0. Logo, r
terá o mesmo sentido de v se A e B forem de mesmo sinal e sentido contrário se A e B
forem de sinais contrários. O módulo de r vale |A||B||v|. O vetor do segundo membro de
(06) tem precisamente as mesmas características de r, isso é, tem a mesma direção que v, o
módulo |AB||v| = |A||B||v|, o mesmo sentido de r se A e B tem o mesmo sinal e sentido
contrário ao de r se A e B têm sinais contrários;
4ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de números:
( ...) ...,A B A B v v v (07).
Demonstraremos a propriedade por indução. Que a propriedade é válida para dois
números A e B é fácil provar, bastando considerar: 1) - que os vetores (A+B)v, Av e Bv
são paralelos quaisquer que sejam os sinais de A e B; 2) - que |Av+Bv| = |A+B||v|, donde a
igualdade dos módulos; 3) - que (A+B)|v| = A|v|+B|v|, donde a igualdade dos sinais dos
vetores (A+B)v e Av+Bv.
Suponhamos que a propriedade seja válida para N números, isso é,
( ) ... .A B ... N A B N v v v v Pondo A+B+...+N = X e somando Yv a ambos os
membros da igualdade anterior, temos: X Y A B N Yv v v v v v ... . Como, por
hipótese, a propriedade é válida para dois números reais, temos X Y X Yv v v ( ) , isso
é, ( ) ... ,A B ... N Y A B N Y v v v v v e a propriedade é válida para um número
qualquer de parcelas dentro dos parênteses;
5ª) - A multiplicação é distributiva em relação à adição de vetores,
A A A( ...) ...,u v u v (08),
Dispondo-se consecutivamente os vetores u, v, ..., a partir de um ponto arbitrário, O,
(Fig. 02.04), obtém-se com o vetor s=u+v+... uma poligonal fechada, que será homotética,
de intensidade A, da poligonal (também fechada) formada pelos vetores Au, Av, ... e seu
vetor soma As, isso é, A A As u v ... . Logo, tem-se (08).
A multiplicação de vetor por número real segue as leis da multiplicação numérica,
valendo as seguintes fórmulas:
§ 02.02 - Multiplicação de vetor por número real. 10
Poliádicos - Ruggeri
A,B, , , ,...:a b v
A
A A ou
A A
. o o
. a o
a o a o
a a
,
,
,
( ) ,
0
0
( ) ,
( ) ,
( ) ,
A A
A A A
A B A B
a a
a b a b
a a a
||/ ˆ vvv (09).
Demonstraremos apenas a fórmula (09)18. De (08) temos, para u = v = o, A(o+o) =
Ao+Ao. Considerando (03) com a = o, subtraindo Ao de ambos os membros dessa
igualdade e agrupando convenientemente no segundo membro, temos:
A A A A Ao o o o o ( ).
Considerando (04) e a definição de diferença de vetores, deduzimos: o o o A , donde,
novamente considerando (03), Ao=o.
8 Veja o critério de referência a uma fórmula de um conjunto de fórmulas na seção "Convenções".
•
Suponhamos que o vetor v representasse a grandeza física aceleração, expressa em
m/s2. Em vista de (09)8 escreveríamos: vvv ˆ)(m/s|| 2 . Essa expressão de v destaca,
através de v , a direção e o sentido (sobre esta) inerentes à grandeza; e através de
| |( / )v m s2 o seu módulo (sua intensidade) e unidade de medida. Na prática, geralmente,
omitimos a unidade de medida, deixando-a subentendida. Se, ainda, M estivesse
representando massa expressa em kg, então escreveríamos, aplicando (09)8 e (06):
| |( ) |( ) ,f f f a aunidade de M| kgm/ s 2
expressão que destaca, por f ou a , a direção e o sentido de f, e por M|a| (kgm/s2) a
intensidade e a unidade de medida de f (que é uma força). Repetimos: na prática, muitos
desses aspectos ficam subentendidos não devendo trazer confusão ao leitor.
§ 02.03 - Combinação linear de vetores. Convenção somatória.
Sejam dados N vetores ei e N números reais Ai, i = 1, 2, ..., N. Com as operações
fundamentais estudadas nos parágrafos precedentes, está perfeitamente definido o vetor
NN
22
11 A...AA eeea ;
diremos que a (eventualmente o vetor zero) é uma combinação linear dos vetores ei com
coeficientes Ai.
Para facilitar e sintetizar as deduções futuras com as combinações lineares vetoriais
podemos escrevê-las numa forma mais compacta com o estabelecimento da seguinte
convenção, denominada
§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 11
Poliádicos - Ruggeri
Convenção Somatória:
Toda expressão monômia, contendo índice(s) literal(is) repetido(s) em níveis
diferentes é equivalente à soma dos monômios que se obtêm da expressão
fazendo o(s) referido(s) índice(s) variar(em) dentro do(s) seu(s) campo(s),
previamente fixado(s).
Objetivando simplicidade e elegância para as expressões matemáticas, os índices são
representados geralmente por letras latinas minúsculas i, j, k, l etc. em tipos bem menores
do que as latinas normais do texto, precisamente do mesmo tamanho dos números que
indexam as letras na expressão indicada do vetor a. Assim, esta expressão pode ser posta na
forma sintética e simples:
a e A (i = 1,2,... , N).i
i ,
Do ponto de vista físico, uma combinação linear de vetores apresenta uma
particularidade que deve ser observada: todas as suas parcelas devem representar,
necessariamente, grandezas vetoriais da mesma espécie (com a mesma dimensão) que a
representada pelo vetor a. Assim, se este representar uma força, os vetores A1e1, A2e2 etc.
deverão também representar forças. Isto implica que os Ai sejam massas e os ei acelerações,
ou, eventualmente, que A1 seja massa, e1 aceleração, A2 carga elétrica, e2 campo elétrico
etc, para que A1e1, A2e2 etc. representem forças.
§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores.
Produto escalar.
Chama-se produto escalar de dois vetores x e y, e representa-se por x.y (ler: x
escalar y), o número real
x. y x y x y| || |cos( , ), (01)9.
A multiplicação escalar de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o
produto escalar desses vetores.
Obviamente, se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de x.y será o
produto das dimensões de x e de y. Assim, por exemplo, se x representa uma força e y um
deslocamento, x.y representa trabalho.
Propriedades da multiplicação escalar.
1ª) - É uma operação sempre possível e unívoca;
2ª) - (Interpretação Geométrica):
O produto escalar de dois vetores é numericamente igual ao produto do
módulo de um deles pela projeção ortogonal do outro sobre o suporte do
primeiro.
9 Gibbs deu a esse produto o nome de "direct product" e, embora usasse a mesma notação, lia "x dot y ".
§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 12
Poliádicos - Ruggeri
Pois, com efeito, temos, de (01):
yxyxyxx.y xproj|| )],(cos|[||| || , (021)10,
onde projxy tem representação evidente, sendo um número real positivo, negativo ou nulo
conforme (x,y), o ângulo dos vetores x e y, seja agudo, obtuso ou reto, respectivamente.
Similarmente, poderíamos escrever:
x. y y x x y y xy | |[| |cos( , )] | | ,proj (022).
Resulta, logo:
x. y x y 0 , (03)11.
Se x.y=0, de (021) e (022) concluímos: 1º)- que ao menos um dos vetores é o vetor
nulo, caso em que eles são ortogonais (o vetor nulo é ortogonal a qualquer outro vetor,
inclusive a si próprio); 2º)- que é nula a projeção do outro vetor sobre o primeiro, isso é,
esses vetores são ortogonais. A recíproca se demonstra analogamente.
Se, porém, para todo y, x.y=0, então x=o, e reciprocamente:
y x. y x o: , 0 (04).
Com efeito, em (01) |y| e o ângulo (x,y) são quaisquer, o que acarreta |x|=0, isso é, x=o.
3ª) - Para quaisquer vetores x e y, a operação é comutativa:
x y x.y y.x, : , (05),
o que é evidente por (01).
4ª) - A operação é associativa em relação a fatores numéricos:
M M M M, , : ( ) ( ) ( ),x y x . y x. y x. y (06).
Observando-se que, se o ângulo de x com y é A, o ângulo de Mx com y é A se M>0
e -A se M<0, tem-se, de (01):
10 Veja o critério de numeração de fórmulas na seção "Convenções".
11 O símbolo representa ortogonalidade, conforme nossas "Notações Gerais".
( ) | || |cos( , ) | || |cos( , ) ( ).M M M M Mx . y x y x y x y x y x. y
A validade do terceiro membro de (06) pode ser comprovada analogamente.
5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:
x y z x y . z x. z y. z, , : ( ) , (07).
De (022) podemos escrever:
w. z z wz| |proj .
§ 02.04 - Multiplicação escalar de dois vetores. 13
Poliádicos - Ruggeri
Se, nessa igualdade, o vetor w é substituído por uma soma de vetores, o número projzw se
distribui em relação a essa soma, porque, conforme a Geometria, a projeção do vetor soma
é igual à soma algébrica das projeções dos vetores parcela, isso é,
( ) | | ( ) | |( ),x y . z z x y z x yz z z proj proj proj
tendo-se, logo, (07).
6ª) - Fazendo x=y em (01), temos o quadrado escalar ou norma do vetor x; a
raiz quadrada positiva da norma é, pois, o módulo do vetor x e escrevemos:
x.x x x.x 0, | | ; (x.x x o 0 ) (08).
Exercício:
a .x a xii
ii com i G | | 0 12 0, ,... .
A dado conjunto {a1, a2, ..., aG} tal que, para certos xi, ai.xi=0, podemos fazer
corresponder o conjunto {b1, b2, ..., bG} tal que para todo i, ai +bi =xi . Então
( ) ( ) ( ) ( )a b .x x x xi ii G ... 1
22
2 2 0 ,
porque, por hipótese, ai.xi=0 e bi.xi=0. Logo, | | | |x x1 2 ... 0 .
A recíproca é de demonstração evidente.
Multiplicação escalar de combinações lineares de vetores.
A multiplicação escalar segue as leis da multiplicação numérica, valendo as
seguintes fórmulas:
( ) ( )a b . x y a.x a. y b.x b. y
( ) ( ) ( )x y . x y x y x y x. y 2 2 2
2
( ) ( )x y . x y x y 2 2
etc., (09).
As demonstrações dessas fórmulas são simples, decorrendo imediatamente das
propriedades fundamentais.
De uma forma mais abrangente poderíamos escrever, lembrando a convenção
somatória (§ 02.03):
( ) ( ) ( ,2,... , ; ,2,... , ),A B A B i N j Mi
i
j
j
i j
i je . r e .r 1 1 (10),
expressão cujo segundo membro apresenta NxM parcelas porque é um monômio com dois
índices repetidos.
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 14
Poliádicos - Ruggeri
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores.
Produto Vetorial.
Chama-se produto vetorial dos vetores x e y, e se indica por xy (ler: x vec y), o
vetor ortogonal ao plano definido por x e y, tal que |xy| = |x||y|sen(x,y) e tal que o triedro
definido pelos vetores xy, x e y, nessa ordem, seja positivo (Fig. 02.05)12 .
A multiplicação vetorial de dois vetores é a operação que tem por fim determinar o
produto vetorial desses vetores13.
Se x e y representarem grandezas físicas, a dimensão de xy será o produto das
dimensões de x e de y. Assim, se x é vetor posicional e y representar força, xy
representará um momento (que tem a mesma dimensão de trabalho).
Propriedades da multiplicação vetorial.
1ª) - É operação sempre possível e unívoca.
2ª) - (Interpretação geométrica):
O módulo do produto vetorial de dois vetores é numericamente equivalente à
área do paralelogramo construído sobre esses vetores.
Com efeito, pois se x e y são os vetores e se A é o ângulo formado por eles, então
|y|senA é (numericamente) a altura H do paralelogramo que tem |x| por base (Fig. 02.06).
12 Para se fixar o sentido de x y usamos a regra do observador. Imagina-se um observador com os pés na
origem comum dos vetores e com o corpo disposto no sentido de x y; se, estando esse observador voltado para o
interior do triedro x y, x, y, ele enxergar x à sua direita e y à sua esquerda, o triedro será direto.
13 Gibbs deu ao produto vetorial o nome de skew (ou cross) product, escrevia x y e lia x cross y.
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 15
Poliádicos - Ruggeri
Sendo:
sen(A)|| |||| yxyx , resulta: H|||| xyx ,
isso é, o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo que
tem x e y por lados.
Em razão desta interpretação geométrica o produto vetorial é usado em muitas
situações, na Física notadamente, como um "vetor-área", ou como um "elemento
paralelogrâmico" de área.
Deduzimos, logo:
Uma CNS para que dois vetores sejam paralelos é que o seu produto vetorial
seja o vetor zero:
yxoyx | | , (01)14.
Se x×y=o, a área do paralelogramo construído sobre x e y é nula. Então, os vetores x
e y são paralelos, um deles, ou ambos, podendo ser o vetor zero (o vetor zero é paralelo a
qualquer vetor). A recíproca é evidente. Se x || y (um deles ou ambos podendo ser o vetor
zero), o ângulo (x,y) é o ângulo nulo; então sen(x,y)=0 e o módulo de yx é zero, ou seja,
oyx .
É óbvio que:
oxxx : , (011).
3ª) - A operação é anticomutativa, isso é,
xyyx , (02).
Com efeito, os vetores yx e xy têm o mesmo módulo, são ambos
perpendiculares ao plano definido por x e y (têm, pois, a mesma direção), mas têm sentidos
opostos. Logo yx e xy são iguais.
4ª) - A operação é associativa em relação a fatores escalares:
)M()(M)(M :,M, yxyxyxyx , (03).
De fato, independentemente de ser M>0 ou M<0 as direções dos vetores de ambos
os membros de (03) são a da normal ao plano de x e y e seus módulos são obviamente
iguais (porque são iguais o seno de um ângulo e o seno do suplemento desse ângulo).
Quanto ao sentido dos vetores, deve-se observar que se M>0 os sentidos dos vetores
yx )(M , M( yx ) e )M( yx são os mesmos, obviamente; se M<0, o sentido de Mx se
inverte e o sentido de yx )(M é contrário ao de yx que, por sua vez, terá seu sentido
invertido quando for multiplicado por M<0. Analogamente raciocinaríamos em relação aos
vetores )M( yx e yx .
14 O símbolo || representa paralelismo, conforme nossas "Notações Gerais".
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 16
Poliádicos - Ruggeri
5ª) - A operação é distributiva em relação à adição de vetores:
yzxzyxzzyx )( :,, (04).
Consideremos a Fig. 02.07 onde se destacam os vetores x, y, x+y, z, xz e yz .
Projetemos ortogonalmente sobre o plano ortogonal a z os vetores x, y e x+y. Os
vetores 1OB e 1OC são, necessariamente, coplanares com CO xz e BO yz , e
B'ÔC' = B1ÔC1 porque seus lados são perpendiculares; logo, o paralelogramo OC'D'B' é roto-
homotético de OB1D1C1 sendo /2 o ângulo de rotação e a razão de homotetia |z|. Então:
ODODDO1
zz , ou seja,
)( yxzyzxz .
Sendo BCCBCB11
zz , tem-se, também:
)( yxzyzxz .
Multiplicação vetorial de combinações lineares de vetores.
A multiplicação vetorial segue as leis da multiplicação numérica, respeitada a
anticomutatividade. Tem-se, por exemplo:
,)()( ybxbyaxayxba
yxyxyx 2)()( etc..
Obviamente, tal como mostramos para o caso da multiplicação escalar de duas
combinações lineares vetoriais,
ji
ji
j
j
i
i BA)B()A( rere , (i=1,2,...,N; j=1,2,...,M) (05).
É claro que, não obstante as diferentes representações físicas das letras Ai, B j e dos
vetores ei, rj, o segundo membro de (05) deve representar uma soma de vetores de mesma
dimensão, necessariamente.
À igualdade (05) pode dar-se expressão mais simpática quando as combinações
lineares vetoriais com as quais se efetua o produto vetorial assumem as formas particulares
seguintes:
1,2,3.=ji,ou 1,2,=ji,ou 1ji, ,BeAj
ji
i ebea
§ 02.05 - Multiplicação vetorial de dois vetores. 17
Poliádicos - Ruggeri
Nesses casos temos, respectivamente:
oba ,
2121
21
BB
AAeeba ,
321
321211332
BBB
AAA
eeeeee
ba
, (06),
desde que convencionemos desenvolver o pseudo-determinante (ou determinante
simbólico) (06)3 entendendo os vetores da primeira linha como se fossem números.
Com efeito, para i,j=1 os vetores a e b são paralelos a e1 e oba . Para i,j=1,2
deduzimos, lembrando a anticomutatividade da multiplicação vetorial e a nulidade do
produto vetorial com vetores iguais:
, )BABA(BABA
)BB()AA(
21
1221
12
12
21
21
2
2
1
1
2
2
1
1
eeeeee
eeeeba
expressão equivalente a (06)2. Para i,j=1,2,3 podemos efetuar cálculos análogos e
comprovar, facilmente, (06)3.
Identidade de Lagrange.
Uma conexão entre os produtos escalar e vetorial de dois vetores é realizada pela
identidade seguinte, que denominamos identidade de Lagrange:
:, yx 2222 )()( yxyxx.y , (07),
ou sua equivalente,
:, yx y.yy.x
x.yx.xyx.yxyx )()()( 2
, (071).
Sabemos que:
x. y x y x y| || |cos( , ), e ),sen(|| |||| yxyxyx .
Então, elevando ao quadrado ambos os membros dessa igualdade e somando membro a
membro encontramos (07).
Lembrando a teoria dos determinantes e a propriedade comutativa da multiplicação
escalar de vetores encontra-se logo (071).
•
§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores 18
Poliádicos - Ruggeri
Consideremos, agora, os vetores a e b, combinações lineares arbitrárias dos vetores
(quaisquer) e1 e e2:
2
2
1
1
2
2
1
1 BB e AA eebeea .
Os vetores a, b, e1 e e2 são, obviamente, coplanares.
Escrevendo as expressões de a.e1, a.e2, b.e1 e b.e2 podemos, em seguida, calcular a
diferença entre (a.e1)(b.e2) e (a.e2)(b.e1). Encontramos, facilmente, após simplificações e
evidências:
a. e a. e
b. e b. ee e e . e
1 2
1 2
1 2
1 2 1
2
2
2
1 2
2
A A
B B[( ) ( ) ( ) ].
Lembrando (07) notamos que o número entre colchetes, no segundo membro, é o
quadrado de e1e2. Assim, multiplicando escalarmente ambos os membros de (06)2 por
e1e2 e comparando o seu segundo membro com o segundo membro da expressão obtida
acima, deduzimos:
21
21
2121)()( :coplanares ,,,,
b.eb.e
a.ea.eee.baeeba , (08).
Obviamente, (08) é uma forma mais geral da Identidade de Lagrange (071).
§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores.
Produto misto.
Chama-se produto misto de três vetores x, y e z, nessa ordem, e indica-se por (xyz),
o produto escalar do produto vetorial dos dois primeiros vetores (que é um vetor) pelo
terceiro:
y.zxxyz )( , (01).15
A multiplicação mista de três vetores é a operação que tem por fim determinar o
produto misto desses três vetores.
Propriedades da multiplicação mista.
1ª) – É uma operação sempre possível e unívoca.
2ª) – (Interpretação geométrica)
O produto misto de três vetores representa, em grandeza e sinal, a medida
numérica do volume do paralelepípedo construído sobre esses vetores
dispostos co-inicialmente numa representação gráfica.
15 Gibbs denominou esse produto de scalar triple product e usava a notação [xyz].
§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores 19
Poliádicos - Ruggeri
Consideremos a Fig. 02.08 onde se representam os vetores x, y e yx . Da
definição de produto escalar escrevemos:
cosA|| ||)( zyxy.zxxyz .
Ora, |z|cosA - distância (numérica) da extremidade de z ao plano (x,y) - é positiva se z
forma com yx um ângulo agudo, isso é, se z e yx estão no mesmo semi-espaço em
relação ao plano (x,y); é negativa em caso contrário. O módulo de yx é numericamente
igual à área do paralelogramo construído sobre x e y (§ 02.04, propr. 2ª), paralelogramo
este que, por sua vez, é uma base do paralelepípedo construído sobre x, y e z. Logo
|x×y||z|cosA é numericamente igual ao volume desse paralelepípedo (positivo ou negativo).
Em vista desta interpretação geométrica poderíamos denominar o produto misto de
"produto caixa" ou "produto paralelepípedo".
*
Exercício:
Demonstre que |( )| | || || |xyz x y z , isso é, o volume de um paralelepípedo
oblíquo é menor que ou no máximo igual ao volume do paralelepípedo reto
que tenha as mesmas arestas.
*
3ª) - (Nulidade do produto misto)
Resulta logo:
Uma CNS para que seja nulo o produto misto de três vetores é que eles sejam
coplanares (podendo ser todos não paralelos, dois deles paralelos, ou os três
paralelos).
De fato, em qualquer um dos casos uma das dimensões do paralelepípedo seria nula
e seu volume se anularia. Com outras palavras, diríamos, também:
Uma CNS para que três vetores sejam coplanares é que seu produto misto
seja nulo,
ou, ainda:
É nulo um produto misto com dois vetores paralelos:
( ) ( ) ...xxz xzz 0, (02).
4ª) - É associativa em relação a fatores escalares:
...)M()M()(M :,,M, y.zxy.zxxyzzyx , (03).
§ 02.06 - Multiplicação mista de três vetores 20
Poliádicos - Ruggeri
Essa propriedade decorre imediatamente da associatividade das multiplicações
escalar e vetorial.
5ª) - Um produto misto não se altera quando se permutam ciclicamente os
vetores que o compõem:
x y z xyz yzx zxy, , : ( ) ( ) ( ), (04),
mas muda de sinal quando se permutam os vetores na ordem anti-cíclica:
( ) ( ) ( ) ( ),xyz yxz xzy zyx (041).
De fato, no primeiro caso (permutação cíclica) o volume do paralelepípedo manter-
se-ia em grandeza e com o mesmo sinal; no segundo, mudar-se-ia apenas o sinal.
6ª) - Os símbolos operatórios são comutativos:
zx.yy.zxzyx :,, , (05),
pois, pela propriedade anterior e pela comutatividade da multiplicação escalar, tem-se:
zx.yz.xyy.zx .
Multiplicação mista de combinações lineares vetoriais.
Tal como nos casos anteriores, se os vetores x, y, e z, no produto misto (xyz), forem
combinações lineares vetoriais, isso é, por exemplo, se
X Y e Z
com (i N j M k P)
i
i
j
j
k
kx e y r z s
, ,
,2, ... , ; ,2, ... , ; ,2, ... , ,1 1 1
então:
( ) ( ),xyz e r s X Y Zi j k
i j k (06),
igualdade cujo segundo membro tem NxMxP parcelas. Com efeito, pois, conforme vimos
(§ 02.05):
ji
jiYX reyx ,
igualdade cujo segundo membro contém NxM parcelas. Logo (§ 02.04),
)(ZYXZYX)(kji
kji
kji
kjisre.srexyzy.zx ,
o último membro contendo (NxM)xP parcelas.
§ 03 - Os vetores recíprocos (VR) ou duais. 21
Poliádicos - Ruggeri
Não obstante as diferentes representações físicas que as letras Xi, Yj, Zk e os vetores
ei, rj, sk possam ter (cada uma com sua dimensão), deve ser observado que no segundo
membro de (06) deveremos ter sempre uma soma de parcelas de dimensões todas iguais à
dimensão do primeiro membro.
À fórmula (06) pode dar-se uma feição especial quando os vetores x, y e z, são
combinações lineares de um mesmo terceto de vetores. Assim,
e1 ,e2 , e3 , Xi , Yi , Zi , x = Xi ei , y = Yi ei , z = Zi ei , (i = 1,2,3):
( ) ( ) ,xyz e e e 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
X X X
Y Y Y
Z Z Z
(061).
Aplicando-se a fórmula ((06)3,§ 02.05)16 para o cálculo de yx e em seguida
multiplicando-se escalarmente ambos os membros da expressão obtida por z deduz-se logo
(061). Basta, para isso, anularem-se as parcelas em que um dos fatores é um produto misto
com vetores iguais (ocorrem seis delas), evidenciar-se o fator comum a todas as outras
(aplicando-se a propr. 5ª da multiplicação mista) e reconhecer-se na soma das três parcelas
positivas e três negativas remanescentes o determinante do segundo membro de (061).
§ 03 - OS VETORES RECÍPROCOS (VR) OU DUAIS.
Recordemos inicialmente que, dados N vetores ei e N números reais Ai, existe,
determinado e único, o vetor a,
a e A (i N)ii , , ,..., ,12
combinação linear vetorial dos ei. Dados, entretanto, um vetor x e o conjunto dos ei, será
sempre possível determinar N números reais Xi tais, que
16 Conforme nossas "Convenções", ((06)3, § 02.05) significa: a terceira fórmula do grupo (de fórmulas) (06), do § 02.05, do presente capítulo.
x e X , (i 1,2,...,N)ii ?
No primeiro caso, a função linear vetorial dos ei é uma identidade vetorial. No
segundo caso, essa função é uma equação vetorial de variáveis escalares, devendo-se
procurar números Xi - que se chamam incógnitas da equação - que a tornem uma
identidade; determinar esses números é procurar as soluções da equação, ou resolver a
equação.
Importa considerar para as operações que serão definidas a seguir, que os módulos
de dois vetores quaisquer x e y, |x| e |y|, sejam determinados em relação a um segmento
unidade de medida de distâncias comum aos respectivos eixos (| x | e | y | = 1). Nesse caso
§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. 22
Poliádicos - Ruggeri
poderemos escrever: xxx ˆ|| e yyy ˆ|| . Uma vez estabelecida essa convenção
poderemos adotar quaisquer vetores não nulos paralelos a x e a y, digamos ex e ey, para
servirem de “nova” unidade de medida. Escreveremos, nesse caso: || xxexx e e
yy|| eyy e , onde com | |x
ex
estamos representando a quantidade necessária de ex para
formar x e com y
|| ey a quantidade de ey para formar y. Então:
| ||| || xxexx e e | ||| || yy
eyy e ,
de onde deduzimos:
| ||||| xxexx e e | ||||| yy
eyy e .
Assim, quando se adota ex para comparação, o módulo do vetor x (isso é, | |xe
x
) difere do
seu módulo (|x|) quando se adota x para comparação apenas por um fator igual ao inverso
do módulo de ex. A mesma análise se faz com relação ao vetor y.
O uso de vetores quaisquer para referência em uma, duas ou três direções distintas,
nas condições expostas, é perfeitamente admissível desde que os vetores recíprocos sejam
utilizados na forma apresentada nos parágrafos seguintes.
§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos.
Inversão na reta.
Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dada reta (r).
Teor. 1: (existência)
Se e1o é paralelo à reta (r), existe um e um único e1o paralelo a (r) tal, que
e .e11 1 , (01).
Com efeito, e1 e e1 devem ter, necessariamente, o mesmo sentido para que (01)
subsista, o que é sempre possível; logo, bastará que se determine o e1 paralelo a (r) que
tenha por módulo o inverso do módulo de e1, número esse que se determina univocamente.
Definições:
Os vetores e1 e e1 paralelos a dada reta (r), cujo produto escalar seja igual a
um, são denominados vetores recíprocos ou duais na reta. A operação,
sempre possível e unívoca numa reta, que tem por fim determinar o recíproco
de dado vetor paralelo a essa reta, denomina-se inversão nessa reta.
Construção gráfica de vetores recíprocos na reta.
§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. 23
Poliádicos - Ruggeri
Seja T o ponto de contato da tangente à circunferência de centro na origem de e1 e
de raio unitário (circunferência de inversão)17, situada num plano qualquer que contenha o
vetor e1. Seja X a projeção de T sobre o suporte de e1. Da semelhança dos triângulos
retângulos OTX e OET deduz-se: OX OE.: :1 1 Como e1 e o vetor de origem O e
extremidade X, x, têm a mesma direção podemos escrever x .e 1 1 , isso é, x=e1 (Fig.
03.01). Se fosse |e1|<1 far-se-ia a construção no sentido inverso.
Teor. 2:
a1, b, e1 paralelos,
oebb
eaa
1
111
.
., (02) 18.
Com efeito, se ao menos um dos vetores é o vetor zero a identidade é evidente
porque o determinante (02) teria uma fila (linha ou coluna) com elementos nulos. Se os
vetores são todos não nulos, podemos escrever: a a u b b u1 1 | | , | | , onde u é o unitário
da direção comum a esses vetores. Temos, então, evidentemente, para qualquer e1 (paralelo
a u ): ueabb.eauebaab.e ˆ|| || ||)( e ˆ|| || ||)( 11111111 . A igualdade dos primeiros
membros dessas expressões (já que os segundos são iguais) é, obviamente, equivalente a
(02).
17 Esse problema é típico do estudo das transformações das figuras por inversão.
18 Já convencionamos desenvolver um pseudodeterminante como se os vetores fossem números; veja ((06)3, §02.05).
O vetor como combinação linear de vetores recíprocos na reta.
Corol. 1:
Todo vetor a, colinear com os recíprocos e1 e e1, pode ser expresso como
combinações lineares vetoriais únicas desses vetores, isso é:
11
11
11
)(
)( :paralelos }{},{,
ea.ea
ea.eaeea , (021).
Com efeito, se fizermos na identidade geral (02), b = e1, a1=a e desenvolvermos o
determinante considerando (01), obteremos (021)2; em seguida, se fizermos b = e1, a1=a e
e1 = e1 obtemos (021)1.
Nota:
§ 03.01 - Os VR de vetores paralelos. 24
Poliádicos - Ruggeri
Deve ser observado que se a representasse uma grandeza física, digamos uma força, esta poderia ser representada por qualquer das expressões (02
1) com uma mesma unidade de
medida (digamos, N) embutida nas expressões de a.e1 e a.e1. Mas as quantidades a.e
1 e
a.e1 são diferentes porque representam, respectivamente, quantidades de a referidas a e1
e e1, as quais são diferentes (nesse caso, inversas). Veremos, passo a passo, que a
existência dos vetores recíprocos elimina a imposição desnecessária (§ 02.01) de que os vetores de referência tenham os mesmos módulos em todas as direções.
Corol. 2:
A CNS para que dois vetores quaisquer, a e e o1 , sejam paralelos, é
que a=A1e1, sendo A1 um número real qualquer:
11
11 A | | eaoeea , (022)19.
A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de produto de
vetor por número real.
Corol. 3:
A CNS para que dois vetores e1 e e2 sejam paralelos é que exista uma
combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não
simultaneamente nulos20:
oeeee 22
11
21 AA | | ou, 1,2)(i nsn, A ,A ii
i oe , (023).
Se e1 e e2 são nulos eles são paralelos e satisfazem a condição com quaisquer valores
de A1 e A2. Se ao menos um deles não é nulo, e1 por exemplo, então, pelo Corol. 2: e2 =
A'1e1. Mas sendo sempre possível determinar dois números A1 e A2 0 tais que A'1 =
A1/A2, resulta: A1e1+A2e2 = o. A recíproca se demonstra analogamente.
19 As indicações entre os símbolos e representam as mesmas hipóteses nos dois sentidos, conforme as
nossas "Notações Gerais".
20 Usaremos doravante, oportunamente, a abreviatura nsn para representar "não simultaneamente nulos", conforme as nossas "Notações Gerais".
Corol. 4:
Se e1o, a solução da equação em X, e1X = a, é X = a.e1:
e o e a a.e1 11 e X X , (024).
Com efeito, por (022), a e e1 são paralelos; e por (021), tem-se: X = a.e1.
Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta.
Consideremos sobre uma reta, em relação a uma origem arbitrária, O, o "ponto
unidade", U, isso é, o ponto distante 1 de O, e dois outros, X1 e X2. Os vetores posicionais
correspondentes (relativos a O) são u para U (um vetor unitário), x1 para X1 e x2 para X2.
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 25
Poliádicos - Ruggeri
Seja, então, X o ponto corrente da reta, de posicional x. Os módulos desses vetores
representam as distâncias dos pontos correspondentes à origem. A cada módulo juntaremos
o sinal + se o sentido do vetor correspondente for coincidente com o de u ; e o sinal – em
caso contrário. O módulo do vetor posicional acompanhado do sinal é a abscissa da sua
extremidade.
Chama-se razão anarmônica dos quatro pontos X, U, X1 e X2, nessa ordem, o
número definido pela expressão:
1
2
2
1
UX
UX
XX
XXX (03),
em que os segmentos são orientados. Como o domínio de trabalho é a reta, esses segmentos
podem ser substituídos pelas diferenças das abscissas (x, x1 etc.) de suas origens e
extremidades, caso em que
)1x)(xx(
)1x)(xx(X
12
21
(031).
A razão anarmônica dos quatro pontos é, então, uma função homográfica em que a variável
independente é a abscissa do ponto corrente X da reta.
Para o que nos interessa no presente livro essa questão da determinação da razão
anarmônica de quatro pontos não pode ainda ser mais desenvolvida. Voltaremos a ela
repetidas vezes.
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares.
Consideremos o conjunto dos vetores paralelos a dado plano. Estes, têm os
conjuntos dos vetores paralelos a uma reta como um subconjunto, desde que a reta seja
paralela ao plano.
Pares recíprocos ou duais. Inversão no plano.
Teor. 1: (existência)
Dado um par {e1,e2} de vetores não paralelos, existe um e um único par
{e1,e2} de vetores também não paralelos, do plano (e1,e2) tal, que:
e .e e .e e .e e .e11
22 1
22
1 0 1 e , (01).
Com efeito, apliquemos e1 e e2 num ponto qualquer, O. Sobre as normais a e1 e e2
conduzidas por O, no plano (e1,e2), é sempre possível determinar univocamente os vetores
e1 e e2, respectivamente, tais, que: e .e e .e11
22 1 . De fato, devendo ser
| || |cos( , ) | || |cos( , )e e e e e e e e11
11
22
22 1 , bastará que e1 e e2 tenham por módulos os
recíprocos das projeções dos módulos de e1 e e2, respectivamente, sobre os seus suportes;
tem-se então, para i = 1,2: | | /| |sen( , ) /| |,e e e eii iOE 1 11 2 o ponto Ei sendo a projeção
ortogonal da extremidade de ei sobre o suporte de ei. Sendo, ainda, por construção, e1
perpendicular a e2 e e2 perpendicular a e1, deduzimos: e1.e2 = e2.e1 = 0, o que comprova o
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 26
Poliádicos - Ruggeri
teorema. Considerando-se que os ângulos (e1,e2) e (e1,e2) são suplementares, tem-se
também: | | /| |sen( , ) /| |e e e eii iOE 1 11 2 , o ponto Ei sendo a projeção ortogonal de ei sobre o
suporte de ei. Então: | || |sen( , ) | || |sen( , ) | || |sen( , ) ....e e e e e e e e e e e e11
1 2 11 1 2
22
1 2 .
Definições:
Os pares (ou sistemas) de vetores coplanares {e1,e2} e {e1,e2} que satisfazem
a (01) são denominados pares (ou sistemas) recíprocos (ou duais) no seu
plano. Para dois pares recíprocos, os vetores de mesmos índices são ditos
homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.
A operação, sempre possível e unívoca num plano, que tem por fim determinar os
recíprocos de um par de vetores desse plano denomina-se inversão nesse plano.
Construção gráfica de sistemas recíprocos no plano.
Sejam U e V as extremidades de dois vetores quaisquer co-iniciais u e v de
recíprocos a determinar (Fig. 03.02). A projeção U* (V*), sobre o suporte da normal a v
(u), do ponto de contato da tangente à circunferência (de inversão) de raio 1 conduzida pela
projeção U' (V') de U (V) sobre essa normal, é o ponto inverso de U' (V'), ou seja, é a
extremidade de u* (v*).
Com efeito, pela projeção efetuada podemos escrever: OU' cos( | | , )u u u . Conforme
já comprovamos (§ 03.01), se O é o centro da circunferência, o segmento OU* é o inverso
do segmento OU'. Logo, OU cos( | | , )u u u 1. Como devemos ter também
u .u u u u u cos( ) 1 | || | , , U* é a extremidade de u*.
Grupo Ortocêntrico no plano
Sejam 1 e 2 os pontos de interseção dos suportes dos
pares de recíprocos homólogos no plano
( , ) ( , )e e e e11
22 e , quando os sistemas recíprocos
( , ) ( , )e e e e1 21 2 e são aplicados respectivamente, nos
pontos arbitrários O e O* desse plano (Figura 03.03).
Em vista da construção realizada o triângulo OO*2 tem
o ponto 1 por ortocentro. Logo as retas OO* e 12 são
sempre perpendiculares entre si quaisquer que sejam os
pontos O e O*.
É fácil ver que o grupo de quatro pontos O, O*,
1 e 2 forma um grupo ortocêntrico de pontos, isso é,
eles são tais que o triângulo formado por três deles tem
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 27
Poliádicos - Ruggeri
o quarto ponto como ortocentro (como os vértices de um triângulo e seu ortocentro). Os
quatro triângulos formados são denominados um grupo ortocêntrico de triângulos.
Desafio:
Provar que o incentro de um triângulo e seus três ex-incentros formam um grupo
ortocêntrico.
Exercício:
Demonstrar que são inversas (ou recíprocas) as elipses cujos semi-diâmetros
conjugados sejam pares de vetores recíprocos.
Propriedade fundamental de pares recíprocos.
Teor. 2:
Se {e1,e2} e {e1,e2} são pares recíprocos, os produtos vetoriais e1 e2 e e1 e2
são recíprocos na reta ortogonal ao plano dos pares:
1)()( 21
21 ee.ee , (02).
Com efeito, é o que decorre imediatamente de ((08),§ 02.05) e (01).
Dupla multiplicação vetorial de vetores coplanares.
Se a, b e c são vetores quaisquer de um plano, os vetores a b, b c e c a são
todos paralelos, por serem ortogonais a esse plano. Existem, obviamente, os vetores
a (b c), b (c a), c (a b), são geralmente distintos, porém todos pertencem ao plano
dos vetores a, b e c. Vetores assim definidos são denominados duplos produtos vetoriais21
por razões óbvias; a dupla multiplicação vetorial no plano, numa certa associação de três
vetores, é a operação que tem por fim determinar o duplo produto vetorial desses vetores
nessa associação.
Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares)
,)()()()( :0)( com ,,, cbaac.bbc.aabcabccba (03).
Se um ao menos dos vetores é o vetor zero, (03) é verdadeira por evidência. Se r é
um vetor qualquer do plano dos vetores não nulos a, b e c, podemos escrever, aplicando
((08),§ 02.05):
].)()[())(())(()()( ac.bbc.ar.c.br.ac.ar.bc.ac.b
r.ar.bab.cr
Lembrando propriedades da multiplicação mista, podemos também escrever:
21 Gibbs denominou esse produto de vector triple product.
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 28
Poliádicos - Ruggeri
)];([)()( abcr.ab.cr
então, .0]})()[()({ ac.bbc.aabcr. Por ser r qualquer, o vetor entre chaves é o
vetor nulo conforme ((04), § 02.04); o que justifica, então, os dois primeiros membros de
(03). A igualdade do primeiro com o terceiro membro de (03) é de dedução imediata em
vista da anticomutatividade da multiplicação vetorial.
Corol. 1:
Se {e1,e2} e {e1,e2} são recíprocos,
,)(
)( ,
)(
)(
2
21
1212
2
21
2121
ee
eeee
ee
eeee
(031).
Pois, aplicando (03), escrevemos:
,)()()(2121
2
2212e.eeeeeee e ;)()()(
1212
2
1121e.eeeeeee
donde:
.)()()()]([
,)()()()]([
2
21
2
2
2
11212
2
12
2
1
2
22121
.eeeeeee.e
.eeeeeee.e
Considerando a identidade de Lagrange ((07),§ 02.05) temos, ainda:
1)(
)(
)(
)(
2
21
121
22
21
212
1
ee
eee.e
ee
eee.e ;
logo, lembrando as (01), deduzimos as (031).
Notas: 1)- As fórmulas (031) podem ser demonstradas geometricamente sem recorrência às fórmulas (03) e (01); 2)- Nos numeradores das (031) os parênteses são dispensáveis, pois, por exemplo:
.)()()()(2121
2
2212212e.eeeeeeeeee
Evidentemente, podemos também escrever:
221
121
2221
212
1 )(
)( ,
)(
)(
ee
eeee
ee
eeee
, (032).
Teor. 4:
a1, a2, e1, e2 e b coplanares:
o
b.eb.eb
.ea.eaa
.eaeaa
21
22122
21111 .
, (04).
Com efeito, usando (03) podemos escrever a identidade:
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 29
Poliádicos - Ruggeri
obee.aaaaeeb )]()[()()]([21212121
uma vez que a1 a2.b = 0 (a1,a2 e b são coplanares). Operando na primeira parcela
escrevemos, ainda, mais uma vez aplicando (03):
obee.aaa.aeeba.aeeb )]()(])([])([212121211221
Lembrando, agora, propriedade da multiplicação mista, escrevemos:
obee.aaaee.baaee.ba )()()()()()(212122111212
.
Aplicando ((08),§ 02.05), esta expressão pode ser escrita na forma:
a .e a . e
b. e b.ea
a . e a . e
b. e b.ea
a . e a . e
a . e a . eb o
2 1 2 2
1 21
1 1 1 2
1 22
1 1 1 2
2 1 2 2
,
ou, ainda, na forma do determinante simbólico (04), como facilmente se comprova.
O vetor como combinação linear dos vetores de pares recíprocos.
Corol. 1:
Todo vetor a, coplanar com os pares recíprocos {e1,e2} e {e1,e2}, pode ser
expresso como funções lineares únicas dos vetores de cada par:
a e e e e
a a. e e a. e e a. e e
a a. e e a. e e a. e e
, , } , } :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ,2),
{ e { coplanares
i
i
i
i
i
1 2
1 2
1
1
2
2
1
1
2
21
(041).
Com efeito, se aplicarmos (04) para b = a, a1 = e1 e a2 = e2, teremos imediatamente
(041)2. Se fizermos ainda, em (04), b = a, a1 = e1 , a2 = e2, e1 = e1 e e2 = e2, obteremos
(041)1. Os coeficientes das funções lineares (041) são únicos porque se existissem outros
números, A1, A2, A1, A2 tais, que
,AAou ,AA 22
112
21
1 eeaeea
deduziríamos:
a e a e. , .1 1 2 A A etc,2
isso é, os números a.e1, a.e2, ... são únicos.
Nota: É válida aqui a mesma observação feita relativamente à expressão (02
1), § 03.01. A
existência e a utilização dos pares recíprocos possibilitam total liberdade de expressão e de representação gráfica de um vetor qualquer de um plano já que fica eliminada a imposição de que os vetores e
1 e e
2, de direções diferentes, tenham o mesmo módulo; isso é, que nas
representações gráficas, a todas as direções correspondam vetores de comparação de mesmo módulo (basta que os unitários das direções tenham o mesmo comprimento).
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 30
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 2:
A CNS para que um vetor qualquer a seja coplanar com dois vetores não
paralelos e1 e e2 é que a seja uma combinação linear de e1 e e2:
1,2)(i ,AAA
, 0)(
ii
22
11
2121
eeea
aoeeeae, (042).
A condição é necessária pelo Corol. 1; é suficiente pela definição de soma dos
vetores A1e1 e A2e2.
Corol. 3:
A CNS para que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares é que exista uma
combinação linear nula entre eles, com coeficientes Ai não
simultaneamente nulos:
( )
A ,
e e e
e e e o e
1 2 3
1 23
3
0
A A A A nsn (i=1,2,3),1 2 ii
i (043).
Sejam e1, e2 e e3 coplanares. Se e1 e e2, por exemplo, forem paralelos, de
((023),§03.01) podemos escrever (se A1 e A2 são nsn): A A1 2e e o1 2 , ou,
A A1 2e e e o1 2 30 , existindo, pois, combinação linear dos vetores com coeficientes não
simultaneamente nulos. Se e1 e e2 não forem paralelos, o corolário anterior permitirá
escrever:
e e e e e e o3 1 2 1 2 3 A A ou, A A A1 2 1 2 3, ,
porque é sempre possível determinar um terceto de números A1, A2 e A3 0 tal, que
A A A'i i 3 / (i = 1,2). Também neste caso existirá uma combinação linear nula entre os
vetores com coeficientes não simultaneamente nulos.
Reciprocamente, existindo a combinação linear Aiei=o com pelo menos A3 0,
podemos escrever: e e e3 1 2 A A com A A A1 2 1 1 3, , e o corolário 2 mais uma vez
permite concluir que e1, e2 e e3 são coplanares.
Corol. 4:
Se e1 e e2 são não paralelos, as soluções da equação em X1 e X
2,
e1X1+e2X
2=a são X1=a.e1 e X2=a.e2, isso é,
22112
2
1
121X e X XX e a.ea.eaeeoee , (044).
Com efeito, por (042), a, e1 e e2 são vetores coplanares; e por (041) deduzimos os
valores das incógnitas.
Exercício 1:
Comprove que, quando os vetores das duplas recíprocas { 32 ˆ,ˆ uu } e },{ 32uu são
dispostos co-inicialmente num ponto O, a extremidade de u2 é a interseção da normal a 3u
por O com a normal a 2u pela sua extremidade. Analogamente, mutatis mutandis, em
relação a u3.
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 31
Poliádicos - Ruggeri
Exercício 2:
Os unitários u u2 3 e formam um ângulo 1. O unitário
( )u
, coplanar com os
primeiros, forma um ângulo com u2. Comprove então, que:
]ˆ sen ˆ ) (sen [sen γ
1ˆ
3211
)( uuu .
Vetores término colineares.
O Corol. 3 exige apenas que os coeficientes da dependência linear de três vetores
coplanares sejam nsn (não simultaneamente nulos).
Teor. 5: (direto)
Se três pontos A, B e C são colineares, seus posicionais a, b e c,
respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência
linear nula com coeficientes de soma nula.
Como os vetores c-a e c-b têm o mesmo suporte, o Corol. 3 do Teor. 2 garante a
existência de números nsn L e M tais, que L(c-a)+M(c-b)=o. Então,
ocba M)L(ML , (05),
isso é, a dependência linear nula de a, b e c tem coeficientes de soma nula.
Teor. 6: (recíproco)
Se três vetores co-iniciais a, b e c, de extremidades A, B e C,
respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma
nula, suas extremidades são colineares.
Os vetores a, b e c, por terem dependência linear nula, são coplanares (Corol. 3,
Teor. 4); seja ocba NML a expressão dessa dependência com L+M+N=0. Então,
ocba M)L(ML , ou seja, obcac )N()L( .
Pelo Corol. 3, Teor. 2, § 03.01, os vetores c-a e c-b devem ser paralelos. Como ambos têm
origem em C, as suas extremidades A e B são colineares com C.
Definição: (vetores término colineares)
Vetores co-iniciais com extremidades colineares são ditos término
colineares.
*
Muitos problemas em Geometria Plana podem ser facilmente resolvidos por
métodos vetoriais. Qualquer vetor do plano pode ser referido a dois vetores fixos quaisquer
desse plano, co-iniciais num ponto arbitrário, tomados como referência. Quando o ponto de
início e os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico da
solução pode ser apreciavelmente simplificado22. Para o que nos interessa no contexto desta
obra faremos menção apenas às várias formas de equação da reta.
22 O leitor poderá consultar obras [1, 2, 4, 8] que detalham as aplicações.
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 32
Poliádicos - Ruggeri
Varias formas de equação da reta (no plano).
Um ponto de uma reta tem um "grau de liberdade": o de percorrer a reta; depende,
pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Com efeito, pondo, na equação (05),
=M/L tem-se bac )1( . Se, agora, entendermos os pontos A e B como pontos fixos
e o parâmetro como uma variável real continua (assumindo todos os valores de - a +),
a cada valor de corresponderá um ponto C sobre a reta definida por A e B. Na notação
usual o ponto corrente da reta é representado por X e seu posicional por x. Assim e equação
vetorial da reta definida pelos pontos A e B é
bax )1( , (061).
Para x=a deve ser =0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais a e b
devem ser distintos. Pondo a equação na forma bax )1 vê-se que deve ser =
para x=b, ou seja, ao ponto B corresponde o valor do parâmetro.
Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo A e é
paralela ao vetor unitário u . Como o vetor x-a, de módulo , variável, deve, então, ser
paralelo a u , escrevemos uax ˆ , ou seja,
uax ˆ , (062),
ou, se estivermos resolvendo um problema no espaço tridimensional,
ouax ˆ)( , (062').
As equações (061) e (062) são as equações paramétrica da reta no plano; a forma
(062') é a forma normal de equação dessa mesma reta.
Consideremos agora a equação C a.x em que a e C são vetor e escalar
constantes. Tem-se: d ||),cos( || ||C aaxaxa.x em que d é a projeção (constante) de
x sobre a. Conseqüentemente os pontos pertencem a uma reta ortogonal a a cuja distância
à origem é C/|a|=d. A equação dada,
C a.x , (07),
é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na
forma mais simples d ˆ x.a .
Pesquisemos a equação da reta que passa por um ponto fixo A e seja ortogonal à
direção u . Ora, x-a deve ser então, ortogonal a u ; logo,
0ˆ )( u.ax , (08),
equação essa denominada forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o
primeiro membro podemos escrever, ainda,
Cˆ ˆ u .au.x , (091),
por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta.
*
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 33
Poliádicos - Ruggeri
Se levarmos em conta que os posicionais a e b admitem os recíprocos a* e b
* a
equação paramétrica (061) pode assumir uma forma hessiana. Multiplicando-se
escalarmente ambos os seus membros por, digamos a*, resulta 1)1( x.a , ou seja,
)1(||
1ˆ
aax. , (092).
A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no plano).
Sejam e1 e e2 dois vetores de extremidades 1 e 2, respectivamente, co-iniciais num
ponto 0 do plano que definem; e U o ponto de posicional u=e1+e2, denominado "ponto
unidade" do plano em relação a esses vetores. Justifica-se a nomenclatura pelo fato de U ter
coordenadas 1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se
associarem coordenadas univocamente a um ponto qualquer, P, em termos de certas razões
anarmônicas (ver § 03.01).
A reta do plano, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta a reta 12 (oposta ao
ponto 0) no ponto L0 e as retas suporte de e1 e e2 nos pontos L2 e L1, respectivamente. A
reta L1L2 (definida por P, posto que U só dependa dos pontos dados 0, 1 e 2) tem por
equação vetorial,
pux )1( , (10),
em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de
corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor j do
parâmetro para j=0,1,2, sendo
jjj )( lupl , (101).
A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1 ou 2) é o número:
UL
PL.
PL
UL)UP,LL(X
0
0
k
kokk
em que UL0 , PL0 , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos
têm a mesma direção, podemos escrever, também:
)( )(X)( )( k0k0k lp.lulp.lu ,
ou, ainda, substituindo os valores de pl k e 0lu obtidos de (101) e simplificando:
0kk /X , (11).
Vê-se, assim, que, em relação a um terceto arbitrário de pontos de um plano: 0, 1 e
2, do qual derivamos um ponto unidade, U, univocamente determinado, as coordenadas do
ponto genérico desse plano podem ser definidas pelas razões anarmônicas X1, X2, ou pelo
terceto de números 0, 1 e 2. Por métodos vetoriais pudemos, assim, estabelecer essa
forma de proceder, fundamental em Geometria Projetiva Algébrica (cujo desenvolvimento
está fora do escopo deste livro). Nos capítulos seguintes esses conceitos serão transmitidos
facilmente para espaços de dimensões maiores.
§ 03.02 - Os VR de vetores coplanares. 34
Poliádicos - Ruggeri
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares.
Consideremos o conjunto formado por três vetores quaisquer, não coplanares, cujos
suportes definem um triedro. É sempre possível aplicar esses vetores co-inicialmente num
ponto qualquer do espaço, O, e denotá-los por letras seqüenciais de um alfabeto (a, b e c,
por exemplo). Podemos, também, denotá-los por uma mesma letra indexada (e1, e2 e e3, por
exemplo), de forma a que o triedro definido por eles seja positivo23 em relação a uma
seqüência básica (por exemplo: abc ou 123). Nestas condições diremos também que o
terceto e1, e2, e3 é positivo ou direto.
Tercetos recíprocos ou duais. Inversão no espaço.
Teor. 1: (existência)
Dado um terceto direto de vetores não coplanares {e1,e2,e3}, existe um e um
único terceto direto de vetores não coplanares, {e1,e2,e3} tal, que:
2
e .e e .e e .e
e .e e .e e .e e .e e .e e .e
11
22
33
12
23
31
13
21
3
1
0
, (01).
Denotemos por e3 um vetor com módulo finito, a determinar, paralelo a e1^e2 e de
mesmo sentido que este; seja, então:
23 Relembremos que, segundo a regra do observador, um triedro definido pelos vetores co-iniciais e1, e2, e3 é
positivo quando este, voltado para o interior do triedro, com os pés na origem comum dos vetores e com o corpo
dirigido segundo o vetor ei , vê o vetor ej à sua direita e o vetor ek à sua esquerda, desde que ijk forme uma permutação par do grupo (123).
,E1
21
3eee com E = número finito positivo, (A).
Nestas condições e3 encontra-se, em relação ao plano (e1,e2), no mesmo semi-espaço que
e3. O ângulo (e3,e3) é agudo, sendo possível determinar, de modo unívoco, um módulo para
e3, tal, que:
e .e33 1 , (B).
A fórmula (A) dá, então, imediatamente:
E=( 1e e e2 3 ) , e e .e e .e13
23 0 , (C),
uma vez que o segundo membro de (A) é um produto misto com dois vetores iguais.
Com um raciocínio análogo poderíamos mostrar a existência de dois outros vetores,
e2 e e1, de determinações únicas, satisfazendo relações dos tipos (B) e (C) que, em conjunto,
ficam resumidas a (01).
Das igualdades (01) consideremos, por exemplo, e .e e .e31
32 0 . Então, e3 é
ortogonal ao plano (e1,e2); logo, podemos escrever, pela definição de produto vetorial de
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 35
Poliádicos - Ruggeri
dois vetores: ,E
1 21
3eee
onde E* é um número finito positivo a determinar (não nulo
porque e3 tem módulo finito). Considerando (B), deduzimos:
E = ( ) .e e e1 2 3 0
Concluímos, assim, que os ei são não coplanares.
Em resumo, então:
),/()( ),/()( ),/()(32121
3
32113
2
32132
1eeeeeeeeeeeeeeeeee (02),
e
),/()( ),/()( ),/()( 32121
3
32113
2
32132
1eeeeeeeeeeeeeeeeee (021),
igualdades que mostram que se {e1, e2, e3} é direto, então, {e1, e2, e3} é direto; e
reciprocamente.
Definições:
Os tercetos (ou sistemas) de vetores {e1,e2,e3}{e*
} e {e1,e2,e3}{e*}, que
satisfazem a (01), são denominados tercetos (ou sistemas) recíprocos (ou
duais) no espaço. Para dois tercetos recíprocos, os vetores de mesmos
índices são ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.
A operação, sempre possível e unívoca no espaço, que tem por fim determinar os
recíprocos de dado terceto de vetores não coplanares, denomina-se inversão no espaço.
Nota: Deve ser observado que os vetores e1, e2 e e3, recíprocos de e1, e2 e e3 no E3, não têm haver com os recíprocos dos pares (e1, e2), (e2, e3) e (e3, e1), pois cada par admite um par recíproco no seu próprio plano (§ 03.02).
Exercícios:
1) - Mostrar que se { , }u u u u2 32 e { , }3 são sistemas recíprocos num plano, então, se
n é um unitário normal a esse plano, os sistemas },,ˆ{ e },,ˆ{ 3232 uunuun são recíprocos no
espaço.
2) - Existe um e apenas um elipsóide que admite três vetores não coplanares
quaisquer por semi-diâmetros. Então, o elipsóide que admite os vetores de um terceto por
semi-diâmetros, é inverso do elipsóide que admite por semi-diâmetros os vetores do terceto
recíproco do primeiro24.
Construção gráfica de sistemas recíprocos no espaço.
A superfície esférica de raio unitário centrada na origem comum dos vetores, O,
intercepta o conhecido plano definido pelos recíprocos homólogos e1 e e1 (ortogonal ao
definido por e2 e e3) segundo a circunferência de raio um e centro O. Se | e1|>1 e E1 é a
24 Exploraremos um pouco mais esse assunto no Cap. V, Tomo II.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 36
Poliádicos - Ruggeri
projeção ortogonal da extremidade de e1 sobre o suporte de e1, então o vetor e1 e o vetor de
extremidade E1 têm também o mesmo sentido. A projeção ortogonal, E1, do ponto de
contato, T, da tangente à circunferência, conduzida por E1, sobre o suporte de e1, define a
extremidade de e1 (Fig. 03.04).
Com efeito, por evidência, OE cos( , )1 | |e e e1 11 . Sendo, ainda, OE x OE
1
1 1 - pois, da
semelhança dos triângulos retângulos OTE1 e OE1T deduzimos OE OT OT OE1
1: : -
tem-se: 1=),cos(||OE 111
1eee , os vetores de extremidades E1 e E1 tendo o mesmo
sentido. Mas devendo ser e .e11 1 , e tendo então o vetor de extremidade E1 a mesma
direção, o mesmo módulo e o mesmo sentido que e1, resulta que a extremidade de e1 é E1.
Se |e1|<1 aplica-se a operação inversa da descrita para a determinação do recíproco.
Não é difícil interpretar o caso em que um dos vetores tem módulo igual a um.
Propriedade fundamental dos tercetos recíprocos.
Teor. 2:
São números recíprocos os produtos mistos dos vetores de tercetos
recíprocos ordenados homologamente:
, ... ))((1))(( 213213
321321 eeeeeeeeeeee (03).
Da fórmula do duplo produto vetorial de vetores coplanares ((03),§ 03.02), temos:
.)()()(322232322
e.eee.eeeee
Multiplicando escalarmente ambos os membros por e3/(e1e2e3) e considerando (02)1 e (01),
deduzimos: )/()(32122
31
2eee.ee.eee . Como um produto misto não se altera pelo
intercâmbio dos sinais operatórios, )/()(32122
31
2eee.eee.ee . Dividindo, agora,
ambos os membros dessa igualdade por (e1e2e3), considerando (021)2 e simplificando,
resultará (03)25.
25 Como se vê, a fórmula (03) pode ser demonstrada sem recorrência à fórmula adiante, de número (04), dita fórmula do duplo produto vetorial no espaço (expressão do Teor. 3).
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 37
Poliádicos - Ruggeri
Dupla multiplicação vetorial (no espaço).
Teor. 3: (fórmula do duplo produto vetorial)26
,)()()( :,,321231321321
e.eee.eeeeeeee (04).
A fórmula é válida se os vetores são coplanares, conforme ((03),§ 03.02). Se os
vetores não são coplanares eles admitem um terceto recíproco. Temos, considerando (021)3
e propriedade da multiplicação mista:
21
1
21
131
321 ))(( .eeee.ee.eeeee .
Subtraindo ao primeiro membro desta igualdade o termo nulo (e2.e1)(e3.e2)(e1e2e3) e
lembrando que e2.e2=1, podemos escrever:
211
2312
2 213
321 )] )( () )( )[(( e.eee.ee.e.eee.eeee ,
donde, transpondo termos e fatorando:
0]})())[(({ 2
312213
3211
1 .ee.eee.eeeeeee .
Conforme propriedade da multiplicação escalar, o vetor entre chaves, se não é o
vetor nulo, é ortogonal a e2; é também ortogonal a e1 porque seu produto escalar por e1 é
nulo. Logo, por (021)3, esse vetor deve ser paralelo a e3. Mas o seu produto escalar por e1
também é nulo. Então esse vetor deve ser paralelo a e3 e ortogonal a e1; logo, só pode ser o
vetor nulo, uma vez que e1 e e3 não são necessariamente ortogonais. Assim, se
substituirmos na expressão desse vetor, e1 pela sua expressão (02)1, resultará:
])())[()(()(321231321
321
321e.eee.eeeeeeeeeee .
Considerando, agora, (03), resulta (04).
Generalização da identidade vetorial de Lagrange.
Teor. 4:
Tem-se:
,)()( :,,,y.by.a
x.bx.aba.yxbayx (05).
Com efeito, lembrando propriedade da multiplicação mista e aplicando (04)
podemos escrever, sucessivamente:
,])()[(])[()()( .bxy.ayx.a.bayxba.yx
tendo-se, logo, (05). Obviamente, (05) é uma forma mais geral que ((08),§ 02.05).
26 Diferentes deduções originais desta fórmula, sem recorrer a expressões cartesianas dos vetores, foram também
apresentadas por: Moreira, L.C.A., Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1957; Bricard R., Le Calcul
Vectoriel, Coleção Armand Colin, 1929, e em anexo a demonstração de El Annabi; Chattelun, L., Calcul Vectoriel, tomo I, Gauthier-Villars, 1952; Calaes A. M. , Coleção de Estudos Matemáticos, Editora UFOP, 1993.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 38
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 5:
a, e1,e2,e3:
321213132321)()()()( eea.eeea.eeea.eaeee , (06).
Podemos escrever, por evidência:
),()()(
).()()()(
132132
132132132321
eaeeeea.e
eaeea.eeeeea.eaeee
ou, recalculando o duplo produto vetorial na segunda parcela deste último membro:
.)()()()(231321132321
e.eeae.eeaeea.eaeee
Aplicando propriedades da multiplicação mista e da vetorial às duas últimas parcelas
encontramos, logo, (06).
Corol. 1:
,)( :,,,,
321
321
321
321321
y.ey.ey.e
x.ex.ex.e
eee
yxeeeeeeyx (061).
Com efeito, fazendo-se yxa , a última parcela do segundo membro de (06)
pode ser escrita na forma
321
21
321321)]()[()( e
y.ey.e
x.ex.eeee.yxeea.e ,
conforme nos possibilita (05). A referida parcela é, então, o produto de e3 pelo seu
complemento algébrico no pseudodeterminante em (061). Operando analogamente com
todas as parcelas de (06) encontraríamos as demais parcelas do referido
pseudodeterminante desenvolvido segundo Laplace pelos elementos da primeira linha, o
que comprova (061).
Corol. 2:
x y z e e e xyz e e e
x.e x.e x.e
y.e y.e y.e
z.e z.e z.e
, , , , , : ( )( ) ,1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(062)27.
Com efeito, para demonstrar: 1º) basta multiplicar-se escalarmente ambos os
membros de (061) por z; 2º) considerar-se que, no segundo membro, essa operação é
equivalente a multiplicar escalarmente no pseudo-determinante, a primeira linha de vetores
por z; 3º) deslocar-se a primeira linha do determinante assim formado para a posição de
terceira linha, o que não altera o seu valor.
27 Deve ser observado que esta fórmula é válida mesmo quando sejam coplanares os vetores do terceto {e1,e2,e3}, ou os do terceto {x,y,z}.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 39
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 6:
o
b.eb.eb.eb
.ea.ea.eaa
.ea.ea.eaa
.ea.ea.eaa
bea
321
3323133
3222122
3121111
ii :1,2,3)=(i ,, , (07)28.
Desenvolvendo a identidade óbvia oabbaaa )()(3321
colocada na
forma oaaabbaaa )()()()(213321
e operando de forma conveniente,
encontramos: oaabaaababaaaabaa 213123321321 )()()()( . Mais uma vez aplicando
propriedades da multiplicação mista, escrevemos, ainda:
( ) ( ) ( ) ( ) .a a b a a a b a a a b a a a a b o2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 2 3
Multiplicando ambos os membros dessa identidade pelo produto misto (e1e2e3) dos vetores
quaisquer e1, e2, e3 e lembrando a fórmula geral (062), temos:
.
332313
322212
312111
3
321
322212
312111
2
321
332313
312111
1
321
332313
322212
ob
.ea.ea.ea
.ea.ea.ea
.ea.ea.ea
a
b.eb.eb.e
.ea.ea.ea
.ea.ea.ea
a
b.eb.eb.e
.ea.ea.ea
.ea.ea.ea
a
b.eb.eb.e
.ea.ea.ea
.ea.ea.ea
Não é difícil, agora, comprovar-se que essa identidade é equivalente ao determinante
simbólico (07) desenvolvido segundo Lapalace pelos elementos da primeira coluna.
28 Esta fórmula tem ((02), § 03.01) e ((04), § 03.02) como correspondentes na reta e no plano.
O vetor como combinação linear dos vetores de tercetos recíprocos.
Corol. 1:
É sempre possível exprimir qualquer vetor a do espaço por combinações
lineares únicas dos vetores de cada terceto de dois tercetos recíprocos:
1,2,3),(i ) (...) (
) (...) ( :},,{ },,,{ ,
i11
ii
11
321321
ee.aee.aa
ee.aee.aaeeeeeea
i
(071).
Esta fórmula é análoga a ((041),§ 03.02) e sua demonstração pode ser feita por
analogia. Assim, por exemplo, se fizermos na fórmula geral (07), b = a, ai = ei (i = 1,2,3) e
desenvolvermos o determinante, encontraremos facilmente (071)1. Se fizermos, para i =
1,2,3, ei = ei, ai = ei, e b = a, de (07) deduziremos também (071)2.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 40
Poliádicos - Ruggeri
É fácil interpretar geometricamente o significado dos coeficientes a.ei e a.ei (como
veremos no § 04.01), sendo desnecessário, mais uma vez, destacar-se que a existência e a
utilização dos tercetos recíprocos eliminam a imposição de que os vetores e1, e2 e e3 devam
ter os mesmos módulos (ver § 04.01 à frente) 29.
Corol. 2:
A CNS para que três vetores e1, e2, e3 sejam não coplanares é que
qualquer a do espaço possa exprimir-se como uma combinação linear
única desses vetores:
( )e e e a a e1 2 3 0 A (i = 1,2,3),i
i (072).
A condição é necessária pelo Corol. 1. Vamos provar que ela é suficiente por
redução ao absurdo, isso é: se qualquer vetor a pode exprimir-se como duas combinações
lineares (pelo menos) dos vetores e1, e2 e e3, então esses vetores são coplanares. Pois,
escrevendo: a e e e e e e A A A A A A1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 , onde ao menos um dos A
difere do correspondente A', deduzimos:
( ) ( ) ( )A A A A A A1 1 2 2 3 3 e e e o1 2 3
isso é, os vetores e1, e2 e e3 são coplanares conforme ((043),§ 03.02); o que é um absurdo.
Corol. 3:
Uma condição necessária para que quatro vetores e1, e2, e3 e e4 sejam
não coplanares é que exista a combinação linear, Aiei = o, (i = 1,2,3,4),
com os Ai nsn:
e e oi
i
i
i não copla nares, (i = 1,2,3,4) A A nsn, , (073).
A condição é necessária porque se os quatro vetores são não coplanares, existe
necessariamente dentre eles um terceto de não coplanares, podendo acontecer, entretanto,
que dentre os quatro: 1º) um (apenas) seja o vetor nulo; 2º) dois (apenas) sejam colineares;
3º) três (apenas) sejam coplanares. Então, por (072), o quarto vetor, e4, por exemplo, - o
vetor nulo, um vetor paralelo a apenas um dos três, o vetor coplanar com dois quaisquer dos
outros três - poderá ser escrito como uma combinação linear única dos três não coplanares
e1, e2, e3, na forma: e e e e4 1 2 3 Z Z Z1 2 3 .Como, para qualquer A4 0, é sempre
possível determinar um Ai tal que Z A A (i=1,2,3),i i 4 / , a substituição desses valores
na expressão de e4 nos leva à tese (já que pelo menos A4 0).
29 Deve ser observado que para a dedução dessas fórmulas não é necessário recorrer-se à "decomposição cartesiana de um vetor" (conceito que será abordado no § 04).
Corol. 4:
Se e1, e2, e3 são não coplanares, as soluções da equação eiXi = a são Xi =
a.ei:
( ) ,e e e e a a.e1 2 3 0 e X (i=1,2,3) Xii i i (074).
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 41
Poliádicos - Ruggeri
O grupo ortocêntrico no espaço dos vetores.
Sejam { , , } { , , }a b c a b c e sistemas recíprocos30, isso é,
)(abccba , ... e
)(
cba
cba , ... .
Definições: As retas suportes de vetores recíprocos homólogos (como a e a* etc.) serão
ditas retas homólogas; as demais, não homólogas. Os pares de planos (a,b)
e (a*,b*) etc., serão ditos planos homólogos.
É clara a correspondência existente entre os planos homólogos e as retas homólogas
que lhes são ortogonais.
A aplicação de (04) permite concluir imediatamente que
occbbaa , (08).
Com efeito, para o par homólogo (a,a*) escrevemos:
])()[()(
1)(
ca.bba.cabcabc
cbaaa , (091),
ou
])()[()(
1
)(
c.bab.ca
cbaa
cba
cbaa , (092).
Para os demais pares escreveríamos expressões similares. Somando as expressões
correspondentes a (091), ou as correspondentes a (092), comprovamos facilmente (08).
Então os produtos vetoriais dos recíprocos homólogos, formando um contorno
fechado (soma nula), são, por isso, coplanares.
Por (091) e (092) vemos, ainda, que aa é um vetor do plano (b,c), mas também
de (b*,c*). Então aa é paralelo à interseção desses planos homólogos, isso é, o suporte
de aa é a reta comum a esses planos homólogos. Analogamente, os suportes de bb e cc são, respectivamente, as retas comuns dos planos homólogos (c,a),(c*,a*) e
(a,b),(a*,b*). Logo:
Teor. 7:
São coplanares as interseções de planos homólogos de sistemas recíprocos.
Consideremos os vetores dos sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente num
mesmo ponto do espaço; seja ) o plano que contém os produtos aa , bb e cc e
e) a reta ortogonal a ) tirada por esse ponto. Como aa é ortogonal ao plano (a,a*),
resulta que esse plano contém e). Analogamente, podemos comprovar que os planos (b,b*)
e (c,c*) contêm o eixo e). Logo:
30 A nova notação, que certamente não dificultará o entendimento, é mais adequada em Geometria.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 42
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 8:
Os planos das retas homólogas de sistemas recíprocos têm uma reta comum.
Definição:
A reta e) e o plano ) serão denominados eixo e plano do sistema de vetores
recíprocos.
Apliquemos, agora, co-inicialmente, os tercetos recíprocos { , , } { , , }a b c a b c e nos
pontos arbitrários D e D*, respectivamente, de uma reta qualquer paralela ao eixo e) do
sistema. Por força do Teor. 8, os pares de retas homólogas a e a*, b e b*, e c e c* se
interceptam necessariamente; sejam, respectivamente, A, B e C essas interseções (Figura
03.05).
Seja, ainda, H a interseção de e) com o plano )(ABC), plano esse que é,
evidentemente, paralelo ao plano ) do sistema.
Como a e a* são respectivamente perpendiculares aos planos homólogos (b,c) e
(b*c*) que lhes correspondem, o plano (DD*A), além de ser perpendicular ao plano do
sistema (por conter uma reta perpendicular a esse plano) é também perpendicular à reta
comum desses planos, BC, num ponto A'. Logo: 1) - tal plano é seção reta do diedro
formado pelos planos homólogos (b,c) e (b*,c*), sendo 1DAD o ângulo diedro
correspondente; 2) - a aresta DA do tetraedro ABCD é ortogonal à sua oposta BC; 3º) –
deduções análogas podemos fazer com relação aos dois outros planos homólogos, o que
mostra que D* é o ponto de encontro das quatro alturas do tetraedro ABCD.; tal tetraedro
particular recebe o nome de ortocêntrico. Logo:
Os tetraedros ABCD e ABCD* associados aos sistemas recíprocos
{ , , } { , , }a b c a b c e são tetraedros ortocêntricos, D* sendo o ortocentro de
ABCD e D o de ABCD*.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 43
Poliádicos - Ruggeri
Não é difícil ver que o grupo dos cinco pontos D, D*, A, B e C forma um grupo
ortocêntrico de pontos no espaço, isso é, eles são tais que o tetraedro formado por quatro
quaisquer deles tem o quinto ponto como ortocentro. Os quatro tetraedros formados são
chamados o grupo ortocêntrico de tetraedros e gozam de várias propriedades.
Desafio:
É sabido que um tetraedro tem uma superfície esférica inscrita e quatro ex-inscritas
(estas, tangentes a cada face e ao prolongamento das outras três); o centro da inscrita é o
incentro do tetraedro e os centros das ex-inscritas, os ex-incentros. Provar que, num
tetraedro, o incentro e os quatro ex-incentros formam um grupo ortocêntrico.
Exercícios:
1) - Os ângulos das retas homólogas de sistemas recíprocos são iguais aos ângulos
dos planos homólogos que lhes correspondem.
2) - Em sistemas recíprocos, os ângulos diedros de planos homólogos são iguais às
diferenças dos ângulos do eixo do sistema com os vetores recíprocos (homólogos) que lhes
são correspondentes.
3) - Verificar as singularidades que ocorrem quando em um dos tercetos de um
sistema de vetores recíprocos um vetor é perpendicular ao plano dos outros dois.
4) - Comprovar que para sistemas de vetores recíprocos, a soma de dois vetores
quaisquer de um sistema é ortogonal à diferença dos homólogos correspondentes do outro.
Vetores término coplanares.
O Corol. 3 do Teor. 6 exige apenas que os coeficientes da dependência linear nula de
quatro vetores não coplanares e co-iniciais sejam nsn.
Teor.9: (direto)
Se quatro pontos A, B, C e D são coplanares, seus posicionais a, b, c e d,
respectivamente, relativos a um ponto arbitrário, formam uma dependência
linear nula com coeficientes de soma nula.
Como os vetores d-a, d-b e d-c pertencem ao mesmo plano, o Corol. 3 do Teor. 4, §
03.02, garante a existência de números nsn, L, M e N tais, que
ocdbdad )N( )M()L( . Então,
odcba N)ML(NML , (10),
isso é, a dependência linear nula de a, b, c e d tem coeficientes de soma nula.
Teor. 10: (recíproco)
Se quatro vetores co-iniciais a, b, c e d, de extremidades A, B, C e D,
respectivamente, têm uma dependência linear nula, com coeficientes de soma
nula, suas extremidades são pontos de um mesmo plano.
Os vetores a, b, c e d, por terem dependência linear nula, são não coplanares (Corol.
3, Teor. 6); seja odcba PNML essa dependência, com L+M+N+P=0. Então,
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 44
Poliádicos - Ruggeri
odcba N)ML(NML , ou seja, ocdbdad )N()M()L( .
Pelo Corol. 3, Teor. 4, § 03.02, os vetores d-a, d-b e d-c dever ser coplanares. Logo, os
pontos A, B, C e D pertencem necessariamente a um mesmo plano.
Definição: (vetores término coplanares)
Vetores co-iniciais com extremidades num mesmo plano são ditos término
coplanares.
É útil lembrar novamente que muitos problemas em Geometria Espacial podem ser
facilmente resolvidos por métodos vetoriais. Tal como no caso da Geometria Plana,
qualquer vetor do espaço pode ser referido a três vetores desse espaço, co-iniciais num
ponto arbitrário, fixos, quaisquer, tomados como referência. Quando o ponto de co-início e
os vetores de referência são convenientemente escolhidos, o trabalho analítico é
substancialmente simplificado. Para algumas aplicações consulte as obras [1],[2] e [8]
listadas na referencia. Interessa-nos apenas mencionar os dois itens seguintes.
Várias formas de equação de um plano.
No E3, duas retas concorrentes quaisquer definem um plano. Um ponto de um plano
tem dois "graus de liberdade" porque para atingir uma posição qualquer desse plano esse
ponto pode percorrer duas e apenas duas trajetórias paralelas às retas dadas. Isto significa
que a determinação analítica de um ponto qualquer do plano dependerá de dois e apenas
dois parâmetros (independentes). Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3 (ou duas
quaisquer das retas por eles definidas), bastam para determinar unicamente um plano, sua
equação, como facilmente se deduz a partir de (09), é
321) xxxx , (101),
onde x1, x
2 e x
3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a um
ponto arbitrário 0, e 1 e 2 são parâmetros variáveis. A forma (101) de representação do
plano é denominada paramétrica.
Todos os pontos das retas definidas por (x1, x
2), (x
2 e x
3) e (x
1, x
3) pertencem ao
plano (101).
Para x=x1 vê-se que deve ser e 1=2=0 porque os pontos não são colineares. Se
1,20 podemos dividir ambos os membros da equação por 12 e escrevê-la na forma
3
1
21
111
111)111( xxxx
, (102).
Para x=x2 tem-se, simplificando termos semelhantes em x
2 e em seguida evidenciando o
fator comum em ambos os membros,
)1(1)11(1 31
1
2
1
xxx
.
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 45
Poliádicos - Ruggeri
Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são:
2=qualquer e 1=. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os
valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: 1=qualquer e 2=.
A forma, denominada geral, é a que representa o plano que passa por um ponto 1 e é
paralelo a duas direções 1u e 2u . O vetor x-x1 deve, pois, ser coplanar com 1u e 2u ; logo,
0))(ˆˆ( 121 xxuu , (11).
A forma normal de representação do plano está ligada à condição desse plano
passar por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção u . Nesse caso, os vetores x-x1 e x-x
2,
contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a u ; logo, o produto vetorial
deles deve ser paralelo a u , isso é,
ouxxxx ˆ)]()[( 21 , (12).
A equação do plano que passa pelo ponto 1 e é perpendicular à direção u é,
evidentemente,
0ˆ )( 1 u.xx , (13),
posto que para o ponto corrente x, o vetor x-x1 deve ser necessariamente ortogonal a u ; esta
é a forma hessiana de representação do plano no espaço. O número dˆ 1 u:x é a distância
da origem ao plano.
A Razão anarmônica de quatro pontos de uma reta (no espaço).
Sejam e1, e2 e e3 três vetores não coplanares, de extremidades 1, 2 e 3,
respectivamente, co-iniciais num ponto 0 do espaço; e U o ponto de posicional u=e1+e2+e3,
denominado "ponto unidade" do espaço em relação a esses vetores (ou aos 4 pontos 0, 1, 2
e 3). Justifica-se a nomenclatura, como no caso do plano (§ 03.02) pelo fato de U ter
coordenadas 1,1 e 1 quando os vetores são tomados por base. Mostraremos agora como se
associarem coordenadas a um ponto qualquer, P, de forma unívoca, em termos de certas
razões anarmônicas (ver § 03.01 e § 03.02).
A reta do espaço, definida pelo ponto qualquer, P, e por U, corta o plano 123 (oposto
ao ponto 0) no ponto L0 e os planos 230 (oposto a 1), 301 (oposto a 2) e 012 (oposto a 3)
nos pontos L1, L2 e L3, respectivamente. A reta PU (definida por P, posto que U só dependa
dos pontos dados 0, 1, 2 e 3) tem por equação vetorial,
pux ˆ)1( , (14),
em que x é o vetor posicional do seu ponto corrente e p o posicional de P. A cada valor de
corresponde um e apenas um ponto sobre a reta. Ao ponto Lj corresponde o valor j do
parâmetro para j=0,1,2,3, sendo
jjj )( lupl , (141).
§ 03.03 - Os VR de vetores não coplanares. 46
Poliádicos - Ruggeri
A razão anarmônica dos quatro pontos L0, Lk, U e P (para k=1, ou 2, ou 3) é o
número
UL
PL.
PL
UL)UP,LL(X
0
0
k
kokk
em que UL0 , PL0 , ... são segmentos orientados sobre a reta L1L2. Como esses segmentos
têm a mesma direção, podemos escrever, também:
)( )(X)( )( k0k0k lp.lulp.lu ,
ou, ainda, substituindo os valores de pl k e 0lu obtidos de (101) e simplificando:
0kk /X , (15).
Vê-se, assim, como no caso do mesmo problema a duas dimensões, que, em relação
a um terceto arbitrário de pontos do espaço, 1, 2 e 3, do qual derivamos um ponto unidade,
U, univocamente determinado, as coordenadas do ponto genérico desse plano podem ser
definidas pelas razões anarmônicas X1, X2 e X3, ou pela quadra de números 0, 1, 2 e 3.
Novamente, por métodos vetoriais, podemos estabelecer essa forma fundamental de
proceder em Geometria Projetiva Algébrica. Voltamos a insistir no fato de que, nos
capítulos seguintes, esses conceitos serão transmitidos, dentro dessa mesma linha de
atuação, para espaços de dimensões maiores.
§ 04 - ESPAÇO VETORIAL. BASES E COORDENADAS.
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas.
Qualquer conjunto de vetores, para os quais estejam definidas as operações de
multiplicação por número real (como no § 02.02) e de adição (como no § 02.01), a primeira
operação gozando das propriedades:
1
A(B AB)
A + B+... ) A B
A( A A
v v
v v
v v v
u v u v
,
) ( ,
( ... ,
... ) ... ,
e a segunda, das propriedades ( ) ( ),
,
,
( ) ,
a b c a b c
a b b a
a o a
a a o
denomina-se um espaço vetorial sobre a Geometria Euclidiana.
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 47
Poliádicos - Ruggeri
Assim, o conjunto E1 dos vetores paralelos a dada reta, o conjunto E2 dos vetores
paralelos a dado plano, formam espaços vetoriais particulares; o conjunto E3 de todos os
vetores do espaço da Geometria Euclidiana forma também um espaço vetorial, espaço esse
que contém os demais como espaços particulares ou subespaços31.
Demonstramos alguns teoremas (de existência) para esses espaços. Assim, vimos
que:
A CNS para que um vetor e1 seja nulo, dois vetores e1 e e2 sejam paralelos, e
que três vetores e1, e2 e e3 sejam coplanares, é que existam combinações
lineares entre esses vetores com coeficientes não simultaneamente nulos:
nsn, A 1,2,3)=(i A 0)(
nsn, A 1,2),=(i A =
nsn, A 1),=(i A
i
i
i
321
i
i
i
21
i
i
i
1
oeeee
oeoee
oeoe
(01).
Dizemos, em vista disso, que o vetor nulo em E1, E2 e E3, dois vetores paralelos em E2 e E3
e três vetores coplanares em E3 são sempre linearmente dependentes.
Demonstramos, ainda, outros teoremas (de existência) segundo os quais: se um vetor
é não nulo em E1, E2 e E3, se dois são não paralelos em E2 e E3 e se três são não coplanares
em E3, então qualquer vetor paralelo ao vetor não nulo em E1, E2 e E3, qualquer vetor
coplanar com dois outros não paralelos em E2 e E3 e um vetor qualquer em relação aos três
não coplanares em E3, pode exprimir-se como uma combinação linear única desses vetores
(de referência) nas formas respectivas ((021),§ 03.01), ((041),§ 03.02) e ((071),§ 03.03).
Com outras palavras, diríamos que para um vetor não nulo e1 em E1, E2 e E3, para dois
vetores não paralelos e1, e2 em E2 e E3 e para três vetores não coplanares e1, e2, e3, em E3,
as combinações lineares respectivas (01) são possíveis se, e somente se, os coeficientes
dessas combinações são simultaneamente nulos. Assim, contrariamente ao caso anterior,
um vetor não nulo em E1, dois vetores não paralelos em E2 e três vetores não coplanares em
E3 são ditos linearmente independentes. O número máximo de vetores linearmente
independentes de um espaço é dito a dimensão desse espaço e qualquer conjunto desses
vetores é dito uma base do mesmo. Assim, qualquer vetor não nulo é uma base de um
espaço de vetores paralelos e sua dimensão é um; qualquer par de vetores não paralelos é
uma base de um espaço de vetores coplanares e dois é a sua dimensão; qualquer terceto de
vetores não coplanares é uma base no espaço de toda a Geometria Euclidiana e três é a sua
dimensão. As bases serão denotadas pelos seus vetores entre chaves: {e1} e {e1}, {e1,e2} e
{e1,e2} e {e1,e2,e3}, {e1,e2,e3} ou, sinteticamente, nos espaços respectivos: {e*} e {e*}.
Bases como {e*} e {e*} são ditas recíprocas e desempenham papel expressivo na Física.
Conduzamos pela extremidade do vetor do E3
31 Esses conceitos são aqui destacados porque podem ser estendidos para conjuntos de objetos quaisquer, como:
polinômios, números reais etc.; tornam-se, nesse caso, mais gerais, porem muito abstratos. A teoria matemática que cuida dessas generalizações é a Álgebra Linear. A álgebra que aqui desenvolvemos - não obstante ter servido
de inspiração ao desenvolvimento da Álgebra Linear - é um caso particular desta. Justifica-se, porém, essa nossa
abordagem específica e particular, pelo valor da sua aplicação prática imediata e objetiva em Física, em Geometria e, conseqüentemente, em Engenharia.
iii
i AA eea , (i=1,2,3) (02),
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 48
Poliádicos - Ruggeri
co-inicial com a origem, o plano paralelo ao plano (ej,ek), que é furado pelos vetor ei no
ponto Ai para todo ijk. Analogamente, o plano conduzido pela extremidade de a
paralelamente ao plano (ej,ek) é furado pelo vetor ei no ponto Ai. Tal como A
i é a projeção
da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,ek), também Ai é a
projeção da extremidade de a sobre o suporte de ei paralelamente ao plano (ej,e
k). Como
todos os eixos têm uma unidade de distância comum, podemos associar-lhes um sistema de
coordenadas cartesianas e escrever:
...ˆ OA...ˆ OA 111
1 eea , ou ... ||
OA...
||
OA 1
11
11
1
ee
ee
a .
Então, em vista de (02):
... ,||AOA 111
e e ... ,||AOA 111 e
Comprovamos, assim, que os três coeficientes Ai e os três Ai representam, precisa e
respectivamente, as coordenadas da extremidade do vetor a nas bases {e*} e {e*} porque
os módulos dos vetores de base (determinados em relação a uma unidade comum de medida
de distâncias) representam as escalas (virtuais) com que são graduados os vários eixos. Por
isso mesmo, os coeficientes das decomposições (02) - decomposições essas denominadas
cartesianas - são denominadas coordenadas cartesianas do vetor a nas bases respectivas
{e*} e {e*}. Os segmentos i OA e
i OA costumam ser denominados as “componentes
físicas” de a. Como as coordenadas de um mesmo vetor variam de uma base para a sua
recíproca, convencionaremos que aquelas coordenadas relativas à base representada por
vetores cujas letras estejam indexadas em nível inferior sejam denominadas
contravariantes; contrariamente, as outras coordenadas serão denominadas co-variantes.
Assim, em (02), as coordenadas Ai são as coordenadas contravariantes de a (na base {e*});
as Ai são as coordenadas co-variantes de a (na base {e*}). Coordenadas co-variantes e
contravariantes de vetores referem-se então, necessariamente, a bases vetoriais recíprocas.
Apenas os sistemas de vetores recíprocos permitem essa representação
cartesiana geral, elegante e versátil dos vetores.
Vale salientar mais uma vez que os conceitos de coordenadas contravariantes e co-
variantes de um mesmo vetor são válidos quaisquer que sejam as unidades de medida
fixadas para cada eixo de um terceto de vetores, desde que exista uma unidade de medida
de distâncias comum a todos eles, pouco importando qual seja ela. Esta é a única limitação
- embora muito forte - para a dedução de tudo aquilo que almejamos daqui a diante.
Primeiro contato com os métodos tensoriais e poliádicos.
A introdução das coordenadas de um vetor (em relação a uma base) impõe-nos um
modo de trabalho aparentemente paradoxal, como veremos, paulatinamente. Por ora,
devemos entender - salvo por prova em contrário - que todas as propriedades, fórmulas etc.
que venhamos a desenvolver ou a demonstrar a seguir, são válidas em relação à base a que
se referem as coordenadas dos vetores. Fica o leitor desde já alertado para essa importante
questão, porque até o momento não temos critério para decidir se algo que "é certo" em
relação a uma base (ou em relação a um observador) deve ser "igualmente certo" em
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 49
Poliádicos - Ruggeri
relação a outra base (ou outro observador). Isso é, a adoção de coordenadas e vetores de
base induz, intuitivamente, a separação do que seja "invariante", "universal", válido para
todos os observadores, do que seja específico para dado observador. Na essência dessa
"separação" é que residem os "métodos tensoriais", o "tensorialismo" ou o chamado
Cálculo Tensorial e o seu significado para a Física.
Evitando os sistemas de coordenadas de um lado, mas apegando-nos
inevitavelmente a bases vetoriais (vetores independentes) por outro lado, fomos levados
naturalmente ao desenvolvimento da teoria dos vetores recíprocos. Mostraremos
oportunamente, em cada capítulo, a importância dos recíprocos para os "métodos
poliádicos", métodos esses que serão confrontados com o "modo cartesiano" ou tensorial.
Em resumo: no Cálculo Tensorial, as coordenadas desempenham um papel fundamental,
sendo usadas, entretanto, para provar que o que tem "caráter tensorial" independe de
coordenadas32. No Cálculo Poliádico é dispensável a coordenada para a formulação dos
problemas, mas é inevitável a recorrência indireta a uma base na forma de vetores
independentes.
O Cálculo Tensorial, de índole algébrica, foi essencial para a estruturação lógica e
matemática da Física. O Cálculo Poliádico, de índole geométrica, se nos apresenta mais
"natural" e mais "piedoso" para a mesma tarefa. Ao se efetuarem medidas das grandezas
(com o uso de suas componentes, necessariamente) os métodos poliádicos devem ser
degradados em métodos numéricos, tal como os métodos tensoriais. Mas a caça aos
invariantes pelos métodos poliádicos supera de longe, por sua simplicidade e elegância, os
métodos tensoriais, como pretendemos expor nesse texto.
§ 04.02 - Deltas de Kronecker e Permutadores.
Chamam-se Deltas de Kronecker símbolos (adimensionais) contendo dois índices
em níveis diferentes e assim definidos, quando todos os seus índices assumem os valores do
conjunto {1,2,3}: valem a unidade positiva sempre que dois dos índices numéricos são
iguais e zero quando esses índices são diferentes. Representando-os por ij, ou por
ij,
escrevemos, sinteticamente:
ji para 0
ji para 1ji
j i , isso é: 1
1 = 22 = 3
3 =11=...= 1 e 1
2 = 13 = 2
3 = = ... = 0. (01).
Em função dos Deltas de Kronecker os produtos escalares de vetores recíprocos no
espaço euclidiano N dimensional EN (com N=1, ou 2, ou 3), podem ser escritos
resumidamente na forma:
.. ji
j ii
jji eeee , (i,j=1,2, ..., N), (02).
Chamam-se Permutadores (ou alternadores) símbolos (adimensionais) com N (=2,
ou 3) índices no mesmo nível, tais que quando todos os índices assumem todos os valores
do conjunto {1,2,...,N}:
32 Bertrand Russel manifestou-se a esse respeito, em sua "Análise da Matéria", Zahar Editores, Rio de Janeiro,
1978, Cap. VII, pag. 83: "...O método dos tensores primeiro determina coordenadas, e depois mostra como obter resultados que, embora expressos em termos de coordenadas, realmente não depende delas."
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 50
Poliádicos - Ruggeri
a) valham +1 sempre que os índices formem uma permutação par, considerando
como fundamental a permutação 1,2,...,N, isso é, sempre que os N índices ocorrem na
seqüência cíclica positiva 12 se N = 2, 12312 se N = 3;
b) valham -1 sempre que os índices formem uma permutação ímpar em relação à
permutação fundamental 12 ou 123, isso é, sempre que os N índices ocorrem na seqüência
cíclica negativa 21 se N = 2, ou 32132 se N = 3;
c) valham zero sempre que dois dos índices numéricos ocorrem repetidos.
Denotando estes símbolos por ij ou ij, se N = 2, e ijk ou ijk se N = 3, podemos
escrever:
1212
123 231 312123 231 312
2121
321 213 132321
2211 22
112 122
1
1
1
1
0
...
... =0= ...
11
221
Em resumo, para ijk:
no E2: 1jiij ; e no E3: 1jikikjkjikijjkiijk ,
todos os demais casos correspondendo à nulidade dos símbolos.
Não é difícil comprovar que as igualdades ((031) e (032),§ 03.02), ((02) e (021),§
03.03) podem ser escritas, em função dos permutadores, nas formas respectivas:
1,2),=j(i, ,)(
)(ou ,
)(
)(
2
21
21ji
ij2
21
21jiji
ee
eeee
ee
eeee
(03),
221
21j
iji )(
)(
ee
eeee
, ou
221
21j
i
ij
)(
)(
ee
eeee
, (i,j=1,2), (031),
k
ijk321ji)( eeeeee , ou
k
321ji
kij )(2 eeeeee , (i,j,k=1,2,3), (04),
k
ijk321ji )( eeeeee , ou k
321ji
kij)(2 eeeeee , (i,j,k=1,2,3), (041).
Em vista de propriedades da multiplicação mista relativas às permutações cíclicas e
anticíclicas das letras representativas dos vetores, podemos também escrever:
( ) ( ),e e e e e ei j k ijk (i, j, k = 1,2,3), 1 2 3 (05),
( ) ( ), (i, j, k = 1,2,3)e e e e e ei j k ijk
1 2 3
, (051).
§ 04.01 - Espaço, dimensão, base, coordenadas. 51
Poliádicos - Ruggeri
Similarmente comprovaríamos que
21ijji eeee e 21ijji eeee , (052).
Produtos de Deltas de Kronecker.
Têm-se as seguintes fórmulas:
N
N (i, j, ...= 1,2, ... , N),
ij
jk
ik
ij
ji
ii
ij
nk
km
ij
nm
ij
jk
km
im
ij
jk
ki
ii
,
,
,
,
,
(06).
Demonstremos a primeira fórmula. Podemos escrever, em relação às bases
recíprocas {e*} e {e*}: j
j ij
jii )( ee.eee com i,j=1,2,...,N. Multiplicando escalarmente
ambos os membros por ek, temos, finalmente: k j
j i
kj
j i
k i
ki )( .ee.ee .
Aplicando (06)1, temos, sucessivamente: m i
m k
k i
m k
k j
j i .
Por procedimento análogo podemos demonstrar as demais fórmulas (06) que
traduzem uma “regra de substituição” no sentido de que na multiplicação de dois deltas que
apresentem índice repetido – dito índice mudo - o produto correspondente pode ser
substituído por um único delta cujos índices sejam aqueles não repetidos.
Produto de permutadores.
Teor. 1: Determinante de Gram (de um produto de permutadores)
Tem-se:
(i, j, m, n = 1,2);
i, j, k, m, n, p = 1,2,3),
ij
mn i
m
i
n
j
m
j
n
ijk
mnp
i
m
i
n
i
p
j
m
j
n
j
p
k
m
k
n
k
p
,
, (
(07).
Com efeito, para N = 3, podemos escrever, lembrando ((03),§ 03.03), (05) e (051):
ijk
mnp
ijk
mnp
i j k
m n p ( ) ( ) ( ) ( ).e e e e e e e e e e e e1 2 3
1 2 3
Agora, aplicando ((062),§ 03.03) e lembrando que e .eij
ij
, encontramos, logo, (07)2. A
demonstração de (07)1 é análoga à de (072), bastando considerar ((052), (053) e
(02),§03.02).
§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos. 52
Poliádicos - Ruggeri
Os determinantes (07) são denominados determinantes de Gram nos seus
respectivos espaços.
Corol. 1:
);( )( nmjin
jm j
n i
m imnk
ijk ee.ee
);( )(2 2 jmji
m i
mjkijk ee.ee
)( )(6 jiji
ijkijk ee.ee , (071).
Temos, com efeito, relativamente à primeira das fórmulas:
),(])[()( )(
)( )(
nmk
kji
nmk
kji
knm
kji
mnk
ijk
ee.e.eeee.ee.eee
eeeeee
donde, aplicando ((071),§ 03.03) ao primeiro fator e, em seguida, ((05),§ 03.03):
.
)()(
n
i
m
j
n
j
m
in
j
m
j
n
i
m
in
j
m
j
n
i
m
i
nm
ji
mnk
ijk
.ee.ee
.ee.ee
ee.ee
Fazendo n = j na primeira fórmula, considerando que jj
jj 3 e .e e que
jm
ij
im
(conforme (061)), encontramos, logo, a segunda; fazendo nesta, i = m,
deduzimos a terceira.
A partir de (04)1 e (041)1, aplicando (071)2, podemos demonstrar imediatamente a
validade de (04)2 e (041)2. Com efeito, multiplicando ambos os membros de (04)1, por
exemplo, por pij , e somando (em i e j), temos:
.)(22)()( p
321
kp
k321
k
kij
pij
321ji
pijeeeeeeeeeeeeee
§ 04.03 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de produtos.
Ponhamos, em relação a bases recíprocas {e*} e {e*} de EN:
x e e y e e z e e X X Y Y e Z Z (i, j, k = 1,2,... , N).i
i i
i j
j j
j k
k k
k, ,
Teor. 1:
O produto escalar de dois vetores, expressos cartesianamente em bases
recíprocas, é igual à soma dos produtos das coordenadas contravariantes de
um pelas coordenadas co-variantes correspondentes do outro:
x . y X Y X Yii i
i (i = 1,2,...,N), (01).
§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos. 53
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, aplicando propriedades da multiplicação escalar de vetores e as
definições dos Deltas de Kronecker, escrevemos: x. y e .e X Y X Yi
j i
j i
j ij , ou
x. y e .e X Y X Y (i, j = 1,2,... , N).i
j i
j i
j ij , Efetuando as somas indicadas em i e em j,
observando que para i j a parcela correspondente é nula, temos, logo, (01).
A regra da substituição (§04.02) pode ser estendida ao caso em que um dos fatores
não é um delta de Kronecker. Assim: ij
ij YY , o que é equivalente a efetuar a soma
indicada em j.
Corol. 1:
O quadrado escalar (ou a norma) de um vetor expresso cartesianamente
em bases recíprocas, é igual à soma dos produtos das suas coordenadas
co-variantes e contravariantes correspondentes:
x2 X X
i
i (i=1,2,...,N), (011).
Exercício: Comprovar que
vv e v e
e e
v e v e
e e
v e v e
e e:
, ) , , ) , , ) ,
cos ( cos ( )
cos ( , )
cos ( cos ( )
cos ( , )
cos ( cos ( )
cos ( , )1 2 3
11
1
22
2
33
3 1.
Teor. 2:
Tem-se, para o produto vetorial:
- para N=1:
oyx ,
- para N=2:
2121
21
YY
XXeeyx , e 21
21
21 YY
XXeeyx , (02);
- para N=3:
321
321
321
321
YYY
XXX)(
eee
eeeyx e
321
321
321321
YYY
XXX)(
eee
eeeyx (03)33.
Os casos N = 1 e N = 2 podem ser comprovados facilmente. O caso N = 3 também é
de comprovação imediata. Com efeito, se na fórmula geral ((061),§ 03.03) os vetores e1, e2
e e3 são considerados independentes, eles admitem um terceto recíproco; logo,
considerando a propriedade fundamental ((03), §03.03) e considerando que x.ei=Xi,
comprovamos (03)2. Analogamente comprovaríamos (03)1.
33 O desconhecimento ou o esquecimento dessas fórmulas podem nos levar a conclusões desastrosas. Veja artigo
do autor: "Um engano matemático repetido por 100 anos", Revista Escola de Minas, REM – Rev. Escola de Minas, Ouro Preto, 56(3):211-218, jul. set. 2003.
§ 04.03 - Expressões cartesianas de produtos. 54
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 1:
- para N = 2:
,YY
XX)()( e
YY
XX)()(
21
21
2121
2121 ee.yxee.yx (021);
- para N = 3:
,
YYY
XXX))(( e
YYY
XXX))((
321
321
321
321321
321
321
321
eee
eeeyx
eee
eeeyx (031).
Para comprovar estas fórmulas basta lembrar que as bases {e*} e {e*} são
recíprocas. Assim, por exemplo, multiplicando ambos os membros de (03)2 por (e1e2e3), e
lembrando ((03), § 03.03), encontraríamos, logo, (031).
Corol. 2:
Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente na mesma
base, sejam paralelos, é que as suas coordenadas homônimas
correspondentes nessa base sejam proporcionais.
Com efeito, pois se x e y são paralelos, oyx e (031)1 fornece, relativamente à
base {e*}, por exemplo, para N=3: X Y X Y X Y X Y X Y X Y 0,2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
isso é,
X
Y
X
Y
X
YK.
1
1
2
2
3
3
A recíproca se demonstra analogamente, isso é, se as coordenadas Xi e Yi dos
vetores x e y na base {e*} são proporcionais, então o determinante em (031)1 é nulo e
oyx ; logo .
Corol. 3:
Uma CNS para que dois vetores, expressos cartesianamente numa mesma
base, sejam iguais é que as suas coordenadas homônimas
correspondentes nessa base sejam iguais.
Teor. 3:
Tem-se, para o produto misto:
( ) ( ) ( ) ( ) ,xyz e e e xyz e e e 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
X X X
Y Y Y
Z Z Z
, ou
X X X
Y Y Y
Z Z Z
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(04);
( )( ) ( )( ) ,xyz e e e xyz e e e1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
X X X
Y Y Y
Z Z Z
, ou
X X X
Y Y Y
Z Z Z
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(05).
§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 55
Poliádicos - Ruggeri
Estas fórmulas são evidentes a partir da fórmula geral ((062),§ 03.03), devendo
observar-se, apenas, que, aqui, o terceto {e1,e2,e3} constitui uma base, sendo, então,
(e1e2e3)(e1e2e3) = 1 e Xi = x.ei, Xi = x.ei .
Nota: A multiplicação escalar de ambos os membros das (031) por z e a aplicação de propriedades elementares dos determinantes conduzem também a uma demonstração imediata dessas fórmulas.
Corol. 1:
Se det*
e det* representam os determinantes cujas linhas sejam formadas
com as coordenadas co-variantes e as contravariantes, respectivamente,
de três vetores quaisquer nas bases recíprocas {e*} e {e*
}, então:
det = det ( ) e det = det ( )1 2 3
2 1 2 3 2
e e e e e e , (051).
A demonstração é imediata porque, das (04), escrevemos: ( )det1 2 3e e e
( )det ;1 2 3e e e logo, considerando ((03),§ 03.03), comprovamos as (051).
Exercício: Determinar as equações cartesianas de retas e planos correspondentes às equações
vetoriais apresentadas no § 03.02 e no § 03.03.
§ 04.04 - Expressões cartesianas (ou tensoriais) de sistemas de
vetores recíprocos.
Consideremos os N vetores independentes, ai, de EN, de representações cartesianas
na base {e*},
N),1,2,...,=j(m, A jj
mm ea (01).
No caso N = 1, a expressão cartesiana do recíproco a1 é de determinação imediata:
.A
11
11 ea
No caso N = 2, deve ser, conforme ((02)2,§ 04.03):
2
2
1
2
2
1
1
12121 AA
AA |A| com ),(|A| eeaa ;
logo,
)(|A|A)(21k
k
j21jeeeaaa .
§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 56
Poliádicos - Ruggeri
Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por mj e somando em j obtemos, no
primeiro membro, aplicando ((03)1,§ 04.02), m2
21)( aaa ; aplicando ((03)2,§ 04.02) ao
segundo membro podemos escrever, então:
i
ik
2
21
k
j
mjm2
21)(|A|A)( eeeaaa ,
ou melhor, lembrando a expressão de a1×a2 e simplificando:
.|A|
A i
k
j
k i
mjmea
Examinemos as somatórias do segundo membro desta igualdade. Se m = i as parcelas não
nulas ocorrerão para j = k i e mjik
i m ( )1 1; se m i, as parcelas não nulas
ocorrerão para j = i e k = m, sendo, ainda, mjik
i m ( )1 1. Então, mj ik j
kA é o
co-fator (ou complemento algébrico) do elemento Ami em |A|. Pondo, então, cof(Am
i) = Ami,
escrevemos:
a em
mi i A
|A| (i, m 1,2). ,
No caso N = 3, escrevemos analogamente, lembrando ((04)1,§ 04.02):
i
irs321
s
k
r
jsr
s
k
r
jkj)(AAAA eeeeeeaa .
Multipliquemos o primeiro e o último membros por mjk/[2(a1a2a3)] e somemos. No
primeiro membro teremos a expressão de am, conforme ((04)2,§ 04.02); considerando que:
( ) | )a a a e e e1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0, A|( com |A|
A A A
A A A
A A A
1 1 1
2 2 2
3 3 3
e simplificando no segundo membro, resulta:
a em
mjk
irs jr
ks
iA A
2|A|
.
Para m = 1 e i = 2, por exemplo, temos:
)AAAA(AA3
k1j213
1k
3j231
1jksk
rj2rs
jk1
§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 57
Poliádicos - Ruggeri
).cof(A2AA
AA2)AAAA(2
)AAAA()AAAA(
213
31
3
32
123
31
21
33
2
32
13
12
33
13233
12
13
32
123
Tal como no caso anterior, comprovamos que
mjk
irs jr
ks
mi m
iA A cof(A A 2 2) .
Logo:
a emm
i i A
|A| (i,m 1,2,3).
Em vista desses resultados podemos escrever, então, as expressões dos recíprocos dos
vetores dados por (01):
a emm
i i A
|A| (i,m 1,2,...,N), (02).
Multiplicando ambos os membros de (02) por an e depois por ek, temos:
|A| A e |A| A (i,k,m,n 1,2,...,N),nm m
ii
nm
km
k e .a a .e (A).
Mas, de (01), escrevemos: a .eri
ri
A . Logo, por substituição desta igualdade na
primeira das igualdades (A), onde façamos r = n, temos:
| ,A| A Anm m
i ni (i, m, n = 1,2,...,N), (03).
Multiplicando ambos os membros da segunda das igualdades (A) por Ami temos, ainda:
A A |A|( A A|( |A|m
k mi
k
m
mi
k
m
m
i
k
i e .a e .a a .e e .e) | )( ) ,
isso é,
A A A|m
k mi
ki| , (031).
As igualdades (03) e (031) traduzem interessantes propriedades dos determinantes:
1º)- É igual a zero a soma de todos os produtos dos elementos de uma fila de
um determinante pelos complementos algébricos dos elementos
correspondentes de outra fila paralela (i k);
2º)- Todo determinante vale a soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer pelos seus respectivos complementos algébricos (i = k)34.
Multiplicando, agora, ambos os membros de (01) por Amk e aplicando (031) temos,
sucessivamente:
A A A |A| |A| km
m km
mj
j kj
j ka e e e ;
logo:
34 Para determinantes estas proposições são válidas para qualquer N finito.
§ 04.04 - Expressões cartesianas de sistemas recíprocos. 58
Poliádicos - Ruggeri
e ak km
m
A
|A|, (m,k 1,2,...,N), (04).
As equações (04) são as inversas das (01).
Para N = 2,
2121|A| eeaa ,
e 2121 |X| eeaa .
Multiplicando membro a membro teremos: |A||X| = 1, ou |X| = |A|-1. Então, de (02), fazendo
m = 1 e 2, e multiplicando vetorialmente membro a membro, temos:
)(AA|A|
1 ji2
j
1
i 2
21eeaa .
O determinante
|~
,A|A A
A A
1 1
2 2
1 2
1 2
denomina-se adjunto de |A|; e tem-se:
21
2
21
|A|
|A~
|eeaa ,
isso é, considerando-se que |X| = |A|-1: |A| |A|~ .
Para N = 3 em (01), teríamos:
( ) |A|( ),1 2 3 1 2 3a a a e e e (B),
e, por (02), para m = 1,2 e 3:
|A| A|(3
( ) |~
),a a a e e e1 2 3 1 2 3
(C),
sendo
|~
.A|A A AA A AA A A
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Deduzimos, então, multiplicando membro a membro (B) e (C): |A| |A| .2~
Genericamente, então:
|A| |A| , (N 2 ou 3),N 1~ (05).
Representando por |R| o determinante das coordenadas dos vetores ei na base {a*
},
escrevemos, de (04):
|R| |A
|A||
|A|
|A|
mk
N
~
.
§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. 59
Poliádicos - Ruggeri
Então, considerando (05): |A||R| |A||A|
|A|1.
N
~
O determinante |R| denomina-se o recíproco
(ou inverso) de |A|, sendo mais prático representá-lo por |A|-1. Temos, então:
|A||A|
|A|,
N 1
~
(06).
Assim:
O determinante cujas linhas são formadas pelas coordenadas dos vetores de
uma base numa outra base é recíproco do determinante cujas linhas são
formadas pelas coordenadas dos vetores correspondentes dessa base
naquela.
§ 04.05 – Equações cartesianas de retas e de planos.
Vimos que as propriedades da figuras na Geometria ordinária podem ser buscadas de
uma maneira mais simples usando os métodos vetoriais. Isto também pode ser verificado
em Geometria Analítica (GA); as equações de retas e de planos, já deduzidas nos
parágrafos anteriores, respondem por essa afirmação quando as comparamos com as suas
expressões clássicas em GA.
Como exercício, o leitor poderá utilizar os conceitos relativos a expressões
cartesianas de vetores e produtos (§04.01 ao §04.03) para encontrar as várias formas de
equação de retas e de planos da GA em duas e três dimensões.
Desafio:
No (§ 03.03) os vetores x1, x
2 e x
3 são não coplanares (eles definem uma base) e
admitem recíprocos (x1, x2 e x3, respectivamente). Então, a equação cartesiana do plano
definido por x1, x2 e x3 é 1XXX 321 , desde que X1, X2 e X3 sejam as coordenadas
co-variantes do ponto corrente desse plano em relação à base {x1, x
2, x
3}.
§ 05 - MUDANÇA DE BASE. INVARIANTES.
§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN.
Consideremos a equação vetorial de variáveis escalares Xi,
a bi
iX (i 1,2,... , N), (01),
com b o e os ai independentes. Pelas considerações anteriores, o vetor a1 é paralelo a b,
no caso N = 1; os vetores ai e b são coplanares, no caso N = 2; os vetores ai e b são não
coplanares, no caso N = 3. Em qualquer caso, os vetores ai, independentes, definem uma
base nos espaços que lhes correspondem.
Sejam, em relação a uma base qualquer {e*
} = {e1,e2,...,eN} de EN:
a e b em mj
j
j
j A e B (m, j 1,2,... , N), (02).
§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. 60
Poliádicos - Ruggeri
Substituindo-se as (02) em (01), agrupando-se convenientemente, aplicando-se as
propriedades fundamentais e igualando-se as coordenadas homônimas dos vetores (iguais)
de ambos os membros, resultam as equações:
A X B (m, j 1,2,... , N),mj m j
(03),
ou, ainda, em forma expandida:
A X A X A X B
A X A X A X B
A X A X A X B
1
1
2
2
N
N 1
12 1
22 2
N2 N 2
1N 1
2N 2
NN N N
1 1 1
...
...
... ,
(031).
O sistema (031) tem N equações (N = 1, ou 2, ou 3) e N incógnitas. Na sua constituição
observa-se que os coeficientes Amj das incógnitas Xm são as coordenadas (contravariantes,
no caso) dos vetores am na base arbitrária {e*} do espaço vetorial EN; os termos
independentes são, analogamente, as coordenadas (contravariantes) do vetor b nessa mesma
base.
Claramente, vê-se que, fixada uma base {e*} de EN, a equação (01) e o sistema (031)
são equivalentes; resolvendo esse sistema, encontra-se a solução da equação vetorial, ou
vice-versa; solução essa que existe sempre porque o determinante do sistema (031) é não
nulo.
Por outro lado, observa-se que, escolhendo-se uma outra base, {r*}, de EN,
encontrar-se-ia certamente um sistema diferente de (031), equivalente à mesma equação
vetorial (01), uma vez que as coordenadas (co-variantes ou contravariantes, pouco importa)
dos vetores ai nessa nova base seriam certamente diferentes das primeiras (teríamos novas
expressões (02) para os vetores ai e b). Mas, pelos corolários 4 dos teoremas: 2 do § 03.01,
4 do § 03.02 e 6 do § 03.03, os números Xi (soluções da equação) são únicos; logo, os
infinitos sistemas (031) que podem ser formados a partir de (01) com uma Mudança de
Base, admitem a mesma solução. Diríamos, em outras palavras, que:
A solução da equação vetorial (01) é um invariante numa mudança de base
no espaço EN a que está referida; e a equação (01) será dita universal ou
tensorial em EN.
Ora, se a equação (01) independe de bases de EN, deverá certamente ser possível
determiná-la sem alusão a essas bases. Mas isso já é do nosso conhecimento, pois, com
efeito, os mesmos corolários atrás já referidos, dão:
X ,m m b.a (m=1,2,...N), (04),
uma vez que, sendo os am independentes em EN, os seus recíprocos, am, estão univocamente
determinados. Assim, concluímos que, dado um sistema do tipo (031), ao acaso, podemos
sempre montar uma equação vetorial do tipo (01) que lhe seja equivalente, impondo que os
coeficientes de cada incógnita sejam as coordenadas de N vetores a1, a2,...,aN em certa base
(virtual) de um espaço (virtual) de vetores e que os termos independentes sejam as
§ 05.01 - Um exemplo de universalidade em EN. 61
Poliádicos - Ruggeri
coordenadas de um vetor b nessa mesma base desse espaço. Resolvida essa equação
vetorial por aplicação de (04), teremos, então, as soluções de (031). Por já termos deduzido,
no parágrafo anterior, as expressões cartesianas de sistemas de vetores recíprocos, a
aplicação das fórmulas (04) dá imediatamente as incógnitas Xm. De fato, considerando
((02),§ 04.04), escrevemos: ,B|)A|/A(X jij
imm .ee ou, operando e somando:
XA
A B (i,m=1,2,...,N),m im i
1
| |, (041),
expressão na qual, relembremos, Ami = cof(Am
i) em |A*| = |Ami|.
Se expressarmos os vetores am e b na base {e*}, isso é, pondo:
a e b em mj
j
j
jA e B (m, j 1,2,... , N),
então (04) dá expressão análoga a (041) para Xm:
X1
|A |A B , (m, i 1,2, ... , N),
m mi
i
(042),
onde Ami = cof(Ami) em |A*
| = |Ami|.
Por outro lado, se pretendêssemos a expressão das incógnitas em função dos vetores
(conhecidos) figurantes na equação vetorial (01), escreveríamos:
- para N = 1,
X(
, pois ,1 1 b.a
aa
a
a
1
12
1
12
)
| | | | (05);
- para N = 2, aplicando ((03)1,§ 04.02) e propriedades da multiplicação mista de
vetores:
2
21
21kmkmm
)(
)()(X
aa
aa.abb.a
,
ou,
,)(
)()(X e
)(
)()(X
2
21
2112
2
21
2121
aa
aa.ab
aa
aa.ab
(06);
- para N = 3, aplicando ((04)2,§ 04.02):
X (m,i, j 1,2,3);m m mij i j b a
ba a
a a a.
( )
( ),
2 1 2 3
ou, fazendo m = 1,2,3, somando i e em j e aplicando propriedades da multiplicação mista:
X X X1 2 3 ( )
( ),
( )
( ),
( )
( ),
ba a
a a a
a ba
a a a
a a b
a a a2 3
1 2 3
1 3
1 2 3
1 2
1 2 3
(07).
O leitor pode, facilmente, comprovar a equivalência das expressões (05), (06) e (07)
com as expressões (041) e (042). Importa frisar, entretanto, que as expressões (05), (06) e
§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. 62
Poliádicos - Ruggeri
(07) são universais, isso é, elas são válidas em qualquer base; nas bases recíprocas {e*} e
{e*}, particularmente, elas assumem as formas (041) e (042).
Se pusermos:
|A |
B A A
B A A
B A A
|A |
A B A
A B A
A B A
etc,1
1
N
1
2
N
2
N N
N
N
2
1
1
N
1
1
2
N
2
1
N N
N
N
1
2
2
2
2
1
2
,
e
|A |
B A A
B A A
B A A
etc,1
1 N1
2 N2
N N NN
21
22
2
escreveremos:
X|A |
|A |
|A |
|A | (i 1,2, ... , N),
ii
i
(043).
§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante.
Deve ser salientado que, não obstante a invariância dos Xi, os determinantes |Ai|,
|Ai|, |A*|, |A*| em ((043),§05.01), bem como os seus elementos, variam em geral com as
bases escolhidas. Tais determinantes só serão invariantes em relação a bases
unimodulares, ou seja, bases tais que: (e1)2 = 1, se N = 1; (e1
×e2)2 = 1, se N = 2 e (e1e2e3)
2 =
1, se N = 3. São unimodulares, por exemplo, as bases ortonormadas: aquelas formadas por
um unitário se N = 1 e unitários ortogonais se N = 2 ou N = 3.
Dissemos que algo tem caráter universal ou tensorial quando independe de bases
ou, o que é o mesmo, independe de sistema de referência. Assim é uma equação vetorial de
variáveis escalares, posto que os vetores que a compõem, e a sua solução, são universais,
conforme já mostramos (§05.01). Por comodidade, para facilidade de cálculos ou de
medições experimentais, uma equação vetorial poderá ser resolvida em relação a uma base
virtual particular. Mostraremos agora, entretanto, que nem tudo que é geral e invariante
numa base particular é igualmente geral e invariante em qualquer outra base.
Se o estudo de um particular evento, envolvendo grandezas vetoriais (como num
sistema físico ou numa figura geométrica), é feito vetorialmente (sem alusão a qualquer
base), esse estudo é universal e as propriedades daí deduzidas são universais. Entretanto, os
"resultados" oriundos desses eventos, deduzidos relativamente a uma base particular,
podem não ter ampla generalidade.
Com efeito, pondo, para i, j, ... = 1,2,...,N:
x e e a e e X X e A A ,i
i j
j i
i j
j
temos:
0AA ,0XX ,XAXAi
i2i
i2iii
i axa.x ,
e
§ 05.02 - Advertência sobre a relatividade do geral e do invariante. 63
Poliádicos - Ruggeri
)AXAX)(AXAX()(2rmmr
rmmr2 ax , (r,m=1,2, ..., N).
Substituindo esses resultados na identidade vetorial de Lagrange ((07),§ 02.05),
escrevemos, então:
A A X X A X A X +
+12
(X A X A )(X A X A ), (i, j, r, m 1,2, ... , N),
ii
jj
ii j
j
r m m rr m m r
(01),
identidade que denominamos: identidade das 4N letras.
Para destacar, poremos:
A A, A B, A C, A A' , A B' , A C' ;
X X, X Y, X Z, X X' , X Y' , X Z' .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Assim, deduzimos de (01) os seguintes casos particulares:
- para N = 2:
(AA' +BB')(XX' +YY')
(AX' +BY')(A' X + B' Y) + (XB YA)(X' B' Y' A' ),
(011);
- para N = 3:
(AA + BB' +CC')(XX' +YY' + ZZ' )
(AX' +BY' + CZ' )(A' X + B' Y + C' Z) +
+ (XB YA)(X' B' Y' A' ) + (ZA CX)(Z' A' C' X' ) +
+ (YC ZB)(Y' C' Z' B' ),
(012).
Quando os vetores estão referidos a bases ortonormadas, as coordenadas co-
variantes e contravariantes dos vetores são idênticas. Nestas condições, das identidades
(011) e (012), resultam como casos mais particulares, respectivamente, as clássicas
identidades de Fibonacci:
(A + B )(X +Y ) (AX + BY) +(XB YA) ,2 2 2 2 2 2 (013),
e de Lagrange,
(A + B + C )(X + Y + Z )
(AX + BY + CZ) + (XB YA) + (ZA CX) + (YC ZB) ,
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
(014)35.
35 Essas identidades especiais são referidas por E. Lucas, para números inteiros, em sua obra Theorie de
Nombres, Gauthier-Villar, 1891, Livre I, Chapitre VIII, seção 69. Na seção 70 Lucas afirma que Lagrange
generalizou essas identidades para um número qualquer de quadrados. Podemos encontrar essas mesmas fórmulas com a “identidade diádica de Lagrange” (ver § 11.01, Cap. II).
§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas. 64
Poliádicos - Ruggeri
•
Devemos destacar dois aspectos fundamentais em torno da idéia de que as bases têm
igual “status" no estudo dos fenômenos físicos e das figuras geométricas.
As leis naturais e as propriedades das figuras geométricas são verdades
independentes de observadores, de bases ou de referenciais. Toda medida ou conjunto de
medidas, entretanto, é dependente de uma referência; assim, um mesmo vetor tem
diferentes conjuntos de coordenadas (suas medidas) em relação a diferentes bases. Com
esses conjuntos de medidas é possível formular juízos sobre o sistema em estudo. Um juízo
somente será elevado à categoria de lei natural ou de propriedade de uma figura se, com
uma mudança de base, ficar assegurada a invariância do mesmo (já que ele deve independer
de base).
Esse modo de proceder, além de natural, parece ser realmente correto. Devemos,
entretanto, estar alertas para os dois aspectos seguintes, para não incorrermos em
impropriedades:
1º) Nem sempre o que é invariante em relação a mudanças de bases particulares é
igualmente invariante em relação a mudanças de bases quaisquer. Assim, por exemplo: os
determinantes det* e det* das coordenadas co-variantes e contravariantes de três vetores
independentes são iguais e invariantes em relação a mudanças de bases ortonormadas, mas
diferentes e variantes em relação a mudanças de bases quaisquer. Com efeito, conforme
((05),§ 04.03), o invariante (xyz) - volume do paralelepípedo construído sobre x, y e z -
pode ser escrito nas formas:
( ) ( ) ( ) .xyz e e e e e e
1 2 3
1 2 3det det
Logo, serão variáveis, necessariamente, det* e det*, uma vez que, obviamente, os produtos
mistos dos vetores de base dependem dessas bases.
2º) É sabido que bases particulares, geralmente as ortonormadas, favorecem e
simplificam cálculos. Esse favorecimento, entretanto, pode ocultar juízos (propriedades)
mais gerais, facilmente determináveis em bases quaisquer. Com efeito, como mostramos,
(013) e (014), válidas em bases ortonormadas, são casos particulares de (011) e (012),
relativas a bases quaisquer.
Façamos, pois, uma advertência:
Resultados gerais e invariantes em relação a bases especiais podem ser
particularidades e variâncias em relação a bases quaisquer.
§ 05.03 - Generalização de identidades clássicas.
A identidade das 12 letras, ((012), § 05.02), refere-se a dois vetores expressos
cartesianamente em bases recíprocas. Podemos deduzir esta mesma identidade a partir de
quatro vetores expressos cartesianamente numa mesma base ortonormada { , , }i j k . Sejam:
s i j k
x i j k
r i j k
y i j k
A + B + C ,
X + Y + Z ,
A' + B' + C' ,
X' + Y' + Z' .
§ 05.03 - Generalizações de identidades clássicas. 65
Poliádicos - Ruggeri
Aplicando ((03),§ 04.03) para o caso particular de bases ortonormadas, escrevemos:
).XBYABX)((AY+)ZAXCAZ)((CX+
+)YCZB)(YCZB(
ZYX
CBA
ˆˆˆ
ZYX
CBA
ˆˆˆ
)()(
kji
.
kji
yr.xs
Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos também:
ZZYYXXCZBYAX
ZCYBXACCBBAA)()(
x.yx.r
s.ys.ryr.xs .
Igualando os últimos membros das expressões obtidas de (s×x).(r×y) encontramos
facilmente (012), § 05.02.
Finalmente, para gáudio dos algebristas, podemos "super generalizar" a identidade
(01), § 05.02, deduzindo a "identidade das 8N letras". Sejam, para i = 1,2,...,N:
s e e x e e r e e y e e S S ; X X ; R R ; Y Y ,i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
as representações cartesianas dos vetores s, x, r e y nas bases recíprocas {e*} e {e*}.
Para o caso N = 3, por ((03),§ 04.03) escrevemos:
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
YYY
RRR
XXX
SSS
YYY
RRR
XXX
SSS)()(
eee
.
eeeeee
.
eee
yr.xs ,
isso é, utilizando a convenção somatória:
)YRY)(RXSX(S2
1)YRY)(RXSX(S
2
1)()( ijji
ijjiijjiijji yr.xs , (01).
Mas, aplicando ((05),§ 03.03) e em seguida ((01),§ 04.03), escrevemos:
jj
jj
ii
ii
jj
jj
ii
ii
YXRX
YSRS
YXRX
YSRS)()(
x.yx.r
s.ys.ryr.xs , (011),
ou, j
j
i
i
j
j
i
ij
j
i
i
j
j
i
i RXYSYXRSRXYSYXRS)()( yr.xs , (012).
Se igualarmos o penúltimo membro de (01) com o penúltimo membro de (012), ou o
último membro de (01) com o último membro (012), obteremos novas identidades com 12
letras, idênticas entre si, mas distintas de (01), § 05.02):
§ 06 - O tensorialismo das expressões vetoriais. 66
Poliádicos - Ruggeri
jj
ii
jj
ii
ijjiijji RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S
2
1 , (013),
ou
jj
iij
ji
iijji
ijji RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2
1 , (014),
Particularmente, se os vetores forem referidos a uma base ortonormada, pondo, então:
x(X,Y,Z), y(X’,Y’,Z’), r(A,B,C) e s(A’,B’,C’),
obteremos a identidade:
(A’Y-B’X)(AY’-BX’)+(B’Z-C’Y)(BZ’-CY’)+(A’Z-C’X)(AZ’-CX’)=
=(AA’+BB’+CC’)(XX’+YY’+ZZ’)-(AX+BY+CZ)(A’X’+B’Y’+C’Z’), (015).
Entretanto, da soma do penúltimo membro de (01) com o último membro de (012)
igualada com o último membro de (01) somado com o penúltimo membro (012), obteremos
a seguinte identidade:
,RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2
1
RXYSYXRS)YRY)(RXSX(S2
1
jj
iij
ji
iijjiijji
jj
iij
ji
iijjiijji
(02).
O desenvolvimento das somatórias indicadas para vetores do E3 implica escrever a
identidade acima na forma:
)RX+RX+R)(XYS+YS+Y(S
)YX+YX+Y)(XRS+RS+R(S+)YRY)(RXSX(S+
+)YRY)(RXSX(S+)YRY)(RXSX(S
33
22
11
33
22
11
33
22
11
33
22
113223
3223
13311331
21122112
).RX+RX+R)(XYS+YS+Y(S
)YX+YX+Y)(XRS+RS+R(S+)YRY)(RXSX(S+
+)YRY)(RXSX(S+)YRY)(RXSX(S
33
22
11
33
22
11
33
22
11
33
22
113223
3223
13311331
21122112
Não é difícil comprovar que (02) é válida para i, j = 1 (identidade óbvia) e i, j = 1,2
(identidade das 16 letras); isso é, para i,j = 1,2,...N, (02) é a "identidade das 8N letras"36.
36 Essas identidades são válidas quaisquer que sejam os sinais de i
i ii XX eSS porque uma das bases escolhidas
poderia ser positiva e a outra negativa.
•
§ 06 - O caráter tensorial das expressões vetoriais. 67
Poliádicos - Ruggeri
Em estudos avançados, criam-se espaços vetoriais abstratos de um número qualquer
(finito ou infinito) de dimensões. Não é difícil, apenas trabalhoso, mostrar que (02) é válida
para um número qualquer, N, finito. Para N tendendo para o infinito, muitas considerações
devem ser preliminarmente estabelecidas no estudo da questão; isto, entretanto, está muito
além das pretensões desta exposição.
§ 06 - O CARÁTER TENSORIAL DAS EXPRESSÕES VETORIAIS.
A criação dos conceitos de base e coordenadas de vetores em relação a uma base
levou-nos, no § 04.01, a um primeiro contato com o Tensorialismo. Do § 04.02 ao § 04.04
aplicamos a técnica das coordenadas para expressar produtos (escalares, vetoriais e mistos),
e condições geométricas diversas entre vetores (paralelismo, perpendicularidade e
coplanaridade). Nessa ordem de idéias mostramos no § 05 que a solução de uma equação
vetorial é um invariante numa mudança de base. Apresentamos essa solução na forma
cartesiana ((043), § 05) e na forma vetorial ((04), § 05). Neste mesmo § 05 mostramos que
com a adoção da técnica das coordenadas expomo-nos ao risco do empecilho de enxergar
mais longe; com efeito, ((02),§05.03) não é uma identidade mais geral que ((012),§05.02) ?
Com essas exemplificações modestas, mas didáticas - que de forma alguma
pretendem fechar definitivamente essas discussões - concluímos que as representações
cartesianas de produtos, de condições geométricas entre vetores, de soluções de uma
equação vetorial etc., variam com as bases escolhidas; os produtos, em si, e as expressões
vetoriais tradutoras de condições geométricas e as soluções de equações vetoriais, ficam
invariantes em EN. Assim, diríamos:
1°) - aiXi = b é uma equação vetorial cujas soluções são Xi = b.ai ;
2°) - (x.y)2+(xy)2 = x2y2 é a identidade universal de Lagrange ;
3°) - (sx).(ry)=(s.r)(x.y)-(x.r)(s.y) é a “super” identidade (universal) de
Lagrange (que tem a anterior como caso particular)... e coisas tais.
O que importa, nesse instante, é destacar o tensorialismo ou o universalismo das
expressões vetoriais em EN. Particularmente, é mister considerar-se o vetor, na forma como
o concebemos no § 01.01, como um tensor, já que os conceitos que o caracterizam:
módulo, direção e sentido têm o mesmo significado para todos os observadores. Em vista
das considerações anteriores, é necessária certa cautela nas conclusões quando a
consideração de um tensor é feita em relação a bases particulares.
Bibliografia 68
Poliádicos - Ruggeri
BIBLIOGRAFIA.
É bastante extensa a bibliografia existente sobre Vetores. Limitamo-nos aqui à
listagem apenas das obras que tiveram uma maior influência na exposição.
1 - 1901: GIBBS, J. W. and WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New
Haven, Connecticut, USA, 436 pp. (Yale Bicentennial Publications, Dover).
Republished in 1913, 1916, 1922, 1925, 1929, 1931, 1943, 1947 and 1948.
2 - 1921: WEATHERBURN, C. E., Elementary Vector Analysis (with applications to
Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltda, London, 184 p.. Reeditado em
1926, 1928 e 1931.
3 - 1927: SANTOS, C. C., Cálculo Vetorial - (Lições professadas na Escola de Minas de
Ouro Preto), Oficinas Gráficas da Escola de Minas de Ouro Preto, Ouro Preto
159. p.
4 - 1929: BRICARD, R., Le Calcul Vectoriel, Librairie Armand Colin, Paris. Reeditado em
português, em 1958, pela Editora Ao Livro Técnico Ltda., Rio de Janeiro, 184
p.
5 - 1937: CARAÇA, B. J., Cálculo Vetorial, Depositário Geral, Livraria Sá Costa, Lisboa,
254 p. Reeditado em 1957.
6 - 1953: DIAS, A. T., Álgebra Vetorial e Exercícios, Oficinas Gráficas da Escola de Minas
de Ouro Preto, 109 p.
7 - 1960: MOREIRA, L. C. A., Vetores recíprocos, Boletim n° 8, Departamento de
Matemática, Escola de Minas de Ouro Preto.
8 - 1974: CALAES, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, Imprensa da Universidade Federal
de Ouro Preto, 328 p. Reeditado em 1979 pela Fundação Gorceix, Ouro Preto,
tomos I e II, com 415 p..
Poliádicos - Ruggeri
CAPÍTULO II
DIÁDICOS
§ 01 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL VETOR, DE VALOR ESCALAR E
DE VALOR VETOR.
É intuitivo o conceito de variável numérica: uma letra X que pode representar
qualquer número de dado conjunto de números. Por analogia, uma variável vetorial é uma
letra que pode representar um vetor qualquer de dado conjunto de vetores. Assim, por
exemplo:
1º) r poderia representar o conjunto de todos os vetores paralelos a dado vetor
unitário r - esses vetores seriam, então, vetores de dado E1 -, caso em que
rrr ˆ||
Se |r|, variável numérica, varia dentro de um intervalo conhecido, os vetores r ficam
determinados; a variável vetorial r representa, assim, qualquer um dos vetores desse
conjunto, ou seja, do espaço E1 (§ 04,I)37;
2º) Se a é um vetor cuja direção, módulo e sentido não se alteram, a é dito um vetor
constante. Imaginemos, entretanto, o vetor a com a sua origem deslizando sobre dada reta
(r). Em relação a certo ponto fixo, O, do espaço, os conjuntos dos vetores x de origem O e
extremidade em pontos X de (r), e os axx ' ficam, então, determinados; e as variáveis
vetoriais x e 'x podem representar cada vetor dos respectivos conjuntos (Fig.01.01). Assim,
a X0 corresponderia o vetor x0 de um conjunto e o vetor 0x do outro conjunto; a X1
corresponderiam x1 e 1x etc..
Se X é uma variável numérica e Y outra variável numérica que dependa de alguma
forma da variável X, escrevemos: Y=F(X); F expressa essa dependência e dizemos que Y é
função de X. A variável Y é dita o valor da função e X o seu argumento.
37 Conforme nossas "Convenções", com (§ 04,I) estamos nos referindo ao § 04 do cap.I.
Poliádicos - Ruggeri
Podemos estender estes conceitos aos vetores. Consideremos o segundo exemplo
atrás citado. Como a cada ponto X de (r) podemos fazer corresponder o vetor xam e o
escalar M = a.x, dizemos que m e M são funções de valor vetor e valor escalar,
respectivamente, do vetor x; o vetor x é dito também o argumento da função. Se a cada x
corresponde um e um único vetor m ou escalar M, como no caso do exemplo citado,
dizemos também que as funções vetoriais xa e a.x são unívocas.
Genericamente representaremos por f(x), f em negrito, uma função de valor vetor de
um vetor x; e por F(x), F ao natural, uma função de valor escalar do vetor x. Assim, em
resumo, diremos que f(x) e F(x) são funções de valor vetor e valor escalar, respectivamente,
do argumento vetor x. Esta notação é adequada porque ela permite facilmente distinguir
uma função de valor escalar e argumento vetor de uma função escalar ordinária (de variável
numérica).
Do ponto de vista geométrico podemos entender uma função de valor vetor e
argumento vetor como alguma operação sobre o argumento que transforma esse vetor no
valor da função (que é outro vetor). Assim diremos também que f(x) é o transformado de
x mediante a função f( ).
Uma função de valor vetor, v, que tenha por argumento uma combinação linear de
vetores: x = Xixi, é dita linear, e se escreve v = l(x), se
v l x l x l x ( ) ( ) ( ),X Xii
ii (01),
donde
o l o ( ) , (011).
Assim, por exemplo, conforme sabemos (§ 02.04 e § 02.05,I), sendo
)(X)X(i
i
i
ixaxaxam ,
e
M X Xi
i
i
i a.x a. x a.x( ) ( ),
para a vetor constante e x variável, concluímos que as operações de multiplicação vetorial e
escalar de vetores são, respectivamente, funções lineares de valor vetor e valor escalar,
entendendo-se:
al() , ou a.l () .
Doravante todas as funções a serem consideradas serão funções lineares de
argumento vetor e valor vetor, razão pela qual a ela nos referiremos apenas como função
vetorial linear ficando o restante subentendido, salvo onde for observado o contrário.
Além disso, todos os índices deverão assumir os valores do conjunto {1,2,...,N},
sendo N = 1, ou N = 2, ou N = 3, casos em que estaremos nos referindo a espaços uni, bi e
tridimensionais de vetores, respectivamente (§ 04,I).
§ 01- Função de variável vetor, de valor escalar e de valor vetor 71
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 1: Uma função vetorial linear na reta, no plano e no espaço, fica univocamente
determinada se são conhecidos os seus valores para um vetor não nulo, dois
vetores não paralelos e três vetores não coplanares, respectivamente.
Com efeito, se bi são os transformados de N vetores independentes ai mediante a
função l( ), isso é, se )( ii alb então o transformado de qualquer vetor x = Xiai (i =
1,2,...,N) é
ii
ii
ii X)(X)X()( balalxl .
Como por hipótese são conhecidos os Xi e os bi, resulta l(x) determinada.
A função vetorial linear, entendida como uma operação é também dita operadora de
uma transformação linear. Esta nomenclatura tem mais sentido geométrico (matemático)
do que físico, mas pode ser entendida de uma forma bem ampla.
Em relação ao espaço N dimensional o conceito de transformação linear pode ser
entendido de três pontos de vista:
1º) - ponto de vista algébrico. A transformação linear x’ = l(x) é uma operação que
transforma um conjunto ordenado de N números reais (coordenadas do vetor x em certa
base) em outro conjunto ordenado de N números reais (coordenadas de x' na mesma base a
que se refere x) através de relações lineares;
2º) - ponto de vista geométrico. Seja P(Xi) o ponto genérico de um domínio D, N
dimensional, definido em relação a um sistema cartesiano por equações Xi = Xi(A1, A2,
...,AN), i = 1, 2, ..., N, onde os parâmetros Aj variam dentro de intervalos definidos. Seja
P'(Xi) o ponto de um domínio D' tal, que
jj
ii X AX'ou ),(' xlx (i,j=1,2,...,N), (02),
onde os Ai j não dependem dos Xj. Uma função vetorial linear pode, pois, ser entendida
como uma transformação de pontos P de D em pontos P' de D';
3º) - ponto de vista físico. Nesse caso a transformação linear não pode ser entendida
de um modo tão elementar quanto o algébrico e o geométrico. Diríamos que a
transformação linear, em Física, é a própria expressão da lei física representativa de dado
fenômeno que correlacione duas grandezas vetoriais na forma (01). Por exemplo, na lei de
Newton: f = Ma, da Mecânica, a massa M proporcionaria uma transformação linear da
aceleração em força atuante, ou, o inverso da massa proporcionaria uma transformação da
força atuante em aceleração; similarmente, diríamos que a carga elétrica proporciona uma
transformação do campo elétrico em força atuante, conforme a expressão clássica: f=Qe.
É curioso observar que, do ponto de vista geométrico, a transformação linear tem um
"significado físico" - um transporte de pontos de D para D' - enquanto que em Física pode
parecer não caber, em geral, qualquer "significado geométrico" para as leis físicas. Por
outro lado, poder-se-ia questionar: quais seriam as equações (02) se interessasse conhecer o
tempo para D transformar-se em D'? Quais seriam as trajetórias, as velocidades, as
acelerações dos pontos? Paralela e relativamente às leis físicas, faria sentido questionar, por
exemplo: em quanto tempo ou com que velocidade, o inverso da massa de um corpo
transforma a força atuante em aceleração? Está fora do escopo destas "Lições" a análise de
algumas destas questões.
§ 02.01- Definições e notações. 72
Poliádicos - Ruggeri
§ 02 - DÍADES E DIÁDICOS: CONCEITOS E OPERAÇÕES
FUNDAMENTAIS.
§ 02.01- Definições e notações.
Vimos (§ 03, I) que qualquer vetor x pode ser expresso nas formas
x x.e e x x.e e ( ) ( ) ,ii i
i ou (i = 1,2,...,N), (01),
onde, relembremos, N (= 1, ou 2, ou 3) é a dimensão do espaço a que pertence x. Nestas
expressões é até dispensável o uso dos parênteses, uma vez que relações do tipo
x x. e e x x. e e ( ) ( ),ii i
i ou (i = 1,2,...,n finito), (02),
não têm, até o momento, nenhum significado.
Poderíamos, por outro lado, postular que as (02) acarretassem as (01),
correspondentemente, caso em que estaríamos admitindo: 1º)- uma expressão do tipo (eiei),
ou (eiei), obtida por somas simbólicas de "produtos justapostos" de vetores de um conjunto
de N vetores independentes pelos seus correspondentes recíprocos; 2º)- uma operação entre
esta expressão e o vetor x que gerasse o próprio x. Isto constitui, de fato, nosso interesse,
mas de uma forma mais ampla.
Objetivando generalizar a expressão e a operação atrás referidas, consideremos dois
dados conjuntos ordenados de P vetores quaisquer, duas P-plas de vetores:
finito), (P },...,,,{=}{ e },...,,,{=}{P321P
P321P bbbbbaaaaa (03),
onde cada vetor aj do conjunto {a}P tem um correspondente bj no conjunto {b}P, qualquer
um dos vetores podendo pertencer a um E1, a um E2 ou ao E3.
Chamam-se díades desses conjuntos, quaisquer "produtos justapostos" de um
vetor de um dos conjuntos com o seu correspondente do outro conjunto, sem nenhuma
interposição de sinal de operação entre eles; por isso mesmo esses símbolos foram
chamados por Gibbs de produtos indeterminados. São díades, então, os símbolos
abstratos:
a b a b a b1
1
2
2, ,..., .
P
P
Da esquerda para a direita, o primeiro e o segundo vetores em cada díade são ditos,
respectivamente, o antecedente e o conseqüente da díade.
§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor. 73
Poliádicos - Ruggeri
Chama-se diádico dos conjuntos {a}P e {b}P, nessa ordem, a soma simbólica e
abstrata de todas as suas díades, em qualquer ordem. Assim,
1
1P
P2
2i
iP
P2
21
1 ...... bababababababa , (i=1,2 ... ,P) (04),
justificando-se a notação compacta do produto justaposto de vetores do último membro
desde que convencionemos aplicar-lhe a convenção somatória (§ 02.02, I).
Os vetores dos conjuntos {a}P e {b}P são ditos, respectivamente, os antecedentes e
os conseqüentes do diádico. Dizemos que o diádico é gerado de EN se todos os seus
antecedentes e conseqüentes são vetores desse EN.
Quando, em (03), P = 1, diz-se que o diádico está escrito em forma monomial;
quando P = 2, em forma binomial; quando P = 3 em forma trinomial e, geralmente, em
forma polinomial ou P-nomial (quando se pretende especificar o número de díades).
Notação:
Manteremos a notação introduzida (§ 01.01, I) para vetores e números. Os
diádicos serão representados, na maioria das vezes: 1º)- pelas letras
minúsculas do alfabeto grego, em negrito: , , etc., salvo onde for
observado o contrário; 2º)- também pelas latinas maiúsculas em negrito e
ocasionalmente em itálico e negrito.
§ 02.02 - Multiplicação de diádico por número real. Diádicos
paralelos.
Chama-se produto de um diádico (e, portanto, de uma díade) por um número M, e
representa-se por M ou M, o diádico que se obtém de multiplicando os seus
antecedentes ou os seus conseqüentes por esse número, ou, ainda, distribuindo o número A
de alguma forma (por fatoração arbitrária) entre todos os antecedentes e todos os
conseqüentes de . Assim, se M = A.B, então:
M = M( ) = (M ) = M A Bj
j
j
j
j
j
j
j a b a b a b a b( ) ( )( ), (01).
A multiplicação do diádico por um número real M é a operação que tem por fim
determinar o produto M = M.
Por analogia com os vetores, os diádicos e M serão ditos paralelos.
§ 02.03- Multiplicação pontuada entre diádico e vetor.
Chama-se produto pontuado anterior (posterior) do diádico = ajbj (j = 1,2,...,P)
pelo vetor r, e representa-se por .r (r.), lendo-se ponto r (r ponto ), o vetor que se
obtém como uma multiplicidade vetorial linear dos seus antecedentes (conseqüentes) cujos
§ 02.03- Multiplicação escalar entre diádico e vetor. 74
Poliádicos - Ruggeri
coeficientes são os produtos escalares dos correspondentes conseqüentes (antecedentes)
pelo vetor r38. Assim:
. r a b .r a b .r a b .r a b .r ( ) ( ) ( ) ( ) ... ,j
j
j
j
1
1
2
2 (01),
ou,
r. r. a b r.a b r.a b r.a b = ( ) = ( ) = ( ) + ( ) +... ,j
j
j
j
1
1
2
2 (011).
A multiplicação pontuada de diádico por vetor é a operação que tem por fim
determinar o produto escalar anterior ou o posterior do diádico pelo vetor. É uma operação
sempre possível e unívoca, porque o são as operações vetoriais em (01) e (011).
Propriedades.
1º) - O produto pontuado (anterior ou posterior) de qualquer diádico pelo
vetor nulo é sempre o vetor nulo.
: , o. .o o (02).
Com efeito, pois em (01) teríamos: . o a b .o o i
i( ) similarmente, em (011),
o. o.a b o ( ) .ii
38 Gibbs denominou este produto de "direct product of into r".
2º) - A operação é associativa em relação a fatores escalares e distributiva
em relação a adição de vetores, isso é:
M( ) (M ) (M ) e ( + +...) + +..., .r . r .r . a b .a .b (03).
Tem-se:
M( ) M ( ) M( M Mj
j
j
j
j
j . r a b .r a b .r a b . r . r [ )] [ ( )] ( ),
e
. a b a b . a b a b .a a b .b .a .b( + +...) [ ( + +...)] ( ) +i
i
i
i
i
i ( ) ... ....
Assim, genericamente, se, em relação à base {e*}:
r eR ii , (para i=1, 2, ..., N), então, (R ) R ( Ri
ii
ii
i .r . e .e .e ) , (031).
3°) - A operação é associativa em relação a fatores vetores se o diádico está
entre vetores:
a b a. .b a. .b a. .b, , ( ) ( ) : , (04).
§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L. 75
Poliádicos - Ruggeri
§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L..
Teor. 1:
Qualquer diádico, quando usado como pré-fator ou pós-fator em
multiplicação pontuada por vetor, é operador (ou regente) de uma
transformação linear (T.L.); reciprocamente, toda T.L. sobre vetores (na
reta, no plano ou no espaço) pode ser univocamente representada por um
diádico para ser usado como pré ou pós-fator em multiplicação pontuada
por vetor.
Com efeito, o teorema direto decorre imediatamente da definição de multiplicação
pontuada de diádico por vetor, nas formas das expressões ((01) e (011), §02.03) e da
definição de transformação linear dada por ((01), §01), bastando entender-se l . (l
idêntico a ponto).
Reciprocamente, se l é uma função vetorial linear (representativa de uma T.L.)
determinada pelo conhecimento dos vetores bi, transformados dos vetores independentes ai
(Teor.1, §01), tem-se (lembrando a teoria dos recíprocos, § 03, I):
l a b b b a .a b a .a( ) ( ) ( ) ,i i j ij
jj
i jj
i (i, j=1,2,...,N).
Assim, denotando por o diádico bjaj - único, porque são conhecidos os bj e os aj se
determinam univocamente - podemos escrever:
l a .a( ) .i i Como também se possa escrever:
l a b b a .a b a . a b( ( ) ( ),i i ij
j i
j
j i
j
j) (i, j 1,2,... , N),
resulta, pondo = ajbj (diádico também único ): l a a .( ) ,i i como queríamos demonstrar.
Corol. 1:
Um diádico gerado de um EN fica univocamente determinado quando são
conhecidos os seus produtos pontuados por N vetores independentes
quaisquer de EN, isso é,
ab .a b a
c a . a ci
i i i
i
i i
i
i
independentes (i = 1,2, ... , N),
(01).
Corol. 2:
Dadas duas N-plas de vetores independentes de EN, existe sempre um e
um único diádico que, usado como pré ou pós-fator, transforma uma N-pla na outra.
§ 02.04- O diádico como operador de uma T.L. 76
Poliádicos - Ruggeri
Aplicação:
Mostrar que em qualquer T.L. no E3, pontos dependentes de uma reta ou de
um plano transformam-se, respectivamente, em pontos dependentes de uma
reta ou de um plano.
Denotemos por o diádico que rege a transformação de pontos R em pontos R', isso
é, seja r' = .r. Os vetores posição r1, r2 e r3 de três pontos colineares R1, R2 e R3 satisfazem
a função vetorial linear Airi = o, (i = 1,2,3), com A1+A2+A3 = 0 (Teor. 5, §03.01, I). Logo,
lembrando ((031), §02.03): Airi' = Ai(.ri) = .(Airi) = .o = o, o que mostra serem os
pontos R1', R2' e R3' também colineares.
Similarmente podemos demonstrar o caso em que os pontos são dependentes de um
plano recorrendo ao Teor. 9, §03.03, I.
§ 02.05 - Transposição diádica.
Teor. 1: A operação de multiplicação pontuada entre diádico e vetor não é
comutativa, isso é,
.r r. ,
o que é evidente pelas ((01) e (011),§ 02.03).
Observemos, porém, que das ((01),§ 02.03) podemos, ainda, escrever:
.r a b .r r.b a r. b a jj j
jj
j( ) ( ) ( ). , (j 1, 2, ... , P) .
Os diádicos cujos antecedentes e conseqüentes são mutuamente alternados são
denominados transpostos ou conjugados39 um do outro. Assim, sendo = ajbj com (j =
1,2,...,P), seu transposto, que se representa por T (ou C na notação de Gibbs), é escrito na
forma: T = bjaj. Logo:
a b b aj
j T j
j , (j 1, 2, ... , P) (01).
Resulta que:
39 A denominação conjugado é de Gibbs; transposto é uma denominação mais moderna, como acentuaremos mais à frente (§09.02).
. r r.T
, (02),
De ((01),§ 02.04) escrevemos, então:
b l a .a a .i i i i
T ( ) , (i 1, 2, ..., N) (021).
§ 02.06- Igualdade de diádicos. 77
Poliádicos - Ruggeri
A operação que consiste em alternar correspondentemente os antecedentes e os
conseqüentes de dado diádico - operação esta sempre possível e unívoca - é denominada
transposição diádica.
Resulta, logo, de (01), que uma dupla transposição diádica - operação também
sempre possível e unívoca - é operação idêntica, isso é,
( ) , T T TT
(03).
§ 02.06- Igualdade de diádicos.
Diz-se que dois diádicos e são iguais, e escreve-se = (ler igual a ) se,
nas mesmas condições de multiplicação pontuada (anterior ou posterior), transformam um
mesmo e qualquer vetor em vetores iguais:
r
. r . r
r. r. , (01).
Teor. 1:
v r v. .r v. .r v. .r v. .r, ( ) ( ) , (02)
Como efeito, se = temos de (01), lembrando ((04),§ 02.03): v. .r v. .r( ) = ( ) ,
sendo irrelevante o uso dos parênteses nesta expressão.
Reciprocamente, de (02) deduzimos: o.r.rv. )( .Ora, não sendo o vetor entre
parênteses necessariamente ortogonal a v (pois v é qualquer), deve ser .r - .r = o, isso é,
.r = .r; logo = , pois r é qualquer.
Teor. 2: A multiplicação direta de vetores é distributiva em relação à adição de
vetores:
( )( ) ,j
A B A B (i, j = 1,2,...,P),i
i j
j i
j ia b a b (03).
Com efeito, para qualquer r, tem-se:
. r a b .r (A )[B ( )].i
i j
j
Ora, Aiai é uma soma de vetores e Bj(bj.r) é uma soma de escalares. Como a operação de
multiplicação de vetor por número é distributiva em relação à adição de vetores e à adição
de escalares, e associativa em relação a fatores numéricos, tem-se, considerando também
((01),§ 02.03):
. r a b .r a b .r A B ( ) (A Bi
j i
j i
j i
j) ,
§ 02.06- Igualdade de diádicos. 78
Poliádicos - Ruggeri
sendo imutáveis no último membro a ordem dos vetores nas parcelas entre parênteses. Os
diádicos e AiBjaibj são, pois, iguais, pela definição de igualdade; donde, então, (03).
§ 02.07 - Redução N-nomial e motivo de diádicos.
Teor.1:
Qualquer diádico pode ser expresso de quatro, e apenas de quatro maneiras
distintas, como uma soma de N díades de que antecedentes ou conseqüentes
sejam N vetores independentes arbitrários de EN.
Sejam: = cjdj (j = 1,2,...,P) um diádico dado em forma polinomial, gerado de um
EN, e {e} e {e} sistemas quaisquer de vetores recíprocos desse espaço. Como seja sempre
possível expressar antecedentes ou conseqüentes de por combinações lineares (únicas)
dos ei e ei (§ 03,I), escrevendo dj = (dj.ei)ei = (dj.ei)ei, resulta = [cj(d
j.ei)]ei = [cj(dj.ei)]e
i.
Assim, pondo
c d .e a c d .e vjj i i
jj
i i( e ) ( ) , (i = 1, 2, ..., N), (j = 1, 2, ..., P) (01),
resulta
v e a eii i
i (i 1,2,...,N),, (011),
onde, então, os conseqüentes são independentes, nada se podendo afirmar, nesse particular,
a respeito dos antecedentes ai e vi.
Com um raciocínio análogo, podemos expressar os antecedentes da forma
polinomial de , em relação a {e*} e {e*}, para obter expressões análogas a (011), nas
quais, agora, os antecedentes de são esses vetores independentes. Escrevemos:
c c .e e c .e e c .e d b c .e d wj j ii
ji
i ji j i
j ij
i( ) ( ) , ( ) , ( ) , (02),
e
e b e wii i
i , (i = 1, 2, ..., N) (021);
donde
e . w e . bi ii i, , (022).
Também nesse caso, não se pode decidir sobre a dependência ou independência dos wi e bi.
Podemos, então, escrever:
a e v e b e w eii i
i T ii i
i e , (i N),12, ,..., (03),
sendo, geralmente, T40.
Definições: (forma e redução N-nomial)
As formas (011) e (021) são denominadas formas N-nomiais (§ 02.01) de
representação de um diádico. Quando se expressa um diádico em forma N-
nomial diz-se que se pratica uma redução N-nomial do diádico; diz-se
também que se reduz o diádico à forma N-nomial.
40A possibilidade de ser =T será analisada no § 04.02.
§ 02.07- Redução N-nomial e motivo de diádicos. 79
Poliádicos - Ruggeri
Particularmente, em E1 a redução se dirá monomial; em E2, binomial e em E3,
trinomial.
Evidentemente, um mesmo diádico pode ser reduzido de infinitos modos a uma
forma N-nomial, uma vez que existem infinitas N-plas de vetores independentes em EN.
Por analogia com as representações cartesianas e nomenclaturas vetoriais, diremos
que = aiei e = viei são , respectivamente, representações N-nomiais contravariantes e
co-variantes de nas bases (recíprocas) {e*} e {e*}; analogamente, os vetores ai e vi serão
ditos as coordenadas vetoriais contravariantes e co-variantes de naquelas bases
(recíprocas).
As representações (011) e (021) têm o mesmo status; são válidas, para ambas, as
mesmas nomenclaturas. Ordinariamente vamos nos referir a uma representação N-nomial
com conseqüentes independentes, exceto onde for observado o contrário.
O motivo de um diádico.
Conforme já observamos, os diádicos podem representar certas grandezas físicas, tal
como os vetores podem representar grandezas físicas vetoriais. No caso dos vetores, tanto
as coordenadas escalares quanto os tercetos de vetores independentes podem representar
grandezas físicas. Da mesma forma, os antecedentes e/ou os conseqüentes de um diádico -
vetores - podem representar "partes" da grandeza complexa que ele representa, mas pelo
menos um dos tercetos deve ser constituído de vetores independentes (representando ou
não alguma grandeza física).
Assim, numa redução N-nomial de um diádico, distinguem-se sempre duas N-plas
de vetores: uma que denominaremos "espacial" ou "referencial", de vetores independentes
e outra "substancial" de vetores (independentes ou não), em correspondência (biunivoca)
com a primeira. Quando a N-pla espacial é de natureza geométrica, a substancial é relativa
a um motivo específico do diádico (uma tensão, por exemplo). Quando os dois tercetos são
de natureza física, o motivo é misto. É esta a concepção matemática que, sutil e
imperceptivelmente, está implícita nas leis físicas. E da arbitrariedade e independência de
pelo menos um dos tercetos de vetores brota a necessidade dos vetores recíprocos porque
num fenômeno físico um terceto tomado ao acaso não é ortonormado necessariamente.
Casos de igualdade.
Teor. 2:
Dois diádicos iguais, reduzidos a uma forma N-nomial com os mesmos
antecedentes (conseqüentes) independentes, têm iguais conseqüentes
(antecedentes); e reciprocamente.
e
a e b e a b
i
i
i
i
i
i i
indep. (i 1,2, ... , N),
, , (04).
Consideremos os diádicos iguais e , reduzidos a uma forma N-nomial com iguais
conseqüentes independentes ei, isso é, sejam
a e b ei
i
i
i e (i 1,2,... , N).
§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 80
Poliádicos - Ruggeri
Para qualquer r escrevemos, pela definição de igualdade de diádicos ((01),§ 02.06):
r. r.
isso é,
( ) ( ) .i
i
i
ir.a e r.b e
Resulta então (Corol.3, Teor.2, § 04.03, I):
r.a r.b r. a bi i i i
, isto é , ( ) 0, (i 1,2,... , N).
Mas sendo r qualquer, ai - bi = o conforme ((04),§ 02.04,I); ou ai = bi, isso é, os
conseqüentes de e são também iguais.
Reciprocamente, se dois diádicos têm antecedentes e conseqüentes respectivamente
iguais, eles são iguais porque, obviamente, transformam um mesmo e qualquer vetor em
vetores iguais.
Corol. 1: Uma CNS para que dois diádicos sejam iguais, é que, escritos N-
nomialmente com os mesmos conseqüentes (antecedentes), os seus
antecedentes (conseqüentes) sejam respectivamente iguais.
Corol. 2:
CNS para que dois diádicos e sejam iguais é que, nas mesmas
condições de multiplicação pontuada, transformem os mesmos N vetores
independentes, vi, em vetores iguais:
indep. (i 1,2,...N) ,i i iv . v . v (041).
O teorema direto é evidente por definição de igualdade de diádicos. Reciprocamente,
pondo: wi = .vi = .vi, resulta de ((01),§ 02.04):
w v w vi
i i
i e ,
isso é, pelo corolário anterior, = .
§ 02.08- Invariantes primários de um diádico.
O escalar e o vetor.
De cada diádico é possível deduzir alguns números e alguns vetores. Os principais são os
denominados: escalar e vetor do diádico , que se representam por E e V,
respectivamente, e que se obtêm inserindo entre as suas díades os sinais operatórios de
multiplicação pontuada e cruzada. Assim,
§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 81
Poliádicos - Ruggeri
se j
jdc (j=1,2,...,P), então:
j
jV
j
jE.
dc
dc
(01).
Doravante consideraremos que o sinal (ponto vazio) represente tanto a
multiplicação escalar de vetores quanto a vetorial. Então as igualdades (01) são
representadas unicamente por
j
jdc
(j=1, 2, ..., P),
a pequena bola vazia usada como índice representando também os índices E (escalar) e V
(vetor).
É óbvio que o escalar e o vetor de um diádico são determinados univocamente,
porque as operações de que dependem as suas determinações são unívocas.
De ((01),§ 02.02) deduzimos:
M)M( , (02),
entendendo-se, por exemplo, que o vetor de M, isso é, (M)V: 1º)- é paralelo ao vetor de
2º)- tem módulo M vezes o do vetor de ; 3º)- tem o mesmo sentido do vetor de se M >
0, e o sentido contrário se M < 0.
Decorre também, imediatamente, de ((01), § 02.05) e de propriedades das
multiplicações escalar e vetorial entre vetores, que:
( ) , ou ,T
E E E
T
E (03),
e
( ) , ou ,T
V V V
T
V (031).
Teor. 1: São invariantes (logo, únicos) o escalar e o vetor de um diádico.
Com efeito, sejam
e
os escalares ou os vetores de obtidos de uma forma P-
nomial = cjdj (j = 1,2,...,P) e de uma forma N-nomial (N=1,2 ou 3) = aiei, (i=1,2,...,N),
respectivamente. Escrevemos:
j
jdc
(j=1,2,...,P) e
i
iea
(i=1,2,...,N).
Provemos que
=
. Ora, das relações ((01),§ 02.07) escrevemos: i
ij
j)]([ e.edc
.
Mas, sendo distributivas as multiplicações escalar e vetorial de vetores em relação à soma
de vetores, e associativas em relação a fatores escalares,
])[(i
ij
je.edc
.
Observando que o vetor entre colchetes é dj, concluímos a demonstração da tese.
§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 82
Poliádicos - Ruggeri
O terceiro.
Seja = aiei, (i = 1,2,...,N), ei independentes, uma redução N-nomial qualquer de
dado diádico .
Definição: (terceiro de um diádico)
Expresso um diádico em forma N-nomial, chama-se terceiro desse diádico,
e representa-se por , o produto pontuado do antecedente pelo conseqüente,
se N = 1; o produto pontuado do produto cruzado dos antecedentes pelo
produto cruzado dos conseqüentes, se N = 2; o produto dos produtos mistos
dos antecedentes e correspondentes conseqüentes, se N = 3:
3,N se ),)((
2;N se ),()(
1;N se ,
N)1,2,...,(i ,
321
321
3
21
21
3
1
1
3
i
i
eeeaaa
ee.aa
.ea
ea
(04).
Devemos notar que o cálculo do terceiro no E2 apela para vetores do E3. O leitor não
deve entender que isto seja um defeito da estrutura da teoria. Pelo contrário, isso é um alerta
em relação às operações que serão definidas futuramente com poliádicos cujos espaços têm
dimensões muito superiores a três.
Teor. 1: (Invariância)
É um invariante o terceiro de um diádico.
Com efeito, consideremos duas reduções N-nomiais quaisquer de um diádico ,
com, digamos, antecedentes independentes,
a b c dii
jj e (i, j 1,2,...,N).
Devemos provar que, para um mesmo valor de N (mesmo espaço), (3 )1= (3)2, sendo,
conforme a definição (04),
).)((
)()()( e
))((
)()()(
321
321
21
21
1
1
23
321
321
21
21
1
1
13
dddccc
dd.cc
.dc
bbbaaa
bb.aa
.ba
Expressando os ai em função dos cj, escrevemos, lembrando ((021),§ (03.01,I),
((041),§ (03.02,I), e ((071),§ (03.03,I), correspondentemente a N = 1, N = 2 e N = 3: ai =
(ai.cj)cj. Assim, para N = 3, por exemplo, podemos escrever, lembrando ((04)1,§ (04.03,I):
( ) | |( );ija a a a .c c c c1 2 3 1 2 3 logo: ( )3 1 1 2 3
1 2 3|a .c | c c c b b bij ( )( ).
Nestas condições,
a b a .c c b c a .c bii
ij
ji
j ij i( ) [( ) ];
§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 83
Poliádicos - Ruggeri
então, como todo diádico é igual a si próprio, resulta (Teor.2, § 02.07):
d a .c b d d d a .c b b bji
j i 3i
j 3( ) , donde ( ) | |( ). 1 2 1 2
Assim,
( ( )( ) ( )| |( ),3 2 3
33 i
j 3 ) c c c d d d c c c a .c b b b1 2
1 21 2
1 2
isso é, ( ( ) .1 2
3 3)
Para N = 2 teríamos, analogamente, pondo a a .c ci i
j
j( ) e aplicando ((02)1, §
04.03,I):
)()()()()( 21
212
2
1
2
2
1
1
121
2113bb.cc
.ca.ca
.ca.cabb.aa .
Pondo ainda, por outro lado:
a b a .c c b c a .c b c dii
ij
ji
j ij i
jj( ) [( ) ] , (i, j , ),12
resulta: dj = (ai.cj)bi; donde:
)( 21
2
2
1
2
2
1
1
121bb
.ca.ca
.ca.cadd .
Logo:
)()()()()( 21
212
2
1
2
2
1
1
121
2123bb.cc
caca
cacaddcc
..
... ,
isso é ( ) ( ) . 3 1 3 2
Para N = 1 a demonstração é evidente.
Teor. 2: (não nulidade do terceiro)
Uma CNS para que o terceiro de um diádico seja diferente de zero é que ele
seja redutível a uma forma N-nomial com antecedentes e conseqüentes
simultaneamente independentes (não nulos se N = 1, não paralelos se N = 2
e não coplanares se N = 3).
A condição é necessária porque se = aiei com ei independentes e 30, as (04)
implicam a independência dos ai, isso é, a independência dos antecedentes. A recíproca é de
demonstração evidente.
§ 02.08- Invariantes elementares de um diádico. 84
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 3: (interpretação geométrica do terceiro)
Na T.L. regida pelo diádico , o seu terceiro rege a transformação numérica
(algébrica) das distâncias se o espaço é unidimensional, a das áreas se o
espaço é bidimensional e dos volumes se o espaço é tridimensional:
ando transform vol.)area, dist.,(
ado transform vol.)area, dist.,(3 (05).
Sejam bi (i = 1,2,...,N) os transformados de N vetores independentes ai,
respectivamente, mediante um diádico , isso é, sejam bi = .ai. Se N = 1, a1 representa
(numericamente) uma distância entre pontos; se N = 2, 21 aa representa o vetor-área do
paralelogramo construído sobre a1 e a2; se N = 3, (a1a2a3) representa o volume do
paralelepípedo construído sobre a1, a2 e a3. Ora, b a b ai i i
i . ,conforme Corol.1,
Teor.1, § 02.04, qualquer que seja a dimensão N do espaço. Logo:
| ,)(| / |)(|))((
| ,|/|||| ||)()(
| ,|/||
321321321
321
212121
2121
21
111
1
3
aaabbbaaabbb
aabbaabbaa.bb
ab.ab
onde os sinais são positivos se e somente se: 1º)- para N = 1, b1 e a1 têm o mesmo sentido;
2º)- para N = 2 e qualquer vetor c ortogonal ao plano desse espaço (bidimensional), os
triedros c, b1, b2 e c, a1, a2 são igualmente orientados; 3º)- para N = 3 os triedros b1, b2, b3 e
a1, a2, a3 são igualmente orientados. Em qualquer caso, o terceiro do diádico representará
sempre, em grandeza e sinal, os elementos geométricos correspondentes a cada dimensão
do espaço (distância se N = 1, área se N = 2 e volume se N = 3), o que demonstra o
teorema.
Teor. 4:
Se X0 é um número real qualquer, então, para um diádico gerado de EN,
3i
3 X)X( (i=1, ou 2, ou 3) (06).
Sendo = aibi e pondo X = (Xai)b
i deduzimos, aplicando a definição e lembrando
propriedade das multiplicações escalar, vetorial e mista de vetores:
3,N se ,X))](([X
2;N se ,X)()(X)()X(X
1;N se ,X)X()X(
)X(
3
3321
321
3
3
221
21
221
21
3
i
i
i
i
3
bbbaaa
bb.aabb.aa
.ba.ba
expressões sintetizadas por (06).
Teor. 5:
: 3 3
T , (07).
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 85
Poliádicos - Ruggeri
É o que decorre imediatamente da definição (04) uma vez que:
1N se ,3T
1
11
13 .ab.ba
2;N se ,)( )()()( T
3 21
2121
213 aa.bbbb.aa
3,N se ,))(())(( T
3 321
321321
3213 aaabbbbbbaaa
Teor. 6: (Desigualdade de Hadamard)
Se o módulo de uma base é menor que o da sua recíproca, o quadrado do
terceiro de um diádico é menor ou no máximo igual ao produto dos
quadrados dos seus vetores motivo nessa base:
:E do },{},{ 3
j
ji
iebeaee
( ) ( ) ) ,
( ) ( ) ) ,
3
2 2 2
3
2
e e e e e e a a a
e e e e e e b b b
1 2 3
1 2 3
1 2 2 3
1 2 3
1 2 3 1
2
2
2
3
2
( | | | | | |
( | | | | | |
(08).
Tem-se:
3
( )( ) = ( )( ) a a a e e e b b b e e e1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 e ( )3
2 ( )( ) a a a b b b1 2 3
1 2 3.
Ora,
( ) ( )e e e e e e1 2 3
1 2 3 porque ( )( ) = 1e e e e e e1 2 3
1 2 3 ;
logo, ( ) ( )a a a b b b1 2 31 2 3 . Assim,
( ) ( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ).
e e e e e e b b b a a a
e e e e e e b b b a a a
1 2 31 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 31 2 3 1 2 3
1 2 3
Então, correspondentemente,
( ) ( )
( ) ( )
23
2 2
23
2 2
b b b a a a
a a a b b b
1 2 31 2 3
1 2 31 2 3
( ) ,
( ) .
Agora, considerando o exercício do § 02. 06, I, i.e., sendo x y z xyz x y z, , : ( ) 2 2 2 2 ,
concluímos logo a demonstração da a tese.
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto.
Consideremos os diádicos dos conjuntos definidos por uma N-pla de vetores
independentes quaisquer e seu sistema recíproco; sejam eiei e riri dois quaisquer desses
diádicos para (i = 1,2,...,N). Escrevemos, para qualquer vetor v:
)()( ii
ii eev.ev.ev , e N).1,2,...,(i , )()( i
ii
i rrv.rv.rv
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 86
Poliádicos - Ruggeri
Diádico unidade.
As igualdades anteriores mostram que existem diádicos que transformam qualquer vetor em
si mesmo executando, então, a "transformação identidade"; são denominados diádicos
unidade (ou idem fatores), sendo representáveis de infinitas maneiras (pois existem
infinitas N-plas de vetores independentes)41.
Como podemos escrever, também:
: ( ) ( ) ( ) ... ,i
i i
i i
iv v v. e e v. e e v. r r
resulta da definição de igualdade de diádicos que todos os diádicos unidade são iguais; são
representados, por isso, por um único símbolo: a letra maiúscula (em negrito) do alfabeto
grego. Assim,
r r e e e ei
i
i
i i
i ... , (i 1,2,... , N), (01),
se os ri , os ei etc. são independentes.
Resulta também, imediatamente:
: ( ) ( ) (i 1,2,...,N),i
i i
i .e e .e e , (011),
pois, pondo jj
ii ebea (i,j=1,2,3), tem-se, por exemplo: i
ii
i )( ebe.e .
No caso particular em que os vetores independentes são os unitários ortogonais , , ,i j k de E3, escrevemos:
ii jj kk+ + .
Lembrando propriedades dos recíprocos deduzimos, logo, para reduções no EN:
E V 3
N , e , o 1 (02).
Diádico nulo.
Seja, agora, um diádico reduzido à forma N-nomial
N).1,2,...,(i tes,independen , iii ene
Para qualquer r,
).( ii
.rne.r
41 Compare esta situação com a apresentada no início do § 02.01
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 87
Poliádicos - Ruggeri
O vetor ei(ni.r) é nulo se, e somente se, ni.r = 0, para todo i. Mas sendo r qualquer, r
não é ortogonal a nenhum dos ni necessariamente (tão pouco a todos simultaneamente), isso
é,
, e tesindependen , : iiii
ono.rener (03).
Sendo, ainda, para qualquer r: ,)( ii
nr.er. o vetor (r . ei) ni é nulo se, e somente se,
os ni são todos nulos porque, do contrário, existiriam tantas combinações dos ni quantas se
quisessem sem que os mesmos fossem nulos; o que é impossível.
Como poderíamos aplicar o mesmo raciocínio ao caso em que o diádico fosse
reduzido à forma N-nomial com conseqüentes independentes, concluímos que:
A CNS para que um diádico transforme qualquer vetor no vetor nulo é que os
seus antecedentes ou os seus conseqüentes sejam todos nulos.
Dada a arbitrariedade do vetor r concluímos que todos os diádicos que transformam
qualquer vetor no vetor nulo são iguais; esse diádico, único, é denominado diádico nulo e
representado, assim, por um único símbolo: a letra maiúscula (em negrito) do alfabeto
grego.
Obviamente
,0 , , 0 3VE o
Teor. 1:
MM 0M , (04).
Pois, escrevendo nas várias formas N-nomiais (01), teríamos, nos diferentes
membros das expressões de 0, ou 0, diádicos todos iguais ao diádico nulo (com todos os
antecedentes ou todos os conseqüentes nulos).
Reciprocamente, se M = M = , todos os antecedentes ou todos os conseqüentes
de M = M são nulos. Como os antecedentes e os conseqüentes de não são nulos, deve ser
M = 0.
Teor. 2:
:0)( ,0)(,, 321321, i
i eeeaaaea
,
33
32
31
3
23
22
21
2
13
12
11
1
321
.e.ae.ae.ae
.e.ae.ae.ae
.e.ae.ae.ae
aaa
(05)
desde que os vetores da última coluna sejam os antecedentes nas díades a
serem formadas.
Pois, considerando (011) e a identidade evidente:
,))()(())(( ii321
321321
321 a.aeeeaaaeeeaaa
§ 02.09- Diádico unidade. Diádico nulo. Diádico oposto. 88
Poliádicos - Ruggeri
pode deduzir-se, sucessivamente, lembrando a teoria dos recíprocos (§ 03,I):
].)(+)(+)[(]))([(
])(+)(+)()[(
))((
321213132i
i321
321213132
321
321
321
aaaaaaaaa.e.eeee
aaa.aaa.aaa.eee
eeeaaa
Mas,
))(())(())(())((213132321
i
i321ee.eee.eee.ee.eeee ;
logo, aplicando ((05), § 03.03,I):
))((
))((
3
23
13
22
122
13
33
12
321
33
23
32
22
1
321321
a.ae.ae
.ae.aea
.ae.ae
.ae.aea
.ae.ae
.ae.ae.e
eeeaaa
( )( ...) ( )( ...) .ee .a e .a
e .a e .aa .e
e .a e .a
e .a e .aa
32
32
13
12
1
13
12
13
22
23
1 .
Os conseqüentes das três díades no segundo membro podem ser representados pelos
determinantes
. e ,
32
22
12
31
21
11
321
33
23
13
31
21
11
321
33
23
13
32
22
12
321
.ae.ae.ae
.ae.ae.ae
aaa
.ae.ae.ae
.ae.ae.ae
aaa
.ae.ae.ae
.ae.ae.ae
aaa
Conforme ((062),§ 03.03,I), (a1a2a3)(e1e2e3) é o co-fator de em (05); e os determinantes
simbólicos, antes referidos, são os complementos algébricos dos demais elementos da
quarta coluna de (05). Assim, a expressão a que chegamos é o desenvolvimento do
determinante (05), segundo Laplace, pelos elementos da quarta coluna.
Diádicos opostos
Consideremos, agora, dois diádicos e que transformam um vetor qualquer, v, em
vetores opostos, isso é,
,w.v e .v w .
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 89
Poliádicos - Ruggeri
Se os ei são independentes (i = 1,2,...,N) e eiai e eib
i são as reduções N-nomiais de e ,
escrevemos: e a . v e b vi
i
i
i( ) ( ).. Então, necessariamente, a . v b . v
i i para todo i,
isso é: a bi i
. Logo:
Se dois diádicos, reduzidos a uma forma N-nomial com antecedentes
(conseqüentes) independentes, transformam por multiplicação pontuada
posterior (anterior) um mesmo vetor em vetores opostos, seus conseqüentes
(antecedentes) são vetores opostos.
É evidente que a recíproca desta propriedade é verdadeira e que os mesmos
resultados poderiam ser obtidos caso os diádicos fossem reduzidos a forma N-nomial com
conseqüentes independentes.
Diádicos que transformam um mesmo vetor em vetores opostos são denominados
diádicos opostos.
É evidente, em vista da definição de multiplicação de diádico por número real (§
02.03), que se dois diádicos são opostos um deles é igual ao outro multiplicado por (-1).
Assim, se é oposto de , = (-1), isso é, a todo diádico corresponde um único oposto,
e o representamos por - . Então:
( 1) , (06);
logo:
( ) ( ) , ( ) ( ) e ( ( 1) ,E E V V 3N
3 ) (07).
§ 03 - DIÁDICOS COMPLETOS E INCOMPLETOS.
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais.
Numa redução N-nomial de um diádico com antecedentes (conseqüentes)
independentes, os conseqüentes (antecedentes) poderão ser ou não independentes. Um
diádico é dito completo (ou não degenerado) quando, reduzido a uma forma N-nomial,
tem antecedentes e conseqüentes simultaneamente independentes; ele é dito incompleto em
caso contrário.
Consideremos a forma N-nomial = eibi (i = 1,2,...,N) em que, por hipótese, os
antecedentes são independentes. Se os bi não forem independentes eles serão,
necessariamente: coplanares no E3, paralelos no E2, e nulo no E1.
No E3 dois casos podem acontecer relativamente aos conseqüentes (Fig.03.01):
1)- pelo menos um deles é nulo. Geometricamente, ilustraríamos esse caso com a
Figura (a), em que o plano de b1 e b2 é o plano dos três vetores; ou em que tal plano é
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 90
Poliádicos - Ruggeri
qualquer plano que contenha a reta suporte de b1 (Figura (b)); ou, que tal plano é
indeterminado (o diádico correspondente é o diádico nulo).
2º)- Todos eles são não nulos (Figura (c)), com dois subcasos: dois dos
conseqüentes são paralelos, (Figura (d)), ou os três paralelos, (Figura (e)). Neste último
caso os vetores pertencem a qualquer um dos infinitos planos que contenham a direção
comum a esses vetores.
No caso 1º), Figura 03.01(a), b3 = o e o diádico fica reduzido a forma binomial =
e1b1+e2b
2 uma vez que e3b3 = (díade nula). Se dois dos conseqüentes são nulos, b2 = b3
= o, por exemplo, então fica reduzido à forma monomial: = e1b1.
No caso 2º), em que os três conseqüentes são não nulos, podemos expressar um
deles em função dos outros dois, escrevendo, por exemplo, b b b3 3 1 3 2
B + B ; logo:
e b e b e b b e e b e B e b1
1
2
2
3
3 1 3 3+ + (B + B B
2
1 3
1
2
3
3
2) ( ) ( ) .
Pondo
e e e e e e1
3
3 1 2
3
3 2+ B e + B ,
temos, finalmente:
e b e b1
1
2
2+ ,
isso é, fica reduzido a uma forma binomial.
Caso dois dos bi sejam paralelos, por exemplo b b2
3
|| , podemos escrever: b3 =
B3b2 e, então,
e b e b e b e b e e b1 2 1
1
2 3
21 2
3
3 2 3+ + (B B) ( ) ,
isso é, fica reduzido à forma binomial.
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 91
Poliádicos - Ruggeri
Finalmente, é óbvio que se todos os conseqüentes são paralelos, o diádico pode ser
reduzido à forma monomial.
Analogamente, no E2 dois casos podem acontecer, relativamente aos conseqüentes
de uma redução binomial do diádico:
1º) ao menos um dos vetores é nulo: = e1b1+e2b2 com b2 = o. Então, obviamente,
o diádico fica reduzido à forma monomial = e1b1;
2º) os conseqüentes são não nulos, mas paralelos. Nesse caso podemos escrever: b1
= B1b e b2 = B2b; e = (B1e1+B2e2)b = eb, sendo e = B1e1+B2e2. Assim, também nesse
caso, o diádico fica reduzido a uma forma monomial.
Definições:
No E3, diádicos redutíveis à forma binomial denominam-se planares; no E3
ou no E2, os diádicos redutíveis à forma monomial denominam-se lineares.
Quando um diádico está reduzido a uma forma não passível de maior
redução no espaço a que pertence, dizemos que ele está representado em
redução mínima ou em forma mínima.
Assim, no E3, a forma mínima de um diádico planar é a binomial e a de um diádico
linear a monomial. No E2 a forma mínima de um diádico linear é a monomial.
Teor. 1: A todo diádico planar no E3 está associado um e um único par de planos; a
todo diádico linear no E3 ou no E2 está associado um e um único par de
direções.
Seja, no E3, = eibi uma redução trinomial do diádico com antecedentes
independentes, e o plano dos seus conseqüentes. Este diádico transforma, por
multiplicação pontuada posterior, qualquer vetor r de E3 no vetor r do plano (Figura
03.02) pois, r r. r.e b ( ) .i
i
Logo, como o transformado de qualquer outro vetor v , v', é ainda um vetor do plano ,
concluímos que, nestas condições (multiplicação pontuada posterior e redução com
antecedentes independentes), o diádico transforma qualquer plano do espaço no plano .
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 92
Poliádicos - Ruggeri
Suponhamos, agora, que a redução de seja = rici, com os ri independentes. Então
o plano definido pelos mesmos vetores r e v, anteriormente considerados, deve ser
transformado no plano ' dos seus novos conseqüentes c1, c2 e c3. Mas como a
transformação regida por é unívoca, o transformado do plano de r e v é um só, isso é, e
' são confundidos ou paralelos.
Se fizéssemos a redução trinomial do mesmo diádico , agora com conseqüentes
independentes e quaisquer - operação sempre possível (Teor.1, § 02.07) - , os antecedentes
de deveriam ser coplanares porque, por hipótese, é planar. Procedendo como
anteriormente poderíamos comprovar que esse plano tem orientação única.
Então, não obstante serem, correspondentemente, os antecedentes (dois pares) de
duas reduções binomiais arbitrárias de um mesmo diádico, vetores diferentes, esses vetores
são coplanares; o mesmo ocorre com os conseqüentes. Logo, a todo diádico planar estão
associados dois planos, em geral distintos.
A demonstração da segunda parte do teorema, no E3 ou no E2, é análoga a primeira.
Definições:
No E3, os planos associados a um diádico planar e a interseção desses
planos são ditos, respectivamente, os planos e a direção desse diádico; se
esses planos são paralelos o diádico é dito uniplanar, se ortogonais,
ortoplanares.
No E3, ou no E2, a direção e o plano associados a um diádico linear são ditos
a direção e o plano desse diádico, respectivamente; se o antecedente e o
conseqüente de um diádico linear são paralelos o diádico é dito unilinear, se
ortogonais, ortolineares.
No E2, todos os diádicos são uniplanares; no E1 todos os diádicos são unilineares.
Corol. 1: Todo diádico planar (gerado do E3) transforma qualquer figura (uni, bi
ou tridimensional) numa figura de um dos seus planos.
Corol. 2: Todo diádico linear (gerado do E3 ou de um E2) transforma qualquer
figura (uni, bi ou tridimensional) em pontos ou segmentos de reta de uma
de suas direções.
Não é demais observar que, tanto aos diádicos planares (do E3), quanto aos lineares
(do E3 e do E2), estão associados, respectivamente, uma direção única (interseção de dois
planos) e um plano único (união de duas direções); geralmente, entretanto, essas direções
não têm haver com as direções dos vetores desses diádicos. Por outro lado, quando, no E3,
um diádico é uniplanar, o seu vetor é ortogonal ao seu plano; quando, no E3, um diádico é
linear, o seu vetor é ortogonal ao seu plano, e quando ele é unilinear o seu vetor é o vetor
nulo.
Exercício:
Demonstre que a direção do diádico planar (gerado do E3) é paralela ao vetor
.V
.
§ 03.01 - Definições e propriedades gerais. 93
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 2: Todo diádico completo transforma vetores independentes em vetores
independentes; reciprocamente, se um diádico transforma vetores
independentes em vetores independentes, ele é completo.
Com efeito, se é completo e os ai são independentes, então, sendo bi = .ai, tem-se: = bia
i, conforme ((01),§ 02.04). Mas se é completo, os seus antecedentes são
independentes (os ai já o são, por hipótese). Reciprocamente, se um diádico transforma os
vetores independentes ai nos vetores independentes bi, isso é, bi = .ai, então = biai e é
completo.
Corol. 1:
Uma CNS para que um diádico seja completo é que transforme vetores
independentes em vetores independentes.
Corol. 2: Uma CNS para que um diádico seja completo é que seu terceiro seja
diferente de zero.
,0 completo 3 (01).
Teor. 3:
Se é completo e .r = o, então, r = o:
, e 03 oror. (02).
Escrevamos o diádico completo, , numa qualquer forma N-nomial: = eibi com os
ei independentes. Então, também por hipótese, .r = ei(bi.r) = o. Como os ei são
independentes, bi.r = 0 para todo i, isso é, r = o porque r não poderia ser ortogonal a N
vetores independentes simultaneamente.
Teor. 4:
, ro e .r = o é incompleto, (03).
Reduzamos o diádico à forma N-nomial com conseqüentes ei independentes.
Deduzimos, então: .r = ai(ei.r) = o. Ora, os coeficientes ei.r na combinação linear dos
vetores ai não podem ser simultaneamente nulos porque os vetores ei são independentes e r
é qualquer. Logo (Corol.3, Teor.4, § 03.02, I) os ai são dependentes e é incompleto.
Teor. 5:
ai independentes e .ai = o (i = 1,2,...,N) = , (04).
Pois teríamos de ((01),§ 02.04): = oa1 se N = 1, ou = oa1+oa2 se N = 2, ou =
oa1+oa2+oa3 se N = 3, isso é, = .
Teor. 6:
Se é completo, então para qualquer ro, tem-se .ro e r.o; ou,
, e : ,03 or.o.ror (05).
§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. 94
Poliádicos - Ruggeri
Escrevendo = eibi, com 0)( 321 eee , tem-se .r = ei(b
i.r). Ora, ao menos um dos
números entre parênteses é não nulo porque o vetor não nulo, r, não poderia ser ortogonal
aos três vetores independentes bi simultaneamente; logo o.r . Analogamente
comprova-se que o.r .
§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares.
Consideremos, no E3 , dois diádicos completos, e , escritos, por exemplo, nas
formas trinomiais seguintes (com antecedentes independentes)
e a e pi
i
i
i e (i 1, 2, 3) , (01),
com a condição de que os pi, não nulos, sejam paralelos aos correspondentes ai, isso é,
p a p a p a1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3
X X X (X , X , X , , , 0) , (011).
Então podemos dar a a nova representação:
e ai
i iX (i 1, 2, 3) 42, (012).
Aplicados os ai e os pi co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O, suas
extremidades A1, A2, A3 e P1, P2, P3 definirão os triângulos espacialmente homológicos,
A1A2A3 e P1 P2 P3. O centro dessa homologia é O e seu eixo é a interseção dos planos dos
triângulos, interseção esta que contém, ademais, os pontos de interseção B1, B2 e B3 dos
lados homólogos (A2A3, P2 P3), (A3A1, P3 P1) e (A1A2, P1 P2), respectivamente (Fig. 03.03).
Explicitando os vetores ai em (011) e substituindo em (01), vemos que as
representações de e de são análogas, porem com coeficientes recíprocos:
e pi i
i
X
1, (013).
42 Notar que quando dois índices aparecem repetidos num mesmo nível mas seguidos do mesmo índice em nível diferente, fica estabelecida a somatória convencionada; e apenas nestes caso. Por isso, as expressões (01
1)
poderiam ser escritas na forma 3) 2, 1,(i iiXi ap .
§ 03.02 - Diádicos homológicos e término colineares. 95
Poliádicos - Ruggeri
Definição: (diádicos homológicos)
Diádicos como e , cujos conseqüentes satisfazem (011), serão ditos
reciprocamente homológicos (ou, simplesmente, homológicos).
Escritos os diádicos nas formas (01)1 e (012), diremos que é homológico
com e tem coeficientes de homologia Xi; e escreveremos = Hom.
Nota:
Quando não houver perigo de confusão escreveremos, simplesmente Hom e
1Hom para representar a reciprocidade homológica dos diádicos. Devemos notar,
entretanto, neste caso, que a substituição da segunda igualdade na primeira dá:
HomHom1
.
Segue-se das considerações geométricas estabelecidas que, a dado par de diádicos
homológicos, é possível associar, de modo unívoco, o diádico que, escrito em forma
trinomial com antecedentes ei, é e bi
i (i=1, 2, 3), os vetores b
i sendo co-iniciais em O e
tendo extremidades Bi sobre o eixo da homologia (portanto, colineares).
Definição: (diádico término colinear)
Um diádico que, escrito em forma trinomial, tem por vetores motivos, vetores
término colineares quando co-iniciais, é dito término colinear.
É geometricamente evidente que resultados análogos poderiam ser obtidos fazendo-se a projeção do sistema espacial de triângulos homológicos da Figura 03.03 sobre um
plano arbitrário, paralelamente a uma direção também arbitrária do espaço. Nesse caso, os
diádicos homológicos e , antes completos, agora devem ser considerados dados por
expressões idênticas às (01), com a condição se serem ambos planares, seus conseqüentes
satisfazendo (011).
Mantêm-se as mesmas denominações e notações já estabelecidas no caso da
homologia espacial. Particularmente, o diádico término colinear associado com essa
homologia tem seu plano coincidente com o plano da mesma.
Exercícios:
1) – Teorema da invariância da homologia: A homologia de dois diádicos
homológicos independe de suas representações N-nomiais.
2) - Se =eiXia
i é homológico de = eia
i com (e1e2e3)0 e (a
1a
2a
3)0, então o eixo
da homologia é paralelo ao vetor
321321321321 )XX(X)XX(X)XX(X aaaa ;
e este é perpendicular ao vetor 321
aaa .
*
No caso particular em que os coeficientes da homologia (plana ou espacial) de dois
diádicos são todos iguais, os diádicos correspondentes são paralelos; os triângulos que lhes
correspondem são semelhantes e têm planos paralelos.
§ 03.03 - Diádicos de Moreira. 96
Poliádicos - Ruggeri
Propriedades.
1) - O transposto do homológico de um diádico é igual ao homológico do
transposto desse diádico:
)Hom()Hom( TT , (02).
Pois
(Hom X ) X e Hom( ) X (i 1, 2, 3)T
i
i i T i i
i
T i i
i ) ( e a a e a e .
2) - O terceiro do homológico de um diádico é igual ao produto do terceiro
desse diádico pelos coeficientes de suas homologias:
( )Hom X X X1 2 3 3 3 , (03).
Pois,
))((XXX)XXX)(()X()(Hom 321321
3213322113213
iii3
aaaeeea.aaeeeae .
3°) - Se dois diádicos são paralelos (§ 02.03), seus homológicos são
igualmente paralelos:
K Hom K Hom , (04).
Pois
Hom(K K X K( X ) KHom(i
ii
i ii
i ii
ie a e a e a e a) ).
§ 03.03 - Diádicos de Moreira.
Quadrângulo associado.
Consideremos um feixe qualquer de três planos 1), 2) e 3), de charneira e),
Figura 03.04. Podemos escolher de uma (múltipla) infinidade de maneiras dois tercetos de
vetores não coplanares, },,{ 321 eee e { , , }a a a1 2 3 , tais, que para i=1,2,3, ei e ai pertençam
ao plano i). Com esses tercetos podemos constituir o diádico, digamos completo43,
M e a M i
i (i 1 03
,2,3), , (01).
43 Nada impede que esse diádico possa ser planar.
§ 03.03 - Diádicos de Moreira. 97
Poliádicos - Ruggeri
Decorre dessa construção que os vetores das díades de M são coplanares, isso é,
0)()()( 3
3
2
2
1
1 ae.aeae , (02).
Com efeito, pois esses vetores são ortogonais a planos que têm uma reta comum.
O plano ), ao qual são paralelos os vetores das díades de M, é, evidentemente,
ortogonal a e). É evidente, ainda, que MV (em geral não nulo) também é paralelo a ).
Em resumo: se os planos das díades de um diádico completo formam um feixe, o
vetor (em geral não nulo) desse diádico e os vetores de suas díades são paralelos a um
mesmo plano que é ortogonal à charneira do feixe.
•
Os suportes dos vetores constituintes de cada díade de M haverão de se interceptar
quando os tercetos de antecedentes e conseqüentes forem aplicados co-inicialmente em
pontos arbitrários, D* e D, respectivamente, da charneira e) do feixe a ele associado. Se A,
B e C são as interseções de e1 com a1, de e2 com a2 e de e3 com a3, respectivamente, resulta
que o plano (ABC) é necessariamente paralelo ao plano ).
Representemos no plano (ABC) os pontos: HA, de interseção do plano (e1,a1) com
BC, HB de interseção de (e2,a2) com CA, HC de interseção de (e3,a
3) com AB, e H,
interseção de DD* com (ABC).
§ 03.03 - Diádicos de Moreira. 98
Poliádicos - Ruggeri
Definições: (Quadrângulo)
Quadrângulo44, é a figura formada por 4 pontos quaisquer, de que são os
vértices, e os 6 segmentos que definem, de que são os lados.
Constatamos, então, na representação geométrica do diádico M e ai
i , Fig. 03.05, a
existência de um quadrângulo (no caso, um tetraedro), DABC, e três quadrângulos planos,
DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com um par de vértices em comum. No quadrângulo
ABCD, os lados que não possuem vértices comuns, ditos lados opostos, são três pares: DA
e BC, AB e CD, CA e BD.
Assim, ao suporte de a1 corresponde o suporte (oposto) de 1
1ae etc. Ora, 1
1ae
(que é paralelo a BC) é perpendicular a e1 (que é paralelo a D*A) e a a1 (que é paralelo a
DA); o mesmo ocorre com 2
2ae em relação a e2 e a a2 etc. O quadrângulo é, por isso,
um quadrângulo especial, cujos lados opostos (de comprimentos diferentes em geral e
variáveis com DD*) são ortogonais; denomina-se um ortoquadrângulo na nomenclatura de
Moreira. Os pontos HA, HB e HC são, assim, os pés das alturas do triângulo ABC, ou seja, H
é o ortocentro desse triângulo.
A escolha de novos pontos D e D* sobre a reta e) implica a formação de novos
quadrângulos, todos de lados paralelos aos lados do primeiro. Como os antecedentes e os
conseqüentes do diádico são quaisquer, o ortoquadrângulo que lhe é associado, é um
ortoquadrângulo qualquer.
44 Conforme Moreira, L. C. de A., Fundamentos da Geometria dos Quadrângulos, Anais da Escola de Minas de Ouro Preto, 1960, p. 95 a 126.
É óbvio que poderíamos constituir diádicos M tais que um dos tercetos que definem
o feixe fosse constituído de vetores coplanares, ou ambos os tercetos fossem coplanares e
seus planos distintos, ou, mesmo, confundidos. Ficará a cargo do leitor a discussão
geométrica dessas situações particulares, casos em que M seria planar ou uniplanar.
Definição: (diádico de Moreira)
Denominaremos diádico de Moreira todo diádico cujos planos de suas
díades constituam um feixe.
Assim, aos diádicos de Moreira estão sempre associados um eixo e) e um plano ),
ortogonais, que serão denominados eixo e plano desse diádico. Deve ser observado, porém,
que diferentes diádicos de Moreira podem ter um mesmo eixo e um mesmo plano.
Quadrângulos transpostos.
Exploraremos um pouco mais o assunto no § 08 06. Por ora podemos deduzir que
se certo diádico é um diádico de Moreira, o seu transposto também é.
Se aplicarmos os antecedentes e os conseqüentes de MT nos mesmos pontos D e D* de
aplicação dos antecedentes e conseqüentes de M, o novo quadrângulo formado tem seus
vértices simétricos dos vértices do primeiro em relação ao ponto médio de DD*. Os
diádicos M e MT têm, pois, eixos coincidentes e planos paralelos; poderíamos denominar o
quadrângulo associado a MT o quadrângulo transposto ou conjugado do primeiro.
Devemos observar que qualquer plano e a reta a ele ortogonal constituem,
respectivamente, o plano e o eixo de uma representação do diádico unidade.
§ 04.01- Definição e propriedades. 99
Poliádicos - Ruggeri
Nota: Esses conceitos generalizam aqueles apresentados no § 03.03,I para sistemas de vetores recíprocos, sendo fácil detectar a correspondência existente entre os vários conceitos envolvidos. Assim, por exemplo, qualquer diádico de Moreira está para o seu ortoquadrângulo assim como o diádico unidade está para o quadrângulo ortocêntrico. Deve ser notado também que qualquer plano e qualquer reta podem constituir o plano e o eixo do diádico unidade.
§ 04 - ADIÇÃO DE DIÁDICOS.
§ 04.01 - Definição e propriedades.
Chama-se soma de dois diádicos e , e representa-se por + (ler: mais ), o
diádico cujas díades são as de e as de . Assim, se = ai bi e = cj d j, para i e j
quaisquer, tem-se:
+ + +...+ + +....1
1 a b a b c d c d2
2
1
1
2
2
A soma de dois diádicos é, pois, a soma simbólica de todas as díades desses
diádicos. A adição de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar a soma desses
diádicos; ela é, obviamente, extensível a mais de dois diádicos.
Como, para qualquer vetor r,
( + +...) ( + +...) ( ) +i
i
i
i
i
i
i
i . r a b c d .r a b .r c d .r ( ) ... ,
vemos que a adição de diádicos goza das mesmas propriedades que a adição de vetores45.
Por outro lado, como é sempre possível, com diádicos gerados do EN, reduzir
qualquer diádico a uma forma N-nomial (com antecedentes ou conseqüentes
independentes), vemos que a realização de uma redução N-nomial similar dos diádicos
parcela (com os mesmos antecedentes, por exemplo) pode conduzir-nos rapidamente à
determinação do diádico soma. Assim, por exemplo,
se e , então, + ( + i Ni
i
i
i
i
i i e b e c e b c ), ( ,2,... , ),1 (01).
Nestas condições, demonstram-se facilmente as seguintes
Propriedades.
1º)- É sempre possível e unívoca.
Com efeito, dados dois diádicos é sempre possível reduzi-los a forma N-nomial com
antecedentes (ou conseqüentes) independentes; além disso, a soma dos conseqüentes (ou
antecedentes) é também possível e unívoca.
45 Essa operação de adição juntamente com a de multiplicação de diádico por número real (§ 02.02) e algumas
de suas propriedades permitem enquadrar o conjunto dos diádicos como um "espaço vetorial no corpo dos números reais" em linguagem da Álgebra Linear.
§ 04.01- Definição e propriedades. 100
Poliádicos - Ruggeri
2º)- É comutativa e associativa:
+ + ,
+ + +... ( + ) + +..., (02),
o que é evidente.
3º)- Chama-se diferença de dois diádicos e , e representa-se por - ,
o diádico que se obtém somando ao primeiro o oposto do segundo.
Esta operação é, também, sempre possível e unívoca, podendo ser estendida a vários
diádicos. Tem-se também,
, (03),
isso é, a diferença de dois diádicos iguais é o diádico nulo.
4º)- A operação é distributiva em relação à multiplicação por número:
M( + +...) M + M +..., (04),
porque:
M( + +...) M[ ( + +... )] (M
M M M M M M .
i
i i
i
i i
i
i i
i
i
i
i
a b c a b c
a b c a b a c
)( ... )
( ... ) ( ) ( ) ... ...
5º)- A multiplicação pontuada de diádico por vetor é distributiva em relação
à adição de diádicos:
( + +...) + +..., .r .r .r (05).
É evidente a demonstração.
6º)- O diádico transposto de uma soma algébrica de diádicos é igual à soma
algébrica dos transpostos dos diádicos parcela:
( + +...) + +... ,T T T
(06).
( + +...) [ ( + +...)]T
i
i i T i i
i
i
i
i
i
T T a b c b c a b a c a( ...) ... ...
7º)- O escalar e o vetor de uma soma algébrica de diádicos são
respectivamente iguais à soma algébrica dos escalares e dos vetores dos
diádicos parcela:
......)(
, (07).
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 101
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, reduzindo os diádicos a uma forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes, tem-se (com denotando E ou )
.........)(
...)]([...)++(
i
i
i
i
ii
i
ii
i
cabacba
cba
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição
aditiva.
Sejam s1, s2, ..., N vetores não simultaneamente nulos que, em relação a uma base
qualquer {e*
} de EN, são escritos na forma:
s s .e e s .e s .ei i jj
i j j i( ) com , (i, j 1,2,...,N).
Existe sempre (Corol.1,Teor.1,§ 02.04) um diádico S que transforma os vetores da base
recíproca de {e*
} nos vetores si, isso é, se si = S.ei, então, em forma N-nomial, S = siei.
Para qualquer r,
S. r s e .r s .e e .r e i
i
i j
i j( ) ( ) ,
ST
j
j j i
i j( ). r e s . r s . e r.e e ( ) .
Por serem si.ej = sj.ei para todo i e j, resulta da definição de igualdade de diádicos
que S=ST. Existem, pois, diádicos que são iguais aos seus respectivos transpostos;
denominam-se diádicos simétricos e são representados genericamente por S. O diádico
nulo e o diádico unidade são exemplos particulares de diádicos simétricos.
Similarmente, seja a N-pla de vetores não simultaneamente nulos
jjii )( e.eaa com ijji
.ea.ea (i,j=1,2, ..., N).
Existe sempre um diádico, digamos A, que transforma os vetores da base {e*} nos vetores
ai; logo A = aiei. Então:
A. r a e .r a .e e .r e i
i
i j
i j( ) ( )
e
AT
j
j j i
i j( ) ( ). r e a .r a .e e .r e .
Logo, por ser - ai.ej = aj.ei e lembrando a definição de igualdade de diádicos e diádicos
opostos: A = - AT. Existem, pois, diádicos que são iguais aos opostos dos seus respectivos
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 102
Poliádicos - Ruggeri
transpostos; são denominados diádicos anti-simétricos e representados geralmente por
A46. O diádico nulo é um exemplo particular de diádico anti-simétrico para qualquer N.
Teor. 1: A soma e a diferença de qualquer diádico com o seu transposto são,
respectivamente, diádicos simétrico e anti-simétrico.
Com efeito, pois pela propriedade 6ª (§ 04.01) e considerando ((03),§ 02.05), temos,
com correspondência de sinais:
( ) ( );T T T TT T T
isso é,
T T T
( ) , (01),
donde a tese.
Teor. 2: Qualquer diádico pode ser decomposto de modo único na soma de um
diádico simétrico com um anti-simétrico.
Da identidade
1
2( + ) +
1
2( ),
T T (02),
e do teorema anterior, resulta, logo, comprovada a possibilidade da decomposição.
Demonstremos que ela é única. Pondo
1
2
1
2( ) ( ),
T T e
temos: = '+''. Se existissem dois outros diádicos ' e '' tais, que
+ com e ,T
T
então poderíamos escrever:
, com , e +
para que . Sendo e , respectivamente, simétrico e anti-simétrico, deduzimos:
( + ) + e ( ) ( ).T T
46 A simetria e a anti-simetria dos diádicos aqui apresentadas são "internas". Oportunamente (§02.05,III) serão apresentadas as "externas".
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 103
Poliádicos - Ruggeri
Mas sendo simétrico e anti-simétrico, deduzimos também, aplicando propriedade da
adição:
. é, isto , e TT
Logo: e , e a decomposição é única.
Definições:
A identidade (02) representa a decomposição aditiva do diádico . Nesta
decomposição de , o diádico parcela (+T)/2, simétrico, é dito a parte
simétrica de ; o diádico ( - T)/2, anti-simétrico, é dito a parte anti-simétrica de . Esses diádicos serão representados, respectivamente, por
sim e ant .
Então:
sim ant , com simT
antT1
2( + ) e
12
( ), (03).
Corol. 1:
Se um diádico é simétrico, a sua parte anti-simétrica é nula, e
reciprocamente.
Corol. 2:
Se um diádico é anti-simétrico a sua parte simétrica é nula, e
reciprocamente.
Teor. 3:
Os diádicos anti-simétricos, , são nulos no E1, unilineares no E2. No E3
eles são uniplanares e, particularmente,
r.Ar.AA.rArr 222 : TV , (04),
isso é, o vetor de um diádico anti-simétrico é perpendicular ao seu plano.47
No E1, A = ae = - ea implicam a.e = 0; como a é paralelo a e: ou a = o, ou e = o e A
é o diádico nulo. No E2, A deveria ser ao menos linear, logo, da forma A = ae = - ea com
ao e eo. Mas, para qualquer r de E2: A.r = a(e.r) = - e(a.r), isso é, a e e são paralelos;
logo A é unilinear. Por ser A = - AT, A3 = (-1)N A3, isso é, 3 = 0 para N=1, ou 3. Então, no
E3, A deve ser ao menos planar porque A3=0. Com efeito, por ser A=-AT tem-se, lembrando
((06), § 02.09) e ((07), § 02.08): 3 33
3 31 ( ) ( )T ; logo, no E3, A3=0. Então
47 Dispensam-se considerações aos vetores de diádicos anti-simétricos em E1 e E2 porque são sempre nulos.
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 104
Poliádicos - Ruggeri
esse diádico pode ser escrito na forma A=ab+cd. Mas devendo ser, também, A=-ba-dc,
resulta que os planos (a,c) e (b,d) são coincidentes e é uniplanar. Então:
,c.rda.rbd.rc+b.raA.rr )()()()( :
Mas
dr.ccr.dar.bbr.adcrbarAr )()()()()()(V
,
donde, considerando a igualdade anterior
A.rr.Ar.Acr.dar.bAr 222])()[(2 T
V ,
o que comprova (041). Analogamente, podemos escrever:
r.Adr.cbr.aAr 2])()[(2V
.
Como r é qualquer, V é perpendicular a qualquer combinação linear de a e c e de b e d;
isso é, perpendicular ao plano do diádico.
Corol. 1:
e VT
o .
Pois, por (04) seria or. para todo e qualquer r, ou seja, conforme (03), § 02.09,
. A recíproca é evidente pois o diádico nulo é anti-simétrico e tem vetor nulo.
Corol. 2:
Todo diádico anti-simétrico gerado do E3 tem escalar e terceiro nulos, e
vetor não nulo:
oV
3
ET ,0
,0
A
AA
AA (041).
Que o vetor de A é não nulo é evidente porque, se não fosse, o Corol. 1 garantiria ser
esse diádico o diádico nulo; o que é contra a hipótese. Por ser A = - AT, deduzimos,
igualando os escalares e os terceiros de ambos os membros: AE = - ATE e A3 = - (AT )3.
Mas, segundo ((03) e (07),§ 02.08),
ATE = AE e A3 = (AT)3; logo AE = 0 = A3.
Corol. 3:
r r. .r: = - T 0, (042).
Pois, sendo r. .r r. .r T , temos, evidentemente:
r. .r r. r. r. .r r. .r ( ) ( ) .
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 105
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 4:
Todo diádico simétrico tem vetor nulo; reciprocamente, se um diádico tem
vetor nulo ele é simétrico.
Pois se S=ST, então, SV=(ST)V, isso é, lembrando ((031),§ 02.08), SV=-SV, ou SV=o.
Reciprocamente, por hipótese SV=o. Mas, para qualquer diádico , (T)V=- V; logo:
(ST)V=-SV=o=SV, ou seja, lembrando ((07), 04.01): (ST-S)V=o. Mas o diádico ST-S é anti-
simétrico (Teor. 1); e tendo vetor nulo, o Corol. 1 do Teor. 3 garante ser ST-S=, ou seja,
ST=S.
Corol. 1: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo:
T
V o (05).
Logo (§ 03.03):
todo diádico simétrico é um diádico de Moreira.
Exercício:
Caracterizar o diádico de Moreira associado a um diádico simétrico.
Corol. 2: No E3 todo diádico planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear). No
E2 todo diádico linear simétrico é unilinear.
Com efeito, se é simétrico, V=o pelo corolário anterior; sendo planar podemos
escrevê-lo, em redução mínima, =miai (i=1,2). Logo, oam i
i , igualdade que implica
serem coplanares os antecedentes m1, m2 e os conseqüentes a1, a2 de . Então é
uniplanar.
A demonstração para o caso linear tanto no E3 quanto no E2 é evidente.
Nota: A recíproca deste teorema para o caso planar não é verdadeira porque, obviamente, existem diádicos uniplanares cujos vetores não são nulos, logo não simétricos.
Corol. 3: Os diádicos ortoplanares e os ortolineares são não simétricos.
Com efeito, se fossem simétricos seriam uniplanares os ortoplanares e unilineares os
ortolineares, o que é absurdo.
Teor. 5:
A todo vo de E3 é possível associar, de infinitas maneiras, um diádico anti-simétrico (uniplanar), de plano perpendicular a v, cujo vetor seja 2v.
§ 04.02 - Diádicos simétricos e anti-simétricos. Decomposição aditiva. 106
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, sejam e1 e e2 dois dos infinitos vetores não paralelos arbitrários do plano
ortogonal a dado vetor v tais, que v=e1×e2. O diádico e1e2-e2e1 é anti-simétrico porque
e e e e e e e e1 2 2 1 1 2 2 1 ( )T
; e seu vetor é 2e1×e2=2v, o que comprova o teorema.
Teor. 6: O escalar e o vetor de um diádico são iguais, respectivamente, ao escalar de
sua parte simétrica e ao vetor de sua parte anti-simétrica.
Com efeito, sendo sim ant e considerando os teoremas 3 e 4 deduzimos:
E sim E ant E sim E+ , e V sim V ant V ant V + .
Teor. 7:
Se dois diádicos têm vetores iguais, então suas partes anti-simétricas são
iguais; e reciprocamente.
Com efeito, se e são quaisquer e V=V, então: (-)V = o e - é diádico
simétrico (Teor.4). Logo: -=(-)T, ou, -T=-T e as partes anti-simétricas desses
diádicos são iguais.
A demonstração da recíproca é imediata, pois, devendo ser -T=-T, então: (-
T)V=(-T)V, isso é, pelo Teor.6, V=V.
Corol. 1:
Se o vetor V de um diádico é igual ao vetor AV de um diádico anti-
simétrico A, então A é a parte anti-simétrica de :
, V V ant A A A: (06).
Pois, pelo Teor.7 as partes anti-simétricas de e A são iguais e a parte anti-simétrica de A é o próprio A.
Corol. 2:
Se dois diádicos anti-simétricos têm vetores iguais, eles são iguais.
Exercício: Provar que
antVantVVV2 :, .. , (07).
§ 05.01- Definição e propriedades. 107
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 8:
Se a soma (diferença) de dois diádicos é um diádico simétrico (anti-
simétrico), as suas partes anti-simétricas (simétricas) são diádicos opostos
(iguais), e reciprocamente:
)((2
1)(
2
1 , )( TTT , (08),
expressões em que os sinais se correspondem.
Pois se ( )T T T , então por transposição de termos resulta:
T T T ( ) .
A recíproca é de demonstração evidente.
Exercício: Qualquer combinação linear de diádicos simétricos (anti-simétricos) é diádico
simétrico (anti-simétrico).
§ 05- MULTIPLICAÇÃO PONTUADA DE DIÁDICOS.
§ 05.01- Definição e propriedades.
Chama-se produto pontuado do diádico = aibi (i = 1,2,...,P) pelo diádico = cjd
j
(j = 1,2,...,Q), nessa ordem, e representa-se por . (lendo-se ponto ), o diádico
representado pela soma simbólica das díades que se obtém multiplicando escalarmente o
conseqüente de cada díade de pelos antecedentes de cada díade de . Escreve-se:
. , sendo:
a b .c d a b .c d +a b .c d + +a b .c d + ,i
ij
j ... ... ( ) ( ) ( ) ( )1
11
11
12
22
21
1 (01).
Na ordem inversa o produto pontuado dos diádicos é:
. c d .a b c d .a b c d .a b j
ji
i( ) ( ) ( ) ... ,1
11
11
12
2 (011).
A multiplicação pontuada de dois diádicos é a operação que tem por fim determinar
o produto pontuado desses diádicos.
Propriedades.
1ª)- É operação sempre possível e unívoca,
o que é evidente.
2ª)- É operação não comutativa:
. . , (02),
o que é evidente por (01) e (011).
§ 05.01- Definição e propriedades. 108
Poliádicos - Ruggeri
3ª)- A operação é associativa em relação a fatores escalares:
N( ) (N ) (N ) ( )N, . . . . (03).
Tem-se, por exemplo, aplicando (01) e lembrando ((01),§ 02.02):
N( ) [ ( N N N )i
ij
ji
ij
ji
ij
j . N a b .c d a b .c d a b . c d . ) ] [( ) ] [( ) ] ( ) ( .
O terceiro e quarto membros de (03) podem ser deduzidos analogamente.
4ª)- É associativa em relação a fator vetor, se o vetor não aparecer entre os
diádicos, isso é:
( ) ( ), . . r . .r (04),
mas, geralmente,
( ) ( ) . r . . r. , (041).
De fato,
( ) [ ( ) ] ( )( ) { [ ( )]}
[ ( )] ( ) ( ) ( ).
. . r a b . c d . r a b .c d . r a b . c d . r
a b . . r a b . . r . . r
i
i
j
j
i
i
j
j
i
i
j
j
i
i
i
i
A expressão (041) é verdadeira porque, sendo:
( ) ( ) ( )( ) . r . a b .r . b .r a .c d i
i i
i i
j combinação linear dos dj,
e
. r. . r. c d r.c a b .d( ) ( ) ( ) ( ) j
j j
i
i j = combinação linear dos ai,
a combinação linear dos dj sendo, geralmente, diferente da combinação linear dos ai.
Concluímos, logo:
: , . (042).
Com efeito, para comprovar basta fazer em (04) = , considerar que .r = r,
considerar que r é qualquer e lembrar a definição de igualdade de diádicos.
5ª)- Para quaisquer a e b:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),a. . .b a. . .b a. . .b a. . .b (05).
Pondo .b=v e lembrando ((02),§ 02.06), o primeiro membro de (05) pode ser assim
escrito: ( ) ( ) [ ( )].a. . v a. . v a. . .b Mas lembrando (04) e em seguida
reaplicando ((02),§ 02.06), o último membro da expressão obtida é escrito na forma:
a. . .b a. . .b[( ) ] ( ) ,
§ 05.01- Definição e propriedades. 109
Poliádicos - Ruggeri
o que comprova a igualdade do primeiro e terceiro membros de (05). As demais fórmulas
podem ser demonstradas analogamente.
6ª)- A operação é distributiva em relação à adição de diádicos,
. . .( + +...) + +..., (06).
Com efeito, pondo = aibi e lembrando que a multiplicação pontuada de vetor por
soma de diádicos é distributiva (propr. 5ª, § 04.01), temos:
. a b . a b . b .( + +...) [ ( + +...)] ( + +...i
ii
i i
Entre os parênteses do último membro temos uma soma de vetores; e sendo distributiva a
multiplicação justaposta de vetores em relação à adição de vetores (Teor.2, § 02.06),
deduzimos:
. a b . a b . . .( ...) ( ) ( ) ... ... i
i
i
i
7ª)- A operação é associativa em relação a fatores diádicos, isso é:
( ) ... ( ) ..., . . . . . . (07).
Pondo = aibi, = cjd
j e = fkgk, quaisquer que sejam os campos de variação dos
índices, temos:
( ) [ ( ) ] ( ) [( )( ) ]. . . a b .c d . f g a b .c d . f g i
i
j
j
k
k
i
i
j
j
k
k
Dentro dos colchetes, no último membro, existe uma soma de vetores cujos coeficientes são
somas de escalares; tais coeficientes podem ser escritos na forma:
b . c d . f b . . fi
jj
ki
k[( ) ] ( ),
donde,
( )( ) [( ) ] [ ( )];ij
jk
k ik
k ik
kb .c d . f g b . . f g b . . f g
logo,
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ).i
ii
i . . a b . . a b . . . .
8ª)- Critério de igualdade de diádicos:
: ou
,
. .
. .
(08);
§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. 110
Poliádicos - Ruggeri
para diádico completo, a recíproca de (08) é verdadeira:
, ou
,
30
. .
. .
(081).
Se = ' e r é um vetor qualquer, temos, lembrando (04):
: ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ; . .r . .r . .r . .r
logo, os diádicos . e .' são iguais em vista da definição de igualdade de diádicos (§
02.06), o que comprova (08).
Se .=.', completo, temos:
r. . r. . r. . r. .( ) ( ' ) ( ) ( ) ' .
Pondo r.=v, v é qualquer porque r é qualquer e é qualquer e completo; logo:
v. v. ,
isso é, como conseqüência da definição de diádicos iguais, ='.
9ª)- (Produto pontuado nulo)
Se é qualquer e o produto pontuado de um diádico por é o diádico
nulo, , então =; e reciprocamente:
, . (09).
Com efeito, pois, para qualquer r:
,)( o.r.r.
ou,
. . r o .r( ) .
Mas r' é qualquer porque e r o são. Logo, por definição de diádico nulo (§ 02.09), =.
A recíproca é de demonstração evidente.
§ 05.02 - Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro.
Chama-se potência de expoente inteiro e positivo, P, de um diádico , e indica-se
por P, o produto pontuado de P fatores diádicos , isso é,
P
P fatores
... . . . , (01).
§ 05.02- Potenciação e Polinômio Diádico Inteiro. 111
Poliádicos - Ruggeri
Para P = 0 põe-se, por definição,
0 , (011).
A potenciação diádica é a operação que tem por fim determinar a potência de um
diádico, e goza das seguintes
Propriedades:
1ª)- É sempre possível e unívoca, o que é evidente.
2ª)- O produto pontuado de potências de diferentes expoentes de um mesmo
diádico é igual à potência da soma dos expoentes desse diádico, isso é:
P M P+M ,. (02),
cuja demonstração é evidente.
3ª)- Qualquer potência do diádico unidade é igual ao diádico unidade:
P , (03).
•
Por extensão de conceitos algébricos ordinários, define-se o polinômio diádico
inteiro como toda expressão diádica do tipo:
P 0
P
1
P 1
2
P 2
PA A A A( ) ... ,
(04),
onde os Ai são números reais e P é inteiro positivo.
Genericamente, dois polinômios diádicos de um mesmo diádico , podem ser
escritos nas formas:
P i
P i
M j
M jA e B (i 1,2,...P; j 1,2,...M),( ) ( ) ,
e tem-se:
P M M P
( ) ( ) ( ) ( ), . . (05).
Com efeito, pois, sendo:
P M i j
P i M j
i j
(P+M) (i+ j)A B A B( ) ( ) . .
e
M P j i
M j P i
i j
(P+M) (i+ j)B A A B( ) ( ) , . .
deduzimos logo, (05). Assim,
''É comutativo o produto pontuado de dois polinômios diádicos de um mesmo
diádico''.
§ 05.03- Determinante e transposto de um produto. 112
Poliádicos - Ruggeri
§ 05.03 - Terceiro e transposto de um produto.
Teor. 1: O transposto de um produto de diádicos é igual ao produto dos transpostos
dos diádicos multiplicados em ordem inversa, isso é:
( (... ), . . . . . . ...) T T T T (01).
Temos:
( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) . . a b .c d d b .c a d c .b a d c . b a .T
i
i
j
j T j i
j i
j
j
i
i
j
j
i
i
T T
A generalização é imediata.
Corol. 1: O transposto da enésima potência de um diádico é igual à enésima
potência do seu transposto:
( ) ( ) , P T T P (02).
Corol. 2: O produto de qualquer diádico pelo seu transposto é diádico simétrico.
Porque deduzimos, de (01), lembrando ((03).§ 02.05):
( )T T TT T T . . . , (03),
isso é, o diádico .T é igual ao seu transposto, sendo, pois, simétrico.
Definições: (produtos simétricos de um diádico)
O produto pontuado de um diádico pelo seu transposto será denominado
produto simétrico: esquerdo se o diádico é fator multiplicando (.T), direito
se é fator multiplicado (T.).
Teor. 2:
O terceiro de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto pontuado
dos terceiros dos diádicos fatores:
( ) ,3 3 3
. (04).
Reduzamos os diádicos e a formas N-nomiais em que os antecedentes de um são
o sistema recíproco dos conseqüentes do outro; sejam:
a e e bii
jj e , (i, j 1,2,...,N).
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 113
Poliádicos - Ruggeri
Então, aplicando ((04),§ 02.08) escrevemos, sucessivamente, lembrando a teoria dos
recíprocos (§ 03, I):
.3N se ),)(())()()((
;2N se ),()(
)()})]((){[(
)]())][(()[(
;1N se ,])[())((
321
321
321
321
321
321
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
33
bbbaaabbbeeeeeeaaa
bb.aa
bb.eeee.aa
bb.eeee.aa
.ba.be.ea.be.ea
Mas
. a e .e b a b i
i
j
j
i
i( )
e, reaplicando ((04),§ 02.08), deduzimos:
3.N se ),)((
2;N se ),()(
1;N se ,
)(
321
321
21
21
1
1
3
bbbaaa
bb.aa
.ba
.
Comparando os resultados obtidos para os valores correspondentes de N, temos
demonstrado o teorema qualquer que seja a dimensão do espaço dos vetores a que se
refiram os diádicos.
§ 05.04 - Produto pontuado de diádicos completos e incompletos.
Dados dois diádicos quaisquer, e , a interpretação do produto . pode ser levada
a bom termo escrevendo-se o multiplicando, , e o multiplicador, , nas formas N-nomiais
a e e bii
jj
e (i, j 1,2,... , N), (01),
onde os conseqüentes de e os antecedentes de constituem sistemas recíprocos; isso é
sempre possível conforme nos garante o teorema da redução N-nomial (Teor.1,§ 02.07).
Assim,
. a b ii, (i 1,2,... , N), (02).
Resultam então, facilmente, as seguintes propriedades, para diádicos gerados no
E348.
48Propriedades correlatas no E2 podem ser deduzidas facilmente.
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 114
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 1: O produto pontuado de dois diádicos em que um é completo é um diádico
completo, planar ou linear conforme o outro seja um diádico completo,
planar ou linear, respectivamente.
Se é completo, os ai são não coplanares; e se é completo os bi são não
coplanares. Logo, por (02), vemos que . é completo. Mas se é completo e é planar
(os bi são coplanares), . é planar. Se é linear (os bi são paralelos), . é linear.
Teor. 2: Em geral o produto pontuado de dois diádicos em que: 1º) um é planar, é um
diádico planar ou linear conforme o outro seja, respectivamente, planar e
linear; 2º) ambos são lineares, é um diádico linear.
A demonstração é análoga à do Teor.1.
Corol. 1:
Se e são planares, ., 2.
Exceções.
O enunciado do Teor.2 exigiu a expressão "em geral" porque nem sempre ele é
verdadeiro, isso é, existem exceções a todos esses casos de multiplicação.
Teor. 3: (planar.planar = linear)
O produto pontuado de dois diádicos planares em que o plano dos
conseqüentes do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do
multiplicador é um diádico linear.
Reciprocamente, todo diádico linear pode ser decomposto, de uma infinidade
de maneiras, no produto de dois planares, em que o plano dos conseqüentes
do multiplicando é ortogonal ao plano dos antecedentes do multiplicador.
Sejam ' = aimi e ' = njd
j dois dados diádicos planares com (a1a2a3) 0, (d1d2d3)
0, (m1m2m3) = 0 = (n1n2n3), o plano dos mi sendo ortogonal ao dos ni (Figura 05.01). Se b
é um vetor não nulo, arbitrário, porém ortogonal ao plano dos mi, e c um segundo vetor,
também arbitrário, mas ortogonal ao plano dos ni, então b.c = 0 (b c). Os diádicos
=ai(mib) e = (cnj)d
j são planares; e o plano dos conseqüentes de é ortogonal ao plano
dos antecedentes de . Temos, então: jj
ii )]()[( dnc.bma. . Mas, aplicando
propriedade da multiplicação mista e a fórmula do duplo produto vetorial, sucessivamente,
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 115
Poliádicos - Ruggeri
podemos escrever: ))(()()()( ji
ji
ji b.nc.mc.nbmnc.bm porque b.c = 0. Logo:
adb..cdb.n.cma. ))(())(( jj
ii o que comprova o teorema direto.
Reciprocamente, seja = ad um diádico linear. Se {a1,a2,a3} e {d1,d2,d3} são dois
tercetos de vetores não coplanares quaisquer, escolhendo arbitrariamente dois vetores
ortogonais b e c, podemos determinar, de infinitos modos, os vetores mi perpendiculares a
b (logo coplanares) e os vetores nj perpendiculares a c (também coplanares) tais, que:
.)( e )( jj
ii db.nd.cmaa
Então, de uma dupla infinidade de maneiras,
a m .c b.n d .c b.i
i
j
j( )( ) ( )( ),
sendo = aimi e = njd
j diádicos planares, o plano dos conseqüentes de sendo ortogonal
ao plano dos antecedentes de .
Também de uma dupla infinidade de maneiras, os diádicos ' =ai(ni b) e ' =
(cnj) dj são ainda planares, o plano dos conseqüentes de ' sendo ortogonal ao plano dos
antecedentes de '; e tem-se:
j
j
i
i)()(. dnc.bma .
Mas, tal como na demonstração do teorema direto:
))(()()(j
ij
j
ib.n.cmdnc.bm ,
isso é,
ad .c b. .( )( ) ,
igualdade que comprova a recíproca.
Corol.1:
Se o quadrado de um diádico planar é linear, esse diádico é ortoplanar.
Teor. 4:
Se u2 é um vetor unitário paralelo à interseção dos planos de um diádico
planar dado, , e u1 e u
3 vetores unitários cujo ângulo seja o ângulo diedro
dos planos de , então pode ser escrito na forma:
B +C + E + F u u u u u u u u1 2 1 3 2 2 2 3
, (03),
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 116
Poliádicos - Ruggeri
ou na forma
( ) ) B + E +(C + Fu u u u u u1 2 2 1 2 3
, (031),
sendo
21 ˆ ˆB u..u , 31ˆ. .ˆC uu , 22 ˆ ˆE u..u , 32
ˆ. .ˆF uu , (032).
Seja iirs (i = 1, 2) uma redução mínima arbitrária do diádico planar e u
2 o
unitário que define a direção da interseção dos seus planos. Sejam, ainda, u1 e u
3 os
unitários da seção reta desses planos, tais que o triedro { , , }u u u1 2 3
seja direto (Fig.
05.02).
Nestas condições, os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de são
( , ) ( , )u u u u1 2 2 3
e , respectivamente. Como os unitários definem sistemas ortonormados
nos seus respectivos planos, podemos escrever:
r u .r u s s .u ui j i j
i i
k k (j e (k ( ) ,3) ( ) ,2)2 1 .
Efetuando os produtos justapostos e lembrando a propriedade 3ª da multiplicação pontuada
de diádico por vetor (§ 02.03) temos:
jkjkˆˆ)ˆ ˆ( uuu..u , (k = 1,2; j = 2,3).
Agora, desenvolvendo as somas indicadas comprovamos facilmente a tese.
Corol. 1:
Todo diádico ortoplanar, , pode ser escrito na forma:
(F C + (B + E ) ,
)
j i k i j j (04),
em que B, C, E e F são números, { i j k } um triedro direto de unitários,
j sendo paralelo à interseção dos planos (ortogonais) do diádico49, i
pertencendo ao plano dos antecedentes e k ao plano dos conseqüentes.
49 Oportunamente (§ 09.09) poderemos demonstrar que, na representação (04), FB=CE.
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 117
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 2: (quadrado e cubo de um ortoplanar)
Se um diádico é ortoplanar de escalar não nulo: 1º)- 2, linear, tem
seu antecedente e seu conseqüente pertencentes, respectivamente, ao
plano dos antecedentes e dos conseqüentes de ; 2º)- 3 é igual ao
quadrado de multiplicado pelo escalar de : 3 = E 2.
Com efeito, quadrando (04), encontramos:
2 (B + E )(F + E ), i j k j (041),
o que mostra que 2 é linear e que seu antecedente é do plano s1s
2, e seu conseqüente do
plano r1,r2. Multiplicando pontuadamente (04) por (041) temos: 3 E(B + E )(F + E ), i j k j
donde, observando que, segundo (04),
E
E , j. . j (05),
deduzimos:
3E
2 , (06).
Exercício:
Comprovar que, se é ortoplanar, 22-PE
P .
Produto nulo de diádicos não nulos.
Teor. 5:
No E3, é nulo o produto pontuado: 1º)- de um diádico planar por um linear
quando o plano dos conseqüentes do primeiro é ortogonal ao antecedente do
segundo, e reciprocamente; 2º)- de um diádico linear por um planar quando
o conseqüente do primeiro é ortogonal ao plano dos antecedentes do
segundo, e reciprocamente; 3º)- de dois diádicos lineares quando o
conseqüente do primeiro é ortogonal ao antecedente do segundo, e
reciprocamente.
As demonstrações são simples e imediatas a partir das representações desses
diádicos em redução mínima.
Corol. 1:
Se e são incompletos, não nulos e .=, ao menos um dos diádicos
é linear.
Pois, pelo Corol.1 do Teor.2 ambos não podem ser planares.
Teor. 6:
Se um diádico é ortolinear, seu quadrado é o diádico nulo; e
reciprocamente:
, ortolinear 2 (07).
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 118
Poliádicos - Ruggeri
Pois, com efeito, representando o ortolinear em redução mínima por = ab, temos:
bb.aa )(2 , pois ab. Reciprocamente, se 2 = , pelo corolário anterior, deve
ser linear. Então, escrevendo = ab, temos: 2 = a(b.a)b=, o que implica b.a = 0, isso é,
b a; e é ortolinear.
Teor. 7:
Se um diádico é ortoplanar e tem escalar nulo, seu quadrado é ortolinear e
seu cubo é o diádico nulo; e reciprocamente.
3
2
Eortolinear
0 ,ortoplanar (08).
Segundo (05), j. . j 0. Então, por (041), deduzimos: (2)E = E2 = 0, isso é, 2 é
ortolinear (Teor. 6). Logo, segundo (06), 3 .
Reciprocamente, suponhamos 3 = e 2 ortolinear. Ponhamos:
22 3 .. .
Ora, não pode ser linear porque, se fosse, 2 deveria ser linear; e para que fosse nulo o
produto deles, em qualquer ordem, o conseqüente do multiplicando deveria ser ortogonal ao
antecedente do multiplicador. Então, se
= xy, é 2 = x (y.x) y, e 3 2 x x. y y( ) ,
isso é, x y para que 3 = . Assim, seria ortolinear e, portanto, 2 = , o que é contra a
hipótese (2 é ortolinear). Então, deve ser planar; e sendo 2 ortolinear, o conseqüente de
2 deve ser perpendicular ao plano dos antecedentes de (porque 2. = ) e o
antecedente de 2 perpendicular ao plano dos conseqüentes de . Logo, os planos dos
antecedentes e conseqüentes de são ortogonais e é ortoplanar. Escrevendo-se na
forma (04), 2 é dado por (041). Como
2 é ortolinear, (
2)E = E2 = 0, isso é, E = 0. Então
F C B jk ik ij e E = 0.
Corol. 1:
Se um diádico é ortoplanar e tem escalar nulo, existe uma base
ortonormada { i , j , k } , da qual i é vetor do plano dos seus
antecedentes, k é vetor do plano dos seus conseqüentes e j é paralelo à
interseção desses planos, em relação à qual fica reduzido à forma
( ) ( ) ( ) , F C B
j. .k jk i. .k ik i. . j ij (09);
e reciprocamente.
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 119
Poliádicos - Ruggeri
Nota: Se um diádico ortoplanar tem escalar nulo, nem B nem F podem ser nulos, pois, do contrário, o diádico seria linear (o que é absurdo).
Corol. 2:
Se um diádico é ortoplanar de escalar nulo, existem dois pares de
vetores: e1,e2 e e2,e3, respectivamente pertencentes aos planos dos seus
conseqüentes e antecedentes, que gozam das propriedades: e2 . e3 = e1 . e
2
= e1 . e3 = 0 , e que reduzem à forma:
e e e e1
2
2
3+ , (10);
e reciprocamente.
De (09), escrevemos, lembrando que B 0 e F 0:
(
)(
) [(
)
(
)]
(
)(
)[(
)].j. . k i. . j i
i. . k k i. . j j
j. . k i. . jj. . k j k
F
B
Pondo:
,ˆ
,)ˆˆ)(ˆˆ(
]ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ[(
,ˆ)ˆˆ(
,ˆ)ˆˆ)(ˆˆ(
3
2
2
1
ke
j..ik..j
jj..ikk..ie
jk..je
ij..ik..je
(11),
resulta a forma (10) de representação de na qual, obviamente, destaca-se a ortogonalidade
do plano (e2,e1) dos antecedentes com o plano (e3,e2) dos conseqüentes. Constata-se, ainda,
que E=0, pois, e1.e2=0=e2.e
3.
A recíproca é evidente, pois, se existem dois pares de vetores: e2,e1 e e3,e2 tais, que
e2.e3=e1.e
2=e1.e3=0 e que reduzem certo diádico à forma (10), então é ortoplanar
(porque o plano dos seus antecedentes contém o vetor e1 que é ortogonal ao plano dos seus
conseqüentes ) e E=0.
Notas:
1) - Deve ser observado que e2.e2=1 e e2.e1=0, mas estas condições não são necessárias
para a demonstração da recíproca.
2) - Se é tal, que F2B=1, então se tomando e i1 F resultam: e
1.e1=( )e e e
1 2 3 1 e
B/)ˆBˆC(3 kje . Nesse caso os sistemas de vetores {e1e
2e
3} e {e1e2e3} são recíprocos,
{e2e
3} e {e2e3} sendo recíprocos planares.
3) – No §09.09 justificaremos a nomenclatura "diádicos antitriangulares" que dispensaremos aos diádicos ortoplanares de escalar nulo.
§ 05.04- Produto pontuado de diádicos completos e incompletos. 120
Poliádicos - Ruggeri
Exercícios:
S, S1, S2, ... são diádicos simétricos, A, A1, A2, ... são diádicos anti-simétricos e v, a,
b, ... são vetores.
1°) - Mostre que são anti-simétricos os diádicos:
A) - S .S S .S1 2 2 1
,
( ) ( )
( )
) )
( ) ( ) .
S .S S . S
S . S S .S
S .S . S S .S .S
S .S . S S .S .S
1
2
2 2 1
2
1 2
2
2
2
1
1 2 1
2
1
2
2 1
2 1 2
2
2
2
1 2
,
( ) ,
( ( ,
B) - v S. v S. v v( ) ( ) ,
v S . v S . v v
S. v S . v S . v S. v
S. A A.S
S. A A .S
v A. v A. v v
v A. v A. v v
A .A A . A
( ) ( ) ,
( )( ) ( )( ),
,
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 2 2 1
+
,
( ) ( )
C) - S .S .S S .S .S S .S .S1 2 3 2 3 1 3 1 2
S .S .S S .S .S S .S .S2 1 3 1 3 2 3 2 1 ,
( )( ) ( )( )
( ) [( ] ,
( ) ( ) ,
( ) ( ) .
S . v S . v S . v S . v
v S .S S .S . v S .S S .S . v v
S. ab ba ab ba .S
A. ab ba ab ba . A
1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
)
2°) - Mostre que são simétricos os diádicos:
A) - S2,
B) - S .S S .S1 2 2 1
,
( ,
,
S .S S . S
S . S S .S
1
2
2 2 1
2
1 2
2
2
2
1
) ( )
( ) ( )
C) - vS. v S. vv ,
vS . v S . vv2 2
,
D) - S. A A.S
A.S. A
S . A A.S
A.S. A A .S. A
,
,2 2
2 2
,
§ 06.01- Definições e propriedades. 121
Poliádicos - Ruggeri
E) - A. v A. v
,
,
22 .vA.vA.vA.vA
A.vvvA.v
.)()(
,)()(
,
2122
21
12
22
21
1221
A.A.AA
.AAAA
.AA.AA
§ 06 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA ENTRE DIÁDICO E VETOR.
§ 06.01 - Definições e propriedades.
Chama-se produto cruzado anterior (posterior) do diádico pelo vetor r, e
indica-se por r (r), lendo-se: cruz r (r cruz ), o diádico cujos antecedentes
(conseqüentes) são os de e cujos conseqüentes (antecedentes) são os produtos vetoriais
dos conseqüentes (antecedentes) do diádico pelo vetor. Assim, se =aibi,
)( i
irbar e i
i)( barr , (i=1,2,...,N) (01).
A multiplicação cruzada anterior ou posterior de diádico por vetor é a operação
que tem por fim determinar o produto cruzado entre o diádico e o vetor50. Esta operação
goza das seguintes
Propriedades.
1ª)- É operação sempre possível e unívoca.
2ª)- Os diádicos produto r e r são sempre incompletos.
No E3, esses diádicos são planares se é completo ou planar, e não passível de
maior redução; lineares se é linear; nulos se, sendo linear, os conseqüentes ou os
antecedentes de são, respectivamente, paralelos a r.
Se é completo, r e r são planares porque, correspondentemente, os seus
conseqüentes em (01)1, e os seus antecedentes em (01)2, são tercetos de vetores contidos
num mesmo plano perpendicular ao vetor r.
Se é planar, com b1, b2 e b3 distintos mas coplanares: 1º)- os vetores bir em
(01)1, são sempre distintos mas coplanares, e r é planar; 2º)- os vetores rai, em (01)2,
são coplanares mas distintos, e é planar.
Se é planar e dois quaisquer dos seus conseqüentes são paralelos, r e r são,
ainda, planares.
50 Gibbs denominou este produto de "skew product of into r".
§ 06.01- Definições e propriedades. 122
Poliádicos - Ruggeri
Se é linear, os seus conseqüentes são paralelos a um mesmo vetor b, donde
escrevermos = aibi = ai(B
ib). Pondo Biai = a, temos: = ab. Logo: r e r são
lineares.
Se, sendo linear, r é paralelo a b, resulta r = e se r é paralelo a a, resulta r
= , o que demonstra a última parte da propriedade.
Se é um diádico de um E2 (logo, uniplanar em E3), os diádicos r e r são,
necessariamente, diádicos lineares de E3, pois têm, respectivamente, conseqüentes e
antecedentes ortogonais ao plano de E2. Então, os terceiros de r e r são sempre
nulos:
33)(0)( :, rrr , (011).
3ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um diádico completo:
, )ou ( e 03
orrr (02);
logo:
,orrr (021).
4ª)- Operação de resultado nulo envolvendo um vetor qualquer:
,)ou ( : rrr (03).
Com efeito, reduzindo à forma N-nomial aibi com conseqüentes independentes,
temos: r = ai(bir) = . Ora, os conseqüentes de r, coplanares em E3 e colineares em
E2, não são nulos necessariamente, porque os bi e r são quaisquer; logo, ai = o e = .
5ª)- Operação com vetores e diádico quaisquer:
a.bba.ba )( :,, , (04).
Pois, lembrando propriedades do produto misto, escrevemos:
a.b.babaa.bbab.ababa. )]([)()()( i
i
i
i
i
i.
A fórmula (04) é válida em qualquer espaço, acontecendo, apenas, que
oa.bba.ba )( :Eou E de ,,12
, (041).
6ª)- Operação envolvendo diádicos iguais e um vetor qualquer:
rr
rrr , (05).
§ 06.01- Definições e propriedades. 123
Poliádicos - Ruggeri
Temos, com efeito, para quaisquer r e v, aplicando ((01),§ 02.06):
)()( vr.vr. ;
mas, aplicando (04) aos dois membros, temos, também: ,r.vr.v isso é, os
diádicos r e 'r transformam um vetor qualquer, v, no mesmo vetor. Logo esses
diádicos são iguais: r = 'r.
Reciprocamente, se para qualquer r, r = 'r, então, para qualquer v:
.vr.vr )()( ,
donde, reconsiderando (04): , ,é isto ),()( vr.vr. porque r e v são
quaisquer.
A fórmula (05)2 pode ser comprovada analogamente.
7ª)- Operação em que o vetor é um produto vetorial:
.abbaba
abba.b.aa.bbaba
)()(
)()()()( :,, , (06).
Lembrando a fórmula do duplo produto vetorial e pondo = eiai , temos:
])()[()]([)( ii
i
i
ib.aaa.baebaaeba ,
donde, agrupando convenientemente:
b.aa.bb.aaea.baeba )()()]([)]([)( i
i
i
i
A obtenção do último membro de (06)1 é imediata, bastando evidenciar-se no segundo
membro já comprovado.
Tem-se também, similarmente, sem delongas:
.abbaab.eaaa.eb
aa.beb.aeaebaba
)()()(
])()[(])[()(
i
i
i
i
i
ii
i
i
Decorre imediatamente das (06), para = I:
abbabababa )()( :, , (07),
ou, ainda, por serem a e b vetores quaisquer:
rrr : , (08).
§ 06.01- Definições e propriedades. 124
Poliádicos - Ruggeri
8ª)- Tem-se:
TTTT )( donde, ,)( : , rrrrr , (09).
Transpondo no primeiro e o último membros de (06)1 aplicando (01), § 05.03 a este
último membro, substituindo por T em (06)2 e comparando os resultados obtidos,
encontramos: TT ])[()( baba .
Por serem a e b quaisquer, ab = r é qualquer, o que comprova (09)1. Trocando-se, em
(09)1, por T e transpondo-se, resulta, logo, (09)2.
Casos particulares.
Para os diádicos simétricos:
TT )( : SSSS rr , (10).
Logo, para S = : T)( rr , (11).
Lembrando (08), concluímos também:
TT )()( rrrr , (12);
assim, o diádico r é diádico anti-simétrico. Como I é uma constante universal vemos de
imediato que a todo vetor r está associado o diádico anti-simétrico rr cujo vetor é
-2r. Voltaremos a tratar desse assunto no § 06.05.
Para os diádicos anti-simétricos A,
T)( ArrA , (13).
§ 06.02- Fórmulas notáveis.
Em diferentes multiplicações com diádicos e vetores, estão demonstradas as
seguintes fórmulas, contendo:
- um diádico no centro e vetores nas laterais
)()(
)()(
)()(
)()(
.ba..ba.
ba.ba.
.ba.ba
baba
, (01),
ou,
§ 06.03 - Escalar e vetor de r. 125
Poliádicos - Ruggeri
)()( bababa , (011),
independentemente de e * estarem representando os sinais da multiplicação pontuada ou
da cruzada;
- dois diádicos com um vetor na lateral:
);02( ,)()(ou )()(
)()(
)02( ),()(ou )()(
)()(
1
.r.r.r.r
.r..r.
r.r.r.r.
.r..r.
- um diádico na lateral com dois vetores:
)()()(
)()()(
)()(
)()()()(
)(
)( TT
a.bb.aab
b.aa.bba
.abbaba
abba.b.aa.bba
.abb.a
a.bb.ab.aa.bba.
, (03);
- dois diádicos com um vetor no centro:
)()()(
)()(
.e.ee.
e....e , (04).
§ 06.03 - Escalar e vetor de r
O escalar e o vetor do diádico ×r podem ser calculados com muita simplicidade.
Temos: r.babr.arbar )()()()( i
i
i
i
i
iV , isso é, rbar.r
E
i
iV)()( , ou
melhor,
.rr )()(E
T
V , (01).
Para expressão do escalar de r, temos:
.rbar.bar ii
iiE)( ,
isso é,
VE)( r.r , (02).
§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias. II-126
Poliádicos - Ruggeri
Resultam como casos particulares de (01) e (02), para = :
rr 2)(V
, (011),
0)(Er , (021),
pois E V
3 e o ((02),§ 02.09).
§ 06.04 - Simetrias e anti-simetrias.
Teor. 1:
O duplo do oposto da parte anti-simétrica de qualquer diádico é igual ao
produto cruzado anterior ou posterior de seu vetor pelo diádico unidade, isso
é
VV
T
ant 21
21)(
21 : , (01).
Com efeito, seja = aibi uma das reduções trinomiais de com antecedentes
independentes. Temos, aplicando ((07),§ 06.01:
Ti
ii
ii
iV)( baabba .
Analogamente, aplicando a mesma fórmula, deduzimos:
Tiii
i)iiV )(( .baabba .
Nota:
Por este teorema pode-se confirmar a anti-simetria do diádico r uma vez que sendo
qualquer, seu vetor V = r é qualquer.
Corol. 1:
O produto pontuado anterior da parte anti-simétrica de um diádico
qualquer por um vetor qualquer é igual à metade do produto cruzado
desse vetor pelo vetor do diádico:
.rrr.rr )(21
21
21 : , T
VVant , (011).
Pois temos, de (01), aplicando ((01)2,§ 06.02):
VVVV
T
ant)()()(2 rr.r.r.r.r .
§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand. 127
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 251: CNS para que um diádico seja simétrico é que seu vetor seja nulo.
, VT
o (012).
A condição é suficiente, pois, se o vetor V do diádico é nulo, então (01) dá: T =
; assim, é simétrico. A condição é necessária porque se = T, (01) dá: V = ,
igualdade que implica V = o, conforme ((021),§ 06.01).
Corol. 3:
CNS para que um diádico seja anti-simétrico é que ele seja igual ao
oposto da metade do produto vetorial do seu vetor pelo diádico unidade.
A condição é necessária pelo teorema 1, porque se - A = AT, então (01) dá
51 A proposição seguinte já foi demonstrada por outras vias (Teor.4, § 04.02).
VV
T
21
21 AAAA , (013).
A condição é suficiente porque se um diádico satisfaz à igualdade anterior, (01) dá
2 = donde, = ,T T TA A A A A , e A é anti-simétrico.
Corol. 4:
Tem-se, para qualquer :
Vsim 21 , (014).
Com efeito, é o que resulta da substituição de (01) em ((03),§ 04.02).
§ 06.05 - Produto cruzado de vetores e diádico de Argand.
Teor. 1:
Para qualquer vetor q, a operação q em E3 equivale a uma transformação
linear representada pelo diádico anti-simétrico Iq = qI para ser usado
como pré-fator.
Considerando que, obviamente, qr = .(qr), e que, por ((04),§ 06.01),
q.rrq , (01),
§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 128
Poliádicos - Ruggeri
a transformação que q opera sobre r é equivalente à do diádico anti-simétrico q, se
usado como pré-fator. Temos também, da igualdade anterior e de ((12),§ 06.01):
qr.qr.qr T)(
ou
qr.qr , (011).
De (01) e (011) resulta então que, se no produto cruzado, r precede ou segue q, então
o diádico Iq deve ser usado como pós ou pré-fator, respectivamente.
Corol. 1:
O diádico correspondente ao operador )( ba é dado por ba - ab.
É o que se deduz imediatamente de (01), (011) e ((07),§ 06.01).
Corol. 2:
A qualquer vetor q corresponde o diádico anti-simétrico qq .
Nota: Todo produto vetorial de vetores pode ser substituído pelo produto pontuado do diádico anti-simétrico associado a um dos vetores pelo outro vetor.
Interpretação geométrica do diádico de Argand.
A operação k que o unitário k realiza sobre o vetor v que lhe é ortogonal é uma
rotação de v, de um ângulo reto, em torno do eixo k , no sentido anti-horário, no plano
ortogonal a k , quando se observa o plano do semi-espaço para o qual aponta k . Logo o
diádico anti-simétrico kk ˆˆ roda de um ângulo reto no sentido anti-horário,
qualquer vetor v ortogonal a k . O diádico k se confunde então com o operador de
Argand do Cálculo Vetorial52.
Se o vetor r não é ortogonal a k , podemos decompô-lo na direção de k e na direção
ortogonal a k no plano ( k ,r); seja r = v+K k . Sendo:
.vkvk.rkrk ˆˆˆˆ ,
vemos que o diádico k transformará qualquer r num vetor ortogonal a k girando de um
ângulo reto no sentido anti-horário a componente v de r ortogonal a k (Fig.06.01).
52Essa nomenclatura não é de uso geral; veja Calaes, A. M., Curso de Cálculo Vetorial, 2ª edição, Fundação
Gorceix, 1979, tomo I, cap.III. Outros autores usam a notação ( / )2 e, no caso geral, ( ).
§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 129
Poliádicos - Ruggeri
Assim, a operação que o operador de Argand do Cálculo Vetorial executa sobre vetores de
um plano, fica estendida para qualquer vetor do espaço pelo diádico k ; e a este diádico
denominaremos diádico de Argand (do unitário k ).
Potências do diádico de Argand.
Se o diádico de Argand é aplicado várias vezes sobre o mesmo vetor ele provoca a
rotação da componente ortogonal desse vetor em relação a k de tantos ângulos retos
quantas aplicações sejam feitas. Essas aplicações são equivalentes a potências inteiras desse
diádico e podem ser calculadas com facilidade tal como se calculam as potências inteiras do
operador de Argand no Cálculo Vetorial53.
Pondo
kJ ˆ , (J é uniplanar), (02),
escrevemos, lembrando ((02)2.§ 06.02):
kkk.kk.kJk ˆ)ˆ(ˆ])ˆ[()ˆ()ˆ()ˆ(22 ,
donde, lembrando ((03)5,§ 06.02):
)ˆˆ()ˆˆ(ˆ)ˆ(2
kkIIk.kkkI.J , (021).
*
Exercício:
Como r: rr r rr 2 , então, sendo rJr || resulta de (021):
)()( : 22 rrrrr , (022).
O diádico (022) é o diádico de inércia da Mecânica Racional.
*
Pondo, ainda:
k k , (I é uniplanar)54, (03),
teremos:
I I I. J J2
, , (04),
53 Essa operação será generalizada no capítulo III.
54Observar a diferença de notação entre I e (diádico unidade). Notar, ainda, que I , uniplanar, é o diádico
unidade do plano ortogonal a k .
§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 130
Poliádicos - Ruggeri
e
J I J J . J I. J J J I I2 3 2 4 2, , etc., (05).
Da quinta potência em diante podemos escrever:
Para N=1,2,3,... J I J J J I J J4N 4N+1 4N+2 4N+3
, , , , (051).
Notemos mais uma vez que o diádico de Argand kkJ ˆˆ só produz rotações
de 90o sobre os vetores perpendiculares a k , anulando aqueles vetores paralelos a k . Esse
efeito anulador de kJ ˆ sobre os vetores paralelos a k pode ser eliminado
transformando vetores quaisquer do espaço pelo diádico
kkJkkkkkkZ ˆˆˆˆˆˆˆˆ , (06).
Nesse caso, teríamos:
rkkr.rk.rkkk ˆ)ˆ(ˆ)ˆˆˆ( ,
resultado de interpretação geométrica evidente, conforme ilustrado na Figura 06.02.
As potências inteiras sucessivas de Z são calculadas com simplicidade; temos:
etc.
,
,ˆˆ
,ˆˆˆˆˆˆ
,ˆˆˆˆ2
2246
45
4
3
2
Z.ZZZ
Z.ZZZ
kkZ
kkJkkkkZ
kkkkZ
(07),
Não é difícil provar que Z é completo. Com efeito, se i e j são dois unitários
ortogonais do plano perpendicular a k podemos escrever:
kkkZ ˆˆˆ , sendo kkjjii ˆˆˆˆˆˆ ,
donde,
kkijjiZ ˆˆˆˆˆ e 1)ˆˆˆ)(ˆˆ(3 kijkjiZ (08).
§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 131
Poliádicos - Ruggeri
Obviamente, é também igual à unidade positiva o terceiro de qualquer potência de Z, donde
concluirmos, ainda, que todos os diádicos Z P são completos para P finito.
Exercício: Se P>4 e P=4Q+R, então Z
P=Z
R.
Generalizações.
Esses resultados podem ser generalizados. Sejam a, b e c três vetores independentes
e a*, b* e c* seus correspondentes recíprocos. Temos:
)()()( accabbaaaa ,
e
)()()( accabbaaaaaaa .
Logo:
)]()())[(()(3
ac.abaaaabcaaa .
Sendo baaaababaaa
2)()()( ,
o número entre colchetes vale
)()(])([ 22 cabaac.baaaab .
Então, aplicando propriedades dos recíprocos, escrevemos o valor do terceiro em pauta na
forma
( ) ( ) ( ) ( )( );abc a ab c abc a a b c a.a2 2
donde, novamente lembrando as propriedades dos recíprocos:
4
33)( aaaaZ .
Este resultado, obviamente, generaliza a fórmula (08).
Calculemos agora as potências N-ésimas do diádico Z=×a+aa. Notemos,
preliminarmente, que, se e são dois diádicos não nulos que gozem da propriedade:
.. ,
então, e não são completos (§ 05.04) e
,)( NNN .. (09).
§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 132
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, para N = 2, por exemplo, temos:
( ) . 2 2 2 2 2
. .
Logo, se (09) for válida para o expoente N - 1, escrevemos:
( ) , N 1 N 1 N 1
donde
( ) ( ) ( ) . N N 1 N 1 N N N 1 N 1
. . .
Porém
2N2N1N )( .... ,
e
;)( 2N2N1N ....
donde, então, a fórmula (09), válida para qualquer N inteiro positivo.
Ora,
),() ()()(])[() ()( a.aaaaaa.aaa.aaaa.a (A);
logo, de (09), escrevemos:
NNNN )()()( aaaaaaZ , (10).
A segunda parcela de (10) pode ser calculada imediatamente; temos:
( ) | | ( ),(
a a a a a N N 1)
2 (11).
Com efeito, é simples comprovar que a fórmula é válida para N = 2,3,...; supondo que ela
valha para o expoente N - 1, escrevemos:
( ) | | ( ),(
a a a a a N 1 N 2)
2
donde, multiplicando escalarmente ambos os membros por (aa):
( ) | | ( ) | | | | ( ) | | ( )( ( (a a a a a a a a a a a a N N 2) N 2) N 1) 2 2 2 2 2 ;
isso é, a fórmula é válida para qualquer expoente.
O cálculo da primeira parcela de (10) é mais trabalhoso. Temos:
aaa 2HH12H ||)1()( , (H=1,2,...,N) (12),
ou
§ 06.05 - Produto vetorial de vetores e diádico de Argand 133
Poliádicos - Ruggeri
21)-2(H1H2H )(||)1()( aaa , (H=1, 2,..., N), (121),
conforme o expoente seja ímpar ou par, respectivamente.
É fácil comprovar que essas fórmulas são válidas para H = 1,2,..., isso é,
etc. )(||)( ,||)( 22423 aaaaaa (B).
Supondo que valham para H=N-1, escrevemos:
aaa 1)(N21N12N ||)1()(
e
.)(||)1()( 22)N(2N1)2(N aaa
Então, multiplicando ambos os membros da primeira por (I×a)2, deduzimos:
aaaaa 2NN3)1N(21N12N ||)1()(||)1()(
isso é, (12) é válida para H=N. Similarmente, multiplicando ambos os membros da segunda
por (×a)2, escrevemos:
42)N(2N2N )(||)1()( aaa
Lembrando (B)2,, resulta:
21)N(21NN2 )(||)1()( aaa
isso é, (121) é válida para qualquer H.
Podemos, assim, finalmente, apresentar as expressões das potências enésimas de Z =
×a+aa em função de a e (aa) nas formas:
) (||)(||)1( 1)2(2N21)2(N1N2N aaaaa Z (13),
E
) (||||)1( 4N2NN12N aaaaa Z (131),
conforme o expoente seja par ou ímpar, respectivamente55.
55Notar que as potências pares de Z podem ser expressas em função de e aa, bastando considerar que
.||)( 22 aaaa
§ 07.01 - Definições e propriedades 134
Poliádicos - Ruggeri
§ 07 - MULTIPLICAÇÕES DUPLAS.
§ 07.01 - Definições e propriedades.
Dados dois diádicos em forma polinomial:
a b c di
i
j
j (i 1,2,... , P) e (j 1,2,... ,Q),
chama-se duplo produto de por , e representa-se por (ler: operando operando
), a expressão:
))(()( )( jiji
jj
ii dbcadcba (011)
56,
a cujo terceiro membro deve ser aplicada a convenção somatória (ele apresenta PxQ
parcelas). Este produto é um número se as operações indicadas são a de multiplicação
pontuada, um diádico se as referidas operações são as de multiplicação cruzada, ou um
vetor se as operações representadas por e * são distintas. Assim:
Q.1,2,...,j e P1,2,...,i ,
vetor), )( (
vetor), )( (
diádico ), )( (
escalar ), )( (
jiji
jiji
jiji
jiji
d.bca
dbc.a
dbca
d.bc.a:
.
.
(01).
A primeira expressão representa o duplo produto pontuado, a segunda o duplo produto
cruzado, as duas últimas os duplos produtos mistos dos diádicos e .
A multiplicação dupla (pontuada, cruzada ou mista) de dois diádicos é a
operação que tem por fim determinar o duplo produto (pontuado, cruzado ou misto) desses
dois diádicos.
Considerando-se ((01),§ 02.08), a expressão (01)1 pode ser escrita nas formas:
i ji j
E i ji j
E
j ij i
E j ij i
E
: a c b .d a . c b d
c a d .b c .a d b
[ ( )] [( ) ]
[ ( )] [( ) ] ;
ou, ainda, inserindo-se os números dentro dos parênteses entre os antecedentes e os
conseqüentes das díades (operação possível conforme (§ 02.02)):
i
i j
j E
i
i j
j
E j
j i
i E
j
j i
i
E: a b .d c b a .c d c d .b a d c .a b [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] .
56 Entender-se-á, doravante, que o símbolo * disposto entre vetores terá o mesmo significado que , isso é, poderá representar uma multiplicação escalar ou uma multiplicação vetorial.
§ 07.01 - Definições e propriedades 135
Poliádicos - Ruggeri
Nos diferentes membros da expressão acima, vemos dentro dos colchetes a própria
expressão de definição do produto pontuado de diádicos; logo, correspondentemente,
T
E
T
E
T
E
T
E: . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) , (02).
Então, a operação dupla multiplicação pontuada de diádicos acrescenta um novo número à
nossa Álgebra, número esse que, em princípio, é independente dos escalares de e .
Fazendo-se = T, (02) dá:
E2T )( : , (02
1).
Exercício:
Provar que
PE
PE )()( :inteiro P ,, .. , (022),
e generalizar: São iguais os escalares de uma mesma potência de produtos de diádicos em
que os fatores formem uma permutação cíclica:
PE
PE
PE ) ... ( ... ) ... () ... ( ............... , (023).
•
Fórmulas análogas a (02) não podemos deduzir para a dupla multiplicação cruzada
uma vez que o produto cruzado de dois diádicos (que dá um triádico, como veremos
oportunamente) não está definido; tão pouco está definido o que seja "vetor de um
triádico". Porém, para a Álgebra dos Diádicos, essa operação acrescenta mais um diádico
associado aos diádicos e . Por outro lado, pondo: =eiai, =ej b
j, com ei independentes,
e ai = (ai. er)er, bj = (bj. es)e
s, escrevemos:
1,2,3)sr,j,(i, ),)()()(( srjis
jr
i eeee.eb.ea , (A).
Aplicando ((04),(041),(07),§ 04.02,I) e ((03),§ 03.03,I) escrevemos, ainda, sucessivamente:
( )( )a .e b .e e ei
r
j
s
rsk
ijm
m
k
( )( ) .a . e b . e e ei
r
j
s
i
r
j
r
m
r
i
s
j
s
m
s
i
k
j
k
m
k
m
k
Desenvolvendo o determinante e efetuando as somas indicadas em cada uma das seis
parcelas do último membro, encontramos:
§ 07.01 - Definições e propriedades 136
Poliádicos - Ruggeri
( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir
js i
r
j
s
m
k mk
ii
jj
kk
E E,
( )( ) ( )( ) ( )a .e b .e e e a .e b .e e e b e .a eir
js j
r
m
s
i
k mk
ij
jm
mi
jj
ii
T T. ,
( )( ) ( )( ) ( )a .e b .e e e a .e b .e e e a e .b eir
js m
r
j
k
i
s mk
im
ji
mj
ii
jj
T T. ,
( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir
js i
k
j
s
m
r mk
im
jj
mi
E
ii E
Ta e ,
( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir
js j
k
m
s
i
r mk
ii
jm
mj
E
jj E
Tb e ,
( )( ) ( )( )a .e b .e e e a .e b .e e eir
js m
k
j
r
i
s mk
ij
ji
mm
[ ( ) ] ( ) .b e . a e .jj
ii E
T TE
Logo:
ETTT
ET
ETTTT
EE )(++ ... (03),
ou, transpondo, agrupando convenientemente, fatorando e aplicando (022) para P=1:
])([)()() (EEE
T ...
(031).
A fórmula (03) é válida em E3, quaisquer que sejam os diádicos e (completos,
planares ou lineares). No E2, entretanto, temos, de (A), para i,j = 1, 2:
).)()]()((
))(())((+))([(
21211
12
2
12
21
21
12
22
11
eeee.eb.ea
.eb.ea.eb.ea.eb.ea
Somando e subtraindo, dentro dos colchetes, as parcelas
( )( ) ( )( )a .e b .e a .e b .e11
11
22
22 e ,
agrupando convenientemente, fatorando e lembrando (01)1, vem:
),)()](+( )+(
)+)(+[(
2121
22
112
21
1
22
11
22
11
eeeebebe:eaea
.be.be.ae.ae
isso é,
em E2:
)( TEE
: , (032),
expressão em que
é o diádico unidade do espaço unidimensional ortogonal de E2.
Entretanto, em E3, as duplas multiplicações cruzadas de diádicos planares que têm
um plano homônimo coincidente, dão como resultado diádicos unilineares do mesmo
espaço cujas direções são perpendiculares aos respectivos planos (coincidentes) dos
diádicos fatores; para estes aplica-se a fórmula (03).
•
§ 07.01 - Definições e propriedades 137
Poliádicos - Ruggeri
Raciocinando e operando como anteriormente, podemos escrever (01)3 e (01)4 nas
formas respectivas:
,)(])([
,)(])([
VT
Vjji
i
VT
Vj
jii
.c.dba.
.d.cab.
(04),
para concluirmos: as duplas multiplicações mistas acrescentam novos vetores à nossa
Álgebra, vetores esses que, em princípio, são independentes dos vetores de e de .
Por analogia com o duplo produto de por , definido por (011), poderíamos definir
outros duplos produtos, denominá-los duplos produtos horizontais e representá-los por
*, escrevendo:
))(( jij
i dacb (05).
Teríamos, assim, o duplo produto pontuado horizontal .., o duplo produto cruzado
horizontal e os duplos produtos mistos horizontais . e ., acrescentando com
isto novos elementos à nossa Álgebra (um número, um diádico e dois vetores).
Deduzimos, facilmente:
)( )( i
ijj
abdc
,
isso é T
, (06).
Em vista de (06), a dupla multiplicação horizontal fica reduzida à dupla
multiplicação definida por (011), sendo, pois, desnecessária. Deve ser observado,
entretanto, que o escalar, os vetores e o diádico dados por (05), geralmente são diferentes
daqueles dados por (01); uma exceção, por exemplo, verifica-se quando =T ( simétrico),
situação muito comum nas aplicações. Manteremos as definições de Gibbs.
As duplas multiplicações gozam das seguintes
Propriedades.
1ª)- São sempre possíveis, unívocas e os seus resultados são invariantes,
o que é evidente.
2ª)- São comutativas as duplas multiplicações pontuadas e cruzadas:
,
, or ,
:: (07).
Com efeito, para comprovar basta comutarem-se as letras dentro dos parênteses em
(01)1,2 e em seguida aplicar-se a definição (01) à expressão obtida.
§ 07.01 - Definições e propriedades 138
Poliádicos - Ruggeri
3ª)- O escalar de um produto pontuado de diádicos é igual ao escalar do
produto pontuado desses mesmos diádicos em ordem inversa:
( ) ( ) , . .E E (08).
Com efeito, é o que podemos deduzir considerando o segundo e o último membros
de (02), ou o terceiro e o quarto.
4ª)- A dupla multiplicação mista de diádicos é anti-comutativa:
,
, or ,
..
..
(09).
De (01)3 podemos escrever:
)( )( ))(( ii
jj
ijij
ba.dcbd.ac. ,
o que comprova (09)1. Similarmente podemos comprovar (09)2.
Decorre imediatamente da anti-comutatividade da dupla multiplicação mista,
representada por (09), que,
o. : (09)1.
Esta propriedade, aliás, pode ser confirmada pelas igualdades (04), pois, para = , T. é
diádico simétrico (Corol. 2, Teor. 1, § 05.03), logo, de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, §
04.02).
5ª)- As duplas multiplicações mistas não se alteram se, simultaneamente,
comutamos os símbolos operatórios e substituímos os diádicos fatores pelos
seus respectivos transpostos:
,
,
or , TT
TT
TT
..
..
(10).
Com efeito, pois podemos escrever (01)3 na forma:
)( )())(( j
ji
iji
ji cd.ab.cadb. ,
o que comprova (10)1. Similarmente podemos comprovar (10)2.
§ 07.01 - Definições e propriedades 139
Poliádicos - Ruggeri
6ª)- As duplas multiplicações são associativas em relação a fatores
escalares:
A)A( = )A() (A
, (11).
A demonstração é imediata, bastando lembrar-se a definição de produto de diádico
por número (§ 02.02) e considerar-se que os produtos escalar e vetorial de vetores são
associativos em relação a fatores escalares.
7ª)- As duplas multiplicações são distributivas em relação à adição de
diádicos:
... ...)( (12).
Reduzamos, por exemplo, os diádicos entre parênteses a formas trinomiais com os
mesmos antecedentes independentes. Ponhamos:
e a e b x yi
i
i
i
i
i etc e , .
Então deduzimos, sucessivamente, por duplas multiplicações:
...).)((
...)]()[(...)]([ )(
jijiji
jjiji
jjj
ii
byayex
bayexbaeyx
Considerando agora a distributividade da multiplicação de números por soma de
números, ou a de números por soma de vetores ou a de multiplicação direta de vetor por
soma de vetores, temos:
...))(())((...)( jiji
jiji
byexayex .
Considerando a definição (01), reconhecemos nas parcelas do segundo membro as parcelas
do segundo membro de (12).
Nota: As propriedades 6ª) e 7ª) mostram que as duplas multiplicações são operações lineares:
... B A )... B A ( (13).
8ª)- A dupla multiplicação cruzada não é associativa:
) ( ) (
(14).
Para comprovar basta desenvolver ambos os membros de (14) para verificarmos que
os antecedentes de um (bem como os conseqüentes) são diferentes dos correspondentes do
outro.
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 140
Poliádicos - Ruggeri
9ª)- O transposto de um duplo produto cruzado de diádicos é igual ao duplo
produto cruzado dos transpostos dos diádicos:
TTT ) (
(15).
Com efeito, pois de (01)2 podemos escrever:
TTji
jiT ))(() (
cadb .
10ª)- O duplo produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto
pontuado dos seus transpostos:
T T
: : , (16).
Com efeito, pois de (01)1 podemos escrever:
TT
jj
ii
jiji )( )())((: :cd:ab.ca.db
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos.
Teor.1: (CNS para que um duplo produto seja nulo)
0
= o , (01).
Analisemos em primeiro lugar a dupla multiplicação cruzada, pondo, para tal, =
eiai e = ejb
j, com ei independentes. Temos, com diádicos gerados do E3:
=
)()())(( jikijk321
jiji baeeeebaee .
Logo, efetuando as somas indicadas e considerando que os conseqüentes de devem
ser todos nulos (§ 02.09):
.
,
,
1221
3113
2332
baba
baba
baba
Para todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3) as igualdades acima só são possíveis se
a a a o1 2 3
, o que implica = .
Analisemos, agora, a dupla multiplicação pontuada, pondo = eiai e = ejbj, com
(e1e2e3)0. Temos: =i
j ij
ii
: e .e a .b a .b( )( ) . 0 Tal como no caso anterior, para
todo e qualquer conjunto (b1,b2,b3), esta igualdade só é possível se a a a o1 2 3
, isso
é, se = .
Poderíamos analisar analogamente a operação . com as reduções = aiei e =
bjej.
A recíproca do teorema é de demonstração evidente.
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 141
Poliádicos - Ruggeri
Duplo produto nulo de diádicos não nulos.
O Teor. 1 só é verdadeiro para qualquer , isso é, para dado , não
acarreta =. Com efeito, sejam, iiae e j
jbe com 0)( 321 eee , oa i , ob j .
Sendo , resultam a2×b3 = a3×b2, .... Essas igualdades serão possíveis se os
vetores a1, a2, a3 e b1, b2, b3, além de coplanares, satisfizerem também as condições (de
igualdade de áreas orientadas):
| || |sen( , ) =| || |sen( , )
| || |sen( , ) =| || |sen( , )
| || |sen( , ) =| || |sen( , ),
2 3 2 3 3 2 3 2
3 1 3 1 1 3 1 3
1 2 1 2 2 1 2 1
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
(02),
onde os ângulos (a2,b3), (a3,b2) etc. são orientados no plano dos vetores.
Destas três condições deduzimos, se nenhum dos vetores é o vetor zero:
sen
sen
sen
sen
sen
sen
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , ),
a b
a b
a b
a b
a b
a b
1 2
1 3
2 3
2 1
3 1
3 21 (021);
ou, ainda, lembrando a definição de razão simples de três raios:
(a b b )(a b b )(a b b ) = 1,1 2 3 2 3 1 3 1 2
(022).
Denominaremos um feixe de seis raios que satisfaça a (022) um "feixe de Ceva".
Traçando-se arbitrariamente retas paralelas a b1, b
2 e b
3 e denotando-se por B1 a
interseção de b2 com b
3, B2 a de b
3 com b
1 e B3 a de b
1 com b
2, estas definem um triângulo
B1B
2B
3 cujos ângulos internos só dependem de . Então as paralelas aos a
i conduzidas
pelos Bi, que interceptam as b
i nos pontos A
i, são dependentes de um ponto V, (Fig.07.02).
Se é nulo o duplo produto cruzado de dois diádicos não nulos as retas suporte dos seus (seis) conseqüentes (ou antecedentes) em uma redução trinomial arbitrária formam um feixe de Ceva.
Fig.07.02
Com efeito, ponhamos (021) na forma equivalente
1),(sen
),(sen
BB
BB
),(sen
),(sen
BB
BB
),(sen
),(sen
BB
BB21
31
23
13
13
23
12
32
32
12
31
21
ab
ab
ab
ab
ab
ab,
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 142
Poliádicos - Ruggeri
e reescrevamos essa expressão, agora lembrando a expressão da razão simples de três
pontos expressa em função da razão simples de três raios que os projetam dos centros B1,
B2 e B
3 (Fig. 07.02); teremos:
1BA
BA
BA
BA
BA
BA
23
13
12
32
31
21
,
expressão que confirma a nossa assertiva, conforme o clássico teorema de Ceva.
Diádicos de Pauly.
Definição: (diádicos de Pauly)
Dois diádicos que, reduzidos a formas trinomiais com os mesmos
antecedentes independentes, admitam por conseqüentes vetores cujos
suportes definam um feixe de Ceva, são denominados diádicos de Pauly, ou
par de Pauly; serão indicados por Pau( , ).
Logo:
Se o duplo produto cruzado de dois diádicos é o diádico nulo, esses diádicos
formam um par de Pauly.
A recíproca deste teorema não é verdadeira:
O duplo produto cruzado dos diádicos de um par de Pauly não é nulo
necessariamente.
Com efeito, de (022) ou (021) não se deduzem as (02).
Com mais forte razão, podemos escrever:
0,0 33 , (03).
Da mesma forma, sendo completo, qualquer um de seus homológicos é completo;
logo
Hom ,03 , (04).
Consideremos, agora, o par de diádicos de Pauly, e , de conseqüentes
a a a b b b1 2 3 1 2 3 e , , , , . O duplo produto cruzado de por tem por conseqüentes os
vetores não nulos
,
,
,
1221
3113
2332
obaba
obaba
obaba
sendo, pois, em geral, não nulo; isso é, embora os conseqüentes de e formem um feixe
de Ceva, os vetores paralelos 32
ba e 23
ba etc. podem ter módulos diferentes. Isto
significa que, em geral, o sistema (02) não se verifica.
Entretanto, podemos determinar os vetores c ai i iX (i = 1, 2, 3)57, paralelos aos ai,
tais que o sistema (02) se verifique. Para isto bastará comprovarmos que o sistema
57 Deve ser notado, conforme já convencionamos, que no segundo membro não está estabelecido somatória.
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 143
Poliádicos - Ruggeri
0 X + | sen( X | sen( X
| sen( X + 0X + | sen( X 0
| sen( X | sen( X + 0X 0
1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
|| | , ) || | , )
|| | , ) || | , )
|| | , ) || | , )
0
admite solução diferente da trivial. Com efeito, o determinante do sistema,
| || || || || || |
[ , ) , ) , ) , ) , ) , )],
a a a b b b
a b a b a b a b a b a b
1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2sen( sen( sen( sen( sen( sen(
é nulo porque, em vista da validade de (021), o fator entre colchetes é nulo, isso é, as retas
suporte dos vetores formam um feixe de Ceva. Assim, se (X1,X2,X3) for uma solução do
sistema, as demais serão do tipo K(X1,X2,X3), em que K é uma constante arbitrária.
Então, existem diádicos planares (formando uma família), de conseqüentes paralelos
aos ai, portanto homológicos do diádico fator , que anulam o duplo produto cruzado de
qualquer um deles pelo diádico .
Ora, como os vetores ci, em vez de paralelos aos ai, poderiam ser tomados paralelos
aos bi, concluímos:
Teor. 2:
Dado um par de Pauly, de diádicos e , existe uma família de diádicos
semelhantes e homológicos com (ou ), tal, que o duplo produto cruzado
de qualquer dos membros dessa família, Hom X (ou Hom 1/X), por (ou )
seja o diádico nulo:
. Hom
Hom ),Pau(
1/X
X
Observação:
Os Xi são determinados em função dos diádicos e do par de Pauly; estão, pois,
associados a esse par. Por isso mesmo, usamos a notação HomX para especificar os
membros da família interessada já que HomX é um subconjunto de Hom.
•
É fácil justificar porque
0
,E do gerados , os para 3
o
. não , (05).
Ponhamos =eiai e =ejbj com (e1e2e3)0. Então:
))(( jij
i ba.ee.
nulo).(escalar 0
zero)(vetor )( i
ij
iji
obaba
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 144
Poliádicos - Ruggeri
Sendo , os seus conseqüentes, bi, não são simultaneamente nulos; para que
ai bi seja nula basta, por exemplo, que os bi sejam correspondentemente ortogonais aos ai,
se ., ou que os bi sejam correspondentemente paralelos aos ai, se . Assim, existem
infinitos diádicos não nulos que anulam o duplo produto . , qualquer que seja .
Diádicos ortogonais.
Consideremos um diádico linear cujo antecedente seja perpendicular ao plano dos
antecedentes de um diádico planar dado. É evidentemente nulo o duplo produto pontuado
desses diádicos não nulos, isso é,
Teor. 3: Se o antecedente (conseqüente) de um diádico linear é perpendicular ao
plano dos antecedentes (conseqüentes) de um diádico planar, o duplo
produto pontuado deles é nulo.
É evidente também a demonstração do seguinte
Teor. 4: É nulo o duplo produto pontuado de dois diádicos lineares cujos
antecedentes ou conseqüentes sejam perpendiculares.
Existem, pois, diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo.
Definição: (diádicos ortogonais)
Diádicos cujo duplo produto pontuado é nulo são ditos ortogonais ( ou
perpendiculares)
Teor. 5: Todo diádico completo pode ser decomposto na soma de dois diádicos
ortogonais, um planar e um linear.
Com efeito, seja ax by cz um diádico completo de antecedentes e
conseqüentes co-iniciais num ponto arbitrário, O, do espaço. Sejam, ainda, A' e B' as
interseções dos vetores a e b com o plano conduzido pela extremidade C de c. Seja C’ a
projeção ortogonal da extremidade C de c sobre o plano (a,b) quando c é co-inicial com a e
b em O. Decompondo o vetor o vetor de origem O e extremidade C’ em relação a a e b,
podemos escrever: ba NMOC' . Então: nc OC' , sendo n ortogonal a a e b. Assim,
ax by n a b z ax by nz( )M N ,
sendo x x z y y z z z M N e , . Então o completo é a soma do planar ax + by
com o linear nz cujo antecedente é perpendicular ao plano dos antecedentes de ax+by.
Logo, o duplo produto pontuado desses diádicos vale zero, e eles são perpendiculares.
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 145
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 6:
Se A é anti-simétrico, então todo diádico simétrico, S, é ortogonal a A.
Reciprocamente, se todo diádico simétrico, S, é ortogonal a certo diádico A,
então A é anti-simétrico:
T T S S : S 0, (06).
Se T e S S T é qualquer, então T T: S : S . Aplicando ao segundo
membro a propr. 5ª da multiplicação pontuada dupla, vem S:AS:A , donde : S 0,
isso é, A é ortogonal a S.
Reciprocamente, se certo diádico A é ortogonal a todo e qualquer diádico simétrico
A, isso é, : S 0, então, aplicando a propr. 5 da multiplicação pontuada dupla de
diádicos ao primeiro membro dessa igualdade, vem: T T : S 0; ou, ainda,
considerando que S S T , T : S 0 . Logo, ( T ) : S 0, isso é, T é
ortogonal a todo S S T; e o Teor. 1 exige seja T porque S, embora simétrico, é
qualquer. Portanto A deve ser anti-simétrico.
•
O ortogonalismo dos diádicos será detalhadamente discutido no §10 e no §11, não
sendo possível precisar, no momento, em que condições e a quantos diádicos dado diádico
possa ser ortogonal; mas um mesmo diádico pode ser ortogonal a pelo menos dois outros.
Exercício 1: Se um diádico é ortogonal a dois outros, ele é ortogonal a qualquer combinação
linear desses últimos.
Diádicos paralelos.
Particularmente, no caso dos diádicos paralelos (§ 02.02), e = M , temos,
conforme (04), § 07.01:
o. a paralelo , (07).
Com efeito, pois o.. V
T ) (M já que T. é simétrico (Corol. 2, Teor.1, §
05.03), logo de vetor nulo (Corol. 1, Teor. 4, § 04.02).
Teor. 7: A CNS para que seja nulo o produto misto de dois diádicos é que o produto
pontuado de um deles pelo transposto do outro seja um diádico simétrico:
TTTT )( ...o.
(08).
§ 07.02 - Nulidade de duplos produtos. 146
Poliádicos - Ruggeri
A condição é necessária porque sendo o. , (042), § 07.01 implica a anulação
do vetor de . T , ou seja, que esse diádico seja simétrico. A condição é suficiente pois,
dados dois diádicos e tais que . T seja simétrico, então o vetor desse produto é o
vetor zero e, logo, ainda conforme (042), § 07.01, o. .
Corol. 1:
Todo diádico é paralelo a si próprio:58
o. , (09).
Com efeito, . T é diádico simétrico.
Corol. 2:
Se um diádico é simétrico, ele é paralelo ao seu transposto:
o.
T T , (091).
Nota: A recíproca desse teorema não é verdadeira. Existem diádicos não simétricos paralelos aos seus respectivos transpostos, mas os seus quadrados são simétricos
necessariamente; pois, TT )( ..o.
.
Corol. 3:
A CNS para que um diádico seja simétrico é que seja nulo o seu produto
misto pelo diádico unidade:
o. T , (10).
Com efeito, em (08) poderia ser .
Notas: 1) - Não se conclua daí que seja sempre nulo o produto misto de dois diádicos simétricos.
Com efeito, mesmo que e sejam simétricos, (042), § 07.01 não nos permite concluir que
o. = porque . não é em geral diádico simétrico.
2) - Entretanto, dois diádicos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.
§ 07.03 - Invariância.
Teor. 1: (substituição de diádicos iguais em dupla multiplicação)
, (01).
58 Provaremos no § 07.07 que todo diádico não nulo jamais é ortogonal a si próprio.
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 147
Poliádicos - Ruggeri
No E3, ponhamos em forma trinomial, com (e1e2e3)0,
, e , jji
ii
i beaeae
sendo um diádico qualquer. Se = ', então, ai = a'i e
))(())(( j
ijij
iji
baeebaee
uma vez que vetores iguais se substituem tanto em multiplicação escalar quanto em
multiplicação vetorial de vetores. Considerando a definição de duplo produto de diádicos,
do último membro da expressão de
concluímos a veracidade do teorema direto.
Reciprocamente,
.
0
)( :
o
Como é qualquer, destas relações deduzimos: = ', conforme (01),§ 07.02.
E óbvio que
and (02).
Então: 1º) por não alterar-se um duplo produto de diádicos quando estes são substituídos
por outros que lhes sejam iguais; 2º) porque diádicos iguais podem ser reduzidos a formas
trinomiais de infinitas maneiras, concluímos:
Teor. 2: os duplos produtos são invariantes,
isso é, independem da forma sob que se apresentem os diádicos fatores.
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos.
Os duplos produtos apresentam valores notáveis quando um dos diádicos é o diádico
unidade.
Teor. 1:
Tem-se:
,=
,=
:
ET
E
:
(01).
Estas fórmulas são, respectivamente, conseqüências imediatas de ((02) e (03) ou
(031), § 07.01) para = .
*
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 148
Poliádicos - Ruggeri
Exercício:
Provar que ) ( TT
*
Particularmente, para rr , temos: 2 rrrrr
. Considerando (022), §
06.05, deduzimos:
2)( : rrrr , (011).
Recorrendo a (121), § 06.05, temos:
) (||)1() ( : )12(N1NN
rrrrrr , (012).
Corol. 1: Uma CNS para que um diádico seja o diádico nulo é que seu duplo
produto cruzado com o diádico unidade seja o diádico nulo.
(013).
A condição é necessária porque de (01)2 deduzimos: T = E; donde, tomando o
escalar de ambos os membros: E = 3E, ou E = 0. Então: = 0 = .
A condição suficiente é evidente.
Nota:
Este corolário é também um caso particular do Teor.1 do § 07.02, bastando considerar =
(pois é um diádico completo).
Corol. 2: Uma CNS para que um diádico (não nulo) tenha escalar nulo é que ele
seja ortogonal ao diádico unidade:
0 0,E
: (014).
A demonstração decorre imediatamente de (01)1.
Corol. 3: Uma CNS para que um diádico tenha escalar nulo é que o oposto do seu
transposto seja igual ao seu duplo produto cruzado com o diádico
unidade:
0 ET
, (015).
Pois, se E = 0, (01)2 dá: T
Reciprocamente, se T
, então (01)2
também fornece: E = , isso é, conforme ((04).§ 02.09), E = 0.
Decorrem imediatamente das (01) as seguintes expressões:
3 , 2
: , (016).
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 149
Poliádicos - Ruggeri
Particularmente (01)5 dá:
T AAA , (017).
Nota: Em vista de (01)2 a fórmula ((031),§ 07.01) pode ser escrita também na forma
)() () (
.. (018)
Considerando (016)1, (01)2 pode ser escrita na forma:
TE )
2
1(
, (019).
Exercício: Provar que
2EE
22T )(2) ( : .
Teor. 2:
E
V
] )[(2I)( )(
,] )[()( )(
,+)( )(
: e
aba.bb:a
abbab.a
baabba
ba
(02).
Com o intuito de abreviar as demonstrações não explicitaremos as diversas
propriedades utilizadas da multiplicação mista e da dupla multiplicação vetorial de vetores.
Pondo = eiei = ejej, temos, para i, j,... = 1,2,3:
).)((+)(()(
)()()()(
))](()[()( )(
iij
jji)
ji
jiji
jiji
jiji
a.beeeeeeee.ba
eee.beaeeb.eea
eeebeaba
Observando que a primeira parcela pode ser escrita na forma
ba.ba.baeeee.ba 22)() ()()()()( jiji
e a segunda na forma
)())(( iij
j aba.beeee ,
deduzimos, aplicando ((07),§ 06.01):
baabbaabbaba ++2)( )( ,
o que comprova (02)1.
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 150
Poliádicos - Ruggeri
Sendo jj
i
i )( e)( eebbeeaa deduzimos também:
.ii
ii
jij
i
] )[()]( )[()()(
))(( )()( )(
abeeabebea
.eeebeab.a
Lembrando (01)2 concluímos: )()( )( a.babb.a . É fácil, agora, encontrar
(02)2 e (02)3.
Corol. 1:
Se A = - AT e B = - BT em E3, então:
,) (2 4
,] )[( 4
,) (4 4
SVVVV
VVVVV
TVVVV
BA.BAB:A
BABAB.A
BABAABBA
(021).
Com efeito, pois lembrando ((013),§ 06.04), escrevemos:
)( )( 4VV
BABA
Aplicando, agora, as fórmulas (02) podemos facilmente encontrar as (021).
Notas:
1 - O primeiro e o último membros de (021)1 mostram que, não obstante serem A e B anti-simétricos, o seu duplo produto cruzado é simétrico.
2 - As fórmulas (021)2 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem não nulos, o
seu duplo produto misto será nulo quando os planos desses diádicos forem paralelos (caso em que seus vetores são paralelos).
3 - As fórmulas (021)3 mostram que, não obstante os vetores de A e B serem nulos, o seu
duplo produto pontuado é geralmente não nulo, exceto quando os vetores (ou os planos) desses diádicos são ortogonais.
Corol. 2:
Não há mais que três diádicos anti-simétricos ortogonais entre si.
Com efeito, pois não há mais que três vetores (ou três planos) ortogonais entre si.
Corol. 3:
Se A = - AT , em E3,
,2
1
,
,2
1
2
V
VV
AA:A
oA.A
AAAA
(022)59.
59 Por (01
6)
2 e (02
2)
3 vemos que o duplo produto pontuado de I por si próprio e o do anti-simétrico A por si
próprio são números positivos. No § 07.07 essa propriedade será demonstrada verdadeira para qualquer diádico.
§ 07.04 - Fórmulas notáveis com duplos produtos. 151
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 3: (produto cruzado de um vetor por um duplo produto de diádicos)
TT
TT
)()() (
)(-)() ( :,,
.x.xx
x.x.xx
(03).
Pondo = aiei e = bjej, temos:
)]()()[())(() ( jij
iij
jij
ieebx.aax.beebaxx .
Independentemente da operação que possa representar, podemos agrupar
convenientemente os fatores das duas parcelas no último membro, mantendo a ordem dos
vetores ai, bj e de ei ej (um escalar ou um vetor). Então:
)()()()() ( jij
iji
ij eebx.aeeax.bx .
Não é difícil, agora, comprovar-se que a primeira parcela é igual a )( x. e que a
segunda é igual a TT)( x. ; o que comprova (03)1.
Analogamente podemos demonstrar (03)2.
Corol. 1:
,)()() (
,)()() ( :,,
..x..xx.
.x.xxx (031).
Quando em (03)2 a operação é a multiplicação pontuada, . é um vetor.
Sendo .x um vetor, T..x = (.x)., fazendo-se necessários os parênteses em vista de
((04)1,§ 06.02); mas a transposição é irrelevante. Comprova-se, assim, (031)2.
Aplicando-se as ((09),§ 06.01) à segunda parcela do segundo membro de (03)2
encontra-se logo (031)1.
Corol. 2:
) (=) (2
1 :, .xxx , (032).
Teor. 4: (produto pontuado de um produto vetorial de vetores por um
duplo produto de diádicos)
)()()()() ()( :,,, x.y.y.x..yxyx
(04).
Pré-multipliquemos escalarmente ambos os membros de (03)1 por y. Aplicando
propriedade do produto misto de vetores, no caso em que a multiplicação é a pontuada, e
((03)1, § 06.02) no caso em que a multiplicação é a cruzada, escrevemos:
§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto vetorial de diádicos (em E3). II-152
Poliádicos - Ruggeri
) ()(=) (=] ([
.yxx.yxy. .
Ainda, usando ((01)1,§ 06.02), escrevemos:
)()(=)( T x.y..xy. ,
e, por evidência
)()()()( TTT y.x..yx.x.y. .
Logo, temos (04).
Corol. 1: (caso de multiplicação pontuada)
),()()()() ()(
),()()()() ()( :,,,
x..y.y..x..yx
x.y.y.x..yxyx
. (041).
Corol. 2: (caso de multiplicação cruzada com diádicos iguais)
), ()()() (2
1
)()() (2
1)(
:,,
.y.xyx.
y.x..yx
yx
(042).
Teor. 5: (Produto pontuado dos vetores de dois diádicos)
)( )( : , V
TVV
::. , (05)
Pondo jjV
iiV
jj
ii
, temos, , dcbadcba ; logo, aplicando ((05),
§ 03.03,I):
))(())(()()( jij
ijijiji
ji
jijij
ji
iVV.da.cb.db.ca
.db.cb
.da.cadc.ba. .
Aplicando a definição de duplo produto pontuado ao último membro da expressão obtida
temos:
)()()()(j
jii
jj
iiVV
cd: badc:ba. ,
donde a tese.
§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. 153
Poliádicos - Ruggeri
§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de
diádicos.
Teor. 1:
, gerados do E3:
.... VVVVV) ( , (01),
e
EEEE)() ( .
, (02).
Temos, de ((01)2,§ 07.01), em relação ao E3, aplicando a fórmula do duplo produto
vetorial: ijji
jiji
V )()() ( acdbcadb , para i,j=1,2,3. Considerando que
Vjji
iijji )()()( .cd.baacdb e V
ii
jj
ii
jjji
ji )()()()( .ba.dcbadccadb ,
temos demonstrado (01)1.
Por outro lado poderíamos ainda escrever: jiji
ijjiV )()() ( dbcabdca
, ou
aplicando propriedades:
jj
ii
ii
jjV )()() ( dcbabadc
. Então: .. VVV) ( ,
o que comprova (01)2.
Ainda de ((01)2,§ 07.01), aplicando ((05),§ 03.03,I):
1,2,3)=j(i, ),)(())(() (i
jij
jj
iiE
.ad.bc.dc.ba .
Mas,
EEj
ji
i ))(( .dc.ba , e
( )( ) [ ( ) ] [( ) ( )] ( ) ;c .b a . d a b . c d a b . c d .j
ii
ji
ij
jE i
ij
jE E
logo, comprovamos (02).
*
Exercício:
Comprovar que “o produto pontuado da parte anti-simétrica de um diádico pelo
vetor de um outro é o vetor oposto ao produto pontuado da parte anti-simétrica deste pelo
vetor do primeiro”, isso é o.. VT
VT )()( .
*
Corol. 1:
Tem-se, :
E22
EE
VVV
)()() (
) (2
1
..
, (021),
fórmulas que se comprovam fazendo = em (01) e em (02).
Decorre de (021) que TVV .. , mas isso não significa que seja simétrico
(especialmente porque Vo). Mas se é simétrico o V) ( .
§ 07.05 - Invariantes elementares do duplo produto cruzado de diádicos. 154
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 2:
Tem-se:
,2) (
,) (
EE
VV
(022),
fórmulas que se comprovam fazendo-se = em (01) e em (02), e considerando-se que
E
3 .
Se A = - AT, deduzimos, de ((022)1 e (022)3,§ 07.04):
A:AAAA 2) 2(2
vS
, (023).
De (022)2, ou de (021)2 para = , tem-se:
6) (E
, (024).
§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos.
Posto que a dupla multiplicação cruzada de dois diádicos é um diádico, caberá uma
segunda dupla multiplicação deste com um terceiro diádico, e assim sucessivamente.
Teor. 1:
, e no E3:
], ) [(+] ) [( ) (
) ( ) (+) (] ) (
TTT
TTTTT
....
....:: (01).
Pondo = aibi, = cjd
j e = ekfk, com (i,j,k = 1,2,3), temos:
])][()[(] ) ( [ e ))(() (k
jikji
TT ji
jiT edbfcacadb
Desenvolvendo os duplos produtos vetoriais, efetuando os produtos diretos e agrupando
convenientemente, escrevemos:
])()][()()[(] ) [( ijk
jikij
kji
kTT b.ded.bea.cfc.af
jj
kk
ii
jj
kik
i ))(())()(( d.cf.ebadc.fa.eb
.))(())()(( ii
kk
jj
iik
jkj b.af.edcba.ed.fc
§ 07.06 – Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 155
Poliádicos - Ruggeri
Ora,
) (=)()]()[())()(( TEE
kk
ii
jj
kik
i:.fe.badc.fa.eb
a b .e f .c d .e f . . .i
i
k
k
j
j
k
k( )( ) ( )( ) .
Desenvolvendo analogamente as duas outras parcelas, comprovamos (01)1, expressão esta
que pode, ainda, ser escrita na forma:
])(+)([+])(+)([ ) (E
TTE
TTT ......
.
Lembrando agora ((01)2,§ 07.04), encontramos (01)2.
Como casos particulares das (01), temos:
TE
TTTTT )(] )[( ) (2
1 .....
) (+) ( ) ( TTT
..
TE
23T
2TT )()() ( ) (2
1
.
4 ) (
) (+ )(= ) ( TT
.. (02).
Dupla multiplicação mista de três diádicos.
Definição: (duplo produto misto)
Chama-se duplo produto misto de três diádicos , e , numa certa ordem,
e representa-se por (), o duplo produto pontuado do primeiro pelo duplo
produto cruzado dos dois seguintes:
) (
: , (03).
A dupla multiplicação mista de três diádicos é a operação que tem por fim
determinar um duplo produto misto qualquer desses diádicos.
Se, em representação trinomial,
a e b e c ei
i
j
j
k
k = e , (i,j,k = 1, 2, 3),
tem-se:
§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 156
Poliádicos - Ruggeri
( ) ( )( ) i j k
i j k
i
i
i
j
i
k
j
i
j
j
j
k
k
i
k
j
k
k
a b c e e e
a . e a . e a . e
b . e b . e b . e
c . e c . e c . e
, (031).
Com base em (031) demonstram-se as seguintes
Propriedades.
1ª) – Os símbolos operatórios são comutativos:
= :,, ::
, (04).
Pois, operando no segundo membro de (031), escrevemos:
)()])([())(( k
kji
jikji
kji ec:eebae.eec.ba: ,
donde, lembrando as definições dos duplos produtos:
)( )]( )[( k
kj
ji
i ec:ebea:
,
resultando, logo, a tese.
2ª) – Um duplo produto misto não se altera quando se permutam os diádicos
que o compõem:
... ) (
::: , (05).
Pois os duplos produtos são comutativos, isso é,
...
:::
3ª) – Se os três diádicos de um duplo produto misto são iguais, esse duplo
produto é igual a 6 vezes o seu terceiro:
3 6
: , (06).
Pois teríamos de (031): ( ) ( )( ) i j k
i j k a b c e e e , donde, aplicando (05) e (051), §
04.02, I: ( ) ( )( ) ijk
ijk
1 2 3
1 2 3 a a a e e e . Conforme ((071)3,§ 04.02,I), o produto dos
permutadores vale 6 e o produto dos produtos mistos vale 3; isto conclui a comprovação
de (06).
*
§ 07.06 - Multiplicação dupla com mais de dois diádicos. 157
Poliádicos - Ruggeri
Exercícios:
1°) - É nulo o duplo produto misto dos diádicos de uma dupla de Pauly (§07.02)
por qualquer um dos diádicos da família a eles associada:
0 ... Hom Hom ),Pau(1/XX
:: .
Pois temos, por exemplo, aplicando a propr. 2ª),
Hom HomHom XXX
:::
.
Agora, lembrando o Teor. 2, §07.02, concluímos a tese.
2°) - A CNS para que um duplo produto misto de três diádicos seja nulo é que um
deles seja ortogonal ao duplo produto cruzado dos outros dois.
É evidente a demonstração em face da definição de diádicos ortogonais (§ 07.02).
3°) - Comprovar que:
, , : ( ) ( )
( ) ( ) .
( )
( )
E E E E E
E E E E E E
. . . .
. . .
Com base nessa fórmula:
a) - pondo
2
12
, E1K , 2E 2
2
1K 3
E 33
1K ,
comprovar também que
)2(2
1K 2E
2E 2 e )33(
3
1K 32EE
3 E3 .
b) - comprovar ainda, que:
1) – ) ( ] ) ( ) [() (E
:...
.
2) –
) )( () )( ( :,,, :::::
). ( ) () ( ) ( TTTT .:..:.
3) - E
T )]}( )[(+)]( ){[() ( :,,, ....:
.
4) - 0 ou 0 0 ,0 Se P33
:: , pois
P3 2 ::
.
5) - 0 ou 0 0 ,0 Se P33
:: , pois
P3 2 ::
.
*
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos. 158
Poliádicos - Ruggeri
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de diádicos60.
Definição: (norma)
Denominaremos norma de um diádico , e a representaremos por || ||, o
duplo produto pontuado desse diádico por si próprio:
|| || : , (01).
Sendo um invariante um duplo produto pontuado (§07.03), concluímos que a norma
de um diádico é mais um de seus invariantes.
Resulta logo de (02),§ 07.01 que podemos também escrever:
ET
ET )()( .. , (01
1).
Considerando (021), § 07.01 e (05), § 07.04 deduzimos logo, também:
|| ||V
2
E : ( ) ( )2 , (012).
*
Exercício: Uma CNS para que um diádico seja simétrico é que a sua norma seja igual ao escalar
do seu quadrado.
*
Teor. 1:
A norma de todo diádico não nulo é um número positivo:
0 : : , (02)61.
Se é um diádico linear (logo não nulo) a proposição é evidente, pois
mn : mn : mn m n = ( () ) 2 2 0.
Se é um diádico planar (não nulo) podemos escrevê-lo na forma binomial genérica
ax by em que a não é paralelo a b nem x paralelo a y. Então,
60Esses conceitos são aqui apresentados pela primeira vez na teoria dos diádicos.
61 Na linguagem da Álgebra Linear dizemos que "o espaço vetorial dos diádicos munido da operação de dupla multiplicação escalar como a multiplicação escalar de dois de seus vetores é um espaço euclidiano".
=: a x b y a.b x. y2 2 2 2 2 ( )( ) .
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 159
Poliádicos - Ruggeri
Os módulos dos antecedentes e dos conseqüentes do diádico são arbitrários, podendo-se
considerar | || | | || |a x b y . Nesse caso, sendo
(| || | | || |) || || || |a x b y a x b y a x b y 2 2 2 2 20, 2| ou , ,
com mais forte razão é
a x b y a b x y a b x y a.b x. y2 2 2 2 2| 2 || || || | ( )( )cos( , )cos( , ) =
porque o primeiro membro é maior que o maior valor possível do segundo membro. Logo,
: 0.
Se, entretanto, for | || | | || |a x b y , escreveremos:
K (K2 2( ) | || |)ax by a x e K cos ( )cos( , )]4: a b x y 2 1[ , .
Ora, o produto dos co-senos é maior que -1 porque por hipótese o diádico é planar. Logo
: 0.
Suponhamos agora que o diádico seja completo e escrito na forma ax by cz
com (abc) 0 e (x'y'z') 0. Pelo Teor. 5, § 07.02 podemos sempre escrever esse diádico
como uma soma de um planar ax+by e um linear nz perpendiculares. Então,
: ax by : ax by n z ( ) ( ) 2 2
já que (ax+by):nz = 0. Como a primeira parcela do segundo membro é um número positivo
– porque (ax+by) é um diádico planar – resulta : 0.
Corol. 1: Apenas o diádico nulo é ortogonal a si próprio:
0= : , (021).
Corol. 2:
As normas dos diádicos unidade e nulo são, respectivamente, 3 e 0:
0||| | ,3| | | | , (022).
Teor. 2: (desigualdade de Schwarz)
O quadrado do duplo produto pontuado de dois diádicos é sempre menor que
o produto de suas normas:
, ( || || : ) || ||2: , (03).
Seja o diádico X onde e são diádicos quaisquer. Tem-se:
X X2: : : : 2( ) ( ) .
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 160
Poliádicos - Ruggeri
Lembrando (01) e o Teor. 1, deve ser
|| || ( ) X X || || >2 2 0: ;
e para tal o discriminante dessa inequação deve ser negativo porque o coeficiente de X2 é
positivo. Então, ( ) || || || ||: 2 0 , donde a tese.
•
De (03), considerando que as normas são números positivos, deduzimos:
1 1
:
|| || || ||, (031),
isso é,
existe um ângulo definido por dois diádicos e cujo co-seno vale o duplo
produto pontuado deles dividido pelo produto das raízes quadradas positivas
das suas normas.
Assim, podemos escrever:
cos ( , ): || || || || , (032).
Definições: (módulo e ângulo)
À raiz quadrada positiva da norma de um diádico denominaremos módulo
desse diádico, e o representaremos por || ou mod :
: | | mod || || , (03).
O ângulo (,), definido por e por , que satisfaz (032), será denominado
ângulo dos diádicos e .
Escrevemos então, finalmente:
cos ( , ): | || | , (04),
expressão que apresenta espetacular analogia com a expressão do produto escalar
(pontuado) de dois vetores; voltaremos a esse assunto no § 16. A introdução de uma
representação gráfica será feita no §10.03.
Tem-se logo, então, de (022):
0 mod ,3 mod , (041).
*
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 161
Poliádicos - Ruggeri
Exercício:
Consideremos os diádicos ( )tt
tt 2 e ( )ss
ss 2 com t. t s. s 1 e
|t|=|s|. Seja 19 28' . Então: 1) - Se 0s.t (ou 0.ts ), o ângulo dos diádicos não
pode assumir valores superiores a 90 nem inferiores a 90 ; 2) - Se 0s.t (ou
0.ts ) o ângulo dos diádicos não pode assumir valores inferiores a 90 nem
superiores a 90 .
*
Teor. 3: (norma do produto de um número real por um diádico)
K, : ||K || K , logo |K | K| |2 || || , (05).
Com efeito, pois K K K 2 : : .
Teor. 4:
A norma e o módulo de um diádico são respectivamente iguais à norma e ao
módulo do seu transposto ou do oposto do seu transposto:
: || || || || || || , logo, | | | | | |T T T T , (06).
Pois, conforme ((16), § 07.01), T T: : .
Teor. 5:
Norma e módulo de um diádico anti-simétrico:
e T
V V : ( ) | |
12
2
22 , (07).
Com efeito, é o que se deduz imediatamente de (022), § 07.04.
Teor. 6: (norma de uma soma)
A norma de uma soma de diádicos é igual à soma de suas normas com os
duplos dos seus duplos produtos pontuados dois a dois:
, , ... : || ...|| || || || || || || ...
... +2 ... 2 2( ) ( ) ( ) : : : , (08).
Para uma soma de dois diádicos, por exemplo, temos:
, : || || : ) ) + ) ( ) ( ) ( ( (: : :2 ,
isso é,
, : || || || || ) || || 2( : , (081).
Por indução completa podemos facilmente comprovar (08).
*
Exercício:
Comprove que |+|<||+||, mas ||+||<||||+|||| se o ângulo de com é agudo e
||+||>||||+|||| se o ângulo de com é obtuso.
*
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 162
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 1: (norma de uma combinação linear)
, , ... , A, B, ... : || A B C ... || A B C ... 2 2 2 || || || || || ||
2 2AB AC ... +2BC ...( ) ( ) ( ) : : : , (082).
Notas: 1 – O desenvolvimento da norma de uma soma pode ser entendido como um "quadrado simbólico da soma", isso é, pela expressão clássica do desenvolvimento do quadrado de uma soma de números onde se troquem números por diádicos e produtos (de números)
por duplos produtos pontuados (de diádicos). Assim, 2))((|| || .
2 – Mostraremos no §09.06,IV (esboço da geometria do espaço diádico) que a fórmula (081) tem por corresponde a fórmula de Carnot da Trigonometria Plana clássica (no espaço dos vetores).
Teor. 7: (norma de um produto pontuado de diádicos)
A norma de um produto pontuado de diádicos é igual ao duplo produto
pontuado do produto simétrico direito do multiplicando pelo produto
simétrico esquerdo do multiplicador:
, : || || ( T T . . : .( ) ) , (09).
Aplicando a definição e (02), § 07.01 temos:
|| || ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) T
E
T T
E . . : . . . . . . . .
Agora, aplicando (08), § 07.01 ao último membro considerando-se T como um dos fatores,
e depois reaplicando (02), § 07.01 temos, finalmente:
|| || ( ) ( ) ( ) T T
E
T T . . . . . : . .
Corol. 1: (norma de duplo produto pontuado de diádicos simétricos ou
anti-simétricos)
|| || T T 2 , : : : 2, (091).
Teor. 8: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos)
| | | | | | | | ) ( | | | | | | | | | | | | :, TT2 ..:
, (10).
Aplicando propriedade do duplo produto misto de três diádicos, escrevemos:
) () ( ) ( | | | | ::
.
Fazendo T em (01), § 07.06 obtemos:
....: TT) ( | || | ) (
.
§ 07.07 - Norma e módulo de um diádico. Ângulo de dois diádicos. 163
Poliádicos - Ruggeri
Então,
)( )() ( | || | | || | | | | | TT2 :..:..:
.
Mas aplicando ((02),§07.01) duas vezes seguidamente, podemos escrever a terceira parcela
na forma
( ) ( ) ( ) ( ) T T T
E
T T. . : . . . . : . ,
donde, lembrando (09), ( ) || || T T. . : . . Operando analogamente com a última
parcela comprovamos (10).
Corol. 1: (norma de um duplo produto cruzado de diádicos simétricos)
| | | | 2) ( | || | | || | | | | | :, 2TT .:
, (101).
Exercícios:
Comprovar que : , , TT
| | | || | | || | | |2
1| || |2 22
2
(11);
2
S)( | || | 7 | | | |
, (111);
])()()[(8
1| | | | 2
VV2
V2
V .
, (112).
Teor. 9:
O ângulo de dois diádicos é igual ao ângulo de diádicos que lhes sejam
paralelos:
, , K, M: K , M ( , ) ( ) , (12).
Com efeito, pois considerando (04) e (05), escrevemos:
cos ( , ) =
| |
KM
KM | |
(K M
K | M |cos (K M
: : :
| | | |
) ( )
| |, ) .
Teor. 10: (Co-seno do ângulo de um diádico com o seu transposto)
: )
( )
|| || cos ( ,
T E
T2 :
:, (13).
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 164
Poliádicos - Ruggeri
Pois, de (01) e (021), § 07.01 deduzimos:
cos ( ,
|
TT
T
E E
)
| | |
( )
| |
( )
|| ||
:2
2
2
.
Se 02E então é perpendicular a
T. Reciprocamente, se é perpendicular a
T,
0T : , ou seja, relembrando (021), § 07.01, 02E . Logo:
Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que
seja nulo o escalar do seu quadrado.
Considerando (012) comprovamos também que
Uma CNS para que um diádico seja perpendicular ao seu transposto é que o
módulo desse diádico seja igual ao módulo do seu vetor.
Teor. 11: (Co-seno do ângulo de um diádico com o diádico unidade)
: )
| | cos ( ,
E
3
3, (14).
Pois temos, sem delongas, lembrando ((01)1,§07.04): cos ( ,
E
)
| | | | | |
:
3;
racionalizando, encontramos (14).
Corol. 1:
Todos os diádicos de escalar nulo são ortogonais ao diádico unidade.
Teor. 12:
O ângulo de dois diádicos anti-simétricos é igual ao ângulo dos seus vetores:
T T
V V ( , ), : ( , ), (15).
Lembrando (07) e (021)3, § 07.04, podemos escrever:
),( cos
|| ||2
12
1
),( cos VV
VV
VV
.:
,
donde, então, a igualdade dos ângulos.
Corol. 1: A CNS para que dois diádicos anti-simétricos sejam ortogonais é que os
seus vetores o sejam.
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 165
Poliádicos - Ruggeri
§ 08 – SEGUNDO E ADJUNTO. INVERSO E PRINCIPAL.
§ 08.01 – Definições e principais propriedades.
Denotemos por ~ o diádico T) (2
1
, isso é, ponhamos:
TTT~ 2
1) (
2
1=
(01),
e procuremos, no E3, uma redução trinomial para ~ a partir de uma redução trinomial de
, = aibi, com (a1a2a3)0. Desenvolvendo os produtos vetoriais dos conseqüentes
(independentes) de ~ , escrevemos, lembrando ((04)1,§ 04.02,I):
)(21
321~ aaa 1,2,3).kj,(i, )( kji
ijk abb
Pondo
,)()(2
1k
jiijk321
bbbaaa (02),
resulta a redução trinomial de ~ :
~
k
k b a , (03).
Se os conseqüentes de forem independentes, e nesse caso será completo, 3 =
(a1a2a3)(b1b2b3)0 e ~ também será completo. Com efeito, temos, efetuando os produtos
vetoriais na expressão de b'k, considerando mais uma vez ((04)1,§ 04.02,I) e ((071)2,§
04.02,I):
rkr
321ijrijk321k 2)
21()()(
21 bbbbaaab
3b
r,
isso é:
b bk 3 k
, (04).
Então, os antecedentes de ~ , sendo paralelos aos recíprocos dos conseqüentes de , são
necessariamente independentes; logo, 3~ 0 e ~ é completo.
Ora, então, uma vez que
~3 k
k( ), b a (05),
deduzimos, lembrando propriedade do terceiro de um diádico ((06),§ 02.08):
3~
33
kk
33( ( ( ) ) ( ) )( ),b a b b b a a a
3 1 2 31 2 3
isso é:
3~ 2( ,
3) (06).
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 166
Poliádicos - Ruggeri
A propriedade (06) e a lembrança da teoria dos determinantes justificam a seguinte
Definição: (adjunto)
Chama-se adjunto de ao diádico ~ dado por (03).
De (06) concluímos logo:
"Um diádico é completo ou incompleto conforme o seu adjunto seja,
respectivamente, completo ou incompleto; e reciprocamente".
Segundo (05), o adjunto do diádico = aibi difere do diádico completo bka
k apenas
pelo fator ; ademais,
1( ) ( ) ( )~
kk
ii
kk
3
. . b a a b . b a a a a ai ki k
i
i,
e
,1
)])([(
1))(()(1
33
321321
3213213
kk
bbbaaaaaabbbab (07).
Definição: (inverso)
Estas igualdades sugerem representar o diádico bkak, completo e único, por
-1 e denominar-lhe diádico inverso ou recíproco de .bk.
Das (07) deduzimos, ainda:
3 i
i 1i
i 13 3
10, , ( ) 0, a b b a (08),
. .
1 1, (09),
~3
1 , (10),
~ ~3
, . . (11).
De (08) deduzimos a seguinte regra:
"Dado um diádico (completo) em forma trinomial, o seu inverso (em forma
trinomial) obtém-se do seu transposto onde se substituam os seus
antecedentes e conseqüentes pelos seus correspondentes vetores recíprocos".
Quando é completo, a regra enunciada e a fórmula (10) permitem estabelecer a
redução trinomial de ~ .
Dado um diádico , o seu inverso, dado por (08) e satisfazendo a (09), só é
determinável se é completo; a inversão diádica é a operação que tem por fim determinar
o inverso de um diádico, sendo unívoca quando possível. O adjunto de um diádico,
entretanto, existirá sempre, único, completo, planar, linear, determinável por (02) e (03),
satisfazendo, ainda, (10) ou (11) quando o diádico é completo.
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 167
Poliádicos - Ruggeri
Faremos oportunamente (§ 09) uma associação da teoria dos diádicos com a teoria
das matrizes no E3. A definição (01) é interessante porque a fórmula (11) tem uma
isomórfica matricial. No entender de Gibbs, entretanto, esse diádico cede lugar a um outro,
que introduziu com a seguinte
Definição: (segundo de um diádico)
Chama-se segundo de um diádico qualquer, , e representa-se por 2, a
metade do seu duplo produto cruzado por si próprio:
2
12
, (12).
É evidente, então, que
2
~ T , (13),
2
T T2
. . 3 , (14),
e
2
T: : 33
~ , (15).
Então, podemos enunciar:
O triplo do terceiro de um diádico é igual ao duplo produto pontuado desse
diádico pelo seu segundo, ou do seu transposto pelo seu adjunto,
donde concluirmos, também, que:
A CNS para que um diádico seja incompleto é que ele seja ortogonal ao seu
segundo.
*
Exercício 1: (segundo e terceiro de uma soma de vários diádicos)
Tem-se:
:,, C, B, A,
CABCABCBA
)CBA(
222
22
2
)ABC(
CB CA BC BA AC AB
CBA
)CBA(
22
22
22
22
22
22
33
33
33
3
::::::
Estas fórmulas podem ser deduzidas facilmente por recorrência a fórmulas com duas
parcelas dentro dos parênteses; a generalização delas é imediata.
*
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 168
Poliádicos - Ruggeri
Conforme mostrou Moreira (1966) – e entendeu isso como o principal,
especialmente por sua utilidade prática – entre os diádicos completos deve-se distinguir um
outro, que introduziu com a seguinte
Definição: (principal de um completo)
Dado um completo, , em redução N-nomial, chama-se principal desse
diádico, e representa-se por P, o diádico que dele se obtém substituindo-se
os seus antecedentes e conseqüentes pelos correspondentes recíprocos.
Assim,
e a e ai
i
3 P
j
j 0 (i, j ... , N), , ,2,1 , (16),
e
. e a .a e( ) ( )P
Ti
ij
j e e e ei j
i ji
i
( ) ( ) P
Ti
ij
j. a e .e a a a a ai j
i ji
i .
Sendo, ainda,
PP e ( ) ( ) P
Tj
j TP
a e ,
concluímos, em resumo:
( ) ( ) P
T TP P
T PT 1, donde T
P 1 (17).
Então, transpondo ambos os membros de (10) e considerando (17), temos:
2 P
3, (18).
Multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (18) por , considerando (15),
temos:
P
: 3, (19).
Concluímos:
1) – O segundo de um diádico é igual ao produto do seu terceiro pelo seu
principal;
2) – É igual a três o duplo produto pontuado de um diádico pelo seu
principal.
*
Exercício 2:
Demonstrar que
ant2simantT
P3VV
322
332
PP333
33
4 ~ 2) 3( -3)
)()()( -2)
]1) )( [() ( -1)
:0 and 0 com ,,
:::..
::
4) - ) ( 2
1 ) (
2
1) () () ( TT
222 ....::
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 169
Poliádicos - Ruggeri
*
Caracterização dos incompletos pelo adjunto (ou pelo segundo).
Teor. 1: Uma CNS para que um diádico seja incompleto é que o seu produto
pontuado pelo seu adjunto, em qualquer ordem, seja o diádico nulo:
..~~
3 0 , (20).
O teorema direto é evidente em face de (11). Reciprocamente, se ..~~
então, por (11), 3 =, ou, ainda, conforme (04), § 02.09, II, 3 = 0 e é incompleto.
Teor. 2: Se um diádico é linear, o seu terceiro e o seu adjunto são nulos.
Com efeito, porque os antecedentes (conseqüentes) desse diádico, sendo todos
paralelos, implicarão que seu terceiro seja nulo e que seu adjunto, tendo por conseqüentes
(antecedentes) vetores nulos, seja o diádico nulo.
Corol. 1: As CsNsSs para que um diádico seja planar são que seu terceiro seja
nulo e seu adjunto linear:
linear. ) (
2
1
0
planar T~
3
A condição é necessária porque se = aibi (com (a1a2a3)0) é planar, os seus
conseqüentes, bi , são dependentes de um de seus planos e seu terceiro é nulo. Além disso,
pelo menos dois dos seus conseqüentes não são colineares ( é planar, Fig.08.01), isso é,
todos os antecedentes do seu adjunto (dados por (02)) são paralelos (ao menos um é não
nulo); então ~ é linear.
Imagens possíveis dos conseqüentes do diádico planar = aibi com (a1a2a3)0, e dos
antecedentes do seu adjunto: quando os três bi são não colineares (Fig.(a)), e quando dois dos
bi são colineares (Fig (b)).
Fig.08.01
§ 08.01 - Definições e principais propriedades. 170
Poliádicos - Ruggeri
A condição é suficiente porque se o diádico tem terceiro nulo, seus conseqüentes,
bi, são necessariamente coplanares, isso é, é planar ou linear. Mas, pelo Teor.2, não
pode ser linear porque teria adjunto nulo e contrariaria a hipótese (o adjunto deve ser
linear).
Corol. 2: As CsNsSs para que um diádico seja linear são que seu terceiro e o seu
adjunto sejam nulos.
As condições são necessárias pelo Teor.2. As condições são suficientes porque se
tem terceiro nulo ele é planar ou linear; mas tendo adjunto nulo, ele não pode ser planar
(corolário anterior); logo, deve ser linear.
Corol. 3:
O adjunto de um diádico anti-simétrico é unilinear e seu escalar, sempre
positivo, vale o quadrado da metade do módulo do seu vetor.
Pois, considerando ((022)1,§ 07.04) e (01), temos:
A A A~
V V
1
4, (21),
donde,
A AE
~
V
2(1
2> 0, ) (211).
Exercício:
Comprovar que: a : aaa ~)( .
Corol. 4: As CsNsSs para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) são que ele
seja planar e seu adjunto seja ortolinear (unilinear).
Para que um diádico seja ortoplanar (uniplanar) ele deve ser necessariamente planar;
logo, deve ter adjunto linear (Corol. 1). Mas, como os planos dos seus conseqüentes e
antecedentes são ortogonais (paralelos), o antecedente e o conseqüente do seu adjunto são
ortogonais (paralelos), isso é, esse adjunto é ortolinear (unilinear).
Reciprocamente, se um diádico é planar e tem adjunto ortolinear (unilinear), os
antecedentes e os conseqüentes desse diádico devem ser necessariamente de planos
ortogonais (paralelos), isso é, esse diádico é ortoplanar (uniplanar).
Teor. 3:
TE2
~) ( :
, ou E~
2) ( (22).
Com efeito, colocando ((01)2,§ 07.04) na forma ET +
e lembrando
((15), ,§ 07.02), vem:
)( )(2
1 ~)( ~) (
EEE
.
§ 08.03 - Propriedades formais. 171
Poliádicos - Ruggeri
Operando, reaplicando (132) e as fórmulas citadas, e simplificando, encontramos,
facilmente, (22)1. A fórmula (222) pode ser obtida de (221) por transposição.
*
Exercício 3:
1) - 32EE3) ( : . Então:
])[( a . Comprove esse resultado a
partir de (22), considerando o exercício 1, bem como a parte 1) do exercício 2.
2) – Demonstre que se 3
0 , a CNS para que
seja incompleto é que 2E
1.
*
§ 08.02 - Invariância e invariantes.
Visto que as duplas multiplicações são operações invariantes (§ 07.03), concluímos
de ((01) e (10),§ 08.01) que o adjunto e o inverso de um diádico e por conseqüência, o
segundo e o principal, são outros invariantes desse mesmo diádico.
Os invariantes elementares do adjunto, do inverso, do segundo e do principal de um
diádico podem ser expressos diretamente em função dos invariantes elementares desse
diádico. Além das expressões ((06) e (08)2,§ 08.01), temos, também:
2EE22
E~E ])()[(
2
1 , .. V2VV~
VT~
V ) ( , (01),
e
V
1
3
V~
P V E1
E~
P E
1,
1,
3
(02).
De ((021),§ 07.05) e de ((13),§ 08.01) obtêm-se imediatamente as fórmulas (01); as (02) são
óbvias em vista de ((10),§ 08.01).
§ 08.03 - Propriedades formais.
Teor. 1: O adjunto (segundo) de um produto pontuado de diádicos é igual ao produto
pontuado dos adjuntos (segundo) desses diádicos multiplicados em ordem
inversa (na mesma ordem):
( ...) ... ,~ ~ ~ ~
. . . . . (01),
..........)..( 2222 , (01)1.
Se os diádicos são todos completos, a mesma propriedade é válida para a
inversão:
( ...) .... ,1 1 1 1
. . . . . (02).
Com efeito, pondo = aiei e = ejbj temos . = aibi; logo, aplicando a definição
((01),§ 08.01), deduzimos:
))((2
1)]( )[(
2
1 ~)( ji
jiT
jj
ii aabbbaba.
.
§ 08.03 - Propriedades formais. 172
Poliádicos - Ruggeri
Mais uma vez aplicando a definição, escrevemos:
).)((21 e ))((
21 mi
mi
~kj
kj
~aaeeeebb
Então,
).)(())((4
1mi
mikj
kj~~ aaee.eebb.
Lembrando ((05),§ 03.03,I) e efetuando as somas, escrevemos:
~ ~
. ))()((4
1mik
ij
mk
mj
ikj aabb δδδδ
)])(())([(4
1mi
immi
mi aabbaabb
ou, ainda, finalmente
~mimi
~~ )())((2
1 .aabb.
Se os diádicos são completos podemos escrever para dois quaisquer deles, usando
((10),§ 08.01):
( )1
(( ) .1 ~
.
..
)3
De (01) e de ((04),§ 05.03) deduzimos então, facilmente, agrupando convenientemente:
( ) ,1
~
3
~
. .
3
donde, relembrando ((10),§ 08.01):
( ) .1 1 1
. .
A generalização desses resultados para mais de dois diádicos é imediata.
A demonstração para o caso do segundo é imediata uma vez que o transposto de um
produto é igual ao produto dos transpostos em ordem inversa (§05.03, Teor. 1).
Corol. 1: O escalar do adjunto de um produto de diádicos é igual ao escalar do
adjunto do produto desses diádicos em ordem inversa:
( ) ( ) ,E
~
E
~ . . (011).
Pois de (01), lembrando ((08),§ 07.01), deduzimos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .E
~ ~ ~
E
~ ~
E E
~
E
~ . . . . .
§ 08.03 - Propriedades formais. 173
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 2:
O adjunto da P-ésima potência de um diádico é igual à P-ésima potência
do adjunto desse diádico:
( ) ( ) ,P ~ ~ P
(012).
Se o diádico é completo,
( ) ( ) ,P 1 1 P
(021).
Para simplicidade da notação e sem perigo de erros, poremos:
( ) e .1 P P P~ P
~
Decorre imediatamente de (012) que
P~ Q~ ~ P Q P Q ~
( ( ) ,.
) (013),
e de (021):
P Q (P+Q)
P Q P Q
1 P Q Q P
P Q PQ Q P QP
,
,
( ) ,
( ) ( ) ,
.
.
( ) ,P Q PQ
(022).
Teor. 2: X,
(X ) X~ 2 ~ e (X ) X22
2 (03);
e se é completo e X0:
(X ) X1 1
1 e (X ) XP1 P (04).
Com efeito, pois considerando ((11),§ 07.01) temos:
~222~ X) (2
1X) (X
2
1)(X
Se é completo podemos escrever: (X ) (X ) ,1
. de onde, pós multiplicando ambos os
membros por X-1-1, agrupando e simplificando, deduzimos (04).
Por simples transposição podemos demonstrar as demais fórmulas.
Corol. 1:
(X ) XP1
T 1 (041).
§ 08.03 - Propriedades formais. 174
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 3:(Adjunto do adjunto e inverso do inverso de com 30).
~~ 3 2 2( ) (05),
( ) ,1 1 (06).
Substituindo em ((11),§ 08.01) por ~ , temos: ~ ~~ 3~ ,. donde, pré-
multiplicando ambos os membros por , reconsiderando ((11),§ 08.01) e lembrando ((06),§
08.01):
3 3. ~~ 2( . )
Logo, dividindo ambos os membros por 30, encontramos os dois primeiros membros de
(05). Analogamente comprovamos o terceiro membro.
Similarmente, trocando em ((09),§ 08.01) por -1 e em seguida pré ou pós-
multiplicando ambos os membros por ou -1, encontramos, logo, (06).
Corol. 1: (inverso e principal do adjunto)
( ) ( ) ,~ 1
3
1 ~
( ) ( ) ,~P P
~ (07).
Com efeito, se tomarmos o inverso e depois o adjunto de ambos os membros de
((10),§ 08.01) e considerarmos (04) e (05), comprovaremos (07)1. Por transposição de (07)1
obtemos (07)2.
Teor. 4: O adjunto e o inverso do diádico unidade são o próprio diádico unidade:
~ 1
,
(08).
Com efeito, de ((11),§ 08.01) temos:
~ ~ ~
=| | 1 ;. .
e de ((10),§ 08.01):
1 ~ ~1
.
3
Teor. 5: O adjunto e o inverso do transposto são iguais, respectivamente, aos
transpostos do adjunto e do inverso:
: ( ) ( )T ~ ~ T ~ T
2 , (09);
§ 08.03 - Propriedades formais. 175
Poliádicos - Ruggeri
e se 30:
( ) ( ) , T 1 1 T T
(10).
A demonstração de (09) é evidente a partir da própria definição de adjunto.
Sendo
1 1 T T 1 T
( ) ( ) ,. . . temos, pré-multiplicando o primeiro e
último membro por (T)-1:
( ) ( ) ( ) ( ) ,T 1 T 1 T 1 T 1 T
. .
o que demonstra (10).
Corol. 1: O adjunto de um diádico simétrico é um diádico simétrico (que é igual ao
seu segundo):
T
~ ~ T( ) , 2
(091).
Se o diádico simétrico é completo, o seu inverso é simétrico; e
reciprocamente:
T3
1 T e 0 (101).
Esses resultados são facilmente comprovados a partir de (09) e (10).
Nota:
A fórmula (091) não é válida em sentido contrário, isso é: T
2 não ~ .
É ~TT~ ~ , mas dois diádicos que têm o mesmo adjunto não são iguais
necessariamente; com efeito, se ~ ~
, temos, tomando o adjunto de ambos os
membros e aplicando (05): 3 3
. Mas 3
~ 2
3
~ 2 ( ) ( )
3 3, isso é
3 3
e, portanto, . Podemos, assim, enunciar:
Se um diádico tem adjunto e segundo iguais ele é simétrico ou anti-simétrico.
Teor. 6: Se é nulo o produto pontuado de dois diádicos não nulos, então ambos são
incompletos:
0, , , 33 . (11).
Com efeito, porque se ao menos um dos diádicos fosse completo, digamos ,
existiria -1 (§ 08.01) e de . = deduziríamos:
,11 ...
o que é contra a hipótese ().
§ 08.04 - Significado geométrico. II-176
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 1: Se é nulo o produto pontuado de vários diádicos não nulos, então ao
menos dois desses diádicos são incompletos:
s,incompleto diadicos dois menos ao ..... e ,...,, . (12).
*
Exercício 4:
|| |>|| | donde , | || | 2| | | | | | | || | ~| | 2 | | , | || || | : 22
22T ;
, : ) ) || || ( || || ( || ||2P
23 2 3 3
10 2 2 2 .
*
§ 08.04 - Significado geométrico do adjunto (ou do segundo).
Temos insistido em mostrar a utilidade dos diádicos como regentes de uma
transformação linear (Teor.1,§ 02.04). Assim, os vetores posição, x, de pontos de dado
domínio Dx, transformam-se em vetores posição, y, de pontos de um novo domínio, DY, por
multiplicação pontuada com um diádico regente, ; algebricamente, escrevemos: y .x .
Se esse diádico é completo ( 0) ele admite um inverso: -1; então, pré-multiplicando
ambos os membros da expressão acima por -1, deduzimos: .= 1.yx Interpretamos
geometricamente o resultado obtido, por analogia com a interpretação anterior, dizendo que
o diádico inverso opera uma transformação inversa da anterior: os vetores posição, y, de
pontos de DY, transformam-se univocamente em vetores posição de pontos de Dx.
Se x' é o vetor posição de um outro ponto qualquer de Dx, então x - x' é o vetor
genérico de Dx, pois liga dois pontos quaisquer de Dx. Sendo, obviamente:
y y . x x ( ), dizemos que a transformação linear regida por , bem como sua inversa,
aplica-se a qualquer vetor do domínio.
Se, agora, x e y são dois vetores quaisquer antes da transformação executada por
(logo, são pontos de DX), o produto vetorial deles, x×y, é o seu vetor-área. Após a
transformação, tais vetores são .x e .y e seu produto vetorial, (.x)×(.y), é o "vetor-área
transformado". Que relação existe entre esses vetores?
Lembrando ((042)2,§ 07.04) e ((01),§ 08.01) temos:
)()()()( 2~ yx..yx.y.x , (01).
Interpretando (01), podemos enunciar:
"Na T.L. regida pelo diádico usado como pré-fator (pós-fator), o seu
segundo (adjunto), usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação
pontuada, rege a transformação das áreas".
§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. 177
Poliádicos - Ruggeri
Nota: Um modo de calcular a relação entre os valores numéricos das áreas (a transformar e transformada) será apresentado no § 01.02 do cap. III.
Casos particulares.
Numa situação particular em que o diádico (gerado do E3) seja planar - caso em
que transforma, por multiplicação pontuada posterior (anterior) qualquer vetor num vetor
do plano dos seus antecedentes (conseqüentes) (Corol.1,Teor.1,§ 03 e 01) - o seu adjunto,
linear (Corol.1,Teor.2,§ 08.01), terá por conseqüentes (antecedentes) vetores paralelos à
direção da normal ao plano dos antecedentes (conseqüentes) de e transforma, em
multiplicação pontuada anterior (posterior), qualquer vetor num vetor paralelo à essa
direção, Fig.08.02.
Então, conforme (01), por serem x e y arbitrários, podemos concluir:
Teor. 1: Se um diádico é planar, e é usado como pré-fator (pós-fator) em
multiplicação pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor do plano
dos seus antecedentes (conseqüentes); o seu adjunto, linear, usado como pós-
fator (pré-fator) em multiplicação pontuada, transforma qualquer vetor num
vetor ortogonal ao plano dos seus antecedentes (conseqüentes).
Similarmente, em vista do Corol.2 do Teor.2, § 08.01, podemos também enunciar:
Teor. 2: Se um diádico é linear e é usado como pré-fator (pós-fator) em multiplicação
pontuada, ele transforma qualquer vetor num vetor paralelo à direção do seu
antecedente (conseqüente); o seu adjunto, que é o diádico nulo, transforma
qualquer vetor no vetor zero.
§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e
principais numa homologia.
Seja o diádico e ai
i e um seu homológico arbitrário (§ 03.02), Hom Xi
i i e a .
§ 08.05 - Relações entre adjuntos, segundos, recíprocos e principais numa homologia. 178
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 1:
Tem-se:
T~~
22
)Hom ( )X( Hom
Hom )X(Hom :
, (01).
Com efeito, podemos escrever:
]. ... +))(()X+(X[X)(
... +))(()]X+(XX)[( ... +))((X
] ... +))(Hom[()])((2
1Hom[Hom
3232
322
3232
323232
1
3232
jiji2
aaee
aaeeaaee
aaeeaaee
Por outro lado, temos:
, ... +))((X+))((X
))((X)X( )(Hom
2323
23232
3
jiji
jjjj
ii
aaeeaaee
aaeeaeae
não sendo difícil, agora, completar a demonstração.
Transpondo em ambos os membros da fórmula encontrada, lembrando ((02),§
03.02) e ((13),§08.01), encontramos imediatamente ((01)2.
O Teorema 1 é válido para qualquer diádico. Quando este é completo a soma dos
coeficientes da homologia, X, pode ser calculada como o duplo produto pontuado do seu
homológico com o seu principal, isso é:
Teor. 2:
com 0 : X Hom 3 P
: , (02).
Com efeito, temos: etc. ,X).Hom( 11
1 a.e ; então, somando membro a membro
estas igualdades, vem: X Hom ) Hom ) (ii
ii
e . .a : e a( ( ) , o que comprova (02).
Teor. 3:
A CNS para que
Hom é que seja linear.
Pois, sendo linear, é 2 (Teor. 2, § 08.01); e conforme (01),
Hom .
Reciprocamente, se
Hom ,
... ))()(X+X( 3232
32 aaee ,
isso é,
§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira. 179
Poliádicos - Ruggeri
))(X+X())(X+X())(X+X( 212113133232 aaaaaao .
Então a1 // a2 // a3, e é linear.
Teor. 4:
,Hom 1
) Hom( Hom
Hom ) Hom(Hom
: 0 com
3PPP
2P2
3
:
:
T
3
1-P
1-
TP
)Hom (1
) Hom(Hom
)Hom ( ~) Hom( ~Hom
:
:, (03).
Estas fórmulas são conseqüências imediatas das (01) e (02) e das relações já
estabelecidas (no § 08.01) entre o adjunto, o segundo, o principal e o recíproco de um
diádico.
§ 08.06 - Segundo e inverso dos diádicos de Moreira.
Seja iiaeM (i = 1, 2, 3) qualquer diádico de Moreira e ABCD um
ortoquadrângulo a ele associado, Fig. 03.05, § 03.03. O segundo de M tem por expressão
))(())(())(( 1313
3232
21212 aaeeaaeeaaeeM .
Então, M2V
, tal como MV
, é um vetor paralelo ao plano ) desse diádico, pois, conforme
indica a referida figura, o vetor da primeira díade é paralelo a BC, o da segunda é paralelo a
CA e o da terceira a AB. Logo:
O plano de um diádico de Moreira é paralelo ao plano definido pelo seu
vetor e o vetor do seu segundo.
Segundo ((17) e (18), § 08.01), M M M M M 1
P
T
P e
2 3. Então, concluímos:
Se um diádico (completo) é um diádico de Moreira, o transposto, o principal,
o segundo, o adjunto e o recíproco desse diádico são também diádicos de
Moreira, todos com eixos paralelos e planos paralelos.
Ž
Consideremos ainda a figura citada. O vetor 1
1ae é um vetor paralelo a BC e
32 ee é perpendicular a BC porque 32 ee é perpendicular a qualquer reta do plano
(D*BC). Logo e1 é paralelo ao plano ),( 11 ae . Analogamente podemos comprovar que e2
é paralelo ao plano ),( 22 ae e e3 paralelo ao plano ),( 3
3 ae . Imaginando o sistema
§ 09.01 - Definições. 180
Poliádicos - Ruggeri
{ 321 ,, eee } aplicado em D, vemos que o eixo associado aos sistemas recíprocos
{ , , }e e e1 2 3
e { 321 ,, eee } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC).
Os mesmos resultados são válidos para o sistema recíproco de { 321 ,, aaa }, isso é,
sendo 11
ae paralelo a BC e 32 aa perpendicular a BC, a1 pertence ao plano ),( 1
1 ae
etc.. Se { , , }a a a1 2 3
é aplicado em D*, o eixo associado aos sistemas recíprocos
{ , , }a a a1 2 3
e { 321 ,, aaa } é DD*, seu plano sendo paralelo a (ABC).
Assim, ampliamos a propriedade anterior, enunciando:
Se um diádico completo é um diádico de Moreira, todos os seus derivados
(transposto, principal, segundo etc.) são também diádicos de Moreira. Os
eixos e os planos desses diádicos são todos paralelos ao eixo e ao plano do
diádico unidade quando este é representado pelos antecedentes do diádico (e
seus recíprocos), ou pelos conseqüentes do diádico (e seus recíprocos).
*
Exercício: Estudar a norma de um diádico de Moreira.
*
Consideremos agora o quadrângulo plano, DD*AHA (Fig. 03.05, § 03.03). Os
vetores e1 e a1 são paralelos ao plano desse quadrângulo, suas direções sendo,
respectivamente, as normais aos lados D*HA e DHA. Portanto, os suportes desses vetores,
quando estes estão aplicados em D e D*, respectivamente, interceptam esses lados em
pontos da circunferência de diâmetro DD*. Resultados análogos podem ser obtidos com
permutação circular das letras nos (planos dos) demais quadrângulos.
Concluímos, então:
As interseções dos tercetos de lados DHA, DHB, DHC e D*HA, D*HB, D*HC
dos quadrângulos planos DD*AHA, DD*BHB e DD*CHC com a esfera de
diâmetro DD* definem, respectivamente, com D* e D, as direções dos
antecedentes e conseqüentes de MP.
§ 09 - REDUÇÃO N2-NOMIAL OU CARTESIANA.
Daqui em diante a teoria dos diádicos passa a ter algum parecer com o modo
tensorial, tal como ocorreu com a teoria dos vetores do §04,Cap.I em diante.
§ 09.01 - Definições.
Dado um diádico, numa forma polinomial qualquer, podemos sempre reduzi-lo a
uma forma N-nomial com, por exemplo, conseqüentes gj independentes (Teor.1,§ 02.07);
seja, então:
a gj
j (j 1,2,... , N), (01),
uma forma qualquer contravariante de representação de (§ 02.07).
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 181
Poliádicos - Ruggeri
Cada um dos antecedentes de pode ser expresso, por sua vez (§ 03,I), em função
de suas coordenadas contravariantes (em relação à base {g*}) ou em função de suas
coordenadas co-variantes (em relação à base {g*}) nas formas
a a .g g a a .g gj j k
k
j j
k
k( ) , ou, ( ) (k 1,2,... , N), (02).
Então, por substituição das (02) em (01):
( ) , ou ( ) (j, k 1,2,... , N)j k
k j
j
k
k
ja .g g g a .g g g (03).
Nota: Se for conveniente poder-se-á também expressar cada um dos antecedentes do diádico em relação a outro sistema {r*},{r*} de vetores recíprocos.
Poderíamos, por outro lado, reduzir o mesmo diádico a uma forma N-nomial que
tivesse por conseqüentes os recíprocos dos mesmos gj independentes, caso em que
(Teor.1,§ 02.07) estaríamos escrevendo em forma co-variante
b gjj (j 1,2,... , N), (011).
Como também podemos escrever:
b b .g g b b .g gj j k
k
j j
k
k( ) , ou ( ) (k 1,2,... , N), (021),
deduzimos, ainda, que
( ) , ou ( ) (j, k 1,2,... , N),j k
k j
j
k
k
jb .g g g b .g g g (031).
Pondo-se:
kjkjjk .. gaag
,, ,
j kk
j. ga
, (04)62,
kjkj. gb
kj
kj. gb
pode ser escrito em qualquer uma das formas seguintes:
kj
k jg g ,
kj k
jg g ,
kj
k jg g ,
jk
kj gg , (05).
62Notar que cada índice ocupa um posto, como sobre-índice ou como sub-índice. Nunca representaremos letras duplamente indexadas com índices encavalados ou sobrepostos (em níveis diferentes) no mesmo posto.
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 182
Poliádicos - Ruggeri
Vemos, assim, que qualquer diádico pode ser expresso na forma de uma combinação
linear de N2 díades, obtidas como produtos diretos de N vetores independentes entre si ou
pelos seus recíprocos. Quando se expressa um diádico em qualquer uma das formas (05)
diz-se que se pratica uma redução N2-nomial, ou, cartesiana do diádico. As formas (05)
são ditas, em geral, N2-nomiais: monomiais para N = 1, tetranomiais para N = 2 e
eneanomiais para N = 3; suas díades são denominadas díades basais (ou fundamentais) e
os coeficientes destas, coordenadas do diádico nas bases recíprocas {g*} e {g*}.
Por ser um diádico uma entidade estritamente relacionada a pares de vetores
(justapostos em produto direto) podemos considerar qualquer uma das (05) como uma
expressão (ou decomposição) cartesiana do diádico nas bases recíprocas {g*} e {g*}. A
analogia com as expressões correspondentes dos vetores é evidente.
Numa redução N2-nomial, as coordenadas de um diádico estarão sempre
relacionadas com a sua "parte substancial" (ou "motivo") (§ 02.07), isso é, as suas
coordenadas são os "quinhões" da grandeza que ele representa distribuídos por cada par de
vetores de duas bases (idênticas ou recíprocas).
Cada parcela do diádico (produto de cada coordenada pela díade que lhe
corresponde) é dita uma componente do mesmo. As parcelas correspondentes a índices
iguais são denominadas componentes normais ou radiais do diádico (ou da forma); as
demais componentes são denominadas transversais ou tangenciais. As coordenadas kj,
por representarem coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais co-variantes (bj) do
diádico (§ 02.07), denominam-se: coordenadas duplamente co-variantes do diádico, ou,
simplesmente, coordenadas co-variantes ; as coordenadas kj por representarem
coordenadas co-variantes das coordenadas vetoriais contravariantes (aj) do diádico,
denominam-se: coordenadas uma vez contravariante uma vez co-variante, ou, mistas.
Analogamente, as jk são as coordenadas duplamente contravariantes, ou
simplesmente coordenadas contravariantes; e as kj, coordenadas uma vez
contravariante e uma vez co-variante, ou mistas63.
Deve ser observado que, em geral,
kj jk kj
kj
kj k
j e , ... , (06).
As formas e as componentes correspondentes a essas coordenadas recebem os
mesmos nomes dessas coordenadas.
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico.
A cada uma das formas N2-nomiais ((05),§ 09.01) podemos associar uma matriz
quadrada de ordem N64 cujo elemento genérico é dado pela coordenada genérica do diádico
63Estas nomenclaturas tornar-se-ão mais expressivas quando tratarmos dos poliádicos de ordem p+q, que
poderão ser p vezes contravariantes e q vezes co-variantes etc.. 64Chama-se matriz de ordem MxN a um conjunto de MxN números - representados genericamente por uma letra
com dois índices, letra indexada essa denominada elemento genérico da matriz - dispostos ordenadamente em M
linhas N colunas. Quando MN a matriz se diz retangular; quando M=N, quadrada. Quando N=1, a matriz denomina-se matriz coluna ou vetor; quando M=1, matriz linha ou vetor linha.
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 183
Poliádicos - Ruggeri
nas referidas formas, desde que convencionemos que os índices dos antecedentes e os dos
conseqüentes das díades representem, respectivamente, a linha e a coluna da coordenada na
matriz65. Representando as matrizes com duplas chaves escrevemos, para o caso em que N
= 3, por exemplo:
[ ]
11 12 13
21 22 23
31 32 33
, [ ]
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,
[ ]
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
, [ ]
11
12
13
21
22
23
31
32
33
, (01).
Qualquer uma das matrizes (01) é denominada matriz associada ao diádico;
diremos também que [**] é a matriz contravariante, [**
] é a co-variante, [**] a
matriz mista contra/co-variante e [**], a matriz mista co/contravariante.
Genericamente a matriz associada ao diádico será representada por [].
Devemos notar que, nas matrizes (01), as colunas representam as coordenadas
cartesianas dos antecedentes do diádico, representado em formas trinomiais nas quais os
vetores de base (gi ou gj) aparecem como conseqüentes.
Resultados análogos seriam obtidos com as representações trinomiais =gjcj=g
jdj
(T=gja
j=bjg
j).
Pondo:
g .g g .gj k jk kjj k jkG G e G G ,kj (011),
escrevemos, relembrando a teoria dos recíprocos:
g g .g g g gj j k
k
jk
k k( ) G G
kj ,
g g .g g g gj j k
k
jk
k
kj
k( ) G G , (j,k = 1,2,...,N).
Logo, por ser = gj gj = Gjk g
k gj = gj gj = Gjk gk gj, escrevemos, para N = 3 por exemplo66:
65Uma matriz só pode ser associada a um diádico ou a um vetor. Aparentemente não é possível essa associação a triádicos, tetrádicos etc. porque estes estão associados a três, quatro ou mais índices. Esse assunto será abordado
no § 03.04 do Cap. IV.
66Duas matrizes de mesma ordem são iguais se são iguais seus elementos correspondentes (os de mesma linha e mesma coluna). Duas matrizes, cujas linhas de uma são as colunas de mesmo nome da outra, são ditas
transpostas; é o caso, por exemplo, das matrizes [ij] e [ji]. Quando duas transpostas são iguais elas são ditas
simétricas; é o caso das [Gij] e [Gji], e o das [Gij] e [Gji],por conseqüência das (011). Quando duas transpostas são opostas elas são ditas anti-simétricas; nesse caso os elementos de sua diagonal principal são todos nulos.
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 184
Poliádicos - Ruggeri
[ ] [ ] ,
G
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
[ ] [ ] ,
G
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
G G G
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 21 31
12 22 32
13 23 33
e, relembrando que g .gj
k
jk (
j
k, deltas de Kronecker, §04.02,I):
[ ] [ ] [ ] ,G G
1 0 0
0 1 0
0 0 1
(012)67.
As matrizes [G**], [G**] e [] são denominadas matrizes métricas contravariante,
co-variante e mista, respectivamente, da base {g1,g2,g3}.
Nota 1:
Deve ser notado que não tem significado falar de uma matriz associada a um diádico sem
mencionar: 1) - a sua natureza, isso é se ela é a co-variante [**], a contravariante [**], a
mista contra/co-variante [**], ou a mista co/contravariante [**]; 2) - a matriz métrica da
base a que ela se refere; 3) - Obviamente, quando a matriz é a mista (qualquer uma delas) a matriz métrica correspondente, qualquer que seja a base, é a matriz unidade. A menção de apenas uma matriz mista, entretanto, não especifica o diádico (exceto se for definida a base).
É fácil, também, mostrar que para N = 3,
,
000
000
000
][][][][][
(013)68.
Teor. 1:
Obtém-se o transposto de um diádico expresso em forma N2-nomial,
simplesmente trocando, em cada uma de suas componentes, o antecedente
pelo conseqüente:
se j
k j
k ,g g então,
T
j
k
k
j ,g g (02).
67As matrizes métricas mistas de qualquer base, todas iguais, são denominadas matriz unidade. 68As matrizes associadas ao diádico nulo, todas iguais, são denominadas matriz zero ou matriz nula.
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 185
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, pois, sendo, na forma das coordenadas mistas, por exemplo, = jkgjg
k,
é, também, = akgk com ak = j
kgj. Então T = gkak = gkjkgj. Mas sendo distributivo o
produto direto de vetores em relação a soma de vetores (Teor.2,§ 02.06), resulta, T =
jkg
kgj , c.q.d..
Corol. 1: As transpostas das matrizes co-variantes e contravariantes associadas a
um diádico são iguais às matrizes homônimas correspondentes
associadas ao transposto de :
])[(][ **TT** , ])[(][ **TT
** , (031)69.
A transposta da matriz mista de certo nome associada a um diádico é
igual à matriz mista do mesmo nome associada ao transposto de .
])[(][ TT
, ou ])[(][
TT
, (03).
Pois, sendo, por exemplo:
k
j
j
k
1
1
2
1
3 1
2...g g g g g g g g g g 1
1
1
2 1
1
3
2
1
e
T k
j k
j 1
1
1 1
2 1
2 1
3 1
3 2
1 2
1 ... ,g g g g g g g g g g 1
temos:
[ ]
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
; [(T
) ]
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
[ ] .
T
Analogamente provaríamos para os demais casos de representação de .
Teor. 2: Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais
díades, têm suas coordenadas respectivamente iguais; e reciprocamente.
Com efeito, expressos os diádicos e em forma N2-nomial em termos das
mesmas díades basais escrevemos, por exemplo:
e j
k
k
j g g j
k
k
jg g .
69Por este corolário, justifica-se a (nossa) nomenclatura: "transposto de um diádico", em relação a: "conjugado de um diádico" (de Gibbs) mencionada no §02.05.
§ 09.02 - Matriz associada a um diádico. 186
Poliádicos - Ruggeri
Pondo kj g
j = u
k e kj g
j = v
k, e sendo = , escrevemos: gkuk = gkv
k. Ora, estando os
diádicos expressos em forma N-nomial com os mesmos antecedentes independentes,
resulta uk = v
k (Teor.2,§ 02.07). Então: j
k j
j
k j
j
k
j
k , isto é , .g g
Sejam agora dois diádicos e expressos em termos das mesmas díades basais e
com coordenadas iguais:
j
k
k
j e g g j
k
k
j
j
k
j
k com g g .
Escrevemos, logo: = gkuk e = gkv
k, com uk = v
k =
kj gj =
kj g
j. Então, = .
Corol. 1:
Dois diádicos iguais, expressos em forma cartesiana, em termos de iguais
díades basais, têm matrizes associadas iguais70.
Teor. 3: A multiplicação de um diádico por um número é operação equivalente à
multiplicação de sua matriz associada por esse número71.
Com efeito, as coordenadas co-variantes ou contravariantes dos seus antecedentes ou
conseqüentes, expressas por ((04),§ 09.01), estarão multiplicadas por esse número; logo, os
elementos da matriz associada ao diádico em (01) estarão multiplicados por esse número.
Teor. 4: A pré-multiplicação pontuada de diádico por vetor é operação equivalente à
pré-multiplicação da sua matriz mista associada co/contravariante
(contra/co-variante) pela matriz coluna co-variante (contravariante)
associada ao vetor72. O vetor produto vem expresso por sua matriz coluna
co-variante (contravariante):
r .r { } [ ] { },
r . r (04).
Pondo, por exemplo:
r g r g R , R e kk
ii i
j i
j , (i, j, k 1,2,... , N),g g
deduzimos:
70Deve ser observado que se um mesmo diádico esta expresso em formas cartesianas homônimas em termos de diferentes díades de base, suas matrizes associadas (de mesmo nome) não são iguais, mas similares; este conceito
será explorado no § 02.04, III.
71Chama-se produto de um número por dada matriz a uma matriz cujos elementos são os elementos correspondentes da matriz dada multiplicados por esse número.
72Chama-se produto de uma matriz A, de ordem MxN, por uma matriz coluna {v}, de ordem Nx1, à matriz
coluna de ordem Mx1, {v'}, cujo elemento da i-ésima linha é a soma dos produtos de cada elemento da i-ésima linha de A pelo seu correspondente da matriz coluna.
r .r ( ) ( ) ( ) , i
j i
j k
k
i
j
k
i
j
k
i
k
k
iR R Rg g . g g g .g g
§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas. 187
Poliádicos - Ruggeri
de onde resulta, considerando a expressão cartesiana co-variante de r : R R i i k
k . Esta
expressão é equivalente a (04), quando se faz (k, i = 1,2,...,N).
Nota 2:
Em pós-multiplicação, escreveríamos:
v v. v v . { } { } [ ],T T (05),
e, no caso específico de (04):
r . r r. r r .
T T T T , donde { } { } [
] .
Caso de diádicos simétricos e anti-simétricos
Se A é diádico simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeie
j, deve ser Aij=Aji. Então, para
i=1,2,3, A12=A21, A23=A32, A31=A13. Resultados análogos seriam obtidos escrevendo-se
A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a duplamente contravariante associadas a um
diádico simétrico são, assim, matrizes simétricas, e apenas estas.
Da mesma forma, se A é diádico anti-simétrico (§ 04.02), pondo A=Aijeie
j, deve ser
Aij=-Aji. Então, para i=1, A11=A22=A33=0 e A12=-A21= A23=-A32=A31=-A13, resultados
análogos podendo ser obtidos escrevendo-se A=Aijeiej. A matriz duplamente co-variante e a
duplamente contravariante associadas a um diádico anti-simétrico são, assim, matrizes anti-
simétricas, e apenas estas.
§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas
Posto que a multiplicação pontuada entre diádico e vetor é associativa em relação a
números, deduzimos, por exemplo, que:
sendo jk
j k,g g então g . .gr s jk r
j k
s(g .g g .g)( ),
isso é,
g . .gr s rs (r, s = 1,2,... , N).,
Similarmente, considerando as outras formas fundamentais de , poderíamos deduzir
expressões análogas para as demais coordenadas do diádico. Como regra geral, diríamos
que uma coordenada de um diádico, expresso em forma cartesiana, pode ser obtida por pré
e pós-multiplicação do diádico pelos recíprocos dos antecedentes e dos conseqüentes de
suas díades fundamentais. Assim:
rs
rs
s
r
r
s
g . . g
g . . g
g . . g
g . . g
r s
r s
r
s
r
s
,
,
,
, (01).
§ 09.03 - Relações entre as coordenadas das formas cartesianas. 188
Poliádicos - Ruggeri
Ora, não sendo independentes as coordenadas co-variantes e contravariantes de
vetores (§ 04, I), podemos esperar não serem também independentes as coordenadas de um
diádico. De fato, substituindo, por exemplo, em (01)1 as expressões de dadas por ((05),§
09.01), deduzimos:
rs rk
k
s
rs rk
kj
js
rs
j
r js
G
G G
G ,
,
, (02),
sendo, conforme já definimos ((01)1,§ 09.02), Grk = g
r.gk = G
kr.
Similarmente, podemos deduzir das (01):
r
s
rk
ks
rs rk
kj
js
s
r rj
js
G
G G
G
(03),
onde Grk = gr.gk.
As fórmulas (02) e (03) são correspondentemente inversas porque, por exemplo, se a
(02)2 exprime as coordenadas contravariantes em função das co-variantes, a (03)2 exprime
as coordenadas co-variantes em função das contravariantes etc.
Tal como com as (02) exprimimos as coordenadas contravariantes em função das
demais coordenadas, poderíamos também exprimir as coordenadas co-variantes em função
de todas as outras coordenadas.
Exprimindo todas as coordenadas de em função apenas das coordenadas mistas,
s
r por exemplo, teríamos:
rs
k
r ks
rs rk s
k
r
s
rk j
k js
G ,
G ,
G G ,
(04).
As expressões (02), (03) e (04) podem ser expressas em forma matricial, e essas
novas expressões podem ser obtidas na tábua de multiplicação seguinte.
Tábua de multiplicação de matrizes associadas a um mesmo diádico
[**
] [**] [*
*] [**]
[**
]= - [G**].[**].[G**] [**].[G**] [G**].[*
*]
[**]= [G**].[**].[G**] - [G**].[
**] [*
*].[G**]
[**]= [**].[G**] [G**].[**] - [G**].[*
*].[G**]
[**]= [G**].[
**] [**].[G**] [G**].[**].[G**] -
§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. 189
Poliádicos - Ruggeri
§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana.
Da consideração das ((05),§ 09.01) obtemos, logo:
E jk
jk jk
jk
j
j
j
jG G , (j, k 1,2,... , N), (01),
tornando-se óbvio que a forma mais simples de se obter o escalar de um diádico é pelas
suas formas cartesianas mistas pois, com efeito, este é o traço73 de qualquer uma das
matrizes associadas (mistas).
Não se deve confundir, entretanto, o traço de uma matriz com o escalar de um
diádico, pois, em geral,
Tr[ ] E Tr [ ] ] ],
Tr[ Tr[
excetuado quando a base a que se refere o diádico é ortonormal ou ortonormada.
Temos também de ((05)1 e (05)3,§ 09.01), as formas mais simples de expressão de
V:
kj
jkkj
jk == ggggV
, (02),
ou, ainda, em forma expandida:
para N = 1, V = o, (021);
para N = 2, 21211221
2112V )(=)(= gggg , (022);
para N = 3, aplicando ((04) e (04)1,§ 04.02),I) e efetuando as somas:
V ])()())[(( 32112
21331
13223321 gggggg
ou (023)74.
V ])()())[(( 32112
21331
13223321
gggggg
Das representações N-nomiais (01) e (011), § 09.01 deduzimos:
;1=N se ,= = 1
11
1
3.ga.ga
2;=N se ),()(=)()( = 21
2121
21
3gg.aagg.aa
.3=N se ),)((=))((= 321
321321
321
3gggaaagggaaa
73O traço de uma matriz quadrada A é igual à soma dos elementos da sua diagonal principal (os da i-ésima linha
e i-ésima coluna); é representado, às vezes, por TrA.
74Pelas expressões (021),(022) e (023) pode-se definir o vetor de uma matriz (co-variante ou contravariante), conceito pouco difundido e pouco utilizado nos tratados de Álgebra Linear e de Cálculo Matricial.
§ 09.04 - Invariantes elementares em forma cartesiana. 190
Poliádicos - Ruggeri
Considerando as expressões ((02) e (021),§ 09.01) deduzimos também, lembrando a teoria
dos recíprocos (§ 03,I):
)(||)(||)( :3N para 321 321
321 ggggggaaa
,
)(||)(||)(321
321
321ggggggbbb
;
para N=2: )(|||| 21 21
21 ggggaa
,
)(||)(|| 21
2121ggggbb
;
para N=1: 11
1 |||| gga
11
1 |||| ggb ,
isso é
3
1,=N para | ,|||)(||)(||
2;=N para | ,|||)(||)(||
3;=N para | ,|||)(||)(||
2121
221221
23212321
gg
gggg
gggggg
(03).
É óbvio, por (03), que:
A CNS para que um diádico, expresso cartesianamente, seja completo, é que
o determinante associado a qualquer uma de suas matrizes seja diferente de
zero.
Para os diádicos anti-simétricos A=-AT tem-se:
).|A||A||A)(|2(
)|A||A||A)(|(2
,0
,0
312
231
123321
312
231
123321
V
3
E
eeeeee
eeeeeeA
A
A
, (04),
resultados compatíveis com ((041), (§ 04.02)). Para os diádicos simétricos nada de
extraordinário se vai acrescentar além do fato de que eles têm vetor nulo; e este pode ser
calculado pelas suas coordenadas duplas contravariantes ou co-variantes.
Algumas observações devem ser feitas no tocante à determinação dos invariantes
elementares de um diádico quando este é dado em forma cartesiana.
Em primeiro lugar, lembremo-nos de que a representação de um diádico por uma de
suas matrizes associadas (a co-variante, a contravariante ou as mistas) deve sempre ser
acompanhada da especificação da base a que ela se refere. A especificação dessa base pode
ser feita pela configuração de seus vetores (em módulo, direção e sentido) e ângulos
mútuos, ou por uma das matrizes métricas dessa base (§ 09.02). Em qualquer caso as
matrizes associadas ao diádico deverão satisfazer as relações ((04),§09.03).
§ 09.06- Multiplicações de diádicos em forma cartesiana. 191
Poliádicos - Ruggeri
Em segundo lugar, observemos que, se dispomos da matriz mista para o cálculo do
vetor de um diádico, este não pode ser realizado pelas expressões (023) porque estas são
válidas para coordenadas co-variantes ou contravariantes do diádico. Mas, de posse da
matriz associada mista, [**], por exemplo, e da matriz métrica [G
**] (ou sua inversa)
poderemos, por ((04)2,§ 09.03), determinar [**
], e somente então, calcular V por (023).
Finalmente, observemos que, sendo 3 e E invariantes de , os determinantes |**| e
|**
| e os traços Tr** e Tr**
associados às matrizes contravariantes e co-variantes de
não são invariantes, mas apenas aqueles das matrizes mistas. Com outras palavras: o traço e
o determinante de uma matriz associada ao diádico nem sempre são iguais ao seu escalar e
ao seu terceiro (apenas os traços e os determinantes das matrizes mistas). Obviamente, tais
determinantes (excluídos os traços) serão invariantes se, e somente se, os vetores de base a
que se referem definem paralelepípedos de volumes unitários. Nesse caso as bases são
denominadas unimodulares e, dessas, as bases ortonormadas são um caso particular.
Novamente devemos observar que, quando a base adotada é ortonormada, as quatro
matrizes associadas ao diádico são iguais; e apenas nesse caso, determinantes e traços são
respectivamente iguais ao terceiro e ao escalar do diádico. Entretanto, nem sempre é
vantajoso, possível e prudente, o uso de bases ortonormadas (§05,Cap.I; §04 e §05,Cap.III).
§ 09.05 - Adição de diádicos em forma cartesiana.
Teor. 1: A adição de diádicos, expressos em forma cartesiana em termos das mesmas
díades basais, é operação equivalente à adição de suas matrizes
associadas75.
Com efeito, sendo, por exemplo,
ij
i j e g g =ij
i j , (i, j 1,2,... , N),g g
deduzimos, agrupando convenientemente e aplicando ((01),§ 04.01):
+ g g g g giij
jij
jij ij
i j( + ) ( ) , donde, [ + ] [ + ]ij ij
[ ]+[ ],
o que, evidentemente, comprova o teorema.
As propriedades já demonstradas da adição de diádicos (§ 01) podem ser também
demonstradas para as matrizes.
§ 09.06 - Multiplicações de diádicos em forma cartesiana.
75Chama-se soma de duas matrizes de mesma ordem, [A] e [B], a matriz de mesma ordem que as matrizes
parcela, [C], cujos elementos são as soma dos elementos correspondentes de [A] e de [B]; escreve-se: [C]=[A]+[B].
Em relação às bases não ortonormadas a matriz associada ao produto de dois
diádicos nem sempre é igual ao produto das matrizes associadas aos diádicos, exceto se as
matrizes forem mistas de mesmos nomes.
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 192
Poliádicos - Ruggeri
Expressões matriciais de .
Se . , são válidas as seguintes fórmulas, que podem ser comprovadas
facilmente:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
. . . .
. . . .
G
G
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
. . . .G
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], G
. . . . (01).
São válidas para as matrizes as propriedades já demonstradas para os diádicos no §
05.03 e no § 05.04. O enunciado dessas propriedades pode ser obtido daqueles trocando-se
neles a palavra diádico por matriz (quadrada), devendo ser observado que no caso da
transposição a matriz pode ser retangular.
•
Temos assinalado certo isomorfismo entre a álgebra dos diádicos e a conhecida
álgebra das matrizes. Esse isomorfismo fica, entretanto, incompleto, uma vez que não se
estuda na teoria das matrizes a operação que poderia ser denominada multiplicação cruzada
entre matriz e vetor, cujo resultado fosse uma matriz (veja § 06).
Este § 09 - Representação de diádicos por matrizes - tem significado prático quando
as funções vetoriais lineares devem estar referidas a uma base. Nesse caso, no estudo de um
problema físico ou geométrico, poderá ser cômoda essa representação numérica
(cartesiana).
Expressões matriciais de Ia e a
Ponhamos I=gigi e a=Ajg
j. Tem-se: Ia=Ajgig
ig
j=(g
1g
2g
3)Aj
ijkgigk, os números
(g1g
2g
3)Aj
ijk sendo as coordenadas duplamente contravariantes do diádico. Efetuando-se as
somas indicadas podemos escrever a matriz [(Ia)**
]. Tem-se:
)(
0AA
A0A
AA0
])[( 321
12
13
23
ggga
(02).
Analogamente provaríamos que
)(
0AA-
A-0A
AA0
])[( 321
12
13
23
gggaI
(021).
Se o vetor a é um dos vetores da base {g*}, por exemplo, a = g3, isso é,
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 193
Poliádicos - Ruggeri
000
001
010
)(A]A[ então, ,A se 3213
33
33
ggggIga (022),
e
000
001
010
)(A]A[ então, ,A se 32133
33 3 ggggIga , (023).
Lembrando ((02)2, §06.02, II), podemos escrever:
)()( v.v.v . Para
quaisquer e postos, por exemplo, na forma
=ijg
igj e =k
mg
kgm, tem-se: .=i
kk
m g
igm ,
isto é, em termos matriciais:
[.]**=[]*
*.[]*
*.
Então, para o produto cruzado v escreveríamos:
][ ][][ ][][
v.v.v , (024).
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas).
Os polinômios homogêneos (nas variáveis independentes X, Y, Z, ... ), também
denominados formas, são os polinômios cujos termos têm todos o mesmo grau. Assim, se
A, B, C, ... são coeficientes (de polinômios),
AX, AX + BY, AX+ BY+CZ , (01),
são formas lineares (ou polinômios homogêneos do grau um);
AX , AX + BY +2CXY, AX + BY +CZ DXY EYZ FZX2 2 2 2 2 2 2 2 2 , (02),
são formas quadráticas etc. Formas quadráticas isentas de termos quadrados são
denominadas retangulares.
Se uma forma tem apenas uma variável independente, como as formas (01)1 e (02)1,
ela é dita unária; se tem duas, como a (01)2 e (02)2, ela é dita binária; se tem três, ternária
etc. Então, por exemplo, (02)2 e (02)3 são, respectivamente, formas quadráticas binária e
ternária.
Consideremos, no E3, por exemplo76, dado diádico, , e os vetores variáveis co-
iniciais x e y; e representemo-los cartesianamente nos vários modos possíveis, a saber:
76 Tudo o que fizermos nesse espaço poderá ser desenvolvido igualmente para os espaços de dimensões 1 e 2.
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 194
Poliádicos - Ruggeri
iji j ij
i j ji
ij
i
j ij
ii i
i ii i
i X X Y Y com i, j
e e e e e e e e
x e e y e e
,
, ,2,3.1
, (03).
Os polinômios
e . .xk kjj j
k jX X k , ,2,31 ,
representados (para cada valor de k) das duas maneiras distintas correspondentes ao
segundo e terceiro membros, são formas lineares nas coordenadas co-variantes ou nas
contravariantes de x. São também formas lineares nestas mesmas letras os polinômios
e . .xk kjj
k
j
jX X k , ,2,31 .
O polinômio
x. .x X X X Xiij
ji
ijj
é uma forma quadrática. Mas esse polinômio é um invariante (independe das mais diversas
representações que se possam dar ao diádico e ao vetor). Se o representarmos, porém, nas
formas (possíveis, evidentemente)
x. .x X X X Xi ji j i
i
j
j , (04),
caímos aparentemente num outro problema pois nem o segundo e nem o terceiro membros
de (04) se encaixam na definição de forma quadrática. De fato, nestas representações as
variáveis não são independentes, pois x2 X Xii estabelece uma ligação entre elas. Como
Xj=XkG
kj, tem-se: x..x=Xi
ijG
kjXk; e lembrando ((041), §09.03): x..x=Xi
ikXk. Assim,
(04) é, apenas, uma forma diferente de expressar-se uma forma quadrática.
*
Representando na forma da soma de sua parte simétrica, sim , com a sua parte
anti-simétrica, ant , podemos escrever:
x. .x x. .x sim ,
posto que, conforme (042), §04.02,
, ant x x. .x: 0, (041).
Então, qualquer que seja o diádico , a forma quadrática x .. x pode sempre ser substituída
por uma forma quadrática equivalente como o diádico (simétrico) igual à parte simétrica de
. Tais formas são denominadas formas quadráticas simétricas. Assim, poderemos
escrever (04) na forma
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 195
Poliádicos - Ruggeri
:,x jjiij
ij
jiiji
sim X)(X2
1X)(X
2
1 .xx..xx. , (042).
Em resumo:
toda forma quadrática x..x pode sempre ser cartesianamente representada
em função das coordenadas contravariantes(co-variantes) do vetor x e pela
parte simétrica da matriz co-variante (contravariante) associadas ao diádico
.
*
Consideremos o polinômio x. . y (nas variáveis representativas das coordenadas
dos vetores co-iniciais x e y) o qual, considerando as representações (03), pode ser
representado nos quatro modos distintos seguintes:
ji
j ijj
iijij
ij
iji YXYXYXYX.. yx , (05).
Esse polinômio x. . y é uma função linear em y porque, se y u v U V , então
x. . y x. .u x. . v U V( ) ( ) ,
isso é,
se y u v U V , o polinômio x. .y é uma combinação linear, de coeficientes
U e V, de polinômios que se obtêm de x. .y substituindo-se y por u e v.
Então esse mesmo polinômio, linear em y, é, também, linear em x.
Definição: (forma bilinear)
Todo polinômio da forma (05), em que é um diádico dado e x e y são
vetores quaisquer, será dito uma forma bilinear do diádico nos vetores x e
y.
Deve ser observado que
, T x y x. . y y. .x, , (06),
porque
.xy..yx. T , (061),
e, evidentemente,
y. .x y. .x T .
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 196
Poliádicos - Ruggeri
Mas
T x. .y y. .x , (062).
Definição: Formas bilineares com diádicos simétricos são ditas formas bilineares
simétricas.
Resulta dessas definições que as formas quadráticas são casos particulares das
formas bilineares. Com efeito, as quadráticas são as bilineares que derivam de (05) onde
se faça y = x.
Ponhamos, lembrando ((03), §04.02),
x y x. . y x. . y, , : ( ) sim ant , (07).
Ora, conforme (061),
x. .y y. .x y. .x ant ant T
ant
e, conforme (062),
x. .y y. .x sim sim .
Como a substituição de y por x em (07) acarreta, lembrando (041), forma quadrática
simétrica apenas pela parcela x. .ysim , diz-se que a forma bilinear simétrica x. .ysim é
uma forma polarizada77 da forma quadrática x. .xsim .
Quádrica centrada.
Consideremos uma forma quadrática representada genericamente por (042). Quando
se dá a x o valor x0, ou seja, quando se especifica certo ponto do espaço (extremidade do
vetor x), a forma assume certo valor, digamos F0. O terceiro e o quarto membros de (041),
por outro lado, mostram (não trivialmente) que é possível encontrar outros vetores co-
iniciais com x, ou outros pontos do espaço, que dêem a essa forma o mesmo valor F0. Ao
conjunto dos pontos x corresponde o conjunto dos pontos simétricos em relação à origem
comum porque os vetores -x também dão à forma o valor F0.
Definição: (quádrica centrada)
O conjunto dos pontos definidos pelas extremidades dos vetores co-iniciais,
x, da forma quadrática simétrica x..x que assume o valor F0, denomina-se
quádrica centrada relativo a F0.
Como o diádico da forma e o valor F0 são genéricos, podemos sempre, sem perda de
generalidade, dizer que
77 A nomenclatura, embora introduzida por via matricial no estudo das cônicas e quádricas, parece ser conhecida como equação de Joachimsthal.
§ 09.07 - Diádicos e polinômios homogêneos (ou formas). 197
Poliádicos - Ruggeri
Quádrica centrada num ponto O é o lugar geométrico dos pontos do espaço,
extremidades dos vetores co-iniciais em O, x, vetores esses que, para dado
diádico , atribuam à forma x. .x o valor +1.
Como toda forma quadrática pode ser escrita na forma simétrica, resulta que
a dado diádico, , está associada de modo unívoco a quádrica centrada
x. .xsim 1, (08).
Mas o contrário não é verdadeiro, isso é, a dada quádrica centrada não está associado um
único diádico. Com efeito, conforme Teor. 8, § 04.02, para que dois diádicos distintos
tenham a mesma parte simétrica, basta que a diferença deles seja um diádico anti-simétrico.
Não cabe aqui desenvolver a teoria das quádricas centradas. Demonstraremos alguns
teoremas a título de aplicação. Uma alteração da dimensão do espaço permite também
deduzir propriedades análogas para as cônicas centradas. A introdução de "coordenadas
homogêneas" permite generalizar a teoria para as quádricas em geral.
Teor. 1: Uma quádrica centrada é interceptada por uma reta do espaço em dois
pontos, reais ou imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou
impróprios.
Se X é um parâmetro e r e s são vetores co-iniciais num ponto O, definindo dois
pontos R e S do espaço, o vetor posicional x do ponto corrente X da reta (relativo a X) que
passa por esses pontos é (1+X)x = r + Xs. A CNS para que esse ponto X pertença à
quádrica é que ele satisfaça (08), isso é,
( ) ( ) (r s . . r s X X X)sim2 1 , (09).
Desenvolvendo esta equação e considerando (062), vem:
( ) ( )1 2 1 0 s. .s r. .s r. .r sim2
sim simX X +1 , (10),
equação do segundo grau em X78 que, resolvida, dará dois valores para X; são eles:
1 1 1 1
1
2
( ) ( ) ( )( )r. .s r. .s s. .s r. .r
s. .s
sim sim sim sim
sim
, (101),
Com esses valores, que representaremos por X1 e X2, podemos construir dois vetores co-
iniciais em O cujas extremidades certamente pertencem à quádrica. Discutindo as soluções
dessa equação, o leitor poderá determinar em que condições esses pontos são reais ou
imaginários, distintos ou confundidos, próprios ou impróprios, bem como o caso em que a
equação (10) seja uma identidade.
78 Diríamos que essa é uma forma diádica de representação da clássica "equação de Jochimsthal" da Geometria Projetiva Algébrica.
§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana.. 198
Poliádicos - Ruggeri
Definição: ( pontos conjugados)
Os pontos R e S serão ditos conjugados em relação à quádrica centrada do
diádico se eles forem conjugados harmônicos em relação aos pontos A1 e
A2 segundo os quais a reta (1+X)x=r+Xs intercepta a quádrica.
Ora, os pontos A1 e A2 estarão harmonicamente separados por R e E se, e somente
se, X1 + X2 = 0, conforme sabemos. Então, de (101), concluímos:
Teor. 2: A CNS para que os pontos R e S, de vetores posicionais r e s, sejam
conjugados em relação à quádrica x. .xsim 1 é que valha um a forma
polarizada de r. . r sim , isso é: r. . s sim =1.
Como (fixo o r) a equação r. . s sim = 1 é linear em s, concluímos, imediatamente:
Corol. 1: É um plano o lugar geométrico dos pontos conjugados de um ponto fixo
em relação a uma quádrica centrada.
O plano a que se refere o Corol. 1 denomina-se plano polar do ponto fixo em
relação à quádrica.
Corol. 2: Se o plano polar de um ponto (em relação a uma quádrica centrada)
passa por um determinado ponto, então o plano polar deste ponto (em
relação à mesma quádrica) passa pelo primeiro.
§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana.
Denotemos por jk o complemento algébrico do elemento k
j (observe a inversão
dos índices) no determinante
| |
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
(01),
determinante este associado à forma cartesiana mista contravariante/co-variante de (§
02.01),
k
j
j
k,g g (02).
§ 09.08 - Adjunto e inverso em forma cartesiana. 199
Poliádicos - Ruggeri
Temos, então:
~
k
j
j
k, g g (03),
e
1 k
j
jk=
1,
3
g g (04).
Com efeito, pondo
v gk k
j
j , temos, de (02), ,k
k v g (05);
logo, lembrando a definição de adjunto (§ 08.01), escrevemos:
)sr)(sr(2
1~ vvgg (06).
Conforme ((04)1,§ 04.02,I), é
m
jkm321
k
s
j
r sr)( ggggvv (07);
conforme ((041)1,§ 04.02,I) é
trst321sr )( gggggg .
Então:
~
1
2. r
j
s
k rst
jkm t
m g g
Para t = 1 e m = 2, por exemplo, temos:
.)(
)(2
1
)(2
1
2
1
21
12
21
32
13
33
12
21
32
13
33
12
12
33
13
32
21jk2
k2
j
3 k3
j
2 2
1jk2rs1k
s jr
gggg
gg
gggg
Fazendo cálculos análogos podemos comprovar (03). A fórmula (04) é conseqüência
imediata de (03) e ((10),§ 08.01).
Poderíamos obter resultados análogos pela consideração das outras três formas de
representação cartesiana de .
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 200
Poliádicos - Ruggeri
A matriz associada a ~
é:
[ ]~
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
, (08),
e denomina-se a adjunta de []. Assim:
"para constituir-se a matriz mista de certo nome do adjunto de um diádico,
basta substituir, na matriz mista transposta de mesmo nome desse diádico,
cada elemento pelo seu respectivo complemento algébrico".
Similarmente, a matriz associada a -1 é, em vista de (04):
[ ] =1
[ ]1 ~
3
.
Definição: (matriz inversa)
[-1] denomina-se a matriz inversa de [],
sendo representada também por []-1. Dada [], a determinação de []-1 é imediata em
vista das fórmulas anteriores
Como a representação cartesiana de um diádico é conseqüência de uma redução
trinomial do mesmo, vemos que as propriedades das matrizes adjunta e inversa da matriz de
um diádico são as mesmas do adjunto e do inverso desse diádico79.
Se fizermos em ((041)3, § 09.03), considerando as ((012), § 09.02), deduzimos:
[ ] [ ] [ ], G G. (09).
o que nos permite concluir serem inversas as matrizes métricas de bases recíprocas.
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma
cartesiana.
O problema consiste em, sendo dadas a matriz métrica de uma base (por inversão
dessa matriz deduzimos a matriz métrica da base recíproca ((09),§09.08)) e a especificação
de uma das matrizes associadas ao diádico (logo, as outras estão determinadas (§09.03)),
determinar as características geométricas desse diádico, isso é, dizer se ele é completo,
planar, linear, uniplanar, ortoplanar, determinar seus planos, direções etc..
79Esses resultados, todos concordantes com o Cálculo Matricial, também justificam a introdução do adjunto na teoria dos diádicos, juntamente com o "segundo" de Gibbs.
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 201
Poliádicos - Ruggeri
Para a resolução do problema proposto é relevante termos em mente as seguintes
Propriedades Gerais.
1°) - Um diádico é incompleto ou completo quando o determinante de
qualquer uma de suas matrizes associadas é nulo ou não nulo,
respectivamente.
2°) - A CNS para que um diádico seja simétrico (anti-simétrico), é que: ou a
sua matriz contravariante ou a co-variante associada seja simétrica (anti-
simétrica), ou que a sua matriz mista de certo nome seja igual à transposta
da matriz mista de nome contrário.
Pois, se a matriz co-variante (contravariante) associada ao diádico é simétrica, a
matriz contravariante (co-variante) correspondente é também simétrica; nesse caso, o vetor
do diádico, dado por ((023)1 ou (023)2, §09.04) é nulo e o diádico é simétrico. No caso das
matrizes mistas, se [ ] [ ] [ ] ji
i j T
j i , então j
ii
jj i
ij g g g g , donde T j
i ji g g ,
conforme (05),§09.01. As recíprocas são de demonstração evidente.
A demonstração para o caso de diádico anti-simétrico é análoga.
Notar que
Um diádico não é necessariamente simétrico (anti-simétrico), se qualquer
uma de suas matrizes mistas é simétrica (anti-simétrica)80.
3°) - O escalar do diádico tem a expressão geral E , : e pode ser
calculado pelas fórmulas
E ii
ii jk
jk jkjkG G ,
o que é garantido por ((01), §09.04).
4°) - Se um diádico é completo (incompleto), seu adjunto é completo
(incompleto); e reciprocamente, porque 3~ ( ) .
32
Os teoremas demonstrados no §08.01 permitirão caracterizar o diádico quanto ao seu
grau de nulidade. Assim, esse problema se reduz à caracterização do diádico ~
representado por uma de suas matrizes associadas. Na forma mista esta matriz é dada por
((08), §09.08), cujo elemento genérico é (notar a inversão da posição dos índices j e k):
k
jcomplemento algébrico de j
k em [
].
80 Essa questão será abordada mais a diante neste parágrafo. No § 04.01,A, III, fórmulas (10) e (11), esse
aspecto poderá ser observado no caso de diádico anti-simétrico; ou no § 04.01, B,III, Teor.4, no caso de diádico simétrico.
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 202
Poliádicos - Ruggeri
Na forma co-variante, a matriz associada a ~
tem elemento genérico:
jk ( )g g g1 2 32 complemento algébrico de kj em [ ];
e na forma contravariante:
jk ( )g g g1 2 3 2 complemento algébrico de kj em [ ],
sendo:
~ jk
j k jk
j kg g g g .
Exemplos:
1) Se em determinada base (qualquer) a matriz contravariante associada ao
diádico (incompleto) é
.
36 1836
18 9 18
3618 36
)(][ então ,
524
282
42 5
][ 2321
ggg
2) Analogamente, se
.
6 6 3
221
6 6 3
)(][ então ,
563
2 3 1
664
][ 2321~
ggg
Para a caracterização dos diádicos planares, lineares e seus variantes aplicaremos os
critérios gerais listados a seguir.
Caracterização dos diádicos lineares.
Serão lineares todos os diádicos em cujas matrizes (qualquer uma delas) se constate:
1) a ocorrência de apenas duas filas (linhas ou colunas) paralelas nulas;
2) a ocorrência de uma fila nula, paralela a duas outras proporcionais;
3) a ocorrência de três filas paralelas proporcionais.
Deve ser observado que em todas as matrizes associadas a um mesmo diádico
(linear) verifica-se um dos casos acima citados. Assim, por exemplo, se em uma das
matrizes duas colunas são nulas, numa outra as colunas poderão ser proporcionais.
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 203
Poliádicos - Ruggeri
Exemplos:
1)
3 6 6
2 2
3 6 6 1 1 1
1
1 1 1
1 1 1, ,
matrizes com três filas paralelas proporcionais;
2)
1
1
1
,
0 2
1 0 2
0 0 0
0 2 2
0 1
0 1
,
matrizes com uma coluna nula, paralela a duas outras proporcionais;
3)
0 0 2
0 0 1
0 0 3
0 0 2
0 0 0
0 0 0
,
,
matrizes com apenas duas colunas paralelas nulas.
Caracterização dos ortolineares.
Estes diádicos são lineares (caso anterior) e têm escalar nulo.
Exemplos:
1) - o de matriz mista
211
000
422
][ , numa base qualquer.
2) - o de matriz co-variante
[ ]
12 18 12
0 0 0
6 9 6
,
na base de métrica co-variante
[ ] .G
2 2 1
2 5 1
1 1 2
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 204
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, pois, sendo: [ ] [ ] [ ] G
. , e
[ ] [ ]G G
1 19
9 3 3
3 3 0
3 0 6
,
encontramos:
E ij
jkG
1
912 9 18 3 12 3 6 3 9 0 6 6) 0( .
Notar que [ ] tem uma linha nula, as duas outras paralelas proporcionais, e traço
não nulo (veja final do § 09.04).
3°) - Analogamente, é ortolinear o diádico de matriz co-variante
000
000
031
][
,
na base de métrica co-variante idêntica à do exemplo anterior. Observa-se novamente, pela
análise de [ ] , que o diádico é linear, mas seu escalar (um invariante) não é traço de
[ ] (que vale - 1); pois: E jk
jkG 0, conforme ((01), § 09.04).
Caracterização dos planares.
Relativamente à sua matriz associada (qualquer uma delas) caracterizam-se estes:
1°) - pela ocorrência de uma fila de coordenadas nulas e as outras duas filas
paralelas não proporcionais; caso em que um dos vetores do motivo do diádico (§ 02.07) é
o vetor nulo e os outros dois não são paralelos;
Exemplo:
3 0 0
A 3 0
B C 0
,
2°) - pela ocorrência de apenas duas filas paralelas proporcionais, caso em que
apenas dois dos vetores do motivo são paralelos.
Exemplos:
2 0
0 3 0
2 2 1
1
1 0 1
1 1 3
1 0 1
2 1 1
2 1 1
2 2 1
, , .
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 205
Poliádicos - Ruggeri
3°) - pela ocorrência de uma fila que é uma combinação linear das outras duas; caso
em que os três vetores do motivo são coplanares, mas não paralelos.
Exemplos:
4 6 6
1 3 2
3 6 5
, (a terceira linha é igual à metade da primeira subtraída da segunda);
0 2 3
10 6 5
5 4 4
, (a terceira linha é igual à semi-soma das duas primeiras).
Caracterização dos uniplanares e dos unilineares
Observemos inicialmente que, conforme Corol. 2, Teor. 4, § 04.02: todo diádico
planar (linear) simétrico é uniplanar (unilinear); mas existem diádicos uniplanares que não
são simétricos. Além disso, se a matriz mista associada a um diádico é simétrica (anti-
simétrica) o diádico não é simétrico (anti-simétrico) necessariamente. Assim se {a,b,c} e
{a*,b*,c*} são bases recíprocas e )N( bccb , com
[ ] ,
0 0
0 0
0
0
N
N 0
T
, não obstante ser [ ] [ ] .
T Analogamente, se com )N( bccb
[ ] ,
0 0
0 0
0
0
N
N 0
T
, não obstante ser [ ] [ ] .
T Isto se justifica porque as matrizes associadas são
as mista.
Entretanto se um diádico estiver representado pela sua matriz contravariante, ou por
sua matriz co-variante, a constatação de sua uniplanaridade poderá ser feita pela simples
verificação da unilinearidade do seu adjunto. Com efeito, a unilinearidade de um diádico
dado por sua matriz contravariante, ou por sua matriz co-variante, é constatada pela
condição de que qualquer uma dessas matrizes tenha todos os elementos nulos, exceto um,
e apenas um, pertencente à diagonal principal.
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 206
Poliádicos - Ruggeri
Exemplo:
Digamos que a matriz contravariante de (na base {g1,g2,g3}) seja
[ ] .
3 0 0
1 3 0
0 0 0
Que é planar é obvio, porque uma das filas (linha ou coluna) é nula e as outras duas não
são proporcionais. O adjunto de , ,~
porém, tem matriz co-variante
[ ] ,
0 0 0
0 0 0
0 0 9
isso é, ~
, 93 3
g g diádico obviamente unilinear. Logo, é uniplanar (Corol.4, Teor.2, §
08.01). Deve ser observado ainda, neste exemplo, que, não obstante ser uniplanar, não é
simétrico:
3 3 3 31 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2g g g g g g g g g g g gT
.
Exercício:
Comprovar que é uniplanar o diádico que na base ortonormada {ijk} tem matriz
associada
[ ] .
ijk
0 0
0 0
0
sen
cos
sen cos
,
e especificar seus planos.
Caracterização dos ortoplanares.
O ortoplanar é caracterizado por ter adjunto ortolinear (Corol.4,Teor.1,§ 08.01).
Exemplos:
1°) [ ] , ] .
1 2
10 5
5 4
[
5 2 5
25 10 25
15 6 15
~
3
5
5
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 207
Poliádicos - Ruggeri
A matriz mista [ ]
~ tem três filas proporcionais e tem traço nulo; logo, o diádico
~ é
ortolinear e, portanto, é ortoplanar.
2) [ ] ] .~
0
0
0 0
A 0
B C 3
, (A 0); [
0 0 0
3A 0 0
AC 0 0
A matriz [ ]
~ tem apenas duas colunas nulas (por hipótese A0); logo
~ é diádico
ortolinear porque é linear e tem escalar nulo (nesse caso o traço de [ ]
~ é o escalar de
~
).
3) - O diádico de matriz co-variante [ ] ,
4 2 4
4 2 4
5 4 5
na base de matriz métrica
co-variante [ ] ,G
2 2 1
2 5 1
1 1 2
é diádico ortoplanar. Porque, sendo
[ ] [ ]
~
6 0
0 0
6 6
6
0
0
,
e kjjk~ gg , tem-se:
E
~ jk
jkG 6 2 6 2 6 1 6 1 0,
isso é, o adjunto de é ortolinear (é linear e tem escalar nulo); logo, é ortoplanar. (Notar
que o traço de [ ]~
é -6 e não representa o escalar de ~
).
Os diádicos antitriangulares e sua caracterização.
Vimos (Corol.1, Teor.7, § 05.04) que se um diádico é ortoplanar e tem escalar
nulo, existe uma base ortonormada { , , }i j k em relação a qual fica reduzido a uma forma
tal, que:
jkj..kiki..kiji..j ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ( TTTT
e reciprocamente. Então, nessa base - em que i é do plano dos conseqüentes de T, k é do
plano dos antecedentes e j é o vetor unitário da interseção desses planos, a matriz (única)
associada a T é:
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 208
Poliádicos - Ruggeri
[ ]
,
T T
T T
0 0 0
0 0
0
j. . i
k. . i k. . j
(01),
donde
[ ]
,
0
0 0
0 0 0
i. . j i. . k
j. . k (02).
Definição: (diádico antitriangular)
Em vista de (01) e (02), o diádico ortoplanar de escalar nulo será
denominado diádico antitriangular81 ; a esse nome poder-se-á acrescer o
vocábulo "superior" ou "inferior" quando se pretender especificar a posição
do triângulo de elementos não nulos, em relação à diagonal principal.
Exemplos:
1°) - Se em certa base (qualquer), [ ] ,
0
2
2
1 0
2 2
3 2
o diádico correspondente,
, é antitriangular. Que E 0 é evidente; provemos que é ortoplanar. Temos:
81Justifica-se o nome porque as clássicas matrizes triangulares são aquelas que apresentam elementos todos nulos situados apenas de um dos lados da diagonal principal.
[ ] ,
2 2
0 0 0
2 2
2
2
isso é, ~
, o adjunto de , é ortolinear (linear de escalar nulo); logo, é ortoplanar.
2°) - O diádico de matriz co-variante [ ]
1 2 2
3 1 1
6 2 2
na base de métrica co-
variante
[ ]G
1 2
2 1
1 5
2
1
2
é antitriangular.
§ 09.09 - Caracterização geométrica dos diádicos, dados em forma cartesiana. 209
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, [ ] ] [ ][ ] .G
9 5
7 6 4
5 4 3
, e [ G
0 1 1
1 0 0
1 0 0
7
Sendo
[ ] ] ,
T ~
0 1 1
1 0 0
1 0 0
e [
0 0
1 1
1 1
0
0
0
vê-se que ~
é ortolinear (linear de escalar nulo), isso é, é ortoplanar. Mas E 0;logo
é antitriangular. Se pusermos
)22(63
3212
3211
gggrgggr
32
2
11ggs
gs
escreveremos: iisr (i=1,2), o plano dos antecedentes sendo ortogonal ao plano dos
conseqüentes ( 21 rr é ortogonal a ) 21 ss . Denotando por i k e os unitários das
normais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de , respectivamente, podemos
comprovar, não sem algum trabalho, que:
.22ˆ
,17
2ˆˆˆ
),71012(17
1ˆ
321
1
321
gggk
gikj
gggi
Então, em relação a {, , }i j k , a matriz de é:
016
0017
21000
17
4
0ˆˆˆˆ
00ˆˆ
000
][ ijk
j..ki..k
i..j
, pois: 17
84ˆˆ i..j , 17
24ˆˆ i..k , 17
4ˆˆ j..k .
*
Exercício:
Se M=ajej=A
ijeiej é um diádico de Moreira: A
12A
23A
31=A
21A
13A
32; e reciprocamente.
Mostrar, então, aplicando a condição ((02), §03.03), que o diádico de matriz contravariante
associada
433
653
631
,
em relação à base {e*}, é um diádico de Moreira.
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 210
Poliádicos - Ruggeri
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de
variáveis escalares.
Uma equação vetorial de três variáveis escalares (§ 03,I), do tipo
a b c oX + Y + Z = , (01),
onde a, b e c são vetores dados não paralelos (logo, não nulos) e independentes das letras
X, Y e Z, é dita uma equação homogênea. As letras X, Y e Z, cujos valores estão a
determinar, são ditas as incógnitas da equação; um conjunto delas que torne (01) uma
identidade é dito o conjunto solução de (01).
Obviamente, toda equação homogênea admite a solução X = Y = Z = 0; esta é
denominada a solução nula ou trivial de (01). Uma CNS para que (01) apresente solução
diferente da trivial é que os vetores a, b e c sejam coplanares, conforme ((043),§ 03.02,I).
Se os vetores a, b e c são coplanares e não paralelos existem infinitos conjuntos
solução para a equação (01), nenhuma incógnita sendo nula. Quando dois quaisquer dos
vetores são paralelos a equação (01) padece de certa singularidade, não muito relevante.
Uma equação homogênea em que os três vetores são paralelos implica, necessariamente, a
solução indeterminada. Com efeito, a equação seria da forma (AX+BY+CZ) a = o, com A,
B e C constantes; logo, AX+BY+CZ = 0, isso é, X, Y e Z indeterminados.
Procuremos inicialmente uma solução essencialmente geométrica para a equação.
O plano dos vetores a, b e c é um subespaço do espaço tridimensional, bastando dois
dos vetores, digamos a e b, para caracterizá-lo. Designando por a* e b* os seus recíprocos
- ambos facilmente determináveis (§ 03.02,I) - podemos multiplicar escalarmente ambos os
membros de (01) por esses vetores e transpor termos para obtermos, sucessivamente:
)Z(Y-)Z(X-
c.bc.a
, (02).
Observemos por (01) que se um terceto (X,Y,Z) é solução dessa equação, então
(MX,MY,MZ), M = número real arbitrário 0, é também solução da mesma. Isto significa
que, em (02), podemos atribuir um valor arbitrário a Z para obter qualquer um dos infinitos
tercetos solução da equação. Se, entretanto, impusermos que os números X, Y e Z
satisfaçam a determinada relação arbitrária,
F(X,Y, Z) 0, (03),
a equação (01) admitirá um número finito de soluções. Se (03) for uma relação linear a
solução de (01) será única.
Podemos abordar a solução geométrica de (01) de outro ponto de vista. Indexando as
letras, podemos escrever a equação na forma:
a a a a o1
1
2
2
3
3
i
iX + X + X X , (04),
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 211
Poliádicos - Ruggeri
sendo
( ) .a a a1 2 3 0
Se x é um vetor que em relação a uma base {g1,g2,g3} tem coordenadas Xi, escrevemos:
x g x.g X , donde, Xi
i
i i (05).
Logo, (04) pode ser escrita na forma:
a g .x a g .xi
i
i
i( ) ( ) 0.
Pondo-se
a gi
i3
, com 0, (06),
resulta a expressão diádica equivalente a (04):
.x o= . (07).
Assim:
Toda equação vetorial homogênea de três variáveis escalares, do tipo (04),
pode ser representada, em relação a uma base virtual, por uma equação do
tipo (07), onde: 1º) o diádico , planar, tem por antecedentes os vetores da
equação (04); 2º) o vetor x, a incógnita, tem por coordenadas, naquela base,
os coeficientes Xi em (04).
Posto que, então, seja diádico planar - no caso com antecedentes dependentes - a
incógnita x de (04) é transformada num vetor do plano dos antecedentes. O adjunto de ,
linear, usado como pós-fator, transforma qualquer vetor r de E3 num vetor ortogonal ao
plano dos antecedentes de (Teor.1,§ 08.04); porém, usado como pré-fator, transforma
qualquer vetor num dos infinitos vetores solução de (07). Com efeito, temos, lembrando
((11),§ 08.01) e que 3 = 0:
. . r . r r o( ) ( . ) .~ ~ 3
Então qualquer vetor paralelo a ~
. r é solução de (07) e, portanto, de (04).
Temos, ainda:
~ ),()(
2
1))((
2
1jik
ijk321ji
ji aaggggaagg (08),
e
~
m. g 1
2( ) (
1 2 3 ijk
i j m kg g g a a g g ) .
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 212
Poliádicos - Ruggeri
Um vetor paralelo a ~
m. g é, então, por exemplo:
x. g
g g g
~
m
1 2 3( )
1
2(
ijk
i j m k a a g g) .
Ora, se n é unitário da normal ao plano dos antecedentes de podemos escrever o número
(aiajgm) na forma |ai||aj|sen(ai,aj) n .gm; logo:
x g a a a a n.gk i j i j m| || |sen( , )( ) (i j k 1,2,3). 82
Então, um vetor solução de (07) é
xa a
ag
sen( , )
| | i j k 1,2,3,
i j
kk (09),
sendo x a a a n.g x| || || |( ) .3 m1 2
Procuremos, agora, uma solução algébrica para a equação. Se pusermos, em relação
à base {g1,g2,g3}:
a g a a ai i
j
j 3, com ( ) 0, 1 2 (10),
o diádico será escrito na forma ((02),§ 09,08), e a equação (04) na forma:
i
j iX 0 (i, j 1,2,3), (11);
ou, na forma expandida:
1
1 1
2
1 2
3
1 3
1
2 1
2
2 2
3
2 3
1
3 1
2
3 2
3
3 3
X + X + X 0
X + X + X 0
X + X + X 0,
(12).
Em (12) temos um sistema de equações lineares, homogêneas, cujo determinante é nulo
porque a matriz do sistema, cujas colunas são formadas pelas coordenadas dos vetores ai na
base {g1,g2,g3}, é:
82Observar que não se aplica, aqui, a convenção somatória porque os índices repetidos estão todos no mesmo nível.
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 213
Poliádicos - Ruggeri
[ ]
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
, e
| | 0.
Temos também:
[ ]T
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
2
3
3
, donde,
[~
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
] .
Pondo ((03).§ 09.08) na forma
~
k n
k n( g g ), (14),
e comparando esta expressão com (08), vemos que as linhas de [~
], representadas também
pelos vetores kng
n em (14), são proporcionais entre si porque os vetores ji aa em (08)
são todos ortogonais ao plano dos antecedentes de (e, portanto, paralelos)83. Isto, aliás,
também já sabíamos (§ 09.09) porque ~
é linear.
Como ~
.gm é paralelo ao vetor solução do sistema, de (14) deduzimos:
~
m m
k
k ,. g g
isso é: qualquer coluna de [~
] é paralela ao vetor solução.
Resulta, então, facilmente, a seguinte regra para a determinação da solução de (12):
já tendo escrito a matriz []T, as coordenadas do vetor x, solução do sistema,
são os complementos algébricos dos elementos de uma qualquer de suas
colunas.
Exemplo numérico.
Seja resolver o sistema homogêneo, de determinante nulo:
1X +1X + 0X 0
+9X + 3X + 6X 0
+8X + 0X + 4X 0,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(15).
83Isto comprova um clássico teorema: "Em todo determinante nulo os complementos algébricos dos elementos de uma fila são proporcionais aos complementos algébricos dos elementos correspondentes de outra fila paralela".
§ 09.10 - Resolução das equações vetoriais homogêneas de variáveis escalares. 214
Poliádicos - Ruggeri
Tem-se logo:
[ ] ,T
9 8
1 3 0
0 6 4
1
donde, considerando a terceira coluna, por exemplo:
{ } [xT
9
0 6
1 9
1 3 6 12] 6 [1 1 2],
1 3
0 6
16
vetor solução do sistema.
Verifiquemos a proporcionalidade das colunas de [~
]:
2ª coluna:
{ } [
x
T
8
0 4
1 8
1 0 4 8] 4 [1 1 2];
1 0
0 4
14
1ª coluna:
{ } [
x
T
8
6 4 9 8
3 0 12 24] 12 [1 1 2]
3 0
6 4
912
sendo, obviamente, x x x| | | | , todos soluções de (14).
Similarmente podem ser resolvidos os sistemas:
1X +1X + 0X 0
9X +1X + 6X
8X + 0X + 6X
3X +1X + 0X
9X +5X + 6X
8X + 0X + 2X 0,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0,
0
0 (16).
É fácil, agora, analisar certas particularidades já aludidas no início deste parágrafo.
No caso em que b c a a| | | | (ou )2 3 por exemplo, deduzimos resultados análogos com
algumas particularidades não muito relevantes. Assim, as duas últimas linhas de []T são
proporcionais, o que acarreta a primeira linha de [~
] com elementos nulos. Então, o vetor
solução tem como primeira coordenada o número zero, sendo, pois, solução da equação,
qualquer vetor do plano (g2,g3).
§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. 215
Poliádicos - Ruggeri
No caso em que os três vetores são paralelos, todas as linhas de []T são
proporcionais ( é linear) e todos os elementos de [~
] são nulos (~
= ), resultado que,
aliás, já conhecíamos (Corol.2,Teor.2,§ 08.01). Nesse caso, então, um vetor solução é o
vetor zero (que corresponde à solução trivial). Por outro lado, se escrevermos: ai = uAi,
então,
.x o u g .x (A ) ,i
i
isso é, pondo
u.gu.aga ii
ii )(A ,
deduzimos:
( ) 0.u. .x
Logo:
Se (g1g2g3)0, se = aigi é linear, e se u é o unitário que define a direção
dos antecedentes de , então qualquer x do plano ortogonal ao vetor û. é
solução da equação .x = o.
*
Exercício: Resolver o sistema
2X + 4X + 6X 0
X + 2X + 3X 0
3X + 6X + 9X 0.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
*
§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial.
Para ampliar a harmonia do Cálculo Poliádico com o Cálculo Matricial é necessário
definir novas operações para este último visando a tradução das duplas multiplicações de
diádicos por meio das matrizes que lhes são associadas84.
Definição: (duplo produto pontuado de duas matrizes)
Chamaremos duplo produto pontuado de duas matrizes A e B, de mesmas
ordens, e o representaremos por A : B, o número que se obtenha somando-se
todos os produtos dos seus elementos correspondentes.
84 Uma ampliação dessa operação será feita no § 06.02, IV.
§ 09.11 - Dupla multiplicação pontuada matricial. 216
Poliádicos - Ruggeri
Assim, se A e B são de ordem M x N e têm elementos genéricos correspondentes Aij e Bij,
então:
[A] [B] A B A B A B ... A Bi ji j
1111
1212
MNMN: , (01).
A dupla multiplicação pontuada matricial é a operação que tem por fim
determinar o duplo produto pontuado de duas matrizes. É uma operação sempre possível e
unívoca, e goza das mesmas propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos.
Particularmente, lembrando ((01),§ 09.04), tem-se:
][Tr][Tr]G[][]G[][]G[][][][
:::G: , (011).
Escrevendo
i ji j i j
i j ji
ij
i j i
j e e e e e e e e
temos, por definição de norma de um diádico (§ 07.02):
|| || i j
i j j
i
i
j: , (01),
isso é:
A norma de um diádico vale a soma dos produtos de suas coordenadas
correspondentes de nomes contrários.
Em termos matriciais escrevemos:
|| || [ ] ] [ ]
[ [ ]
: : , (011);
então:
A norma de um diádico - um número sempre positivo - é igual ao duplo
produto pontuado de suas matrizes associadas de nomes contrários85.
Ž
Surge espontaneamente a necessidade da definição de uma operação entre matrizes
quadradas 3 x 3, de resultado matriz quadrada 3 x 3, que pudesse representar a matriz
associada ao duplo produto cruzado de dois diádicos a partir das matrizes 3 x 3 associadas
aos diádicos fatores.
85Quando o espaço das matrizes é referido a bases ortonormadas, a operação de dupla multiplicação de uma matriz por si própria - que define a norma dessa matriz - caracteriza esse espaço como euclidiano.
Consideremos a expressão geral ((03), § 07.01) que dá o duplo produto cruzado de
dois diádicos e em função deles próprios (de seus transpostos e de seus escalares) e de
I:
E
TTTE
TE
TTTTEE
)(++ ...
(02).
§ 10.01 - Espaço diádico. 217
Poliádicos - Ruggeri
Ora, o elemento genérico da matriz associada a é a soma dos elementos
correspondentes das matrizes associadas aos vários diádicos parcela, EE , TT . etc.
Pondo j
i
i
j
j
i
i
j e e e e e , deduzimos de (02),
js
si
j
iEEj
i
j
i) () ( .e.e
i
s
s
j
E i
j
E i
j
n
m
m
n
i
j , (021).
A segunda parcela em (021), i
s
s
j , representa o elemento da i-ésima linha e j-ésima
coluna do produto [ ]
T
T[ ]
. . Analogamente, a terceira parcela, i
s
s
j , representa o
elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto [ ]
T
T[ ]
. . A última parcela é
representada por ( ] [ [ ] )[ ]
T
: . Então, lembrando ((031), § 09.02):
T
T
T
T EE
][][][][] [ ..
) ][ ][ (][][
T E
T E : , (03).
Portanto:
A matriz mista de certo nome associada ao duplo produto cruzado de dois
diádicos se expressa em função de operações com as matrizes mistas de
nome contrário associadas aos seus transpostos.
§ 10 - ESPAÇO DIÁDICO E BASES DIÁDICAS.
§ 10.01 - Espaço diádico.
O conjunto de todos os diádicos, , etc., criados dentro da Geometria Euclidiana,
para os quais estão definidas as operações de multiplicação por número real e de adição,
como no § 02.02 e no § 04, respectivamente, a primeira operação gozando das
propriedades:
...,AA...)A(
...,BA...)+B+A(
,AB)()A(B
, 1
e a segunda, das propriedades
,)(
,
,
),()(
§ 10.01 - Espaço diádico. 218
Poliádicos - Ruggeri
constitui um espaço linear montado sobre a Geometria Euclidiana. Por serem diádicos os
seus elementos, chamá-lo-emos também de espaço diádico86. Esse espaço, entretanto, não
pode conter as figuras em geral da Geometria Euclidiana, nem o espaço dos vetores.
O conjunto dos diádicos lineares e unilineares, planares e uniplanares (§ 03.01),
formam espaços diádicos particulares (subespaços) dentro da Geometria Euclidiana.
Para os conceitos que serão emitidos a seguir faltará provisoriamente o importante
suporte da interpretação geométrica com o qual vínhamos respaldando a teoria; quando for
possível esta interpretação, ela poderá ser extremamente complexa (ver § 10.03 e
seguintes). A teoria será, então, exposta em forma essencialmente algébrica, mantendo
espetacular analogia com as teorias vetoriais, até que se introduzam novos conceitos
geométricos.
Subespaços diádicos multiplanares ou Multiplanos.
Dados G diádicos i, podemos ordená-los e dispô-los mentalmente em ordem cíclica
positiva (horária) nos vértices de um G-ágono regular. Interessa-nos pesquisar a existência
de G números Mi, não simultaneamente nulos (nsn), com os quais possamos constituir a
combinação linear desses diádicos: iiM .
Escrevamos cada um dos diádicos i, por hipótese gerados do E3, em relação às
bases vetoriais recíprocas {e*} e {e*}, nas formas trinomial e cartesiana mista87 (co-
variante /contravariante) seguintes :
i ik
k a e , (i = 1, 2, ..., G e k = 1, 2, 3), (01),
e
i
j
i k j
kA e e , (i = 1, 2, ..., G e j, k = 1, 2, 3), (02),
a cada diádico i estando associada a matriz 3 x 3
[ ] i
1
i 1
1
i 2
1
i 3
2
i 1
2
i 2
2
i 3
3
i 1
3
i 2
3
i 3
A A A
A A A
A A A
, (021).
Temos, também, evidentemente, partindo da expressão iiM :
j G: ( Mj i
i1 0,2,... , ) : , (03).
A combinação linear em referência é, então, relativamente às (01), equivalente ao sistema
homogêneo de 3 equações vetoriais,
86 Na linguagem da Álgebra Linear, o espaço diádico é um "espaço vetorial" cujos "vetores" são diádicos.
87 É evidente que poderíamos escrevê-los também nas formas cartesianas duplamente co-variantes e duplamente contravariantes.
§ 10.01 - Espaço diádico. 219
Poliádicos - Ruggeri
M M M M
M M M M
M M M M
1 2
21
3
31
G
G1
1 2
22
3
32
G
G2
1 2
23
3
33
G
G3
a a a a o
a a a a o
a a a a o
11
12
13
...
...
... ,
(011),
ou, relativamente às (02), ao sistema linear homogêneo de 9 equações algébricas,
A M A M A M ... + A M
A M A M A M ... + A M
.
.
A M A M A M ... + A M
1
1 1
1 1
2 1
2 1
3 1
3 1
G 1
G
1
1 2
1 1
2 2
2 1
3 2
3 1
G 2
G
3
1 3
1 3
2 3
2 3
3 3
3 3
G 3
G
0
0
0,
. (022),
ou, ainda, relativamente às (03), ao sistema de G equações algébricas lineares,
( )M ( )M ( )M ... + ( )M
( )M ( )M ( )M ... + ( )M
.
.
( )M ( )M ( )M ... + ( )M
1 11
1 22
1 33
1 GG
2 11
2 22
2 33
2 GG
G 11
G 22
G 33
G GG
: : : :
: : : :
: : : :
0
0
0
.
,
(031).
A esses sistemas podemos associar, respectivamente:
1) - a matriz 3 x 9, de elementos vetores, cuja i-ésima coluna é formada com os
antecedentes dos diádicos i:
a a a a
a a a a
a a a a
11 21 G1
12 22 32 G2
13 23 33 G3
31 ...
...
...
, (013);
2) - a matriz numérica 9 x G,
A A A A ... A
A A A A ... A
A A A ... ... A
... ... ... ... ... ...
A A A A ... A
A A A A ... A
1
1 1
1
2 1
1
3 1
1
4 1
1
G 1
1
1 2
1
2 2
1
3 2
1
4 2
1
G 2
1
1 3
1
2 3
1
3 3
1
G 3
3
1 2
3
2 2
3
3 2
3
4 2
3
G 2
3
1 3
3
2 3
3
3 3
3
4 3
3
G 3
, (023),
§ 10.01 - Espaço diádico. 220
Poliádicos - Ruggeri
cuja i-ésima coluna, imaginada dividida essa matriz em três blocos horizontais de três
linhas cada um, tem para elementos do primeiro bloco os elementos correspondentes da
primeira linha da matriz (021) associada a i, para elementos do segundo bloco os
elementos correspondentes da segunda linha dessa matriz, e para os do terceiro bloco os da
terceira linha; 3) - a matriz G x G
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
... ...
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( ) ... ( )
1 1 1 2 1 3 1 G
2 1 2 2 2 G
G 1 1 G 1 2 G 3 G 1 G
G 1 G 2 G 3 G G
: : : :
: : :
: : : :
: : : :
... ... ...
1
, (032).
Definições: (matriz associada e matriz métrica de G diádicos)
A matriz de elementos vetoriais aik, dada por (013) e a de elementos
numéricos dada por (023), ou suas transpostas, serão denominadas matrizes
associadas aos G diádicos. A matriz simétrica (032), de elementos i:
j será
denominada matriz métrica do conjunto dos G diádicos.
Examinemos o sistema vetorial (011) que representa combinações lineares entre os
correspondentes antecedentes dos i.
Imaginados os G vetores de cada uma das combinações dispostos co-inicialmente
num ponto O do espaço, algumas hipóteses relativas às eventuais singularidades
(coplanaridade e paralelismo) de grupos desses vetores podem ser aventadas:
1)- Se G = 2, os correspondentes antecedentes de 1 e 2 são paralelos.
Nesse caso os diádicos são ditos paralelos (e já foram definidos no § 02.02). Devemos
notar que esses diádicos podem ser completos (Fig. 10.01,a)), planares (Fig. 10.01,b)) ou
lineares.
2)- Se G = 3, os correspondentes antecedentes de 1, 2 e 3 são coplanares.
§ 10.01 - Espaço diádico. 221
Poliádicos - Ruggeri
Nesse caso, como no anterior, os diádicos poderão ser completos, planares ou lineares.
Quando completos, definem uma estrela de (no máximo) 12 planos: três correspondentes a
cada diádico completo (no total, 9) e um correspondente a cada combinação (no total, 3),
Fig.10.02.
Diremos, por isso, que esses três diádicos são dodecaplanares ou, simplesmente,
12-planares.
Quando um, dois ou os três diádicos são incompletos a estrela definida tem,
respectivamente, 10, 8 e 6 planos no máximo; e os três diádicos são ditos decaplanares (ou
10-planares), octoplanares (ou 8-planares) e hexaplanares (ou 6-planares).
Além disso, poderá acontecer também que dois dos diádicos, ou todos os três, sejam
paralelos. Nesse último caso os tercetos de antecedentes correspondentes estarão dispostos
segundo as arestas de um triedro desde que os três diádicos sejam completos (Fig.
10.03,a)); os três diádicos serão ditos triplanares (ou 3-planares).
Esses antecedentes poderão, ainda, estar dispostos segundo duas retas concorrentes,
ou segundo três retas concorrentes coplanares (Fig. 10.03,b)) se todos os diádicos forem
planares, caso em que serão ditos uniplanares.
Finalmente, esses vetores poderão estar dispostos segundo uma única reta se todos
os diádicos forem lineares, e os três diádicos serão ditos unilineares.
§ 10.01 - Espaço diádico. 222
Poliádicos - Ruggeri
3)- Se G = 4, três casos gerais podem ocorrer (em cada uma das três combinações
lineares) com relação aos quatro antecedentes dos diádicos i:
a)- eles são não coplanares (Fig. 10.04,a));
b)- apenas três são não coplanares, o quarto vetor podendo ser paralelo a
um dos planos definidos pelos anteriores (Fig. 10.04,b)), ou, mesmo, ser paralelo a um dos
vetores anteriores (Fig. 10.04,c));
c)- os quatro vetores são coplanares, podendo ocorrer dois paralelos, dois
pares paralelos, três paralelos ou quatro paralelos.
Para a análise que será feita a seguir é oportuno observar de início que a cada
diádico completo estão associados 3 planos e a cada incompleto 1 plano. Portanto, se dentre
os 4 diádicos temos c completos e i incompletos, o número de planos da estrela de planos
por eles definido é 3 c + i.
Se em todas as três combinações ocorrer o caso a), cada combinação definirá C4
2 = 6
planos distintos em geral; logo essas combinações definirão, no máximo, 18 planos para a
estrela de planos correspondente. Se, além disso, dentre os 4 diádicos existirem i
incompletos teremos (4 - i) x 3 + i + 18 planos, isso é, (30 - 2 i) planos; os 4 diádicos
correspondentes serão ditos, por isso, (30 - 2i)-planares. Teremos, pois, nesses casos, 4
diádicos 30, 28, 26, 22 e 20-planares.
Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso b), cada combinação definirá 3
planos para a estrela, logo num total de 9. Se i dentre os quatro diádicos são incompletos, a
estrela terá, então, no máximo, (21 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos, (21
- 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 21,19, 17, 15 e 13-planares.
Se em todas as combinações (01) ocorrer o caso c), cada combinação definirá 1
plano para a estrela, logo num total de 3. Se i dentre os quatro diádicos forem incompletos,
a estrela terá, então, no máximo, (15 - 2i) planos, casos em que os 4 diádicos serão ditos,
(15 - 2i)-planares. Teremos então, conjuntos 15,13,11, 9 e 7-planares.
Os casos em que G > 4 podem ser analisados analogamente, ficando bem evidente
as dificuldades de interpretação geométrica a serem encontradas.
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 223
Poliádicos - Ruggeri
Se dentre G diádicos de um conjunto existem i incompletos, o número de planos por
eles definido é no máximo 3 G - 2 i.
Se, ainda, em cada uma das três combinações lineares dos antecedentes dos diádicos
do conjunto, os G vetores que a formam são não coplanares, estarão definidos 3CG
2 novos
planos para compor a estrela de planos associada ao conjunto. Teremos pois, nesse caso,
um total de, no máximo,
3G - 2i + 3C32
G(G +1) -2iG
2
planos distintos na estrela do conjunto. Para um conjunto de 8 diádicos completos, por
exemplo, a estrela correspondente tem 84 planos.
Se, em geral, apenas G - P dos antecedentes correspondentes de cada uma das
combinações ( G - P > 2), e em todas as combinações, são não coplanares, estarão definidos
CG-P
2 planos para cada combinação linear dos vetores. Logo o número total de planos da
estrela será 3G -2i + 3C32
G(G +1) -2i - P(3G - P -1)G-P
2 , isso é, se G - P dos antecedentes
em cada combinação são não coplanares, o número total de planos da estrela diminui, em
relação ao caso anterior, de P(3G - P - 1).
Esses conjuntos de diádicos ainda constituem espaços diádicos dentro da Geometria
Euclidiana. Por apresentarem singularidades - multiplanaridade de grupos dos antecedentes
correspondentes (ou dos conseqüentes) de suas representações cartesianas – recebem a
denominação especial de multiplanos.
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases
diádicas.
Os sistemas ((022), ou (031), § 10.01), representativos de um multiplano, têm nove
equações (porque nove são os elementos das matrizes (021) associadas aos diádicos) e G
equações, respectivamente; ambos têm G incógnitas, Mi. Seja P o grau do determinante
principal da matriz88 associada aos G diádicos i (matriz do sistema).
Se for P = G a matriz métrica ((032), § 10.01) dos G diádicos será regular e o sistema
(031) admitirá apenas as soluções nulas. Então:
Se a matriz ((023),§10.01) associada a G diádicos i, tem o principal do grau
G, ou se a matriz métrica de G diádicos i, (032), é regular, a combinação
linear iiM (i = 1, 2, ..., G) só é possível para os Mi simultaneamente
nulos.
Nesse caso diremos que os G diádicos são linearmente independentes no G-espaço a que
pertencem. Assim, no espaço diádico montado sobre o E3 existem, no máximo, 9 diádicos
linearmente independentes, cuja matriz métrica 9 x 9 é regular. Nos subespaços diádicos
88 Recordemos que o principal de uma matriz é o determinante não nulo da maior ordem que se pode extrair dessa matriz; o grau desse determinante é a característica ou o posto (rank, em inglês) da matriz.
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 224
Poliádicos - Ruggeri
(ou multiplanos) os diádicos linearmente independentes são em número G < 9, e as matrizes
métricas G x G de cada conjunto são regulares.
Se for G > P, isso é, se a matriz métrica dos G diádicos for não regular, haverá G - P
incógnitas não principais e o sistema admitirá outras soluções além das soluções nulas89.
Então:
Se a matriz (023) associada a G diádicos i tem o principal do grau menor
que G, ou se a matriz métrica de G diádicos i, (032), é não regular, a
combinação linear iiM (i = 1, 2, ..., G) é possível para os Mi não
simultaneamente nulos (e de infinitas maneiras).
Nesse caso os G diádicos serão ditos linearmente dependentes no espaço diádico a
que pertencem. Assim, no espaço diádico, 10 diádicos são sempre linearmente dependentes;
num multiplano onde G diádicos são independentes, G+1 serão sempre dependentes.
Definição: (base e dimensão)
Qualquer conjunto de G diádicos linearmente independentes de um espaço
diádico montado sobre o EN é dito uma base diádica desse espaço; e G - o
número máximo de diádicos linearmente independentes desse espaço - a sua
dimensão.
Notação: O espaço diádico de dimensão G, montado sobre o EN (espaço dos vetores,
de dimensão N, com N=1, ou 2, ou 3), será denotado por 2EG sendo GN
2; uma base de
2EG,
formada com os diádicos 1, 2, ... , G, será denotada por {*}.
Resultam demonstrados, então, os seguintes teoremas:
Teor. 1:
Uma CNS para que G diádicos de um espaço (G 9) formem uma base é que
o principal da matriz (de ordem 9 x G) associada a esses diádicos seja do
grau G.
Teor. 2:
O determinante da matriz métrica de uma base diádica pode ser considerado
um número sempre positivo.
Pois, se o principal da matriz métrica dos G diádicos inicialmente ordenados de uma
base for um número negativo - caso em que a base será dita negativa - poderemos
reordená-los de modo a que esse principal seja positivo. Para tal, bastará que troquemos de
posição dois quaisquer dos diádicos contíguos (pois o principal simplesmente trocará de
sinal); e a nova base será dita positiva.
Definição:
Norma de uma base {*} é o determinante de sua matriz métrica, e se
representa por ||*||. A raiz quadrada positiva da norma de uma base será
dita o seu módulo, e será representada por |*|.
89Qualquer sistema fundamental de soluções do sistema consta de G - P soluções.
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 225
Poliádicos - Ruggeri
Temos, então:
| | || || ,
sendo
|| ||
...
...
1 1 1
2 2 2
... ... ... ...
...
1 2 G
1 2 G
G 1 G 2 G G
: : :
: : :
: : :
(01).
*
Exercício 1:
Sejam e os ângulos dos vetores e1 e e2 respectivamente com o unitário i de dada
base ortonormada { ji ˆ,ˆ } de um E2. 1) – Identifique as condições para que as díades e1e1,
e1e2, e2e1, e2e2 constituam uma base para o espaço dos diádicos gerados desse E2 e
determine o sistema recíproco delas; 2) – Comprove, então, que o quarteto auto-recíproco
jjijjiii ˆˆ,ˆˆ,ˆ,ˆˆ constitui uma base de diádicos unitários e ortogonais entre si para o espaço dos
diádicos gerados do E2.
*
Se {e*} e {e*} são bases vetoriais recíprocas do E3, as 9 díades
e e e e e e e e e e1
1
1
2
1
3
2
1
3
3 ... , , , , ,
- diádicos particulares (lineares) cada um com apenas uma díade - constituem uma base do
espaço diádico 9-dimensional. Com efeito, é impossível encontrar nesse espaço nove
números Aij não simultaneamente nulos, tais, que j
iij A ee (i,j=1, 2, 3). Observando que
podemos escrever Aijeiej=a
jej com aj=A
ijei, vê-se que para que A
ijeiej=, deve ser a
j=o para
qualquer j, o que é impossível, pois os Aij não são simultaneamente nulos. Então,
simbolicamente escrevemos:
{ },{ }
...
e e e e
e e : e e e e : e e e e : e e
e e : e e e e : e e e e : e e
e e : e e e e : e e e e : e e
|| ||
...
... ... ... ...
...
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
1
1
3
3
1
2
3
3
3
3
0, (02).
Ainda,
{ },{ }
...
e e e e
e e : e e e e : e e e e : e e
e e : e e e e : e e e e : e e
e e : e e e e : e e e e : e e
|| ||
...
... ... ... ...
...
11
11
11
12
11
33
12
11
12
12
12
33
33
11
33
12
33
33
0 , (021),
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 226
Poliádicos - Ruggeri
podendo-se também escrever, por analogia, expressões para ||e*e*|| e ||e*e*||. Resulta dessas
expressões,
| || | | || |e e e e e e e e
1 , (03).
Com efeito, no primeiro caso, por exemplo, o produto da j-ésima linha do i-ésimo bloco
horizontal do determinante (02) pela s-ésima coluna do r-ésimo bloco vertical do
determinante (021) para G=9 é
( )( )e e : e e e e : e e e e : : e ei
j
m
n m
n
r
s i
j 4 r
s i
r
s
j .
Então, todos os elementos do determinante produto serão nulos, exceto os pertencentes à
sua diagonal principal; e esse determinante é igual a +1.
*
Pelo simples fato de {e*} e {e*} constituírem bases recíprocas, qualquer conjunto de
G díades distintas dentre as 9 díades, sinteticamente denotados por {e* e*}, {e* e
*}, {e* e
*} e
{e* e*}, constituirão bases diádicas recíprocas do
2E9 (espaço diádico de 9 dimensões). De
fato, as matrizes associadas às díades do conjunto {e*,e*}, por exemplo, em relação às bases
vetoriais recíprocas são:
000000001
])[( 11ee ,
000000010
])[( 21ee ,
000000100
])[( 31ee ,
000001000
])[( 12ee ,
etc.. A matriz associada ao conjunto é a matriz unidade 9x9 cujo determinante é igual a um.
Exercício 2:
Comprovar que as mesmas matrizes acima indicadas são associadas às díades dos
demais conjuntos {e* e*}, {e* e
*}, {e
* e*}. Comprovar, ainda, que qualquer conjunto de G<9
díades de qualquer um dos conjuntos constitui base de um 2EG.
Decomposição cartesiana de diádico em base diádica.
Fica também comprovado o seguinte
Teor. 3:
Se, num 2EG gerado do E3 (G9), é um diádico qualquer e { , , } 1 2 G ... ,
é uma base diádica qualquer, existe um e um único conjunto de G números
Mi tal, que = Mi
i (i=1,2,...,G):
, , , } , ( ,2, ... , ) { ... , E M i G R, G 91 G
3 i
2 1 = Mi
i (04).
Pois , , ,1 2 G ... , são G + 1 diádicos de um mesmo subespaço, logo,
linearmente dependentes. Então, existem números nsn,
A, N1, N2, ..., NG tais, que iiNA .
A 0 porque, do contrário, seria Nii = e todos os Ni deveriam ser nulos também (posto
que os 's constituem uma base). Mas isso é impossível porque A e todos os Ni não podem
ser simultaneamente nulos (eles são linearmente dependentes por hipótese). Logo,
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 227
Poliádicos - Ruggeri
N
AM
i i
i
i .
Os números Mi são únicos porque se existissem outros, M'i, teríamos:
iii )MM( Mas como os i são linearmente independentes (formam uma base) a
combinação implica que os coeficientes sejam todos nulos, isso é, Mi = M'i.
Com outras palavras diríamos:
Todo diádico de um 2EG pode ser representado como uma combinação linear
única dos diádicos de uma base desse espaço.
Definição: (coordenadas cartesianas)
Os G números Mi, únicos, que, na base diádica { , , } 1 2 G ... , de um 2EG,
determinam univocamente dado diádico do mesmo, são ditos as coordenadas
cartesianas desse diádico naquela base diádica (do 2EG). A expressão
= Mi
i é dita, então, a decomposição cartesiana do diádico na base
{ , , } 1 2 G ... , (do 2EG).
Esses conceitos generalizam a noção de coordenadas cartesianas de um diádico, já
definida no § 09, onde os "diádicos de base" eram as 9 díades e e e e1
1
1
2 ..., , .
Diádico posicional.
Sem muito esforço podemos conceber "geometricamente", por abstração, "pontos no
espaço diádico", cada ponto sendo definido por um "diádico posicional" em relação a uma
origem fixa, diádico esse que, em relação a uma "base diádica" do espaço, é definido por G
números (G 9), suas "coordenadas"90. O espaço diádico (de até nove dimensões) pode,
assim, ser concebido geometricamente tal como o espaço dos vetores (de até três
dimensões).
Teor. 4:
Se { , , } 1 2 ... , G é uma base diádica de um 2EG, e Ai são G números
dados, existe um e um só diádico desse espaço tal, que
Ai i i: : , (i = 1, 2, ..., G), (05).
Se é um diádico qualquer do 2EG em referência podemos escrever, pelo Teor. 2:
Mk
k , (k = 1, 2, ..., G), expressão na qual os Mk são as G coordenadas cartesianas de
, a determinar, na base { , , } 1 2 ... , G ; estas coordenadas, se existirem, são únicas.
Devemos ter:
i
k
i k = M : : , i, k = 1, 2, ..., G,
90 Esses conceitos serão mais formalmente expostos no §10.03 para os diádicos e generalizados no Cap. IV.
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 228
Poliádicos - Ruggeri
isso é,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
...
( ) ( ) ( ) ,
1 1
1
1 2
2
1 G
G
1
2 1
1
2 2
2
2 G
G
2
G 1
1
G 2
2
G G
G
G
M M ... M
M M ... M
M M ... M
: : : :
: : : :
: : : :
ou, em forma matricial, considerando que Ai i: :
1 1 1 2 1 G
2 1 2 2 2 G
G 1 G 2 G G
1
2
G
1
2
G
1
2
G
...
... ... ... ...
...
M
M
...
M
A
A
...
A
: : :
: : :
: : :
:
:
:
...
....
, (051).
A matriz coluna das incógnitas está, pois, pré-multiplicada pela matriz métrica da base e
esta é regular. Logo, os G números Mk existem e são univocamente determinados; serão
simultaneamente nulos ou não conforme os Ai forem, respectivamente, todos nulos ou não.
Corol. 1:
Se { , , } 1 2 ... , G é uma base diádica de um espaço, e Aij são G2 números
dados, existe um e um só conjunto de diádicos desse espaço,
{ , , } 1 2
... ,G
tal, que
j
i
j
i A: (i,j = 1, 2, ..., G), (06).
Pois, agora, escreveríamos a equação matricial (051) na forma
[ ] [ ] [ ]E M A
. , (061),
onde [M**] é a matriz quadrada das incógnitas (coordenadas dos diádicos j) e [A**] é a
matriz quadrada formada pelos números dados. Como [E**] admite inversa, [M**] está
univocamente determinada, isso é, os diádicos j estão determinados.
Corol. 2:
A CNS para que G diádicos j de um 2EG constituam uma base desse
espaço é que, sendo { , , } 1 2 ... , G uma base qualquer do mesmo,
0]det[A] det[ ij
ij : para i,j = 1, 2, ..., G.
A proposição é evidente por (061) porque [E**] admite inversa; e para que [M**]
também admita (CNS para que os diádicos j constituam uma base), basta que também
[A**] admita inversa; e nesse caso A** será o módulo da base.
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 229
Poliádicos - Ruggeri
Bases diádicas recíprocas.
Teor. 5:
Se { , , } 1 2 ... , G é uma base diádica de um 2EG, existe uma e apenas uma
base { , , } 1 2
... ,G
nesse mesmo espaço, tal, que
i
j j
i : (i, j = 1,2, ..., G), (07),
os ij sendo os deltas de Kronecker.
Pois, se em (061), A j
i
j
i , então [ [ [A ] I] e [M ] E ]
1 .
Definições: (bases diádicas recíprocas)
As bases diádicas { , , } 1 2 ..., G e { , , } 1 2
...,G
de um espaço, que
representaremos respectivamente por { } e { }
, e cujos diádicos
satisfazem (07), serão denominadas bases diádicas recíprocas do espaço em
referência. Os diádicos de bases recíprocas, de mesmos índices (em níveis
diferentes), serão ditos homólogos; os de índices diferentes, não homólogos.
Nota: Por (07) vemos que cada diádico de uma base é ortogonal (§ 07.02) a todos os diádicos não homólogos da base recíproca. A questão da ortogonalidade de diádicos, entretanto, será tratada de um modo mais geral no parágrafo seguinte.
Teor. 6:
São inversas as matrizes métricas de bases diádicas recíprocas; logo, essas
bases são ambas positivas, ou ambas negativas.
Pois, pelo Teor. 5, a matriz métrica da base recíproca de { , , } 1 2 ... , G seria
[M**] que é inversa de [E**].
A matriz métrica da base { , , } 1 2
... ,G
será representada doravante por [E**],
sendo, pois,
[ ] [ ] [E E I]G
G
G
G
G
G
. , (071).
Por (071) concluímos que as bases recíprocas têm o mesmo sinal uma vez que o
determinante de um produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes
fatores, isso é, det[E**].det[E**
]=1.
•
Como visto (Exercício 2), qualquer um dos conjuntos {e* e*}, {e* e
*}, {e* e
*} e {e
*
e*} – de G díades distintas - definidos por vetores de duas bases vetoriais recíprocas no E3,
podem ser consideradas bases de um subespaço diádico G-dimensional. Mas a recíproca de
uma dessas bases não se obtém substituindo-se simplesmente em cada díade, antecedentes e
conseqüentes pelos correspondentes vetores recíprocos das bases vetoriais recíprocas a que
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 230
Poliádicos - Ruggeri
pertencem. Assim, a base recíproca de {e1e1, e1e
2, e1e
3} não seria {e
1e1, e
1e2, e
1e3} como
poderia parecer. Embora sejam verdadeiras as relações
e e : e e e e : e e e e : e e e e : e e e e : e e1
1 1
1 1
2 1
2 1
3 1
3 1
1 1
2 1
1 1
31 0 e ...
as díades e1e1, e
2e1 e e
3e1
não pertencem ao subespaço de e1e
1, e1e
2 e e1e
3. Com efeito, a
díade e1e1, por exemplo, por pertencer a um
2E3, é perpendicular a apenas duas das díades
de base do 2E9 cuja base é {e*e
*}, e não às outras seis. Demonstraremos isso de uma forma
geral por um corolário do seguinte
Teor. 7: (decomposição cartesiana em bases diádicas recíprocas)
,{ } { } ) ) e : = ( ( (i = 1,2, ..., G)i
i i
i: : , (08).
Podemos escrever, conforme Teor. 1: = Mi
i . Então, por dupla multiplicação de
ambos os membros pelos diádicos do sistema recíproco dos {*}, vem:
M M j i
i
j i j
i: : ( ) ,
donde, somando:
Mj j
: , (09).
Substituindo este valor de Mj na expressão do diádico, encontramos uma primeira
expressão da tese. Podemos determinar a segunda expressão analogamente.
Corol. 1:
Num espaço não existe diádico não nulo que seja simultaneamente ortogonal
a todos os diádicos de uma base desse espaço.
Pois se existisse tal diádico todas as suas coordenadas, dadas por (09), seriam nulas e
esse diádico seria o diádico nulo, o que é absurdo.
Notas: 1ª) - O Corol. 1 do Teor. 7 diz, com outras palavras, que se alguns diádicos de uma base de um espaço constituem base de um espaço de dimensão menor (o que é sempre possível), os diádicos da base recíproca do primeiro espaço não têm haver com os diádicos da base recíproca do segundo. Esta mesma observação já foi feita em relação aos vetores recíprocos no plano e no espaço (§ 03.03, I). 2ª) - Nos espaços diádicos tridimensionais não são válidas, em geral, fórmulas análogas às deduzidas no § 03.03 do Cap. I para o cálculo dos sistemas recíprocos, isso é,
para I,j,k=1,2,3,… kijk321ji )(
kijk321ji )(
, (10),
ou, conforme (04), § 07.06, 321321 )( : , e
)( )( 321ijkkji , )()( 321ijkkji , (101).
Estas fórmulas são verdadeiras, entretanto, se os diádicos são lineares (por exemplo, do tipo e1e2, e2e3, e3e1, ou e1e1, e2e2, e3e3 etc.), caso em que seus adjuntos são nulos. Isso, entretanto, não implica que o adjunto de todo e qualquer diádico desse espaço seja o diádico nulo.
3ª) – Ainda nos espaços tridimensionais, para : 3,2,1k j, i, C e B ,A kk
jj
ii
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 231
Poliádicos - Ruggeri
321
321
321
321BBBAAA )(
,
321
31
321
321CCCBBBAAA
)() ( (102),
fórmulas essas que serão válidas apenas quando os diádicos de base forem lineares. Vamos generalizar esses conceitos mais à frente (§ 11 e 13).
Exercício 3:
Comprovar que
:
cos ( , ) cos ( , )
cos ( , )
cos ( , ) cos ( , )
cos ( , ) ...
cos ( , ) cos ( , )
cos ( , )
1
11
2
22
GG
GG
1 21.
Constituição de bases.
Os teoremas a seguir fornecem um meio pelo qual poderemos efetuar a
decomposição cartesiana de um diádico ndada base diádica de um espaço.
Teor. 8:
Constitui base de um espaço G-dimensional o conjunto de diádicos obtido
substituindo-se qualquer diádico de uma base pelo seu correspondente
recíproco.
Sejam as bases recíprocas {*} e {*} e, por exemplo, o conjunto {1, 2, ..., G}. A
matriz métrica desse conjunto,
1 1 1 1
1
1
: : :
: : :
: : :
...
... ... ... ...
...
2 G
2 2 2 2 G
G G 2 G G
...
,
é regular. De fato, todos os elementos da primeira linha são nulos, exceto o da primeira
coluna. Então, desenvolvendo o determinante dessa matriz pelos elementos dessa linha,
concluímos que ele é igual ao produto da norma de 1 pelo determinante da matriz métrica
do conjunto de G - 1 diádicos da base {*} em que não figure o diádico 1. Mas esse
conjunto constitui uma base de um subespaço G - 1 dimensional; logo, o determinante de
sua matriz métrica é não nulo, e a matriz considerada é regular. Então, o conjunto {1, 2,
..., G} constitui uma base.
Corol. 1:
Num espaço diádico é sempre possível constituir uma base diádica a
partir de uma base dada, substituindo-se um, dois etc. diádicos dessa
base por diádicos paralelos aos seus correspondentes recíprocos.
Teor. 9: Todo diádico de um espaço G-dimensional pode ser decomposto numa soma
de J + 1 diádicos, um deles perpendicular a J < G outros não paralelos.
Sejam as bases recíprocas {*} e {*} de um espaço diádico G dimensional. Pelo
Corol. 1 do Teor. 8, constitui uma base desse mesmo espaço o conjunto formado por J < G
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 232
Poliádicos - Ruggeri
diádicos quaisquer de {*} (logo, não paralelos), digamos 1,2, ..., J, com os G - J outros
não homólogos da base {*} (aos quais 1,2, ..., J são perpendiculares).
Mas do espaço, existem números M1, M2, ..., MJ, MJ + 1, ..., MG, tais que
M M ... M + M ... M1
1
2 J
J J 1
J 1
G
G
2
ou seja,
M M ... M1
1
2 J
J2,
expressão na qual , sendo uma combinação linear de diádicos perpendiculares a 1,2, ...,
J, é também perpendicular a 1,2, ..., J (§ 07.02, Exercício 1); e o teorema fica, assim,
demonstrado.
Teor. 10: Os 9 diádicos de uma base de um espaço diádico qualquer não podem ser
todos simétricos, nem todos anti-simétricos.
Pois, se T , M i
i, então T i
iT
iM ( ) . Se os diádicos de base
fossem todos simétricos, ou todos anti-simétricos, seria, correspondentemente, T , o
que é absurdo.
Matrizes colunas associadas a diádicos (com um único índice).
Se {e1,e2} e {e1,e
2} são bases recíprocas num E2, a todo vetor desse espaço podemos
associar uma matriz coluna de duas linhas em relação a cada uma dessas bases. Dessas
bases vetoriais podemos gerar (Exercício 1) as bases diádicas recíprocas {e*e*} e {e*e
*},
bem como {e*e*} e {e
*e*} para referir os diádicos do
2E4 gerados do E2. Aos diádicos do
2E4
poderemos associar matrizes 2x2 cujos elementos sejam as coordenadas cartesianas do
diádico em relação às bases vetoriais escolhidas; ou associar matrizes colunas de quatro
linhas em relação às bases diádicas, bastando convencionar um modo de dispor essas
coordenadas nas matrizes. Assim, para
jiij ee , ji
ij ee , ji
ij ee ou j
ij i ee , i,j=1,2, (11),
escreveremos, conforme já convencionado:
e][ ,
e][ etc..
Agora, por convenção, vamos escrever:
,
,
21
12
22
1
etc., (111),
ou
T }{ etc., (112).
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 233
Poliádicos - Ruggeri
As mesmas considerações podem ser feitas em relação às bases vetoriais {e*} e {e*} do E3
e aos diádicos de 2E9 gerados de E3. Assim, se nas (111) considerarmos i,j=1,2,3
escreveremos, por convenção:
T }{ , seguindo Voigt, (113);
ou, usando a notação mais moderna:
T }{ , (114).
É evidente que existem as demais fórmulas análogas.
Pode ser mais cômodo, por outro lado, escrever-se
u
uuu com u=1,2, ...,9, (12),
desde que se substituam os pares de índices ij por um único, u, segundo algumas
convenções; por exemplo:
11/1, 22/2, 33/3, 23/4, 13/5, 12/6, 32/7, 13/8, 21/9, (segundo Voigt) (121),
ou a mais moderna,
11/1, 22/2, 33/3, 12/4, 23/5, 13/6, 21/7, 32/8, 13/9, (122).
Nesses casos é mais prático o uso da notação
T }{ , (123),
mas é preciso especificar a convenção adotada (se (121) ou (122)). Para as coordenadas co-
variantes escrevemos, analogamente:
T }{ (124);
e para as mistas:
...}{ T
e , ou ...}{ T
, (125).
É necessário, entretanto tomar-se certo cuidado para não confundir nestas representações
aos coordenadas duplas com as mistas porque nem sempre as bases vetoriais ou diádicas
utilizadas são ortonormadas (ver Exercício 1).
Bases no espaço diádico simétrico.
O espaço diádico simétrico é o espaço cujos diádicos são simétricos, um subespaço
do espaço diádico. Em relação a uma base definida pelas díades constituídas com os vetores
de uma base vetorial arbitrária, nove diádicos simétricos quaisquer, i, podem ser
representados na forma contravariante kjjk
ii A ee (j,k=1,2,3), sendo kj
ijk
i AA para
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 234
Poliádicos - Ruggeri
qualquer i=1,2, ...,9. Por estarmos tratando de diádicos simétricos, poderíamos representá-
los, também, pelas coordenadas co-variantes. Em ambos os casos (e apenas nestes casos) as
matrizes associadas devem ser simétricas (§ 09.09). Dispondo as coordenadas desses
diádicos em linhas, a matriz 9x9 a eles associada,
33 9
32 9
12 9
11 9
33 3
12 3
11 3
33 2
21 2
13 2
12 2
11 2
33 1
32 1
31 1
23 1
22 1
21 1
13 1
12 1
11 1
i
AA.........AA
...
A.........AA
A.........AAAA
AAAAAAAAA
e , (13),
tem a segunda coluna igual à quarta (pois Ai12
=Ai21
, ...), a terceira igual à sétima (pois
Ai13
=Ai31
, ...) e a sexta igual à oitava. Logo a característica dessa matriz é, no máximo igual
a seis, o que significa que "o espaço dos diádicos simétricos tem, no máximo, seis
dimensões"; ou, ainda,
"uma base no espaço diádico simétrico é qualquer conjunto de seis
diádicos (simétricos) linearmente independentes".
Com essa diminuição de dimensão torna-se prático adotar a representação de Voigt para as
coordenadas dos diádicos simétricos. Esta representação consiste em se substituírem os
pares de índices por um único, conforme o esquema de Voigt em que os índices 7, 8 e 9 em
(121) podem ser substituídos por 4, 5 e 6, respectivamente, em vista da igualdade das
coordenadas correspondentes; assim, 333 4,23 2,22 5,13 6,12 ,111 . Nesse caso, a
matriz (13) assume uma forma mais simples:
3 9
4 9
6 9
1 9
3 3
6 3
1 3
3 2
6 2
5 2
6 2
1 2
3 1
4 1
5 1
4 1
2 1
6 1
5 1
6 1
1 1
i
AA.........AA
...
A.........AA
A.........AAAA
AAAAAAAAA
e , (131),
mantendo ainda, evidentemente, o seu grau (9) e as igualdades dos três pares de colunas já
referidos.
A base vetorial {e*} é arbitrária. Os diádicos (simétricos) de representações
... ,2/)( ,... , ,23324222111
eeeeeeee (14),
provenientes de (12), constituem uma base arbitrária do espaço diádico simétrico; a sua
recíproca é constituída pelos diádicos
... ,2/)( ,... , , 23324222111 eeeeeeee (141).
De fato, pois a matriz 6x9 associada a eles,
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 235
Poliádicos - Ruggeri
00000A0A000A000A000A0A00000100000000000010000000000001
, com 21/A ,
tem característica 6 (seis). O principal (ou característico) correspondente, de valor A/2, é
formado pelas colunas 1, 5, 9, 6, 7 e 4 (foram eliminadas a segunda, a terceira e a oitava ).
Na base diádica {*}, definida por (14), a matriz coluna (com coordenadas
contravariantes) associada ao diádico simétrico i é, então, {i}T=[Ai
1 Ai
2 ... Ai
6] usando,
digamos, a notação de Voigt. Então a matriz 6x6 associada aos 6 (seis) primeiros diádicos
(dentre os nove) i anteriormente considerados pode ser escrita, então (com a notação de
Voigt), na forma mais simples e compacta:
6 6
4 2
3 2
2 6
1 6
6 5
1 5
6 4
1 4
6 3
2 3
1 3
6 2
5 2
4 2
3 2
2 2
1 2
6 1
5 1
4 1
3 1
2 1
1 1
}{
A2...A2AAA
A2A
A2......A
A2......AA
A2A2A2AAA
A2A2A2AAA
][ , (15).
O característico dessa matriz é, então, do grau 6 no máximo; no §13 daremos a ele um novo
significado em função dos próprios diádicos i.
A base recíproca de (14) é obtida simplesmente elevando-se os índices em (14), ou
seja, simplesmente constituindo base análoga à (14) com a base recíproca de {e1e2e3}.
Notar que não é possível constituir bases simétricas com díades mistas.
O espaço diádico simétrico pode ter também seus subespaços, por exemplo, o
conjunto de todos os diádicos simétricos com uma característica especial qualquer;
digamos, aqueles com terceiro nulo, aqueles com escalar nulo etc.. Espaços diádicos
simétricos especiais podem ter dimensão menor que 6 (seis).
Bases no espaço diádico anti-simétrico.
Um espaço diádico anti-simétrico é aquele cujos diádicos sejam diádicos anti-
simétricos. Estes, quando representados na base das díades constituídas com os vetores de
uma base vetorial arbitrária {e*} do E3, só têm três coordenadas não nulas, pois, na forma
contravariante (por exemplo) kjjk
ii A ee (j,k=1,2,3), deve ser kj
ijk
i AA para qualquer
i=1,2, ...,9. A matriz coluna associada ao anti-simétrico i será, então,
{i}T=[0 0 0 A
4 A
5 A
6]
e a matriz 9x9 associada aos nove diádicos dispostos por linhas,
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 236
Poliádicos - Ruggeri
0A-...0A-AA0
.........
0
0
0...0...A0
0...0A-AA0
0A-A-A0A-AA0
0A-A-A0A-AA0
23 9
12 9
13 9
12 9
12 4
12 3
13 3
12 3
23 2
13 2
23 2
12 2
13 2
12 2
23 1
13 1
23 1
12 1
13 1
12 1
i e , (16),
tem a primeira, a quinta e a nona colunas nulas, o que, numa primeira instância, baixa a
ordem do seu característico para seis. Como a soma da segunda coluna com a quarta, a
soma da terceira com a sétima e a da sexta com a oitava não alteram o valor do
característico, concluímos que a ordem deste é três no máximo, uma vês que três novas
colunas nulas podem ser introduzidas no determinante associado à matriz. O característico
de (16) é, assim,
12 3
31 3
23 3
12 2
31 2
23 2
12 1
31 1
23 1
AAA
AAA
AAA
, (17).
Observando-se que o vetor do anti-simétrico i é (§09.04)
)AAA)((2 312i
231i
123i321iV eeeeee ,
vê-se que o característico é igual a um oitavo do produto da norma da base {e*} pelo
produto misto dos vetores dos diádicos (§04.03, I); e só se anularia se estes fossem
coplanares. Então, "o espaço dos diádicos anti-simétricos tem, no máximo, três dimensões",
ou, ainda,
"uma base no espaço diádico anti-simétrico é qualquer conjunto de três
diádicos (anti-simétricos) linearmente independentes".
Com a notação de Voigt, escrevemos:
0A-...0A-AA0
.........
0
0
0...0...A0
0...0A-AA0
0A-A-A0A-AA0
0A-A-A0A-AA0
4 9
6 9
5 9
6 9
6 4
6 3
5 3
6 3
4 2
5 2
4 2
6 2
5 2
6 2
4 1
5 1
4 1
6 1
5 1
6 1
i e , (171),
§ 10.02 - Diádicos linearmente dependentes e independentes. Bases diádicas. 237
Poliádicos - Ruggeri
Os diádicos representados na base {e*} do E3 por
2/)( e 2/)( ,2/)( 122133113223321 eeeeeeeeeeee , (18),
todos anti-simétricos, constituem uma base arbitrária do espaço diádico anti-simétrico; sua
recíproca é
2/)( e 2/)( ,2/)( 122133113223321 eeeeeeeeeeee , (181).
De fato, a matriz 3x9 associada aos diádicos (181),
00000A0A000A000A000A0A00000
,
com 21/A , tem característica 3 (três). O característico correspondente, de valor A/2, é
formado pelas colunas 6, 3 e 2. Na base diádica {*}, definida por (05), a matriz associada
aos 3 (três) diádicos i anteriormente considerados (i=1,2,3) pode ser escrita, então, com a
notação de Voigt, na forma mais simples e compacta
2
AAA
AAA
AAA
][6
35 3
4 3
6 2
5 2
4 2
6 1
5 1
4 1
}{
, (19).
Deve ser observado que não é possível constituir base anti-simétrica com díades
mistas ((§09.01).
O espaço diádico anti-simétrico pode ter também seus subespaços, logo, com dimensão
menor que 3; por exemplo, o conjunto de todos os diádicos anti-simétricos cujos vetores
fossem coplanares (caso em que o característico (171) seria do segundo grau).
Resultados análogos, mutatis mutandis, podem ser deduzidos para os diádicos anti-
simétricos gerados com vetores do E2, em relação a uma base (e1,e2}, caso em que esse
espaço tem dimensão 1 e bases recíprocas 2/)( 1221 eeee e 2/)( 1221eeee .
Bases diádicas ortonormadas.
As bases diádicas de módulo 1 são ditas unimodulares. Quando os diádicos de uma
base unimodular são mutuamente ortogonais e têm módulo 1, caso em que a sua matriz
associada é a matriz unidade G x G, essa base e dita ortonormada.
Resta considerar a representação de diádico simétrico em base diádica simétrica
construída à partir de um terceto de unitários triortogonais { kji ˆ,ˆ,ˆ }. Nesse caso, o conjunto
correspondente a (14) é da forma:
),ˆˆˆ(2
1 ),ˆˆˆˆ(
2
1 ),ˆˆˆˆ(
2
1 ,ˆˆ ,ˆˆ ,ˆˆ ijjikiikjkkjkkjjii (20),
base esta, ortonormada. Em relação a estas bases desaparece a diferença entre coordenadas
contravariantes, co-variantes e mistas (§09.01).
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 238
Poliádicos - Ruggeri
Analogamente, devemos considerar a representação de diádico anti-simétrico em
base diádica anti-simétrica construída à partir de um terceto de unitários triortogonais
{ kji ˆ,ˆ,ˆ }. Nesse caso, o conjunto correspondente a (18) é da forma:
kijjijkiikijkkj ˆ
2
1)ˆˆˆ(
2
1 ,ˆ
2
1)ˆˆˆˆ(
2
1 ,ˆ
2
1)ˆˆˆˆ(
2
1 (21),
base esta, também ortonormada.
*
Exercício: Comprovar que a base
),ˆˆˆ(2
1 ),ˆˆˆˆ(
2
1 ),ˆˆˆˆ(
2
1 ),ˆˆˆˆ(
2
1 ),ˆˆˆˆ(
2
1 ,ˆˆ ijjikiikjkkjkkjjkkjjii (201),
alem de simétrica é ortonormada.
*
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico.
Biflechas.
Um espaço diádico (montado sobre a Geometria Euclidiana) é, pois, qualquer
reunião de diádicos; existem infinitos deles. Denotaremos os espaços diádicos pelos
símbolos 2EG,
2E'G,
2SG etc.. Para que em um espaço diádico se concebam novas figuras
euclidianas – as quais comporão a Geometria Diádica – é necessário ampliar, por força
exclusiva da imaginação, as idéias primárias de ponto, reta, plano e espaço91. Assim,
postularemos e existência de pontos, retas, planos, 3-espaços, ... G-espaços
(G9) ou hiperplanos que são regiões definidas por um, dois, três, quatro, ...,
G+1 pontos dados (isso é, qualquer outro ponto da região está de algum
modo ligado aos primeiros), tendo dimensões zero um, dois, ... G.
Para destacar a dimensão, G, de um espaço diádico usaremos ainda a notação 2EG,
2E'G etc., como no (§ 07.07).
Qualquer que seja o diádico , /|| tem norma +1, logo módulo + 1 (§ 07.07); tais
diádicos são chamados unitários e são representados (como os vetores) por ˆ||/ .
Num espaço diádico de dimensão G (§ 10), com G9, as G coordenadas de um diádico
unitário são necessariamente, em módulo, números menores que a unidade. Por isso
mesmo, as coordenadas de um diádico unitário são denominadas co-senos diretores da
“hiper” direção desse diádico (no seu G-espaço). Assim, com um grau de abstração um
pouco mais elevado, um diádico de um G-espaço pode ser imaginado representado
graficamente por uma "biflecha livre" – uma seta com origem e duas ponteiras na
extremidade – apresentando uma "hiper” direção; e um "comprimento" que, na mesma
escala adotada para representar os vetores, represente o seu módulo (a distância entre a
91 Seguiremos parcialmente a orientação de Sommerville, D. M. Y., An Introduction to the Geometry of N Dimensions, Dover, New York, 1958.
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 239
Poliádicos - Ruggeri
origem e a extremidade). Assim, as biflechas livres, ou simplesmente flechas, num 2EG
poderão ser "aplicadas" (com origem) num ponto qualquer do (seu) espaço.
Para G=1 as flechas só estão definidas sobre o suporte (único) do espaço; para G=2,
as flechas estão definidas num (único) plano, mas são livres nesse plano; e assim por diante.
Independência de pontos e bases.
Os G+1 pontos que definem um 2EG serão sempre arbitrariamente numerados a
partir de zero. Se R<G, um 2ER – que é determinado por R+1 dentre os G+1 pontos dados –
está inteiramente contido no 2EG. Da mesma forma, para RG, R desses pontos não podem
estar contidos num mesmo 2ER-2. Com efeito, porque R-1 dos pontos dados – que
determinam o 2ER-2 considerado – juntamente com os G+1-R pontos restantes deveriam ser
suficientes para determinar o espaço todo; o que é absurdo, pois o total de pontos para tal
seria (G+1-R)+(R-1)=G, e não G+1.
Definição:
Um sistema de R+1 pontos (de um 2ER), R quaisquer deles não contidos num
mesmo 2ER-2, é denominado um sistema de pontos linearmente
independentes.
Consideremos um sistema de G+1 pontos independentes e os G diádicos definidos
com origem no ponto zero e extremidades nos demais pontos. Dois quaisquer desses
diádicos (definidos por R=3 pontos independentes, origem inclusa) não são paralelos
porque, do contrario, as suas origens comuns e suas extremidades deveriam ser três pontos
colineares (e os pontos dados não seriam independentes). Três quaisquer desses diádicos
(definidos por R=4 pontos independentes) não podem ser coplanares porque, se fossem, os
R pontos pertenceriam a um plano (e os pontos dados não seriam independentes). E assim
sucessivamente.
Consideremos as biflechas ordenadas 1, 2, ..., G de uma base de um 2EG aplicadas
co-inicialmente num ponto arbitrário do espaço, O. As extremidades (pontos) 1, 2, ..., G
dessas flechas juntamente com o ponto origem O0, constituem um sistema linearmente
independente de G+1 pontos. Dois quaisquer desses pontos e o ponto 0 não podem ser
colineares, pois, do contrário, os diádicos correspondentes seriam paralelos e não poderiam
compor a referida base. Três quaisquer desses pontos e o ponto 0 não são coplanares
porque, do contrário, os três diádicos correspondentes estariam contidos num plano e não
poderiam compor uma base. E assim sucessivamente.
Logo:
Num 2EG (G9) é sempre possível constituir-se uma base com um sistema de
G+1 pontos linearmente independentes; vice versa, com uma base de um 2EG
é sempre possível constituir-se um sistema de G+1 pontos linearmente
independentes desse espaço.
União e interseção de espaços.
Consideremos agora dois espaços diádicos, 2ER e
2ES, o primeiro determinado por
R+1 pontos, o segundo por S+1. Se estes espaços forem "físicos", que sejam, então, de
grandezas de mesma dimensão, isso é, ambos de tensões, ambos de deformações etc..
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 240
Poliádicos - Ruggeri
Se 2ER e
2ES não têm ponto comum, a união dos dois apresenta R+S+2 pontos
independentes que determinam um 2ER+S+1. Se R+S+1>G,
2ER e
2ES terão necessariamente
uma região de dimensão X em comum, definida por X+1 pontos independentes. Como essa
região comum rouba X da dimensão de 2ER e X da de
2ES, a determinação de
2ER e
2ES
requer R+1-(X+1)+(S+1)-(X+1)=R-X+S-X pontos adicionais independentes. O total de
pontos independentes para a determinação de 2EG é, pois, X+1+R-X+S-X=R+S-X+1, com
os quais se determina um 2ER+S-X. Podemos então enunciar:
Se um 2ER e um
2ES têm X+1 pontos em comum (ou um
2EX em comum) eles
estão contidos num 2ER+S-X; se não têm ponto em comum, ambos estão
contidos num 2ER+S+1.
Assim, por exemplo, à união de dois 2E que têm um ponto em comum (X=0) corresponde o
"espaço diádico soma dos espaços dados", de dimensão R+S. Vejamos como interpretar a
questão do ponto de vista algébrico. Representemos por 0 o ponto comum aos dois espaços
e em cada um deles imaginemos traçadas as flechas de base co-iniciais em 0. Um diádico
de qualquer um desses espaços é uma combinação linear dos respectivos diádicos de base.
Como é impossível expressar um diádico de uma base pelos diádicos da outra base (eles
pertencem a espaços de dimensões diferentes), a união deles é um diádico expresso em
função de R+S diádicos independentes de um novo espaço (de dimensão R+S): o espaço
soma, que poderá estar contido ou não no 2EG. Se o espaço estiver contido em
2EG diremos
que 2ER e
2ES são complementares em
2EG.
Para o caso em que G=9 (o espaço considerado é todo o espaço diádico),
enunciamos:
Se um 2ER e um
2ES estão contidos em
2E9 e R+S+1>9, eles têm em comum
um 9-SR2 E (ou R+S-8 pontos em comum); se R+S<9 eles não têm ponto em
comum.
Se um 2ER e um
2ES tiverem X+1 pontos em comum, diremos que eles se
interceptam segundo um 2EX; se não tiverem pontos em comum (X+1=0), diremos que
eles se interceptam segundo um 2E-1 (espaço de dimensão –1, definido por zero pontos, um
espaço vazio). Se R+S=9 e 2ER e
2ES estão contidos em
2E9 eles são complementares em
2E9.
*
Exemplos:
1) – No caso particular de dois espaços diádicos simétricos, com a mesma dimensão
(§10.02), isso é, R=S=6 (cada um definido por 7 pontos), tem-se R+S>9 (12>9); então os
dois espaços têm 6+6-8=4 pontos em comum, ou, o que é mesmo, eles se interceptam
segundo um 2E3. Esse subespaço
2E3, devendo ter por base (um terceto de) diádicos
simétricos, é simétrico necessariamente.
2) – Tal como no caso anterior, para dois espaços diádicos anti-simétricos, também
com a mesma dimensão (§10.02), isso é, R=S=3 (definidos por 4 pontos cada), tem-se
R+S<9 (6<9); e os dois espaços não têm ponto comum ou não se interceptam.
3) – Um espaço diádico simétrico (R=6) e um anti-simétrico (S=3) são
complementares no 2E9 (e têm necessariamente um ponto em comum).
§ 10.03 – Idéias geométricas primárias no espaço diádico. 241
Poliádicos - Ruggeri
4) – Sejam: R=5 e S=7. O 2E5 é definido por 6 pontos; o
2E7 por 8 pontos. Logo o
espaço soma tem 12 pontos. Como estão contidos no 2E9 (definido por 10 pontos) existem 4
pontos em excesso, isso é, os espaços têm um 2E3 comum.
Exercício:
Demonstrar que três espaços diádicos anti-simétricos têm uma reta comum.
*
Graus de liberdade de um espaço diádico.
Seja dado um 2EP contido num
2EG. O
2EP é dado por P+1 pontos, cada ponto tendo
P graus de liberdade, isso é, estão dadas (P+1)P condições que definem o 2EP. Mas, em
relação ao 2EG, os P+1 pontos de
2EP devem ser definidos por P+1 diádicos, cada um com G
coordenadas, requerendo, pois, um total de (P+1)G condições. Como G>P, restam (P+1)(G-
P) condições; dizemos:
o número de condições para determinar-se um 2EP contido num
2EG é
(P+1)(G-P).
Exemplo:
Em Elasticidade, o número de condições para determinar-se um "estado plano de
deformações ou de tensões" (caso P=3, porque o espaço dos diádicos planares simétricos
tem dimensões92), é, então: (3+1)(6-3)=12.
Isto porque o espaço das tensões planas (por ser tridimensional) deve ser definido
por 4 pontos e cada um desses é definido por um diádico do 2E6 (espaço dos diádicos
simétricos), requerendo, pois, 4x6=24 coordenadas (ou condições). Por outro lado, como os
4 pontos do 2E3 dos diádicos planares simétricos tem 4x3 graus de liberdade e, estando
dado, já foram dadas 12 das 24 condições necessárias. Restam, pois, 24-12=12.
Podemos esclarecer a questão de dois pontos de vista: 1) – O estado plano de
deformações, por ter três dimensões, é determinado por quatro pontos independentes. Como
cada ponto nesse espaço requer três coordenadas para a sua fixação, necessitaremos um
total de 12; 2) – Dentre os 36 elementos que compõem a matriz associada a 6 diádicos
(simétricos) candidatos a uma base (do estado de deformações ou tensões), apenas 12 deles
são independentes, todos os demais sendo combinações destes. O grau do principal da
referida matriz é 3 e seus 9 elementos são definidos por relações entre 12 números.
92 A linguagem da Teoria da Elasticidade é ligeiramente diferente da do Cálculo Poliádico. Lá falamos de estado plano de tensões; aqui falamos de espaço uniplanar de tensões (porque o diádico de tensões é planar simétrico).
*
Se o 2EP em referência, contido num
2EG, tem apenas R+1 pontos conhecidos - logo,
contém um 2ER e são necessários ainda P-R outros pontos para determiná-lo - o número de
graus de liberdade desse espaço é (P-R)(G-P); então podemos enunciar:
O número de graus de liberdade de um 2EP, contido num
2EG, que passa (ou
contém) um 2ER, é (P-R)(G-P).
§ 10.04 – Ordem no espaço diádico. II-242
Poliádicos - Ruggeri
Exemplo 6:
O número de graus de liberdade de um estado plano de tensões (de três dimensões,
P=3), contido no estado pleno das tensões (G=6), estado plano esse que, ainda, contém
certo estado duplo de tensões (R=2) é 6. Um "estado duplo" de tensões é um estado plano
de tensões com a particularidade de ter uma das coordenadas sempre nula.
*
O teorema anterior (para G>P>R) pode ser enunciado também da seguinte maneira:
O número de condições para que um 2EP, contido num
2EG, passe (ou
contenha) um 2ER, é (R+1)(G-P).
Se um 2ER pode deslocar-se num
2EQ, ele tem (R+1)(Q-R) graus de liberdade. Então,
O número de condições para que um 2EP e um
2EQ, ambos contidos num
2EG,
se interceptem num 2ER, é (R+1)[(G-P)-(Q-R)],
o que implica G-PQ-R. Se for G-P<Q-R eles se interceptam numa região de dimensão
P+Q-9 que é maior que R.
§ 10.04 – Ordem no espaço diádico.
Embora a idéia de movimento não seja de índole geométrica, usamos comumente
em Geometria o termo "ponto corrente" com o intuito de representar um ponto que possa
mover-se pelo espaço (eventualmente sobre uma reta, sobre um plano etc.). A
transformação de uma figura muitas vezes é também (inadvertidamente) relacionada com
uma "movimentação rígida" de uma mesma figura pelo espaço. Essas "idéias mecânicas"
são substituídas pelos conceitos de ordem (ou seqüência) e congruência, a cada um
correspondendo um grupo de axiomas os quais não serão aqui apresentados.
Vamos estender ao espaço diádico os conceitos de ordem da Geometria ordinária.
Um ponto divide uma reta em duas semi-retas, mas não divide um plano; uma reta
divide um plano em dois semi-planos, mas não divide o 3-espaço; um plano divide o 3-
espaço em dois semi-espaços mas não divide um 4-espaço; e assim sucessivamente.
Se A1 e A2 são dois pontos de uma reta, eles determinam um segmento que consiste
do conjunto de todos os pontos P dessa reta encontrados na seqüência A1PA2 (ou A2PA1).
Os pontos dividem a reta em três partes, numa primeira parte correspondendo a ordem
PA1A2 (ou A2A1P), numa segunda A1PA2 (ou A2PA1) e, na terceira, A1A2P (ou PA2A1).
Os três pontos não colineares A1, A2 e A3 de um plano determinam três retas que
formam um triângulo cujos lados são os segmentos A1A2 (ou A2A1) etc.. Se A12 representa
algum ponto do segmento A1A2, o interior do triângulo consiste de todos os pontos P
encontráveis na seqüência A3PA12 etc. sobre o segmento A3A12. Assim, os três pontos
dividem o plano em 7 regiões (tantas quantas são a soma das combinações de três
elementos tomados um a um, dois a dois e três as três): uma região interior, uma sobre cada
um dos lados e uma sobre cada um dos vértices.
§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. 243
Poliádicos - Ruggeri
Analogamente podem ser separadas as 12CCCC 444
34
24
14 regiões definidas
por quatro pontos não coplanares, mantendo-se as nomenclaturas clássicas: vértices, lados,
faces.
É evidente, em face do exposto, a caracterização de regiões nos espaços de dimensão
G maior que três, no total de 2G+1
-1. No espaço diádico, chamaremos (como em Geometria
N-dimensional) simplex, ou ainda, um (G+1)-ponto, a figura formada por: CG+11=G+1
pontos independentes, de que são os vértices; os CG+12 segmentos definidos, de que são os
lados; os CG+13 planos definidos, de que são as faces, os CG+1
4 3-espaços definidos, de que
são os 3-espaços etc..
É evidente, face ao exposto, que as extremidades 1, 2, ..., G dos G diádicos
ordenados 1, 2, ..., G de uma base de um G-espaço, aplicados co-inicialmente num ponto
arbitrário O, definem, juntamente com O, um simplex (nesse espaço). Eixos de origem O,
construídos com a mesma escala, e orientados segundo as ponteiras dos diádicos
constituirão um sistema cartesiano natural de referência nesse espaço, sistema esse que
poderá, arbitrariamente, ser denominado positivo (ou negativo).
§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico.
Direção e orientação.
Um sistema de retas num plano, com um ponto comum, é denominado um feixe de
retas; o ponto comum fica determinado por duas quaisquer das retas do feixe. Um sistema
de pontos, com uma reta comum, é denominado uma pontilhada; a reta comum é definida
por dois quaisquer dos pontos da pontilhada. Feixe de retas e pontilhadas são figuras duais.
Um sistema de retas no espaço, com um ponto comum, é denominado uma estrela
de retas, seu dual é um sistema de pontos com um plano comum (um sistema
bidimensional).
Retas todas paralelas a uma mesma reta têm, também, um elemento comum: uma
direção, que é determinada de forma única por duas quaisquer das retas. Uma direção e um
ponto determinam uma única reta. Uma direção e dois pontos determinam um único plano,
pois a direção e um dos pontos determinam uma reta e esta reta e o segundo ponto
determinam o plano. Analogamente, duas direções juntamente com um ponto determinam
unicamente um plano. Por conseguinte uma direção assume o papel de um ponto na
determinação de retas e planos
Duas direções, por si sós, não determinam um plano, apenas a orientação de um
plano. Assim, uma orientação e um ponto determinam unicamente um plano. Se forem
dadas as orientações de dois planos, a interseção deles terá uma direção determinada; isso é,
duas orientações determinam unicamente uma direção. Por conseguinte uma orientação
assume o papel de uma reta na determinação de planos e pontos. Duas retas somente
determinam um ponto quando têm plano comum; duas orientações (em três dimensões)
sempre determinam uma direção. Assim, orientações se correspondem com retas com
plano comum.
Pontos impróprios (ou no infinito).
Se associarmos a palavra direção com ponto impróprio ou ponto no infinito, diremos
que um sistema de retas todas paralelas a uma mesma reta têm um elemento comum: um
ponto impróprio, assim denominado para distingui-lo dos demais pontos da reta, que são
§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. 244
Poliádicos - Ruggeri
próprios. Da mesma forma, se associarmos a palavra orientação com reta imprópria ou no
infinito, diremos que planos paralelos a um mesmo plano têm um elemento comum: uma
reta imprópria para distingui-la das demais retas do plano, que são próprias.
Nestas condições um ponto impróprio num plano é a direção de alguma reta contida
nesse plano. A orientação determinada por duas direções contém essas direções; então, a
reta imprópria é determinada por dois pontos impróprios. Como duas retas de um plano
determinam a orientação desse plano, dois pontos impróprios quaisquer de um plano
determinam a mesma reta imprópria.
Muitos outros resultados podem ser deduzidos das proposições enunciadas. Assim,
um plano contém apenas uma reta imprópria; duas retas de um plano são paralelas se elas
têm um ponto comum com a reta imprópria desse plano.
Duas retas impróprias quaisquer sempre determinam um ponto impróprio; então
todas as retas impróprias têm um plano comum, o plano impróprio ou no infinito. Esse
plano contém ainda todas as orientações do espaço de três dimensões. O ponto impróprio de
uma reta e a reta imprópria de um plano são as interseções dessa reta e desse plano com o
plano impróprio, em um ponto (impróprio).
Extensão de conceitos.
Num 2EG existe um único
2EG-1 impróprio (ou no infinito). Diremos que dois
espaços, 2EG-1 e
2E'G-1 são paralelos se o
2EG-2 comum a ambos é um
2EG-2 impróprio, ou
seja, 2EG-2 é um elemento do
2EG-1 impróprio.
Dois 2E2 , sem pontos comuns, ambos contidos num
2E3, podem não ter nenhum
espaço impróprio e serão ditos oblíquos. Dois 2E3, sem pontos próprios comuns: 1) –
estando contidos no mesmo 2E4 , têm um
2E2 (plano) impróprio em comum; 2) – estando
contidos no mesmo 2E5, terão
2E1 (reta) imprópria comum; 3) – estando contidos num
2E6,
terão um 2E0 (ponto) impróprio comum; 4) – se eles não estão contidos num mesmo
2E6,
serão oblíquos. No caso 1) os espaços são ditos completamente paralelos; no caso 2), dois
terços paralelos e no caso 3), um terço paralelos.
No caso geral, dois espaços, 2EP e
2EQ, com PQ, por hipótese ambos contidos num
2EP+Q-R, interceptar-se-ão em geral num
2ER. Pois
2EP+Q-R é definido por P+Q-R+1 pontos,
existindo então, P+1+Q+1-(P+Q-R+1) pontos comuns, isso é, R+1.Mas não tendo pontos
(próprios) comuns, 2EP e
2EQ serão ditos (R+1)/Q paralelos se tiverem em comum um
2ER
impróprio. Como R+1 e Q são inteiros, espaços (R+1)/Q paralelos são ditos, em geral,
racionalmente paralelos.
*
Exemplo:
Considerados dois espaços diádicos tridimensionais (P=Q=3) que não têm ponto
comum: 1) – se eles estão contidos num mesmo 2E4 (R=2) e têm um
2E2 impróprio comum,
são “um paralelos”; 2) – se estão contidos num mesmo 2E5 (R=1), e têm uma reta imprópria
em comum são “2/3 paralelos”; 3) – se estão contidos num mesmo 2E6 (R=0), e têm um
ponto impróprio comum eles são “1/3 paralelos”; 4) – se eles não estão contidos no mesmo 2E6 (R=0) eles são oblíquos.93
*
93 Analisaremos essa mesma questão no §09,IV em relação ao espaço dos tetrádicos.
§ 10.05 – Paralelismo no espaço diádico. 245
Poliádicos - Ruggeri
Ora, se 2EP e
2EQ, com PQ, estão contidos num
2EP+Q-R, eles têm pelo menos um
2ER-1 impróprio em comum porque, se eles se interceptam o
2ER comum a eles contém um
único 2ER-1 impróprio. Por conseguinte, para que dois espaços diádicos sejam paralelos, não
é suficiente que eles tenham certa dimensionalidade de pontos impróprios em comum; eles
precisam ter também nenhum ponto próprio em comum.
Paralelismo completo pode ocorrer entre espaços diádicos de um número qualquer
de dimensões menor que 9. Paralelismos parciais requerem um mínimo de dimensões.
Assim, meio paralelismo somente aparece pela primeira vez quando dois 2E2 (P=Q=2) estão
contidos num 2E4 e têm um
2E0 (R=0, ponto) impróprio comum. Um terço de paralelismo
não aparece entre espaços de dimensões menores que 6 (porque deveria ser Q=3(R+1) com
R>0). Em geral, o paralelismo de ordem (R+1)/Q, em que R+1 é primo com Q, requer
espaços de pelo menos 2Q-R dimensões, o que acarreta a existência de um 2EP e um
2EQ
contidos num mesmo 2EP+Q-R para PQ.
O paralelotopo.
Podemos, agora, procurar no espaço diádico as figuras correspondentes aos
paralelogramos e paralelepípedos do espaço dos vetores. Um 2E4 é definido por 4 diádicos
independentes (formando uma base), 1, 2, 3, 4, os quais, aplicados co-inicialmente em
um ponto arbitrário, 0, definem o 5-ponto (01234). Vamos construir um paralelotopo sobre
os quatro diádicos co-iniciais dados, tal como construímos um paralelepípedo sobre três
vetores. Contendo o ponto 0, um 2E5 tem: 4 (i.é., C4
3) 3-espaços, definidos por tercetos de
diádicos, 6 (C42) 2-espaços (planos), definidos por pares de diádicos e 4 (C4
1) 1-espaços
(retas), definidos por cada diádico. A cada um dos 4 vértices 1,2,3,4 corresponde um 3-
espaço oposto. Ao vértice 1 corresponde o 3-espaço oposto definido pelos pontos 0, 2, 3 e
4, que representaremos por (1-0234); os demais são: (2-1034), (3-1204) e (4-1230). Por
cada um dos 4 vértices 1, 2, 3, 4 podemos conduzir um 3-espaço paralelo ao respectivo
espaço oposto. Então o número de fronteiras do paralelotopo, de dimensão 3, é 2xC41=8.
O 3-espaço conduzido por 1, paralelamente ao seu oposto (0234), intercepta os 3-
espaços (0231), (0214) e (0134) segundo os 2-espaços (023), (024) e (034),
respectivamente. Esse 3-espaço intercepta também: 1) – o 3-espaço conduzido por 2,
paralelamente a (0341), segundo um 2-espaço paralelo a (034); 2) -–o conduzido por 3,
paralelamente a (0412) segundo um 2-espaço paralelo a (024); 3) – finalmente, o conduzido
por 4 paralelamente a (0123) por um 2-espaço paralelo a (023). Essas interseções
constituem 3 pares de 2-espaços paralelos.
A mesma análise de interseções pode ser feita em relação aos 3-espaços conduzidos
por 2, 3 e 4 paralelamente aos respectivos espaços opostos. No caso do 3-espaço conduzido
por 2, paralelamente a (1034), dentre os três pares de 2-espaços paralelos, interseções de
(1034) com (2034), (1024) e (1032), encontraremos apenas o par (04) repetido, significando
isto que dois novos planos paralelos a (034) foram encontrados, o que eleva o número de
pares de 2-espaços paralelos para 4. Prosseguindo essa análise, teremos encontrado tantos
grupos de 4 (22) 2-espaços paralelos quantos são os 2-espaços definidos pelos diádicos, ou
sejam, C42. Então: as fronteiras de duas dimensões do paralelotopo montado sobre os quatro
diádicos independentes formam C42 grupos de 2
2 2-espaços paralelos, ou sejam, 2
2x C4
2=24.
Por caminho semelhante, embora bem mais cansativo, poderíamos concluir que as
fronteiras de uma dimensão do paralelotopo em pauta formam C41=4 grupos de 2
3=8 1-
espaços paralelos (aos diádicos dados), ou sejam 23x C4
3=32.
§ 11.01 – Multiplicação cruzada. 246
II,§11.01
Finalmente, devemos considerar que 4 grupos de 23 retas paralelas cada um se
interceptam segundo 24 pontos, posto que por cada vértice devam passar 4 retas (uma
paralela a cada um dos diádicos) e que sobre uma reta não pode existir mais de dois vértices
(porque, do contrário, haveria diádicos de base paralelos); tais pontos são os vértices do
paralelotopo.
Esses resultados foram determinados, assim, para um 2E4. É possível demonstrar que
a quantidade de R-espaços fronteira de um paralelotopo de um G-espaço diádico é dado por
2G-R
xCGR. O número CG
R é a quantidade de R-espaços fronteira que passam por um vértice,
sendo, ainda, a quantidade de grupos existentes de R-espaços completamente paralelos. O
número 2G-R
é a quantidade de R-espaços completamente paralelos contidos em cada um
dos CGR grupos.
Para o espaço diádico podemos, então, montar o quadro apresentado abaixo.
Número de fronteiras R-dim de um paralelotopo de um G-espaço diádico: 2G-R CG
R
G \ R 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 Segmentos – diádico unilinear
2 4 4 Paralelogramos – Diádico linear
3 8 12 6 Paralelepípedos - Diádico anti-simétrico, uniplanar
4 16 32 24 8 Diádico de Argand
5 32 80 80 40 10
6 64 192 240 160 60 12 Diádico simétrico
7 128 448 672 560 280 84 14 Diádico antitriangular
8 256 1024 1792 1792 1120 448 114 16 Diádico planar
9 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18
*
Multiplicações múltiplas com diádicos de um espaço G-dimensional.
Mais uma vez encontraremos operações com diádicos que guardam forte analogia
com umas similares já estudadas para os vetores e que poderão ser estendidas para os
"espaços vetoriais" abstratos da Álgebra Linear.
§ 11 - MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA.
PERPENDICULARIDADES.
§ 11.01 – Multiplicação cruzada múltipla.
Já vimos alguns casos de existência de diádicos ortogonais (§ 07.02, § 10.02) mas
não pudemos, ainda, determinar em que condições e a quantos diádicos (no máximo) um
diádico pode ser perpendicular.
Consideremos uma base diádica {*} de um
2EG e uma base {
*} de um subespaço
2EV de
2EG (logo, V < G). Procurando (se é que existe) um diádico não nulo de
2EG, escrito
na forma Mi
i , com i=1, 2, ..., G, que seja perpendicular a 1, 2, ..., V, escrevemos,
para traduzir a hipotética ortogonalidade:
iijj M) (0 :V1,2,...,j :: , (01),
ou, equivalentemente, escrevendo as coordenadas dos diádicos em linha,
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 247
Poliádicos - Ruggeri
1 1 1 2 1 G
2 1 2 2 2 G
V 1 2 V G
1
2
G
...
... ... ... ...
...
M
M
...
M
0
0
...
0
: : :
: : :
: : :V
...
.
, (011).
A determinação do diádico requer, então, uma discussão em torno das possíveis soluções
do sistema homogêneo indeterminado (011), de V equações com G incógnitas, logo de
ordem de indeterminação G-V.
O grau do principal (ou posto) da matriz desse sistema, isso é, o grau de um
determinante não nulo de mais alta ordem que se possa extrair dessa matriz é V (porque,
por hipótese, os V diádicos formam uma base de um subespaço de 2EG).
Para V=G-1, o sistema terá G-1 equações (caso em que a ordem de indeterminação é
–1), suas soluções não nulas – as coordenadas de em relação à base {*} de 2EG – são
proporcionais aos menores do grau G-1 que se extraem da matriz dos coeficientes por
eliminação de uma coluna (a de elementos 1:
i,
2:
i, etc.) multiplicados pela potência de
(-1) cujo expoente é igual à ordem da coluna menos um. Então:
D D D ...
DL
1 2 3
G
G
=constante, (02),
sendo
G1G31G21G
G23222
G13121
1
...
............
...
...
D
:::
:::
:::
,
D
2
1 1 1 3 1 G
2 1 2 3 2 G
G 1 1 G 1 3 G 1 G
: : :
: : :
: : :
...
...
... ... ... ...
...
etc., (021).
Esse diádico assim determinado, ortogonal a diádicos 1, 2, ..., G - 1 de um 2EG-1,
pertence, evidentemente, ao 2EG.
Definição: (produto cruzado múltiplo de diádicos)
Denominaremos produto cruzado múltiplo de 2G-18 diádicos 1, 2, ...,
G - 1 de um 2EG-1 contido num
2EG, nesta ordem, e o representaremos por <
12...G - 1 >, o diádico do 2EG cuja representação cartesiana numa base
{*}, tenha coordenadas Mk dadas por (02), onde se faça L igual ao módulo
da base { }
, |*|, se ela for positiva (caso presente) e -|*| se ela for
negativa:
k
k1G321 D|| ...
, (k = 1, 2, ..., G) (03).
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 248
Poliádicos - Ruggeri
Então, podemos escrever o produto cruzado, referido a uma base positiva, na forma
do pseudodeterminante:
G1G21G11G
G12111
G21
1G321
...
............
...
...
|| ...
:::
:::
, (031),
convencionando-se desenvolvê-lo segundo Laplace pelos elementos (diádicos) da primeira
linha.
Por analogia com o espaço dos vetores, diremos também, por definição, que o
produto cruzado múltiplo de G-1 diádicos de um 2EG-1 é o "diádico–área" do paralelotopo
(§10.05) construído sobre esses diádicos, seu módulo sendo a "área do paralelotopo". Tal
diádico-área é perpendicular a todos os diádicos que definem o paralelotopo, tendo, pois,
uma direção bem definida no espaço diádico.
*
Particularmente, se fizermos em (031) i = i (i = 1, 2, ..., G - 1), isso é, para G - 1
dos diádicos recíprocos da base positiva {*}, a matriz (G-1)xG do sistema (011) é
01...000
00...000
..................
00...100
00...010
00...001
, (04),
o que implica
D = 0 = D = ... = D e D1 2 G 1 G | | ,
isso é,
G1G21 || ... , (05);
a fórmula (05) generaliza (10), § 10.02. Então:
Um diádico qualquer de uma base positiva do 2EG, ampliado do módulo da
base recíproca, é igual ao produto cruzado (diádico-área) dos G - 1 diádicos
não correspondentes da base recíproca, multiplicados na ordem cíclica.
A operação que tem por fim determinar um produto cruzado múltiplo de G - 1
diádicos de um espaço G-dimensional chama-se multiplicação cruzada múltipla desses
diádicos. É evidente que esta operação está definida quando a base em consideração é
composta por G quaisquer das díades do conjunto formado por bases vetoriais recíprocas.
Então, um diádico de uma base é ortogonal a todos os diádicos não homólogos da base
recíproca.
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 249
Poliádicos - Ruggeri
Essa operação, sempre possível e unívoca, goza ainda das seguintes
Propriedades
1ª) - O produto cruzado (ou, o diádico-área) de diádicos é nulo:
a) - se um dos diádicos é o diádico nulo,
pois a matriz de (011) tem uma linha nula e, conseqüentemente, todos os Di têm uma linha
nula (e o produto é nulo);
b) - se dois diádicos são paralelos,
pois a matriz de (011) teria duas linhas proporcionais, o mesmo ocorrendo em todos os Di;
c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos
diádicos fatores,
pois a matriz de (011) tem uma linha que é uma combinação linear de duas ou mais outras
linhas paralelas, o mesmo acontecendo nos Di.
2ª) - Alternância.
Permutando-se dois diádicos contíguos quaisquer na permutação
fundamental 1, 2, ..., G - 1, o produto cruzado correspondente troca de
sinal.
Por exemplo, para G = 9: 1 2 3 6 7 1 2 3 6 75 4 8 4 5 8 . Pois
quando se permutam dois diádicos contíguos, permutam-se duas linhas contíguas dos
determinantes Di. Então, todos os Di trocam de sinal e, conseqüentemente, o produto
cruzado.
Essa propriedade pode ser generalizada. Se w é o número de inversões contadas
entre os diádicos de um produto cruzado em relação a uma permutação fundamental, o
produto cruzado correspondente troca de sinal w vezes. Então a multiplicação cruzada será
comutativa para w par e anticomutativa para w ímpar. Isso significa que
No K-espaço, uma permutação circular dos fatores de um produto cruzado
(de K diádicos desse espaço) muda K -2 vezes o seu sinal.
3ª) - A multiplicação cruzada é distributiva em relação à adição de diádicos,
sendo, por exemplo, para G = 9:
1 2 4 6 1 2 4 1 2 43 7 8 3 6 7 8 3 6 7 8( + ) .
Com efeito, no exemplo os elementos da 5ª linha da matriz (011) são binômios.
Logo, os elementos dessa mesma linha dos determinantes Di serão binômios e estes
determinantes se desdobram na soma de dois outros determinantes do grau 8, cada um se
obtendo do determinante Di trocando-se nele a referida linha por uma linha de termos do
binômio.
Mais geralmente comprovaríamos que:
A multiplicação cruzada é uma operação linear.
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 250
Poliádicos - Ruggeri
4ª) - G - 1 diádicos de um 2EG e seu produto cruzado são linearmente
independentes no 2EG;
Particularmente, se, por exemplo, 8 diádicos m estão expressos cartesianamente em
relação às bases vetoriais positivas {e*} e {e*} na forma:
m jm
ii
jF e e (m = 1, 2, ..., 8; i, j = 1, 2, 3), (06),
temos, lembrando (01), § 10.02 e (031), § 11:
1 2
111
112
113
211
313
121
122
123
221
323
131
132
133
231
333
181
182
183
281
383
...
F F F F ... F
F F F F ... F
F F F F ... F
.... ... ... ... ... ...
F F F F ... F
8
11
12
13
21
33
| |
...
e e
e e e e e e e e e e
, (061),
devendo ser notada a inversão da posição dos índices nas díades do fator |e*e*| no segundo
membro e nas díades da primeira linha do determinante.
*
Exercício:
Dar à expressão (061) uma representação utilizando a notação de Voigt (estabelecida
no §10.02).
*
Consideremos agora o caso do sistema (011) em que V = G – P, P sendo a ordem
de indeterminação, com P = 2. Temos então, de partida, diádicos componentes de uma base
de um 2EG-2. O sistema (011) é, então:
0
...
0
0
M
...
M
M
.
...
............
...
...
G
2
1
G2-G22G12-G
G22212
G12111
:::
:::
:::
, (012).
Como o principal é do grau G-2, o sistema é indeterminado, admitindo (duas) infinidades
de soluções porque existem duas incógnitas não principais (MG-1 e MG).
Para entender essa assertiva basta imaginar calculadas as G-2 incógnitas principais
(M1, M2, ..., MG-2) em função das não principais e atribuir valores arbitrários às não
principais para termos uma solução para o sistema. Qualquer outra solução poderá ser
obtida atribuindo-se novos valores às incógnitas não principais. Se esses novos valores não
forem proporcionais aos primeiros obteremos um diádico solução não paralelo ao anterior.
Geometricamente isto significa que, no 2E2 que complementa o
2EG-2 (em relação ao
2EG),
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 251
Poliádicos - Ruggeri
existe uma infinidade de diádicos (quaisquer) ortogonais a todos os diádicos do 2EG-2
considerado; devendo-se observar, de passagem, que os diádicos do 2E2 são independentes.
Como o 2E2 tem duas dimensões, concluímos que os diádicos de qualquer base de
2E2 são
ortogonais aos diádicos da base considerada do 2EG-2.
As mesmas considerações poderiam ser feitas para P=3, P=4 etc., ou sejam, G=V-
3, G=V-4 etc..
Poderíamos agora, invertendo posições, considerar P diádicos quaisquer do 2EP
(com P=2,3, ...) e definir com eles um novo produto, por exemplo, um diádico que fosse
certa combinação linear de G-P dos diádicos da base {*}, ou quem sabe, um novo
conceito. Não nos interessa explorar essas questões no momento94.
Identidades notáveis
Para o caso 2EG com G = 3 (produto cruzado de dois diádicos de um
2E3, gerados do
E3), considerando que:
i
i1
ii11 ) () ( :: e j
j2
jj22 ) ( ) ( :: para i,j=1,2,3,
temos, para uma base positiva:
32
22
12
31
21
11
321
322212
312111
321
21 ||||
:::
:::
:::
:::
, (032).
Em geral, para os diádicos do 2E3, gerados do E3,
2121
, (033).
Entretanto, vale aqui (para diádicos gerados do E3) a fórmula de Lagrange,
| ||| | || || || || || | 212121 : , (034),
que escreveremos na forma
2212
211121 | || |
::::
, (035).
Multiplicando dupla e pontuadamente o segundo e o terceiro membros de (032),
vem, ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (23,
31 e 12) e considerando que |*||*|=1:
94 Hostetter, I. M., em Polyadic Products, Journal of Mathematics and Physics, vol. 22, 1943, mostra, definindo um "star product", como generalizar a definição de cross product de vetores introduzida por Gibbs (o. c.).
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 252
Poliádicos - Ruggeri
3
22
2
31
21
3222
312121
| || |
::
::
::
::
2
21
22
11
1
2212
2111
12
32
11
31
1232
1131
::
::::::
::
::::::
Desenvolvendo o produto dos determinantes correspondente à primeira parcela temos:
))(())((
))(())((
21
122211
1212
21
112111
1111
32
31
22
21
3222
3121
32
22
31
21
3222
3121
::::::
::::::
::
::
::
::
::
::
::
::
Assim, o produto é equivalente à soma dos quatro determinantes seguintes:
2212
2111
::
::,
))((
))((2
11212
21
1111
:::
::: ,
)())((
)())((221
112
2111
11
:::
::: ,
+))(())((
))(())((2
1121
112
21
1111
11
::::
::::,
o último deles sendo evidentemente nulo. Desenvolvendo da mesma forma os produtos
relativos às duas outras parcelas obteremos expressões análogas com uma parcela comum
(o primeiro dos determinantes acima). Os determinantes:
) )( (
) )( (
21
1212
21
1111
:::
::: ,
) () (
) )( (
22
2212
22
2111
:::
::: e
) )( (
) )( (
23
3212
23
3111
:::
:::
têm as primeiras colunas iguais e a soma deles é equivalente a um único determinante que
se obtém conservando-se a primeira coluna e somando as segundas. O elemento da primeira
linha e segunda coluna será então
2123
3122
2121
11 ))(())(())(( ::::::: .
Com a soma das outras três parcelas podemos obter resultado análogo, isso é, a segunda
linha da segunda coluna vale:
2223
3222
2221
12 ))(())(())(( ::::::: .
Esses resultados comprovam a fórmula (035).
De (034), então, resulta, trocando-se 1 por e
2 por :
),(sen | || | | || || || | 2 , (036),
fórmula em tudo idêntica à norma do produto vetorial de vetores ((07), §02.05,I).
Exercício: Comprovar que de (034) podemos deduzir identidades análogas às do (§05.02,I) que
são válidas para os vetores.
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 253
Poliádicos - Ruggeri
*
Calculemos agora a norma do produto cruzado múltiplo <> no 2E4. Tem-se:
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321
4321
||
||
::::
::::
::::
::::
::::
::::
donde:
...
| || |
143
143
143
143
143
143
432
432
432
432
432
432
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
:::
tal como no caso anterior, agora com determinantes de ordem 3 e, em cada parcela,
ordenando as colunas pela permutação circular dos índices dos diádicos de base (234, 341,
412 e 123). Por caminho idêntico ao seguido no caso anterior (num espaço de 3 dimensões)
encontraríamos resultado análogo, agora apresentado na forma:
222 )(| || |)(| || |)(| || |))()((2| || | | || | | || |
| || |
::::::
:::
:::
:::
, (04),
fórmula essa, válida num 2E4, correlata de (035) que é válida num
2E3. Ponhamos em
evidência em (04) o produto das normas dos diádicos (§07.07), ou seja, o produto dos
quadrados dos seus módulos. Nesse caso os duplos produtos pontuados poderão ser
substituídos pelos co-senos dos ângulos formados pelos diádicos, sendo, então:
)CcosBcosAcos2CcosBcosAcos1(|| || ||| || | 222222 .
Vê-se, pela expressão obtida e por analogia com o caso dos vetores, que o módulo do
produto cruzado múltiplo dos três diádicos é equivalente ao volume do paralelotopo
construído sobre as biflechas (§10.03) desses diádicos.
Ponhamos: i
iii AA , j
jjj BB e k
kkk CC .
Então:
iiAA||| | >0, j
jBB||| | >0, kkCC||| | >0,
jji
i BABA: , kkj
j CBCB: , iik
k ACAC: , (041).
Vimos que a norma do produto cruzado de três diádicos se expressa como uma soma
de quatro parcelas representadas, cada uma, por produtos de dois determinantes do grau
três. Lembrando que as colunas desses determinantes estão ordenadas por permutação
cíclica dos índices dos diádicos de base, o referido produto pode ser escrito na forma:
§ 11.01 – Multiplicação dupla cruzada. 254
Poliádicos - Ruggeri
ijkkjikjjikkji A)CBCB)(CBACBACBA(| || | .
Efetuando-se esses produtos e somas no segundo membro tem-se:
)ACB)(CBA()ACB)(CBA()ACB)(CBA(
)CBA)(CBA()CBA)(CBA()CBA)(CBA(
A)CBCB)(CBACBACBA(
ijkikj
ijkjik
ijkkji
kjiikj
kjijik
kjikji
ijkkjikjjikkji
.
Da primeira parcela do segundo membro deduzimos:
| || | | || | | || |)CC)(BB)(AA()CBA)(CBA( kk
jj
ii
kjikji ;
A segunda e a terceira são iguais, pois,
)AC)(CB)(BA()AC)(CB)(BA( )CBA)(CBA()CBA)(CBA( ii
kk
jjk
kj
ji
ikjiikj
kjijik
e
:)AC()AC( e ):()CB()CB( ),:()BA()BA( iik
kkkj
jjji
i ;
logo
):)(:)(:(2)CBA)(CBA()CBA)(CBA( kjiikj
kjijik
Agrupando na quarta parcela, deduzimos:
2k
kjj
ii
ijkkji ):)(:()CB)(CB)(AA()ACB)(CBA( ;
e operando da mesma forma nas demais parcelas obtemos resultados idênticos. Em resumo,
verificando-se as (041), verifica-se também a seguinte identidade com 24 letras:
)BA)(BA)(CC()AC)(AC)(BB()BC)(CB)(AA(
)AC)(CB)(BA(2)CC)(BB)(AA(
A)CBCB)(CBACBACBA(
iik
kj
jjji
ik
kk
kj
ji
i
kk
jj
iik
kj
ji
i
ijkkjikjjikkji
, (042).
Se os diádicos estão referidos a bases diádicas ortonormadas desaparece a distinção
entre suas coordenadas (co-variantes, contravariantes e mistas). Isto significa que as três
primeiras igualdades (041) ficam reduzidas a somas de quadrados. As demais ficam
reduzidas a apenas uma expressão e poderemos dispor todos os índices num mesmo nível,
sem perigo de confusão. Assim, digamos, iiBA: , jjCB: e kkAC: .
Ponhamos, nesse caso, para destacar: A1=A, A2=B, A3=C, A4=D, B1=P, B2=Q,
B3=R, B4=S e C1=X, C2=Y, C3=Z e C4=W. A identidade (042) poderá, então, ser escrita na
forma de uma identidade de 12 letras:
ZYXRQPCBA
YXWQPSBAD
XWZPSRADC
WZYSRQDCB
2222
§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. 255
Poliádicos - Ruggeri
)WZYX)(SRQP)(DCBA( 222222222222
)DWZCYBXA)(DWCZQYPX))(DSCRBQAP(2
22222 )DWCZQYPX)(DCBA( (043).
22222 )WDZCYBXA)(SRQP(
22222 )DSCRBQAP)(WZYX( .
É fácil, mas bastante trabalhoso, generalizar esses resultados para espaços de
dimensões maiores.
§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico.
Vimos (§10.03) que o número de graus de liberdade de um 2EP contido num
2EG, que
passa (ou contém) um 2ER, é (P-R)(G-P). Logo, o número de graus de liberdade de uma reta
(P=1) que passa por dado ponto O no G-espaço diádico (R=0) é G-1, o que significa que
essa reta pode girar em torno de O, com G-1 graus de liberdade.
Vimos também que o número de condições para que um 2EP e um
2EQ, ambos
contidos num 2EG, se interceptem num
2ER, é (R+1)(G-P-Q+R), mas P+QG+R; isso é, são
necessárias G-2 condições para que duas retas de um G-espaço (G2) passem por um ponto
dado, pouco importando o ângulo formado pelas mesmas.
Como o espaço complementar de qualquer 1-espaço (reta) contido num G-espaço
tem dimensão G-1, segue-se que uma reta perpendicular a uma reta dada, no ponto O desta,
pertence ao (G-1)-espaço que contém O e tem G-2 graus de liberdade. Com outras palavras
diríamos que a reta do (G-1)-espaço, que passa por O, gira em torno de O, com G-2 graus
de liberdade. Se o ângulo das duas retas for de um reto, diremos que a reta é ortogonal ao
(G-1)-espaço. Isso justifica geometricamente: 1) - a existência do produto cruzado (diádico-
área) de G-1 diádicos de um 2EG-1, diádico esse perpendicular a cada um dos diádicos
fatores (§11.01); 2) – por que cada diádico de uma base é perpendicular a todos os diádicos
não homólogos da base recíproca (§10.02).
Consideremos agora duas retas a e b de um G-espaço, perpendiculares num ponto O.
Cada uma dessas retas é ortogonal a um (G-1)-espaço, a reta a pertencendo ao (G-1)-espaço
complementar de b e a reta b ao complementar de a. Para que uma terceira reta r do G-
espaço seja perpendicular a a e b em O é suficiente que r esteja contida no (G-2)-espaço
interseção dos (G-1)-espaços ortogonais às retas a e b. E assim sucessivamente. Isto
justifica geometricamente a previsão algébrica (já referida no §11.01) da existência de G
retas mutuamente perpendiculares no G-espaço diádico, ou seja, a existência de bases
diádica ortogonais.
P retas mutuamente ortogonais dentre G delas (mutuamente ortogonais) de um G-
espaço diádico determinam um 2EP; as G-P restantes determinam um
2EG-P. Esses dois
espaços diádicos, complementares, têm o ponto O em comum e, evidentemente, são tais,
§ 11.02 – Perpendicularidade no espaço diádico. 256
Poliádicos - Ruggeri
que qualquer reta de um deles, que passe por O, é perpendicular a todas as retas do outro,
que passem também por O. Dois espaços que gozem dessa propriedade são ditos
completamente perpendiculares.
Certamente a nomenclatura "completamente ortogonais" insinua a possibilidade de
ortogonalidades parciais ou graus de ortogonalidade, os quais realmente existem. A
discussão dessa questão envolve referência a polares, coordenadas homogêneas, cônicas e
quádrica virtuais etc., assuntos que estão fora do escopo deste livro.
Ângulo de dois espaços.
No espaço diádico, o ângulo de dois 1-espaços (retas) com um ponto comum é o
ângulo de dois diádicos quaisquer de base, um de cada espaço (§07.07).
Consideremos um 2EP e um
2EQ com um ponto comum, O, ambos, pois, contidos
num 2EP+Q (espaço soma), com P+Q9 e P>Q>1. Existe sempre um e um só diádico (logo,
uma e uma só reta) perpendicular ao 2EP por O: o suporte do diádico produto cruzado de P
quaisquer diádicos de uma base de 2EP, diádico esse que está contido num
2EP+1, isso é,
contido em 2EP+Q qualquer que seja Q. Existe sempre, também, um e um só diádico
perpendicular a um 2EQ: o produto cruzado de Q quaisquer diádicos de base, contido num
2EQ+1, que por sua vez está contido no
2EP+Q. Esses dois produtos diádicos, ambos
pertencentes ao espaço soma, formam, pois, um ângulo, com vértice em O; esse ângulo é
denominado "ângulo dos espaços" 2EP e
2EQ. Quando o ângulo de dois espaços (com ponto
comum) é de um reto, os espaços são ditos "ortogonais".
Ortotopos.
A existência de bases diádicas ortogonais justifica a existência de paralelotopos
cujos R-espaços fronteira são ortogonais (são retas ortogonais, planos ortogonais, 3-espaços
ortogonais, retas ortogonais a planos etc.). Esses paralelotopos recebem a denominação
particular de ortotopos.
§ 12 – DUPLA MULTIPLICAÇÃO CRUZADA MÚLTIPLA DE G
DIÁDICOS.
Se um diádico fator, i , de um produto cruzado múltiplo, , de diádicos de um
subespaço 2EG-1 de um espaço
2EG dado, é um segundo produto cruzado múltiplo de outros
G - 1 diádicos, 1, 2, ..., G - 1 de outro subespaço 2EG-1, então e os i são linearmente
dependentes porque i deve ser perpendicular a e aos G - 1 diádicos 1, 2, ..., G - 1.
Definição:
Chamaremos duplo produto cruzado múltiplo, , de G - 1 diádicos 1, 2,
..., G - 1 de um 2EG-1 de dado espaço
2EG, um produto cruzado múltiplo
diádicos em que um deles seja um segundo produto cruzado múltiplo, < 1 2
... G - 1 >, de diádicos de outro 2EG-1 de
2EG.
§ 12 - Multiplicação cruzada dupla de G diádicos. 257
Poliádicos - Ruggeri
Assim, por exemplo, se G - 1 é o segundo produto cruzado,
1 2 2 ... ... G 1 2 G 1 .
A multiplicação dupla cruzada dupla de diádicos de um 2EG é a operação que tem por
fim determinar um duplo produto cruzado de diádicos nesse espaço. Essa operação é,
evidentemente, sempre possível e unívoca.
O produto cruzado fator de um duplo produto cruzado deve ter por fatores,
evidentemente, diádicos linearmente independentes de um 2EG-1, pois, do contrário, esse
produto seria o diádico nulo e, conseqüentemente, seria também nulo o duplo produto.
Teor. 1:(determinante simbólico do duplo produto cruzado múltiplo)
Tem-se:
1 2 G 2 G 1 1 2 G 1 ... , e ... , , :
1 2 G 2 1 2 G 1 ... ...
1G2G2G2G32G22G12G
1G3G2G3G33G23G13G
1G22G2322212
1G12G1312111
1G2G321
...
...
..................
...
...
...
:::::
:::::
:::::
:::::
, (01)95.
A fórmula (01) estende para o espaço diádico a clássica fórmula do duplo produto
vetorial de vetores.
Como o diádico e os i são linearmente dependentes, podemos escrever,
M i
i , (i = 1, 2, ..., G - 1), (A),
onde os Mi são números a determinar. Mostremos inicialmente que M1 não depende de 1.
Seja '1 um novo diádico e ' o duplo produto cruzado:
95 Essa fórmula é a análoga de (03), § 03.02, I e de (04),§ 03.03, I.
1 2 G 2 1 2 G 1 ... ... .
A expressão correlata de (A) é
M M ... M 1
1
2
2
G 1
G 1, (B).
§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos. 258
Poliádicos - Ruggeri
Exprimamos '1 em função dos G diádicos linearmente independentes 1, 2, ..., G - 1 e
do espaço diádico. Seja, então,
1 N M i
i , (C),
onde ao menos um dos coeficientes é diferente de zero.
Isto posto, de (C), da definição de multiplicação cruzada de G - 1 diádicos e de suas
propriedades, escrevemos:
1 1 1 2
2
2 G
1
2 G 1
2
2 G 1
G 1
G 1 2 G 1 G 1
... N ... N ... ...
N ... M ... ,
ou seja, calculando o duplo produto 1 2 G 2 1 2 G 1 ... ... , lembrando a
propriedade 1,b da multiplicação cruzada:
N M ... ... 1
1 2 G 2 2 G 1 .
Por conseguinte, substituindo (B) e (A) nesta expressão, vem:
M M ... M N (M M ... M 1
1
2
2
G 1
G 1
1 1
1
2
2
G 1
G 1 )
M ... ... 1 2 G 2 2 G 1 ,
ou, substituindo (C):
M (N N ... N M ) M ... M 1 1
1
2
2
G 1
G 1
2
2
G 1
G 1 )
N (M M ... M 1 1
1
2
2
G 1
G 1 ) M ... ... 1 2 G 2 2 G 1 (D).
O duplo produto cruzado relativo à última parcela do segundo membro se exprime
linearmente em função de , 2, ..., G - 1 porque esse duplo produto é do subespaço desses
diádicos (notar que não aparece nesta expressão parcela em 1 ). Então os dois membros de
(D) são expressões lineares dos G - 1 diádicos , 2, ..., G - 1 . Como os únicos termos em
1 são M'1N11 no primeiro membro e M1N1
1 no segundo, deve ser, necessariamente,
M'1N1 = M1N1.
Podemos considerar N1 0 porque, do contrário, teríamos:
1
2
2
3
3
G 1
G 1N N ... N M .
Se escolhêssemos, então, em vez de , o diádico 1
1 , teríamos:
1
1
1
2
2
3
3
G 1
G 1N N N ... N M 1,
§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos. 259
Poliádicos - Ruggeri
e o coeficiente de 1 seria diferente de zero (o que é absurdo). Então, sendo N1 0, temos
M'1 = M1 , isso é, M1 não depende de 1.
Similarmente provaríamos que M2 não depende de 2 etc..
Ora, sendo 1, 2, ...,G - 2, escrevemos:
j j : : 0, (j = 1, 2, ..., G - 2),
ou seja, considerando (A):
( ) j i
i M: 0, (j = 1, 2, ..., G - 2; i = 1, 2, ..., G - 1), (E).
O sistema (E) tem G - 2 equações, G - 1 incógnitas (M1, ..., MG - 1) e sua matriz é
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 G 2 G 1
1 2 G 2 G 1
G 3 1 G 3 2 G 3 G 2 G 3 G 1
G 2 1 G 2 2 G 2 G 2 G 2 G 1
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
...
...
... ... ... ... ...
...
...
G
G
2
1
.
Se L é uma constante à determinar, as soluções do sistema são:
M L
...
... ... ... ... ...
...
LD1
2 3 G G 1
2 3 G G 1
G 3 2 G 3 3 G 3 G G 3 G 1
G 2 2 G 2 3 G 2 G G 2 G 1
1
1 1 1 2 1
2 2 2 2 2
2
2
: : : :
: : : :
: : : :
: : : :
... ... ,
2
1G2G2G2G32G12G
1G3G2G3G33G13G
1G22G23212
1G12G13111
2 LD
...
...
...............
...
...
LM
::::
::::
::::
::::
etc..
Nestas expressões, os Di, determinantes do grau G - 2, têm representações evidentes, e ao
menos um deles é diferente de zero.
Levando as soluções a (A) podemos escrever na forma do pseudodeterminante de
grau G - 1:
L
...
... ... ... ... ... ...
...
1 2 3 G 2 G 1
1 2 3 G 2 G 1
1 2 3 G 2 G 1
G 3 1 G 3 2 G 3 3 G 3 G 2 G 3 G 1
G 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: : : : :
: : : : :
: : : : :
:
...
...
1 G 2 2 G 2 3 G 2 G 2 G 2 G 1 ... : : : :
, (F),
§ 12 - Dupla multiplicação cruzada de G diádicos. 260
Poliádicos - Ruggeri
desde que convencionemos desenvolvê-lo pelos elementos (diádicos) da primeira linha.
O número L é independente dos i, podendo ser determinado por (F) numa situação
particular. Os G-1 diádicos 1,
2, ...,
G-1 constituem uma base no
2EG-1, base esta extraída
da base {1,
2, ...,
G-1,
G} de
2EG, cuja recíproca é {1, 2, ..., G-1, G}. (Vale observar,
de passagem, que os diádicos 1, 2, ..., G-1 não constituem base recíproca de {1,
2, ...,
G-1
} em 2EG-1).
Se 1-G21 ... , então G|| conforme sabemos (05, § 11.01).Em
relação à base {*} podemos escrever, agora aplicando ((03), § 11):
1 2 G 2 1 2 G 1 ... ...
||0...000
...
..................
...
...
...
G3G1G3G33G23G13G
G21G2322212
G11G1312111
G1G321
:::::
:::::
:::::
.
Desenvolvendo o determinante acima, simplificando, lembrando que |*||*|=1 (§ 10.02) e
comparando o resultado obtido com (F) concluímos que deve ser L=1.
Esses resultados são válidos na hipótese de ao menos um dos Di (i = 1, 2, ..., G - 1)
ser não nulo. Procuremos os resultados a que chegaríamos se todos os Di fossem nulos.
Suponhamos que 1 0 1: . Então, para que os Di sejam nulos, deve haver ao
menos uma linha da matriz do sistema (E) proporcional à primeira; se esta é a i-ésima,
H
...
1G1
1Gi
21
2i
11
1i
:
:
:
:
:
:,
donde, então
)H( ... )H( 0)H( 1i51i21i1 ::: .
Dois casos podem acontecer:
1°) - 1i H , e nesse caso: ou i é paralelo a 1, ou i se H = 0. Em
qualquer um dos casos =;
2) - 1i H , caso em que esse diádico é perpendicular aos G - 1 diádicos
1, 2, ..., G - 1 . Então, 1i H é paralelo ao produto cruzado < 1 2 ... G - 1 > desses G
- 1 diádicos. Se H é um número não nulo, arbitrário, temos:
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 261
Poliádicos - Ruggeri
i 1 1 2 G 1H H ... , ou, 1G211i ... HH ,
e os diádicos i , 1 e < 1 2 ... G - 1 > são linearmente dependentes. Logo =.
Se, finalmente, todos os coeficientes dos Mi em (06) são nulos, todos os i são
paralelos por serem todos perpendiculares aos diádicos do conjunto 1, 2, ..., G - 1. Mais
uma vez =. Logo a fórmula (01) é válida em todos os casos, desde que 1, 2, ..., G - 1
sejam linearmente independentes no subespaço a que pertencem.
Se os i não fossem linearmente independentes, < 1 2 ... G - 1 > = e,
obviamente, =. Por outro lado, nesse caso, poderíamos expressar, digamos, G - 1 em
função dos demais G 1
1 2 G 2
G 2Q Q ... Q
1 2
e teríamos, para K=1, 2, ..., G -
2:
1 2 3 G 2
k
k
1 2 3 G 2
k
k
1 2 3 G 2
k
k
G 3 1 G 3 2 G 3 3 G 3 G 2 G 3
k
k
G 2 1 G
... Q
Q
Q
... ... ... ... ... ...
... Q
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: : : : :
: : : : :
: : : : :
:
...
...
2 2 G 2 3 G 2 G 2 G 2
k
k ... Q: : : :
,
determinante no qual a última coluna é uma combinação linear das demais, a primeira
estando multiplicada por Q1, a segunda por Q2, ..., a penúltima por QG - 2. Logo =.
Então, (01) é válida em todos os casos.
§ 13 – MULTIPLICAÇÃO MÚLTIPLA MISTA DE G DIÁDICOS.
Chama-se produto misto de 3G9 diádicos de um espaço diádico G-dimensional,
1, 2, ..., G, nessa ordem, e indica-se por (12...G), o número real definido pelo duplo
produto pontuado do produto cruzado dos G - 1 primeiros (que é um diádico) pelo último:
( ) 1 2 G 1 G 1 2 G 1 G ... ... : , (01).
A operação que tem por fim determinar o produto misto de G diádicos de um espaço
de dimensão G é a multiplicação mista de G diádicos.
Para G = 3, lembrando (033), § 11:
321321 : )( , (011);
portanto, (01) generaliza operações e conceitos conhecidos quando aplicados a um 3-
espaço. Deve ser observado que usamos a mesma notação utilizada para a representação do
duplo produto misto de três diádicos definida no §07.06, embora seja, como já assinalamos,
321321 ::
.
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 262
Poliádicos - Ruggeri
Lembrando que G
G : 1, resulta logo, de ((05), § 11), num espaço diádico de
dimensão G:
|| ) ... ( G21 , (021),
isso é:
O produto misto dos diádicos de uma base de um 2EG é igual ao módulo
dessa base multiplicado por +1 ou –1 conforme ela seja positiva ou negativa.
O módulo de um base é igual, então, ao produto do modulo do diádico-área
construído sobre os diádicos 12...G-1
pelo módulo de G e pelo co-seno do ângulo entre
esses dois diádicos, ou seja, produto da área do paralelotopo construído sobre 12...G-1
pela distância entre a extremidade de G e esse paralelotopo. Isto sugere comparar o
produto misto dos G diádicos ao "volume do paralelotopo" construído sobre os diádicos.
Como o módulo de uma base (o volume de um paralelotopo) é um número diferente de
zero, concluímos, logo:
Teor. 1: A CNS para que G diádicos de um espaço de dimensão G constituam uma
base é que o produto misto deles, em qualquer ordem (ou, o volume do
paralelotopo construído sobre eles), seja diferente de zero.
No caso particular dos diádicos de base serem da forma
e e e e e e e e e e1
1
1
2
1
3
2
1
3
3 ... , , , , , ,
temos, lembrando ((02), § 10.02):
|| || ( ) ( ) ( )e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e
1
1
1
2
3
3
1
1
1
2
3
3
1
1
1
2
3
3 2 ... ... ... , (022).
Analogamente,
etc. ,) ... (| || | ,) ... (| || | 2332111
23
32
11
1 eeeeeeeeeeeeeeee (023).
Esses resultados, válidos também para os espaços de dimensão G, comprovam mais uma
vez que a norma de uma base é um número positivo.
Considerando ((03), § 11) e (021) deduzimos, imediatamente:
( ) ( ) ) 1 2 3 G
G k
k G ... ... D ( 1 2 3
: , (k = 1, 2, ..., G).
Ora, k G : são os elementos da última linha do determinante:
1 1 1 2 1 G
2 1 2 2 2 G
G 1 G 2 G G... ... ...
...
: : :
: : :
: : :
...
...
..., (03),
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 263
Poliádicos - Ruggeri
e os Dk, dados por ((021), §11) são os seus respectivos complementos algébricos. Logo,
( ) ( ) 1 2 3 G
G ... ...
1 2 3
1 1 1 2 1 G
2 1 2 2 2 G
G 1 G 2 G G
... ... ...
...
: : :
: : :
: : :
...
...
..., (04).
Como a base é arbitrária, (04) pode ser escrita na forma
( ... ) ( ... )
...
...
... ... ...
...
G G
1 1 1
G
2 2 2
G
G G G
G
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
: : :
: : :
: : :
..., (041).
Em resumo:
Num espaço diádico de dimensão G, o produto misto de G diádicos, numa
certa ordem, é igual ao produto do produto misto dos G diádicos de uma
base (na sua ordem natural) pelo determinante de grau G cuja i-ésima linha
e j-ésima coluna tem por elemento o duplo produto pontuado do diádico de
ordem i do produto misto e o diádico de ordem j da base recíproca.
É simples comprovar-se que (04) e (041) são válidas quando as bases são conjuntos
de díades do conjunto das 9 díades de bases recíprocas. Deve ser ressalvado, entretanto,
mais uma vez, que com diádicos de uma base de um espaço é sempre possível a
constituição de bases de espaços de dimensão menor, mas os diádicos da base recíproca do
primeiro nada têm haver com os diádicos da base recíproca dos segundos.
Além de ser uma operação sempre possível e unívoca, a multiplicação mista goza
ainda das seguintes
Propriedades
todas facilmente demonstráveis com base no determinante (03).
1ª) - Um produto misto de G diádicos é nulo:
a) - se um dos diádicos é nulo;
b) - se ao menos dois diádicos são paralelos;
c) - se, em geral, existe uma combinação linear entre dois ou mais dos
diádicos fatores.
Assim, por exemplo, é nulo o produto misto de G-1 diádicos quaisquer de um G-
espaço e o diádico soma deles. Portanto tais G diádicos (os G-1 do G-espaço e o soma) são
linearmente dependentes e pertencem a um espaço de dimensão menor ou igual a G-1.
2ª) - Linearidade:
( ( )) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ... B C B ... C ... G 1 G 1 G 1 , (05).
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 264
Poliádicos - Ruggeri
3ª) - Alternância.
Um produto misto trocará de sinal ao se alternarem dois quaisquer de seus
diádicos fatores contíguos.
Com efeito, quando se permutam duas filas paralelas contíguas (linhas ou colunas)
de um determinante ele muda de sinal; logo o produto misto troca de sinal.
Conforme (04), o sinal do produto será alternado tantas vezes quantas se alternar o
sinal do determinante do segundo membro. Assim, como levar-se o primeiro fator para o
último posto equivale a fazer-se da primeira linha do determinante sua última linha - caso
em que o determinante troca de sinal G - 1 vezes - resulta:
Num espaço de dimensão G, uma permutação cíclica dos fatores muda G - 1
vezes o sinal do produto misto.
Valem, pois, as seguintes fórmulas:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 2 3 1
3 1 2 3 1 2
1
1
... ...
... ...
G 1 G G 1 G 1 G
2(G 1) G 1 G G 1 G
( ) ( )
( ) ( )
1
1
4 1 2 3
4 1 2 3
3(G 1) G 1 G
G 1 G 1 G
...
... ...
, (06).
Particularmente, podemos enunciar:
Nos espaços de dimensão ímpar o produto misto de G diádicos é invariante
numa permutação circular; nos de dimensão par esse produto troca de sinal.
Teor. 2:
São números recíprocos os produtos mistos dos diádicos homólogos de bases
recíprocas:
{ }
e { } ( ... )( ... ) 1G
G
1 2
1 2, (07).
Pois sendo inversas as matrizes associadas a bases recíprocas (Teor. 6, § 10.02),
inversos ou recíprocos são também os seus determinantes, isso é, as normas e os módulos
dessas bases. Agora, de (021), deduzimos (07) facilmente.
Teor. 3:
G > i 1,2, ... , G, { },{ }:
i
i(G 1)i 1 i 2 G i 2 i 1
1 2 i 1 i i 1 G
... ...
... ...
( )
( ),1
1
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 265
Poliádicos - Ruggeri
j j(G 1) j j 2 G j 2 j 1
j 1 j j 1 G
... ...
... ...
( )( )
11 1
1 2
, (08).
Consideremos por exemplo a expressão
( ) 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 ... ... G G : .
O primeiro membro é diferente de zero porque, por hipótese os diádicos constituem uma
base. Então
14 5 1 2
4 5 1 2 33
...
...
G
G( ): .
Pelas propr. 3ª) podemos escrever:
1 14 5 1 2
1 23
( )( )
3(G 1)G
G
...
...
: ,
e pelo Teor. 5, § 10.02,
3
4 5 1 2
1 21
( )( )
3(G 1)G
G
...
... ,
ou seja, a fórmula (08) é válida para i = 3.
Analogamente podemos comprovar que ela é válida para todos os valores de i, desde
1 até G. Deve ser observado, porem, na aplicação da fórmula, que: 1°) - quando o índice de
um diádico superar o valor G, deve-se subtrair-lhe G unidades; 2°) - não existe índice zero,
nem índice negativo.
Da expressão (08) deduzimos logo, após transposições convenientes:
j
i i 1 i 1 G
j 1 j 1 G ... ... ... ...
1 2
1 2: , (081).
Com efeito, consideremos o produto pontuado duplo de (08)1 por (08)2, cujo
resultado é ij. O produto dos denominadores é efetivamente igual a 1, uma vez que dentro
dos parênteses aparecem todos os G diádicos correspondentes das bases recíprocas. O
produto cruzado de G - 1 dos G diádicos de bases,
i 1 i 2 G i 2 i 1... ...1
(em que falta o diádico i) troca de sinal G - 1 vezes quando passamos o último diádico para
o primeiro posto. Como temos i - 1 diádicos após G , podemos escrever:
i 1 i 2 G i 2 i 1 (i 1)(G 1) 1 2 i 1 i 1 G... ... ... ... 1 1( )
Escrevendo expressão análoga para o fator
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 266
Poliádicos - Ruggeri
j j 2 G j 2 j 1
... ...1 1
,
e multiplicando dupla e pontualmente as expressões obtidas encontramos facilmente (081)
pois o expoente de (-1) nesse produto,
i(G 1) (i 1)(G 1) j(G 1) +(j 1)(G 1) 2(i j 1)(G 1),
é um número par quaisquer que sejam i,j e G.
Teor. 4:
Se G diádicos 1, 2, ..., G são expressos na base {*}, na forma cartesiana
r r i
iM , (i, r = 1, 2, ..., G),
então,
( ) ( ) 1 2
1 2 ... M ... G
G , (09),
onde
M
M M ... M
M M ... M
... ... ... ...
M M ... M
11 12 1G
21 22 2G
G1 G2 GG
, (091).
Com efeito, pois é M ri r i : , e a expressão (09) não difere de (04), nem (03) de
(091).
Corol. 1
G21G21 ..., ,, e ..., ,, de um mesmo G-espaço,
( ... )( ... )
G
G
1 1 1
G2 2 2
G
G G G
G
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
: : :
: : :
: : :
...
...
... ... ... ...
...
, (092).
Para demonstrar, lembremo-nos inicialmente de que um determinante não se altera
se trocarmos suas linha pelas correspondentes colunas. Então, multipliquemos membro a
membro (04) por (041) trocando previamente em (04) i por i , e em (041) i por i e as
colunas pelas linha correspondentes. Conforme o Teor. 2, o produto dos produtos mistos
dos diádicos de bases recíproca vale 1. O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do
produto dos determinantes é dado por
( )( ) ( )( ) ( )( ) i
1
1
j
i
2
2
j
i
G
G
j ... : : : : : : .
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 267
Poliádicos - Ruggeri
Aplicando propriedades da dupla multiplicação pontuada de diádicos e considerando (08), §
10.02, a expressão acima pode ser escrita na forma
[( ) i
k
k
j
i
j ] : : : ,
o que conclui a demonstração.
Teor. 5:
Se, em relação a uma base {* } de um 2EG, G - 1 diádicos ..., , , 21 são
expressos na forma cartesiana
r r i
iM , (r = 1, 2, ..., G - 1; i = 1, 2, ..., G),
então tem-se, para expressão do produto cruzado dos G - 1 diádicos:
1 2
1 2
1 2
... ( ... )M M ... M
... ... ... ...
M M ... M
G 1
G
G
11
12
1G
(G 1) 1
(G 1) 2
(G 1) G
...
, (10).
Com efeito, tal como na demonstração do teorema anterior, a expressão (10) não
difere de ((031), § 11) porque irir M : e ||)...( G21 .
Corol. 1:
1 2, , ,{ } ... , e { }:G 1
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
... ( ... ) ...
... ... ... ...
...
G 1 G
G
1 1 1
G
G 1 G 1 G 1
G
...
: : :
: : :
, (11),
expressão esta, homóloga de ((031), § 11).
Teor. 6: (invariância do produto misto)
É um invariante o produto misto de (ou o volume do paralelotopo construído
sobre) G diádicos de um 2EG.
Com efeito, denotemos os produtos mistos de G diádicos 1, 2, ..., G, calculados
em relação às bases recíprocas {*}, {*} e {*},{*}, por (12 ... G) e (12 ... G).
Temos, conforme (03) e (04):
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 268
Poliádicos - Ruggeri
GG
2G
1G
G2
22
12
G1
21
11
G21G21
... ............
...
...
) ... () ... (
:::
:::
:::
,
GGG2G1
2G2221
1G1211
G21G21
...............
...
...
) ... () ... (
:::
:::
:::
.
Multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por (12 ... G) e aplicando (092),
vem:
.
:::
:::
:::
... ............ ...
...
) ... () ... (
GG2G1G
G22212
G12111
G21G21
GG
2G
1G
G2
22
12
G1
21
11
... ............
...
...
:::
:::
:::
. .
Tem-se, ainda, aplicando (092):
... ............ ...
...
) ... () ... (
GG2G1G
G22212
G12111
G21G21
:::
:::
:::
.
Ora, o produto dos determinantes do segundo membro da primeira igualdade é igual ao
determinante do segundo membro da segunda igualdade, pois o elemento da i-ésima linha e
j-ésima coluna desse produto é
( )( ) ( )( ) ( )( ) i 1
1
j i 2
2
j i G
G
j ... : : : : : : ,
ou melhor, evidenciando e mais uma vez considerando ((08), § 10.02):
jij
rri ]) [( ::: .
Isto posto, igualando os primeiros membros e cancelando o fator comum, concluímos:
)...()...( G21G21 ,
ou seja, o produto misto de G diádicos independe das bases em relação às quais é calculado,
sendo pois, um invariante.
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 269
Poliádicos - Ruggeri
Produto misto de nove diádicos dados em forma cartesiana.
Se nove diádicos m
i estão expressos na formas cartesianas
m
i
j m
k i j
kA e e (m, i, j, k = 1, 2, 3),
às quais correspondem as matrizes
i 3 m 3
i 2 m 3
i 1 m 3
i 3 m 2
i 2 m 2
i 1 m 2
i 3 m 1
i 2 m 1
i 1 m 1
AAA
AAA
AAA
, (12),
então,
( ) ( )
... ... ...
. 1 1 1 2 3
1 2 3 1 3
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
3 1
2 1
1 1
3 1
3 1
1 1
1 2
1 1
2 2
1 1
3 2
2 1
1 2
3 1
3 2
1 1
1 3
1 1
2 3
1 1
3 3
3 1
3 3
1 2
1 1
3 2
3 1
1 3
1 3
1 3
2 3
1 3
3 3
2 3
1 3
3 3
3 3
...
A A A A ... A
A A A A ... A
A A A ... ... A
A ... ... ... ... A
... ... ...
A A A A ... A
e e , (121).
Para comprovarmos esta fórmula basta aplicar (03) e (04) para o caso particular em
que G = 9 e fazer 1 1
1
1
2 ... e e e e, ,2
, 1 1
1 1 2 2 ... , , .
Se fosse
m
i
m
jk i
j kA e e (m, i, j, k = 1, 2, 3),
seria
( ) ( )
... ... ...
1 1 1 2 3
1 2 3 1 3
1
11 1
1
12 1
1
13 1
1
33 1
1
11 2
1
12 2
1
13 2
1
33 2
1
11 3
3
11 3
3
12 3
3
13 3
3
33 3
...
A A A ... A
A A A ... A
A ... ... ... ...
... ...
A A A ... A
e e , (122).
Outras fórmulas análogas poderiam ser deduzidas.
Tanto em (121) como em (122) e nas análogas, a regra para escrever-se o produto
misto quando os diádicos são dados em forma cartesiana é bem clara. O determinante pode
ser imaginado subdividido em três blocos horizontais de três linhas cada um e três blocos
§ 13 - Multiplicação mista de G diádicos. 270
Poliádicos - Ruggeri
verticais de três colunas cada um. Os blocos verticais correspondem a j = 1, j = 2 e j = 3; os
blocos horizontais a m = 1, m = 2 e m = 3. No j-ésimo bloco vertical, à primeira coluna
corresponde o índice k = 1, à segunda, o índice k = 2 e à terceira, o índice k = 3.
Analogamente, no m-ésimo bloco horizontal, à primeira linha corresponde o índice i = 1, à
segunda, o índice i = 2 e à terceira, i = 3.
Isto significa, em resumo, que a primeira linha do determinante é composta com as
coordenadas do diádico 11; a segunda linha com as coordenadas de 1
2 etc.. Os três
primeiros elementos de cada linha formam precisamente a primeira linha da matriz (12)
associada ao diádico; os três seguintes formam a segunda linha e os três últimos a terceira
linha.
Podemos escrever sinteticamente, sem perigo de erro:
( ) ( )| | 1 1 1 2 3
1 2 3 1 3
... A
e e , (13),
( ) ( )| | 1 1 1 2 3
1 2 3 1 3
... A
e e , (131),
análogas,
( ) ( )| | 11 12 13 21 33
... A
e e , (14),
|A|)() ... (
3321131211
ee , (141)
e outras.
Produto misto de diádicos simétricos e anti-simétricos, dados em forma cartesiana.
No espaço diádico simétrico as representações (14), (141), assumem formas
particulares porque, em primeiro lugar, o número de diádicos fatores é, no máximo 6 (o
produto de sete quaisquer é sempre nulo); em segundo lugar, os duplos índices podem ser
substituídos por um único (notação de Voigt). Assim, o produto misto de 6 diádicos
simétricos pode ser representado pelo determinante da matriz ((15), §10.02).
No caso espaço diádico anti-simétrico (que tem até três dimensões) é fácil
comprovar que o produto misto de três diádicos quaisquer é igual a um oitavo do produto
misto dos vetores desses diádicos, ou, o que é o mesmo, igual a um oitavo do determinante
((17), §10.02).
§ 14 - PERMUTADOR A VÁRIOS ÍNDICES.
Seja 1 2, , ... , G a seqüência fundamental de um conjunto de G 9 diádicos. O
produto misto desses diádicos em qualquer ordem pode ser expresso em função do produto
misto ( ) 1 2 ... G da seqüência fundamental com a introdução de um símbolo, mediante
a seguinte
Definição: (permutador)
Chama-se permutador a G índices (G 9), e representa-se por
ij ... m
ij ... m ou , um símbolo com G índices num mesmo nível tal, que ao se
atribuírem a todos os índices os valores 1, 2, ..., G, esse símbolo valha zero
se dois dos índices são iguais, + 1 se for par o número de inversões contadas
§ 14 - Permutador a G índices. 271
Poliádicos - Ruggeri
entre os índices considerando como fundamental a seqüência 1, 2, 3, ..., G; e
- 1 se esse número for ímpar:
ij ... m
dois índices iguais
1, nú mero par de inversões
, nú mero ímpar de inversões,
0,
1
(01).
O permutador com apenas um índice vale sempre + 1. O permutador a G índices
amplia o conceito de permutador já estabelecido para G 3 no § 04.02, I.
Então, evidentemente:
( ) ( ) i j m ij ... m 1 2 G ... ... , (02).
Ora, por definição,
( ) i j k m i j k m
G fatores
... ... : .
Então, considerando (02) deduzimos,
i j k m ... : ij ... m 1 2 G ... ( ) , (021).
Se ( ) 1 2 G ... 0 o conjunto admite recíprocos. Então, pós justapondo m a
ambos os membros de (021), somando em m (de 1 até G) e lembrando o Teor. 7, § 10.02,
concluímos:
( ) ,2, 1 2 G ... , i, j, ... , k, m ... , G 0 1
...
i j k
G 1 fatores
...
G índices
ij ... km 1 2 Gm
( ) , (03).
Analogamente, podemos escrever:
( ) ,2, 1 2
0 1 ... , i, j, ... , k, m ... , G G
...
fatores 1G
usr
índicesG
mG21um ... rs ) ... (
, (04).
As fórmulas (03) e (04) estendem aos espaços diádicos de G dimensões as fórmulas (03) e
(04), § 04.02, I, válidas para os espaços dos vetores de até 3 dimensões.
Particularmente, para G = 3, vimos (§10.02, Notas) que se tem (em geral):
§ 14 - Permutador a G índices. 272
Poliádicos - Ruggeri
jiji
;
da mesma forma,
kjikji ) (
.
Teor. 1: (generalização do determinante de Gram)
Tem-se, para dois conjuntos de G índices, i, j, ..., p e r, s, ..., q, cada índice
variando de 1 a G:
ij ... kprs ... uq
ri
si
qi
rj
sj
qj
rp
sp
qp
i j k pr s u q
...
... ... ... ...
...
... ...
...
( )( ) , (05).
Pois, pós-multiplicando dupla e pontualmente ambos os membros de (03) por p, os
de (04) por q, multiplicando membro a membro as expressões obtidas e lembrando ((07),
§ 13), deduzimos:
( )( ) i j k pr s u q
ij ... kprs ... uq ... ... .
Aplicando ((092),§13) para o cálculo do produto indicado no primeiro membro
encontramos o determinante de (05).
O determinante (05), equivalente a um produto de permutadores a vários índices,
generaliza os correspondentes a ((07), § 04.02, I).
Definição: (determinante de Gram)
Os determinantes da forma (05) são denominados determinantes de Gram
nos seus respectivos espaços.
Corol. 1:(produtos de permutadores)
Tem-se, para i, j, ... p, r, s, ... , q ... , G: 1,2,
... ...
G índices
ij ... kprs ... up
i j kr s u
G índices G 1 fatores G 1 fatores
:
ri
si
ui
rj
sj
uj
rk
sk
uk
...
... ... ... ...
...
...
, (06);
expressão que estende aos diádicos a fórmula ((071), § 04.02, I).
§ 14 - Permutador a G índices. 273
Poliádicos - Ruggeri
Os dois primeiros membros de (06) são conseqüência imediata do duplo produto
pontuado de (03) por (04). Desenvolvendo (05) pelos elementos da última coluna, onde se
faça q = p, vem:
ij ... kp
rs ... up
r
i
s
i
p
i
r
j
s
j
p
j
r
p
s
p
p
p
2G
p
p
r
i
s
i
u
i
r
j
s
j
u
j
r
k
s
k
u
k
...
... ... ... ...
...
...
... ... ... ...
...
...
( )
...
1
...
... ... ... ...
...
... ...
...
...
2G 1
p
k
r
i
s
i
u
i
r
j
s
j
u
j
r
p
s
p
u
p
G 2
p
j
r
i
s
i
u
i
r
k
s
k
u
k
r
p
s
p
u
p
( )
...
( )
...
... ... ...1 1
...
...
...
G 1
p
i
r
j
s
j
u
j
r
k
s
k
u
k
r
p
s
p
u
p
( )
...
... ... ....1
Seja o complemento algébrico (co-fator) de pp:
ri
si
ui
rj
sj
uj
rk
sk
uk
...
... ... ... ...
...
...
.
A última parcela da soma indicada representa uma soma (em p) de determinantes cujos
coeficientes são todos nulos exceto quando p = i. Então, substituindo-se p por i nesse
determinante e deslocando-se a última linha para a posição de primeira linha, o valor do
determinante se conserva em módulo e muda de sinal G - 2 vezes; ou seja, esse
determinante vale (- 1) G+1+G-2 = - . Por iguais motivos a penúltima parcela vale (- 1) G+2+G-3 = - , já que devemos fazer da última linha uma segunda linha (e o determinante
muda de sinal G - 3 vezes); e assim sucessivamente para todas as parcelas, iguais a - . A
primeira das G primeiras parcelas vale G . , pois pp = G. Logo:
ij ... kp
rs ... up G G [ ( )]1 ,
o que conclui a demonstração do teorema.
§ 14 - Permutador a G índices. 274
Poliádicos - Ruggeri
•
Para o caso G = 2 (diádicos de um 2E2), temos:
ij
rj
i
r (i, r, j 1,2) .
Mas aplicando ((07), § 04.02, I) para o caso G = 2, temos:
ij
rj
r
i
j
i
r
j
j
j r
i
j
i
r
j
r
i (i, r, j 1,2) 2 , (07),
pois jj = 2. Resulta, então:
ir r
i i jr j
ir
< > (i, r, j 1,2) : : , (071).
Para o caso G = 3 (diádicos de um 2E3) temos, aplicando sucessivamente as ((07),
(071), § 04.02, I):
1°) -
1,2,3) sj,r,(i, < >
><
srji
ksrkji
rsij
rskijk
:
:
, (08);
2°) -
ijk
rjk
i j k
r j k r
i i
r < > (i, r 1,2,3) : :2 2 , (09);
3°) -
ijk
ijk
i j k
i j k < > (i, j, k 1,2,3) : 6 , (10).
Para o caso G = 4, temos:
1°) - :4,3,2,1ts,r,k,j,i, Para
ijkm
rstm
ijk
rst
i j k
r s t
r
i
s
i
t
i
r
j
s
j
t
j
r
k
s
k
t
k
< > : , (11);
2°) - Fazendo k = t em (11)
ijkm
rskm
ijk
rsk
ij
rs
r
i
s
i
r
j
s
j (i, j, r, s , ,2,3,4)1 , (12);
3°) - Fazendo j = s em (12), temos:
ijkm
rjkm
ij
rj r
i (i, j, k, m, r 3 1, ,2,3,4) , (13);
§ 15 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico. 275
Poliádicos - Ruggeri
4°) - Finalmente,
ijkm
ijkm i
i (i, j, k, m 3 3 4 12 1, ,2,3,4), (14);
Genericamente, o produto de dois permutadores a G índices, com todos os índices
correspondentes repetidos, vale G (G - 1):
ijk ... m
ijk ... m(G 1)G (i, j, k, ... , m G 1,2, ... , ) , (15).
Se apenas G - 1 dos índices correspondentes são repetidos o produto vale G - 1 vezes os
deltas de Kronecker com os índices não repetidos:
ijk ... m
rjk ... m r
i(G 1) (i, j, k, ... , m, r G 1,2, ... , ) , (16).
Daí em diante pode aplicar-se a fórmula (07), isso é, se G - 2 dos índices correspondentes
são repetidos, o produto vale o produto dos permutadores com os dois índices não
repetidos:
ijk ... m
rsk ... m
ij
rs
r
i
s
i
r
j
s
j (i, j, k, ... , m, r, s G 1,2, ... , ) , (17);
e assim sucessivamente.
§ 15 – PROJEÇÕES NO ESPAÇO DIÁDICO.
Projeção qualquer.
Vamos, agora, estender as operações de projeção do espaço dos vetores ao espaço
dos diádicos. Quando se faz projeção, projeta-se um elemento geométrico desde um
segundo elemento sobre um terceiro elemento. O elemento a projetar pode ser um ponto,
uma reta, um plano, um P-espaço qualquer, que se vai projetar desde um espaço qualquer
(um ponto, uma reta, etc.) sobre um outro espaço qualquer. A união do elemento em
projeção com o elemento desde o qual se projeta chama-se espaço projetante.
Assim, num 2EG, a projeção de um ponto P, desde um segundo ponto C (o centro de
projeção), sobre um 2EG-1 (o espaço de projeção), , que não contenha C, é o ponto de
interseção da reta (projetante) PC com . A projeção de uma reta r que não contém C, sobre
o 2EG-1 é a reta interseção do plano , definido por C e r (plano projetante), com o
2EG-1.
De um modo geral,
a projeção de um 2EP que não contém um ponto C, desde esse ponto, sobre
um 2EG-1 (P<G-1), é o
2EP segundo o qual o projetante
2EP+1 (definido por C
e 2EP), corta o
2EG-1.
Com efeito, pois o 2EP+1 e o
2EG-1, ambos contidos no
2EG, devem ter em comum um
2EP+1+G-1-G, ou seja, um
2EP. Quando o
2EP contém o ponto C, a projeção é um
2EP-1.
§ 15 – Projeções no espaço diádico. 276
Poliádicos - Ruggeri
Nesta concepção de projeção cada elemento tem uma única projeção, mas a dada
projeção 2EP em um espaço de projeção pode corresponder qualquer
2EP que pertença ao
2EP+1 que aquele define com C.
Seja um 2EG-2 o espaço de projeção. Se o centro de projeção é uma reta s (o eixo da
projeção) que não deve interceptar 2EG-2, um ponto P tem por projeção o ponto P' segundo o
qual o projetante (plano) Ps intercepta o 2EG-2 (a dimensão do espaço é 2+G-2-G). Em geral,
a projeção de um 2EP, desde uma s que não intercepte certo
2EG-2, sobre esse
2EG-2, é o
2EP segundo o qual o projetante
2EP+2 corta o
2EG-2.
Seja o espaço de projeção um 2ES e adotemos como eixo de projeção um
2EG-(S+1)
que não corte 2ES. Então, a projeção de um ponto P é o ponto segundo o qual o projetante
2EG-S (definido por P e
2EG-(S+1)) corta
2ES. Em geral,
a projeção de um 2EP sobre um
2ES (P<S), segundo um
2EG-(S+1) que não
corta um 2ES, é o
2EP segundo o qual o
2EG-S+P definido por
2EP e
2EG-(S+1),
corta o 2ES.
Se o 2EP corta o
2ES segundo um
2ER-1 a projeção é um
2EP-R (um ponto, se P=R; uma reta,
se P=R+1 etc.).
Projeção paralela.
A projeção de um subespaço 2EP sobre um outro subespaço
2ES é dita paralela se o
eixo de projeção é um 2EG-(S+1) impróprio (§10.05), e a região imprópria de
2ES não
intercepta a do 2EG-(S+1) impróprio.
Os 2EG-S que projetam pontos são todos completamente paralelos um ao outro.
Como o 2EG-(S+1) impróprio esta contido no espaço impróprio, a projeção de qualquer
elemento impróprio é um elemento impróprio.
Se um 2
EP e um 2EQ (com PQ) não têm ponto em comum e são paralelos do grau
(R+1)/Q - logo eles se interceptam segundo um 2ER impróprio - suas projeções sobre um
2ES (com S> PQ) são também paralelas do grau (R+1)/Q. Por isso, a projeção de um
paralelotopo é um paralelotopo.
Consideremos a expressão cartesiana do vetor v, iiV ev . É óbvio que a projeção
(paralela) da extremidade V do vetor v (um 2E0, P=0) sobre o plano 12 (um
2E2, S=2),
segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o eixo 3 (uma paralela ao eixo 3), é a
extremidade do vetor 33 V ev (um
2E0) segundo o qual a reta (
2E3-2+0) definida por V (
2E0)
e pelo ponto (2E3-(2+1)) impróprio (ou seja, a paralela), corta o plano 12 (
2ES). Por isso o
vetor 33 V ev pode ser dito a projeção de v paralelamente a e3.
Analogamente, consideremos um diádico dado em forma trinomial, iiea , na
base vetorial {e*}, ou em forma cartesiana, jiijA ee com j
iji A ea . A projeção da
extremidade F do diádico (um 2E0, P=0) sobre o 8-espaço (S=8) definido pelos diádicos
de base local {e1e2, e1e3, e2e1, ..., e3e3), segundo o 2E0 impróprio (ponto) que não corta o
eixo e1e1 (uma paralela a esse eixo), é o ponto extremidade do diádico 1111A ee segundo
o qual a reta (2E9-8+0) definida por F (um
2E0) e pelo ponto (
2E9-(8+1)) impróprio, corta o 8-
§ 16 – Notas sobre a Geometria Analítica do Espaço Diádico. 277
Poliádicos - Ruggeri
espaço (023...9). Esse diádico é a projeção do diádico nas condições especificadas. A
matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao referencial global, é mesma de
com exceção do elemento de índices 11 que é nulo.
Da mesma forma, a projeção da extremidade F de sobre o 7-espaço (S=7) de
base local {e1e3, e2e1, ..., e3e3}, segundo o 2E1 impróprio (reta) que não corta o plano (
2E2)
{e1e1, e1e2} (logo, uma paralela a esse plano), é o ponto extremidade do diádico
)AA( 2112
1111 eeee segunda o qual o plano (
2E9-7+0) definido por F (um
2E0) e pelo reta
(2E9-(7+1)) imprópria, corta o 7-espaço (034...89). Esse diádico é a própria projeção de nas
condições especificadas. A matriz associada a esse diádico projeção, em relação ao
referencial global, é a mesma de com exceção do elemento de índices 11 e 12 que são
nulos. E assim sucessivamente.
Merece destaque a projeção (da extremidade) de sobre o subespaço de base local
{e2e2, e2e3, e3e2, e3e3}, paralelamente ao subespaço de base local {e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1},
base essa de cujas díades o vetor e1 é antecedente ou conseqüente. Essa projeção é o diádico
planar 33
22
11 eaeaea (já escrito em forma binomial) que tem por matriz associada,
na base global, a mesma de com zeros na primeira linha e na primeira coluna.
Invertendo-se os espaços de projeção e eixo de projeção, comprovaríamos que a
matriz associada à projeção de sobre o subespaço de base local {e1e1, e1e2, e1e3, e2e1, e3e1}
paralelamente ao subespaço de base local {e2e2, e2e3, e3e2, e3e3} é a mesma de , exceto
pelos elementos não pertencentes à primeira linha e primeira coluna que são todos nulos.
As matrizes 2x2 associadas aos diádicos projeção planares, relativas ao referencial local,
poderão ser degeneradas ou não, caso em que os diádicos correspondentes serão completos
ou não, respectivamente.
Esses conceitos serão utilizados no Cap. IV quando do estudo dos auto sistemas de
um poliádico (§ 13, IV).
Nota: A projeção ortogonal é uma projeção paralela cujo eixo de projeção (impróprio) só pode ser definido (a rigor) com a utilização de operações entre diádicos e tetrádicos que serão estudadas no § 09.03 do Capítulo IV.
§ 16 – NOTAS SOBRE A GEOMETRIA ANALÍTICA DO ESPAÇO
DIÁDICO.
Na Geometria Analítica do Espaço Diádico (doravante, sintetizado por GAED),
como na sua correlata do espaço dos vetores (GAEV) - pesquisam-se as propriedades
projetivas (ou gráficas) e métricas das suas figuras. Propriedade é uma proposição que
enuncia, para uma determinada figura, algo que se mantenha invariante para qualquer
mudança de sistema de referência, i.e., universal. Os vetores e os diádicos, em geral, são
entidades cuja existência independe de sistemas de referência; o que significa que equações
envolvendo vetores e diádicos são universais.
Um desenvolvimento amplo da GAED requer uma quantidade de espaço bem maior
que a correspondente dos vetores, razão pela qual faremos aqui alusão a apenas alguns
aspectos.
§ 16.02 - Baricentros. 278
Poliádicos - Ruggeri
§ 16.01 – Espaços opostos nos simplex.
Na GAEV qualquer ponto do espaço estará referido a um simplex (final do § 10.04)
de 4 pontos; na GAED, qualquer ponto estará referido a um simplex de 10 pontos. Na
GAEV a todo ponto corresponde um espaço (triângulo) oposto e a cada lado, um lado
oposto. Na GAED essa correspondência multiplica-se assustadoramente. Num 2EG
(definido por um simplex de G+1 pontos, G9) o 2EJ-1 (definido por J quaisquer dentre os
G+1 pontos dados) é oposto ao 2EG-J definido pelos (G+1-J) pontos restantes. Assim, se G é
ímpar, G=2F-1 para F=1, 2, ..., existem F conjuntos de J1GC , ou
J1GC
2
1 , pares de
2EJ-1
opostos a 2EG-J, conforme seja JF, ou J=F, respectivamente. Se G é par, G=2F, existem F
conjuntos de J1GC pares de
2EJ-1 opostos a
2EG-J. O quadro apresentado a seguir mostra a
quantidade de pares de espaços opostos.
Quantidade de pares de espaços opostos de dimensões J-1 e G-J
G F\ J 1 (ponto) 2 (reta) 3 (plano) 4 (3-espaço) 5 (4-espaço) Total
1 1 1 Unilinear 1
2 1 (reta) 3 Linear 3
3 2 (plano) 4 (reta) 3 Anti-simétrico, Uniplanar 7
4 2 (3-espaço) 5 (plano) 10 Argand 15
5 3 (4-espaço) 6 (3-espaço) 15 (plano) 10 31
6 3 (5-espaço) 7 (4-espaço) 21 (3-espaço) 35 Simétrico 63
7 4 (6-espaço) 8 (5-espaço) 28 (4-espaço) 56 (3-espaço) 35 Antitriangular 127
8 4 (7-espaço) 9 (6-espaço) 36 (5-espaço) 84 (4-espaço)126 Planar 255
9 5 (8-espaço) 10 (7-espaço) 45 (6-espaço)120 (5-espaço)210 (3-espaço)126 411
Na GAEV um dos pontos de um 5-ponto deve ser necessariamente um ponto
variável, o ponto móvel do espaço, os quatro outros, fixos, formando um sistema de
referência (para o ponto móvel). O 5-ponto pode ser também denominado um
quinquângulo; todas as propriedades do tetraedro são propriedades do quinquângulo
degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos, pertence a um dos
lados, ou pertence a uma das faces). No plano (o 2-espaço), um dos pontos de um 4-ponto
deve ser necessariamente um ponto móvel; a ele, por analogia, deveríamos denominar um
quadrângulo plano ou quadrângulo degenerado; todas as propriedades de quadriláteros e
triângulos são propriedades dos quadrângulos planos desde que não se distingam as
diagonais dos lados. Na reta (ou 1-espaço), um dos pontos de um 3-ponto deve ser um
ponto móvel; teríamos aí o biângulo retilíneo ou triângulo degenerado, nomenclatura essa
que só faz certo sentido por extensão de idéias (já estamos acostumados com outras
nomenclaturas); todas as propriedades dos segmentos de reta são propriedades dos
biângulos retilíneos.
Na GAED um dos pontos de um 11-ponto deve ser necessariamente um ponto
variável posto que os 10 outros definam um 10-ponto fixo de referência. Constituímos,
assim, um unodecângulo; todas as propriedades do decângulo são propriedades do
unodecângulo degenerado (quando o ponto móvel coincide com um dos vértices fixos,
pertence a um dos lados, pertence a uma das faces ou, em geral pertence a um dos
subespaços). Um G-espaço diádico qualquer (com G9), deve ser referido a um (G+1)-
ângulo de referência, fixo, definido por G+1 pontos; logo um (G+2)-ângulo deve ter um
vértice móvel. Também nesse caso, evidentemente, todas as propriedades do (G+1)-ângulo
serão propriedades do (G+2)-ângulo degenerado. Obviamente um (G+2)-ângulo pode ser
um triângulo, um quadrângulo, um quinquângulo etc., figuras do 2EG.
§ 16.02 - Baricentros. 279
Poliádicos - Ruggeri
§ 16.02 - Baricentros.
Definições.
Suponhamos que a cada ponto Rj de dado (G+1)-ponto num 2EG possamos associar
certo "atributo", um número Pj. Em relação a dois quaisquer desses pontos, Ri e Rj,
determinemos um terceiro, Rij, sobre a reta suporte do segmento por eles definido, segundo
a lei
i
j
jij
iij
P
P
RR
RR , (01);
isso é, de forma tal que a razão da distância desse ponto (o módulo de um diádico) aos
pontos escolhidos (extremidades das flechas de dois diádicos) seja igual à do inverso dos
correspondentes atributos com o sinal trocado. Se i, j e ij são, respectivamente, os
diádicos posicionais de Ri, Rj e Rij, em relação a uma origem arbitrária do espaço,
deduzimos de (01):
ji
jjii
ij PP
P P
, (011).
O ponto Rij, determinado segundo a lei (01) e de diádico posicional dado por (011), é
denominado centróide de Ri e Rj; e a ele associamos o atributo igual à soma dos atributos
dos pontos que lhe deram origem.
Quando os atributos dos pontos são iguais o centróide denomina-se "centro de
meias distâncias"; sem perigo de confusão com conceitos físicos denominá-lo-emos
doravante "baricentro" dos pontos; seu atributo é 2 e é definido pelo posicional
)(21
jiij , (02).
estando situado a meia distância dos pontos que lhe dão origem.
Aplicando (011), escrevemos a expressão do posicional do baricentro Rijk do par Rij,
Rk , para k i,j:
)2(31
kijijk , (03),
ou, ainda, considerando (02):
)(31
kjiijk , (031).
Concluímos, então, por (03) e (031) que o baricentro do par de pontos Rk e Rij coincide com
o baricentro do terceto de pontos Ri, Rj e Rk. Ora, Rijk é um ponto da reta suporte do
segmento ijk RR . Tomando esse segmento como referência, a expressão (03) mostra que o
baricentro do triângulo (um 2-espaço) de vértices Ri, Rj e Rk esta situado aos 2/3 desse
segmento a partir do ponto Rk.
Essas propriedades simples, aplicadas reiteradas vezes a dois subespaços definidos
por pontos dentre os pontos do (G+1)-ponto dado, permitem generalizar com facilidade a
§ 16.02 – Baricentros. 280
Poliádicos - Ruggeri
fórmula (03). Assim, se Rij...p e Rrs...q são, respectivamente, os baricentro dos subespaços de
P e Q dos G+1 pontos dados (logo, com P+Q=G+1), o baricentro Rij...prs...q de Rij...p e Rrs...q
coincide com o baricentro do (G+1)-ponto, sendo
) ... ... (1G
1)QP(Q+P
1qsrpjirs...qij...p.qij...prs..
, (04).
Os dois primeiros membros de (04) mostram que ao se tomar o segmento de origem Rij...p e
extremidade Rrs...q como referência, o baricentro do (G+1)-ponto, ou (P + Q)-ponto, estará
situado aos (QP
P
)-avos desse segmento a partir de Rrs...q, ou aos (QP
Q
)-avos a partir de
Rij...p.
Bimedianas e medianas.
Antes de deduzir outras propriedades é conveniente a introdução de alguma
nomenclatura. Os subespaços opostos de um (G+1)-ponto podem ser definidos por iguais
ou diferentes números de pontos. Os segmentos determinados pelos baricentros de
subespaços opostos definidos com iguais e diferentes números de pontos serão ditos,
respectivamente, as bimedianas e as medianas do (G+1)-ponto.
Assim, no segmento (G+1=2), um vértice é oposto do outro e sua bi mediana
coincide com o próprio segmento. No quadrângulo (G+1=4), os pares de lados (12, 34) são
opostos, bem como (13, 24) e (14, 23); suas bimedianas são os segmentos que ligam os
pontos médios desses lados. Nos 2H-ângulos (G+1=2H), as bimedianas dos pares de
espaços opostos (1,2,...,H) e (H+1, H+2, ...,2H), por exemplo, são os segmentos que ligam
os seus baricentros. São também H-espaços opostos (2,3,...,H,H+1) e (H+2, H+3, ..., 2H, 1)
etc. e as bimedianas correspondentes são os segmentos que ligam seus respectivos
baricentros. As medianas dos 2H-ângulos são, por exemplo, as que ligam um vértice,
digamos (1), ao baricentro do respectivo subespaço oposto, (2,3,...,2H-1, 2H);
analogamente para o vértice (2) e seu subespaço oposto (3,4,...,2H,1) etc.. Existem também
as medianas que ligam os baricentros dos lados (12), (13), ..., (1(2H)) aos baricentros dos
respectivos espaços opostos (3,4,...,2H), (4,5, ..., 2H, 2), as que ligam os baricentros dos
lados (23), (24), ..., (2(2H)) aos baricentros dos respectivos espaços opostos (4, 5, ...,
2H,1,), (5,6,...,2H,1,3) etc..
É evidente que os triângulos (G+1=3), quinquângulos (G+1=5), e, em geral, (G+1)-
ângulos (com G+1=2H+1), por não apresentarem subespaços opostos definidos pela mesma
quantidade de pontos (G+1 é ímpar), não têm bimedianas. Nos triângulos (G=2), as três
medianas ligam cada vértice ao ponto médio do respectivo lado oposto (o que está de
conformidade com a nomenclatura clássica). Nos quinquângulos (G=4), as medianas são:
os 5 segmentos definidos por um vértice e o baricentro do seu tetraedro (3-espaço) oposto, e
os 10 outros segmentos definidos pelos pontos médios de um lado (1-espaço) e o baricentro
do seu triângulo (2-espaço) oposto. Num (2H+1)-ângulo (G=2H), as medianas são: os
2H+1 segmentos que ligam cada vértice ao baricentro do respectivo G-espaço oposto; os 2
1GC segmentos que ligam os pontos médios dos lados do (G+1)-ponto ao baricentro do
respectivo (G-1)-espaço oposto, os 31GC segmentos que ligam o baricentro de cada
triângulo ao baricentro do respectivo (G-2)-espaço oposto etc..
A tabela anteriormente apresentada fornece as quantidades de bimedianas e
medianas para cada valor de G+1.
§ 16.02 – Baricentros. 281
Poliádicos - Ruggeri
*
As (6) bimedianas de um quadrângulo contêm o seu baricentro. Ainda, conforme
(04), vemos que a distância do baricentro do quadrângulo ao baricentro (ponto médio) do
lado ij está para o comprimento desta bimediana assim como 2 está para 4. Concluímos,
então:
Num quadrângulo as suas 6 bimedianas se bissectam mutuamente no
baricentro dos seus vértices.
É evidente que essa propriedade é um caso particular de uma propriedade mais geral
válida para os 2H-ângulos em geral (caso G+1=2H). Todas as H2HC bimedianas de um 2H-
ângulo contêm, evidentemente, o seu baricentro e conforme (04), a distância desse
baricentro ao baricentro do subespaço ij...p está para o comprimento desta bimediana assim
como H está para P+Q (ou 2H), isso é 1 para 2. Como esse resultado independe dos valores
atribuídos aos índices i, j, ...p, resulta:
Num 2H-ângulo as suas H2HC bimedianas se bissectam mutuamente no
baricentro dos seus vértices.
*
Pelo mesmo raciocínio anteriormente feito, deduzimos de (03) e (031) que
As medianas de um triângulo concorrem no baricentro dos seus vértices a
2/3 de cada uma delas a partir dos vértices.
Pela (04) podemos também generalizar essa propriedade das medianas dos
triângulos para os (2H+1)-ângulos em geral considerando os diferentes valores que P e Q
podem assumir, ou sejam: 1 e 2H, 2 e 2H-1, 3 e 2H-2 etc. Ao primeiro caso correspondem 1
12HC medianas; ao segundo, 212HC ; ao terceiro, 3
12HC , etc. todas elas se interceptando
no baricentro do (2H+1)-ponto. Alem disso, o baricentro está situado aos P/2H de cada
mediana a partir do baricentro de vértices r, s, ..., q, ou aos Q/2H dessa mediana a partir do
baricentro dos vértices i, j, ..., p. Esse resultado é válido também, evidentemente, para os
2H-ângulos. Assim,
Todas as medianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu baricentro que
está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-ângulos (P<G)
na proporção (G-P)/G+1
Como casos particulares têm-se as propriedades clássicas para triângulos e
quadrângulos seguintes: 1) - As medianas de um triângulo (G=2) concorrem no seu
baricentro aos 2/3 dos seus vértices (P=0); 2) – as medianas de um quadrângulo (G=3)
concorrem no seu baricentro aos 3/4 dos seus vértices (P=0).
*
Para o caso G+1=2H (segmentos, quadrângulos, hexângulos etc.) a propriedade
acima também é válida, pois, para P=H-1 (respectivamente, pontos, retas, planos etc.), a
proporção é de 1/2 (meias distâncias), resultado interessante que não fica destacado no
enunciado. Assim, a propriedade mais geral poderia ser enunciada na forma seguinte:
§ 16.03 - Equações de espaços. 282
Poliádicos - Ruggeri
Teorema:
Todas as medianas e bimedianas de um (G+1)-ângulo concorrem no seu
baricentro que está distante do baricentro de qualquer um dos seus (P+1)-
ângulos (P<G) na proporção (G-P)/G+1.
No espaço dos diádicos simétricos, por exemplo, em que o simplex de referência é
um 7-ponto (heptângulo) haverá 35 bimedianas e 28 medianas concorrentes no seu
baricentro; este bissecta as bimedianas, divide 7 dentre as medianas na proporção 5/7 a
partir dos vértices e as 21 outras na proporção 4/7 a partir dos pontos médios dos lados.
No espaço dos diádicos anti-simétricos em que o simplex de referência é um 4-ponto
(quadrângulo), haverá 10 bimedianas e 5 medianas concorrentes no seu baricentro, o qual
bissecta as bimedianas e que divide as medianas na proporção 3/4.
§ 16.03 - Equações de espaços.
Várias formas de equação de uma reta.
Num 2EG qualquer (G2), pontos de uma reta têm um grau de liberdade; dependem
pois, analiticamente falando, de um só parâmetro. Uma reta é, ainda, determinada
univocamente por dois pontos fixos distintos, dados: 1 e 2, se for G=2 (logo, o 2EG está
definido por 0, 1 e 2); dois quaisquer 1 e 2, se for G3 etc.. Para G2 os posicionais serão
1 e
2, respectivamente, em relação ao ponto 0 de
2EG; logo, pode ser representada pela
equação:
21 , (011),
em que é o diádico posicional do seu ponto corrente96 e é um parâmetro variável. Para
=1 deve ser =0 (para que resulte uma identidade), posto que os posicionais
1 e
2
devem ser distintos. Pondo a equação na forma 21)1 vê-se que deve ser
= para =2, ou seja, ao ponto 2 corresponde o valor do parâmetro.
Podemos também procurar a equação da reta que passa por um ponto fixo 1 e é
paralela ao diádico unitário . Como o diádico -1, de módulo variável deve, então, ser
paralelo a ; escrevemos ˆ1 , se G=2, ou seja,
ˆ1 , (012),
ou, se G397,
ˆ)( 1 , (012').
96 Os diádicos aqui utilizados são, em geral, co-iniciais na origem. Referir-se a um diádico 1 é equivalente a
referir-se à sua extremidade.
97 O produto cruzado de dois diádicos (do 2-espaço por eles definido) é, por definição, um diádico de um 3-espaço.
§ 16.03 - Equações de espaços. 283
Poliádicos - Ruggeri
As equações (011) e (012) são equações paramétrica da reta no 2EG; e a forma (012')
é a forma normal no 2EG para G3.
Consideremos agora, no 2E2, a equação C 1 : em que
1 e C são diádico e
escalar constantes. Tem-se: d ||),cos( || ||C 1111 : em que d é a projeção
(constante) de sobre 1. Conseqüentemente os pontos pertencem a uma reta ortogonal a
1 cuja distância à origem é C/|
1|=d. A equação dada,
C 1 : , (02),
é denominada forma geral de equação de uma reta e pode, evidentemente, ser escrita na
forma mais simples d ˆ 1 : .
Vamos procurar, ainda no 2E2, a equação da reta que passa por um ponto fixo
1 e
seja ortogonal a uma direção . Ora, -1 deve ser, então, ortogonal a ; logo,
0ˆ )( 1 : , (03),
equação essa dita forma hessiana de representação da reta. Desenvolvendo o primeiro
membro podemos escrever, ainda,
Cˆ ˆ 1 :: , (031),
por onde vemos que a constante C é a distância da origem à reta.
Várias formas de equação de um plano.
Observemos inicialmente que a equação (02), considerada no 2EG para G>2, pode
também ser a equação do plano ortogonal a 1 cuja distância à origem é C/|
1|=d. Nada se
pode dizer sobre uma equação, dada ao acaso, sem que seja dado o significado das letras e o
espaço em que ela deve ser válida.
Como num 2EG, para G3, os pontos de um plano (
2E2) têm dois graus de liberdade,
a determinação analítica de um ponto qualquer desse plano dependerá de dois parâmetros.
Como três pontos não colineares, fixos, 1, 2 e 3, bastam para determinar unicamente um
plano, então sua equação é
321) , (041),
onde 1,
2 e
3 são os posicionais dos pontos 1, 2 e 3, respectivamente, em relação a 0, e 1
e 2 são parâmetros variáveis. A forma (041) de representação da reta é denominada
paramétrica.
Todos os pontos das retas definidas por (1,
2), (
2,
3) e (
1,
3) pertencem ao
plano (041).
Para =1 vê-se que deve ser 1=2=0 porque os pontos não são colineares. Se
1,20 podemos dividir ambos os membros da equação por 12 e escrevê-la na forma
3
1
21
111
111)111(
.
§ 16.03 - Equações de espaços. 284
Poliádicos - Ruggeri
Para =2 tem-se, simplificando termos semelhantes em
2 e em seguida evidenciando o
fator comum em ambos os membros,
)1(1)11(1 31
1
2
1
.
Como os pontos não são colineares, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são:
2=qualquer e 1=. O mesmo raciocínio e a mesma análise permitem concluir que os
valores dos parâmetros associados ao ponto 3 são: ,1=qualquer e 2=.
Ora, se os diádicos 1,
2,
3 e devem pertencer ao mesmo 3-espaço o produto
misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,
0)( 321 , (05),
representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G4. Uma outra
forma, ainda denominada, também, geral, é a que representa o plano que passa por um
ponto e é paralelo a duas direções 1 e 2 . O diádico -1 deve, pois, ser paralelo ao
produto cruzado de 1 e 2 ; logo,
0))(ˆˆ( 121 , (06).
A forma paramétrica relativa a (06) é, evidentemente,
211 ˆˆ) , (061).
A forma normal de representação do plano está liga à condição desse plano passar
por dois pontos, 1 e 2, e ser ortogonal à direção . Nesse caso, os diádicos -1 e -
2,
contidos no plano, devem ser simultaneamente ortogonais a ; logo, o produto cruzado
deles deve ser paralelo a , isso é,
ˆ))(( 21 , (07).
No 2EG, com G3, equação do plano que passa por
1 e é perpendicular à direção
é, evidentemente,
0ˆ )( 1 : , (08),
posto que para o ponto corrente , o diádico -1 deve ser necessariamente ortogonal a ;
esta é a forma hessiana de representação do plano nesse espaço.
Várias formas de equação de um 3-espaço.
O raciocínio feito para a determinação das equações de retas e planos pode ser
estendido para o 3-espaço. Como num 2EG, para G4, os pontos de um 3-espaço (
2E3) têm
três graus de liberdade, a determinação analítica de um ponto qualquer dependerá de três
parâmetros. Como quatro pontos não coplanares, fixos, 1, 2, 3 e 4, bastam para determinar
unicamente um 3-espaço, a sua equação é
4321) , (091),
§ 16.03 - Equações de espaços. 285
Poliádicos - Ruggeri
onde 1,
2,
3 e
4 são os posicionais dos pontos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, em relação a
0, e 1, 2 e 3 são parâmetros variáveis. A forma (091) de representação do 3-espaço é a
paramétrica.
Todos os pontos das retas definidas por (1,
2), (
2 e
3) e (
1,
3) e dos planos
definidos por (1,
2,
3), (
1,
2,
4) etc. pertencem ao 3-espaço (041).
Para =1 vê-se que deve ser 1=2=3=0 porque os pontos não são co-espaciais.
Se 1,2,30 podemos dividir ambos os membros da equação por 123 e escrevê-
la na forma
4
1
3
1
21
1111
1111)1111(
.
Para =2 tem-se, simplificando termos semelhantes em
2 e em seguida evidenciando o
fator comum em ambos os membros,
)111(1)111(1 4312
.
Como os pontos não são co-espaciais, os valores dos parâmetros relativos ao ponto 2 são:
2, 3=quaisquer e 1=. E assim por diante.
Como os diádicos 1,
2,
3,
4 e devem pertencer ao mesmo 4-espaço, o produto
misto deles é nulo necessariamente (§13), isso é,
0)( 4321 , (10),
representação essa denominada forma geral, apenas possível no 2EG com G4.
Pode estabelecer-se a forma, também denominada geral, que representa o 3-espaço
que passa por um ponto 1 e é paralelo a três direções (não coplanares) 1 , 2 e 3 que
definem um3-espaço. O diádico -1 deve, pois, ser paralelo ao produto cruzado de 1 , 2
e 3 ; logo,
0))(ˆˆˆ( 1321 , (11).
A forma paramétrica relativa a (11) é, evidentemente,
3211 ˆˆˆ) , (111).
Cabem, ainda, dois problemas adicionais (não cabíveis nos espaços anteriores) que
consiste em determinar-se a equação do 3-espaço que: 1) - passa por dois pontos, 1 e 2, e é
paralelo a duas direções 1 e 2 (que definem uma orientação); e 2) – passa por três
pontos e é paralelo a uma direção 1 (uma reta). No primeiro problema deve-se escrever
que a normal aos diádicos -1 e -
2, isso é, o produto cruzado deles, é ortogonal à normal
às duas direções simultaneamente, isso é, normal ao produto cruzado de 1 e 2 . Então:
0ˆˆ ))(( 2121 : , (12).
§ 16.03 - Equações de espaços. 286
Poliádicos - Ruggeri
Para o segundo problema, desenvolvendo o mesmo raciocínio, escrevemos:
1221 ˆ))()(( , (13).
As equações (12) e (13) poderiam ser denominadas formas normais de representação do 2E3.
No 2EG, com G4, a equação do 3-espaço que passa por
1 e é perpendicular a três
direções 1 , 2 e 3 é, evidentemente,
3211 ˆˆˆ )( , (14),
posto que para o ponto corrente , o diádico -1, por pertencer ao 3-espaço, deve ser
necessariamente paralelo à normal a 1 , 2 e 3 ; esta é a forma hessiana de
representação do 3-espaço.
Cabe, ainda, finalmente, determinar a equação do 3-espaço que passa por dois
pontos (reta) e é ortogonal a duas direção 1 e 2 (que definem uma orientação). Nesse
caso, a normal aos diádicos -1 e -
2 (ambos pertencentes ao 3-espaço) deve ser paralela
à normal à orientação definida por 1 e 2 . Então,
2121 ˆˆ ))(( , (15).
Várias formas de equação de um espaço qualquer.
Em geral, num 2EG (GP+1), a equação de um
2EP-1 definido por P dentre os G+1
pontos independentes (excluído o ponto 0), de posicionais 1,
2, ...,
P em relação ao ponto
0 de 2EG é
P
1-P21 ... , (16),
onde 1, 2, ..., P-1 são (P-1) parâmetros variáveis compatíveis com os P-1 graus de
liberdade de um ponto qualquer desse espaço; tal é a equação paramétrica do 2EP-1. A
cada posição de em 2EP-1 corresponde um conjunto de valores dos parâmetros 1, 2, ...,
P-1. Para =1, isso é, ao ponto 1, correspondem valores todos nulos dos parâmetros; ao
ponto 2, corresponde o valor 1= e valores quaisquer para os demais parâmetros; e assim
sucessivamente.
Um outro modo de expressar essa equação consiste em escrever-se que os
posicionais (relativos a 0) dos P pontos fixos e o do ponto corrente do respectivo 2EP-1
apresentam necessariamente um produto misto nulo (§13),
0).( P21 , (161),
§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica. 287
Poliádicos - Ruggeri
simplesmente porque esses P+1 diádicos pertencem ao mesmo 2EP-1; tal é a equação geral
de 2EP-1.
Os demais tipos de equação são determinados como anteriormente, cada um deles
exigindo no máximo P condições para ficar perfeitamente determinado. Assim, por
exemplo, num 2EG, a equação do
2EP-1 (que não contém 0), que passa por (ou contém) um
2ER-1 e é paralelo a um
2ES (RS), este definido por S direções S21
ˆ ..., ,ˆ ,ˆ (não
pertencentes a um mesmo 2ES-1), é, para R+S=G+1,
S21R21 ˆ ... ˆˆ )(... ))(( : , (17).
Tal é a equação normal do 2EP-1.
A equação de um 2EP-1 (que não contém 0), que passa por R (R2) pontos e é
ortogonal a S direções (S2) é, para R+S=G+1 (logo, G3):
S21R21 ˆ ... ˆˆ )(... ))(( , (18).
*
Exercício:
Se, num 2EG, em relação a um simplex de referência de centro de gravidade , um
ponto variável, , descreve a reta que passa pelos pontos e , o centro de gravidade do
(G+2)-ponto (variável) formado pelo simplex e pela extremidade de descreve uma reta
que passa pelos pontos (+)/G+1 e (+)/G+1. Generalizar o problema.
*
§ 16.04 –Ponto unidade e Razão anarmônica.
Consideremos um simplex de G+1 pontos (num 2EG) e a base diádica
correspondente, {1, 2, ..., G}, com diádicos co-iniciais no ponto 0.
O ponto de posicional 1+ 2+ ..., G, é denominado o ponto unidade do espaço; na
base indicada, esse ponto unidade tem as G coordenadas iguais a um e seu posicional (não
unitário) será denotado por .
A reta que liga um ponto dado do espaço, P, de posicional , ao ponto unidade U,
intercepta o 2EG-1 oposto ao ponto J do simplex (ponto 0 incluído) num ponto Lj de
posicional j (logo j=0, 1, 2, ...,G). A equação paramétrica dessa reta (§ 16.02) é
)1( , em que é o posicional do seu ponto corrente e um parâmetro variável.
Para =0, tem-se 00 )( ; analogamente, para =j, tem-se jjj )( .
A razão anarmônica dos pontos P, U, L0 e Lj - o número Xj que, para U e dado P
(logo, com L0 fixo) varia apenas com Lj - é definida pela expressão:
j
j
j
o
ojo X
UL
PL
PL
UL)UP,LL( .
Os segmentos, todos paralelos, podem ser expressos por diferenças de diádicos posicionais
e seus produtos por duplos produtos pontuados entre os respectivos diádicos. Logo:
§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas, superfícies 288
Poliádicos - Ruggeri
)-()(X)()-( j0jj0 :: ,
ou seja, considerando as expressões deduzidas da equação da reta:
)-()(X)(1)-( j0jjj
0 ::
.
Simplificando a expressão obtida, resulta: jj X . Vê-se assim que, para dado P e,
logo, um L0 (ou 0) fixo, a cada Lj (j=1, 2 ...,G) corresponde uma razão anarmônica Xj
univocamente determinada. Portanto, com essa associação, podemos afirmar que a cada
ponto de uma reta num 2EG estão associados os G+1 números univocamente determinados,
0, X1, X2, ..., XG; esta forma de proceder é fundamental em Geometria Projetiva Algébrica
(cujo desenvolvimento está fora do escopo deste livro).
*
§ 16.05 –Outras considerações: politopos, conteúdo etc., curvas,
superfícies.
É necessário observar que estamos longe de completar essa geometria do espaço
diádico.
Um politopo, num 2EG (no caso presente, G9) é a generalização dos conceitos de
polígonos e poliedros em duas e três dimensões na geometria dos vetores. É uma figura
formada por espaços fronteira 2EG-1, em número de G+1, que se interceptam dois a dois
segundo espaços fronteira 2EG-2, em número de 2
1GC , três a três em fronteiras 2EG-3 em
numero de 31GC etc.. É preciso caracterizar bem essas fronteiras e determinar suas relações
pelo menos nos casos mais simples.
O conteúdo de um 2EG é a generalização dos conceitos de medida de um segmento
de reta, da área de um triângulo, do volume de um tetraedro válidos na geometria dos
vetores. No caso geral, esse conteúdo é o conteúdo (volume) do paralelotopo representado
pelo produto misto de G diádicos independentes desse espaço (§ 13). Mas é necessário
também o cálculo de conteúdos de pirâmides, prismas etc. e seus troncos.
O que dizer sobre a generalização do Teorema de Euler-Descartes relativo aos
poliedros do espaço dos vetores? E sobre os politopos regulares?
O estudo de curvas e superfícies no espaço diádico requer consideração a diádicos
que variem com um ou mais parâmetros, tal como para as curvas e superfícies do espaço
dos vetores. Esses importantes conceitos, que nos levam às derivações e integrações, serão
discutidos apenas no Tomo II.
Essas breves informações são suficientes para mostrar a frente ampla de trabalho que
se descortina para constituir, de uma forma metódica, axiomática, a Geometria Euclidiana
Multidimensional e utilizá-la para interpretar problemas físicos envolvendo diádicos (e
poliádicos, em geral).
Bibliografia 289
Poliádicos - Ruggeri
BIBLIOGRAFIA.
Há autores que expõem a teoria dos diádicos na forma de anexo às suas obras. Deu
maior sustentação a esse capítulo as obras 1 e 3 listadas. Entretanto, é nas obras de Moreira
e Sielawa que aprendemos a utilizar os vetores recíprocos como rotina.
1 - 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New
Haven, Connecticut, USA, 436p., reeditado em 1913, 1916, 1922, 1925 ,1929,
1931, 1943, 1947 e 1948.
2 - 1924: WEATHERBURN, C. E., Advanced Vector Analysis (with applications to
Geometry and Physics), G.Bell and Sons, Ltd., London, 222 p., reeditado em
1926 e 1928.
3 - 1966: MOREIRA, L.C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata,
vol. XXV, n° 2 e 3, 39 p., Ouro Preto.
4 - 1970: SIELAWA, J. T., Métodos matemáticos da Mecânica do Contínuo, Instituto
Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, 430 p..
Bibliografia 290
Poliádicos - Ruggeri
Poliádicos - Ruggeri
CAPÍTULO III
GEOMETRIA DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR.
§ 01 - TL, PROPRIEDADES, APLICAÇÃO NUMÉRICA.
§ 01.01 - Recordando conceitos e especificando uma TL.
Partindo do conceito elementar de função de valor numérico e argumento numérico,
alcançamos, no § 01 do Cap. II, o conceito de função de valor vetor e argumento vetor.
Dentre essas funções, definimos as funções lineares vetoriais, de grande utilidade em Física
e em Geometria. Interpretamos a função linear vetorial como uma operação sobre o
argumento vetor (o paciente) que o transforma em um novo vetor (o valor da função); a
função linear vetorial passou, então, a ser um conceito equivalente a uma Transformação
Linear (TL) e pudemos entendê-la de três pontos de vista: o algébrico, o geométrico e o
físico.
Neste capítulo, exploraremos a TL, de forma ampla, do ponto de vista geométrico.
Segundo esse ponto de vista, se O é um ponto fixo de EN (da reta, do plano, ou do espaço),
e se x é o vetor posição (em relação a O) do ponto X de EN - ponto este que
denominaremos ponto objeto - então x l x( ) é a transformação linear de x mediante o
operador l( ); em relação a O, x é o vetor posição do ponto X - denominado ponto
imagem - transformado do ponto X. Definidos os diádicos (§ 02,II) e algumas operações
entre diádico e vetor, mostramos (§ 02.04,II) que todo diádico é operador de uma TL sobre
vetores e que toda TL (sobre vetores) pode ser convenientemente representada por um
diádico (para ser usado em multiplicação pontuada anterior ou posterior com vetores).
Então:
x l x x .x x.( ) , T
(01),
ou
l .( ) , ou . T, (011),
isso é, a dada TL corresponde um único operador (que pode ter infinitas representações);
e reciprocamente.
A correspondência (011) da direita para a esquerda é de assimilação imediata, o que
não se verifica, similarmente, da esquerda para a direita. Se nos lembrarmos, porém (Corol
1, Teor 1, § 02.04,II), que o diádico regente de uma TL fica perfeitamente determinado, em
EN, quando são conhecidos os seus produtos escalares (que são vetores) por N vetores
independentes, quaisquer, especificados, de EN, essas dificuldades desaparecem. Um outro
modo de eliminar essas mesmas dificuldades consiste em utilizar o Corol 2, Teor 1, §
02.04,I: se for sabido (de alguma forma) que N vetores especificados (de EN), são os
transformados de N outros vetores independentes especificados (também de EN ), então o
diádico gerado de EN, que transforma um conjunto no outro, esta univocamente
determinado. Agora, se existirem dificuldades, estas estarão nas formas de especificar tais
vetores. Especificaremos os vetores: 1º) - pelos seus módulos, direções, sentidos, ângulos
§ 01.02 - Propriedades fundamentais 292
Poliádicos - Ruggeri
de uns com os outros etc. - uma especificação geométrica espacial, ou, simplesmente
euclidiana; 2º) - pelas suas coordenadas em relação a certa base - uma especificação
tipicamente analítica, ou, simplesmente cartesiana. Ora, é evidente que a primeira é
universal, isso é, é única e independente de bases; a segunda só é determinada (inteligível)
para cada base particularmente especificada, podendo, pois, ser concretizada de infinitas
maneiras. Dada qualquer uma dessas especificações, entretanto, podemos deduzir a outra;
logo, ambas são formas equivalentes de especificar-se uma TL.
Como se correlacionam duas especificações cartesianas e a especificação euclidiana
correspondente de uma mesma TL? À especificação euclidiana corresponde um diádico
único (para qualquer observador). Quando um primeiro observador adota uma base (e, logo,
a sua recíproca) para referência, em geral ele pode associar quatro matrizes ao diádico
regente da TL (§ 09.02, II) e apenas uma se a base é ortonormada. Tais matrizes, entretanto,
não são independentes; correlacionam-se conforme a tabela de multiplicação apresentada
no (§ 09.03, II) via as matrizes métricas (inversas) das bases recíprocas adotadas. Se um
segundo observador adota uma outra base para o estudo da mesma TL que o primeiro
observador estuda, ele associará quatro novas matrizes ao mesmo diádico regente da
transformação (na especificação euclidiana), para as quais são válidas, ainda, as fórmulas
indicadas na tabela acima referida. Mostraremos oportunamente (§ 02.03), que existem
quatro relações entre as matrizes dos observadores, uma para cada par de matrizes
homônimas.
Imponhamos, agora, a dois observadores, cada um com a sua base, a condição de
estudarem uma mesma TL, com uma mesma matriz. Será isto possível? Em geral, não!
Apenas ocorrerá que, entre os diferentes diádicos dos observadores, ficará estabelecida uma
conexão (ver § 02.02) via um terceiro diádico, completo, cujos antecedentes e conseqüentes
são os vetores de base de cada observador; mas cada diádico regerá uma determinada TL.
Entretanto, há situações em que isso é possível, conforme veremos no § 02.04.
§ 01.02 - Propriedades fundamentais.
Algumas das principais propriedades das TL's já foram demonstradas a título de
interpretação geométrica ou ilustração de propriedades dos diádicos, ou de operações entre
diádicos e vetores. Com efeito, já comprovamos (§ 02.04, II) a seguintes:
Propr. 1: No E3,, os pontos dependentes de uma reta (pontos colineares), e os
dependentes de um plano (pontos coplanares), são transformados,
respectivamente, em pontos dependentes de uma reta e de um plano.
Como corolário dessa propriedade constata-se facilmente a seguinte
Propr. 2: Em E3, as retas e os planos se transformam, respectivamente, em retas e
planos.
Propr. 3:
Em E3, retas paralelas e planos paralelos transformam-se, respectivamente,
em retas paralelas e em planos paralelos.
§ 01.02 - Propriedades fundamentais 293
Poliádicos - Ruggeri
Se x e y são os pontos correntes das retas paralelas ao unitário u e que passam
respectivamente, pelos pontos A e B, escrevemos:
x a u
y b u
M
N
,
onde a e b são os vetores posição de A e B, e M e N são parâmetros. Multiplicando
escalarmente ambos os membros das relações acima por , obtemos nos primeiros membros
os transformados dos pontos correntes das retas paralelas; e nos segundos membros os
transformados dos pontos A e B e do unitário u , isso é
x .x .a .u a u
y . y .b .u b u
M M
N N
.
As retas transformadas passam pelos pontos A e B (extremidades de a’ e b’) e são ambas
paralelas ao vetor u, isso é, são paralelas.
A demonstração para o caso dos planos pode ser feita por analogia.
Propr. 4: A transformada da superfície esférica é sempre um elipsóide.
Seja X o ponto corrente da superfície esférica de centro C e raio R. Os
transformados dos pontos X e C são X e C tais, que
x .x c .c e .
A equação da superfície esférica é
( ) ,x c 2
R2
de onde, substituindo x e c em função de x c e , operando e agrupando convenientemente,
deduzimos:
( ) ( ) ( ) , x c . . . x c T 2R1 (01).
O primeiro membro da equação acima (equação da transformada da superfície esférica) é
uma forma quadrática ternária (§09.07,II) nas coordenadas de x c e apresenta, por isso,
apenas os termos quadrados e retangulares; a equação é, portanto, a de uma quádrica
centrada em C , simétrica em relação a C e fechada porque x c é vetor de módulo
finito. Esta quádrica é, pois, um elipsóide.
O desenvolvimento da equação cartesiana do elipsóide requer a adoção de um
referencial para que o vetor x c e o diádico sejam dados por suas coordenadas. Assim
procedendo, a determinação das características desse elipsóide (valor dos semi-eixos,
direção dos semi-eixos, seu volume, etc.) poderá ser feita pelos métodos da Geometria
Analítica.
§ 01.02 - Propriedades fundamentais 294
Poliádicos - Ruggeri
Notas:
1 - Não é difícil comprovar que o transformado de um elipsóide é também um elipsóide e
que o de uma circunferência (ou elipse) é sempre uma elipse.
2 - Mostraremos mais tarde que uma transformação linear é, numa situação particular (em
Mecânica), fisicamente equivalente a uma deformação homogênea, razão pela qual, muitas vezes, os elipsóides são denominados "elipsóides de deformação".
Propr. 5:
Na TL regida por , o quadrado da razão da distância (|x’|) entre dois
pontos imagem para a distância (|x|) entre os respectivos pontos objeto,
estes, definidores de uma direção n , é dado por:
n...nn.x
xˆ)(ˆ)ˆ()
||
||( T22
, (02).
Por serem x .x e x x n| | , tem-se:
| | ( ) | | ( ) x .x x .n2 2 2 2 ,
de onde, dividindo ambos os membros por |x|2, deduzimos (02).
Propr. 6:
Na TL regida por , o quadrado da razão da área imagem, A , para a
correspondente área objeto, A - esta, ortogonal à direção n - é dada por:
( ) ( ) ( ) ,~
A
A~T T2 2
.n n. . .n (03).
Se x e y são dois vetores do domínio objeto, yx é o vetor área definido pelos
mesmos; seus transformados mediante são os vetores . x e . y, e o vetor área que lhes
corresponde é )()( .y.x . Sabemos ((01), § 08.04, II) que:
~)()( )()( 2 .yxyx..y.x .
O primeiro e o último membros da relação acima mostram como conecta os
vetores-área antes e após a transformação. Sejam:
|)()(|A | ,|A .y.xyx ,
e n o unitário da normal ao plano de x e y. Temos, então:
n...nyx..yx ˆ ~ ~ˆA)( ~ ~)()A( T2T2 ,
de onde, considerando ((01),§ 08.03,II), deduzimos imediatamente (03).
§ 01.03 - Aplicação numérica. 295
Poliádicos - Ruggeri
Propr. 7:
O terceiro do diádico de uma transformação rege a transformação dos
volumes.
Esta propriedade já foi demonstrada como interpretação geométrica do terceiro de
um diádico (Teor. 3, § 02.08, II).
§ 01.03 - Aplicação numérica.
A arbitrariedade do ponto fixo de referência implica, por si só, a independência da
transformação relativamente a referenciais, isso é, uma TL depende apenas do diádico que a
rege. Isto, aliás, é até intuitivo porque, do contrário, uma mesma figura objeto seria
transformada em tantas figuras imagem quantos fossem os observadores da transformação,
cada qual com o seu sistema de referência. Por outro lado, paradoxalmente, parece razoável
admitir que enquanto alguma coisa deve variar com a mudança de referencial, alguma outra
coisa deve não variar para que a figura imagem seja a mesma para os diferentes
observadores. Isso tudo é verdadeiro intuitivamente do ponto de vista físico; oportunamente
veremos como traduzir matematicamente essa questão. Vale lembrar, entretanto, a nossa
intuição nem sempre traduz ou representa uma realidade.
Na prática das previsões e medições, não obstante a consideração conceitual atrás
exposta, torna-se imperioso - senão absolutamente necessário - a adoção de um sistema de
referência adequado em relação ao qual se possam determinar posições, distâncias, ângulos
etc., bem como, munindo o referido sistema de um cronômetro, determinar-se o tempo.
Abandonando provisoriamente o parâmetro tempo - de extrema importância em
aplicações - refiramos certo domínio D, de ponto objeto corrente X, a um conveniente e
bem determinado sistema cartesiano de referência (não necessariamente ortogonal), O-
x1x2x3, e de vetores de base e1, e2 e e3 (não necessariamente unitários). Se Xi (i=1,2,3) são
as coordenadas de X em relação ao sistema, escrevemos:
x e= X , com X = X ( , ,i
i
i i 1 2 3 ), (01),
os argumentos i sendo variáveis numéricas que variem continuamente dentro de intervalos
bem determinados (o significado das funções será detalhado no Tomo II desta obra).
O diádico , dado, regente da transformação, pode ser escrito na forma cartesiana (§
09,II)
= k
j k
j , ( j, k = 1,2,3),e e (02),
as kj sendo as suas coordenadas mistas e [k
j] a sua matriz associada (§ 09.02,II) . (É claro
que poderia ser definido por um tipo qualquer de componentes uma vez que sendo
conhecidas as de um tipo, as demais ficam perfeitamente determinadas, conforme sabemos
(§ 09.03,II)).
Deduzimos:
x .x= = ( ) (X ) = X ( j
k
k
j i
i j
k i
k
j
i e e . e e e .e ),
isso é, por ser i ii
j .ee resulta: kik
i X ex .
§ 01.03 - Aplicação numérica. 296
Poliádicos - Ruggeri
Sendo, ainda, X'k as coordenadas de x', escrevemos:
X = X ,k
k i
k i
ke e
donde, igualando as coordenadas homônimas:
X = Xk
i
k i ;
igualdade que pode ser escrita na forma matricial:
{X } = [ ] {X },
. (03),
onde, evidentemente,
{ , ,
X } =
X
X
X
{X } =
X
X
X
[ ]
1
2
3
1
2
3
=
1 1 1
1 2 32
12
22
33
13
23
3
, (04).
A transformação inversa pode ser escrita na forma matricial:
{X } = [ ] {X },
1
. (05).
Nota:
A fórmula (03) é geral, aplicando-se inclusive no caso em que os vetores de base sejam
unitários triortogonais. Nesse caso, ocorrerá apenas que as componentes contravariantes dos vetores x e x' serão confundidas com as co-variantes, e as componentes mistas do diádico confundidas com as contravariantes e co-variantes.
Exemplo Numérico 1:
Estudemos, em relação à base ortonormada { , , ,} i j k , a TL regida pelo diádico:
= , ,ii ij ji jj kk 2 15
cuja matriz associada é
[ ] , .
1 1 0
2 1 5 0
0 0 1
Procuremos, por exemplo, caracterizar a figura transformada do quadrado do plano
( , )i j , centrado na origem, cujos lados são paralelos aos unitários i j e , e têm comprimento
igual a duas unidades.
Solução:
Nesse problema elementar, o domínio D é o quadrado que se encontra perfeitamente
determinado; o domínio D' será a figura em que se transformará esse quadrado por ação do
§ 01.03 - Aplicação numérica. 297
Poliádicos - Ruggeri
diádico especificado em forma cartesiana. (Note-se que, por ser a base ortonormada, as
componentes contravariantes, co-variantes e mistas de são idênticas).
Pelas propriedades das TL's, a figura imagem é um paralelogramo porque os lados
do quadrado (que são paralelos) se transformam em segmentos paralelos; basta, pois, para
caracterizar o paralelogramo, determinar as imagens dos vértices do quadrado (Fig. 01.01).
Aplicando (03) aos vértices A, B, C e D do quadrado, cujos vetores posição são
facilmente determinados, encontra-se, para expressão dos vetores posição dos
transformados:
{ , ; ;
A } =
1 1 0
2 1,5 0
0 0 1
{B } = [ ]
. .
1
1
0
0
3 5
0
1
1
0
2
0,5
0
{ , , ,
C } = [ ]
e {D } = [ ]
. .
1
1
0
0
3 5
0
1
1
0
2
0 5
0
Devemos observar que tanto o domínio objeto quanto o domínio imagem têm um
centro de simetria, propriedade que, aliás, é geral das TL's, isso é, se o domínio objeto
apresentar pontos, eixos ou planos de simetria assim também deverá se apresentar o
domínio imagem. Neste exemplo numérico particular ocorre que o centro de simetria é
coincidente com a origem do referencial, condição que não é necessária para verificar-se a
propriedade.
Para ampliar um pouco mais o problema proposto, poderíamos verificar que a
circunferência de raio unitário, inscrita no quadrado, se transforma numa elipse inscrita no
paralelogramo. Obteremos a equação da elipse por consideração de ((01), § 01.02) onde
deveremos fazer c'=o (centro coincidente com a origem), R=1 e X3=0 (esfera e elipsóide
secionados pelo plano X3=0). Sendo
x . . .x( ) = 1T 1 ,
e
§ 01.03 - Aplicação numérica. 298
Poliádicos - Ruggeri
22
1T
50,300
0250,0
050,025,6
5,3
1])[( . ,
resulta logo, para equação da elipse imagem:
6,25(X ) X X + 2(X ) = 3,5 .1
2
1 2 2
2 2
Notemos que os pontos de contato da circunferência com os lados AB, BC, CD e
DA do quadrado (pontos médios desses lados), de coordenadas respectivas:
(0;1;0), ( 1;0;0), (0; 1;0) e (1;0;0) ,
têm por imagem os pontos de coordenadas
( 1;1,5;0), ( 1; 2;0), (1; 1,5;0) e (1;2;0) ,
respectivamente, e estes são os pontos médios dos lados do paralelogramo imagem.
Notemos também, por outro lado, que esses mesmos pontos médios (M', N', etc.) são os
pontos de tangência dos lados do paralelogramo com a elipse, mas não são de modo algum
os vértices da elipse, como poderia parecer. O ponto Q, interseção da semidiagonal OA
com o arco de circunferência NM, tem como imagem o ponto Q' tal, que
0
475,2
0
2
2
0
2/7
0
2
2
0
1
1
][}{ . ;
e este, por sua vez, também não é vértice da elipse.
Pelos métodos da Geometria Analítica e a partir da equação da elipse podemos
calcular as coordenadas do seu vértice V'. Qual seria o ponto objeto V? Quais os
comprimentos dos semi-eixos da elipse? Quais os ângulos desses semi-eixos com o
unitário i ? Qual o par de raios da circunferência (raios objeto) que se corresponde com o
par de semi-eixos da elipse? Esses assuntos serão analisados de forma ampla mais à frente.
Por ora o leitor poderia se preocupar em responder às perguntas formuladas representando
graficamente a elipse ou efetuando os cálculos pelos métodos da Geometria Analítica.
Para completar este exemplo numérico elementar, o leitor poderá comprovar gráfica
e analiticamente as propriedades 5, 6, e 7 das TL's. Fazendo a figura numa escala adequada,
o leitor poderá se surpreender com a precisão dos resultados gráficos quando comparados
com valores exatos que podem ser calculados sem dificuldades.
§ 02.01 - Diádicos de mudança de base. 299
Poliádicos - Ruggeri
§ 02 - MUDANÇA DE BASE. TRANSFORMAÇÕES POR
SIMILARIDADE.
§ 02.01 - Diádicos de mudança de base.
Sejam {e*} e {r
*} duas bases quaisquer e distintas de EN, e {e*} e {r*} suas
correspondentes recíprocas. Existe sempre (Corol. 2, Teor. 1, § 02.04, II) um e um único
diádico completo, , que, usado como pré-fator por exemplo, transforma os vetores de uma
base nos vetores da outra. Assim,
r .e r e r ei i i
i (i = 1,2,... , N) { },{ } , (01).
Dada a generalidade das bases e se é usado como pré-fator, a constituição de
esta determinada: os seus antecedentes são os vetores da base transformada e os seus
conseqüentes são os recíprocos dos vetores da base a transformar.
Definição: (diádico de mudança de base)
O diádico , dado por (01), que transforma por multiplicação pontuada
anterior os vetores da base {e*
} nos vetores da base {r*
} denomina-se
diádico de mudança de base {e*
} para a base {r*
},
tornando-se evidente que todo diádico completo é um diádico de mudança de base, e
reciprocamente.
Então: 1) - o diádico de mudança da base {r*} para a base {e*} é T i
i e r ; 2) -
o diádico de mudança de base {r*} para a {e
*} deve ser o recíproco de , 1 e r
i
i ,
porque opera a transformação inversa de ; 3) - o diádico de mudança de base {e*} para a
base {r*}, isso é, entre as bases recíprocas das bases dadas, é r ei
i, isso é, o principal de
(§ 08,II). Assim, entre as bases {e*}, (r
*} e suas recíprocas existem as transformações
representadas pelos diádicos , ,T
P
1 e
, conforme esquematizado na Fig.02.01.
Em resumo:
se = então, i
i
T i
i1
i
i
P
T i
i
r e
e r
e r
r e
,
,
(02).
§ 02.02 - Transformações por semelhança. Diádicos semelhantes. 300
Poliádicos - Ruggeri
As relações entre estes diádicos já foram estabelecidas no §08.01,II, sendo, por exemplo,
1
3T
P3 ~ ou, P32 . (03),
e
.. 11 e ~ ~ 3 .. (031).
Por (01) vemos que o diádico de mudança da base {e*} para a base {r
*} executa
uma transformação linear sobre os vetores da base {e*}. Para qualquer vetor v de EN
escrevemos, então: v . v ; e, em relação a qualquer base fixa, interpretamos esse
resultado dizendo que v transformou-se em v por ação de . Como temos acentuado,
podemos entender também que, em relação a qualquer base fixa, por ação de , o ponto V
foi transformado em V . Esse é um dos pontos de vista para a interpretação da
transformação regida pelo diádico sobre os pontos do espaço.
Nesse primeiro ponto de vista, então, elegemos uma base fixa, {e*}, em relação à
qual o operador transformou o ponto V no ponto V . Isso é, um observador, O, fixo em
{e*}, veria o ponto V deslocar-se para V por ação de .
Num segundo ponto de vista podemos inverter a situação: imaginando marcado o
ponto V do espaço, o observador O deverá fazer uma mudança de base. Nestas condições,
de uma outra base qualquer, fixa no espaço, um segundo observador O verá o observador O
mudar continuamente de posição (alterando de alguma forma os ângulos e os módulos dos
vetores da base inicial) até que ele venha a assumir a nova base. Nesse movimento, o
observador O sentirá que o ponto V sofreu um deslocamento, enquanto que para o
observador O (da base fixa), o primeiro observador, O, foi quem se movimentou, o ponto V
tendo ficado fixo. Se o observador O mudou-se para a base {r*}, quais serão, então, para
ele, as coordenadas de V ?. Em que condições será possível ao observador O descobrir
que, na realidade, V V ? Não cabe aqui fazer uma discussão detalhada sobre o modo como
o observador O vê as coisas em função do seu movimento, Isto, de fato, constitui objeto da
Física.
Em resumo:
A transformação de v em . v pode ser vista como resultante de uma
transformação linear sobre os pontos do espaço (em relação a uma base
fixa), ou como resultante de uma mudança de base para os pontos fixos do
espaço.
§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares.
Sejam: o diádico =ejbj com antecedentes independentes, e a base {r
*}. Denotando
por o diádico de mudança da base {e*} para a {r
*}, escrevemos: =rie
i.
Consideremos agora o diádico de antecedentes ri e cujos conseqüentes ai sejam os
vetores transformados dos bi mediante P , isso é,
seja = com i
i i
P
i r a a .b , (01).
§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 301
Poliádicos - Ruggeri
Então:
. . . .1 1
, , ou, (02).
Com efeito, tem-se:
r a .e .b . e b .i
i
i P
i
i
i
P
T( )( ) ( ) ,
donde, lembrando ((02)3, § 02.01), comprovamos (02)1.
Analogamente, de ((02)2, § 02.01) e (01)2 escrevemos:
e b .r .aj
j
j P
1 j( )( ),
1 ou
( )( ) ( ) .
1 1. r a . . r a .
j
j
P
T
j
j
P
T
Ora, sendo P
T
j
j e
r a resulta, logo, (02)2.
Reciprocamente, se = riai e = ejb
j são as reduções trinomiais de dois diádicos e
com antecedentes independentes, se = riei é o diádico de mudança da base {e
*} para a
{r*}, e se subsistem as (02), então os conseqüentes de e são transformados mediante
P . Pois,
. . . e b . . e .b r .b1
( ) ( )( ) ( )i
i 1
i
T i
i P
i;
e sendo = riai. Logo: ai = P.bi e os conseqüentes de e se transformam mediante P .
Nota:
Encontraríamos ainda (02) partindo de outras reduções trinomiais de como, por exemplo,
jj eb , base {r
*} e diádico
ii ra com ii b.a .
Definição: (Transformação similar, diádicos similares)
Se é um diádico completo e e são diádicos entre os quais existe a
relação
. .1, então dizemos que é obtido de mediante uma
transformação similar na qual é o diádico de transformação. O diádico
é dito, ainda, similar a , mediante .
Em vista da existência de (02)2, podemos dizer que se é similar a mediante ,
é similar a mediante 1
. Sem perigo de confusão poderemos dizer simplesmente que e
são similares; e não são completos necessariamente (ver Teor. 6 à frente).
Propriedades dos diádicos e das transformações similares.
Podemos, então, enunciar:
Teor. 1:
A CNS para que dois diádicos, e , reduzidos a formas trinomiais com
antecedentes independentes, distintos e índices no mesmo nível, sejam
similares, é que os conseqüentes de sejam transformados dos conseqüentes
de mediante o principal do diádico de mudança da base dos antecedentes
de para a base dos antecedentes de .
§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 302
Poliádicos - Ruggeri
As propriedades e as entidades derivadas dos diádicos, invariantes mediante relações
de similaridade entre eles, são propriedades e entidades que se conservam numa mudança
arbitrária de base (já que é um diádico arbitrário).
Tais propriedades e entidades são, pois (§05, I), tensoriais no espaço euclidiano ao
qual são relativas (mas as propriedades tensoriais não são apenas aquelas comuns a diádicos
similares).
Teor. 2:
Se dois diádicos são similares mediante o diádico de mudança das bases
definidas por seus tercetos espaciais em reduções trinomiais arbitrárias, são
iguais as suas coordenadas mistas homônimas relativas às respectivas bases;
e reciprocamente.
Com efeito, consideremos as reduções trinomiais arbitrárias seguintes, com
antecedentes independentes, dos diádicos similares e : =riai e =eib
i. Seja, ainda, o
diádico de mudança da base {e*} para a base {r
*}. Podemos escrever:
( ) ( ) ,a .r r r b .e e ei
j i
j i
j i
j e expressões estas que representam as formas
cartesianas mistas de e nas bases {r*} e {e
*} definidas por suas partes espaciais.
Devemos comprovar que ai.rj=bi.ej para todo i e j. Por hipótese, subsiste (02)1; logo:
jij
i )( rr.ra
.)()(
)(])[()(
jij
iji
nj
im n
m
jj
nmn
mii
rr.ebrr.eb
re.ee.eb.er
Igualando as coordenadas do primeiro membro e do último da igualdade acima, concluímos
a tese.
Reciprocamente, se são iguais as coordenadas mistas homônimas das reduções
eneanomiais de dois diádicos em bases diferentes, esses diádicos são similares mediante o
diádico de mudança dessas bases. Com efeito, ponhamos: A e j
i
i
je e B j
i
i
jr r com
A B j
i
j
i . Sendo r ei
i o diádico de mudança, tem-se: i
iP er , ii e.r e
jPj e.r . Logo: A A j
i
i P
j
j
i
i
j
P
T( )( ) ( ) .. e . e . e e . Lembrando que
P
T
1, resulta: 1 . . , e e são similares mediante .
Corol. 1:
A CNS para que dois diádicos sejam similares mediante o diádico de
mudança de seus tercetos espaciais em reduções eneanomiais arbitrárias
é que as suas matrizes mistas homônimas correspondentes sejam iguais:
1 . .
ji
ij rr ,
ji
ij ee
e ii e.r , com i
Pi b.a [
ij]r=[
ij]e (03)1,
ou
1TT . . jij
i rr , jij
i ee
e i
Pi e.r , com ii b.a [i
j]r=[i
j]e, (03)2.
§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 303
Poliádicos - Ruggeri
Não é difícil comprovar, no tocante às coordenadas duplamente co-variantes ou
contravariantes, que:
T . . jiij rr , ji
ij ee
e ii e.r , com iP
i b.a [ij]r=[
ij]e (03)3;
e 1P . . ji
ij rr , ji ij ee
e iP
i e.r , com iPi b.a [ij]r=[ij]e, (03)4.
Já observamos (§ 09.02,II, Nota 1) que ao estudar-se uma TL pela matriz associada
ao diádico que a rege, devem ser mencionadas a natureza (variância) dessa matriz e a base a
que ela se refere. Assim:
1) - Seja [Aij] a matriz relativa à base {e*} com = Ai
jeiej e a matriz [Bi
j]
relativa à base {r*} com = Bijrir
j . Como rege uma única TL, deve haver alguma relação
entre suas matrizes associadas, assunto que será discutido mais à frente (§02.04).
2) – O estudo das TLs fica extremamente simplificado se as bases a serem
consideradas forem todas ortonormadas, desaparecendo a distinção entre as diferentes
matrizes associadas. Isso é muito vantajoso por um lado, mas nem sempre possível e
adequado por outro.
Teor. 3:
Se dois diádicos são similares (mediante certo completo), similares são
também as suas potências de expoente inteiro, K, (mediante o mesmo
completo):
, : , K >K K. . . .1 1 0, (05),
e
, , : ,3
1 10 K,K K. . . . (051).
Pois temos:
2 1 1 1 1 2 1
( ) ( ) ( ) ,. . . . . . . . . . . .
131213 )()( ....... etc.,
propriedade que, então, é válida para potências 2,3 etc.não sendo difícil comprovar-se que
ela é válida para qualquer expoente positivo. Se o diádico for completo, a propriedade
será válida, também, para expoentes negativos.
Teor. 4:
Diádicos similares (completos ou incompletos) têm a mesma equação
característica, logo os mesmos autovalores.
Sejam e diádicos similares com
. .1. Tem-se, lembrando ((04),
§05.03,II e (08), §08.01,II): 3 3 3
13
. . 3
, isso é, e têm o mesmo terceiro.
§ 02.02 - Transformações por similaridade. Diádicos similares. 304
Poliádicos - Ruggeri
Considerando, agora, as ((02), §07.01,II) escrevemos:
E E E E E E
( ) [( ) ] [ ( )] ( ) ,. . . . . . .
1 1 1
isso é, e têm os mesmos escalares.
Tomando o adjunto de ambos os membros da relação de similaridade, escrevemos,
lembrando ((01), §08.03,II): ~ ~ ~ ~ . 1 . . Considerando ainda ((10), §08.01,II) e,
depois, ((07), §08.03,II), tem-se, ainda:
1133
-1 ~ ~)( ~ .... , (logo, ~ ~
e são similares),
de onde deduzimos, tal como anteriormente: ~E
~E . Assim, os diádicos similares têm
a mesma equação característica e, por conseqüência, os mesmos autovalores.
Para provar que -1 = .-1.-1 podemos adotar o mesmo caminho que o adotado
acima relativamente ao adjunto.
Corol. 1:
Diádicos similares têm o mesmo grau de nulidade: são ambos completos,
ambos planares ou ambos lineares.
O teorema é óbvio porque os diádicos similares têm o mesmo terceiro. Poder-se-ia
demonstrar também a proposição porque produto do tipo ..-1 (em que é completo)
têm o mesmo grau de nulidade do fator (Teor. 1, §05.04,II).
É fácil também demonstrar o seguinte
Teor. 5:
Se é similar a mediante , então T
( )~
é similar a T
( )~
mediante
T
( ).~
As transformações por similaridade gozam, ainda, das seguintes propriedades:
1ª) - Os similares de uma soma e de um produto de diádicos são iguais,
respectivamente, à soma e ao produto dos similares dos diádicos:
. . . . . .( ...) ... , 1 1 1 (06),
...,)()(...)( 111..........
(061);
2ª) - O similar da P-ésima potência (P inteiro positivo) de um diádico, é a P-ésima potência de um similar desse diádico:
. . . .P P
( P inteiro positivo),
1 1( ) , (07);
§ 02.03 - Matriz de mudança de base. 305
Poliádicos - Ruggeri
e se é completo, P é um inteiro qualquer:
3
1 10, ( P inteiro),P P. . . .( ) , (071).
Pois, (071) é um caso particular de (061) para = = ... = .
3ª) - O similar de um polinômio diádico P() é o mesmo polinômio de um
similar de :
.P . P . .( ) (1 1 ), (08).
Com efeito, essa propriedade é conseqüência imediata das duas primeiras:
. . . .
. . . . . .
P( ) C C C
C C P(
1
0 1 2
0 1
1
( ... )
( ) ( ) ... ).
2 1
1 1
4ª) – Se X é um autovalor do diagonalizável , então P() tem P(X) por
autovalor.
Pois, se é o diádico que diagonaliza então P(..-1
) é certo polinômio diádico
de diagonalizado. Sendo X autovalor de , e também de ..-1
, P(X) é autovalor de
P(..-1
), o qual, pela propriedade anterior e pelo Teor. 4, é também autovalor de P().
§ 02.03 - Matriz de mudança de base.
Sendo r ei
i, podemos escrever, decompondo os antecedentes ri na base {e
*}:
( ) ,r .e e ei
j
j
i (01).
Decompondo, por outro lado, os conseqüentes na base {r*}, escrevemos:
r e .r r r .e r ri
i
j
j
j
i
i
j( ) ( ) ,
ou, ainda, trocando os índices indicativos das somatórias:
( )r .e r ri
j
j
i, (02).
Vemos por (01) e (02) que se o diádico μ de mudança da base {e*} para a base {r*} esta
expresso em forma cartesiana mista, tendo como díades fundamentais as obtidas nos
produtos justapostos dos vetores de qualquer das bases pelos seus recíprocos, as suas
matrizes associadas são iguais.
§ 02.03 - Matriz de mudança de base. 306
Poliádicos - Ruggeri
Definição: (matriz de mudança de base)
A matriz:
[ ] ,
r . e r . e r . e
r . e r . e r . e
r . e r . e r . e
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
(03),
cujos elementos da i-ésima coluna são as coordenadas do vetor ri na base
{e*
}, denomina-se matriz de mudança da base {e*
} para a base {r*
}.
Deduzimos imediatamente que o determinante da matriz de mudança da base {e*}
para a base {r*
} é igual ao terceiro do diádico de mudança da base {r*} para a base {e*},
3=T
3. Com efeito, conforme ((062), §03.03,I) o determinante da matriz (03) é igual a
(r1r2r3)(e1e
2e
3), ou seja, μ3.
Entre as matrizes dos diádicos ,T
e 1
existem, obviamente, relações análogas
às dos diádicos correspondentes:
[ ] [ ] , T T
(04),
][][ ][][ ][ 11I.. , (05).
Com efeito, a matriz de T
é a de mudança da base {r*} para a {e*}; seu elemento
genérico, o da i-ésima coluna e j-ésima linha é, pois, ei.rj. Ora, este elemento é o genérico
da matriz de , pertencendo à sua i-ésima linha e j-ésima coluna; logo, tem-se (04).
Sendo rj.ei = ei.rj o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna de [] e ek.r
j = rj.ek
o elemento da j-ésima linha e k-ésima coluna de [-1](ver §09.08,II), ou seja
33
23
13
32
22
12
31
21
11
1
][
e.re.re.r
e.re.re.r
e.re.re.r
, (03)1,
então o elemento genérico da i-ésima linha e k-ésima coluna de [].[-1]é:
( )( ) [( ) ] .e .r r .e e .r r .e e .ei
j
j
k
i
j
j
k
i
k k
i
Logo, [].[-1]= []. Similarmente, demonstra-se a igualdade do segundo e do terceiro
membros de (05).
As matrizes [] e [-1], satisfazendo (05), são, pois, inversas (uma da outra).
§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 307
Poliádicos - Ruggeri
Procuremos, agora, a relação existente entre []T e []-1. Determinemos, por
exemplo, o complemento algébrico do elemento e1.r2 de []T. Considerando ((05),§04.03,I)
esse número é escrito na forma
)()(
13
32
13
33
12
32
rr.eer.er.e
r.er.e .
Lembrando propriedades dos recíprocos escrevemos, ainda,
]det[ )())()(()()( 21321
3212113
32 .rerrreee.rerr.ee .
Fazendo cálculos análogos concluímos que a matriz associada a []-1, multiplicada pelo
terceiro de , é a matriz que se obtém de []T substituindo cada um de seus elementos pelo
seu co-fator.
A matriz que se obtém de uma matriz dada, [], substituindo-se na sua transposta
cada elemento pelo seu complemento algébrico, é a matriz adjunta de [], e representa-se
por []~ (ver §09.08,II). Então,
~][]].[det[ 1 , (06),
e, por recorrência às (05), deduzimos também:
]].[det[][ ~][ ~][][ .. , (07).
Estabelecido o conceito de matriz de mudança de base, podemos, agora, comprovar
que todas as propriedades dos diádicos e transformações lineares similares mediante um
diádico μ podem ser estendidas às matrizes homônimas desses diádicos; essas matrizes são
ditas similares mediante a matriz de mudança de base.
*
Exercício: Comprovar que as matrizes homônimas de diádicos similares mediante um diádico μ
de mudança de base são similares mediante a matriz de mudança de base [μ].
*
§ 02.04 - Transformações das coordenadas por uma mudança de
base. Matrizes similares. Tensores clássicos.
Se é o diádico de mudança da base {e*} para a base {r
*}, então
r .e r ei i i
i e . A matriz de mudança da base {e
*} para a base {r
*} é ((03), §02.03),
e de mudança de{r*} para {e
*}, [-1], é dada por ((03)1,§02.03).
Transformação de coordenadas de vetores.
Escrevendo o mesmo vetor genérico v nas formas
v e e r r E E R Ri
i j
j i
i j
j, (02),
deduzimos, imediatamente:
§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 308
Poliádicos - Ruggeri
E R E Rj i
i
j
j i
i
j ( ), ( )r .e r .e (03),
e
R E R Ej i
i
j
j i
i
j ( ), ( ),e .r e .r (04).
Fazendo-se i,j = 1,2,3, as relações (03) e (04) podem ser escritas matricialmente nas
formas correspondentes
E
E
E
R
R
R
E
E
E
R
R
R
1
2
1
2
3
1
2
3
P
1
2
3
3
[ ] , [ ] , . . (031),
e (sua inversa):
R
R
R
E
E
E
R
R
R
E
E
E
1
2
3
1
2
3
1
2
3
T1
2
3
[ ] , [ ] ,
1. . (041).
As fórmulas (031) e (041) mostram que, conhecendo-se as coordenadas de certo
nome de um vetor numa certa base e a matriz de mudança desta base para uma outra, as
coordenadas de mesmo nome deste vetor nesta última base podem ser determinadas.
O modo clássico de se conceberem os tensores cartesianos de ordem um é baseado
nas fórmulas (031) e (041); esses tensores são entidades que, numa mudança de bases, têm
as suas coordenadas em diferentes bases relacionadas por essas fórmulas.
Deve ser observado que não faz sentido imaginar os vetores de base como tensores
porque eles são usados para definir esses tensores (de ordem um). Assim: nem todos os
vetores são tensores de ordem um.
Transformação das coordenadas de diádicos
Seja um diádico regente de uma TL e =ekbk=ria
i suas reduções trinomiais em
relação a duas bases quaisquer {r*} e {e
*}; então:
s
kks
sks
k E)( eeee.eb e ji
ij
jij
i R)( rrrr.ra (05),
são as suas representações cartesianas mistas (contravariantes/co-variantes) nas bases {e*}
e {r*}. Sendo, ademais,
r r .e e r r .e ei i
k
k
j j
s
s e ( ) ( ) ,
escrevemos, ainda,
( ) ( )( )( ) .b .e e e r .e a .r r .e e ek
s k
s
i
k i
j
j
s k
s
Logo,
b .e r .e a .r r .ek
s i
k i
j
j
s ( )( )( ), (06).
§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 309
Poliádicos - Ruggeri
Escrevendo (05) na forma
E R s
k
k
s
j
i
i
je e r r , (051),
temos, de (06):
E R s
k k
i j
i j
i ( ) ( ),e .r r .e (061).
Ora, (ek.ri)Rij é a soma dos produtos dos elementos da k-ésima linha da matriz [] pelos
correspondentes elementos da i-ésima coluna da matriz
[ .R]
R R R
R R R
R R R
1
1
2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
Então, Eks é o elemento da k-ésima linha e s-ésima coluna do produto [].[R].[]-1, ou seja,
e . r e . r e . r
e . r e . r e . r
e . r e . r e . r
. .
r . e r . e r . e
r . e r . e r . e
r . e r . e r . e
1
1
1
2
1
32
1
2
2
2
33
1
3
2
3
3
1
3
1
1
1
2
1
32
1
2
2
2
33
1
3
2
3
3
R R R
R R R
R R R
1 2
1
3
1
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
.
Assim, para o (mesmo) diádico regente da TL:
[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],
. . . .1 1 (07).
Se escrevêssemos
( ) ( ) ,b .e e e e e a .r r r r rk s
k s
k s
k s
i j
i j
i j
i jE e R
deduziríamos para as matrizes [E**] e [R**] as expressões
[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],
. . . .1 1 (08).
Analogamente,
[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],
. . . .1 1 (071),
[ [ ] [ [ ] [E ] R ] [ ] e [R ] E ] [ ],
. . . .1 1 (081).
Definição: (matrizes auto-similares).
Duas matrizes, relativas a um mesmo diádico, que satisfazem as igualdades
(07), (071), ou (081) são ditas auto-similares mediante a mudança de base
operada pela matriz não singular []. Diz-se, também, que estas matrizes são
obtidas uma da outra por uma transformação de auto-similaridade.
As fórmulas (07), (071), (08) e (081) mostram como, conhecendo-se as coordenadas
da certo nome de um diádico numa certa base e a matriz de mudança de uma base para a
§ 02.04 - Transf. das coord. por uma mudança de bases. Matrizes similares. 310
Poliádicos - Ruggeri
outra, determinar as coordenadas correspondentes de mesmo nome nesta última base,
porque
Se duas bases se transformam mediante a matriz [], então são auto-
similares mediante [] as matrizes homônimas de um mesmo diádico
(regente de uma TL) nessas bases.
Esta proposição é equivalente à seguinte:
"Se duas bases se transformam mediante a matriz [], então são auto-
similares mediante [] as matrizes homônimas representativas de uma
mesma transformação linear nessas bases";
ou, ainda,
"Se [R] é a matriz que representa a TL regida pelo diádico na base {r*
}, e
se [] é a matriz de mudança da base {e*
} para a base {r*
}, então
[].[R].[]-1 é a matriz [E] que representa a TL na base {e*
}".
Não é difícil demonstrar os teoremas seguintes, similares aos Teor. 1 e 3 e 4 do
§02.02:
Teor. 1:
Se duas matrizes são auto-similares, auto-similares são também as suas
potências:
[ [ ] [ [ [ ] [ [ ] ,E] R] [ ] E] R] P >P P
. . . .1 1
0, (09),
e
| ,[ [ [ ] [ [ ] ,R| E] = [ ] [R] [ ] E] R] PP P
01 1
. . . . (091).
Teor. 2:
Matrizes auto-similares têm o mesmo determinante, o mesmo traço e
adjuntas e inversas similares.
Corol. 1:
Se duas matrizes são similares, são iguais os traços e os determinantes
das suas adjuntas e os das suas inversas.
Teor. 3:
Se [E] é similar a [R] mediante [], então [R]T e [R]~ são similares a [E]T e
[E]~ mediante []T e []~, respectivamente.
Tal como no caso dos vetores, é precisamente pelas fórmulas (07), (071), (08) e (081)
que são (classicamente) definidos os tensores cartesianos de ordem 2; assim,
Tensores de ordem dois são diádicos que, numa mudança de base definida
por uma matriz [], têm as suas matrizes associadas relacionadas pelas leis
(07), (071), (08) e (081);
ou, o que é o mesmo:
Tensores de ordem 2 são diádicos auto-similares.
§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. 311
Poliádicos - Ruggeri
Pelas (07), (071), (08) e (081) e pelas (031) e (041) fica fácil comprovar que
os vetores motivo de um diádico são tensores de ordem um.
Pois, por exemplo, as coordenadas co-variantes E j
i i
j a .e de ai na base {e*} são
expressas em função das coordenadas R j
i i
j a .r do vetor ai na base {r*} na forma (031)2,
que expressa o "regime tensorial". Com efeito, sendo
A R j
i i
j
i
k
k
j
k
j k
i a .e a .r r .e r .e[( ) ] ( ) ,
resulta, fazendo-se j = 1, 2, 3 e somando-se em k:
A
A
A
R
R
R
R
R
R
1
i
2
i
3
i
1
i
2
i
3
iP
1
i
2
i
3
i
r . e r . e r . e
r . e r . e r . e
r . e r . e r . e
. .
1
1
2
1
3
11
2
2
2
3
21
3
2
3
3
3
[ ] .
Deve ser observado que diádicos similares regem transformações lineares distintas,
ambos podendo ser tensores. De fato, se 1 .. e se 1 .. ( é um diádico
auto-similar), então: )()( 11 .... e )()( 1111 ........ , ou
seja, 111 )()( ...... . Ora, μ e são quaisquer e μ-1
..μ é um diádico de
mudança de base. Logo é auto-similar. Em resumo:
Se dois diádicos são similares e um deles é um tensor, o outro também é
um tensor.
Entretanto, dois diádicos podem ser similares e nenhum deles um tensor; ou, ainda:
todo tensor de ordem 2 é um diádico auto-similar, mas nem todo diádico
é um tensor.
O melhor exemplo de diádico que não é tensor é o de mudança de base . Nem faz sentido
essa consideração porque esses diádicos são usados para definir o tensor.
§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos.
A igualdade de um diádico com o seu transposto – o que caracteriza a sua simetria
(§04.02,II) - será dita, ainda, a condição da sua “simetria interna”. Por enquanto essa
nomenclatura tem um caráter apenas formal.
Quando, por exemplo, uma propriedade física de um material é representada por um
diádico (simétrico ou não), pode acontecer que (por alguma imposição decorrente da
natureza do material) ele deva ser invariante em certa transformação geométrica. As
transformações geométricas mais comuns são: as simetrias em relação a planos e as
rotações de certos ângulos em torno de certos eixos. Em outras palavras, à luz do que vimos
no § 02.04, o diádico representativo da propriedade deve ser auto-similar mediante o
diádico que caracteriza aquela transformação. Essas imposições incorporam ao diádico
certas características de simetria que o qualificam como invariante nesta ou naquela
transformação; dizemos, nesses casos, que esse diádico apresenta “simetrias externas”.
As simetrias externas nas rotações serão estudadas mais à frente (§06.04).
§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. 312
Poliádicos - Ruggeri
Diádicos com simetria externa em relação a um plano.
Seja R' o ponto simétrico de R em relação a um plano, paralelamente a dado vetor
e398. Dois vetores arbitrários e não paralelos desse plano, e e
1 2 e , definem com e3 uma base
no espaço dos vetores. Então podemos escrever em relação a uma origem arbitrária:
33
22
11
ii RRR e R : eeererr .
O diádico que rege a simetria de R em relação ao plano paralelamente a e3 é
e e e e e e1
1
2
2
3
3, (01),
pois, sendo ii .R er ,
.rr.er.eer.eer.er T3
32
21
1 )()()( .
A matriz associada a μ na base {e*} é
1-00
010
001
][ ** e , (011).
O diádico pode ser entendido como o diádico de mudança da base { , , }e e e1 2 3
para a base { , , }e e e1 2 3
, ou, ainda, da base { , , }e e e1 2 3
para a base { , , }e e e1 2 3
. Isto
significa que 1, com 3
1 , o que é fácil comprovar por (01).
Seja R" o simétrico de R' em relação à origem arbitrada. Temos:
r r .r( ) , (02),
Sendo
( ) ( ) ( ) ( )e e e e e e . e e e e e e e e e e e e . e e e e e e1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
resulta que R é transformado em R" por dois estágios comutativos de simetria: em relação
ao plano ( )e e2 3, paralelamente a e1 e em relação ao plano ( )e e
3 1, paralelamente a e2.
Por outro lado, escrevendo (02) na forma:
)( r.rr ,
vemos que a dupla simetria atrás referida é equivalente a uma inversão do ponto R em
relação à origem, seguida de uma simetria em relação ao plano ( )e e1 2, , paralelamente à
direção e3; o que é geometricamente evidente. No §06.03,A mostraremos que essa operação
é idêntica à dos diádicos biquadrantais, caso particular dos diádicos denominados cíclicos.
Finalmente, observemos que
Uma simetria em relação a três planos, paralelamente às suas
interseções, é equivalente a uma inversão em relação ao ponto comum a
esses planos,
98 Numa situação particular essa simetria poderia ser a “ortogonal”.
§ 02.05 – As simetrias internas e externas dos diádicos. 313
Poliádicos - Ruggeri
pois,
r.reeeeee.eeeeee.eeeeee )()()( 33
22
11
33
22
11
33
22
11 .
*
Se jjbe é a representação trinomial do diádico em relação à base {e*}, então:
33
23
13
32
22
12
31
21
11
** ][
.eb.eb.eb
.eb.eb.eb
.eb.eb.eb
e .
Se esse diádico deve ser auto-similar em relação ao diádico que rege simetrias em relação
ao plano (e1, e2) paralelamente a e3, tem-se: )()( 33
22
11
33
22
11 eeeeee..eeeeee .
Operando no segundo membro, virá:
).( 33
22
11 bebebe , ou, ainda, .be.be.be 3
32
21
1 .
Então, (por ser jjbe )
.bb.bb.bb 332211 e , ,
isso é, 31 eb , pois 3
13
13
13
1 )( .ebe.b.e.b.eb . Analogamente comprovaríamos
que b2.e3=0, logo 3
2 eb ; e b3.e1= b
3.e2=0, logo 33 | | eb .
Assim, em relação às bases recíprocas {e*} e {e*} a matriz mista associada a é
33
22
12
21
11
}{**
00
0
0
][
.eb
.eb.eb
.eb.eb
e , (03),
sendo evidente que [*
*]e=[μ*
*].[*
*].[μ**].
A matriz duplamente co-variante associada a é dada por [**]=[G**].[**]
(conforme Tabela, §09.03,II), isso é,
33
2212
2111
33
23
13
32
22
12
31
21
11
332313
322212
312111
**
00
0
0
.][
.e.e
.e.e.e.e
.e.e.e.e
.eb.eb.eb
.eb.eb.eb
.eb.eb.eb
.ee.ee.ee
.ee.ee.ee
.ee.ee.ee
.
Se for simétrico internamente, vê-se que a matriz [**] será simétrica
necessariamente, pois e1..e2=e2..e1.
§ 03.01 - Polinômio mínimo. 314
Poliádicos - Ruggeri
Pesquisa de sistemas convenientes de representação
Pelas expressões ((03)1, § 02.04), ou suas inversas ((04)1, § 02.04), podemos
calcular as coordenadas de um ponto quando efetuamos uma mudança de base.
Similarmente, pelas expressões ((07), § 02.04), podemos calcular as novas coordenadas de
um diádico numa mudança de base.
Ora, se, em relação a uma determinada base, tivermos que estudar a TL regida por
um diádico , e se tivermos que calcular as coordenadas dos transformados de diversos
pontos (mediante ) - sempre aplicando a fórmula (03), § 01.03) como exemplificado pelo
exemplo numérico 1, § 01.03 - será bastante oportuno procurar uma representação
cartesiana para que facilite esse trabalho. Com outras palavras, será oportuno encontrar
uma base adequada, em relação à qual essas operações (dentre outras) e o estudo de
propriedades sejam facilitados; caso em que, com uma mudança de base, a matriz associada
a um diádico será certamente mais simples (contendo muitos elementos nulos, por exemplo,
ou sendo simétrica, triangular etc.).
Conhecidas, então, as fórmulas de transformação ((08), § 02.04), resta-nos encontrar
a mudança de base adequada que simplifique a matriz associada ao diádico.
§ 03 - ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE DIÁDICOS.
§ 03.01 - Polinômio mínimo.
Definimos (§ 05.02,II) o polinômio diádico inteiro pela expressão:
PQ
( ) C C C C ,0 1 2 Q
Q 2 ... , (01),
onde os Ci são números reais99 e Q é inteiro positivo. Quando o diádico é completo
(30) os expoentes podem ser também números inteiros negativos.
Se, em relação a um EN,
P e g e x eQ i
ii
ii
e ( ) , independentes, (i = 1,2,...,N), (02),
são reduções N-nomiais (contravariantes)100 de e de PQ () (§ 02.07,II), então podemos
escrever a redução N-nomial correspondente de PQ () na forma:
PQ
( )
= = [C + C + C ( C
... C
ii
i 0i
1i
2i
jj
3i
jj
kk
Qi
jj
kk
rv
ww
e g e e x x . e x x . e x . e x
x . e x . e x . e x . e x
) ( )( ) ...
( )( )( )... ( ) ],
99 No Cap. V examinaremos os casos em que os Ci são números complexos.
100Com uma redução N-nomial co-variante a teoria em desenvolvimento poderia ser conduzida analogamente para obterem-se os mesmos resultados.
§ 03.01 - Polinômio mínimo. 315
Poliádicos - Ruggeri
onde i,j,k,...,v,w = 1,2,...,N. Logo:
g e x x .e x x .e x .e x .e xi
0
i
1
i
2
i
j
j
P
i
j
j
k
v
w
w= C +C +C ( C) ... ( )( )...( ) , (03).
Se decompusermos os vetores gi e xi na base {e1,e2,e3}, escrevendo
g g .e e e x x .e e ei i
m
m
m
i m i i
m
m
m
i m= ( ) = G e = ( ) = X , (04),
obteremos de (03) as coordenadas cartesianas mistas de PQ ():
G = C + C X + C X X +...+C X X ...X X , mi
0 mi
1 mi
2 ji
mj
Q ji
k
j
wv
mw (05).
Com as decomposições (04), as matrizes mistas associadas aos diádicos e PQ ()
são:
[ ] [ ] ( )] ,
X
X X X
X X X
X X X
e [P
G G G
G G G
G G G
mi
1 2 1
3 1
12
22
32
13
23
33
Q
1 1
2 1
3
12
22
32
13
23
33
1 1
(06);
logo, de (05) escrevemos101, para i,m = 1,2,...,N:
[ ( )]PQ C C C C
0 1 2 QQ[ ] [ ] [ ] ... [ ], 2 (07).
Assim, ao polinômio diádico (01), relativamente à base {e1,e2,e3}, está associada a
expressão (07) definida como um polinômio matricial inteiro da matriz [].
Examinemos as condições de existência de números reais Ci para que um polinômio
diádico de dado diádico possa anular-se. Ora, sendo dados os Xim, as equações (05), em
número de N2, constituirão um sistema homogêneo de N2 equações com Q+1 incógnitas:
C0,C1,C2,...,CQ. Da Álgebra sabemos que a CNS para que o sistema homogêneo (05) admita
soluções não nulas (e se admitir uma admitirá infinitas) é que o grau do determinante
principal do sistema102 seja menor que Q+1 (número de incógnitas). Como este vale, no
máximo, N2, resulta que a existência de números Ci, não simultaneamente nulos, que
anulem PQ (), fica condicionada à verificação da desigualdade em números inteiros
N < Q + 1, ou, simplesmente, N Q,2 2 (08),
101Notar que ao fazermos todos os índices assumirem (ordenadamente) os valores 1,2,...,N, Gi
m representará o
elemento da i-ésima linha e m-ésima coluna na matriz [PP()], Xim o correspondente na matriz [], Xi
jXjm (notar
a somatória em j) o correspondente na matriz [2] etc.
102O determinante principal do sistema é qualquer determinante não nulo, da maior ordem possível que se pode
formar com os coeficientes das incógnitas; a ordem do principal é às vezes denominada a classe ou o posto do determinante (rank em inglês).
§ 03.01 - Polinômio mínimo. 316
Poliádicos - Ruggeri
isso é,
Q 1 no E , Q 4 no E e Q 9 no E .1 2 3
Logo, temos demonstrado o seguinte
Teor. 1: (existência de coeficientes)
Existem infinitos conjuntos de N2+1 números reais não simultaneamente
nulos: C0, C1, C2, ..., CN2 , tais, que para qualquer gerado de EN,,
=C+...+C+C+C2
2N
N
2210 , (09);
ou, em forma matricial equivalente,
][=][C+...+][C+][C+][C2
2N
N
2210 , (091).
Se trocarmos no polinômio diádico (01), o diádico Q por XQ, obteremos o
polinômio:
P (X) = C C X +C X C XQ 0 1 22
NN
2
2 ... , (092),
o qual será denominado polinômio associado ao polinômio diádico (01) ou ao polinômio
matricial (07).
Por outro lado, dado ao acaso um polinômio de coeficientes reais como (092),
diremos que ele anula certo diádico ou certa matriz [], se forem verificadas (09) e (091),
respectivamente.
Observando que o teorema acima demonstrado não exclui a possibilidade de alguns
dos Ci serem nulos (eventualmente o CN2, por exemplo), concluímos:
Corol. 1:
Dado um diádico qualquer, , gerado de EN, o grau do polinômio real que
anula não é maior que N2.
Teor. 2:
O polinômio que anula um(a) diádico(matriz), anula também os(as)
seus(suas) similares.
Se é similar a (§ 02.02) mediante , = ..-1. Então, se
2
2N
N
2210Q C+ ... +C+C+C)(P ,
tem-se
§ 03.01 - Polinômio mínimo. 317
Poliádicos - Ruggeri
1N
N
11
10
1Q
2
2C...CC)( ........P ,
ou, ainda, lembrando ((09), § 02.04):
2
2N
N
2210 C...CCC .
É fácil demonstrar o teorema para as matrizes.
Teor. 3: (unicidade)
O polinômio de menor grau que anula um diádico é único.
Demonstremos o teorema por redução ao absurdo. Suponhamos existirem dois
polinômios, do mesmo grau, M, que anulem :
=K+...+K+K+K=)( MM
2210MP
e
=L+...+L+L+L=)( Mm
2210MQ .
Multiplicando ambos os membros de PM() por LM, o de QM() por KM e subtraindo
membro a membro, temos:
=)LKK(L+...+)KLK(L+)KLK(L 1M1mM1mMM11MM00M
.
Esse polinômio não é identicamente nulo porque se fosse,
K
L
K
L
K
L0
0
1
1
m
m
...
e os dois polinômios, PM() e QM(), seriam iguais (o que contraria a hipótese e demonstra
o teorema). Mas se o polinômio não é identicamente nulo, ele é um polinômio de grau
menor que M, que anula ; então PM() e QM() não são polinômios de menor grau que
anulam , o que também é contra a hipótese. Logo, o polinômio de menor grau que anula
é único.
Definição: (polinômio mínimo)
O polinômio escalar de menor grau que anula um diádico denomina-se
"polinômio mínimo" de ; representa-se por: Pmin(), e seu polinômio
diádico associado: Pmin() = 103.
103Notar que, por ser Pmin() um escalar, a letra P aparece ao natural, enquanto que para o polinômio diádico
Pmin()=, a letra P aparece em negrito.
§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. 318
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 4:
Diádicos e matrizes similares têm o mesmo polinômio mínimo.
É evidente o teorema em vista do Teor. 2.
Teor. 5:
O polinômio mínimo de um diádico é fator de qualquer polinômio que
anula esse diádico.
Com efeito, seja PQ(), Q N2, um polinômio que anule o diádico . Podemos
escrever, pelas regras da Álgebra:
P ) = Q( ) P ( ) + R ),Q
(min R
. ( (10),
sendo RR() = 0 um polinômio de grau R menor que o grau de Pmin(). Então, o polinômio
diádico correspondente a (10) é:
P Q .P RP min R= ( + (( ) ) ( ) ) , (11).
Como, por hipótese, PQ() anula , PQ() = . Mas Pmin () também anula ; logo,
RR()=. Então RR() é um polinômio de grau menor que o de Pmin() que anula . Como
ele não é o polinômio mínimo, RR() = 0 necessariamente. Então:
P ( ) = Q( ) P ( ),P min .
isso é, P ( )min é fator de P ( )Q .
Corol. 1: Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de
grau não maior que o grau do seu polinômio mínimo.
Pois, dado o polinômio diádico (01) com grau P qualquer, podemos escrever, de
(11): PR() = RR(), porque Pmin() =.
Nota:
A determinação de RR() fica, entretanto, na dependência da determinação de Pmin(). Com
efeito, dado PP() escrevemos PP(); então, de (10), determinaremos RR() - e, logo, RR()
- desde que predeterminemos Pmin().
§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico.
Teor. 1: (o adjunto como um polinômio diádico do segundo grau)
Tem-se:
: = + [( ) ( ) ] ,~ 2
E E
2 2
E 1
2 (01).
§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. 319
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, trocando por ~
em ((01)2,§ 07.04,II), transpondo e considerando
((01)1,§ 08.02,II), escrevemos:
])()[(2
1 ~) ( E
22E
T .
Fazendo = no terceiro membro de ((02)1,§ 07.06,II), transpondo e lembrando ((01),§
08.01,II), escrevemos também:
E2T ) (
.
Igualando os segundos membros dessas expressões encontramos (01)104.
Corol. 1:
Qualquer que seja o diádico , o polinômio real, único,
C ( ) = X X + X ,3
3
E
2
E
~
3 (02),
anula o diádico , isso é,
=+=)( 3~E
2E
33 C , (03).
Com efeito, escrevendo (01) na forma mais compacta:
104 Podemos obter o mesmo resultado considerando-se = em ((03), § 07.01, II).
~ 2E E
~= + , (011),
multiplicando ambos os seus membros por , considerando ((11),§ 08.01,II) e transpondo
termos, encontramos (03). Logo, o polinômio (02) anula .
Definição: (polinômio característico)
O polinômio real do terceiro grau, (02), que anula , denomina-se
polinômio característico de , e seu polinômio diádico associado, polinômio
de Cayley-Hamilton (CH) de .
Corol. 2: O polinômio mínimo de um diádico é fator de seu polinômio
característico, ou se identifica com ele.
Porque pelo Teor. 5, § 03.01, o polinômio mínimo de um diádico é fator de qualquer
polinômio que o anula; logo, é fator do polinômio característico (ou é o próprio).
§ 03.02 - Polinômio característico e polinômio CH de um diádico. 320
Poliádicos - Ruggeri
Nota: Os teoremas até aqui demonstrados não fornecem maiores informações quanto às condições em que os polinômios mínimo e característico se confundem; essa questão será resolvida mais à frente.
Corol. 3:
Qualquer polinômio diádico é equivalente a um polinômio diádico de
grau não maior que dois.
Pois, dado o polinômio PQ() podemos associar-lhe PQ(); e dado podemos
escrever C3(). Pelas regras da Álgebra, escrevemos:
P ( ) = Q( )C ( ) + R ( ), R < 2.Q 3 R
Substituindo nesta expressão as potências de X por potências iguais de , considerando
(03), teremos: P RQ R
( = ( ) ) .
Regra: A demonstração deste corolário já constitui uma regra para o cálculo de um polinômio
diádico, de grau qualquer, de dado diádico .
*
Exemplo numérico 1:
Escrever o polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a do exemplo
numérico 1 do § 01.03 e verificar (03).
Solução:
Tem-se, no caso:
E E
~3
e = 3,5. 3 51 5 0
0 1
1 0
0 1
1 1
2 1 51 5 1 3 5 6,, ;
,
,, ,
Logo:
C ) X + X 3,5,3
3 2( , 3 5X 6
devendo, então, verificar-se (03), isso é,
3,56+5,3)( 233C .
De fato, sendo:
[ ] , ,
,
]
,75
, ,625 , 2 3
1 1 0
2 1 5 0
0 0 1
1 1 0
2 1 5 0
0 0 1
1 2 5 0
5 0,25 0
0 0 1
6 2 0
5 5 4 0
0 0 1
. , e [
tem-se:
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 321
Poliádicos - Ruggeri
6 2 75 0
5 5 4 625 0
0 0 1
,
, , +
3 5 8,75 0
17 5 0,875 0
0 0 3 5
6 6 0
12 9 0
0 0 6
3 5 0 0
0 3 5 0
0 0 3 5
0 0 0
0 0 0
0 0 0
,
,
,
,
,
,
.
*
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um
diádico.
Definições: (equação e valores característicos)
Os zeros do polinômio característico105 ((02) § 03.02) são denominados:
zeros, raízes, ou valores característicos do diádico
Esses zeros são, então, as raízes da equação:
X X + X = 0,3E
2E~
3 (01);
A equação (01) é denominada a equação característica de . Os valores
característicos são denominados, ainda, valores próprios e autovalores de .
*
Exemplo numérico 1:
Determinar os zeros do polinômio característico do diádico cuja matriz associada é a
do exemplo numérico 1 do § 01.03.
Solução:
Resolvendo a equação característica de ,
X + X 3,53 2 3 5X 6 0,,
encontramos:
X X i i, X i i.1 2 3 1 1 7 1 1 1 7 1 1, ,25 ,75 ,25 ,391941 ,25 ,75 ,25 ,391941
Exemplo numérico 2:
Determinar os autovalores do diádico cuja matriz mista associada é
[ ] .
2 0 2
0 1 1
1 1 0
Solução:
Tem-se:
4 e 522110
02
01
22
01
11 ;3 3
~E E
105Zero de um polinômio PP(X) é todo valor X0 de X que anula esse polinômio, isso é, X0 é tal que PP(X0)=0.
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 322
Poliádicos - Ruggeri
Logo, a equação característica de é:
04X5X3X 23 ,
cujas raízes (autovalores de ) são:
1,46775i0,77325X e 1,46775i0,77325X ,4535,1X 321
•
É óbvio que diferentes diádicos podem ter os mesmos valores próprios, bastando que
sejam iguais os seus escalares, os escalares dos seus adjuntos e os seus terceiros (os
coeficientes da equação (04)). Assim, em vista das relações ((03),§02.08),II),
((07),§02.08),II), ((09),§08.03,II) fica comprovada a seguinte propriedade:
Teor. 1: São iguais os autovalores de diádicos transpostos.
Logo:
Corol. 1: Diádicos transpostos têm a mesma equação característica.
Em vista do Teor. 4, § 02.02 e do seu Corol. 1, concluímos:
Teor. 2:
São iguais os polinômios característicos (e, portanto os autovalores) de
diádicos (matrizes) similares.
Pois, com efeito, são iguais os coeficientes da equação característica desses diádicos.
*
Exercícios:
1) - Provar que, quaisquer que sejam os diádicos e , . e . têm a mesma
equação característica (Sylvester)106.
2) - Generalização do exercício anterior:
Os produtos (cíclicos)
1 2 3 1 1. . . . . . . . ... ...
i i i k e
i i k i ... ... . . . . . . . .
1 1 2 3 1
têm a mesma equação característica.
•
Denotando-se por A, B e C os zeros característicos do diádico , e lembrando que
todo polinômio vale o produto do coeficiente do seu termo de mais alto grau por todos os
binômios que se obtêm subtraindo da letra representativa de sua variável cada um dos seus
zeros, escrevemos:
C3 ( ) = (X A)(X B)(X C), (02).
106 Conforme Mirsky, L., An Introduction to Linear Algebra, Clarendon Press, 1955, Teor. 7.2.3, § 7.2, Cap. VII.
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 323
Poliádicos - Ruggeri
Desenvolvendo (02), ordenando segundo as potências decrescentes de X, e comparando
com ((02), § 03.02) deduzimos:
E
E~
3
= A + B + C,
= AB + BC + CA,
= ABC,
(03).
Teor. 3: A CNS para que um diádico seja completo é que todos os seus valores
característicos sejam não nulos.
A demonstração é evidente por (03)3 mesmo que dois autovalores do diádico sejam
complexos (conjugados).
*
Exemplo numérico 3:
Verificar, pelas fórmulas (03), a veracidade dos valores encontrados para os
autovalores dos diádicos dos exemplos numéricos 1 e 2.
Solução:
Tem-se, para exemplo numérico 1:
E 1 2 3
E~
1 2 2 3 3 1
3 1 2 3
X + X + X +
X X + X X + X X + +
X X X +
1 2 1 3 5
1 1 1 2 1 6
1 1 1 3 5
2 2
2 2
,25 , ;
,25 ( ,391941... ) ,25 ;
( ,25 ,391941... ) , .
Analogamente, para o exemplo numérico 2, tem-se:
47522,24535,1XXX
513392,1246775,177325,0XXXXXX
0,377325,024535,1
3213
22133221
~E
E
•
De (02) podemos escrever o polinômio diádico ((03),§ 03.02) na forma de produtos
de binômios:
=)C()B()A(=)( :reais C, B, A, 3 ..C , (04),
ou,
=]BC+C)+(B[)A(=)( :complexos C e B real,=A 23 .C , (041),
em cujos segundos membros a ordem dos diádicos pode ser qualquer. Se, então, X
representar qualquer uma das raízes reais de , qualquer um dos diádicos do segundo
membro de (04) - denominados diádicos característicos de - pode ser representado por
-X. Devemos ter sempre, de (04):
X = A, B, ou C ( X ) = 0,3
(05),
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 324
Poliádicos - Ruggeri
porque se um dos característicos fosse completo, o polinômio CH seria do segundo grau, o
que é absurdo. Como (05) é do terceiro grau em X, ela se identifica com (01). O terceiro
( X )3
é denominado terceiro característico de .
Como, por (05), todos os diádicos característicos de são incompletos, escrevemos,
de ((11), § 08.01,II):
=)A()A(=)A()A( : realA ~~ .. , (06).
Lembrando ((01),§ 08.01,II) e aplicando ((15), § 07.01,II), ((01)2 e (016)1,§ 07.04,II),
deduzimos, facilmente :
( A ) = +A +A(A ) ,~ ~
E (07).
Teor. 4:
Se A é raiz real simples de A não pode ser ortoplanar nem linear.
Porque se A fosse ortoplanar, (-A)~ seria ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, §
08.01,II); se A fosse linear, (-A)~ seria o diádico nulo (Corol. 2, Teor. 2, § 08.01,II);
em qualquer caso, ( -A ) 0E~ I . Mas, de (07) temos:
( ) , A A A( B C)E~
E~
E E
donde, lembrando (03)1, (03)2 e ((02)1, § 02.09,II):
( ) A AB+ BC +CA +A(A + B+C) 3A(B+ C) 0,E
~
ou, simplificando: ( . A ) (A B)(A C)E~ 0 Esta igualdade é absurda porque AB e
AC. Logo, A não pode ser ortoplanar, nem linear.
Teor. 5: Se A, B e C forem reais:
( A ) = ( C ) ( B ) ( B ) ( C ),
( B ) = ( C ) ( A ) = ( A ) ( C ),
( C ) = ( B ) ( A ) = ( A ) ( B ),
~
~
~
. .
. .
. .
(08).
Com efeito, lembrando a expressão ((011),§03.02), ou seja a de ~ como um polinômio do
segundo grau em , escrevemos, de (07), agrupando e evidenciando:
( ( ) . A ) A) +( A +A~
E E
~
E
2
2
Considerando as (03) resulta, então: ( ( , A ) B+C) + BC~
2
de onde, por
fatoração (comutativa) no segundo membro, encontramos (08)1.
Analogamente comprovaríamos as demais expressões.
•
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 325
Poliádicos - Ruggeri
Se um característico -X é planar e se ) e ) são os planos dos seus antecedentes e
conseqüentes, respectivamente, então a direção do antecedente do seu adjunto, (-X)~, é
ortogonal a ); e a do seu conseqüente, ortogonal a ). Representando por x e y,
respectivamente, dois quaisquer dos infinitos vetores paralelos à direção do antecedente e
do conseqüente de (-X)~, escrevemos:
( X ) = , ou = X , .x o .x x (09),
e
y. o y. y . y( X ) = , ou = X = ,T
(10),
isso é, e T transformam vetores paralelos às direções do antecedente e do conseqüente de
(-X)~, respectivamente, em vetores paralelos a essas mesmas direções (Fig. 03.01).
Se um característico -X é linear ele pode ser escrito na forma X = ; mn nesse
caso, qualquer vetor x do plano ortogonal a n e qualquer vetor y do plano ortogonal a m
(Fig. 03.02) satisfazem a relações dos tipos (09) e (10), respectivamente.
Se, finalmente, um característico X é nulo, é óbvio que qualquer vetor do
espaço satisfaz a uma equação do tipo (09) ou do tipo (10).
Definição: (autovetor)
Se X for um autovalor (real) de , qualquer vetor, x, tal que: .x = Xx, será
dito um autovetor ou um vetor próprio de associado a X. A direção de x
será dita, também, uma direção própria de .
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 326
Poliádicos - Ruggeri
Como todo diádico tem ao menos um autovalor real, resulta:
Teor. 6: Todo diádico tem ao menos uma direção própria real.
*
Exemplo numérico 4:
Determinar um autovetor do diádico do exemplo numérico do § 01.03.
Solução:
Para a solução da questão é necessário o cálculo preliminar dos autovalores do
diádico, o que já foi realizado no exemplo numérico 1 deste parágrafo. Em seguida,
estaremos aptos para resolver o sistema homogêneo de equações lineares traduzido pela
expressão diádica (09), ou seja,
( )
( , )
( ) ,
1 1 1 0 0
2 1 5 1 0 0
0 0 1 1 0
L L L
L L L
L L L
1 2 3
1 2 3
1 2 3
donde,
L L e L1 2 3 0 número arbitrário.
Então, a direção de k é a única direção própria de (correspondente ao autovalor +1).
*
Teor. 7:
São paralelos os vetores próprios de K e de (K inteiro positivo), mas os
autovalores de K são as potências K-ésimas dos de :
e K inteiro positivo, K K= X ,.x x (11);
e se é completo, (11) vale para K inteiro negativo:
com 3 0 e K inteiro, K K= X ,.x x (12).
Com efeito, pré-multiplicando ambos os membros de (09) por e aplicando a
mesma relação (09) ao segundo membro formado, temos: 2.x = X.x = X2x, isso é, (11) é
válida para P = 2. Por procedimentos análogos, aplicando o postulado da indução completa,
podemos comprovar que (11) é válida para qualquer K positivo.
Se é completo, podemos pré-multiplicar ambos os membros de (09) por -1 e
agrupar convenientemente; temos, então: -1.x = X-1 x, isso é (12) é válida para P = -1. Tal
como anteriormente, poderíamos provar que (12) é válida para qualquer K negativo.
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 327
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 8:
Se e são similares mediante , e a é vetor próprio de relativo ao
autovalor A, então b = .a e A são, respectivamente, vetor próprio e valor
próprio correspondentes de :
. .
. a a. . a .a b
1
AA A( ) ( ) , (13).
Temos (§ 02.02):
.a . . .a . . .a ( ) ( ),1 1
ou, ainda, considerando que .a = Aa, vem: 1. . .a a( ) .A Agora, pré-multiplicando
ambos os membros por :
. .a .a .b b( ) ), , A( ou, A
isso é, b = .a é vetor próprio de correspondente ao seu autovalor A.
Corol. 1:
Diádicos similares mediante têm os mesmos autovalores e autovetores
transformados mediante ..
Diádicos com autovalores nulos.
Teor. 9:
A CNS para que um diádico seja ortoplanar é que ele seja planar e tenha
apenas dois autovalores nulos.
Se é ortoplanar, ~ é ortolinear (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II); então: 3 = 0 e
E~ 0 . Sua equação característica é X3-EX2 = 0, o que implica apenas dois autovalores
nulos para . Reciprocamente, se é um diádico planar que tem apenas dois autovalores
nulos, 3 = 0 e E~ 0 em vista das (03). Então ~
é ortolinear e é ortoplanar (Corol. 4,
Teor. 2, § 08.01,II).
Corol. 1:
Se dois diádicos são similares e um deles é ortoplanar, então o outro
também é ortoplanar.
Pois ambos são planares (Teor. 2, § 02.02) e têm os mesmos autovalores (Corol. 1,
Teor. 8).
*
Exemplo numérico 5:
Comprovar que é ortoplanar o diádico de matriz co-variante
§ 03.03 - Equação característica, autovalores e autovetores de um diádico. 328
Poliádicos - Ruggeri
[ ]
4 2 4
4 2 4
5 4 5
na base de métrica
[ , ]G ] ou [G
2 2 1
2 5 1
1 1 2
1
9
9 3 3
3 3 0
3 0 6
.
Solução:
Temos, conforme ((031)3, §09.03,II):
[ ] [ ][ ]
G
1 0 1
0 0 0
2 2 2
.
Logo: E E
~
3 e = 0. 3 0, Então, a equação característica de é: X3 2 3X 0,
donde, X X e X1 2 3 0 3. Sendo planar o diádico, e tendo dois autovalores nulos, é
ortoplanar107.
*
Teor. 10:
A CNS para que um diádico seja antitriangular é que ele seja planar e tenha
três autovalores nulos.
Com efeito, se é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo), é: 3 = 0, E
0 e
E~ 0 ; e sua equação característica é X3 = 0, isso é, seus três autovalores são nulos.
Reciprocamente, se é um diádico planar com três autovalores nulos, é: 3 = E~
E = 0. Sendo E~ 0, ~ é ortolinear (porque é planar); o que acarreta ortoplanar
(Corol. 4, Teor. 2, § 08.01, II). Sendo, ademais, E = 0, é antitriangular.
Corol. 1:
Se dois diádicos são similares e um deles é antitriangular, então o outro
também é antitriangular.
Pois seriam ambos ortoplanares (Corol. 1 Teor. 9) e teriam o mesmo escalar (Teor.
4, § 02.02, II), que é zero.
*
Exemplo numérico 6:
Comprovar que o diádico de matriz mista
107Esse problema já foi resolvido por outras vias ((§ 09.09,II) - Caracterização dos ortoplanares).
§ 03.04 - Outros exemplos numéricos 329
Poliádicos - Ruggeri
[ ]
0 1 0
2 2 2
2 3 2
na base {g*} (mencionado no exemplo numérico 5) é antitriangular. (Ver a última nota de
rodapé).
Solução:
A equação característica desse diádico é X3 = 0, pois
E E
~3
e 0
0
2 2
3 2
0 0
2 2
0 1
2 22 0 2 0, .
Logo, esse diádico é planar e os seus três autovalores são nulos. Então, pelo Teor. 9, ele é
antitriangular.
*
Teor. 11:
A CNS para que um diádico seja ortolinear é que ele seja linear e tenha três
autovalores nulos.
Se é ortolinear, ~ é o diádico nulo e 3 = E = E~ 0; logo, a equação
característica de é X3 = 0, e tem três autovalores nulos.
Reciprocamente, se é um diádico linear que tem os três autovalores nulos, deve
ser, conforme as (03), E = 0 (além de 3 = E~ 0). Logo é ortolinear.
Corol. 1:
Se dois diádicos são similares e um deles é ortolinear, então o outro
também é ortolinear.
Pois ambos seriam lineares (Teor. 2, § 02.02) e teriam o mesmo escalar (Teor. 4, §
02.02), que é zero.
*
Exemplo numérico 7:
Comprovar que o diádico de matriz mista
[ ]
2 2 4
0 0 0
1 1 2
(numa base qualquer) é ortolinear. (Ver § 09.09, II - Caracterização dos ortolineares).
§ 03.04 - Outros exemplos numéricos 330
Poliádicos - Ruggeri
Solução:
A equação característica de é X3 = 0, pois:
E E
~3
+ + e 0;
00 0
1 2
2 4
1 2
2 2
0 00;
logo todos os seus autovalores são nulos. Ademais, é linear porque a sua matriz [ ]
tem uma linha nula e as outras duas proporcionais; ou seja, pelo Teor. 10, ele é ortolinear.
*
§ 03.04 - Outros exemplos numéricos.
Nos exemplos seguintes os diádicos são todos dados por suas matrizes mistas
contravariante/co-variante numa base arbitrária {g*}, e os seus autovetores são definidos
por suas coordenadas contravariantes.
Comprovar, então, a veracidade dos autovalores A, B, C e dos autovetores
correspondentes a, b, e c dos diádicos apresentados nos seguintes casos:
1° caso: ABC
1 exemplo108:
2 1 0
9 4 6
8 0 3
, elementos característicos
A
B
C
1 1 3 4
1 1 1 2
3 3 3 4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a g g g
b g g g
c g g g
2 exemplo109:
1 1 0
0 2 1
0 0 3
, elementos característicos
A
B
C
1 1 0 0
2 1 1 0
3 1 2 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a g g g
b g g g
c g g g
3 exemplo:
3 1 0
1 2 1
0 1 3
, elementos característicos
A
B
C
1 1 2 1
3 1 0 1
4 1 1 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a g g g
b g g g
c g g g
108 Calaes, A. M. Curso de Cálculo Matricial, Imprensa da UFOP, 1984, pag.99.
109 Noble B. e Daniel, J.W., Álgebra Linear Aplicada, Prentice Hall do Brasil, 2 edição, 1986.
§ 03.04 - Outros exemplos numéricos 331
Poliádicos - Ruggeri
4 exemplo:
2 1 0
1 2 1
0 1 2
, elementos característicos
A
B
C
2 2 1 2 1
2 1 0 1
2 2 1 2 1
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a g g g
b g g g
c g g g
2 caso: AB=C
1 exemplo:
5 4 3
1 0 3
1 2 1
, elementos característicos A
B C
2 1 1 1
4 1 1 11 2 3
1 2 3
a g g g
c g g g
Comprovar que
a g g g c g g g 0
1
2
1
21
1
2
1
21 2 3 1 2 3
e
são autovetores de T.
2)exemplo:
5 6 6
1 4 2
3 6 4
,elementos característicos.
A
B C qualquer par de vetores do
plano dos antecedentes de
1 3 1 1
2
1
1 2 3a g g g
3 exemplo:
K
K
K
1 1
1 1
1 1
, elementos característicos
A K 2
B C K qualquer par de vetores
ortogonais do plano de K
a g g g1 2 3
1
2 ( )
3 caso: A=B=C
1 exemplo:
3 4 4
1 3 2
2 4 3
, elementos característicos
A
B
C
1
1 4
1
1 2 3a g g g
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 332
Poliádicos - Ruggeri
Comprovar que 1 = bc* com b = 2g1g2+2g3 e c* = g12g22g3, sendo b.c* =
a.c* = 0. Comprovar que o vetor desse diádico é um de seus autovetores (relativo ao
autovalor triplo +1), ou seja, V a .
2 exemplo:
0 1 0
2 2 2
2 3 2
, elementos característicos
A
B
C
0
0 1 0 1
0
1 2 3a g g g
Comprovar que é antitriangular e pode ser escrito na forma = ab* + bc*, sendo
a g g g b g g g
b g g g c g g g
1 0 1 0 1 1
0 1 0 2 2 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
,
e
a.b b.c a.c b.b 0 1 e .
Notar que a.b=(g1-g3).(g2+g3) não é nulo necessariamente, o que justifica
(numericamente) a nota 1 apresentada no final do Corol. 2 do Teor. 7, §05.04, II.
*
§ 04 - FORMAS E REDUÇÕES CANÔNICAS DOS DIÁDICOS.
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC.
Nesse caso todos os diádicos característicos são distintos e o polinômio mínimo do
diádico se confunde com o seu polinômio característico. A existência de autovetores no
campo real ficará dependente da existência de autovalores reais. Também, nenhum dos
característicos (distintos), pode ser ortoplanar, nem linear (Teor. 4, § 03.03).
§ 04.01,A - Autovalores imaginários.
Consideremos, agora, aqueles diádicos, representados genericamente por , que
admitem um autovalor real A e dois autovalores complexos (conjugados), B = M+Ni e C =
M-Ni, (N0). Pondo, conforme é de praxe na teoria dos números complexos,
M = cos e N= sen , ( 0), (01),
onde > 0 é o módulo do complexo e o seu argumento, tem-se também a norma do
complexo, 2, e a tangente trigonométrica da metade do seu argumento:
2 2 2= M + N e tg
2
M
+ M
, (02).
Do diádico , conhecemos, pois:
E 3
2 2
E
~ 2 2= A +2M, = A(M + N ) e = M + N +2MA, (03).
Assim, se A0, é completo, bem como ~, porque ~3 = (3)
2 (Teor.06,§ 08.01,II).
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 333
Poliádicos - Ruggeri
Trocando na fórmula geral ((01)1,§08.02,II) por -A, e operando, temos:
2 3 22
( ( ( ) . A ) A) A +AE
~
E
2 2
E
Lembrando, agora, as (03), escrevemos, após agrupamentos e simplificações:
2 42
( ( ( ) . A ) M A) +2A(A +2M) 3AE
~ 2
E
2
Mas, reaplicando ((01)1,§08.02,II) e as (03), obtemos:
( ) ( ) ( 2 2
2E E E
~ 2 2 2 2 2 2A +2M) 2(M + N +2AM) = A +2(M N ).
Então,
2 4
2
(
,
A ) (M + A 2AM) A 2(M N ) + 2A(A + 2M) 3A
M + A 4AM + N
E
~ 2 2 2 2 2 2
2 2 2
ou seja, finalmente:
( , A ) (A M) + NE
~ 2 2 (031).
A equação característica de pode ser escrita na forma
(X A)(X 2 cos X + ) = 0,2 2
(04),
e, conforme ((041),§ 03.03), o seu polinômio diádico característico, na forma
=)+ cos2()A( 22 . , (05).
Teor. 1:
Se A, M+Ni e M-Ni (N0) são os autovalores de um diádico , existem bases
recíprocas {a,b,c} e {a*,b*,c*} em relação às quais fica reduzido à forma
cartesiana mista
A M( Naa bb cc cb bc) ( ), (06),
cuja matriz mista associada é
abc
A 0 0
0 M N
0 N M
, (061),
a e a* sendo autovetores de e T respectivamente, correspondentes ao
mesmo autovalor A.
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 334
Poliádicos - Ruggeri
Sendo A uma raiz simples de (nula ou não nula), -A é um diádico planar, mas
não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Sejam b e c dois vetores arbitrários, não paralelos, do
plano ) dos antecedentes de -A; seja, ainda, a um vetor arbitrário ortogonal ao plano )
dos conseqüentes de -A, mas tal, que o triedro {a,b,c} seja direto (Fig.04.01).
Então ( A ).a o, isso é, a é um autovetor de correspondente ao autovalor A. Se
{a*,b*,c*} é o sistema recíproco de {a,b,c}, os vetores b* e c* são paralelos ao plano ) e
a* é ortogonal a ). Podemos, pois, escrever:
A = P P Q Qb b c c c b( ) ( ),
os conseqüentes de - A formando combinações lineares de b* e c*, com coeficientes a
determinar a partir da condição de que A, M+Ni e M-Ni sejam os autovalores de . Ora, na
expressão de cada um dos conseqüentes, um dos coeficientes pode ser fixado
arbitrariamente, desde que diferente de zero. Ponhamos: -P' = Q' = N. Então:
A P N Q Nb b c c c b( ) ( ),
donde
( ) ( ) .~
A PQ+ N2
aa
Logo:
( A ) P +Q = 2(M A)E ,
e lembrando (031):
( ) ) ; A PQ + N (M A + NE
~ 2 22
portanto,
2(M A) = P + Q
(M A) = PQ.2
Então: P = Q = M-A, e
A = (M A)( + + N(bb cc cb bc) ),
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 335
Poliádicos - Ruggeri
ou seja, indiferentemente de ser A um autovalor nulo ou não nulo, fica reduzido à forma
(06).
Teor. 2:
Todo diádico redutível à forma cartesiana mista (06) tem A, M+Ni e M-Ni
(N0) por autovalores e a por autovetor associado a A.
Se for A = 0, obviamente é planar, e ~ = (M2+N2)aa*. Logo:
E E
~ 2 2M e M + N 2 .
A equação característica de é
X MX M + N )X = 03 2 2 2 2 ( ,
e suas raízes são: 0, M+Ni, M-Ni, c.q.d..
Suponhamos A0. O adjunto de é completo e pode ser calculado facilmente, não
sem algum trabalho. Considerando (01), lembrando que a dupla multiplicação cruzada de
diádicos é comutativa e observando que
)-()-(
aaaaaa ;
aaaaaa )-( )-( ,
)()(
cbbccbbcaa , 0)( )(
cbbcaa ,
aacbbccbbc )( )( ,
deduzimos:
~
( ) ),
M + N ) + MA( NA(2 2
aa aa bc cb (07),
mas poderíamos encontrar o mesmo resultado partindo da matriz mista (061).
De (03), (06) e (07) calculamos os coeficientes da equação característica de ; esta
se escreve na forma:
X (A +2M)X +(M + N +2MA)X A(M + N ) = 0,3 2 2 2 2 2
sendo evidentemente satisfeita para X = A; logo:
[X 2MX+(M + N )] (X A) = 0,2 2 2 .
ou, ainda,
[X (M+ Ni)][X (M Ni)](X A) = 0,
isso é, A, M+Ni, M-Ni são os autovalores de .
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 336
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 1:
A CNS para que um diádico tenha apenas uma raiz real é que ele seja
redutível à forma cartesiana mista (06), em que {a,b,c} e {a*,b*,c*} são
sistemas recíprocos e N0.
A proposição direta é conseqüência imediata do Teor. 1; a proposição recíproca é
conseqüência do Teor. 2.
Nota: Do sistema {a,b,c} requer-se apenas que a seja perpendicular ao plano dos conseqüentes
de - A. Poderíamos, pois, sem perda de generalidade, escolher
| | | | | | , ) ( , )a b c b c c a 12
e (
.
Nesse caso,
A M( N( ) )aa bb cc cb bc , (061),
sendo
| | | | , | | , , c c b a a b 1 | |
1
sen
Caso de diádicos uniplanares.
Seja, por hipótese,
M( N(bb cc cb bc) ), (08),
um diádico uniplanar com o autovalor real nulo (A=0) e dois autovalores complexos
conjugados (Teor. 2). Nesse caso, as duplas {b c b c, } e { , } são recíprocas no plano de .
Dada a arbitrariedade de b e c podemos fazer |b|=|c|=1, caso em que
|b*|=|c*|=1/sen, sendo o ângulo de .b c com Então:
sen
M( N( ) )bb cc cb bc , (081).
Se i é o unitário da normal ao plano de , orientado de forma a que {, , }i b c seja direto,
sen V VN isto é, N=1
2sen 2 , | |i .
Caso de diádico anti-simétrico
Se, ainda, arbitrarmos = /2 (já que b e c são arbitrários) os sistemas recíprocos
{ , b c} e { b *, c*} se confundem. Pondo, então: , ,b j c k escrevemos:
M( N( ) ),jj kk kj jk
e
T
M( N( ) );jj kk jk kj
donde, por soma:
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 337
Poliádicos - Ruggeri
T
M(2 ).jj kk
Então, se = /2 e M = 0, é anti-simétrico; reciprocamente, se, = /2 e é anti-simétrico, M = 0. Então,
ikjjk ˆN)ˆˆˆˆN( , ( kj ˆˆ ) (09),
isso é, é um diádico de Argand (§06.05,II). Logo:
Teor. 3:
A CNS para que um diádico seja um diádico de Argand é que ele tenha um
autovalor nulo e os outros dois imaginários puros, Ni e -Ni, mas devendo ser
N= -1/2|V|.
Outras reduções.
Entretanto, poderá ser A = M = 0 sem que seja uniplanar (tampouco anti-simétrico), caso em que (agora um ciclotônico planar) fica reduzido à forma
N(cb bc ), (10)110.
Se, por outro lado, for A = M = 0 e uniplanar, poderemos fazer |b| = |c| = 1, caso
em que |b*| = |c*| = 1/sen; assim, fica reduzido à forma
N
sen( cb * bc *), ou =
1
2| |( V cb * bc *), (11),
forma que provem de (081) para M = 0, com
N =1
2senV | | , (12).
Deve ser observado que, nestas condições (A = M = 0 e uniplanar), não é,
necessariamente, diádico anti-simétrico, porque N-1/2|V|.
Os principais resultados relativos a reduções de diádicos com autovalores complexos
estão resumidos no Quadro I, em Apêndice, no final deste capítulo.
110 Notar que, embora a matriz mista associada a seja anti-simétrica, o diádico não é anti-simétrico; sê-lo-ia,
entretanto, se essa matriz (anti-simétrica) fosse a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 338
Poliádicos - Ruggeri
§ 04.01,B - Autovalores reais. Redução Tônica ou espectral.
Em vista das considerações anteriores, fica evidente que, se ABC (algum deles
eventualmente nulo), todos os diádicos característicos de são distintos, bem como são
distintas as suas direções próprias111.
Se os vetores (não coplanares) a, b e c são autovetores de correspondentes aos
autovalores A,B e C, escrevemos:
.a a .b b .c c= A , = B e = C ;
e se a*, b*, c* são os recíprocos de a, b e c:
= A + B + C ,aa bb cc
(13),
conforme Corol. 1,Teor. 1,§ 02.04,II.
Observando-se que, por ser {a,b,c} uma base, (13) é uma representação cartesiana
de , a sua matriz associada é
[ ] ,abc
A
B
C
0 0
0 0
0 0
(131).
Concluímos, então:
Teor. 4:
Todo diádico que tem autovalores reais e distintos, tem também autovetores
reais e distintos; suas matrizes associadas (mistas), na base desses
autovetores, são idênticas e só contêm coordenadas diagonais (que são os
seus próprios autovalores)112.
Fica evidente, de (13), a demonstração do teorema seguinte.
Teor. 5:
Se ABC são os autovalores de correspondentes aos autovetores (não
coplanares) a, b e c, então os recíprocos destes são autovetores de T,
correspondentes aos mesmos autovalores ABC.
Corol. 1: Se um diádico tem autovalores distintos, os seus autovetores e os do seu
transposto constituem sistemas recíprocos.
111 Isso é válido mesmo que um dos autovalores seja nulo.
112 Com outras palavras: a todo diádico com autovalores reais e distintos corresponde uma única matriz
simétrica (mista) na base dos seus autovetores, mas o diádico não é necessariamente simétrico, exceto se essa matriz é a co-variante ou a contravariante (§ 09.09, II).
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 339
Poliádicos - Ruggeri
Definição: (forma tônica ou diagonal e diádico tônico ou diagonal)
Se {e*
} e {e*} são bases recíprocas e D1, D2 e D3 são números reais
quaisquer, todo diádico representado na forma seguinte - dita forma
diagonal ou tônica -,
= D (i = 1,2,3),i i
ie e (14),
será denominado um diádico tônico ou diagonal.
Resulta então:
Teor. 6:
Todo diádico que tem autovalores reais e distintos é um diádico tônico; ou, o
que é o mesmo, é representável, de uma única maneira, numa forma
diagonal.
Corol. 1:
Se um diádico é tônico, os seus autovetores e os do seu transposto
constituem sistemas recíprocos.
A forma diagonal de um diádico (sabidamente tônico) nem sempre está dada; as
considerações feitas no § 03.03, entretanto, permitem deduzi-la.
Definição: (redução diagonal)
Denomina-se redução diagonal ou diagonalização de um diádico o conjunto
de operações pelas quais dá-se a um diádico (tônico) a sua forma ou
representação diagonal. Diz-se também, quando se dá a um diádico (tônico)
a sua forma ou representação diagonal, que se pratica a sua redução
diagonal.
Teor. 7:
A CNS para que um diádico seja tônico é que ele tenha três autovetores
independentes.
Com efeito, se é tônico, ele pode ser escrito na forma (14) em que {e*} e {e*} são
sistemas recíprocos; e dela deduzimos:
. e e .e e .e e1 1 2 2 3 3 D D e D1 2 3, ,
igualdades que mostram que os vetores ei são autovetores de (logo, independentes).
Reciprocamente, se é um diádico que tem três autovetores independentes, ei,
podemos escrever:
. e e .e e .e e1 1 2 2 3 3 A A e A1 2 3, ,
Então, se {e1,e2,e3} é o sistema recíproco de {e1,e2,e3} podemos escrever:
= A i iie e ,
e é tônico.
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 340
Poliádicos - Ruggeri
*
Exercício:
Demonstrar que todo diádico tônico (completo) é um diádico de Moreira.
*
Resulta imediatamente do Corol. 1,Teor. 8, § 03.03 o seguinte
Teor. 8:
Se dois diádicos são similares mediante e um deles é tônico, então o outro
também é tônico; os vetores característicos de um e os recíprocos dos
vetores característicos do outro são os antecedentes e os conseqüentes de .
Elementos característicos de diádicos simétricos.
Teor. 9:
Os valores característicos de um diádico simétrico são todos reais.
Pois, se não fossem, esse diádico seria redutível à forma ((06),§ 04.01,A); e sendo
simétrico por hipótese, deduzimos, da referida expressão:
A + M( ) N( ) = A + M( ) N( .aa aa bc cb a a a a c b b c
)
Transpondo termos, simplificando e agrupando, escrevemos:
=)](+)N[()A)((M cbcbbcbcaaaa ,
ou, ainda, aplicando ((03)4,§ 06.02,II) e evidenciando:
=]NNA)[(M bcbcaa .
Lembrando ((02)1,§ 06.01,II) resulta (de ser =T e redutível à forma (06),§ 04.01):
cbbcaa NN)AM( .
Multiplicando escalarmente ambos os membros dessa expressão por a*, deduzimos:
.= ou, ,= cb.aac.b.acb.abc
Agora, dividindo ambos os membros por (a*b*c*) e lembrando que {a,b,c} e {a*,b*,c*}
são recíprocos, concluímos: c b2 2
= , o que é um absurdo. Logo, se =T, tem todos os
seus valores característicos reais.
Teor. 10:
Se um diádico é simétrico, dois vetores característicos quaisquer, associados
com duas raízes características distintas, são ortogonais entre si.
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 341
Poliádicos - Ruggeri
Sejam A e B (AB), dois autovalores de aos quais correspondem os autovetores a
e b, respectivamente; escrevemos:
.a a .b b= A e = B ,
onde, por ser = T:
a. a b. b = A e = B .
Então:
a . .b a.b a. .b a.b = A e = B ,
donde, subtraindo membro a membro:
(A B) = 0, a.b
isso é, a.b = 0, ou ab, porque AB.
Corol. 1:
Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, seus autovetores são
triortogonais; logo, esse diádico é diagonalizável.
•
Sejam , i j k e autovetores (unitários) de um diádico simétrico e completo
correspondentes aos autovalores A, B e C. Escrevemos, então:
A B C ,ii jj kk (15).
Podemos admitir o terceto { , , }i j k direto porque se não for bastará inverter o sentido de
apenas um dos vetores para que o novo terceto o seja (não deixando, ainda, de serem tais
novos unitários, autovetores unitários de ). Comprovamos, então, o seguinte
Teor. 11:
Todo diádico simétrico pode ser reduzido à forma (15) em que A,B e C são
os seus autovalores (com os seus respectivos sinais) e { , , }i j k o terceto
direto dos seus autovetores unitários.
Se for 3>0, ou os três autovalores de são positivos ou apenas um é positivo. No
primeiro caso poderemos escrever
(| | | ),A| B| C|ii jj kk (151);
e no segundo (se apenas C é positivo):
[| ) | ) | ],A|( B|( C|i i j j kk (152).
§ 04.01 - Redução de diádicos com autovalores distintos: ABC 342
Poliádicos - Ruggeri
Tanto em (151) quanto em (152) antecedentes e conseqüentes formam tercetos diretos,
porem distintos113.
Se for 3 < 0, ou os três autovalores são negativos ou apenas um é negativo. No
primeiro caso escrevemos:
(| | | ),A| B| C|ii jj kk (153);
e no segundo (se apenas C é negativo)
[| ) | ) | ],A|( B|( C|i i j j kk (154),
o sistema { , , } i j k sendo, ainda, direto (obviamente distinto de { , , }i j k ).
Temos, então, demonstrado o seguinte
Teor. 12:
Todo diádico simétrico completo, , pode ser reduzido à forma
(| | | ),A| B| C|i i j j k k (155),
em que { , , }i j k e { , , } i j k são dois tercetos ortogonais diretos de
autovetores unitários e paralelos, correspondentes aos autovalores A,B e C.
Nota: As representações (15), (15
1) e (15
3) são representações cartesianas do diádico porque
{, , }i j k é auto-recíproco idêntico. As representações (152), (15
4) e (15
5) serão analisadas
no § 07.01 (representação normal).
Teor. 13:
Se A é raiz simples do diádico simétrico , o seu característico -A é
uniplanar.
Com efeito, pelo Teor. 2 do § 03.03, -A é planar (mas não ortoplanar). Mas, sendo
= T, tem-se: -A = T-A = (-A)T, isso é, -A é planar simétrico; logo é uniplanar
(Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).
Corol. 1:
Se um diádico simétrico tem autovalores distintos, os seus diádicos
característicos, uniplanares e distintos, se interceptam segundo as
direções (triortogonais) dos seus autovetores.
113 - Se de um termo direto invertem-se dois qualquer dos vetores, o novo triedro continua direto.
Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores reais e
distintos estão resumidos no Quadro II, em Apêndice, no final deste capítulo.
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C 343
Poliádicos - Ruggeri
Tônicos associados a uma homologia
Seja e ai
i uma redução trinomial de um diádico qualquer, , com antecedentes
independentes. O homológico de , de coeficientes X1, X
2 e X
3, é (ver § 03.02,II):
Hom Xi
i i e a . Podemos escrever:
Hom X X Xj
j ji
ij
j ji
ij
j j e e .e a e e .e a e e .( ) ( ) ( ) ,
ou, ainda, pondo
e ej
j jX , (16),
resulta
Hom . , (17).
Se a redução trinomial de fosse feita com conseqüentes independentes, gj,
escreveríamos, jjgb ; e teríamos:
Hom X )X Xj jj
jj
i ii
jj
i ii
b g b g .g g b g . g g( ( ) ( ) ,
ou, pondo
g gi ii
X , (18),
resulta
Hom . , (19).
Então,
Hom . . , (20).
De (16), (17), (18) e (19), concluímos:
Teor. 14:
Um homológico qualquer de um diádico, em redução trinomial arbitrária,
vale o produto pontuado anterior (posterior) desse diádico pelo tônico cujos
autovalores são os coeficientes da homologia e cujos autovetores são os
antecedentes (conseqüentes) da redução trinomial.
Definição: (tônicos associados a uma homologia)
Os tônicos e , cujos autovalores são os coeficientes de uma homologia
Hom, e cujos autovetores são os antecedentes ou os conseqüentes de uma
redução trinomial arbitrária de , são denominados os tônicos associados à
homologia.
Teor. 15:
Se é completo, os tônicos associados a uma homologia Hom são similares
mediante .
Pois (20) dá: . . . .1 1 e , o que comprova a tese.
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C 344
Poliádicos - Ruggeri
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C.
Se um diádico tem um autovalor duplo, B = C,
A B = C são reais e A B = C , (01),
sendo:
( B ) = A B 0, ( A ) = 2(B A) 0, E E (02),
e
( B ) = , ( A ) = ,V V V V (021).
Das expressões (02) podemos concluir que nenhum dos característicos é o diádico
antitriangular ou o diádico ortolinear; das expressões (021) podemos concluir que os
característicos serão simétricos se, e somente se, o diádico for simétrico.
Teor. 1:
Se AB = C, -B só pode ser ortoplanar ou linear.
Com efeito, pelo Teor. 4 §03.03, -A é planar (mas não ortoplanar). Se -B fosse
planar também, seu quadrado seria planar (Teor. 2, §05.04,II). Mas, segundo ((08)1,
§03.03), (-A)~ = (-B)2; o que é um absurdo porque (-A)~ é linear. Logo, -B ou é
ortoplanar, ou é linear.
Teor. 2:
Sendo -A planar e -B = -C linear (logo T):
1º) o polinômio mínimo de é
P ( ) = (X A)(X B),min (03),
2º) pode ser reduzido de infinitas maneiras à forma diagonal
= A + B + B ,aa bb cc
com
B000B000A
][ abc , (04),
onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos, sendo a* e a
respectivamente ortogonais aos planos dos antecedentes e conseqüentes de
-A(=(B-A)bb*+(C-A)cc*);
3º) os vetores dos sistemas {a,b,c} e {a*,b*,c*} são autovetores de e T,
respectivamente, correspondentes aos mesmos autovalores A, B e C = B:
.a a .b b .c c= A , = B , = B , (05)
e
T T T
= A , = B , = B ,.a a .b b .c c
(051).
A expressão (03) decorre imediatamente de ((08)3,§ 03.03) pois (-C)~ = .
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C. 345
Poliádicos - Ruggeri
Denotemos por a* e a, respectivamente, os vetores ortogonais aos planos dos
antecedentes e conseqüentes de -A, ajustando-os de forma a que a.a* = 1 (o que é sempre
possível). Considerando que, conforme ((08), § 03.03), (-A).(-B) = , então -B
(linear por hipótese) tem antecedente paralelo a a e conseqüente paralelo a a*; assim,
podemos escrever: -B = Kaa*. Então, sendo (-B)E = K, e lembrando (02)1, resulta:
B = (A B) . aa
Se b e c são dois vetores arbitrários, não paralelos, do plano dos antecedentes de -
A, resulta que o terceto de vetores a, b e c é de vetores não coplanares (- não é
ortoplanar). Podemos, agora, determinar os vetores b* e c* (do plano dos conseqüentes de
-A) tais que {a,b,c} e {a*,b*,c*} sejam recíprocos.
Então, sendo = aa*+bb*+cc*, da expressão deduzida para -B podemos escrever
na forma diagonal (04) de infinitas maneiras (b e c são arbitrários). De (04) deduzimos,
finalmente as (05) e (051); o que comprova a terceira parte do teorema.
Teor. 3:
Sendo -A planar e -B = -C ortoplanar (logo T):
1º) o polinômio mínimo de é o próprio polinômio CH:
P ( ) = C ( ) = (X A) (X B) ,min 3
2 . (06);
2º) pode ser reduzido, de infinitas maneiras, à forma
= A + B( + ) + B ,aa bb cc cb
com [ ] abc
A 0 0
0 B 0
0 B B
(07),
ou à forma equivalente
= B +(A B) + B ,
aa cb (08),
onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos, com a* e a respectivamente
ortogonais aos planos dos antecedentes b e c e conseqüentes b* e c* de A
(=(B-A)(bb*+cc*)+Bcb*);
3º) só admite dois autovetores reais: a e c, correspondentes aos
autovalores A e B:
.a a .c c= A e = B , (09).
A expressão (06) decorre imediatamente de ((08)1,§ 03.03), fazendo-se
B = C , multiplicando-se ambos os seus membros por (-A) e aplicando-se
((06),§ 03.03).
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C. 346
Poliádicos - Ruggeri
Sendo A uma raiz simples de (nula ou não nula), -A é um diádico planar, mas
não ortoplanar (Teor. 3, § 03.03). Seja a um autovetor de relativo a A, logo perpendicular
ao plano dos conseqüentes de -A; e a* o vetor perpendicular ao plano dos antecedentes de
-A, mas tal, que a.a* = 1.
O diádico -B é ortoplanar por hipótese. Denotando por c e b autovetores de e
T relativos ao autovalor duplo B = C, temos: (-B).c = o = b*.(-B). Então, os vetores
(ortogonais) c e b* são, respectivamente, ortogonais aos planos dos conseqüentes e dos
antecedentes de -B; e, portanto, respectivamente paralelos aos planos dos antecedentes e
conseqüentes de -B.
O diádico (-B)2 é linear e tem antecedente e conseqüente pertencentes,
respectivamente, aos planos dos antecedentes e conseqüentes de -B (Corol.2,Teor.
4,§05.04,II). Mas, sendo
=)A()B()B()A( 22 .. ,
resulta que o antecedente de (-B)2 é paralelo a a e o conseqüente paralelo a a*. Logo, a e
c são paralelos ao plano dos antecedentes de -B; e a* e b
*, paralelos ao plano dos
conseqüentes. Podemos, assim, escrever:
B L + M (com aa cb b a b c, ), e
determinar L e M com a condição de que (-B)E =A-B. Encontramos: L=A-B. Logo:
B (A B) + M (com aa cb b a b c, ), M podendo ser uma constante arbitrária
não nula (igual a 1, -1, ou B, por exemplo).
Poderemos, agora, determinar um vetor c* no plano dos conseqüentes de -A, e um
b no plano dos antecedentes de -A tais, que os sistemas {a,b,c} e {a*,b*,c*} sejam
recíprocos.
Diádicos simétricos
Teor. 4:
Se AB = C e = T, -A é uniplanar, -B é unilinear e
[ ] ijk
A 0 0
0 B 0
0 0 B
.
Que -A é uniplanar decorre imediatamente do Teor. 13, § 04.01. Pelo Teor. 1, -
B deve ser linear; mas, sendo = T, -B é unilinear (Corol. 2, Teor. 4, § 04.02,II).
Sendo, então, = T e AB = C, - A é uniplanar e - B unilinear (Teor. 4).
Logo: ( - B)~ = ( - C)~ =, e de ((18)3, § 03.03), deduzimos:
( - A).( - B) =, (10).
Logo, o polinômio mínimo de é (X-A)(X-B).
§ 04.02 - Redução de diádicos com autovalores duplos: AB = C. 347
Poliádicos - Ruggeri
Seja i o unitário ortogonal ao plano de - A. Sendo - B unilinear, podemos
escrever, em vista de (10):
- B = L i i ,
onde L é uma constante a determinar. Mas ( - B)E = A-B, isso é, L = A-B. Logo:
A B( ),i i j j k k (11),
j k e sendo dois unitários ortogonais arbitrários do plano de - A. Logo:
Se AB=C, =T e uniplanar. A normal ao seu plano é a direção do seu
autovetor relativo a A e os outros dois autovetores são quaisquer vetores
ortogonais pertencentes a esse plano.
Os principais resultados relativos às reduções de diádicos com autovalores reais
duplos estão resumidos no Quadro III, em Apêndice, no final deste capítulo.
§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C.
Se um diádico (não nulo) tem autovalor triplo, esses autovalores são reais
necessariamente; e os seus diádicos característicos são todos iguais. Verificam-se então,
simultaneamente:
( A ) A = 0E E 3 (01),
e
3)A( , (02),
podendo ser, ainda, (-A)2 = e -A = (casos em que (02) fica satisfeita).
Teor. 1:
O característico (único) -A: 1) ou é antitriangular, caso em que A = B =
C = 0 e T; 2) ou é ortolinear, caso em que A = B = C 0 e T; 3)
ou é nulo, caso em que A = B = C 0 e =T=AI ( é diádico escalar).
Com efeito, apenas o diádico nulo, o ortolinear e o anti-triangular satisfazem (01) e
(02) simultaneamente. Além do mais, = T só se -A =, porque os diádicos
ortoplanares (e, portanto os antitriangulares) e ortolineares são não simétricos (Corol. 3,
Teor. 4, § 04.02,II).
Então, o Teor. 7, § 05.04,II, e seu Corol. 2, permitem demonstrar o seguinte
Teor. 2:
Se A = B = C = 0 e - A = é antitriangular (ortoplanar de escalar nulo):
1) - O polinômio mínimo de é
P ) = Xmin
3( , (03);
§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. 348
Poliádicos - Ruggeri
2) - Existem dois pares de vetores, um em cada plano de (Fig.04.02): a,b
(ab) e b*,c*, sendo b paralelo à interseção desses planos, que reduzem à
forma
ab bc , (04),
gozando tais vetores das seguintes propriedades:
b.c a.c a.b a.b 0 , e b.b 1, (05);
3) - A normal ao plano dos conseqüentes (antecedentes) de é a única
direção própria real de (T):
.a a .c c
A AT
, ,e
000100010
][ abc (06).
•
Determinando os vetores a* e a (a*//a) de forma que os sistemas {a,b,c} e
{a*,b*,c*} sejam recíprocos, escreveremos
aa bb cc , os sistemas {b,c} e {b*,c*}
sendo, também, pares recíprocos no plano dos conseqüentes de .( § 03.02, I ).
Teor. 3:
Se A = B = C0 e -A é ortolinear:
1º) o polinômio mínimo de -A é
2min )AX()A( P , (07);
2º) existem vetores b e c* (Fig.04.03), paralelos a duas direções ortogonais
(logo, ortogonais), que reduzem (de infinitas maneiras) à forma
§ 04.03 - Redução de diádicos com autovalor triplo: A = B = C. 349
Poliádicos - Ruggeri
= A + , bc
e [ ] abc
A 0 0
0 A 1
0 0 A
(08);
3º) qualquer direção ortogonal a c* (b) é direção própria de ();
particularmente, .V = AV = T .V.
As demonstrações são evidentes.
Teor. 4:
Se A = B = C0 e - A é o diádico nulo:
1) - O polinômio mínimo de é
P ) = X A,min ( (09);
2) - O diádico é escalar,
A , (10);
3) - Qualquer vetor do espaço é autovetor de e [ ] ] A[ ;
o que é evidente.
Os principais resultados relativos à reduções de diádicos com autovalores triplos
estão resumidos no Quadro IV, em Apêndice, no final deste capítulo.
§ 05 - DESCRIÇÃO DAS TL'S PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS.
No § 01 induzimos a procura de certas bases em relação às quais a descrição de uma
TL pudesse ser facilitada. No § 03 descobrimos um modo prático de reduzir os diádicos a
formas mais compactas (as formas canônicas), o que certamente facilita a referida
descrição. Nestas condições, efetuada a redução canônica do diádico regente da
transformação, é oportuno e didático, para a descrição das TL's, dividir os diádicos em duas
classes: os tônicos (ou diagonalizáveis) e os não diagonalizáveis. Conforme vimos (§ 03),
§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis. 350
Poliádicos - Ruggeri
todos os diádicos tônicos têm autovalores reais, enquanto que os não diagonalizáveis
podem ter autovalores tanto reais quanto complexos.
§ 05.01 - TL's regidas por diádicos diagonalizáveis.
Os diádicos tônicos (cinco no total), são distinguidos pela multiplicidade dos seus
autovalores (A,B,C) e pela natureza dos seus diádicos característicos ( - A, - B e -
C). São os seguintes:
1°) - dois que apresentam autovalores simples, A B C, os simétricos e os não
simétricos, apresentados no Quadro II do Apêndice;
2°) - dois que apresentam autovalores duplos, A B = C, apresentados no quadro
III, no final deste capítulo;
a) - os diádicos não simétricos, com - A planar e - B linear;
b) - os diádicos simétricos, com - A uniplanar e - B unilinear.
3°) - os que apresentam autovalor triplo, A = B = C 0, simétricos, apresentados no
Quadro IV do Apêndice.
Todos esses diádicos podem ser reduzidos à forma canônica geral
A B Caa bb cc ,
onde os sistemas recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*}, formam os tercetos de autovetores de e
T, respectivamente. Esses diádicos serão incompletos se qualquer um dos seus autovalores
for nulo.
Os efeitos gerais de um diádico tônico, , são descritos pelas seguintes propriedades:
1) - as direções a,b,c ficam imutáveis no espaço porque elas são os seus
autovetores;
2) - v = VAa+VBb+VCc, tem-se:
v . v aa bb cc . a b c a b c ( ) ( ) ,A B C V V V AV BV CVA B C A B C
isso é, as coordenadas de v segundo a,b,c são distendidas ou contraídas, respectivamente,
nas proporções A:1, B:1 e C:1. Como A, B ou C podem ser positivos e negativos, as
coordenadas homônimas de v e v' podem ter sinais contrários, o que, evidentemente,
acarreta mudança nos sentidos dos vetores componentes correspondentes.
3) - se o diádico é completo, a transformada da superfície esférica sempre é um
elipsóide: a) - de semi-eixos distintos, se ABC; b) - com dois semi-eixos iguais se A B
= C (elipsóide de revolução); c) - com três semi-eixos iguais, se A = B = C (superfície
esférica de raio A vezes o raio da primeira).
É comutativa a multiplicação pontuada de dois tônicos que tenham os mesmos
autovetores (quaisquer que sejam os seus autovalores, no caso, distintos); o produto deles é
§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis. 351
Poliádicos - Ruggeri
ainda um tônico com os mesmos autovetores e suas coordenadas (seus autovalores) são os
produtos das coordenadas homônimas (autovalores) dos tônicos fatores.
Por isso mesmo, qualquer tônico pode ser fatorado num produto de três outros
tônicos na forma
( ) ( ) ( ),A B Caa bb cc . aa bb cc . aa bb cc
onde a ordem dos fatores é irrelevante. Cada tônico fator, distende ou contrai as
componentes de um vetor paralelas a um dos seus autovetores; e deixa imutável as
componentes desse vetor, paralelas aos outros dois autovetores.
Seja { , , }i j k uma base ortonormada e -1 o diádico de mudança dessa base (§ 02.01)
para a base {a,b,c}. Então:
1ai bj ck e .ia jb kc Logo, o diádico
. . ii jj kk 1
1A B C
é um diádico similar a mediante (§ 02.02). Referindo o espaço a { , , }i j k , verificar-se-ão para 1 as mesmas propriedades já estabelecidas para com algumas particularidades
que serão abordadas no § 07.
§ 05.02 - TL's regidas por diádicos não diagonalizáveis.
Os diádicos não diagonalizáveis, quatro no total, são os seguintes:
1) - os que apresentam um par de autovalores complexos conjugados, constantes do
Quadro I do Apêndice, e que são redutíveis à forma canônica geral
A M( N(aa bb cc cb bc) ), (01),
onde {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos e A, B = M+Ni e C = M-Ni (N0) os
seus autovalores;
2) - os que apresentam autovalores duplos (logo, todos reais), A B = C, com -A
planar e -B ortoplanar, constante do Quadro III do Apêndice. Nesse caso o diádico é
redutível à forma:
A B Baa bb cc cb( ) , (02),
em que {a,b,c} e {a*,b*,c*} são sistemas recíprocos;
3°) - os que, não simétricos, apresentam autovalores triplos, A = B = C, o seu
diádico característico, único, -A, podendo ser:
a) - antitriangular, caso em que , com autovalores todos nulos, pode ser
reduzido à forma:
ab bc a b b b b.b, , || , ), ( 1 (03),
o vetor b pertencendo também ao plano dos conseqüentes (Fig. 04.02);
b) - ortolinear, caso em que , com autovalores não nulos, A, pode ser reduzido à
forma:
A + com bc b c , (04),
(Fig. 04.03), constantes do Quadro IV do Apêndice.
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 352
Poliádicos - Ruggeri
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb
*+cc
*)+N(cb
*-bc
*)
Relembrando que:
M = cos , N = sen 0 ( < < ),
M N ( > 0), tg1
2
B
+ B e B = M + Ni,
2 2
podemos escrever na forma de produto comutativo:
[ ( )] [ ( ) )]
[ ( ) )] [ ( )],
A + + + cos + sen (
+ cos + + sen ( A + +
aa bb cc . aa bb cc cb bc
aa bb cc cb bc . aa bb cc
(05).
O diádico Aaa*+(bb*+cc*) é tônico. Seu efeito (§ 05.01) é: 1) - distender (porque
> 0) os vetores paralelos a b e c na proporção :1; 2) - distender (se A > 1) ou contrair
(se A < 1) os vetores paralelos a a, na proporção A:1, e até inverter a direção desses vetores
se A < 0.
Diádico cíclico. Rotação elíptica.
Estudemos, então, a transformação regida pelo diádico seguinte, fator de ,
(aa*, ) aa bb cc cb bccos sen ( ( ) ), (06),
definido em função dos vetores das bases recíprocas {a,b,c} e {a*,b
*,c
*}e do ângulo . A
matriz mista associada a esse diádico nessas bases é
[(aa*, )]abc
1 0 0
0
0
cos sen
sen cos
tendo ele por terceiro a unidade positiva, qualquer que seja , autovalores: 1, ei
=cos+i
sen, e-i
=cos-i sen, e apenas o autovetor real a correspondente ao autovalor +1114.
Esse diádico pode ser ainda escrito na forma equivalente a (06),
(aa*, )
ccbbcbaa ]
2sen(
2cos([)sencos( (061).
Consideremos o vetor
cbr sencos)( , (07),
114 Os autovetores do cíclico são: a, 2/)i( e 2/)i( cbcb onde i2=-1, e não compõem um sistema
ortogonal. Voltaremos a esse assunto no Capítulo V do volume II deste Tomo.
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 353
Poliádicos - Ruggeri
onde é um parâmetro, vetor esse do plano ) definido por b e c. Vamos aplicar esses
vetores co-inicialmente num ponto arbitrário, O, de ). A cada valor do argumento
corresponde um e um único vetor )(r . Fazendo variar entre 0 e 2 rd, a extremidade de
)(r descreverá a elipse Er de semi-diâmetros conjugados b e c (Fig.05.01).
Com efeito, sendo
cbr ˆYˆX)( com X=|b|cos e Y=|c|sen,
então, no sistema de eixos coordenados oblíquos OXY,
X Y2 2
| | | |,
b c2 2 1
o que comprova a assertiva. É evidente que:
r(0)=b, r(/2)=c, cbr cossen)( , r()=-r(0)=-b etc.
Ao acréscimo de /2 ao argumento , corresponde o vetor semi-diâmetro conjugado de r().
Consideremos no plano ) uma elipse qualquer Ev, homotética de Er, de razão de
homotetia K (constante). A dado r() de Er corresponderá um v() de Ev tal, que
)()( K rv , (071).
Assim, a b corresponde um bv, a c um cv etc. tais, que bv=Kb, cv=Kc etc.. Fazendo variar
a extremidade de v() descreverá toda a elipse Ev.
Teor. 1:
O vetor transformado de v() mediante usado como pré-fator é v(+).
Considerando (07) podemos escrever (061) na forma
(aa*, )
crbraa )()( .
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 354
Poliádicos - Ruggeri
Tem-se, então:
)senK(cos)sen(cos)K( )()()()()(),(
rrcb.crbraa.v
aa,
ou seja,
)()(),( v.v
aa (08),
pois
)(
)()(
cossencos(sensensencos(cos
)cossen(sen)sen(coscossencos
rcb
cbcbrr
Então:
O diádico (aa*,), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por
um vetor de argumento da elipse Ev, transforma esse vetor no vetor de
argumento + dessa mesma elipse.
*
Todos os resultados anteriores podem ser verificados em relação ao plano (b*,c
*) por
consideração do diádico T
(aa*,) transposto de (aa*,), sendo, como é fácil constatar,
T
(aa*,)=(a*a,-).
Assim, enquanto (aa*,) roda elipticamente um vetor de Ev no plano (b,c) em torno de a*
para a posição correspondente ao acréscimo de ao seu argumento, T
(aa*,) roda
elipticamente vetores do plano (b*,c
*) em torno de a para a posição correspondente ao
decréscimo de ao seu argumento.
*
Estudemos agora a transformação que (a a*, ) opera sobre dado vetor v, qualquer,
do espaço. Os vetores a e v definem um plano que intercepta o plano (b,c) segundo uma
reta bem determinada. Sendo,
cv.cbv.bav.av )()()( , podemos escrever: )()( vav.av ,
v() tendo significado evidente. Então, lembrando (062) e (07), deduzimos:
v.b*=Kcos e v.c
*=Ksen
donde,
v.b
v.ctg e 22 )()(K v.cv.b , (09).
Tem-se, então:
av.a.v
aa)(
),( )(),( .v
aa,
ou, pelo Teor. 1:
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 355
Poliádicos - Ruggeri
av.a.v
aa)(
),( )( v =v’,
Assim, (aa*,), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por um vetor v,
transforma esse vetor num outro, v’, que tem a mesma componente de v segundo a e uma
componente no plano (b,c) que é rodada elipticamente por (aa*,) da componente v() de v
contida nesse plano.
*
Exercícios:
1 - Sejam: v=2a+2b+c e o diádico (aa*,) com =30. Comprove que : =2634’,
K=2,236 e v’=2a+1,232b+1,866c. Esboce geometricamente o problema.
2 - Comprove que o argumento de um dos pontos de interseção do plano (a,a*)
com a elipse E* de (b,c) é dado por tg=(a*.c
*)/(a
*.b
*).
*
Definições: (diádico cíclico e rotação elíptica)
A transformação regida pelo diádico
(aa*,) = aa*+cos(bb*+cc*)+sen(cb*- bc*), (10),
onde { , , } { , , }a b c a b c e são sistemas recíprocos, é denominada rotação
elíptica. O diádico (aa*,) recebe o nome de diádico cíclico; é o
argumento desse diádico, a* é o seu eixo e (b,c) o seu plano.
*
Sabemos da Geometria que toda elipse é projeção paralela de uma circunferência.
Então, existe (e é possível determinar) uma circunferência de raio unitário
kjr ˆsenˆcosˆ que, em projeção paralela, projeta-se segundo a elipse
cbv sencos)( , os semi-diâmetros unitários ortogonais j e k projetando-se
segundo os semi-diâmetros conjugados b e c, r segundo v() e seu centro H segundo O.
Seja i o unitário com sentido tal, que }ˆ,ˆ,ˆ{ kji seja ortonormado direto; e denotemos por
o diádico de mudança da base {a,b,c} para a base {, , }i j k (ver §02.01), isso é, seja
i a j b k c tal que ˆ , .jb.ia , etc..
Então,
1 ai bj ck e ˆ ,ˆ 11 j.bi.a ,
e
(aa*,) 1 . i i j j k k j k k j[ } cos sen .
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 356
Poliádicos - Ruggeri
Pondo
( , )i } i i j j k k j k k j cos sen , (11),
temos:
( , )i .(aa*,).1, (12),
isso é, o diádico ( , )i é similar a (aa*,) mediante .
Em relação, então, ao sistema auto-recíproco idêntico {, , }i j k , temos, para um vetor
v qualquer cuja projeção ortogonal no plano ( kj ˆ,ˆ ) é v():
(, ) (, ) (, )[()]i i i. v . v. i i .v().
Relembrando que ( , )i é cíclico de eixo i e autovetor i , temos:
(, )
i . i i e )()(),ˆ()(),ˆ(ˆKˆK
vv..vii
ou seja,
)(),ˆ(ˆ)ˆ( viiv..v
i .
Portanto, em relação ao sistema {, , }i j k , a componente )(v de v, do plano ( kj ˆ,ˆ ),com sua
origem fixa em H, tem sua extremidade rodada (circularmente) de um ângulo ; a
componente de v segundo i , com origem na extremidade de )(v , é conservada na
transformação regida por (, )i , sendo transladada paralelamente a si própria (ou a i )
segundo a referida circunferência (Fig. 05.02).
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 357
Poliádicos - Ruggeri
Definições: (rotação e rotor)
Denomina-se rotação circular, ou simplesmente rotação, a transformação
em que os pontos do espaço descrevem trajetórias circulares em torno de
uma reta fixa denominada o eixo da rotação.
Todo diádico (, )i , da forma (11), recebe o nome de diádico de rotação, ou
rotor (versor na nomenclatura de Gibbs); é o seu ângulo de rotação e i o
unitário do seu eixo.
*
Exercício:
Comprovar que o rotor (11) pode ser escrito na forma compacta
iiiiii
ˆsen)ˆˆcosˆˆ),ˆ(
, (13).
*
Vê-se, que o cíclico (aa*,) e o rotor (, )i , embora similares, regem rotações
diferentes. Quando, na circunferência de raio )(v o ângulo central, , varia de um valor
(algébrico) , o raio vetor correspondente descreve um setor circular cuja área é R2 2 (
em radianos). Na elipse do plano (b,c) do cíclico o raio vetor de argumento , de que o
anterior é projeção, ao ser transformado no raio vetor de argumento +, descreve um setor
elíptico. Lembrando que em projeção paralela as áreas correspondentes são projetadas
numa razão constante, escrevemos:
área setor elíptico
área setor circular
área elipse
área círculo, ou,
area setor eliptico
area elipse
2=
area setor circulararea circulo
.
Como se vê, a relação entre as áreas do setor elíptico e da elipse no plano (b,c) independe
do vetor paciente na transformação, isso é, a relação só depende do ângulo que ocorre na
expressão do diádico (aa*,). Assim:
O diádico cíclico (11), usado como pré-fator em multiplicação pontuada por
vetor r da elipse de que b e c são semi-diâmetros conjugados, adianta esse
vetor de um setor (elíptico) cuja área está para a área de toda a elipse, assim
como está para 2.
Os mesmos resultados, com as devidas mudanças, são válidos para todos os diádicos
derivados do cíclico, isso é, seu transposto, seu principal e seu inverso. A determinação
dessas “mudanças” ficará a cargo do leitor.
Como se vê, comparando (11) com (10), o rotor é um diádico cíclico particular; o
seu eixo é também direção do seu autovetor. Pela importância que esses diádicos
apresentam em aplicações, as rotações (elípticas e circulares) serão estudadas em seção
especial (§ 06).
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 358
Poliádicos - Ruggeri
Resulta imediatamente dessas interpretações que o diádico - é um rotor que
transforma um vetor no seu oposto; diz-se por isso que ele rege uma simetria em relação a
origem, ou inversão. A inversão em relação à origem é também denominada inversão
central.
Numa situação limite, poderá ser nulo o diedro dos planos (b,c) e (b*,c
*), caso em
que o cíclico correspondente será um diádico uniplanar. Esse cíclico terá seu autovalor real
igual a zero, ao qual corresponderá o autovetor (paralelo ao seu eixo) ortogonal ao seu
plano; e poderá ser reduzido à forma (08), § 04.01,A. Portanto, esse diádico rege rotações
elípticas no seu plano (em torno do seu eixo). Por uma mudança de base podemos
determinar um rotor planar que lhe seja similar, rotor esse cujo eixo é ortogonal ao seu
plano.
Diádico ciclotônico.
Em vista de (05) e das considerações geométricas anteriores podemos, enunciar:
Teor. 1: Se um diádico tem autovalores complexos (conjugados), ele pode ser
decomposto num produto comutativo de um diádico tônico por um diádico
cíclico de argumento igual ao argumento dos autovalores complexos.
Definição: (diádico ciclotônico)
Os diádicos da forma (01), por combinarem propriedades dos diádicos
cíclico e tônico, são denominados ciclotônicos.
As propriedades dos tônicos já foram estabelecidas. As propriedades dos cíclicos e
rotores serão estudadas no §06. De certa forma as propriedades dos ciclotônicos estão
associadas com as propriedades dos tônicos e dos cíclicos.
Teor. 2:
Se dois diádicos 1 e 2 são similares mediante , e um deles é ciclotônico,
ambos têm os mesmos autovalores e os autovetores de um são os
transformados dos vetores característicos do outro mediante .
Tem-se: 1 2 . . 1. Sendo,
2 A M ( N (
2 2 2aa bb cc cb bc) ),
tem-se também:
).(N)(M))((A 112
112
121
..bc..cb..cc..bb.a.a
Pondo
.a a .b b .c c 1 1 1, , , e
vem:
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 359
Poliádicos - Ruggeri
a a b b c c aa bb cc1 1 1
1
1 1 1, ,
sendo { , , } { , , }a b c a b c1 1 1 1 1 1
e sistemas recíprocos. Então, a . a 1
1 etc. e
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A M ( N (
2 2 2a a b b c c c b b c) ),
o que comprova a propriedade.
Auto-similaridade dos ciclotônicos.
Se pusermos
Aaa bb cc( ) ,
escreveremos (05) no forma
=.=., (14).
onde, por brevidade, estamos representando, evidentemente, por o diádico cíclico (06).
Então:
.-1 = , ..-1 = ., -1.. = .,
ou melhor,
= ..-1 = -1.., (15).
Concluímos:
Teor. 3: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante o seu fator cíclico.
Imponhamos, agora, a condição de que um diádico arbitrário, , seja similar a si
próprio mediante dado diádico cíclico, digamos dado por (06). Então esse diádico deve
verificar (15), ou, ainda, a condição
. = . (16).
Em relação aos sistemas recíprocos {a,b,c} e {a*,b*,c*} é
[]
1 0 0
0
0
cos sen
sen cos
.
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 360
Poliádicos - Ruggeri
Seja, então,
[ ]
X
X
X
Y
X
Z
Y
X
Y
Y
Y
Z
Z
X
Z
Y
Z
Z
.
Calculando os produtos matriciais correspondentes a (16) obtemos as seguintes igualdades
simultâneas:
X X X X X X X X
Y Z Y Y Y Y Z
Y Y Y Z
Y Z Z Z Z Y Z
Z Z
X X Y Z Y Y Z Z
X X X Y Z Y Y
Y Z Z Z
X X X Y Z Y Y
Y
; cos sen ; sen cos ;
cos sen ; cos sen cos sen ;
sen cos cos sen ;
sen cos cos sen sen cos ;
sen
Z Z Zcos sen cos ; Y Z
Encontramos, após simplificações:
X
X
X
Y
X
Z
Y
X
Z
X
Y
Y
Z
Z
Y
Z
Z
Y e , 0, 0, ,
sendo, então
[ ]
X
X
Y
Y
Y
Z
Y
Z
Y
Y
0 0
0
0
,
e, portanto:
X
X
Y
Y
y
Z( (aa bb cc bc cb) ), (17),
expressão idêntica a (01), § 05.02. Logo:
Teor. 4: Se um diádico é similar a si próprio mediante um cíclico, esse diádico é
ciclotônico e admite o cíclico como fator.
Em vista desse teorema e do Teor. 3, concluímos, ainda:
Teor. 5:
A CNS para que um diádico seja ciclotônico é que ele seja similar a si
próprio mediante um cíclico.
§ 05.02,A - TL regida por: =Aaa*+M(bb*+cc*)+N(cb*-bc*) 361
Poliádicos - Ruggeri
De (16) deduzimos:
. = 2..-1 , ou, ..-1 = 2..(2)-1 ,
isso é,
= 2..(2)-1 .
Analogamente poderíamos comprovar que
= (2)-1..2,
expressão que pode ser generalizada para qualquer potência inteira, P. Assim,
Teor. 6: Todo diádico ciclotônico é similar a si próprio mediante qualquer potência
de expoente inteiro do seu cíclico fator:
= P..(P)-1 = (P)-1 ..P, (18).
Ainda a partir de (16) podemos escrever:
. = 2 = ..-1...-1 = .2.-1 ,
Ou
2 = -1...-1.. = -1.2.,
e assim sucessivamente para potências maiores de . Então:
Teor. 7:
Qualquer potência de expoente inteiro de um diádico ciclotônico é similar a
si própria mediante o seu cíclico fator:
P = .P.-1 = -1.P., (19).
Como um diádico potência de um cíclico é, ainda, um cíclico, resulta:
Teor. 8: Qualquer potência de expoente inteiro de um ciclotônico é similar a si
própria mediante qualquer outra potência de expoente inteiro do seu cíclico
fator:
P, Q inteiros: Q = P.Q.(P)-1 = (P)-1 .Q.P, (20).
§ 05.02,B - TL regida por: = Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* 362
Poliádicos - Ruggeri
§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb
*+cc
*)+Bcb
*
Esse diádico, cuja matriz associada na base {a,b,c} é
BB0
0B0
00A
][ abc ,
pode ser representado na forma do produto comutativo do diádico tônico
A B(aa bb cc ), (21),
pelo diádico
cb , com c b (22),
isso é,
[ )] ( ) ( ) [ )].A B( A B(aa bb cc . cb cb . aa bb cc
Cisalhamento simples. Diádico cisalhante.
Estudemos, pois, a TL regida pelo diádico +cb*, de matriz associada
110
010
001
][ abccb ,
já que a regida pelo tônico (21) está determinada (§ 05.01).
Tem-se, para qualquer v paralelo a b*:
( ) ( ) ' ; cb . v v v.b c v
e, para qualquer vetor w de um plano arbitrário de referência, (a,c), ortogonal a b*:
( ) . cb . w w
Assim: 1°) - +cb* deixa inalterados todos os vetores paralelos ao plano de referência (a,c);
2°) - desloca a extremidade V, de qualquer v, paralelamente à direção de c (Fig. 05.03), da
quantidade (algébrica)
VV' = (v. b *)|b*||c| , pois (v.b*) c = (v. b *)|b*||c| c = |v||b*||c| c = VV' c .
§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* 363
Poliádicos - Ruggeri
Pondo c = k , b * = j e Q = |c||b*| (logo Q > 0 e arbitrário), podemos escrever:
jkQcb ˆˆ , (Q 0) (23),
e, por ser VV' Q V" V ,
v v k v kVV QV V , (231).
Nestas condições, podemos concluir que os pontos dos planos paralelos ao plano de
referência (a, k ), são deslocados (sobre esses mesmos planos) na direção de k , de uma
mesma quantidade, Q V" V. Essa quantidade é, então, proporcional à distância (algébrica)
V" V do plano de referência ao plano considerado. Denotando por o ângulo agudo
VV V do triângulo retângulo VV'V'' (reto em V), e considerando (231), podemos
escrever:
tg VV
VVQ > 0
(Q arbitrário, porém constante).
Então, VV e V" V têm sempre o mesmo sinal. Isto significa que o sentido do
deslocamento dos pontos é o de k , ou o sentido oposto, conforme tais pontos estejam
situados, em relação ao plano (a, k ), no semi-espaço para o qual aponta o unitário j ou no
semi-espaço oposto, respectivamente (Fig.05.03).
Assim, nesta transformação, todos os planos inicialmente ortogonais ao plano de
referência e a k , tornam-se inclinados, em relação a esse plano de referência, de /2 - .
A transformação regida pelo diádico (23), então, é caracterizada por três elementos
geométricos essenciais: a direção definida por j (a partir da qual arbitramos um plano de
referência que lhe seja ortogonal), a direção definida por k e o ângulo agudo cuja
tangente é Q. Como essa transformação pode representar exatamente a solicitação mecânica
denominada cisalhamento, justificam-se por analogia, as seguintes
Definições: (cisalhamento simples)
A transformação regida pelo diádico jkQ denomina-se
cisalhamento simples; o diádico , diádico cisalhante. A direção
definida por k denomina-se direção do cisalhamento; o plano ortogonal
a j , plano do cisalhamento; o número positivo Q, módulo do
cisalhamento e o ângulo cuja tangente é Q, ângulo de cisalhamento.
Resulta, então, o seguinte
Teor. 1:
A transformação regida pelo diádico (02), § 05.02 é equivalente ao produto
comutativo das transformações regidas pelo diádico tônico (21) e pelo
diádico cisalhante (22).
Definição: (cisotônico)
Os diádicos da forma
A B( Baa bb cc cb) ,
§ 05.02,B - TL regida por: =Aaa*+B(bb*+cc*)+Bcb* 364
Poliádicos - Ruggeri
por combinarem propriedades dos diádicos cisalhante e tônico, serão
denominados cisotônicos.
Teor. 2:
No cisalhamento são conservados: 1) - os volumes; 2) - as distâncias em
qualquer direção nos planos paralelos ao plano de cisalhamento; 3) - as
áreas nos planos ortogonais à direção do vetor do diádico.
Com efeito, escrevendo na forma
ccbcbaa )( ,
temos, lembrando ((04)3,§ 02.08,II) e a propriedade 7 das TL (§ 01.02):
1))](()[())()(( ******3 cbaaccabccbaccba
uma vez que (acc) = 0. Então, lembrando a propr. 7 das TL's (§ 01.02), comprovamos que
os volumes são conservados. Ora, sendo:
**2**T . bbccbcbI
resulta, para qualquer n b :
1ˆ)(ˆ T n...n
Então, conforme a propriedade 5 das TL's, são conservadas as distâncias em qualquer
direção n ortogonal a b*, ou seja, nos planos paralelos ao plano de cisalhamento.
Analogamente, sendo: -cb ~ e c-b ~T , resultam, para todo i c e, por ser
V=b*c (logo perpendicular a b
* e c), para todo i paralelo a V:
ccbcbcb.. 2**TT )(-I ~ ~ ~)( e 1ˆ ~)(ˆ T i...i .
Assim, lembrando a propriedade 6 das TL's, concluímos que são conservadas as áreas em
qualquer plano ortogonal à direção do vetor de .
Teor. 3:
O recíproco de um cisalhante é um cisalhante. Cisalhantes recíprocos têm a
mesma direção de cisalhamento, o mesmo plano de cisalhamento e o mesmo
módulo cisalhante, mas os sentidos dos cisalhamentos são opostos.
Com efeito, pois o recíproco de +cb* é - cb*, como facilmente se comprova; e
estes regem transformações inversas.
Nota: O Teor. 3 é válido também para o adjunto do cisalhante porque o adjunto e o recíproco do cisalhante são iguais.
§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos 365
Poliádicos - Ruggeri
§ 05.02,C - TL regida pelo : =ab*+bc
*,
com ab, ab*, ac*, bc* e b.b* = 1.
O diádico , de matriz associada
000
100
010
][ abc ,
é antitriangular (§09.09,II) e + pode ser representado na forma do produto não
comutativo de dois diádicos cisalhantes de direções ortogonais,
( ) ( ),bc . ab (24).
Logo:
A soma de um diádico antitriangular com o diádico unidade é sempre
decomponível num produto não comutativo de dois diádicos cisalhantes de
direções de cisalhamento ortogonais, o plano de cisalhamento do primeiro
sendo paralelo ao plano dos antecedentes do antitriangular (Fig. 05.04).
Se {a,b,c} e {a*,b*,c*} forem sistemas recíprocos com ab, ab*, ac*, bc* e
b.b* = 1 poderemos escrever sempre:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ab . bc bc . ab . ac (241),
Com efeito, lembrando que b.b* = 1 e .ac* = (ab*+bc*) .ac* =,
( ) ( ) ( ) ( ) ab . bc ac . ac ,
donde, considerando (24), tem-se a tese.
Ora, |a| |b*|, |b| |c*| e |a| |c*| são, respectivamente, os módulos dos cisalhantes do
segundo membro de (241); |a| |c*| vale o produto dos módulos de +ab* e +bc* dividido por
|b*| |b|, isso é, multiplicado pelo co-seno do complemento do ângulo dos planos de +ab* e
+bc*. Logo:
Teor. 1:
O produto, numa certa ordem, de dois cisalhantes de direções ortogonais, é
igual ao produto deles na ordem inversa pós-multiplicado pelo cisalhante
que tem a direção do primeiro, o plano do segundo e módulo igual ao
produto dos módulos dos fatores pelo seno do ângulo diedro dos seus planos.
§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos 366
Poliádicos - Ruggeri
Resumidamente, escrevemos, para o par ordenado (1, 2):
32112 ... (25),
donde a seguinte
Definição: (cisalhante complexo, comutante)
O diádico ( ) ( ),bc . ab com ab, ab*, ac*, bc* e b.b* =
1 denomina-se cisalhante complexo.
Ao cisalhante que pós-multiplicado pelo produto dos cisalhantes de direções
ortogonais de um par ordenado, implica o produto dos cisalhantes do par
inverso, denominaremos o comutante do par.
Teor. 2:
Se um cisalhante é comutante de um par (de cisalhantes de direções
ortogonais), o seu recíproco é comutante do par inverso.
Com efeito pois designando por '3 o comutante do par (2,1), escrevemos:
31221 ...
Mas sendo 3 o comutante do par (1,2) deduzimos desta igualdade, por pós-multiplicação
de ambos os seus membros por 3:
3312321 .....
Agora, considerando (25) e lembrando que 2.1 é completo, resulta:
I. 33 ,
donde a tese.
§ 05.03 - Reduções canônicas. Classificação geral dos diádicos.
Os autovalores reais ou imaginários e as suas possíveis multiplicidades permitiram
efetuar reduções nas expressões dos diádicos. São elas:
1°) - A, B, C reais: A B Caa bb cc , diádico tônico;
2°) - A, M + Ni, M - Ni:
)](sen+)(cos+[)]+(+A[ bccbccbbaa.ccbbaa ,
produto comutativo de um tônico (de autovalor duplo) por um cíclico;
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 367
Poliádicos - Ruggeri
3°) - A, B = C:
a) - A B(aa bb cc ), se A é planar e B linear ou unilinear,
diádico tônico (com um autovalor duplo);
b) - [ )] ( )A B(aa bb cc . cb se A é planar e B ortoplanar,
produto comutativo de um tônico (com um autovalor duplo) por um cisalhante (simples);
4°) - A = B = C:
a) - A = B = C = 0, ab bc ( é antitriangular), caso em que + é um
produto (não comutativo) de dois cisalhantes simples de direções ortogonais; denomina-se
cisalhante complexo;
b) - A = B = C 0, podendo ser:
A bc , caso em que A é ortolinear; é um diádico de
cisalhamento simples;
A , caso em que é tônico.
Tais reduções são denominadas canônicas porque a representação de um diádico
qualquer, dado ao acaso, pode sempre ser reduzida a uma delas.
Conseqüentemente, qualquer diádico pode ser classificado como um dos tipos
seguintes, ou como um produto deles, sete no total:
- os diagonalizáveis:
- três tônicos (com autovalores simples, um duplo e um triplo), pelos
quais as distâncias nas direções dos seus autovetores aumentam ou diminuem em diferentes
proporções, ou em proporções iguais em duas ou em três dessas direções;
- e os não diagonalizáveis:
- um cíclico, que rege rotações elípticas (diádicos de rotação incluídos);
- um cisalhante simples, que rege cisalhamento;
- um cisalhante complexo, soma de um antitriangular com o diádico
unidade, e que é fatorável no produto de dois cisalhantes simples.
Um resumo dos principais resultados deste § 05 está apresentado no Quadro V, no
final deste capítulo.
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 368
Poliádicos - Ruggeri
§ 06 – ROTAÇÕES (ELÍPTICAS E CIRCULARES).
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores.
Sejam { , , } { , , }a b c a b c e sistemas recíprocos,
(cc*,)= )(sen)(cos abbabbaacc (01),
um cíclico a eles associados115 e o diádico de rotação associado (similar) a esse cíclico,
( , )k
) kk ii jj ij ji cos sen , (02),
k sendo o seu eixo, o seu ângulo de giro (o argumento do cíclico) e ( , i j) o par de semi-
diâmetros da circunferência de que se projeta no par (a,b) de semi-diâmetros conjugados
da elipse de (Figura 05.02, § 05.02,A).
Como esses diádicos são similares, eles têm os mesmos autovalores, a saber: 1, ei e
e-i; têm , também, necessariamente, o mesmo escalar 1+2cos, sendo, então:
-1(cc*,)E=E),ˆ(
k
3, (011).
Se v() é a projeção do vetor genérico v paralelamente a c sobre o plano (a,b),
escrevemos:
bbvaavv ).().( )()()(
, sendo )(*)( vcv.cv .
Conforme vimos (§ 05.02,A), se r() é o vetor de argumento da elipse de semi-diâmetros
conjugados a e b, paralelo a v(), e se K=|v()|/|r()|, então v()=Kr() e v=(v.c*)c+ Kr(),
sendo )sencos(K)( bav . Tem-se, ainda:
v´=(cc*,). )(K)( vcv.cv , pois, (cc*,).v()=v(+).
Como |v()|≠|v(+)|, resulta que |v´|≠|v|.
Seja, agora, u um vetor arbitrário em módulo e sentido, mas paralelo à interseção
dos planos ortogonais (a,b) e (c,c*). Nesse caso particular, o ângulo de u com c é o
complemento do ângulo de c com c*. Ora, (cc*,).c=c. Como (cc*,).u=u' é elipticamente
rodado de u, o ângulo de u' com c, nesse caso particular, será evidentemente diferente do
ângulo de u com c; no caso geral, então, essa diferença fica também comprovada.
Logo, podemos enunciar:
Teor. 1:
Nas rotações elípticas as distâncias e os ângulos não são conservados, em
geral.
115 Para o que interessa daqui a diante será mais interessante essa forma de representação do cíclico que é, evidentemente, tão legítima quanto a utilizada no § 05.02,A.
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 369
Poliádicos - Ruggeri
•
Escrevamos o cíclico (01) na forma
(cc*,) a r bs cc r a b s a b( ) , com cos sen sen cos .
Tem-se, como é fácil calcular:
( ) ( )rsc a b c ,
existindo, pois, o sistema recíproco de },,{ csr ; encontramos, facilmente:
- homólogo de (-r): cos sen a b ;
- homólogo de s: sen cos a b ;
- homólogo de c*: c.
Então podemos escrever o principal (§08,II) do cíclico na forma
(cc*, )P (cos sen ) + (sen cos + a a b b a b c c ) (03),
ou, ainda, na forma
(cc*, )P cos ( ) sen ( ) c c a a b b a b b a (04).
Então, o principal do cíclico é ainda um cíclico de eixo c e ângulo , isso é:
(cc*,)P = (c*c,), (05).
Transpondo em (04), temos, lembrando que o transposto do principal é igual ao recíproco:
(cc*,)-1 cos ( ( ) sen ( ( ) cc aa bb ab ba ) ) (06),
ou seja,
(cc*,)-1 = (cc*,-), (061).
Transpondo em (01), vem:
(cc*,)T cos ( ) sen ( ) c c a a b b a b b a( ) ( ) =(c*c,-) (07),
expressão formalmente idêntica à (04) onde se troque por - ; então:
(cc*,)T = (cc*,-)P, (071).
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 370
Poliádicos - Ruggeri
Em resumo:
(cc*,)≠(cc*,)T=(c*c,-)=(c*c,)
-1 =(c*c,)P
-1
(cc*,)≠(cc*,)-1
=(cc*,-) , (08).
(cc*,)≠(cc*,)P=(c*c,)=(c*c,-)-1
=(cc*,)-T
Deve ser observado que (cc*,) e seu inverso têm o mesmo eixo c*, o mesmo autovetor c e
argumentos opostos; similarmente, (cc*,)T e seu inverso (o principal de (cc*,)) têm o
mesmo eixo c, o mesmo autovetor c* e argumentos opostos.
No caso de rotação circular existe, entretanto, a igualdade
( ) ( ) ( ) ( )k k k k, P , ,
T
,
, ou
1, (081),
porque o sistema {, , }i j k é auto-recíproco idêntico. Logo:
Teor. 2:
Se um diádico é de rotação (circular) ele é igual ao seu principal; ou, o seu
transposto é igual ao seu recíproco.
Como preliminar à demonstração da recíproca desse teorema provaremos o seguinte
Teor. 3:
Se um diádico é igual ao seu principal, os seus autovalores são
1, e e ei i .
Se P
, então T 1 e . .T T ; logo 3
1 e, considerando ((10),
§ 08.01,II): T 1 ~ . A equação característica desse diádico é, então:
X X X 1= 03
E
2
E ,
expressão em que os sinais se correspondem. A unidade positiva ou negativa é,
evidentemente, um autovalor do diádico, e, se B e C são os outros dois,
2cosCB1E e BC=1.
Então, B e C são as raízes da equação
X X2
E ( ) 1 1 0
pois
X X X 1 X3
E
2
E ( )1 [X X2
E ( ) ] 1 1 0.
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 371
Poliádicos - Ruggeri
Para que B e C sejam reais é CNS que ( )E1 42 , ou seja, , ou B C 2. Mas B C = 1;
logo deve ser (B 1)2 0, ou (B 1)2 0.
A primeira hipótese só é admissível se for B = - 1, caso em que será também C = - 1,
ou seja A = 1 e B = C = - 1. Então o diádico ou tem um autovalor duplo ou um autovalor
triplo. No caso de autovalor duplo, é linear e é tônico com um autovalor duplo
(Teor. 2, § 04.02); no caso de autovalor triplo, é ortolinear e pode ser reduzido à
forma jk , com j.k 0 (Teor. 3, § 04.03).
A segunda hipótese ((B 1)2 0) é sempre possível, mesmo para B = ± 1, caso em
que A = ± 1 e B = C = ± 1, ou seja, o diádico tem autovalores duplos ou triplos. Esse caso,
então, é idêntico ao anterior (se B = ± 1). Se for B ± 1, será A = ± 1 e B C ± 1 e será
tônico com autovalores distintos.
O caso ortolinear (implicado na primeira hipótese) é inadmissível porque
sendo, então, jk , ou seja ( ) ii jj j k k , é P ( ) ii j k j kk kj , isso
é, P
, o que é absurdo.
O caso (implicado na primeira hipótese e na segunda) em que possa ser tônico com
A=±1 e BC±1 (alem, é óbvio, de B0 e C0), também é inadmissível. Com efeito,
conforme Teor.6, §04.01,B, esse diádico pode ser escrito na forma geral Ai i
ie e onde
A1=A, A2=B ... e os ei são os autovetores de . É fácil comprovar que P j
j
jA ) ( /1 e e ,
não sendo possível comparar esses diádicos nessas formas (pois não têm os mesmos
antecedentes e os mesmos conseqüentes). Podemos, entretanto, escrever:
A Ei
i j
i je e com E i j i j e .e
e ji
jP E)A/1( com ijijji EE .ee .
Como =P,
ijj
jij
iji E)A/1(E)A/1(EA :ji, ,
de onde podemos deduzir (impondo a condição de que esses diádicos devam ter o mesmo
vetor, igualando as coordenadas desses vetores e resolvendo o sistema formado) que
A=B=C=1, o que é um absurdo.
Os autovalores B e C devem ser, pois, complexos conjugados. Ponhamos: B=M+Ni
e C=M-Ni. Como BC=1, M2+N2=1, isso é, os módulos de B e C são unitários; então B=ei
e C=e-i, com M=cos e N=sen.
Teor. 4: (recíproco do Teor. 2)
Se um diádico é igual ao seu principal (ou seu transposto é igual ao seu
inverso), esse diádico é de rotação:
P cos sen ) kk ii jj ij ji , (09),
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 372
Poliádicos - Ruggeri
Pelo Teor. 3 o diádico tem os autovalores complexos 1, ei
e e-i
; pelo
Teor.1,§04.01,A, existem bases recíprocas em relação às quais podemos escrever esse
diádico na forma:
cos ( + ) +sen ( + ) cc aa bb ab ba ,
caso em que
abc
cos -sen 0
sen cos 0
0 0 1
, (a).
No caso geral, se j
i
i
j a a , então kr
rk 3
1 )/1( aa , sendo k
r o complemento
algébrico (ou co-fator) de r
k no determinante
|, conforme §09.08,II. Então,
1
Acos -Asen 0
Asen Acos 0
0 0 1
cos -sen 0
sen cos 0
0 0 1
,
pois 3=A=±1. Mas, sendo =P,
][][][][ 1T
1
P
, (b),
e, conforme ((041)3, § 09.03, II),
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 G G. . , ou [ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 G G. . , (c),
porque [ ] [ ]G e G são inversas. Sendo, ademais, (§ 09.02, II)
[ ]G
a. a a.b a. c
b.a b.b b. c
c. a c.b c. c
,
e considerando (a) e (b), escrevemos (c) na forma:
cos -sen 0
sen cos 0
0 0 1
.
a.a a.b a.c
b.a b.b b.c
c.a c.b c.c
a.a a.b a.c
b.a b.b b.c
c.a c.b c.c
.
cos -sen 0
sen cos 0
0 0 1
.
Operando temos, no primeiro membro:
a b. a a.b b a. c b. c
a b. a a.b b a. c b. c
c. a c.b c. c
2
2
cos ( )sen cos sen cos ( sen
sen cos sen cos sen ( cos
2
2
( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) )
( ) ( ) ( )
,
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 373
Poliádicos - Ruggeri
e no segundo,
a a.b a a.b a. c
b. a b b. a b b. c
c. a c.b . a c.b c. c
2 2
2 2
cos sen - sen cos
cos sen sen cos
cos sen -(c sen cos
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ) ( ) ( )
.
Igualando as coordenadas homônimas dessas matrizes deduzimos, sem delongas:
- da 1ª) linha e 1ª) coluna: a . b = 0;
- logo, da 1ª) linha e 2ª) coluna: |a| = |b|;
- da 1ª) linha e 3ª) coluna: - (b . c) sen = (a . c)( 1 – cos );
- da 3ª) linha e 1ª) coluna: (b . c) sen = (c . a)( 1 – cos ). Então, desta condição e
da última obtida resultam: b . c = 0 e, por isso, c . a = 0;
- da 3ª) linha e 3ª) coluna vemos que |c| é arbitrário.
Concluímos, em resumo, que se P
, a base {a,b,c} é triortogonal, devendo ser
|b|=|a| e |c| arbitrário. Então podemos fazer a i b j c k , e e escrever na forma (09).
Corol. 1:
A CNS para que um diádico seja de rotação é que ele seja igual ao seu
principal, ou que o seu transposto seja igual ao seu inverso:
PT, ou 1
cos sen ) kk ii jj ij ji , (10),
expressão na qual {, , }i j k é um sistema direto de unitários triortogonais.
•
Deve ser observado que o ângulo de rotação é menor que radianos. Com efeito,
para <<2 pode-se sempre substituir por (2-), uma vez que
e = cos(2 ) isen(2 ) = e ,
e = cos(2 ) + isen(2 ) = e .
i i(2
i i(2
)
)
Isto equivale a uma rotação num sentido, de ângulo maior que radianos, ou uma rotação
em sentido contrário, de ângulo menor que radianos.
*
Exercícios:
1) - Todo diádico de rotação tem norma igual a 3. (Sugestão: considerar
((19),§08.01) e (10)).
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 374
Poliádicos - Ruggeri
2) - O vetor de um rotor é um de seus autovetores, ao qual correspondente a unidade
positiva como um de seus autovalores: V V
. . Ou, o que é o mesmo: Todo rotor
rege uma rotação em torno do suporte do seu vetor.
*
Caracterização dos cíclicos e rotores.
Para simplificar a notação em estudos posteriores, escreveremos doravante um
ciclotônico na forma
A M( Ncc aa bb ab ba) ( ), (11),
e seu fator cíclico na forma correspondente
( , )( ) ( )
cccc aa bb ab ba
+ cos + sen , (111).
Conforme garante o Teor. 1, § 04.01, c deve ser o autovetor deles e c* o eixo do cíclico (§
05.02,A). Os demais vetores que comparecem numa qualquer de suas representações
constituem sistemas recíprocos, mas são totalmente arbitrários; o que significa que os
cíclicos e os ciclotônicos podem ser escritos de infinitas maneiras com a mesma díade cc*.
Então um cíclico não fica caracterizado apenas pelos vetores c e c* -
respectivamente seu autovetor e seu eixo – tais que c.c*=1, e pelo argumento de giro, ,
argumento dos seus autovalores complexos (conjugados). De fato, as projeções dos pontos
do espaço (extremidades dos vetores pacientes), sobre o plano ortogonal ao eixo,
descreverão elipses homotéticas de diferentes razões de homotetia. Para que um cíclico
fique caracterizado é necessário especificar a família de elipses homotéticas no plano
ortogonal ao eixo. Essa especificação é feita ao escolher-se o par de vetores (a,b), isso é,
dois dos semi-diâmetros conjugados de uma elipse da família.
Em resumo: um cíclico fica univocamente caracterizado por um terceto de vetores
independentes e um ângulo.
*
Exercício:
Provar que existe e estudar o cíclico cujo argumento de giro elíptico seja igual ao
ângulo formado pelo seu autovetor e o seu eixo.
*
Os rotores, por outro lado, podem ser caracterizados de uma forma mais simples,
posto que (§ 06.01), para eles, c=c*= k , isso é, o seu eixo é o seu próprio autovetor. Assim,
qualquer vetor paralelo a k e cujo módulo seja uma função definida de caracterizará
perfeitamente a rotação. Tem-se, como facilmente se constata por (02):
k sen2V e cos21E , (12),
donde
kq ˆ2
tg1 E
V
, (13)
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 375
Poliádicos - Ruggeri
Definição: (vetor semitangente de rotação)
O vetor q, dado por (13), será denominado vetor semitangente de rotação,
e caracterizará evidentemente a rotação de ângulo e eixo k regida por .
Nota: É necessário observar-se que, não obstante o vetor q caracterize uma rotação, não tem sentido “somar” duas rotações definidas por q1 e q2 simplesmente somando esses vetores. Como veremos (§06.03,A,Teor. 16), as rotações são compostas por “produtos” e o vetor semitangente correspondente será calculado como função de q1 e q2 algo diferente de
simples soma.116
Como o rotor é um cíclico particular, dois rotores que tenham, sabidamente, o
mesmo eixo (logo, o mesmo autovetor), digamos, k , podem ser escritos na forma (02), §
06.01, correlata de (111):
( , )
) k
kk ii jj ij ji cos sen , (14),
e
( , )
) k
kk ii jj ij ji
cos sen , (141),
Consideremos o rotor que transforma pontos Ai, de vetores posicionais ai, em
pontos Bi de vetores posicionais bi em relação a um ponto arbitrário O do eixo do rotor (que
denominaremos origem ou centro da rotação). Escrevemos: b .ai i= .
Para dois pontos arbitrários A1 e A2 tem-se, também:
b b . a a2 1 2 1 = ( ), donde ( ) ( ) ( ) ( )Tb b a a . . . a a
2 1
2
2 1 2 1 ,
ou seja, considerando (10): ( ) = ( )b b a a2 1
2
2 1
2 . Em vista da arbitrariedade dos pontos
A1 e A2 podemos concluir:
Teor. 5:
Nas rotações as distâncias são sempre conservadas,
contrariamente ao caso das rotações (elípticas) com cíclicos.
Corol. 1: Na rotação, o ângulo de duas direções quaisquer é sempre conservado.
Com efeito, o produto escalar dos vetores b1 e b2, respectivamente transformados
dos vetores a1 e a2 mediante , pode ser escrito na forma:
b .b .a . .a a . . .a a .a1 2 1= ( ) ( ) = ( ) = .1 2T
2 1 2
116 Em outras palavras: o vetor semitangente de rotação não é um tensor (pois há vetores que não são tensores).
Como a rotação conserva os módulos dos vetores: |b1| = |a1| e |b2| = |a2|; logo,
cos( , ) = cos( , ), ou, ( , ) = 2k ( , ),2 2b b a a b b a a1 1 2 1 2 1
isso é, (b1,b2) = (a1,a2) uma vez que o ângulo de duas direções é sempre positivo e menor
que rad.
§ 06.01 - Propriedades geométricas dos cíclicos e rotores. 376
Poliádicos - Ruggeri
Corol. 2:
Um diádico de rotação transforma um terceto de vetores que formem
entre si certos ângulos, num outro terceto que, correspondentemente, têm
os mesmos módulos e formam entre si os mesmos ângulos,
ou, o que é o mesmo:
Todo diádico de rotação transforma um tetraedro num outro tetraedro
congruente com o primeiro.
Por conseqüência deste corolário, a transformação regida por é denominada,
também, uma transformação normogonal (ou congruente) pelo fato de manter as normas
dos vetores e seus ângulos.
Generalização de conceitos clássicos.
Definição: (tercetos normogonais, ou congruentes)
Dois tercetos positivos quaisquer de vetores, { , , }g g g1 2 3 e { , , }e e e1 2 3 tais,
que para todo i,j=1,2,3, | | | |g ei i e ângulos ( , ) ( , )g g e ei j i j , serão ditos
tercetos de vetores normogonais (ou congruentes), ou, simplesmente,
tercetos normogonais.
Resulta da definição que pares de sistemas ortonormados são sistemas
normogonados (muito particulares): aqueles cujos ângulos entre os vetores (unitários) de
um sistema e outro são todos iguais a um reto.
Por conseqüência do Corol. 2, Teor.1, §02.04, II, existirá sempre um e um único
diádico que transforma um terceto num outro que lhe seja normogonal. Se, então, ii .eg ,
tem-se i
ieg e jkji
kijjik
kiP ))(()()( eg.ee.gge.eeg.gg .
Da normogonalidade dos tercetos deduzimos,
jiji .gg.ee e kj j
kji
ikji
ik ))(())(( .gg.gg.gg.ee.gg .
Podemos, assim, escrever jj
jk
kj P egeg . Então, concluímos:
Teor.6: (direto)
Se duas bases são normogonadas, o diádico de mudança de uma base para a
outra é igual ao seu principal, ou seja é um diádico de rotação.
Aplicando o Teor. 6 para duas bases normogonadas (ou congruentes), em dois
sentidos opostos, vemos que se =P num sentido, deve ser -1
=-1
P=T no sentido oposto,
isso é: se um diádico é igual ao seu principal, o seu transposto é igual ao seu inverso
(conforme já sabíamos, Teor. 2).
O recíproco do Teor. 6 é verdadeiro, isso é,
Teor. 7: (recíproco)
Se um diádico de mudança de base é igual ao seu principal (ou um diádico
de rotação), as bases são congruentes.
§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. 377
Poliádicos - Ruggeri
Seja o diádico de mudança da base {e*} para a base {g*}, isso é, gi=.ei para
i=1,2,3. Então: =giei; e devendo ser =P, será também, necessariamente,
T=
-1. Tem-se,
então, para quaisquer i,j=1,2,3: gi.gj=ei.(T.).ej, ou seja, gi.gj=ei.ej. Logo, os tercetos são
normogonados.
Corol. 1:
A CNS para que duas bases sejam congruentes é que o diádico de
mudança de uma base para a outra seja um diádico de rotação.
Corol. 2:
A CNS para que um diádico seja um diádico de rotação é que ele seja
redutível a uma forma trinomial iieg de que os conseqüentes {e
1, e
2,
e3} sejam os recíprocos de um terceto {e1, e2, e3} congruente com os
antecedentes {g1, g2, g3}:
1,2,3)ji,( jijii
iP .ee.ggeg , (15),
ou,
A CNS para que uma diádico seja um diádico de rotação é que ele seja
redutível a uma forma trinomial iieg de que os antecedentes {g1, g2,
g3} sejam os recíprocos de um terceto {g1, g
2, g
3} congruente com os
conseqüentes {e1, e
2, e
3}.
Este Corol. 2 generaliza um teorema clássico de Gibbs:
A CNS para que um diádico seja de rotação é que ele seja redutível à
forma
' ' ' ,ii jj kk (16),
onde { , , }i j k e { ' , ' , '}i j k são dois tercetos de unitários triortogonais.
Resulta então dessas considerações que, dadas duas bases congruentes, existe um e
um único diádico de rotação que as superpõe com uma única rotação117. Seja, então, um
diádico de rotação que “roda” (ou pode superpor) duas bases congruentes. Se k é o unitário
do seu eixo de rotação e é o seu ângulo, isso é, pondo
jiijjjiikkk
ˆˆˆsenˆˆˆˆcosˆˆ),ˆ(
,
então
117 Veremos no Tomo II, que esse teorema permitirá uma exposição da Mecânica Racional onde, com ganho de generalidade e sem prejuízo da simplicidade, os triedros triortogonais darão lugar aos "triedros quaisquer".
iiVV
ˆsen2 egk e iiEE cos21 .eg .
Assim, calculados o vetor e o escalar do diádico por meio dos vetores dos sistemas
normogonados, poderemos determinar o eixo k e o ângulo de rotação de . Com efeito,
lembrando que, conforme (011), § 06.01, para 0 e , é 1 3E
:
§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. 378
Poliádicos - Ruggeri
))(1-(3ˆ
EE
V
k e
2
1cos E
.
•
Se dois diádicos e são similares mediante (o completo) , escrevemos:
. . . .T T ou =, (17),
caso em que e são ditos, também, normogonalmente similares mediante . No caso
particular de bases ortonormadas, e são ditos ortogonalmente similares.
Definições:
Diremos, doravante, que os pontos ou os vetores são rodados pelo diádico de
rotação em torno do seu eixo de um ângulo igual ao seu ângulo de rotação.
Por analogia com os conceitos do § 02.02,
os diádicos e que satisfazem as igualdades (17), serão ditos, também,
rodados por ; e nesse caso particular, as leis (17) serão ditas leis de
rotação dos diádicos e . A direção do vetor de um rotor denomina-se,
também, o seu eixo de rotação.
§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias.
Vimos (§05.02,A) que o terceiro de qualquer diádico cíclico é 1. Portanto é 1 o
terceiro de qualquer rotor, o que também pode ser confirmado calculando-se o terceiro de
por (15); pois deve ser: 3=(g1g2g3)(e1e
2e
3), com (g1g2g3)=(e1e2e3)=(e
1e
2e
3)
-1. Nesse caso, o
sinal será positivo se os triedros forem ambos de mesma paridade (são ambos diretos ou
ambos indiretos); e negativo se um é direto e o outro indireto.
Definições:
Diz-se que os rotores com terceiro positivo regem uma rotação própria. Os
demais rotores regem uma rotação imprópria. Os primeiros denominam-se
rotores próprios e os segundos, impróprios.
Teor. 1:
Nas rotações próprias os volumes se transformam identicamente; nas
impróprias, são números simétricos.
Com efeito, pela propr.3 das TL's (§ 01.01), o terceiro de um diádico é igual à razão
dos volumes transformados; logo, nas rotações próprias eles são iguais e nas rotações
impróprias são números simétricos.
Teor. 2:
O inverso de um rotor próprio e o de um impróprio são, respectivamente,
rotores próprio e impróprio.
§ 06.02 - Rotações próprias e impróprias. 379
Poliádicos - Ruggeri
Se = P, então 1 1P . Mas, conforme ((171), § 08.01,II), P P
1 1( ) .
Logo, 1 1P , isso é, 1, por ser igual ao seu principal, é um diádico de rotação.
Como ( ) . 13 3 3
131 os terceiro de rotores recíprocos devem ser do mesmo
sinal, isso é, ou são ambos próprios ou ambos impróprios.
Teor. 3:
O produto de dois rotores é rotor próprio se ambos são próprios ou
impróprios; o produto é impróprio se um próprio e o outro impróprio.
Sejam e dois rotores próprios, isso é, tais, que:
T 1 T 13 3
e com +1.
Escrevendo = ., temos, multiplicando membro a membro as expressões acima e
considerando ((01), § 05.03,II) e ((02), § 08.03,II):
com +1.T 13 3
3
Também, escrevendo ' = ., temos:
T T 1 1 T 1 , ( ) ( ). . . . ou, ( ' ) ( ' ) , com ' +1,T 13
isso é, e ' são diádicos de rotação próprios. Se e fossem impróprios teríamos
também: 3 = '3 = +1.
Fica evidente a segunda parte da demonstração do teorema.
Corol. 1:
A rotação regida pelo rotor impróprio é equivalente à rotação regida
pelo rotor próprio - seguida de uma simetria em relação à origem.
Com efeito, pois tem-se: = (- ).(- ).
Nota:
Por este corolário, vê-se que é suficiente estudar as rotações próprias; é o que faremos
doravante salvo onde for observado o contrário.
Exercício:
Uma combinação linear de diádicos de rotação nunca é um diádico de rotação.
§ 06.03 - Composição de rotações (elípticas e circulares).
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos.
Cíclicos e rotores biquadrantais.
Definição:(quadrantais e biquadrantais)
Diádicos quadrantais e biquadrantais são, respectivamente, cíclicos de
ângulo de giro igual a /2 e radianos.
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 380
Poliádicos - Ruggeri
Se c e c* são o autovetor e o eixo de um cíclico (logo, também do quadrantal e
biquadrantal do qual derivam) podemos escrever, no caso do biquadrantal:
(cc*,)=2cc*-I, com c.c
*=1, (01),
devendo observar-se, de imediato, que o ângulo de c com c* é agudo e que |c||c*|1. O
plano do cíclico (plano ortogonal ao eixo c*) é, também o plano do biquadrantal.
Notação para os biquadrantais
Considerando que o ângulo de giro tem um valor específico, inequívoco, podemos
simplificar a notação pondo
( , )cc cccc
2
( ), (011),
sendo, então
E
( ) ( )
:cc cc
1, (012).
*
Os autovalores de um biquadrantal são: 1, ei=e i =-1, isso é, os biquadrantais são
diádicos tônicos com um autovalor duplo (§ 04.02). Ao autovalor duplo corresponde o
diádico característico linear ( )cc
cc 2 . Conforme o Teor. 2, (§ 04.02), existem
sistemas de vetores recíprocos em relação aos quais podemos dar ao biquadrantal a forma
diagonal. Utilizando c e c* para se constituírem esses sistemas, escrevemos:
( )
[( )( ) ( )( )]cc
cc a a b b , (013),
expressão na qual { , , } { , , } a b c a b c e constituem sistemas recíprocos. A
equivalência entre (01) e (013) é clara pois podemos escrever: aa bb cc .
A interpretação geométrica da transformação regida por um biquadrantal é,
evidentemente, a mesma relativa aos cíclicos, mas com um ângulo de giro igual a
radianos. Portanto ( )cc reflete obliquamente qualquer vetor em relação ao seu plano,
paralelamente ao seu autovetor (ver §02.05), operação essa realizada no plano ortogonal a
esse plano e que contém o vetor. Essa transformação generaliza a operação elementar
denominada reflexão; poderíamos denominá-la reflexão obliqua.
Por ser, evidentemente,
(cc*,)2=I,
resulta
Teor. 1: Todo biquadrantal é igual ao seu recíproco, tem terceiro igual + 1 e escalar
igual a - 1.
Como, para todo cíclico, o adjunto e o recíproco são iguais, tem-se, em resumo:
( ) ( ) ( ) ( )
~cc cc cc cc T1 , (014),
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 381
Poliádicos - Ruggeri
mas
( ) ( )
~
( ) ( )cc cc cc cc
E E
E E
T 1 1, (015).
Teor. 2: (recíproco)
Se é um diádico igual ao seu recíproco ( 1), se tem terceiro igual a +
1 e escalar igual a - 1 ( 3 1 E ), então é um biquadrantal.
Se o terceiro de um diádico é igual a + 1, o seu adjunto é igual ao seu recíproco.
Como, por hipótese, 1 , resulta, 1 ~ e, logo, E E ~
1. Então a equação
característica do diádico é X X X X X3 2 1 0 1 1 2( )( ) ; e seus autovalores: 1, - 1,
-1. Mas
TT ~
ET ~ ~ ~ )( ) )(
2
1)(
,
de onde concluímos que ( )~
E 0. Então (Teor. 1, § 04.02), só pode ser
ortoplanar ou linear. Entretanto, por ser ( ) ( ) 2 2 2 2 , esse diádico não
pode ser ortoplanar (Corol. 2, Teor. 4, § 05.04, II). Então, sendo linear, podemos
escrevê-lo na forma 2tt . Mas, sendo
( ) E E E 1 3 2,
resulta que se deva fazer t. t 1. Então, o diádico é um biquadrantal.
Corol. 1: A CNS para que um diádico seja um biquadrantal é que ele seja igual ao
seu recíproco, tenha terceiro igual a + 1 e escalar igual a - 1.
Teor. 3:
O módulo de qualquer biquadrantal é finito e no mínimo igual a 3 .
Com efeito, tem-se, conforme a definição de norma (§ 07.07, II):
|| || ( )( )
tt
tt : tt t t 2 2 1 4 02 2 ( ) .
Mas, sendo t . t* = 1, isso é, t t t t2 2 sec2 ( , ) , tem-se:
|| || ( , )( )
tt
t t 1 4 sec2 .
Como 0 1 cos2 ( , )t t , resulta:
3 , ou 3 || || | |( ) ( )
tt tt
, (016),
•
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 382
Poliádicos - Ruggeri
O diádico característico relativo ao autovalor + 1,
( )
( )cc
cc 2 , (02),
é, evidentemente, planar uma vez que c e c* podem ser usados para uma representação de I;
seu escalar vale - 4:
( )( )
cc
E 4 , (021).
O adjunto desse diádico, uniplanar (de plano coincidente com o plano do biquadrantal), é
( ) ( )( )
~
cccc c c 2 , (03),
e seu escalar
( )( )
~
cc E
4 , (031).
Assim, a equação característica de ( )cc
é X(X X2 4 4 0) e seus autovalores 0, -2
e -2. Seus autovetores são, então, c e cc .
Os autovalores do diádico linear ( )cc
cc 2 são 0, 0 e 2; seus autovetores são
os mesmos de ( )cc
: cc e c.
Produto de biquadrantais.
Consideremos os biquadrantais
( ) ( )tt ss
tt ss 2 2 e , com t. t s. s 1 (04),
independentes por hipótese, nessa ordem; e representemos por o produto deles, isso é,
seja
= ( ) ( )tt ss
. , (05).
O diádico é completo por ser um produto de diádicos completos (biquadrantais);
seu terceiro vale + 1. Logo, lembrando ((11), § 08.01, II), ~ 1 . Expressando em
função dos autovetores e dos eixos dos seus fatores, vem:
2 4( ) ( )tt ss t . s ts , (06),
sendo
E ) 1 4( )(t . s t. s , (061).
Invertendo (05) e considerando as (014), deduzimos:
1 2 4( ) ( )
( ) ( ) ~ss tt
. tt ss t. s st , (062),
e
E E E ET ~ 1 , (063).
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 383
Poliádicos - Ruggeri
Reconhecemos imediatamente, pela expressão (062), quando comparada com as
propriedades (014) dos biquadrantais, que
o produto de dois biquadrantais em geral não é um biquadrantal,
(tão pouco um cíclico), porque 1.
É fácil comprovar que
)1())((4)( ET~~ stst , (07),
de onde deduzimos, facilmente,
( )~ E E3 , (071).
A expressão do adjunto do produto em função dos autovetores e eixos dos fatores pode
também ser deduzida sem dificuldades:
))((4)(4)(2)])((43[~ ststts.stttsst.s.st , (072).
De (072), de (061) e (062) podemos confirmar (063) facilmente.
A equação característica de é
X X X 1 03E
2E , (08),
a qual é satisfeita para X = 1. Então
X X X 1 (X )[X X 1] = 03E
2E
2E 1 1( ) , (081),
e os autovalores de são:
A = 1, B = R R2 1 e C = R R2 1 , (082),
sendo
R )E
1
21 2( )(t . s t. s , (083).
Teor. 4: Um autovetor de um produto de biquadrantais relativo ao autovalor +1 é o
produto vetorial dos unitários dos seus eixos.
Com efeito, pois, pós multiplicando escalarmente ambos os membros de (06) por st tem-se:
sts.t , (084).
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 384
Poliádicos - Ruggeri
Resultam imediatamente de (082) e (083):
Teor. 5:
A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja cíclico é que o seu
escalar seja maior que - 1 e menor que 3.
Teor. 6:
A CNS para que o produto de dois biquadrantais seja tônico é que o seu
escalar seja maior ou igual que 3 e menor ou igual que -1.
Esses resultados são ilustrados pela Fig. 06.01.
Biquadrantais cujo produto é um tônico de escalar -1.
Se for R E 1 , então ( )( )t . s t . s 0, isso é, o autovetor de um dos fatores
biquadrantais é ortogonal ao eixo do outro fator. Reciprocamente, se o autovetor de um
fator biquadrantal de um produto é ortogonal ao eixo do outro fator, o escalar desse produto
é - 1. Em resumo:
Teor. 7:
A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais seja - 1 é que o
autovetor de um fator e o eixo do outro sejam ortogonais:
( )( ) ( )
tt ss
. t .s E 1 0 , ou t . s 0, (09).
Então, se E 1 o diádico é ortoplanar. Com efeito, aplicando a segunda
fórmula do Exerc. 1, § 08.01,II, e observando que 2 E E: ~ , temos:
( ) 3 3 3 2 2 1 1 0 E E: : .
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 385
Poliádicos - Ruggeri
Por outro lado deduzimos, aplicando diretamente a definição de adjunto:
( )~ ~ ( ) ~ TE
T ; logo, ( )~ E 0,
porque, lembrando (063),
~ ET
E E 1.
Então ( )~ é ortolinear e, portanto, é ortoplanar (Corol. 4, Teor. 2, § 08.01,II).
Reciprocamente, se é um produto de biquadrantais e é ortoplanar, então
E 1. Pois, sendo
( )~ [ ~ ( ) ] ~ ( ) ET
E E ET
E E1 3 1 ,
e devendo ser ( )~ E 0, a reconsideração de (063) acarreta E 1. Então:
Corol. 1: A CNS para que o escalar de um produto de biquadrantais valha - 1 é que a
soma desse produto com o diádico unidade seja um diádico ortoplanar,
ou, o que é o mesmo:
Corol. 2: A CNS para que o autovetor de um fator de um produto de biquadrantais
seja ortogonal ao eixo do outro fator é que a soma desse produto com o
diádico unidade seja ortoplanar.
Devemos considerar ainda que
Teor. 8:
Se ( )tt
e ( )ss
são biquadrantais e o autovetor de ( )tt
é perpendicular
ao eixo de ( )ss
, o plano dos autovetores, (s,t), e o plano dos eixos, (s*,t*),
não podem ser ortogonais.
Com efeito, se os referidos planos fossem ortogonais, seria nulo o produto escalar
)()( ts.ts , pois seus fatores são ortogonais a esses planos. Mas isso é um absurdo
porque esse produto vale 1:
11
01)()(
t.st.tt.s
s.ts.sts.ts , (A).
Expressão cartesiana para .
Procuremos dar a uma expressão referida a sistemas recíprocos.
A normal comum a s* e a t* é a interseção dos planos *) e *) ortogonais a esses
vetores. Ora, 2ss* - I, usado com pré-fator, roda elipticamente um vetor qualquer, c,
paralelo à interseção de *) com *), de rad no plano *). Pois 2ss* - I, acrescentando
rad ao argumento de c em qualquer elipse de *) que o tenha por raio vetor, o transforma
em - c. O vetor - c, agora considerado raio vetor de qualquer elipse do plano *), terá
também seu argumento acrescido de rad, o que o transformará em c. Logo, o diádico
mantém a direção de c invariante no espaço, sendo, pois, tal direção a direção de um dos
seus autovetores.
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 386
Poliádicos - Ruggeri
Raciocinando analogamente podemos concluir que um vetor qualquer, c*, paralelo à
interseção dos planos ) e ), respectivamente ortogonais a s e t, é mantido no espaço por
ação de T.
Pondo tsc e tsc , tem-se c.c* =1, conforme a expressão (A).
Escolhamos arbitrariamente no plano (s,t) dos autovetores um vetor a ortogonal à
interseção desse plano com o plano (s*,c*), ou seja, ortogonal ao plano (s*,s) do
biquadrantal ( )ss
. Então ( )sac 0 porque c, que é ortogonal ao plano (s*,t*) dos eixos,
não pode ser paralelo ao plano (a,s), ou melhor, ao plano (s,t) dos autovetores. De fato,
conforme já foi demonstrado (Teor. 11), os planos (s,t) e (s*,t*) não são ortogonais. Vamos
dar um sentido a a de forma que o ângulo de a com t* seja agudo e ajustar o seu módulo
convenientemente quando for oportuno. Então o homólogo de c no sistema recíproco de
{s,a,c} é c* porque esse vetor é ortogonal ao plano (a,s) e c.c* = 1, Fig.06.02.
O homólogo de a é sccas )( , um vetor do plano (s*,t*) dos eixos, ortogonal a s
e a c. Esse vetor é, pois, paralelo a t* porque s.t* = 0 e c . t* = 0. Pondo tsccas M)( , tem-se M ( )( )cst s a c porque t.t* = 1. Mas, sendo a.t* > 0 e
( )( )csa s a c a.t M( ) 1 resulta M > 0, isso é, o vetor c s tem o mesmo sentido de t*.
O homólogo de a é, pois, ( )( )cst s a c t . Ajustando, agora, o módulo de a de forma que
( ) ( )cst sac , o homólogo de a é t*, sendo, então, a . t* = 1.
O homólogo se s é cacas )( , um vetor do plano (s*,t*) dos eixos mas paralelo a
s* porque a, por construção, é ortogonal ao plano (s*,c*). Pondo scacas P)( vem
( )( )sac s a c P 1.
Em resumo: os sistemas { , , }c s a c s t e { , , } são recíprocos. A Fig. 06.02, na
qual D e D* são pontos do eixo associado ao sistema (§ 03.03, I), ilustra esses resultados.
Então, 12
( ) ( ) ss tt at ss cc ss tt ,
isso é,
12
( ) ( ) cc a t t .
Lembrando que a . t* = 1 tem-se (a - t) . t* = 0. Então, o vetor a - t é ortogonal a t*.
Mas sendo esse vetor paralelo ao plano (s,t) dos autovetores, ele é paralelo a s. Por isso, os
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 387
Poliádicos - Ruggeri
planos do diádico planar + são os dos vetores (c, s) e (c*,t*), evidentemente ortogonais
porque s é ortogonal a t* e a c*.
Pondo a - t = N s vem, multiplicando ambos os membros dessa igualdade por s*:
N s . t . Então,
2 2cc s . t st( ) ,
ou, ainda,
cc ss at s . t st( ) ( )2 .
Os autovetores de são c e s, aos quais correspondem os autovalores + 1 e - 1,
respectivamente. Como E 1, o terceiro autovalor é, também, - 1. Então, conforme o
Teor. 4, § 04.02, o coeficiente de st* deve ser - 1, isso é, s . t 1 2 ; escrevemos,
finalmente:
2cc st , sendo [ ] csa
1 0 0
0 1 1
0 0 1
(10),
Biquadrantais cujo produto é tônico de escalar +3.
Se E 3, então, conforme (061):
( )( )t . s t . s 1, ou ( )( ) ( )( )t . t s . s t . s t . s 0 .
Aplicando a fórmula ((05),§03.03,I), resulta:
0)()( 3)(E)()(
st.st.
sstt , (11).
Três casos podem acontecer em que (11) é verificada:
1) - st é ortogonal a st ;
2) - os autovetores t e s são paralelos;
3) - os eixos t* e s* são paralelos.
No primeiro caso, conforme (07), ( )~ E 0. Então, sendo ( )~ ortolinear,
é ortoplanar; e por ser, por hipótese, E 3, é antitriangular (§09.09,II).
Reciprocamente, se é antitriangular (( )E=0), o produto de dois biquadrantais
cujos autovetores ou cujos eixos sejam não paralelos, tem escalar 3. Logo:
A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos
autovetores ou eixos sejam não paralelos é que esse produto subtraído do
diádico unidade seja antitriangular.
No segundo caso, t s || , podemos por t sA ; daí resultam: ts ss A e
t . t t . s 1 A . Logo, (t . s ts ss ) e, de (06):
2 2 2tt ss s t s( )A .
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 388
Poliádicos - Ruggeri
Então, é ortolinear. Reciprocamente, se o produto de dois biquadrantais subtraído
do diádico unidade é ortolinear, mas os eixos desses biquadrantais são não paralelos, então,
sendo
2 2 2t t t . s s ss[ ( ) ] ,
tem-se: E 3 e t s || porque t t . s s s ( ) K (ou seja t* não é paralelo a s*).
No terceiro caso, t s || , tal como no caso anterior, deduzimos que
2( )At s s , isso é, é ortolinear. Reciprocamente, se o produto de dois
biquadrantais subtraído do diádico unidade é ortolinear, mas os autovetores desses
biquadrantais são não paralelos, então, conforme (06), sendo
t t s t . s t s( ) [ ( ) ]( )2 2 2 ,
tem-se E 3 e t s || porque, por hipótese, t s t . s t2( ) , ou seja, s e t são não
paralelos. Assim,
A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos
autovetores ou cujos eixos sejam paralelos é que esse produto subtraído do
diádico unidade seja ortolinear.
Essas duas propriedades podem ser assim resumidas:
Teor. 9: A CNS para que valha 3 o escalar do produto de dois biquadrantais cujos
autovetores ou cujos eixos sejam paralelos (não paralelos) é que esse
produto subtraído do diádico unidade seja ortolinear (antitriangular).
Produto de biquadrantais em que o autovetor de cada fator é paralelo ao eixo do
outro.
Suponhamos que o autovetor de cada fator de um produto tônico de dois
biquadrantais seja paralelo ao eixo do outro (s paralelo a t* e s* paralelo a t), Fig. 06.03.
Se pusermos s t P e s t Q resultará P Q = 1 e ss t t . Então:
| |
| |
| |
| |
s
t
t
s ,
isso é:
Teor. 10:
Se ( )tt
e ( )ss
são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo
ao eixo do outro, e se os vetores representativos dos autovetores e dos eixos
deles estão aplicados co-inicialmente, então são paralelas as retas que unem
as extremidades do autovetor e do eixo de cada um deles.
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 389
Poliádicos - Ruggeri
Sendo, também,
( ) ( )tt ss T ,
é simétrico. Considerando as (014) escrevemos, em resumo:
( ) ( ) ( )tt ss ss
P
T
e
( ) ( ) ( ) ( )ss ss tt tt. .
P P.
Então:
Teor. 11:
Se ( )tt
e ( )ss
são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo
ao eixo do outro, um fator qualquer do produto deles pode ser substituído
pelo principal do outro.
Por outro lado,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. ( ) ( . )tt ss ss tt tt ss ss tt
. . T T T T T T,
donde podermos enunciar:
Teor. 12:
Se ( )tt
e ( )ss
são biquadrantais, mas o autovetor de cada um é paralelo
ao eixo do outro, o produto do transposto de qualquer um deles pelo outro é
um diádico simétrico.
•
Em relação aos vetores t e t*, pode ser escrito na forma:
2 4 2( )tt t t t tt , (12).
pois ss t t . Então, se o ângulo de t com t*,
E 2 E 2 2 2tg e ( ) tg sec
1
21 2
1
21 4 ,
os autovalores de são, em resumo:
1 2 2, ) ) T (tg sec e T (tg sec+ .
Conforme a fórmula geral (084), ao autovalor 1 corresponde, agora, o autovetor tt , pois t é paralelo a s*; então,
tttt. )( , ou . k k ,
se k é o unitário da normal ao plano (t,t*) orientado de forma que o triedro , ,k t t seja
positivo.
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 390
Poliádicos - Ruggeri
Representando o sistema recíproco de { , , }t t k por { , , }t t k pois k é seu próprio
homólogo, caso em que, no plano (t,t*), os sistemas { , }t t e { , }t t são recíprocos, temos:
t. t t t . t t( ) ( ) 0 ,
ou seja:
imaginados os sistemas recíprocos aplicados co-inicialmente, então t t ( )
tem extremidade na interseção das normais a t e a t conduzidas,
respectivamente, pela extremidade (origem) de t* e pela origem
(extremidade) de t,
conforme ilustra a Fig. 06.03.
Sendo, ainda,
t t . t t t . t t t t t ( ) ( ) 2 , e t t. t t t. t t t t t ( ) ( ) 2
vem:
tt tt t tt t t t t t t t tt t tt tt 2 2 2, e .
Em relação aos sistemas recíprocos { , , }t t k e { , , }t t k a matriz mista associada a é,
então:
( , , )t t k
t t t
t
1 4 2 0
2 1 0
0 0 1
2 2 2
2 , (121).
A determinação dos dois outros autovetores ortogonais, do plano (t,t*), autovetores
de , não será conseguida facilmente; um deles pode escrito na forma
j tt
t
T 1
2 2.
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 391
Poliádicos - Ruggeri
Representação cartesiana de um cíclico produto de biquadrantais.
Suponhamos seja cíclico o diádico produto dos biquadrantais ( ) ( )tt ss e ,
2 4( ) ( )tt ss t . s ts , (13)
caso em que, sendo o seu argumento de giro,
E = cos 1 4 1 2( )( )t . s t .s , (131),
1 2( )( )t . s t . s cos , (132).
( )( )t . s t . s cos > 0,2
com 90) ,( st e 90) ,( st , (133).
Procuremos dar a esse produto uma representação cartesiana, isso é, procuremos
sistemas de vetores recíprocos - cuja existência está assegurada pelo Teor. 1, § 04.01,A -
em relação aos quais possamos dar a esse produto uma representação adequada, tão simples
quanto possível, como a (06), § 04 01,A118.
Como é cíclico, o plano (t,s) dos autovetores não pode ser ortogonal ao plano
(t*,s*) dos eixos. Pois, se fosse, seria 0)()( ts.ts , ou seja, lembrando (133),
sen 0,2 isso é, = 0, o que não é necessariamente verdadeiro.
Sejam c e c* vetores com módulos a determinar, respectivamente ortogonais ao
plano dos eixos, (t*,s*), e ao plano dos autovetores, (t,s), orientados de forma que os
triedros c,s,t e c*,s*,t* sejam ambos diretos. Nesse caso o ângulo de c e c* é agudo e igual
ao ângulo diedro, D, dos planos (t*,s*) e (t,s). Ora, c e c* são respectivamente paralelos a ts e a ts , Fig. 06.04.
118 A representação (13) desse produto em relação aos vetores s, t, ... é simples de certa forma; mas esses vetores
não compõem sistemas recíprocos porque, embora s . s* = 1, s . t* 0.
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 392
Poliádicos - Ruggeri
Ponhamos, por definição,
tsc2
sen , expressão na qual é o argumento de rotação
do cíclico produto, e calculemos M de forma que tsc M e c . c* = 1. Temos, então:
))((11
1))((Msen
s.tt.s
t.s
s.ttsts
Logo, considerando (133), resulta M = sen /2. Em resumo:
tsc2
sen , tsc
2sen , c .c 1, (134).
Os vetores c e c* são, respectivamente, os autovetores de de T relativos ao
autovalor + 1, pois . c c e T . c c . Logo, c* é eixo de , e os sistemas recíprocos
procurados devem ter c e c* por recíprocos homólogos.
Seja a um vetor do plano (t,s) dos autovetores, de direção ortogonal ao plano (c*,s*),
com módulo e sentido tais que
tsta
2tg , (14).
Como o módulo de ts é numericamente igual à área do paralelogramo construído
sobre s e t, a paralela a t conduzida pela extremidade de s intercepta o suporte de a
precisamente na extremidade de tg2
a . Com efeito, o paralelogramo construído sobre esse
vetor e t tem a mesma área que o anterior (Fig. 06.04).
Os vetores c, s e a são não coplanares porque c não é paralelo ao plano (t,s); ou seja
(cas) 0. Determinemos, assim, os recíprocos do terceto {c,a,s}. O homólogo de a é
cscasa 1)( , vetor do plano (t*,s*) dos eixos, ortogonal a c e a s. O homólogo de s,
accas 1)( , é s* porque s* é ortogonal a a por construção, é ortogonal a c, e s . s 1. O
homólogo de c, sacas 1)( , é c* porque c . c 1, c é ortogonal a s e a a.
Assim, { , , } e {c a s c a s , , } constituem sistemas recíprocos. Sejam
t t .a a t . s s ( ) ( ) , e t t . a a t . s s ( ) ( ) , (15),
as expressões cartesianas de t e t* nesses sistemas. Substituindo esses valores de t e t* na
expressão de , bem como o da díade t t*, reduzindo termos semelhantes e agrupando
convenientemente encontramos:
cc t . s t . s ss t . a t . a aa
t . s t . a as t . a t . s sa
[ ( )( )] [ ( )( )]
( )( )] ( )( )]
1 2 1 2
2 2
, (16).
Calculando E por (16) vem, já simplificando, transpondo termos e considerando
(131), (132) e (133):
1 2 ( )( )t .a t .a cos , (17),
ou
sen 2 ( )( )t . a t .a , (171).
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 393
Poliádicos - Ruggeri
Sendo:
c
sac
t.st
sac
csta
)(2tg
)(2tg
2tg , e
csac
t.at
sac
acts
)()(,
concluímos, levando esses resultados a (14) e simplificando:
tg2
t .s t .a , (18).
Multiplicando ambos os membros de (18) por (t.s*), reconsiderando (133) e simplificando,
vem:
cos2
tg2
2 ( )( )t .a t . s ,
ou seja,
2( )( )t .a t . s sen , (19).
Mas, de (171) e (133), deduzimos:
4 4( )( )( )( )t .a t . s t . s t .a sen cos sen2 2 2
.
Então, desta expressão, considerando (19), resulta, após simplificações:
2( )( )t . s t .a sen , (191).
Assim, a expressão final de é
cc aa ss as sacos sen ) ), (20).
Fatoração de cíclicos e rotores.
Sendo t. t s. s 1, temos, também:
| || |,
t tt t
1
cos( ) e | || |
,s s
s s
1
cos( ), (21),
onde
cos( ) > 0 e cos( ) > 0t t s s, , , (211).
Analogamente, de (133), vem:
| || || || |, ,
t t s st s t s
cos
cos( )cos( )
2
2, (212),
sendo, então
cos( )cos( ) > 0t s t s , , (213).
Das duas primeiras igualdades (134), deduzimos, tomando módulos:
sen 2
sen ( ) 0
| | | || | ,c s t s t , sen 2
sen ( ) 0
| | | || | ,c s t s t ,
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 394
Poliádicos - Ruggeri
justificando-se as desigualdades porque, sendo um cíclico por hipótese, os autovetores
dos fatores, bem como os seus eixos, são não paralelos. Com efeito, do contrário, teria
escalar igual a 3 (Teor. 9) e seria tônico (Teor. 3).
Lembrando que D é o ângulo diedro dos planos dos eixos e autovetores dos fatores
biquadrantais, multiplicando membro a membro essas últimas expressões, e considerando a
terceira igualdade (134), vem:
sen cos D sen( ) sen( ) 2
2 s t s t t t s s, , | || || || |.
Desta igualdade e do resultado da multiplicação membro a membro de (21) e (21)2, vem:
sen cos Dsen( ) sen( )
cos( ) cos( )
2
2
s t s t
t t s s
, ,
, ,, (22).
As retas suportes dos vetores s, t, s* e t* definem C4 2 ângulos, isso é, 6. As normais
aos planos (s,t) dos autovetores e (s*,t*) dos eixos, definem mais um ângulo: o ângulo
diedro (agudo) desses planos. Mas, como é fácil comprovar, dentre os seis primeiros
ângulos, apenas quatro são necessários para fixar aquelas direções, digamos: os ângulos de
t com t*, o de s com s*, o de t com s e o de t* com s*. Assim a expressão (22) é suficiente
para correlacionar os ângulos entre eixos, autovetores, o argumento de giro do cíclico
produto e o ângulo diedro D.
Esses resultados nos permitem enunciar o seguinte
Teor. 13:
Se o produto de dois biquadrantais é um cíclico:
1) - o seu autovetor e o seu eixo são respectivamente ortogonais ao plano
dos eixos e ao plano dos autovetores dos fatores;
2) - o seu argumento de giro está correlacionado por (22) com: o ângulo
diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo plano dos eixos dos
fatores; com o ângulo dos autovetores dos fatores; com o ângulo dos eixos
dos fatores; e com os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator.
Respeitadas as condições (211), (213) etc., alguns casos particulares poderiam ser
analisados. O mais importante deles é o caso em que os biquadrantais, cíclicos, são de
rotação circular, isso é
t t t s s s e = , (23).
Nesse caso: 1) - D = 0 porque os planos dos autovetores e dos eixos são coincidentes; 2) -
são iguais os ângulos dos autovetores, dos eixos, e os do autovetor de cada biquadrantal
com o eixo do outro:
( ) ( ) ( ) ( )s t s t t s t s , , , , 0.
De (23) resulta, após a extração da raiz quadrada (positiva):
sen 2
sen ( ) s t, , ou seja, 2 ( , )s t , (231).
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 395
Poliádicos - Ruggeri
Interpretando (231), resulta demonstrado o seguinte
Corol. 1: (rotor produto de rotores biquadrantais)
O produto de dois rotores biquadrantais de eixos distintos é um rotor de
eixo ortogonal aos eixos dos fatores e ângulo igual ao dobro do ângulo
desses eixos.
Teor. 14: (fatoração de um cíclico)
Todo cíclico é fatorável, de infinitas maneiras, em produtos de dois fatores
biquadrantais cujos eixos e autovetores sejam respectivamente ortogonais ao
autovetor e ao eixo do cíclico e cujo ângulo de giro se correlaciona, na
forma (22), com: o ângulo diedro formado pelo plano dos autovetores e pelo
plano dos eixos dos fatores; o ângulo dos autovetores dos fatores; o ângulo
dos eixos dos fatores; e os ângulos do autovetor e do eixo de cada fator.
Seja o cíclico de eixo c*, autovetor c e argumento de giro 0,
( , )cc
baabbbaacc sencos , (24).
Os vetores a e b, relembremos, são arbitrários e ortogonais ao eixo c*; os sistemas { , , }a b c
e { , , }a b c são recíprocos. O produto de ( , )cc pelo biquadrantal
( )bbbb 2 é
( , ) ( )cc bb
.
baabbbaacc sencos ,
que pode também ser escrito na forma
( , ) ( )( ( )
cc bb. aa bb ab ba
1 1cos cos sen , (25).
Quadrando (25), verificamos que o resultado é o diádico unidade, isso é,
( , ) ( )cc bb
.
é igual ao seu recíproco; seu escalar vale - 1 e seu terceiro + 1. Então, pelo Teor. 2, esse
diádico é um biquadrantal.
Ponhamos, então:
( , ) ( ) ( )cc bb tt. tt
2 , com t . t 1, (26),
sendo t um vetor do plano (a,b) e t* um vetor do plano (a*,b*), ambos a determinar. Deve
ser
obt e obt , (261),
porque, do contrário, seria ( , ) ( ) ( )cc bb bb.
, ou seja, o cíclico seria o diádico
unidade e exigiria que fosse nulo, o que é absurdo. Então, como conseqüência de (261),
temos:
t.a t .b t.b t .a 0, 0, 0, 0, (262),
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 396
Poliádicos - Ruggeri
a primeira porque t. c 0, a segunda porque t .c 0, a terceira porque tc.aat.c e c
não é paralelo ao plano (a,t), a quarta porque .cbtc.bt e c* não é paralelo ao
plano (b*,t*).
Podemos escrever, em relação aos sistemas recíprocos { , , }a b c e { , , }a b c :
t t .a a t .b b ( ) ( ) , e t t . a a t . b b ( ) ( ) , (27).
Dessas relações podemos calcular o valor da díade tt*, substituir em (26) e comparar o
resultado com (25); os vetores t e t* devem, então, satisfazer as seguintes relações
simultâneas:
2 1
2 1
2 2
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
t .b t .b
t .a t .a
t .b t .a t .a t .b
cos cos
cos sen
sen
2
2
, (28).
Da primeira das relações (27), pós multiplicando vetorialmente ambos os membros
por ( )t .b t , considerando a primeira e a terceira das relações (28) e simplificando,
deduzimos:
otba
)2
(tg , (29),
igualdade que fixa a direção de t, Fig. 06.05.
Operando analogamente a partir da segunda das relações (27), considerando as
mesmas relações (28), vem:
otba
)2
(tg , (291),
igualdade que fixa a direção de t*. Podemos, agora, fixar os módulos e sentidos de t e t* de
forma que, por exemplo, tbc A e
tbcsen , e calcular A para que c . c* = 1.
Assim, multiplicando escalarmente essas expressões, membro a membro, vem:
A sen2
1 ( )( )t .b t .b .
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 397
Poliádicos - Ruggeri
Considerando a primeira das relações (28), concluímos ser A sen2
. O biquadrantal
( )tt está, pois, bem determinado.
Operando como na demonstração do teorema anterior, podemos deduzir fórmula
idêntica a (22) onde se troque s por b e s* por b*.
Nota: Da mesma forma como é arbitrária a representação do cíclico, é também arbitrária a fatoração do cíclico em produto de biquadrantais, respeitados apenas o seu autovetor, o seu eixo e o seu ângulo de giro.
Corol. 1: (fatoração do rotor)
Qualquer rotor pode ser decomposto no produto de dois biquadrantais cujos
eixos definam um plano ortogonal ao eixo do rotor e um ângulo igual à
metade do ângulo de rotação do rotor.
Pois nesse caso, devendo ser t t t e b b b= , é, evidentemente, D = 0 (os
planos dos autovetores e eixos dos biquadrantais são coincidentes) e ),sen(2sen tb , ou
melhor ),ang(2/ tb , o que conclui a demonstração do corolário.
Outros casos de fatoração em que o autovetor, t, devesse ocupar posições especiais
poderiam ser analisados.
Além dos corolários dos teoremas gerais sobre cíclicos enunciados nos parágrafos
anteriores, outras proposições relativas a rotores podem ser demonstradas.
Teor. 15: (rotor produto de rotores de eixos distintos)
Sejam a a1 2 e dois unitários respectivamente ortogonais aos unitários
q q1 2 e dos eixos dos rotores
1 2 e , e que formem com o unitário b da
normal ao plano desses eixos, ângulos iguais à metade dos ângulos de
rotação de 1 2 e . Então o produto desses rotores, em qualquer ordem, é
um rotor cujo eixo é perpendicular ao plano de a a1 2 e
e cujo ângulo de
rotação é o dobro do ângulo formado por a a1 2 e (Fig. 06.06).
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 398
Poliádicos - Ruggeri
Com efeito, pelo Corol. 1 do Teor.14, podemos escrever:
1 1 12 2= ( ) ( ), bb . a a 2 2 22 2= ( ) ( ), a a . bb
donde, multiplicando o segundo pelo primeiro:
2 1 2 22
1 12 2. a a . bb . a a= (2 ) ( ) ( ) .
Mas, sendo (2 ) =2 bb , tem-se: 2 1 2 2 1 12. a a . a a= (2 ) ( ) . Agora, reutilizando o
Corol. 1 do Teor. 14 comprova-se a tese. Facilmente comprova-se que o produto dos
rotores é comutativo.
Teor. 16: (vetor semitangente de um produto)
Se 1 e 2 são dois rotores cujos vetores semitangente são q1 e q2, então o
vetor semitangente de 1.2 é
21
12213
1 .qq
qqqqq
, (30).
Ponhamos, como no teorema anterior:
1
2
= ( ) ( ) = ( ) + ,
= (2 ) ( ) = ( ) + ;
2 2 4 2 2
2 4 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
bb . a a a .b ba a a bb
a a . bb a .b a b a a bb
então:
2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 12 4 2 2. . a a . a a a .a a a a a a a1 1 2 (2 ) ( ) ( ) + .
Mas,
q q q1
V
1E2
V
2E3
V
3E
=1+
, =1+
, =1+
,
1 2 3
e
11V1ˆˆ)ˆˆ(4 abb.a , bab.a ˆˆ)ˆˆ(4 22V2 , 1212V12
ˆˆ)ˆˆ(4)( aaa.a.
1)ˆˆ(4 21E1 b.a , 1)ˆˆ(4 2
2E2 b.a , 1)ˆˆ(4)( 212E12 a.a.
Logo:
.ˆ
)ˆˆ)(ˆˆ(
)ˆˆˆ(= donde ,
ˆˆ
ˆˆ= ,
ˆˆ
ˆˆ= ,
ˆˆ
ˆˆ=
21
2112
21
213
2
22
1
11 b
a.bb.a
abaqq
a.a
aaq
a.b
abq
b.a
baq
Lembrando a teoria dos vetores recíprocos escrevemos, para qualquer r:
)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆ(ˆ)ˆˆˆ( 12122121 baar.aabr.abar.abar
donde, para r = b :
)ˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ 12122121 baa.baab.baba.babab .
Então,
§ 06.03, A - Rotações com cíclicos de eixos e autovetores distintos. 399
Poliádicos - Ruggeri
3
21
2121
21
21
1
1
2
212
)ˆˆ)(ˆˆ(
ˆˆ
)ˆˆ)(ˆˆ(
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆq
a.bb.a
a.aqq
a.bb.a
aa
b.a
ba
a.b
abqq
ou,
)ˆˆ()ˆˆ(
)ˆ)(ˆˆ(1221
21
213 qqqq
a.a
ab.b.aq .
Finalmente, considerando que:
)ˆ)(ˆˆ(
)ˆˆ(1
)ˆ)(ˆˆ(
)ˆˆ)((ˆˆ()ˆ)(ˆˆ(
)ˆ)(ˆˆ(
)ˆ()ˆˆ(
21
21
21
2121
21
2121
ab.b.a
a.a
ab.b.a
b.ba.aab.b.a
ab.b.a
ab.ba.qq
,
e levando este resultado à expressão de q3 encontraremos (30).
Rotações (elípticas e circulares) de pequenos ângulos.
Chama-se pequena rotação ou rotação de pequeno ângulo qualquer rotação cujo
ângulo de rotação é um pequeno ângulo no sentido trigonométrico, isso é, menor que 3
graus. Para esses ângulos os arcos praticamente se confundem com as cordas e estas com as
tangentes e senos. Pelas fórmulas de Mac Laurin, comprova-se que:
sen =3!
+ + cos = 12!
+ +3 2
5 7 4 6
5 7 4 6! !... ,
! !....
e
tg
23
165
3 5
! !..., (31).
Então, para pequenos arcos, desprezando as potências de superiores a 2,
3 1
sen tg , e cos
1
2
2
, (311).
Escrevemos, então,
( , )) )
cccc aa bb ab ba
(1 )
2
2, (312)
e
kkkkk
kˆ)ˆˆ)(1(ˆˆ
),ˆ( , (313).
Nas pequenas rotações circulares, o vetor semitangente de rotação tem módulo
muito próximo de zero a ponto de poder-se desprezar o produto escalar de dois deles frente
à unidade e o produto vetorial deles frente a eles próprios; os diádicos correspondentes
denominam-se pequenos rotores. Às pequenas rotações elípticas, analogamente,
correspondem os pequenos cíclicos.
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 400
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 17:
Se 1 e 2 são dois pequenos rotores, de vetores semitangente q1 e q2, então
o vetor semitangente de 1.2, é:
q q q3 1 2= + , (32).
Com efeito, é o que se obtém de (30) considerando que, para pequenas rotações,
1.1 21 qq e 211221
qqqqqq .
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo
autovetor.
Teor. 1: A multiplicação pontuada de dois cíclicos de mesmo autovetor e mesmo eixo
é comutativa; o produto deles é um cíclico de mesmo autovetor e mesmo eixo
que os fatores e ângulo de rotação é igual à soma dos ângulos de rotação
desses fatores:
( ( + ( ( )
, cc cc cc cc cc
. .
, ) ( , ) , ) , ) ,
(01).
Recorramos à interpretação geométrica das transformações regidas pelos cíclicos
fatores (§ 05.02,A). Seja v'() a projeção de um vetor qualquer, r, sobre o plano (a,b)
paralelamente a c. Sendo, então,
r = (r.c*)c+v'() = r(), tem-se: r'() = (cc*, ).r() = v'(+)+(r.c*)c.
Ainda,
(cc*, ').(().r()) = (cc*, ').r'() = v'('++)+(r.c*)c, (A).
Por outro lado,
(cc*, ').r() = r('+)
e
(cc*, ).((cc*, ').r()) = (cc*, ).r('+) =
= (cc*, ).[v'(+)+(r.c*)c] = v'('++a)+(r.c*)c, (B).
Dada a arbitrariedade de r, resulta, associando em (A) e (B):
(cc*, ).(cc*, ') = (cc*, ').(cc*, ).
Como, ainda, podemos escrever:
v'(+'+)+(r.c*)c = (cc*, +').[v()+(r.c*)c] = (cc*, +').r(),
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 401
Poliádicos - Ruggeri
resulta que (cc*, +') é igual ao produto comutativo (cc*, ).(cc*, ') já que podemos
associar no primeiro membro de (A) e r é arbitrário.
Notas: 1 - Recorrendo a fórmulas trigonométricas bem conhecidas, esse teorema poderia ser demonstrado efetuando-se diretamente o produto de dois cíclicos escritos na forma ((02), § 06.03) a cada um correspondendo um ângulo de giro.
2) - Até o momento tem-se usado um rotor como pré-fator. Note-se, porém que, se
.abk ),ˆ(
, então, T
),ˆ(.
kab ; mas sendo,
),ˆ(
T
),ˆ(
kk , tem-se:
),ˆ(),ˆ(
kka..ab ,
isso é, as rotações correspondentes às multiplicações escalares com um rotor usado como pré e pós-fator são de sentidos contrários. Essa propriedade, entretanto não é válida para os cíclicos.
A generalização dessa propriedade é imediata, estendendo-se a um número
qualquer, finito, de diádicos cíclicos (de mesmo autovetor e mesmo eixo). Tem-se, então o
seguinte
Corol. 1: (produto de N cíclicos)
(cc*, 1).(cc*,
2).....(cc*,
N) = (cc*,
1+
2+...+
N), (02).
Corol. 2: (Potência P-ésima de um cíclico)
Tem-se, para todo P inteiro, positivo ou negativo:
( , ) ( , )( ) ( )
cc cccc aa bb ab ba
P
P + cos P + senP , (03).
A propriedade é evidente em vista de (02).
Raízes K-ésimas do diádico unidade.
Importa ressaltar o caso em que = 2/K, com K inteiro positivo. Nesse caso, tem-se:
( , / )
( ) ( ),cc
cc aa bb ab ba2
Kcos
2K
sen 2K
donde, lembrando (03);
( , /
,cc 2 K)
K (04),
Por (04) definiremos a raiz K-ésima do diádico unidade:
K
K)
( , /,
cc 2 (05).
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 402
Poliádicos - Ruggeri
No caso em que K é um número racional (da forma Q/P, com P e Q inteiros),
teremos, ainda:
P Q PQ
P Q)
( , /cc 2 , (051).
No caso em que K é irracional, poderemos sempre determinar um expoente R tal,
que R(cc*, ) difira tão pouco quanto se queira do diádico unidade: R
(cc*, ) .
Então, em resumo:
Qualquer diádico cíclico pode ser entendido como uma raiz do diádico
unidade.
Potências de expoente inteiro de um cíclico.
Supondo que { , , }a b c e { , , }a b c sejam sistemas recíprocos, consideremos:
- o diádico linear
cc , (061);
- o diádico planar
J ab ba , (062);
- o diádico planar (de mesmos planos que J )
aa bb K , (063).
É fácil comprovar que esses três diádicos são tensores (§ 02.04). Seja o diádico
que transforme os vetores da base { , , }a b c na base { , , }u v w , isso é, seja u = . a etc. .
Então ua ... . Para J , por exemplo, escrevemos, então:
.J. ua . ab ba . au ub va . au uv vu 1 ( ( ) ...) ( + ) ( ...) + ( ...) ,
isso é, J se transforma segundo o regime tensorial.
Os planos dos antecedentes e dos conseqüentes de eJ são os mesmos, mas esses
diádicos não são paralelos, isso é,
0BA BA J , (07).
Como K é linear e seu antecedente (conseqüente) é perpendicular ao plano dos
conseqüentes (antecedentes) de e J , temos:
J.KI.KK.JK.I , (08).
Deduzimos, ainda:
I . J J J . I , (081).
Comprovam-se também, finalmente, as seguintes expressões de potências inteiras
positivas (posto que ,J e K não são completos):
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 403
Poliádicos - Ruggeri
P inteiro positivo:
PI , (09),
2H H 2H HJ J J ( ) , ( ) ,1 11 1 (10),
PK K , (11).
Sendo
Z J K ab ba cc , com [ ]Z
0 1 0
1 0 0
0 0 1
(12),
temos:
Z I K K2 2 ,
Z J K Z J3 2 ,
Z4 , Z Z5 , Z Z6 2 etc., (13).
O diádico Z é completo porque, de (12) escrevemos:
Z abc b a c3 1 ( )( ) .
Como ( ) ( )Z ZP P3 3 1 , concluímos que todas as potências de Z são diádicos
completos.
Consideremos o cíclico
( , )) )
cccc aa bb ab ba
cos sen , (14),
que podemos escrever na forma
( , )cc
K J
cos sen , (141).
Pelo Corol. 2 do Teor. 1 e por (141), podemos escrever a potência enésima do diádico na
forma
( , )ccK J
N cos N sen N , (15).
Mas em face das (07) a (11) podemos também escrever:
( , )( )
ccK J
N Ncos sen ,
porque são nulos os produtos da forma K . JP Qcos sen ( ) . Então
( , )ccK .J
N N N N Ncos Ncos sen ... 1 1 ,
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 404
Poliádicos - Ruggeri
ou melhor,
( , ) !ccK J
N N N N 2cos Ncos sen
N(N 1)cos sen ... 1 2
2, (16).
Subtraindo membro a membro (15) e (16) e agrupando, vem:
.}sencos!3
2)-1)(NN(Nsencos{senN
}sencos!2
1)N(NcoscosN{
33N1N
22NN
J
Considerando (07) vemos que os fatores de e J devem ser simultaneamente nulos.
Resultam então as fórmulas (clássicas)
cos N cosN(N 1)
cos sen ...N N 2
22
!, (17).
e
sen!
N Ncos sen N(N 1)(N 2)
cos sen ...N N 3
1 3
3, (18).
Representação do cíclico em série de Mac Laurin.
A matrizes mistas (contravariante/co-variante) associadas aos diádicos ,J , K e ao
cíclico (14) são, respectivamente119
( )abc
0 0 0
0 0 0
0 0 1
, Jabc( )
0 1 0
1 0 0
0 0 0
, ( )abc
1 0 0
0 1 0
0 0 0
, (19),
e
[( , ) ( )]
cc abc
cos sen
sen cos
0
0
0 0 1
, (20).
Considerando as fórmulas (31), § 06.03, A, se pusermos,
A J= , ou [ ] [ ],J (21),
escreveremos:
[( , )
] [ ] [ ]![ ]
![ ]
ccA A A
12
13
2 3 ... , (211),
e
( , ) ! !cc
A A A
12
13
2 3 ... , (212).
119 Deve ser notado que embora a matriz associada a J seja anti-simétrica o diádico não é anti-simétrico.
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 405
Poliádicos - Ruggeri
Da analogia entre as expressões (211) e (212) com o clássico desenvolvimento em
série de Mac Laurin de e x pomos, por
Definição:
Se { , , }a b c e { , , }a b c são sistemas recíprocos de vetores,
... !3
1!2
1e 32),( AAAA
cc , JA , baabJ , (22).
O diádico (211), A= J , é tal que
A A A KE e 0 3
2~ , (23).
Logo, sua equação característica é X X = 03 e seus autovalores são 0, i e - i. Seu
vetor é paralelo a JV
, pois A JV V . Escrevamos o cíclico na forma
KJcc )cos1(sencos),( , (24).
Conforme ((01)2,§08.02,II): .. VVT
2V : ; e sendo T
2
~KJJ
T , resulta
que VT
VV2 J.JKJ . Calculando o vetor do cíclico pela expressão (24), vem:
VT
VT
VV ] )cos1( sen[ )cos1(sen J.JJ.JJ
cc
,
ou melhor,
VT
V )
2tg(sen J.J
cc
, (25).
Concluímos, assim, que o vetor do cíclico é o transformado do vetor de J pelo diádico
)2
tg(senT
J
. Esse diádico é completo, não sendo difícil comprovar que o seu terceiro
é sen3sec2(/2) , e que o seu principal, , é
]/2)(sec/2)tg( /2)[tg(2
1 2TKJ .
De (25) deduzimos, então:
.Jcc VV
, (26).
*
Exercícios:
1) - Comprovar que
) ( ) ()3( :),(),(E),(),(),(
cccccccccc.
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 406
Poliádicos - Ruggeri
2) - Se, por definição,
... !P
1 ...
!3
1
!2
1e P32 : ,
e se .. , então
ee e . .
3) - Se é tônico, isso é, A i iig g , então e e A
iii g g .
4) - Se X , então e ee X .
*
Expressão do anti-simétrico A em função do cíclico.
De (141), considerando (06), temos:
J
ccsencos(
),(, (27).
Observando que 2222 )(= AJJ , vem:
2),( ]
2
2sen
[21sen
AAcc
, (271),
donde, então, a expressão do cíclico em função de A:
2),( )]
2(
2
2sen
[2sen AAcc
, (272),
De (141), considerando mais uma vez as fórmulas (07) a (11), deduzimos:
JKcc
cossen2 sencos[()( 22
),(
)sen1)(cos-2(cos J ,
e
]sen)1 coscos2)(cos2 ),( Jcc .
Então, somando membro a membro, vem:
AJcccc
sen2sen2)(cos2)( ),(
2),( ,
ou melhor,
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 407
Poliádicos - Ruggeri
)( )(2sen ),(E),(),(
cccccc .A , (28),
que é a expressão de A em função do cíclico.
Rotor, vetor semitangente e diádico anti-simétrico associados.
No caso particular dos rotores
)senˆ(+)cosˆˆ(+ˆˆ=),ˆ(
kkkkkk
, (29),
o diádico J é anti-simétrico porque
kJijjijiijJ ˆ)ˆˆˆ(ˆˆˆT , (291).
Logo, também é anti-simétrico o diádico , a ele estando associada a matriz anti-simétrica
[ ] ],[000001010
J
(30).
São válidas para os rotores todas as propriedades já assinaladas para os cíclicos. Em
vista de (22), a qual, nesse caso particular, pode ser escrita na forma:
Ak
e...+3!
1+
2!
1++ 32
),ˆ(
, com kJA ˆ , (31),
vemos que a todo rotor está associado um diádico anti-simétrico do tipo (291) cujo vetor é
paralelo ao eixo de , pois temos: kA ˆ2=V . Lembrando ((12),§06.01), isso é,
k sen 2V , deduzimos, então:
VV sen
A , donde
sen 2ˆ.
2ˆ
V
V
k
k.A
, (32).
A expressão (28), particularmente, passa a ser escrita na forma
],[)(2sen E
. (33),
ou, ainda, na forma
)()(ˆ 2
ˆ
E
V
V
.k.
k.AA , (34).
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 408
Poliádicos - Ruggeri
Expressão de um rotor em função do vetor semi-tangente de rotação.
Consideremos agora, as fórmulas:
.)+(1=
ˆ2sen=
senˆ+)cosˆˆ(+ˆˆ=
EV
V
q
k
kkkkk
Por ser q paralelo a -V, e este paralelo a k , podemos escrever:
)(sen)(cosq.q
q
q.q
q.q
, (35);
ou, recorrendo às fórmulas trigonométricas que expressam as linhas de um arco em função
da tangente do arco metade:
,1
2)(
1
122
2
qqq.q
q
q
q.q
(351).
As fórmulas (35) e (351) expressam, pois, o rotor em função do vetor semitangente de
rotação.
Diádico de rotação e diádico de Argand associados.
Denotando por o diádico de Argand (do vetor q), q, temos, lembrando
((13),§06.01), depois ((01) § 06.04,II) e por último (291):
Jq2
tg11 E
T
E
V
(361),
donde
V 2q, (362).
Por ser = J , conforme (31), deduzimos, também:
12
tg ( / 2)
/ 2
, ou 2
2
/
tg ( / 2) (363).
Então, de (363), considerando (33), vem:
22
/
tg ( / 2)
/( ) [ ],
2
2sen ( / 2) cos ( / 2) E .
donde, após simplificações:
1
1
EE( ) ( ),. (364).
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 409
Poliádicos - Ruggeri
Ainda, considerando (361):
T
E= ( ) ( ). ,
donde, lembrando que T = -1 e multiplicando escalarmente ambos os membros por
=+ E2
E3 , (365).
O polinômio (365) é o polinômio associado ao polinômio CH de (§ 03.02)120.
Lema:
Tem-se:
)( : vqv.vqvv , (37).
Com efeito, os vetores v+q×v e v-q×v têm o mesmo módulo porque v é ortogonal a
vq . Logo, (37) esta compatível porque sendo um rotor ele conserva os módulos dos
vetores.
Para concluirmos a demonstração basta provar que o ângulo de rotação de é igual
ao ângulo das componentes de v+q×v e v-q×v no plano ortogonal a k (Fig.06.07).
Denotando-se por c a componente de v ortogonal a k , temos: q×v = q×c, pois |v| sen(q,v) =
|c|, e ambos os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido. Logo, as componentes de
v+q×v e v-q×v ortogonais a k , além de terem os mesmos módulos (porque v+q×v e v-q×v
têm os mesmos módulos), valem c+q×c e c-q×c. Então, lembrando que q = k tg/2, temos:
)]2/(tg1[)()()( 2222 ccqccqc.cqc ,
)]2/(tg1[)()()( 222222 ccqccqccqc ;
e, designando por o ângulo dos vetores c+q×c e c-q×c,
cos
2/tg1
2/tg1cos
)(
)()(2
2
2cqc
cqc.cqc.
Logo, = uma vez que < rd.
120É evidente que, seguindo caminho contrário, isso é, partindo de (36
5 ) e considerando (31
1 ), podemos também
deduzir (364
).
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 410
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 2:
Tem-se:
= ( + ) ( ) ,1
.
(38).
Com efeito, pois sendo:
.v.vqvqv )()( ,
e considerando (37), escrevemos:
( + ) = ( ) . . v . . v
Como v é arbitrário,
+ = ( ) . , (A).
Mas - é completo porque, sendo
)ˆˆˆ(2
tg2
tgˆ ijjik
( ) ( ) ( ),i i j j i j k k tg2
tg2
segue-se que:
( ) 3
( )(( )( )( )) .ijk i j i j k tg2
tg2
tg sec2 2 1
2 20
Logo, pós multiplicando ambos os membros da igualdade (A) por (-)-1, encontramos
(38).
Corol. 1:
Tem-se, também:
( + ) ( ),1 . (39).
Pois, sendo: + ) . ( . , podemos escrever, após agrupamentos
convenientes, ; donde, imediatamente, (39), porque + é completo. Com efeito,
( ) (
3
1
4 1
cos sen 0
sen 1 + cos 0
0 0 2
cos ) 0.
Nota: Lembrando que é comutativo o produto pontuado de dois polinômios de um mesmo diádico (§ 05.02,II), escrevemos, também:
= ( ) 1 ( + ), e = ( ) ( + ) 1, . . (40).
§ 06.03, B - Rotações com cíclicos de mesmo eixo e mesmo autovetor. 411
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 3:
Se 1, 2 e são os diádicos anti-simétricos associados aos diádicos de
rotação 1, 2 e = 1.2, respectivamente, então:
= ( ) ( + ) ( + ) ( ) ,2 1 2
1
1 2 2
1
. . . . (41).
Temos, segundo (38):
1 1 1
1 2 2 2
1= ( + ) ( ) e = ( + ) ( ) , . .
donde, segundo (40):
= = ( ) ( + ) ( + ) ( ) .1 2 1
1
1 2 2
1. . . .
Então, desta igualdade deduzimos:
= ( ) [ ( ) ( ) + ( + ) ( + )] ( ) =
= 2( ) ( +
1
1
1 2 1 2 2
1
1
1
1 2
. . .
.. ) ( ) ,2
1
e, analogamente,
+ 2( ) ( + ( )1
1
1 2 2
1
. . .) .
Desta última, temos:
( + ) =1
2( ) ( + ) ( ).
1
2 1 2
1
1
. .
Agora, aplicando (32), operando e simplificando, encontramos (41).
§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos.
Constatamos no §02.05 a necessidade da consideração dos diádicos com simetria
externa. Diádicos com simetria externa em relação a um eixo é sinônimo de diádicos auto-
similares (§02.02) numa rotação em torno desse eixo com ângulo qualquer. Adotemos o
vetor unitário k , paralelo a esse eixo, como um dos vetores de uma base vetorial
ortonormada fixada escolhendo-se arbitrariamente dois outros unitários i e j . Para a
dedução das características da matriz associada ao diádico nessa base,
333231
232221
131211
][ ,
devemos escrever, na forma matricial equivalente a ((17), §06.01), que
cossen-sencos
]..[cossensen-cos
][ ,
pois esse diádico deve ser similar a si próprio (§02.02) mediante o diádico de rotação de
eixo k e ângulo arbitrário . Então,
§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. 412
Poliádicos - Ruggeri
sencossensencoscos 2212211111
cossencoscossensen 2212211122
sencoscossencossen 2212211112
cossensencossencos 2212211121
sencos 231313
cossen 231323
sencos 323131
cossen 323132
3333 .
Da primeira e da segunda equações, e em seguida, da terceira e quarta, deduzimos,
considerando que 0:
cos)(sen) 21122211 ; e sen)(cos) 21122211 .
Como essas equações devem subsistir qualquer que seja , deve ser, necessariamente,
0 e 0 21122211 .
Colocando a quinta e a sexta equações nas formas
sen)cos1( 2313 e sencos1( 1323
deduzimos, ainda, que deve ser 02313 . Analogamente, com a sétima e oitava
equações comprovaríamos serem 31 e 32 nulos. Assim, a matriz associada a é
33
1112
1211
00
0
0
][ , (01).
Se, ainda, apresenta simetria interna, deve ser 01212 .
Alem de simetria em relação ao eixo k poderia haver simetria externa em relação a
um eixo de unitário i ortogonal ao primeiro. Assim, alem da matriz dada por (01), deveria
corresponder ao diádico a matriz
3323
2322
22
0
0
00
][ , (02),
que deve ser igual à primeira; então [] é matriz diagonal com elementos 11=22 e 33.
Deduz-se desses resultados que se tem simetria externa em relação a três eixos
ortogonais deve ser 11=22=33, tendo ainda, simetria em relação a qualquer outro eixo. Em
resumo:
Se qualquer eixo do espaço é eixo de simetria de um diádico, esse
diádico é diádico escalar, isto é, da forma AI.
§ 06.04 – Diádicos com simetria externa em relação a eixos. 413
Poliádicos - Ruggeri
§ 07 - REDUÇÃO NORMAL DO DIÁDICO COMPLETO.
DECOMPOSIÇÃO POLAR.
§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições.
Consideremos a transformação linear regida pelo diádico completo, qualquer, ,
usado como pré-fator. Seja P o ponto corrente da superfície esférica de raio unitário,
definido pelo unitário posicional r de origem no centro O da superfície, por hipótese
coincidente com um ponto fixo. Se P' é o transformado de P mediante , e r' é o seu vetor-posição de origem O, escrevemos:
r .r r .r , , ou
1
donde,
r . . . r( ) T 1
1, (01).
Tal é a equação do elipsóide transformado da superfície esférica (§01.02, propr. 4).
Se ) é o plano tangente à superfície esférica em P, então o seu transformado, '), é
tangente ao elipsóide em P'. Com efeito, se não fosse, esse plano teria mais um ponto
comum (ao menos), Q, com o elipsóide. Como as transformações direta e inversa são
unívocas, o transformado inverso de Q', Q, deveria pertencer a ) e à esfera, o que é
impossível (a esfera e ) só tem P por ponto comum).
Então, a todo cubo circunscrito à superfície esférica corresponde um e um único
paralelepípedo (oblíquo) circunscrito ao elipsóide; e às três direções ortogonais que ligam
os pontos de concurso das diagonais das faces opostas (quadrados) do cubo, correspondem
três direções (geralmente não ortogonais) que ligam os pontos de concurso das diagonais
das faces opostas (paralelogramos) do paralelepípedo; e vice-versa.
Logo:
ao paralelepípedo reto, único, que circunscreve o elipsóide, corresponde um
e um único cubo circunscrito à superfície esférica.
Sejam kji ˆ e ˆ ,ˆ os unitários posicionais dos centros de três faces quaisquer do cubo
circunscrito, co-iniciais em O e tais, que o triedro { , i j k , } seja direto. Se, então, l', m' e n',
são os vetores posição (co-iniciais em O e triortogonais) dos centros das três faces
correspondentes (retângulos) do paralelepípedo circunscrito ao elipsóide, podemos
escrever: l' = . ,i ... . Então:
l i m j n k , (02),
é uma forma trinomial de .
Usando o diádico como pós-fator é possível tirar conclusões análogas.
Temos, assim, demonstrado o seguinte
§ 07.01 - Teoremas fundamentais. Definições. 414
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 1:
É sempre possível reduzir um diádico completo a uma forma trinomial de
que os conseqüentes (antecedentes) formem um terceto ortonormado direto e
os antecedentes (conseqüentes) um terceto triortogonal.
Sendo:
3 ( )( ) ( ),l m n i j k l m n
vemos que {l', m', n'} é triedro positivo ou negativo conforme 3 seja positivo ou negativo.
Associemos às direções dos semi-eixos do elipsóide os unitários i , j e k
correspondentes aos unitários , i j k , , tais, que { i , j , k } seja direto; então:
, , com 0 : = L + M + N3
i i j j k k (03),
onde L, M e N são números finitos, não nulos e cujos módulos são os valores dos semi-eixos do elipsóide.
Resulta, então, demonstrado o seguinte
Corol. 1:
É sempre possível reduzir um diádico completo a uma soma de três
díades cujos antecedentes e conseqüentes sejam dois tercetos
ortonormados diretos e cujos coeficientes sejam números finitos e não
nulos.
Definição: (forma e redução normal)
A forma (03) de redução do diádico completo , em que { , i j k , } e
{ i , j , k } são tercetos diretos ortonormados e L, M e N números finitos não
nulos, denomina-se forma normal do completo . Redução normal é o
conjunto das operações através das quais se reduz um diádico completo à
sua forma normal.
Sendo, ainda
3 LMN( LMN,' ' ' )( )i j k ijk
vemos que:
1) - Se for 3 0, dois casos podem acontecer: apenas um dos coeficientes é
positivo, ou todos são positivos. No primeiro caso, se, digamos, L > 0, escrevemos:
| ' | ' ) | ' ) ,L| M|( N|(i i j j k k
caso em que o triedro { ' , ' , '}i j k ainda é direto121; no segundo caso, escrevemos:
(| ' | ' | ' ).L| M| N|i i j j k k
121 Se de um triedro direto se invertem dois quaisquer dos eixos o novo triedro continua direto.
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 415
Poliádicos - Ruggeri
2) - se for 30, dois outros casos podem se dar: apenas um dos coeficientes é
negativo, ou todos são negativos. No primeiro caso, se, digamos, L<0, escrevemos:
[ L| + M|( + N|(| ' | ' ) | ' ) ]i i j j k k ,
sendo ainda direto o triedro dos antecedentes; e no segundo caso,
(| ' | ' | ' ).L| M| N|i i j j k k
Temos assim demonstrado o seguinte
Teor. 2:
Todo diádico completo pode ser reduzido a uma soma de três díades de que
antecedentes e conseqüentes formem sistemas diretos ortonormados, e cujos
coeficientes sejam números todos positivos ou todos negativos:
, | | ), 0: = (|L| + M| + N|3
i i j j k k (04).
Deve ser observado que na forma normal de , (03), os módulos dos coeficientes da
forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio
unitário pelo diádico .T - são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas)
dos autovalores L2, M2 e N2 do diádico .T (ou T.), correspondentes ao sistema direto
dos unitários dos autovetores ' , ' ' , , )i j k i j k e (ou , não tendo nenhum relacionamento com
os autovalores do diádico . Com efeito, pois
. i i j j k k . ii jj kk
i i j j k k
T
2 2
L| M| |N| L| M| N|
L| M| N|
(| ' | ' ' ) (| ' | ' | ' )
| ' ' | ' ' | ' ' ,2 (05),
e, analogamente:
T 2 2L| + M| + N| . i i j j k k| | | ,2 (06).
Então:
( )|
' '|
' '|
' ' , . i i j j k kT
2 2 2L| M| N|
11 1 1
(07).
Nota: Esse teorema é geral, aplicando-se, inclusive, aos diádicos simétricos, conforme já comprovamos (Teor. 11 e 12, § 04.01,B).
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal.
Em vista das considerações do § 07.01, o problema do cálculo da redução normal de
um diádico pode ser conduzido seguindo a marcha de cálculo cujos passos apresentamos
a seguir:
1 passo:
determina-se uma das matrizes mistas associadas ao diádico .T.
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 416
Poliádicos - Ruggeri
Qualquer que seja a redução cartesiana, dada, do diádico , será sempre possível a
execução desse primeiro passo usando-se as fórmulas deduzidas no § 09.02 e no § 09.03 do
cap. II. Com efeito, se é dado por [**], escrevemos:
[( ) ] [ ] [( ) ] [ ].[ ] , . .T
T
T
com122
[ ] [ ] [ ][ ].
G . G
Logo:
[( ) ] [ ][ ][ ] [ ]. . .T
TG G
(01).
Se é especificado por [**], escrevemos, de (01) e das fórmulas referidas:
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] . . . .T
T TG
,
ou melhor:
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], . . . .T
TG G
(011).
Se é especificado por [**
], escrevemos, de (011) e das referidas fórmulas:
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], . . . . . . . .T
TG G G G G G
ou melhor:
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ] , . G . . G .T
T
(012).
2° passo:
de posse de [(.T)**], determinam-se os autovalores L2, M2 e N2 (todos
positivos) e os correspondentes auto-unitários ' , ' 'i j k, de . T.
Para tal escrever-se-á a equação característica
X X + X 3 T
E
T
E
~ T ( ) ( ) ( ) . . .2
30, (02),
ou,
0)(X|| ~| |X| || |X 23
23 , (021),
cujos coeficientes se determinam diretamente de [(.T)**]. Para cada autovalor, calcular-
se-á um autovetor correspondente por suas coordenadas contravariantes. Assim, ao
autovalor L2 (que podemos designar como o menor deles) corresponderá o autovetor l' = L'i
gi , a M2 o autovetor m' = M'i gi e a N2 (o maior deles), o autovetor n' = N'i gi.
122 Relembremos a Nota apresentada no § 09.02: a matriz associada a um diádico só tem significado quando é especificada a base (ou a métrica da base) a que ela se refere.
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 417
Poliádicos - Ruggeri
Como gi = Gij gj, poder-se-á calcular, também,
l g g' , L' L' Gj
j iij
j
isso é,
L'
L'
L'
G
L'
L'
L'
1
2
3
1
2
3
[ ] ,. (03).
Então:
( ' ) [ ] ,l2
L' L' L' L' L' ][G
L'
L'
L'
i
i
1 2 3
1
2
3 e ' ,l g g L' L'i
i ii (04),
onde
' |
' |
L'L'
| e L'
L'
|i
i
i
i
l l (041).
Analogamente calculam-se ' 'm n e .
Uma verificação de cálculos poderá ser feita, nesse instante, pois
(
L'
L'
L'
M'
M'
M'
N'
N'
N'
( )
L'
L'
L'
M'
M'
M'
N'
N'
N'
( ) ,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3
1 2 3
1 2 3
l m n g g g g g g' ' ' ) =1 2 3
1
1 2 31 (05),
e
( ) | |, ) | |g g g g g g1 2 3
1 2 3
G ( G (051).
Se for (' ' ' )l m n 1, far-se-á: ' ' ,l i 'm j e 'n k . Se for (' ' ' )l m n 1,
poder-se-á inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, 'l , para que o novo
triedro seja direto. Far-se-á, então: ' ' ,l i 'm j e 'n k .
3 passo:
repetem-se os dois primeiros passos em relação ao diádico T..
No primeiro passo, particularmente, as expressões correlatas de (01), (011) e (012),
são:
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], T
T
G G. . . .
(06);
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], T
T G G. . . .
(061);
[( ) ] [ ] [ ] [ ] [ ], T
TG G. . . .
(062).
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 418
Poliádicos - Ruggeri
Conforme já comprovamos, os diádicos .T e T. têm a mesma equação
característica (o que pode ser verificado calculando os coeficientes da equação pela matriz
(06)) e os mesmos autovalores (L2, M2 e N2).
Tal como anteriormente, podem ser calculados os autovetores: l = Li gi = Li gi
correspondente a L2, m = Mi gi = Mi gi correspondente a M2, e n = Ni gi = Ni gi
correspondente a N2, sendo:
L
L
L
[G ]
L
L
L
1
2
3
1
2
3
, etc., (07).
Também,
l2
L L L L L G
L
L
L
i
i
1 2 3
1
2
3
[ ][ ] e ,l g g L Lii i
i (08),
onde
| |
,LL
| | e L
Li
i
i
i
l l (09).
As expressões correspondentes para m e n são análogas.
Finalmente, dever-se-á calcular
(
L L L
M M M
N N N
( )
L L L
M M M
N N N
( ) ,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
lmn g g g g g g) =1 2 3
1 2 3 1 (10).
Se for ( )l m n = +1, far-se-á: , .l i m j n k e Se for ( )l m n 1, poder-se-á
inverter o sentido de qualquer um dos unitários, digamos, l , para que o novo triedro seja
direto. Far-se-á, então: , l i m j n k e .
4 passo:
escreve-se, simplesmente, a expressão de em sua forma normal
L M ' N '' i i j j k k , (11).
Notar que é
L ' M ' N ' l l m m n n (111),
com L, M e N positivos, {' , ' , '}l m n e {, , }l m n sendo diretos ou não.
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 419
Poliádicos - Ruggeri
A cada inversão de um unitário (num triedro ou no outro) para tornar o triedro
positivo, corresponderá uma troca de sinal na díade correspondente da expressão (111). Daí,
então, será gerada a forma (11), escrevendo-se: ' ' , ...l i ; justifica-se, assim, dizer que
os números L, M, e N são positivos e negativos.
Exemplo numérico.
Reduzir à forma normal o diádico (completo),
2 2 3 11
11
21
32
1g g g g g g g g ... ,
cuja matriz mista contravariante/ co-variante associada é:
[ ] ,
2 2 3
1 1 1
13 3 1
(12).
As bases recíprocas diretas { , , }g g g1 2 3
e { , , }g g g1 2 3 têm as seguintes matrizes métricas
(recíprocas):
[ ] ] ,G e [G
2 1 2
1 2 1
2 1 5
9 7 5
7 6 4
5 4 3
(13).
Solução:
Observemos, de imediato, que as bases {g*} e {g*} são quaisquer mas
(acidentalmente) unimodulares, pois
( ) | |( ) ( ),g g g g g g g g g1 2 3
1 2 3 1 2 3
G
isso é
( ) ( ) , ( ) ( ),g g g g g g g g g g g g1 2 3
2 1 2 3 2
1 2 3
1 2 31 ou +1
porque, por hipótese, {g*} e {g*} são diretas.
1 passo:
Levando, então, (12) e (13) à (01), escrevemos:
[( ) ] . . . .T
2 2 3
1 1 1
13 3 1
9 7 5
7 6 4
5 4 3
2 1 13
2 1 3
3 1 1
2 1 2
1 2 1
2 1 5
440 165 1 016
74 30 174
2 620 1 014 6 098
.
. . .
, (14),
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 420
Poliádicos - Ruggeri
isso é:
. g g g g g g g gT
. 440 165 1 016 741
1
1
2
1
3
2
1. ...
2 passo:
Equação característica: X X + X (3 T
E
2 T
E
~ T ( ) ( ) ) . . .3
0.
Tem-se:
|| || ( ) ( ) ] . . ;
|| || ( ).
. . .. . .
( ) ( ) ( .
~
. .
.
. .
T
E
T
T
E
~
T
3
T
3
Tr[ + +
+ + + +
440 30 6 098 6 568
440 165
74 30
440 1016
2.620 6 098
30 174
1014 6 098990 21200 6 504 28 694;
66) 4.3563 3
2 2
Logo:
X X X 4.356 = 03 2 6568 28 694. . (15).
Com valores corretos até a sexta casa decimal, as raízes dessa equação são123:
X L
X M
X N
min
2
med
2
max
2
0 1574857
4 2140805
6 563 628433
,
,
. , ,
(16).
Cálculo de um autovetor l', correspondente ao autovalor L2:
( ) .
( )
. . ( . )
440 165 1 016 0
74 30 174 0
2 620 1 014 6 098 0
X L L L
L X L L
L L X L
min
1 2 3
1
min
2 3
1 2
min
3
Arbitrando L'3
1
1 0160 00098425
., , escrevemos:
439 8425143 165 1
74 29 842514174
1 016
,
,.
,
L' L'
L' L'
1 2
1 2
donde
L'1 0 0017299, e L'2 0,00144919 .
(Podemos, agora, verificar a terceira equação do sistema).
Então:
123 Não nos preocupamos, aqui, em precisar erros cometidos com aproximações.
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 421
Poliádicos - Ruggeri
10 17 299 14 4919 9 842541 2 3
l g g g' , , , , (171).
Cálculo de um autovetor correspondente a Xmed:
435 7859194 165 1 016 0
74 25 785919 174 0
2 620 1 014 6 093 785919 0
, .
,
. . . , .
M' M' M'
M' M' M'
M' M' M'
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Arbitrando M'3
1
1 016., resolvemos o sistema
11 237 14041 25 785919 1016 25 785919
12 210 1 016 25 785919 165174
1 016
. , , ,
. . ,.
.
M' M'
M' M'
1 2
1 2
Então
M' M' M'1 2 3 0 002540917 0 00065027788 0 000984252, , , , , ,
e
10 25 6,5027788 9 8425241 2 3
m g g g' ,40917 , , + (172).
Cálculo de um autovetor correspondente a Xmax:
6123 165 N' 016 0
74 6 533 174 0
2.620 1014 465 0
. ,628433 N' .
. ,628433 N'
. ,628433 N' .
1 2 3
1 2 3
1 2 3
+1 N'
N' N'
N' N'
Arbitramos: N'3
1
1 016. e resolvemos o sistema
6123 1
74 6 533174
1016
. ,628433 N'
. ,6628433 N.
.
1 2
1 2
+165 N'
N' '
Encontramos
N' N' e N'1 2 3 0 000164058 0 00002807018 0 000984252, , , , ,
donde
10 1 0,2807018 9 84252041 2 3
n g g g' ,64058 , , + (173).
Temos, então, em (171), (172) e (173) as expressões de l', m' e n' (multiplicados por
104) na base {g*}. Por (03) podemos obter as expressões desses mesmos vetores na base
{g*}. Assim, por exemplo:
10
2 1 2
1 2 1
2 1 5
17 2990
14 4919
9 8425
0 42106
1 84228
0 12270
4
L'
L'
L'
1
2
3
.
,
,
,
,
,
,
.
Analogamente,
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 422
Poliádicos - Ruggeri
897039,4
257248,48
636079,37
84252,9
5027788,6
40917,25
512
121
212
M'
M'
M'
10
3
2
1
4. ,
e
10
2 1 2
1 2 1
2 1 5
1 64058
0 2807018
9 84252
22 685538
8 763324
52 774502
4
N'
N'
N'
1
2
3
.
,
,
,
,
,
,
.
Então:
10 0,42106 1 84228 0,12270
10 37 48,257248 4 897039
10 22 8,763324 52
4 1 2 3
4 1 2 3
4 1 2 3
l g g g
m g g g
n g g g
' ,
' ,636079 ,
' ,685538 ,774502 ,
+ +
+
+
(174).
Nesse instante podemos fazer algumas verificações com o objetivo de detectar
eventuais erros grosseiros de cálculo, já que aqueles oriundos de aproximações são
inevitáveis. Estando os vetores l', m' e n' expressos por suas coordenadas co-variantes e
contravariantes podemos, facilmente, por multiplicação escalar, verificar a ortogonalidade
simultânea desses vetores. Com efeito, basta verificar a nulidade das expressões l'.m' =
m'.n' = n'.l'. Assim, de (171) e (174), temos:
10 17 299 14 4919 9 8425
48 257248 4 897039
17 299 37 636079 14 4919 48 257248
0 073575
81 2 3
1 2 3
l . m g g g .
. g g g
' ' ( , , , )
, , )
( , ) ( , ) , ( , )
. ,
(-37,636079
+ (9,8425) (4,897039) =
ou seja
l .m' ' ... 0,0735 10 08 .
Analogamente podemos fazer os demais cálculos.
Para o cálculo dos unitários basta que determinemos os módulos de l',m' e n'
recorrendo às expressões de l', m' e n' em bases recíprocas; temos:
10 17 299 14 4919 9 8425 0 42106 1 84228 0 12270
35 189729
8 2
1 2 3
1 2 3l g g g . g g g' ( , , , ) ( , , , )
, ,
donde:
10 5 9320934 | ' | , ,l (175).
Analogamente encontramos:
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 423
Poliádicos - Ruggeri
10 36 308497 23 6455464 | ' | , | ' | , ,m n e 104 (176).
Logo, na base {g*}, por aplicação das (04)1, escrevemos, partindo das fórmulas (171),
(172), (173), (175), e (176),:
' ,916171 ,442966 ,659195
'
'
l g g g
m g g g
n g g g
2 2 1
0,699813 0,179098 0,271080
0,069383 0,011871 0,416253
1 2 3
1 2 3
1 2 3
+ +
+
+
(19).
Mutatis mutandis, na base {g*}, encontramos:
'
' ,036564 ,329090
' ,231900
l g g g
m g g g
n g g g
0,070980 0,310562 0,020684
1 1 0,134873
0,959400 0,370612 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
+ +
+
+
(191).
Novas verificações de cálculo podem ser feitas. Assim, por exemplo, de (19)1 e
(191)1 temos
' ( ,9161712) ( ... ,000001... ;l 2 2 0,07098) 1 1
e de (19)1 e (191)2 vem:
' ' ( ,9161712) ( ,036564) ... ... ;l .m 2 1 0,000341 0
e assim sucessivamente.
Podemos agora verificar se o triedro {' , ' , '}l m n é direto; temos, de (19), aplicando
(05):
(' ' ' )
,916171... ,442966... ,659195...
... ... ...
... ...
( ) ,00000038... ,l m n g g g
2 2 1
0,699813 0,179098 0,271080
0,069383 0,011871 0,416253
1 11 2 3
porque (g1g2g3)=1. Logo: {' , ' , '}l m n é direto. Faremos, então:
' ' , ' ' ' 'l i m j n k e , (20).
3 passo:
Aplicando (06) temos:
[( ) ] T
. . .
9 7 5
7 6 4
9 4 3
2 1 13
2 1 3
3 1 1
2 1 2
1 2 1
2 1 5
2 2 3
1 1 1
13 3 1
=
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 424
Poliádicos - Ruggeri
7 422 1 070 67
5 697 821 52
4 105 593 33
. .
.
.
, (21),
isso é
T
,. g g g g g g g g 7 422 1 070 67 5 6971
1
1
2
1
3
2
1. . . ... (211).
Calculamos, facilmente:
( ) .
( ).
.
. . .
( ) ( ) ( .
T
E
T
E
~
T T
+ +
+ +
.
.
. .
7.422 821 33 6 568
821 52
593 33
7.422 67
4.105 33
7.422 1070
5 697 821
3 743 30109 2.328 28 694
66) 4.3563 3 3
2
Comprovamos, assim, que a equação característica de T. identifica-se com a de
.T; o que corresponde a dizer que os autovalores de T. e .T são os mesmos.
Tal como no segundo passo de cálculo, podemos encontrar autovetores para T.
Assim, na base {g*}, temos:
- correspondentemente a L2 = 0,1574857:
,25373,14978738,49010373,7210 3214
gggl (231);
- correspondentemente a M2 = 4,21408055:
,25373,14989528,495454003,810 3214
gggm (232);
- correspondentemente a N2 = 6.563,628433:
10 269 207 14941 2 3
n g g g ,75813 ,05861 ,25373 ,+ + (233).
Aplicando as (06) calculamos as coordenadas co-variantes desses vetores; resultam:
10 645 08738 760 21730 111 27381
10 331 31194 58 00857 679 28257
10 33 95019 4 89464 0 30622
4 1 2 3
4 1 2 3
4 1 2 3
l g g g
m g g g
n g g g
, , ,
, , ,
, , , ,
(24).
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 425
Poliádicos - Ruggeri
Verificações:
10 49 026 7 0 00049 0
10 0 19405 0 19 10
348 03513 0 00348
8
8 8
l.m l.m
m.n m.n
n. l n. l
. , , , ... ;
, , , ...
. , , , ...
donde
donde 0;
10 donde 0.8
Os módulos de l, m e n são determinados facilmente; temos:
10 72 10 490,78 149
645 760,21 111 343155 1772
8 2
1 2 3
1 2 3
l g g g .
. g g g
( , ... ... ,25... )
( ,08... ... ,27... ) . , ,
donde:
10 585 7944
| | ,l
Analogamente, encontramos:
10 309 2890 89 99504
| | , | | , .m n e 104
Logo: , , ,
, , ,
, , , ,
l g g g
m g g g
n g g g
0 123087 0 837816 0 254789
0 027629 0 161323 0 482570
2 997479 2 300779 1 658467
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(25),
ou , , ,
, , ,
, , , ,
l g g g
m g g g
n g g g
1 101219 1 297755 0 189954
1 071205 0 187555 2 196271
0 377245 0 054388 0 003403
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(26),
sendo ( )lmn 1.
4 passo:
Como ( ) ...( ) ...( ) ,l m n g g g g g g 1 2 3
1 2 3 0,962765 0,973631 1 o triedro
{, , }l m n é negativo. Trocando-se os sinais no segundo membro de l , o triedro { , , }l m n
passará a ser positivo (e i l continuará sendo auto-unitário de T.).
Ponhamos, então: , l i m j n k e . Nestas condições a forma normal de
pode ser assim escrita:
),ˆ'ˆ 628433,563.6ˆ'ˆ 21408055,4ˆ'ˆ 1574857,0( kkjjii (27),
onde {, , } ' , ' , '}i j k i j k e { são triedros diretos; ou, ainda, assim:
( ' ,0528226 ' ,016222 ' ),0,396847 2 81 i i j j k k (271).
§ 07.02 - Marcha de cálculo da redução normal. 426
Poliádicos - Ruggeri
Verificação:
Ora, = ijgig
j. Para expressarmos em função de , , i j k e ' , ' , 'i j k basta
expressarmos gi e gj em função de i, j, k e i', j', k'.
Para expressarmos os gi em função de ' , ' 'i j k e , bastará invertermos o sistema (19)
onde ' ' , ' ' ' ' .l i m j n k e Encontraremos:
g i j k
g i j k
g i j k
1
2
3
0,071332 1 0,9593988
0,3101075 1 0,3706125
0,0207338 0,134882 2
' ,036587 ' '
' ,328984 ' '
' ' ,23189996 ' ,
(28).
Analogamente, invertendo o sistema (26) onde já tenhamos trocado l i por ,
escrevemos:
g i j k
g i j k
g i j k
1
2
3
0,122031 0,015146 2
0,854716 0,077449 2
0,132509 0,441315 1
,964006
,275088
,639945 ,
(29).
Assim, se ' , ' 'i j k e são os antecedentes e {, , }i j k os conseqüentes, a matriz
associada a será:
...639945,1...441315,0...132509,0
...275088,2...077449,0...854716,0
...964006,2...015146,0...122031,0
1313
111
322
...231900,2...370611,0...959398,0
...134882,0...328985,1...036588,1
...020734,0...310108,0...071332,0
016222,8100
00528226,20
00396847,0
...111765,80...243306,0...073040,0
...001278,0...132359,2....577040,0
....000002,00...396819,0
,
o que comprova (271), com certo erro devido a arredondamentos e propagações.
Deve ser observado que na forma normal de , os módulos dos coeficientes da
forma - valores dos semi-eixos do elipsóide transformado da superfície esférica de raio
unitário - , são as raízes quadradas (todas positivas ou todas negativas) dos autovalores L2,
M2 e N2 do diádico .T (ou T.), correspondentes ao sistema direto dos auto-unitários ' , ' ' , , ),i j k i j k e (ou não tendo nenhum relacionamento com os autovalores do diádico .
Podemos aclarar mais a questão por meio do exemplo numérico apresentado. A
equação característica de é
X 2X 41X 66 0,3 2
e suas raízes são
X X X 6,6648... .min med max
6 2498 1 585, ... , ...
§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. 427
Poliádicos - Ruggeri
Os módulos dessas raízes (autovalores), entretanto, não são os valores extremados
assumidos pelos módulos dos vetores transformados mediante . Com efeito, para i , por
exemplo, tem-se:
. i )2547887,08378156,01232055,0()( 321i
j ggg.ggj
i
3
2
1
113
312
1312
]2547887,0 8378156,0 1232055,0[
g
g
g
..
'ˆL'6569866,09693988,01576761,1 321 ilggg
)6591984,14429656,29161712,2(396845,0 321 ggg ,
isso é,
39683,0|ˆ| i. .
Fica, pois, comprovado numericamente que os autovalores de não são os valores
dos semi-eixos do elipsóide em que ele transforma a superfície esférica de raio unitário.
Ou, ainda: o maior e o menor dos valores dos módulos de .r são os correspondentes a
r i r k e (que são os semi-eixos extremados do elipsóide).
§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura.
Vimos no §07.01 (Teor. 2) que todo diádico completo pode ser reduzido à forma dita
normal,
L M N ' ' ' ,i i j j k k (01),
onde {i',j',k'} e {, , }i j k são dois tercetos ortonormados diretos e L,M e N números reais.
Vimos também que:
. i i j j k kT 2
L M N 2 2' ' ' ' ' ' , (02),
T 2
L M N . i i j j k k 2 2 , (021).
Os diádicos .T e T., distintos, são simétricos, de autovalores todos positivos
(iguais aos quadrados dos coeficientes da redução normal de ) e seus autovetores unitários
são, respectivamente, os antecedentes e os conseqüentes da redução normal de .
Estenderemos essas características dos diádicos .T e T. para diádicos em geral
com a seguinte
§ 07.03 - Diádico reto. Deformação pura. 428
Poliádicos - Ruggeri
Definição: (diádico reto)
Denominam-se diádicos retos os diádicos da forma
A B C com A, B,C > 0, i i j j k k (03),
e {, , }i j k triedro ortonormado direto.
Os diádicos retos são, pois, tônicos com autovalores positivos.
Resultam logo os seguintes teoremas:
Teor. 1:
O produto pontuado de qualquer diádico completo pelo seu transposto é
diádico reto.
Teor. 2:
A CNS para que um diádico seja reto é que ele seja simétrico e tenha os
autovalores todos positivos.
Com efeito, se um diádico é reto (da forma (03)) ele é simétrico e seus autovalores
(A,B e C) são todos positivos. Reciprocamente, se um diádico é simétrico e tem todos os
seus autovalores positivos (logo ele é completo), ele pode ser reduzido à forma (03) em que
, i j k e são os seus auto-unitários (Teor. 11, §04.01,B).
Os diádicos retos são casos particulares dos tônicos (§04.01,B). A descrição das
TL’s por eles regidas é idêntica à dos tônicos (§05.01) com a particularidade de que, por
serem A,B,C > 0, as coordenadas homônimas (na base dos auto-unitários) dos vetores
transformando e transformado não podem ter sinais contrários (as componentes homônimas
não mudam de direção). Isto significa que essas coordenadas são distendidas (aumentadas)
se os autovalores correspondentes são maiores que um, ou contraídas (diminuídas) se os
autovalores correspondentes são menores que um, nas proporções A:1, B:1 e C:1. Assim,
se v i j k v i j k V V V V V V1 2 3 1 2 3 , ' ' ' ' ,
e
v . v i i j j k k . v' ( ) A B C ,
então
V'
V
A
1
V'
V
B
1 e
V'
V
C
11
1
2
2
3
3
, .
Diádico reto e deformação de um corpo.
Precisamente o fato de serem os autovalores do diádico reto, números todos
positivos, é que lhe atribui a possibilidade de representar concretamente o fenômeno físico
de deformação de um corpo. Com efeito, se um dos autovalores fosse negativo, um
paralelepípedo de volume positivo antes da transformação seria negativo após a
transformação; então, no problema físico que estivéssemos estudando, esse volume teria se
anulado necessariamente, para depois se tornar negativo. Conseqüentemente, estaríamos
aceitando a possibilidade de destruição da matéria (volume zero), o que é impossível.
§ 07.04 - Decomposição polar. 429
Poliádicos - Ruggeri
Essas considerações físicas sugerem a seguinte
Definição: (deformação pura)
A transformação regida pelo diádico reto é denominada deformação pura;
A,B e C são os valores principais da deformação e as direções de i , j ke , as
direções principais da deformação.
§ 07.04 - Decomposição polar.
Se é um diádico completo qualquer e
L M N ' ' ' ,l l m m n n
é a sua redução normal (§07.01), então podemos escrever (Teor. 2, §07.01):
(| | ' | | ' | | ' ),L M Ni i j j k k (01),
onde {' , ' , '}i j k e {, , }i j k são dois tercetos ortonormados diretos. De (01) podemos
escrever, qualquer que seja o completo :
(| |' ' | |' ' | | ' ' ) (' ' ' ),L M Ni i j j k k . i i j j k k (02),
ou
(' ' ' )i i j j k k . (| | | | | | ),L M N i i j j k k (021).
Ora, o diádico ' ' ' i i j j k k - o mesmo fator nos segundos membros de (02) e
(021) - é um diádico de rotação (Corol. 2, Teor. 7, §06.01) e representa, pois, uma rotação;
ele transforma um dos tercetos ortonormados no outro. Dizemos, ainda, que o terceto
{' , ' , '}i j k é rodado de {, , }i j k por e que {, , }i j k é rodado de {' , ' , '}i j k por T
1.
O vetor semi-tangente de - que determina a rotação ((13),§06.01) – é
)ˆˆˆˆˆˆ(1
ˆˆˆˆˆˆ
1E
V
k.kj.ji.i
kkjjiiq
, (03).
Os demais diádicos fatores nos segundos membros de (02) e (021) são diádicos retos
e representam uma deformação pura (§07.03). Em (02), as direções principais da
deformação são as de ' , ' 'i j k e , enquanto que em (021) essas direções são as de , i j k e ;
em ambas as deformações, os valores principais são os mesmos.
Se na redução (01) ocorrer o sinal negativo, o mesmo ocorrerá em (02) e (021); nesse
caso, então, as rotações e as deformações têm com elas associada uma inversão completa de
direções no espaço.
Esses resultados podem ser enunciados em formas alternativas diversas.
§ 07.04 - Decomposição polar: aplicação 430
Poliádicos - Ruggeri
Teor. 1:
Todo diádico completo é redutível ao produto de um diádico de rotação por
um diádico de deformação pura, em qualquer ordem, com um sinal positivo
ou negativo.
Denotando por ' e os diádicos retos em (02) e em (021), respectivamente,
escrevemos, então:
.. , (04).
Corol. 1:
O diádico é ortogonalmente similar a ' mediante T.
Com efeito, pré multiplicado escalarmente o segundo e o terceiro membro de (04)
por T, deduzimos:
, ' T .. (041),
o que, conforme ((17), §06.01), demonstra a proposição.
Teor. 2:
Todo diádico completo, , pode ser decomposto nos produtos (04), onde é
um diádico de rotação e e ' diádicos retos de autovalores iguais e
positivos e auto-unitários rodados por .
Definição: (decomposição polar ou multiplicativa)
A decomposição de em que aparece como pré-fator é denominada
decomposição direita de ; a outra, é denominada decomposição
esquerda; ambas as decomposições são denominadas decomposições
polares (ou multiplicativas) do diádico.
A decomposição polar de um diádico - de significativa utilidade em Física - pode
ser assim interpretada geometricamente:
A transformação regida pelo diádico completo, , reduzido à forma
normal
(| |'
| |'
| |'),L M Ni i j j k k
é equivalente à deformação pura regida pelo diádico reto
(| | | | | | ),L M N i i j j k k
precedida da rotação (rígida) regida pelo rotor
' ' ' i i j j k k ;
ou à rotação regida pelo rotor seguida da deformação pura regida
pelo diádico reto
' | |' ' | | ' ' | | ' ' , L M Ni i j j k k
ambas seguidas ou não de inversão de direções.
§ 07.04 - Decomposição polar: aplicação 431
Poliádicos - Ruggeri
Portanto, a transformação mais geral (dos pontos do espaço) regida por um diádico
consiste do produto de uma rotação de eixo e ângulo de rotação definidos (pelo vetor semi-
tangente (03)), acompanhada de uma deformação pura com inversão ou não de direções.
A rotação e a deformação podem ser operadas em qualquer ordem, nas quais,
entretanto, a rotação e os valores principais das deformações, se definirão conforme a
deformação pura seja precedida ou seguida da rotação. No primeiro caso, o sistema de
direções principais de deformação poderá ser obtido de outro através do diádico de rotação,
usado como pós-fator.
Exemplo numérico.
Efetuar a decomposição polar do diádico do exemplo numérico do §07.02.
Solução:
O diádico foi dado por sua matriz mista ((12), §07.02) nas bases recíprocas {g*} e
{g*} cujas matrizes métricas são ((13), §07.02). A redução normal encontrada para foi
dada por ((271), §07.02),
( ' ,0528226 ' ,016222 ' ),0,396847 2 81 i i j j k k (05).
Podemos escrever, então, de (05):
( ) ( , , , )i i j j k k . ii jj kk0 396847 2 0528226 81016222
ou
( , , , ) ( )0 396847 2 0528226 81016222i i j j k k . i i j j k k .
Conforme ((19), (191) e (20), §07.02):
' , , ,
' , , ,
' , , , ,
i l g g g
j m g g g
k n g g g
2 916171 2 442966 1 659195
0 699813 0 179098 0 271080
0 069383 0 011871 0 416253
1 2 3
1 2 3
1 2 3
' , , ,
' , , ,
' , , , ,
i l g g g
j m g g g
k n g g g
0 070980 0 310562 0 020684
1 036564 1 329090 0 134873
0 959400 0 370612 2 231900
1 2 3
1 2 3
1 2 3
e, conforme ((25) e (26), §07.02):
, , ,
, , ,
, , , ,
i l g g g
j m g g g
k n g g g
0 123087 0 837816 0 254789
0 027629 0 161323 0 482570
2 997479 2 300779 1 658467
1 2 3
1 2 3
1 2 3
§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos 432
Poliádicos - Ruggeri
, , ,
, , ,
, , , .
i l g g g
j m g g g
k n g g g
1101219 1 297755 0 189954
1 071205 0 187555 2 196271
0 377245 0 054388 0 003403
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Agora, é fácil encontrar as expressões dos diádicos rotor e reto da decomposição polar nas
bases recíprocas {g*} e {g*}. Devemos observar que a decomposição polar foi efetuada
para -; portanto, após a rotação e a deformação executadas pelos fatores da decomposição
polar, dever-se-á efetuar uma inversão em relação à origem para completar a transformação
regida por .
A rotação, por exemplo, regida por i i j j k k , poderá ser caracterizada em
relação às bases recíprocas dadas, determinando o seu eixo (V ) e o seu ângulo de giro ();
para tal, deveremos utilizar as fórmulas (03), ou as (03), § 06.03.
*
Exercício :
Partindo de (04), comprove que
: cos ( ) cos ( )
| |T T E
, ,3
3
e que, para o exemplo numérico apresentado, ( , ) ( , ) ' " T T 89 18 36 .
*
§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos
Teor. 1:
Se é um diádico reto, então:
0 : .rr.or , (01).
De fato, considerando ((03),§07.04), escrevemos:
0)ˆC()ˆB()ˆA( 222 kr.jr.ir..rr. ,
uma vez que, no segundo membro, todas as parcelas são positivas.
Em geral, diádicos para os quais, para qualquer ro, r..r>0, são ditos diádicos
definidos positivos; é o caso dos diádicos retos.
Os diádicos para os quais, para qualquer r, r..r0, são ditos diádicos
semidefinidos positivos. Vale observar que, para r=o, é r..r=0, mas pode também ser
r..r=0 para algum ro; é o caso, por exemplo, dos diádicos retos gerados de um E2.
Se o oposto de um diádico é um diádico definido positivo (semidefinido positivo),
ele é dito definido negativo (semidefinido negativo).
§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos 433
Poliádicos - Ruggeri
Seja um diádico simétrico semidefinido positivo – logo, com autovalores (reais) Xi
(i=1,2,3) e autovetores ie unitários e ortogonais entre si (Teor. 11, §04.01,B) – que
podemos escrever, então, na forma tônica iii ˆˆX ee . Sendo: 0)ˆ(X.. , 2ii er.rrr ,
segue-se que X10, X20 e X30 sem que os Xs sejam simultaneamente nulos
Existe, pois, o diádico, denotado por 1/2
tal, que
iii2/1 ˆˆ X ee , (02),
evidentemente simétrico semidefinido positivo. O quadrado de 1/2
, isso é,
1/2.
1/2, é igual
a . O diádico 1/2
é único pois se existisse um segundo, digamos (1/2
) tal, que 2 = ,
então, sendo u um autovetor de relativo ao autovalor A0,
uu. ˆAˆ , ou u.uu. ˆˆAˆ 22 .
Assim, o autovetor u de relativo ao autovalor A é autovetor de relativo ao autovalor
A2. Portanto, cada autovalor de é a raiz quadrada positiva de um autovalor de ; e
=1/2
, isso é, 1/2
é único.
Dado o diádico iii ˆˆX ee , simétrico semidefinido positivo, o diádico 1/2
, dado por
(02), também simétrico semidefinido positivo, será dito a sua raiz quadrada positiva.
Se um diádico iii ˆˆX ee , simétrico semidefinido positivo é completo (nenhum dos
seus autovalores Xi é nulo), ele admite também uma raiz quadrada completa, dada por (02),
que admitirá inversa; em resumo:
i
i
2/1ii
2/1ii3
T ˆˆ X
1 e ˆˆ X ,ˆˆX 0 , eeeeee iii , (03).
Os diádicos .T e
T. são simétricos semidefinidos positivos; e se 30, são
simétricos definidos positivos.
*
Exercício: (adaptado de Chadwick124)
Seja dado um diádico =T (simétrico). Então, para qualquer diádico =
T
(simétrico), provar que existem, únicos, o escalar A e o diádico S=ST (simétrico) tais, que
=A+S, com :S=0 ( é ortogonal a S), (04).
Provar, ainda, que se 1=1T, 2=2
T e se é ortogonal a 1 ( : 1=0) para todo
ortogonal a 2 ( : 2=0), então 1 é paralelo a 2.
Solução:
Podemos reduzir à sua forma tônica: iii ˆˆX ee (em que os Xi não são
simultaneamente nulos). Logo: ii2
i2 ˆˆ )X( ee e, portanto, (
2)E=(X1)
2+(X2)
2+(X3)
2>0.
Sendo , (2)E=:=||||0; e reciprocamente.
124 Chadwick, P., Continuum Mechanics (concise Theory and Problems), Dover, New York, 1999, p. 27)
§ 07.05 – Diádicos definidos e semidefinidos, positivos e negativos 434
Poliádicos - Ruggeri
Então, para qualquer ψ=ψT, o número A=(:)/(
2)E está univocamente
determinado, bem como o diádico simétrico S=-A. Da primeira igualdade, porém,
deduzimos:
:=A(:), ou seja, :(-A)=0,
ou seja, considerando a segunda igualdade: :S=0 ( é ortogonal a S). Esses resultados
comprovam (04).
Se em (04) fizermos =1=1T e =2=2
T, escreveremos: 1=A2+S, com 2:S=0.
Como por hipótese 1:=0 para todo ortogonal a 2, isto é, 2:=0, então (para =S) é
1:S=0. Isto significa (considerando que 1=A2+S) que S:S=0=||S||, ou seja S= e, pois,
que 1=A2 (1 é paralelo a 2).
Apêndice 435
Poliádicos - Ruggeri
APÊNDICE
QUADRO I
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS
Forma cartesiana Equação e det. característicos E
= A+B+C = 11+2
2+3
3
j
i
i
je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0
E~ = AB+BC+CA = 1
1+2
2+3
3
[] =
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
11
2 1
3
1 22
32
1 23
33
X
X
X
1
2
3
= 0 3 =
1 2 1
3 1
12
22
32
13
2 3
1
3 3
= ABC
Autovalores
A real, B = M+Ni, C = M-Ni (cíclicos)
A=0, 3=0, M=0 A=0,
3=0, M0 A0,
30
Diádico
Característico
-A planar (não ortoplanar)
-B e -C não existem no campo real.
Polinômio
Mínimo X(X2+N2) X[X2-2MX+(M2+N2)] (X-A)[X2-MX+(M2+N2)]
Redução
Canônica
=N(cb*-bc*)
A=N( kj jk )=N i
[]abc=0 0 0
0 0
0 0
N
N
=+M(bb*+cc*)+
+(cb*-bc*)
[]abc=0 0 0
0
0
M N
N M
=aa*+M(bb*+cc*)+
+N(cb*-bc*)
[]abc=A
N
0 0
0
0
M
N M
Autovetores
de Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de -A,
a por exemplo
Autovetores
de T Qualquer vetor ortogonal ao plano dos conseqüentes de T-A,
a* por exemplo
Configuração
Esquemática
Apêndice 436
Poliádicos - Ruggeri
QUADRO II
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS
Forma cartesiana Equação e det. característicos E
= A+B+C = 11+2
2+3
3
j
i
i
je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0
E~ = AB+BC+CA = 1
1+2
2+3
3
[] =
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
11
2 1
3
1 22
32
1 23
33
X
X
X
1
2
3
= 0 3 =
1 2 1
3 1
12
22
32
13
2 3
1
3 3
= ABC
Autovalores ABC (tônicos)
e T = T T
Diádico Característico
Uniplanares, distintos, triortogonais. Planares (não ortoplanares, nem uni-
planares), distintos.
Polinômio
Mínimo (X-A)(X-B)(X-C)
Redução
Canônica
A B C ii jj kk
({ , , }i j k terceto ortonormado)
[]ijk = A
B
0 C
0 0
0 0
0
A B Caa bb cc
{a,b,c} e {a*,b*,c*} recíprocos
[]abc = A
B
0 C
0 0
0 0
0
Autovetores
de
{ , , }i j k
{a,b,c}
Autovetores
de T {a*,b*,c*}
Configuração
Esquemática
Apêndice 437
Poliádicos - Ruggeri
QUADRO III
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS
Forma cartesiana Equação e det. característicos E
= A+B+C = 11+2
2+3
3
j
i
i
je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0
E~ = AB+BC+CA = 1
1+2
2+3
3
[] =
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
11
2 1
3
1 22
32
1 23
33
X
X
X
1
2
3
= 0 3 =
1 2 1
3 1
12
22
32
13
2 3
1
3 3
= ABC
Autovalores AB = C
e T T = T
Diádico Característico
-A planar
-B ortoplanar -A planar -B linear
-A uniplanar
-B unilinear
Polinômio
Mínimo (X-A)(X-B)2 (X-A)(X-B)
Redução
Canônica
=Aaa*+B(bb*+cc*)+
+Bcb* (cisotônicos)
[]abc=A
B
B B
0 0
0 0
0
=Aaa*+B(bb*+cc*)
[]abc=A
BB
0 00 00 0
-A=(B-A)(bb*+cc*)
= A + B( + ) ii jj kk
[]ijk=A
B
B
0 0
0 0
0 0
- B = (A - B) ii
Autovetores
de
a plano dos conseqüentes
de -A, e c plano dos con
seqüentes de -B.
a plano dos conseqüentes.
de -A e b e c arbitrários. i plano de -A, j
e k arbitrários, mas j
k . Autovetores
de T
a* plano dos antecedentes
de -A, e b* plano
antecedentes de -B.
a* plano dos antecedentes
de -A e b* e c*
arbitrários.
Configuração
Esquemática
Apêndice 438
Poliádicos - Ruggeri
QUADRO IV
ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS E REDUÇÕES CANÔNICAS
Forma cartesiana Equação e det. característicos E
= A+B+C = 11+2
2+3
3
j
i
i
je e ( - X)3 = X3-EX2+E~ X - 3 = 0
E~ = AB+BC+CA = 1
1+2
2+3
3
[] =
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
11
2 1
3
1 22
32
1 23
33
X
X
X
1
2
3
= 0 3 =
1 2 1
3 1
12
22
32
13
2 3
1
3 3
= ABC
Autovalores A = B = C
e T T = T
Diádico Característico
Antitriangular
A = B = C = 0
Ortolinear
A = B = C0
Diádico Nulo ( )
A = B = C0
Polinômio
Mínimo X3 (X-A)2 X-A
Redução
Canônica
= ab*+bc*
(+I é cisalh. complexo)
[]abc = 0 1 0
0 0 1
0 0 0
= A+bc* (bc*)
(cisalhante para A=1)
[]abc = A
A
A
0 0
0 1
0 0
= A
(diádico esférico)
[]abc = A
AA
0 00 00 0
Autovetores
de
Qualquer vetor ortogo-
nal ao plano dos conse-
qüentes de (ou || a a )
Qualquer vetor ortogonal a
c* (b por exemplo., ou o
vetor de ).
. .V V
T
VA Qualquer direção
do
espaço
Autovetores
de T
Qualquer vetor ortogonal
ao plano dos antecedentes
de (ou || a a*)
Qualquer vetor ortogonal a b
(c* por exemplo, ou o vetor
de ).
. .V V
T
VA
Configuração
Esquemática
Qualquer triedro triortogonal
do espaço
Apêndice 439
Poliádicos - Ruggeri
QUADRO V
DESCRIÇÃO DAS TLs PELAS REDUÇÕES CANÔNICAS
D
I
A
G
O
N
A
L
I
Z
A
V
E
I
S
Diádicos Tônicos: A B Caa bb cc (§ 04.01,B)
- Seus autovalores A,B e C são todos reais e {a,b,c} é recíproco de {a*,b*,c*}.
- Sua matriz, na base {a, b, c}, é diagonal, e os elementos da diagonal principal são os seus autovalores.
- Efeitos da ação de um tônico (§ 05.01):
- As direções paralelas aos seus autovetores ficam inalteradas;
- As coordenadas dos vetores segundo os autovetores são distendidas ou contraídas ma proporções
A:1, B:1, C:1.
- Se o tônico é completo: a superfície esférica se transforma num elipsóide, a circunferência se
transforma em elipse; se incompleto: a superfície esférica se transforma numa área elíptica, a
circunferência numa elipse.
- Todo tônico, com autovalores todos positivos, é similar a um diádico reto; este rege uma deformação
pura (§ 07.02 e (§ 07.03).
N
Ã
O
D
I
A
G
O
N
A
L
I
Z
A
V
E
I
S
Diádico Ciclotônico: A M Naa bb cc cb bc( ) ( ) (§ 05.02,A).
- Seus autovalores são: A real, M+Ni, M-Ni com M = cos , N = sen .
- Fatoração comutativa (§ 05.02,A):
[ ( )][ cos ( ) sen ( )Aaa bb cc aa bb cc cb bc
- Cíclico:
[ cos ( ) sen ( )aa bb cc cb bc
- Rege rotação elíptica no seu plano (b,c).
- Efeitos: 1°) - roda elipticamente a componente de qualquer vetor no seu plano (o da elipse cujos
semi-diâmetros conjugados são |b| e |c|), levando sua extremidade do ponto de argumento (da
elipse) para o ponto de argumento + (da mesma elipse), logo, alterando-lhe o módulo; 2) –
apenas translada a componente do vetor na direção a, paralelamente a a.
- Todo cíclico é similar a um diádico de rotação; este rege uma rotação (circular) de ângulo em torno
de um eixo (§ 06).
Diádico Cisotônico: A B( Baa bb cc cb) (§ 05.02,B).
- Seus autovalores, reais, são: AB = C.
- Fatoração comutativa: [ )] ( )A B(aa bb cc . cb (§ 05.02,B).
- Diádico cisalhante: ,ˆˆ Q jkcb Q tg > 0.
- Rege uma transformação do tipo cisalhamento mecânico, Fig.05.03, § 05.02,B.
- Efeitos: 1) - os vetores paralelos ao plano de cisalhamento ficam inalterados; 2) - desloca qualquer
ponto paralelamente à direção de cisalhamento; 3) - todos os pontos de um mesmo plano paralelo
ao plano do cisalhamento se deslocam da mesma quantidade; 4) - em relação a um plano de
referência paralelo ao plano do cisalhamento, os deslocamentos são proporcionais às distâncias dos
pontos a esse plano. 5) - planos inicialmente ortogonais à direção de cisalhamento tornam-se
inclinados, em relação ao plano de cisalhamento, do complemento do ângulo de cisalhamento, isso
é, de /2-.
- Propriedades principais: 1ª) - Conserva os volumes; 2ª) - Conserva as áreas nos planos ortogonais
à direção de do vetor do diádico; 3ª) - Conserva as distâncias em qualquer direção paralela ao plano
de cisalhamento.
Diádico Cisalhante Complexo: + , sendo
.1 e , , , com ,
b.bcbcabababcab (§ 04.03).
- Fatoração não comutativa de +: ( ) ( )bc . ab (§ 05.02).
(Produto de dois cisalhantes de direções de cisalhamento ortogonais).
Poliádicos - Ruggeri
440
BIBLIOGRAFIA.
O trabalho pioneiro sobre o assunto, dentro do estilo, é o de Gibbs [1], que foi seguido por
vários autores, inclusive Moreira [2] a quem coube o mérito do uso freqüente dos vetores
recíprocos e a introdução do conceito de “diádico principal” de um diádico completo dado.
1- 1901: GIBBS, J. W. e WILSON, E. B., Vector Analysis, Yale University Press, New
Haven, Connecticut, USA, 436 p..
2- 1966: MOREIRA, L. C. de A., Diádicos, REM - Revista da Escola de Minas, separata,
vol. XXV n 2 e 3, 39 p., Ouro Preto
Poliádicos - Ruggeri
ÍNDICE REMISSIVO
A
Adjunto de um diádico adjunto do adjunto .........................................177
definição .......................................................169
em forma cartesiana ......................................204 invariantes .....................................................174
inverso e principal do adjunto .......................177 significado geométrico ..................................179
Ângulo
de cisalhamento .............................................371 de diádico(s) ..................................................160
anti-simétricos ..........................................167
com o diádico unidade..............................167 com o seu transposto ................................166
de dois espaços diádicos ................................261
de rotação ......................................................365 Argumento de um cíclico ...................................363
Auto-similaridade
de diádicos (tensores cartesianos) .................317 de matrizes ....................................................316
dos ciclotônicos .............................................367
Autovalores de um diádico definição .......................................................328
imaginários....................................................339
reais ....................................................... 345, 347 Autovetores de um diádico
definição .......................................................333
triortogonais ..................................................348
B Base(s)
diádica(s)
constituição de bases ................................235 definição...................................................228
norma, módulo .........................................229 ortonormadas............................................242
recíprocas .................................................230
recíprocas .................................................233
unimodulares ............................................242
matrizes métricas de uma base ......................188
no espaço diádico anti-simétrico ...................240 no espaço diádico simétrico ..........................238
vetoria(is)
normogonadas (ou congruentes ................385 vetorial(is)
ortonormadas............................................. 63
recíprocas .................................................. 48 Biflechas ............................................................243
Biquadrantais .....................................................388
C Cíclicos quadrantais e biquadrantais ..................388 Cisalhamento
complexo .......................................................374
simples ..........................................................370
direção, plano, módulo e ângulo do
cisalhamento ....................................... 371 CNS para que .......................................................XI
dois diádicos
anti-sim. sejam ortogonais ....................... 168 sejam iguais ............................................... 81
sejam similares ................................. 308, 309 dois vetores
sejam paralelos ..................................... 15, 54
duas bases sejam congruentes ....................... 385
G diádicos (G 9) formem uma base ........... 229
G diádicos de um 2EG constituam uma base . 267
o autovetor de um fator de um produto de biquadr. seja ortogonal ao eixo do outro fator
................................................................. 394
o escalar de um produto de biquadr. valha - 1 ................................................................. 393
o produto de dois biquadr. seja cíclico ou tônico
................................................................. 392 o terceiro de um diádico seja ≠ de zero ........... 85
seja nulo o produto misto
de 3 vetores ................................................ 19 de dois diádicos ........................................ 148
três vetores sejam coplanares .................... 19, 30
um diádico seja anti-simétrico ................................... 129, 205
antitriangular ............................................ 335
ciclotônico ............................................... 368 completo .................................... 94, 194, 330
de rotação ......................................... 381, 386
incompleto ....................................... 170, 172 o diádico nulo .......................................... 150
ortolinear .................................................. 336
ortoplanar ................................................. 334 perpendicular ao seu transposto ............... 167
reto ........................................................... 437
simétrico .................................. 107, 161, 205
tônico ....................................................... 347
um biquadrantal ....................................... 390
um diádico de Argand .............................. 344 um diádico tenha
apenas uma raiz real ................................. 343
escalar nulo .............................................. 151 um diádico transforme qualquer vetor no vetor
nulo ............................................................ 88
um duplo produto de diádicos seja nulo ........ 142 um duplo produto misto de diádicos seja nulo
................................................................. 160
valha 3 o escalar do produto de dois biquadr. cujos autovet ou cujos eixos sejam (não)
paralelos .............................................. 397
Conteúdo ........................................................... 294 Convenção somatória ........................................... 11
Poliádicos - Ruggeri
D
Deltas de Kronecker
definição ........................................................ 50 produtos ......................................................... 51
Díade ................................................................... 73
Diádico(s) ..........................................................295 adição ............................................................101
em forma cartesiana .................................195
adjunto ..........................................................169 antecedentes, conseqüentes ............................ 74
anti-simétrico ................................................103
antitriangulares caracterização ...........................................211
definição...................................................212 auto-similares ................................................317
bases diádicas ................................................227
biquadrantais .................................................388 cálculo dos inv. em forma cartesiana .............192
caract. geométrica em forma cartesiana.........204
característico(s) antitriangular ............................................447
antitriangular ou ortolinear .......................355
definição...................................................331 nulo(s) .............................................. 357, 447
ortolinear(es) .................................... 356, 447
ortoplanar ou linear ..................................351 planar(es) ......................................... 444, 445
um planar e um linear ....................... 352, 446
um planar e um ortoplanar................ 352, 446 um uniplanar e um unilinear ............. 354, 446
uniplanar(es) ............................................445
característico(s) uniplanares) .........................350 cíclico(s) .......................................................360
caracterização ...........................................382
definição...................................................363 propriedades geométricas .........................376
quadrantais e biquadrantais ......................388
ciclotônico(s) definição...................................................366
cisalhante ......................................................371
cisalhante complexo ......................................374 cisotônico(s) ..................................................371
classificação geral .........................................374
com autovalores nulos ...................................334
como operador de uma T.L ............................ 76
completos e incompletos
definição.................................................... 91 redução mínima ......................................... 92
comutante (de um par de cisahantes ..............374
coordenadas cartesianas covariantes e contravartiantes...................185
em base diádica ........................................231
mistas .......................................................186 relações entre elas ....................................191
critério de igualdade ......................................111
de Argand ......................................................130 de Moreira ............................................... 98, 182
ortoquadrângulos ......................................100
de mudança de base .......................................305 de Pauly ........................................................144
de rotação
caracterização .......................................... 383
propriedades geométricas ................. 376, 384 decomposição aditiva .................................... 104
decomposição cartesiana
de diádico em base diádica ....................... 231 definições e notações ...................................... 73
diagonalização .............................................. 346
diagonalizáveis ............................................. 357 na classif. geral ........................................ 375
dupla multiplicação cruzada .......................... 142
dupla multiplicação mista de três diádicos .... 158 duplo produto cruzado
invariantes elementares do ....................... 155 elementos característicos............................... 321
autovalores e autovetores ......................... 328
diádicos característicos ............................ 330 equação característica .............................. 328
polinômio característico ........................... 325
polinômio CH (Cayley-Hamilton).... 325, 326 polinômio mínimo ............................ 321, 324
espaço ........................................................... 222
fórmulas notáveis com duplos produtos ................................ 150
com produtos simples .............................. 126
homológicos .................................................... 95 igualdade ......................................................... 78
invariantes primários
escalar e vetor ............................................ 82 terceiro
definição ............................................... 83
interpretação geométrica ....................... 85 inverso ou recíproco de um completo ........... 169
lineares
caraterização ............................................ 206 definição .................................................... 92
linearmente dependentes e independentes ..... 227
matriz associada ............................................ 186 tábua de multiplicação ............................. 192
módulo e ângulo ........................................... 163
motivo ............................................................. 80 multiplicação
dupla
mais de dois diádicos .......................... 157
em forma cartesiana ................................. 195
simples
cruzada diádico por vetor .................... 123 pontuada
de diádicos ..................................... 109
diádico por vetor .............................. 75 por número real ..................................... 74
multiplicação dupla
pontuada, cruzada e mista ........................ 137 multiplicação múltipla
com diádicos ............................................ 251
cruzada ..................................................... 251 identidades notáveis ............................ 256
perpendicularidade .............................. 260
dupla multiplicação cruzada ..................... 261 mista de G diádicos .................................. 267
Poliádicos - Ruggeri
produto misto em forma cartesiana ..........274
não diagonalizáveis .......................................359
na classif. geral .........................................375 norma ............................................................160
normogonalmente (ou congruentemente)
similares ...................................................386 nulidade de duplos produtos ..........................142
ortogonais......................................................147
ortolineares caracterização ...........................................207
definição.................................................... 94
ortoplanares caracterização ...........................................210
definição.................................................... 93 paralelos ........................................................148
planares
caracterização ...........................................208 definição.................................................... 92
posicional ......................................................232
potenciação ordinária ....................................112 principal de um diádico completo .................171
produto
nulo de diádicos não nulos .......................119 pontuado de completos e incompletos ......115
quadrado e cubo de um ortoplanar ................119
quadrantais e biquadrantais interpretação geométrica ..........................389
produto .....................................................391
redução N2-nomial ou cartesiana ...........................185
N-nomial e motivo .................................... 79
redução(ões) tônica ou espectral ....................................345
redução(ões)diagonal(is) ...............................346
reduções canônicas ........................................339 representações e coordenadas ......................... 80
rodados ..........................................................386
segundo de um diádico ..................................170 simetria externa .............................................318
simetria interna..............................................318
simetrias externas em relação a planos ..................................318
simétrico .......................................................103
similares ........................................................307
subespaços multiplanares ..............................222
terceiro e transposto de um produto ..............113
término colinear ............................................. 97 tônico ou diagonal .........................................346
transposição ................................................... 77
unidade, nulo e oposto.................................... 87 unilineares e uniplanares
caracterização ...........................................209
definição.................................................... 93 unitário ..........................................................243
E Eixo de rotação .................................. 363, 365, 387 Equação(ões)
da reta ............................................................ 32
no plano..................................................... 32 de espaços .....................................................287
de retas e de planos ......................................... 59
de um plano .................................................... 44
vetoriais homogêneas, resolução ................... 214 Espaço
diádico .......................................................... 221
ângulo de dois espaços ............................. 261 anti-simétrico ........................................... 240
baricentros ............................................... 284
bimedianas e medianas............................. 285 conteúdo (definição) ................................ 294
dimensão .................................................. 228
fronteiras de um paralelotopo ................... 251 geometria analítica do .............................. 283
graus de liberdade .................................... 245 idéias geométricas .................................... 243
oblíquos ................................................... 249
opostos no simplex ................................... 283 ordem (ou seqüência) ............................... 247
ortotopos .................................................. 261
paralelismo ............................................... 248 paralelotopo ............................................. 250
perpendicularidade ................................... 260
politopo (definição) .................................. 294 politopos regulares ................................... 294
ponto unidade........................................... 293
pontos impróprios .................................... 248 pontos linearmente independentes............ 244
projeções .................................................. 280
espaço de projeção .............................. 281 espaço projetante ................................. 281
projeção ortogonal .............................. 283
projeção paralela ................................. 281 racionalmente paralelos............................ 249
razão anarmônica de 4 pontos .................. 293
simétrico .................................................. 238 simplex, ou (G+1)-ponto .......................... 247
soma ......................................................... 245
teorema de Euler para politopos ............... 294 união e interseção de espaços ................... 244
vetorial
dimensão,base,coordenadas ....................... 46 Expressões cartesianas
de diádicos em bases diádicas ....................... 231
de produtos de vetores .................................... 53
de sistemas de vetores recíprocos.................... 56
F Forma
monomial, binomial, polinomial ..................... 74
tônica ou diagonal ......................................... 346
Forma bilinear.................................................... 199 Função
de valor escalar ou valor vetor ........................ 71
de variável vetorial.......................................... 70 linear ............................................................... 71
G Geometria Projetiva Algébrica ........................... 293
Gibbs ............................................... 4, 69, 295, 449 Grupo ortocêntrico
no espaço ........................................................ 43
Poliádicos - Ruggeri
H Homologia
relações entre adjuntos, segundos, etc. ..........181
I Identidade(s)
clássicas(generalização) ................................. 65
das 4N letras ................................................... 63 das 8N letras ................................................... 66
de Fibonacci ................................................... 64
de Lagrange .................................................... 64 Incompleto
caracterização pelo ajunto .............................172
definição ........................................................ 91 Invariante ............................................................ 49
Inverso de um diádico completo definição .......................................................169
invariantes .....................................................174
inverso do inverso .........................................177
M Matriz
adjunta...........................................................204
associada a G diádicos ..................................224 associada a um diádico ..................................186
auto-similares ................................................316
coluna associada a diádico ............................237 de mudança de base
vetorial .....................................................311
dupla multiplicação pontuada matricial .........219 inversa ...........................................................204
métrica
de bases diádicas recíprocas .....................234 de G diádicos............................................224
polinômio matricial inteiro ............................322
Moreira ................................................ 69, 295, 449 Mudança de base
diádica ...........................................................305
vetorial ........................................................... 60 transf. de coordenadas
de diádicos ..........................................315 de vetor ...............................................314
N Norma
de um diádico ................................................160
de um diádico anti-simétrico .........................164
de um duplo produto
cruzado de diádicos simétricos .................166 pontuado de simétricos e anti-simétricos ..165
de um produto
pontuado de diádicos ................................165 de uma soma de diádicos ...............................164
do diádico unidade ........................................162
do transposto .................................................164 Notação
convenção somatória ...................................... 10
de índices de Voigt.................................... 238, 239, 242
moderna ...................................................238
P Paralelotopo .......................................................250
fronteiras R-dim ............................................ 251
volume do ..................................................... 267
Permutador a vários índices ............................................. 276
determinante de Gram .............................. 277
produtos ................................................... 278 até 3 índices .................................................... 50
determinante de Gram ................................ 52
produtos ..................................................... 52 Polinômios homogêneos (ou formas) ................. 197
Politopos ............................................................ 294
Ponto unidade .................................................... 293 Principal de um diádico completo
definição ....................................................... 171 invariantes ..................................................... 174
Produto(s)
justapostos ...................................................... 73
Q Quadrângulo(s)
ortoquadrângulo ............................................ 100
transpostos .................................................... 100 Quadrantais ........................................................ 388
Quádrica centrada .............................................. 200
R Razão anarmônica .......................................... 24, 45
Redução(ões) canônica(s) dos diádicos ...... 339, 357
com autovalor duplo ..................................... 351 com autovalor triplo ...................................... 354
com autovalores simples ............................... 339
Reduções canônicas dos diádicos....................... 375 Reflexão obliqua ................................................ 389
Rotação
circular .......................................................... 364 composição ................................................... 388
com cíclicos de eixos e autovetores distintos
............................................................ 388 elíptica .......................................................... 360
definição .................................................. 363
própria e imprópria ....................................... 387 Rotor (ver diádico de rotação) ........................... 364
S Segundo de um diádico
definição ....................................................... 170
invariantes ..................................................... 174
Semidiâmetros conjugados (de uma elípse)27, 361, 363, 365, 376, 448
Sielawa .............................................................. 295
Simetria externa dos diádicos ............................ 318 Simetria interna dos diádicos ............................. 318
Similaridade
transformação(ões) por ................................. 306 Sistemas convenientes de representação ............ 320
T Tensores
cartesianos de ordem 1 ............................................... 314
de ordem 2 ............................................... 317
Tensorialismo ...................................................... 67 Terceiro ............................................................... 83
Poliádicos - Ruggeri
Terno(s) de vetores
normogonais ou congruentes .........................384
ortonormados ................................................384 Transformação(ões)
congruente(s) ou normogonal(is) ..................384
linear(es) ................................................. 72, 297 da circunferência ......................................304
das distâncias, das áreas e dos volumes ....300
do quadrado ..............................................303 propriedades .............................................298
por similaridade ............................................306
similar(es) definição...................................................307
propriedades .............................................308
V Versor (diádico de rotação, conforme Gibbs) .....364
Vetor(es)
adição ............................................................... 6 combinação linear .......................................... 10
conceitos geométricos estendidos ..................... 3
coordenadas cartesianas ................................. 48 contravariantes .......................................... 48
covariantes ................................................ 48
coplanares ........................................................ 3 de base ........................................................... 48
definição, notação ............................................ 1
especificações euclidiana e cartesiana ...........297
identidade de Lagrange ............................. 17, 37
igualdade ........................................................... 3
linearmente dependentes e independentes ....... 47 multiplicação .................................................... 8
dupla multiplicação vetorial
de vetores coplanares ............................ 27 no espaço .............................................. 37
escalar de dois vetores ............................... 11
mista de três vetores ................................... 18 por número real ............................................ 8
vetorial de dois vetores .............................. 14
nulo (ou zero) .................................................... 3 opostos .............................................................. 3
paralelos ............................................................ 3 recíprocos ....................................................... 21
coplanares .................................................. 25
na reta ........................................................ 22 não coplanares ........................................... 34
rodados ......................................................... 386
semitangente de rotação ................................ 383 término colineares ........................................... 31
término coplanares .......................................... 43
unitário .............................................................. 3
W Weatherburn ................................................ 69, 295
Wilson ................................................. 69, 295, 449
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